2013高考数学二轮复习专题演练7.1_数学思想方法---转化与化归思想

我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化、归类，就会使问题变得简单，这类问题的解决方法就是转化与化归思想，它在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归.转化与化归思想,指的是在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使问题得到解决的一种思想。

利用化归与转化的思想可以实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧来解决问题.数学解题过程，就是不断转化的过程，不断把问题由陌生转化成熟悉的来解决，几乎所有问题的解决都离不开转化与化归。

在其他的数学思想中明显体现了转化与化归的思想,比如，数形结合思想体现了数与形的相互转化,函数与方程思想体现了函数、方程、不等式等问题之间的相互转化,分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化.一、常见的转化与化归的形式常见的有：陌生问题向熟悉问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，不同数学问题之间的互相转化,实际问题向数学问题转化等。

二、常见的转化策略常见的有：正与反的转化、数与形的转化、整体与局部的转化、常量与变量的转化、相等与不等的转化、空间与平面的转化、数学语言之间的转化等。

三、常见的实现转化与化归的方法:1.直接转化法：把原问题直接转化为学过的基本定理、基本公式或基本图形问题.2.换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。

3。

数形结合法，即数与形的转化。

将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.例如在函数与图象的联系中可以体现出，把繁琐的代数问题转化为直观的几何图形来解决4。

特殊化方法:即特殊与一般的转化，把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题。

5。

补集法，即正与反的相互转化.当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，正难则反，设法从问题的反面去探讨,使问题获解.6.等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，即原问题的充要条件，达到化归的目的.7。

高考数学二轮复习讲义 转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，本专题主要训练转化与化归的思想方法在解决数学问题中的应用。

内容主要包括转化与化归的主要原则、方法、依据。

通过对既往全国及江苏等省市高考试题的研究，不难发现，几乎每题都渗透这种思想方法。

1、,通过转化转化与化归的原则是：（1）将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的或已经解决的问题；（2）将抽象的问题转化为具体的、直观的问题；（3）将复杂的问题转化为简单的问题；（4）将一般性的问题转化为直观的、特殊的问题，（5）将实际问题转化数学问题，使问题便于解决。

2、 转化与化归的方法有： （1）函数与方程的相互转化；（2）函数与不等问题的相互转化；（3）数与形的转化；（4）空间与平面的相互转化；（5）一般与特殊的相互转化；（6）实际问题与数学理论的转化； （7）高次与低次的相互转化：（8）整体与局部的相互转化。

3、转化与化归思想思维程序问题（抽象、数学化）数学问题（化归、转化 把问题化为模型）数学模型（求解 运用模型）得解一、选择题1、已知f （x ）=ax 2+ax+a-1，对任意实数x ，恒有f （x ）＜0，则a 的取值范围是（C ）（A ）（-0,34） （B ）（-∞，0） （C ）(]0,∞- （D ）(])34(0,∞+∞-2、函数)112lg(--=xy 的图象关于 （A ）（A ）原点对称 （B ）x 轴对称 （C ）y 轴对称 （D ）直线y=x 对称3、设7777897298199C C C m +-+-= ，则m 除以8的余数是 （A ）（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）1-294、三个数，a=0．3-0．4，b=log 0．30．4，c=log 40．3，则有 （D ） （A ）b ＜c ＜a （B ）a ＜c ＜b （C ）c ＜a ＜b （D ）c ＜b ＜a 5、不等式0||42≥+-xx x 的解集是 （D ） （A ）}22|{≤≤-x x（B ）|03|{ x x ≤-或}30≤≤x（C ）02|{ x x ≤-或20≤x } （D ）03|{ x x ≤-或20≤x }6、若圆x 2+y 2=1被直线ax+by+c=0所截的弦长为AB ，当a 2+b 2=2c 2时，弦AB 的长是（B ）（A ）22 （B ）2 （C ）1 （D ）21 7、（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）10展开式中各项系数和为 （A ） （A ）211-2 （B ）211-1 （C ）211 （D ）211+18、函数y=f （x ）是函数y=-)10(222≤≤-x x 的反函数，则函数y=f （x ）的图象是图2-4-1中的 （ B ）9、已知⊙c ：x 2+y 2+2x-24=0，A （1，0）．P 为⊙c 上任意一点，AP 的垂直平分线与C 、P 的连线交于M ，则M 点的轨迹方程是（C ）（A ）125421422=-y x （B ）125421422=+y x （C ）121425422=+y x （D ）121425422=-y x 10、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1D 1和DD 1的中点，过平行线MN 和B 1C 作截面MB 1CN ，令二面角M-B 1C-C 1的大小为θ，则cos θ等于 （D ） （A ）0 （B ）21 （C ）23 （D ）3111、从点P （3，-2）发出的光线，被直线x+y-2=0反射，若反射线所在的直线恰好过Q （5，1），则入射线的方程是 x-2y-7=0 . 12、函数y=2sinx-2cos 2x+1 x ∈]32,4[ππ的值域是 ]3,2[ . 13、如图2-4-2，圆锥V-AB ，母线长为6，母线与底面所成角θ的正切值为35，一个质点在侧面上从B 运动到VA 的最短距离是 3 .14、方程1145222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则椭圆离心率的范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛51,0 . . 15、( 2006湖南）已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 5 .16、已知正三棱锥S —ABC 的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为300，过底面顶点A 作截面△AMN 交侧棱SB 、SC 分别于M 、N ，则△AMN 周长的最小值为 22 。

高考数学题中蕴含的转化与化归思想一、转化与化归的内涵转化与化归是数学思想中的两个重要内容，它们贯穿于整个数学学科，是数学问题解决的基本方法之一。

转化，即将一个数学问题或数学对象转化成另一个同等价值的形式，以更便于解决或研究。

而化归，则是将一个较复杂或抽象的问题归结为一个较简单或具体的问题，从而更易于处理和理解。

转化与化归的实质是通过合理的变换和归结，将原问题转化为更易处理或更易理解的形式，从而为解题提供便利和途径。

二、数学题中的转化与化归思想在高考数学题中，转化与化归思想经常出现在各个知识点的解题过程中，其中尤以代数和几何题为突出。

以代数题为例，常见的多项式化简、方程转化、不定方程的化归等问题，都需要学生灵活掌握转化与化归的方法，才能顺利解题。

在几何题中，诸如相似三角形的证明、线段比例的求解等问题，也需要学生善于将复杂的几何形态转化为简单的几何概念，或者将一个复杂的几何问题化归为一个简单的几何问题，从而找到解答的路径。

在实际解题过程中，学生必须不断地运用转化与化归的思想，才能更轻松地解决高考数学题。

三、实例分析现来分别通过代数题和几何题的实例分析，展示高考数学题中转化与化归思想的实际应用。

1.代数题假设有如下代数方程组：\[\left\{\begin{array}{c}x+y=5 \\x^2+y^2=17\end{array}\right.\]求解这个方程组的实数解。

分析：通过观察和分析，我们很难直接求出 x 和 y 的具体值。

我们可以考虑将上述方程组进行化归。

我们知道(x+y)²=x²+2xy+y²，将其代入x²+y²=17 中得到：\[ x^2+2xy+y^2=25 \]这样方程组就化归为一个较为简单形式。

接下来，我们将 x+y=5 代入上式，可以得到：进而求出 xy 的值为 4。

接着，我们可以用代数方法求出 x 和 y 的值，最终得到实数解为 2 和 3。

高三数学第二轮专题复习转化与化归思想课堂资料一、基础知识整合世界数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”，“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”。

他认为，解题过程就是“转化”的过程，因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。

“化归与转化的思想方法”思想方法，就是在把直接求解较为困难的问题转化为一个相对来说自己较为熟悉的，且在已有知识范围内可解的新问题，从而达到解决原问题的目的。

转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。

除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。

从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。

化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。

数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

转化有等价转化和非等价转化。

等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

化归与转化应遵循的基本原则：⑴熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

⑵简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。

⑶和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。

⑷直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

⑸正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________； (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，解得a ＝2，m ＝12. 此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立.当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6， 综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2017·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)(2017·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为________；(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________. 解析 (1)由于e ＝c a ＝233，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43，则a 2＝3b 2， 若双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程y ＝±33x . 若双曲线焦点在y 轴上，渐近线方程y ＝±3x .(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)y ＝±3x ，或y ＝±33x (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， 所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.(2)f(x)≤e2x⇔a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1). 热点二 转化与化归思想 应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案 45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】 已知函数f (x )＝3e |x |，若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ). ∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在， 只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A → ·PB → ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析 设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A → ·PB → ＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20， 又x 2＋y 2＝50， ∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________；(2)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，则x 的取值范围是________.解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立， 则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. (2)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.【训练6】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，11.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思想，降低问题难度.常见的分类讨论问题：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.。

专题3转化与化归思想化归就是转化和归结，它是解决数学问题的基本方法，在解决数学问题时，人们常常是将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，以求得问题的解答.中学数学处处都体现出化归的思想，如化繁为简、化难为易、化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想.1．f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)等于________． 解析：由f (x ＋2)＝f (x )知，f (x )的周期为2，所以f (7.5)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5. 答案：－0.52．若m ，n ，p ，q ∈R 且m 2＋n 2＝a ，p 2＋q 2＝b ，ab ≠0，则mp ＋nq 的最大值是________． 解析：(mp ＋nq )2＝m 2p 2＋2mpnq ＋n 2q 2≤m 2p 2＋m 2q 2＋n 2p 2＋n 2q 2＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝ab . 所以－ab ≤mp ＋nq ≤ab ，当且仅当mq ＝np 时等号成立． 答案：ab3.如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则P 1F ＋P 2F ＋P 3F ＋P 4F ＋P 5F ＋P 6F ＋P 7F ＝________.解析：设椭圆的另一个焦点为F ′，根据椭圆的对称性知，P 1F＋P 7F ＝P 1F ＋P 1F ′＝2a ，P 2F ＋P 6F ＝P 3F ＋P 5F ＝2a ，又|P 4F |＝a ，∴P 1F ＋P 2F ＋P 3F ＋P 4F ＋P 5F ＋P 6F ＋P 7F ＝7a ＝35.答案：354．已知关于x 的方程x 2＋2a log 2(x 2＋2)＋a 2－3＝0有惟一解，则实数a 的值为________． 解析：令f (x )＝x 2＋2a log 2(x 2＋2)＋a 2－3，显然f (x )是偶函数，方程f (x )＝0要有惟一实根，则此根必为x ＝0，故2a ＋a 2－3＝0，解得a ＝1或a ＝－3，当a ＝－3时，易知方程f (x )＝0不止有一个实根，故a ＝1.答案：15．已知三棱锥S －ABC 的三条侧棱两两垂直，SA ＝5，SB ＝4，SC ＝3，D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，则四棱锥S －BCED 的体积为________．解析：由S △ADE ＝14S △ABC ，得V S －BCED ＝34V S －ABC ＝34V A －BSC ＝34×13×12×SB ×SC ×SA ＝152.答案：152[典例1](1)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝ 5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．(2)若不等式x 2108＋y 24≥xy3k 对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是k ∈[m ，＋∞)，则正整数m 只能取________．[解析] (1)将侧面展开后可得：当A 、M 、C 1三点共线时，AM ＋MC 1最小，又AB ∶BC＝1∶2，AB ＝1，BC ＝2，CC 1＝3，所以AM ＝2，MC 1＝2 2.又在原三棱柱中AC 1＝9＋5＝14，所以cos ∠AMC 1＝AM 2＋C 1M 2－AC 212AM ·C 1M ＝2＋8－142×2×22＝－12，故sin ∠AMC 1＝32.所以三角形面积为S ＝12×2×22×32＝ 3.(2)由x 2108＋y 24≥xy3k (x >0，y >0)⇒1xy ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2108＋y 24≥13k ⇒x 108y ＋y 4x ≥13k ， 所以13k 小于等于x 108y ＋y 4x (x >0，y >0)的最小值，因为x 108y ＋y4x≥2x 108y ·y4x＝1108(当且仅当x 2＝27y 2时取等号)， 所以3k≥108＝27×4＝2×332⇒log 33k≥log 3(2×332)⇒k ≥log 32＋32.所以k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫log 32＋32，＋∞，所以k ∈[m ，＋∞)是k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫log 32＋32，＋∞的必要不充分条件，即m <log 32＋32∈(2,3)，所以m ＝1或m ＝2.[答案] (1) 3 (2)1或21．把空间问题转化为平面问题是立体几何的基本思想，是化归思想在数学应用中的具体体现． 2．不等式恒成立的问题，一般转化为求函数的最值问题． [演练1]如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是________．解析：连结A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连结A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．通过计算，可得∠A 1C 1B ＝90°.又∠BC 1C ＝45°，∴∠A 1C 1C ＝135°. 由余弦定理可求得A 1C ＝5 2. 答案：5 2 [典例2]已知椭圆x 24＋y 22＝1，A ，B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A ，B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP ，MQ 的交点，则点Q 的坐标为________．[解析] 法一：取P (0，2)，则M (2,22)，设Q (q,0)，由以MP 为直径的圆经过直线BP ，MQ 的交点可知，MQ ⊥PB ，则有k MQ ·k PB ＝－1，即222－q ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1. 解得q ＝0，即得Q (0,0)．法二：设M (2，m )，则直线AM 的方程为y ＝m4(x ＋2)，联立错误!消去y 并整理得，m 2＋832x 2＋m 28x ＋m 28－1＝0，则x P ＝m 28－1－2·m 2＋832＝－2·m 2－8m 2＋8， y P ＝m 4(x P ＋2)＝8mm 2＋8，所以k PB ＝8mm 2＋8－2·m 2－8m 2＋8－2＝－2m ， 设Q (q,0)，则k MQ ＝m 2－q ＝－1k PB ＝m2，解得q ＝0，即得Q (0,0)．法三：设P (x 0，y 0)，则直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4y 0x 0＋2，设Q (q,0)，则k MQ ·k PB＝－1，即4y 0x 0＋22－q ·y 0x 0－2＝－1，所以y 20x20－4·42－q ＝－1.又x 204＋y 202＝1，可得y 20x 20－4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204x 20－4＝－12，进而求得q ＝0，故Q (0,0)．[答案] (0,0)本题把圆过某点的问题转化为两直线的垂直问题，以便于建立方程求解，法一是用特例法，取P 的特殊位置，利用两直线垂直建立方程求解，过程简单，避免了“小题大做”．法二、法三是一般法，设出一个点的坐标，求解另一点的坐标，再由垂直关系建立方程求解．[演练2]过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE交曲线右支于点P ，若OE ＝12( OF ＋OP )，则双曲线的离心率为________．解析：由OE ＝12( OF ＋OP )可知E 为PF 的中点，则PF ＝2EF ＝2c 2－a 24＝ 4c 2－a 2.设双曲线的另一个焦点为F ′，则PF ′＝2EO ＝a ，则由双曲线的定义得 4c 2－a 2－a ＝2a ，即4c 2＝10a 2，e ＝102. 答案：102[典例3]若关于x 的方程x 4＋ax 3＋ax 2＋ax ＋1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．[解] 由x 4＋ax 3＋ax 2＋ax ＋1＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＋a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋a ＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋a －2＝0， 令t ＝x ＋1x(t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞))，则函数f (t )＝t 2＋at ＋a －2在t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)上有零点，因为Δ＝a 2－4a ＋8>0恒成立，所以f (－2)≤0或f (2)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2>2，f 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2<－2，f －2>0，解得a ≤－23或a ≥2.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)．本题利用换元法先把四次方程转化为二次方程，再把方程有实根的问题转化为函数有零点的问题，从而可以数形结合求解．[演练3]设x ，y 为正实数，a ＝ x 2＋xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y .(1)如果p ＝1，则是否存在以a ，b ，c 为三边长的三角形？请说明理由；(2)对任意的正实数x ，y ，试探索当存在以a ，b ，c 为三边长的三角形时p 的取值范围． 解：(1)存在；∵p ＝1时b <a <c ， 且c －a ＝x ＋y －x 2＋xy ＋y 2 ＝xyx ＋y ＋x 2＋xy ＋y 2<xy ＝b ，所以p ＝1时，存在以a ，b ，c 为三边长的三角形． (2)∵a <c ，∴若a ，b ，c 构成三角形，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c >b ，c －a <b ，即⎩⎨⎧x ＋y ＋x 2＋xy ＋y 2>p xy ，x ＋y －x 2＋xy ＋y 2<p xy ，两边除以xy ，令xy ＝t ，得⎩⎪⎨⎪⎧f t >p ，g t <p ，这里f (t )＝t ＋1t＋t ＋1t＋1，g (t )＝t ＋1t－t ＋1t＋1， 由于f (t )＝t ＋1t＋t ＋1t ＋1≥2＋2＋1＝2＋3， 所以g (t )＝t ＋1t－t ＋1t＋1＝1t ＋1t＋t ＋1t＋1≤2－3，当且仅当t ＝1时，f (t )取最小值2＋3，g (t )取最大值2－ 3.因此2－3<p <2＋ 3.即p 的取值范围为(2－3，2＋3)时，以a ，b ，c 为三边的三角形总存在． [专题技法归纳]等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题．历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，这有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧．等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性．在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形．消去法、换元法、数形结合法等等，都体现了等价转化思想，我们经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化．1．设x ，y ∈R 且3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的取值范围是________． 解析：法一：由6x －3x 2＝2y 2≥0，得0≤x ≤2. 由y 2＝3x －32x 2，得x 2＋y 2＝－12x 2＋3x＝－12(x －3)2＋92∈[0,4]．法二：由3x 2＋2y 2＝6x ，得(x －1)2＋y 232＝1，设⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos α，y ＝62sin α，则x 2＋y 2＝1＋2cos α＋cos 2α＋32sin 2α＝1＋32＋2cos α－12cos 2α＝－12cos 2α＋2cos α＋52∈[0,4]． 答案：[0,4]2．已知a >b >1，且log a b ＋3log b a ＝132，则a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令t ＝log a b <log a a ＝1，则log b a ＝1t，则log a b ＋3log b a ＝132可化为t ＋3t ＝132.解得t ＝12或t ＝6(舍去)，即log a b ＝12，则b ＝a ，即b 2＝a ，所以a ＋1b 2－1＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥2 a －1×1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时取等号．答案：33．若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，则实数x 的取值范围是________．解析：∵x 2＋px >4x ＋p －3，∴(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0，令g (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则要使它对0≤p ≤4均有g (p )>0，只要有⎩⎪⎨⎪⎧g0>0，g 4>0，解得x >3或x <－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)4．若函数y ＝cos π3x 在区间[0，m ]上至少取得2个最大值点，则正整数m 的最小值为________．解析：因为x ∈[0，m ]，所以π3x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3m ，因为函数y ＝cos π3x 在区间[0，m ]上至少取得2个最大值点，所以π3m ≥2π，即m ≥6，所以正整数m 的最小值为6.答案：65．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：原命题等价于圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c |13<1，故c 的取值范围是(－13,13)．答案：(－13,13)6．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[0,2]，则m ＝________，n ＝________.解析：由u ＝mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得(u －m )x 2－8x ＋(u －n )＝0.∵x ∈R ，u －m ≠0，∴Δ＝(－8)2－4(u －m )(u －n )≥0.即u 2－(m ＋n )u ＋(mn －16)≤0.由1≤u ≤9知，关于u 的一元二次方程u 2－(m ＋n )u ＋(mn －16)＝0的两根为1,9，由韦达定理，得m ＋n ＝1＋9，mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.答案：5 57．设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，P ，Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且PA ＝QC 1，则四棱锥B －APQC 的体积为________．解析：特殊化法，取直棱柱，且P ，Q 为侧棱的中点，连结AQ ，则V B －APQC ＝2V B －AQC ＝2V Q －ABC ＝2×13S △ABC ·QC＝2×13S △ABC ×12C 1C ＝13S △ABC ×C 1C ＝13V .答案：13V8．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝y x －xy的取值范围是________．解析：由可行域得区域内的点与原点连线的斜率范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，故令t ＝yx，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2， u ＝t －1t ，根据函数u ＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递增，得u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，32 9．设A 1，A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于A 1，A 2的点P ，使得PO ·PA 2＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题设知∠OPA 2＝90°，设P (x ，y )(x >0)，以OA 2为直径的圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝a24，与椭圆方程联立得e 2x 2－ax ＋b 2＝0.由题设知，要求此方程在(0，a )上有实根，∵x ＝a 为其一根，则另一根为ae2－a ，且a e 2－a <a .解得e 2>12，所以e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，1 10．已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素的和为28，则实数a 的取值范围是________．解析：到不等式x 2＋a ≤x (a ＋1)，即(x －a )(x －1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a .要使集合A 中所有整数元素的和为28，必有a >1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为71＋72＝28，因此由集合A 中所有整数元素的和为28得7≤a ＜8，即实数a 的取值范围是[7,8)．答案：[7,8)11．我们知道，在三角形ABC 中，若三边a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，则三角形ABC 是直角三角形，现在请你研究：若c n＝a n＋b n(n ≥3的自然数)，问三角形ABC 为哪种三角形？为什么？解：三角形ABC 是锐角三角形．∵c n＝a n＋b n， ∴c >a ，c >b 即c 是三角形ABC 的最大边， ∴要证角C 是锐角，只要证cos C >0即可．而cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，即证a 2＋b 2>c 2，构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x.∵c >a ，c >b ，∴1>a c>0,1>b c>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．∵n >2，∴f (n )<f (2)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2>1，即a 2＋b 2>c 2. 故当n >2时，三角形是锐角三角形．12．若定义在(－∞，4]上的减函数f (x )，使得不等式f (m －sin x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m －74＋cos 2x 对于一切实数x 均成立，求m 的取值范围．解：依题意⎩⎪⎨⎪⎧m －sin x ≤4，1＋2m －74＋cos 2x ≤4，1＋2m －74＋cos 2x ≤m －sin x ，1＋2m ≥0对任意x ∈R 恒成立．由不等式的性质可知，第二个不等式可省略，故⎩⎪⎨⎪⎧m －sin x ≤4，m －1＋2m ≥－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122－121＋2m ≥0，对x ∈R 恒成立．因为(m －sin x )max ＝m ＋1，⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122min ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，1＋2m －m ≤12，1＋2m ≥0，解此不等式组，得m ＝－12或32≤m ≤3，即m 的取值范围为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m ＝－12，或32≤m ≤3.。

第04讲 转化与化归思想高考考点聚焦一、转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．二、转化与化归的常见方法1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．2．换元法：运用―换元‖把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题．6．构造法：―构造‖一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决．10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁UA 使原问题获得解决，体现了正难则反的原则． 命题热点突破命题方向1 特殊与一般的转化例1 已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为__________.练习：1．AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的坐标为__________.2．已知函数f (x )＝a xa 2＋a(a >0且a ≠1)，则f (1100)＋f (2100)＋…＋f (99100)的值为__________.命题方向2 函数、方程、不等式之间的转化例2 已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[1e，1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是__________.练习：已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为_______________.命题方向3 正难则反的转化例3 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋(m 2＋2)x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是_______________.练习：若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是___________.针对性练习1．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则a 的取值范围为 .2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+ ，且,,A B C 三点共线（该直线不过原点O ），则200S ＝ .3．已知正三棱锥S —ABC 的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为30︒，过底面顶点A 作截面△AMN 交侧棱SB 、SC 分别于M 、N ，则△AMN 周长的最小值为 .4．函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是 .5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n 的前n 项和的公式是 .6．已知圆22:2440C x y x y +-+-=，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.7．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足222a c b +-=．（1）求角B 的大小；（2）若2cos cos cos )b A c A a C =+，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．。

2013高考数学复习化归与转化思想
知识整合
1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为化归与转化的思想方法。

2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。

除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。

从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。

化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。

数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

3．转化有等价转化和非等价转化。

等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。