高二数学余弦定理
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高二数学必修5解三角形之余弦定理必考点详解总结第一章解三角形1.1.2余弦定理1.对余弦定理的四点说明(1)勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.(2)与正弦定理一样,余弦定理揭示了三角形的边角之间的关系,是解三角形的重要工具之一.(3)余弦定理的三个等式中,每一个都包含四个不同的量,它们是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,代入等式,就可以求出第四个量.(4)运用余弦定理时,若已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边),则由三角形全等的判定定理知,三角形是确定的,所以解也是唯一的.2.对余弦定理推论的理解余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式,适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.例题讲练探究点1 已知两边及一角解三角形方法归纳:(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角,用三角形的内角和定理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边,要注意判断解的情况;②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出此边长.(2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一:首先用余弦定理求出第三边,再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.方法二:首先用余弦定理求出第三边,再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.[注意] 解三角形时,若已知两边和一边的对角时,既可以用正弦定理,也可以用余弦定理.一般地,若只求角,则用正弦定理方便,若只求边,用余弦定理方便.练习:1.在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,C=60°,则c=________.探究点2 已知三边(三边关系)解三角形方法归纳已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.[注意] 若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.练习:1.(2018·辽源高二检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则A=( ) A.90°B.60°C.120°D.150°探究点3 判断三角形的形状方法归纳判断三角形形状的思路(1)转化为三角形的边来判断①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2;②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2;③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2;④按等腰或等边三角形的定义判断.(2)转化为角的三角函数(值)来判断①若cos A=0,则A=90°,△ABC为直角三角形;②若cos A<0,则△ABC为钝角三角形;③若cos A>0且cos B>0且cos C>0,则△ABC为锐角三角形;④若sin2A+sin2B=sin2C,则C=90°,△ABC为直角三角形;⑤若sin A=sin B或sin(A-B)=0,则A=B,△ABC为等腰三角形;⑥若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=90°,△ABC为等腰三角形或直角三角形.在具体判断的过程中,注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化,究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定.章节总结。
高中数学余弦定理余弦定理是高中数学的一个核心内容,也是三角函数的一个重要应用。
余弦定理描述了三角形中一边的平方与另外两边及其夹角的余弦值之间的关系。
对于任何一个三角形,余弦定理都可以给出以下公式:c² = a² + b² - 2abcos(C)其中,a、b和c分别代表三角形的三边长度,C是a和b之间的夹角。
余弦定理的应用范围非常广泛,无论是解三角形、解决实际问题,还是在数学竞赛中,它都是一个重要的工具。
一、解三角形余弦定理可以用来确定三角形的形状和大小。
例如,如果我们知道三角形的三边长a、b和c,以及角A、B和C的度数,我们可以用余弦定理来计算角C的度数。
公式如下:cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)二、解决实际问题余弦定理也被广泛应用于解决实际问题。
例如,在物理学中,余弦定理可以用来解决与力的合成和分解相关的问题;在地理学中,余弦定理可以用来计算地球上两点之间的距离;在经济学中,余弦定理可以用来计算投资组合的风险和回报。
三、数学竞赛在数学竞赛中,余弦定理也是一个重要的考点。
例如,一些几何问题可能需要使用余弦定理来解决;在一些代数问题中,余弦定理也可能是一个关键的工具。
余弦定理是高中数学的一个重要内容,它不仅在数学中有广泛的应用,也在其他领域中有重要的应用价值。
通过学习和理解余弦定理,我们可以更好地理解和解决各种问题。
一、引言在中国的教育体系中,数学一直是核心学科,特别是在高中阶段,数学的学习对学生的学习生涯和未来的学术成就具有重大影响。
因此,如何设计有效且吸引人的数学课程,帮助学生理解和掌握数学知识,是所有教育工作者都应的问题。
在本文中,我们将探讨如何利用APOS 理论来设计高中数学定理的教学,并以余弦定理为例进行具体阐述。
二、APOS理论概述APOS理论是由美国学者杜宾斯基提出的一种学习理论,它强调学习过程中学生的主动性和实践性。
高考余弦定理知识点在高考数学考试中,余弦定理是一个重要的知识点。
它是三角函数中的重要内容,被广泛应用于解决与三角形相关的问题。
掌握了余弦定理,我们就可以更好地理解和分析三角形的性质以及与之相关的几何问题。
一、什么是余弦定理余弦定理是描述任意一个三角形的边长与角度之间的关系的定理。
它可以帮助我们计算三角形的边长,以及求解其他与三角形边长和角度关系有关的问题。
余弦定理的数学表达式是:c² = a² + b² - 2ab·cos(C),其中a、b、c 表示三角形的边长,C表示夹在边a和边b之间的角。
二、余弦定理的推导为了更好地理解余弦定理,我们可以对其进行简单的推导。
首先,我们可以将任意一个三角形分解为两个直角三角形。
假设我们有一个三角形ABC,如下图所示:A/|/ |c/ |b/ |B____Ca我们可以在三角形ABC中引入一个高AD,使其垂直于边BC。
这样,我们可以将三角形ABC分为两个直角三角形ABD和ACD。
由于三角形ABD是直角三角形,我们可以利用三角函数中的正弦定理求出边BD的长度:BD = a · sin(C)同理,我们可以求出三角形ACD中高AD的长度:AD = b · sin(C)由于高AD是边c的延长线,所以AD的长度等于两个直角三角形的和,即BD + CD。
而BC的长度就是两个直角三角形的斜边AB和AC之和,即a + b。
因此,我们可以得到:c = a + b · sin(C)进一步移项,我们可以得到:c - a = b · sin(C)根据三角函数中的定义,我们可以将sin(C)转换成cos(C)的形式:sin(C) = √(1 - cos²(C))将其代入前式,再进行平方运算,即可得到余弦定理的数学表达式:c² - 2ac·cos(C) + a² = b² - 2ab·cos(C) + a² - 2ab·cos(C)·√(1 - cos²(C))通过简单的推导,我们可以得到余弦定理的具体数学表达式。
余弦定理(一)一.知识点余弦定理:形式一:(已知两边和其夹角求第三边)a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=c 2+a 2-2ca cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C .形式二:(已知三边求角)cos A =bc a c b 2222-+,cos B =ca b a c 2222-+,cos C =abc b a 2222-+ 形式二:,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=,⇔ab c b a C 2cos 222-+= 注意:利用余弦定理,我们可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角,这类问题由于三边确定,故三角也确定,解惟一(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定,因而其他两个角惟一,故解惟一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.二.例题例1:在ΔABC 中,(1) 已知b =3,c =1,A=600,求a ;(2) 已知a =4,b =5,c=6求A 。
例2:用余弦定理证明:在△ABC 中,当C ∠为锐角时,222c b a >+ ;当C ∠为钝角时,222c b a <+例3:在△ABC 中,已知sinA =2sinBcosC ,试判断△ABC 的形状变式1:△ABC 中,已知(a +b +c)(b +c -a)=3bc ,且sinA =2sinBcosC ,判断△ABC 的形状.变式2:△ABC 中,已知2a =b +c ,且sin 2A =sinBsinC ,判断△ABC 的形状.例4(余弦定理在几何中的应用)AD 是△ABC的中线,求证:AD =例3:△ABC 中,求证:cos cos cos cos B c b A C b c A-=-。
高中数学解余弦定理和正弦定理的技巧解余弦定理和正弦定理是高中数学中常见的题型,也是考试中的重点内容。
掌握解题的技巧可以帮助学生更好地理解和应用这两个定理。
本文将从具体题目出发,分析解题的方法和技巧,帮助高中学生和他们的父母更好地掌握余弦定理和正弦定理。
一、解余弦定理的技巧余弦定理的公式为:c² = a² + b² - 2abcosC,其中a、b、c为三角形的边长,C为对应的夹角。
例题1:已知三角形ABC,AB = 5,AC = 8,∠BAC = 60°,求BC的长度。
解析:根据余弦定理,我们可以得到:BC² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°。
计算得到BC² = 89,所以BC ≈ 9.43。
因此,BC的长度约为9.43。
解题技巧:1. 在使用余弦定理时,首先要明确已知条件,确定需要求解的量。
根据已知条件,确定a、b、c和对应的夹角。
2. 在计算过程中,注意角度的单位,一般使用度数制。
3. 在计算时,可以使用计算器来计算复杂的三角函数值,以提高计算的准确性和效率。
二、解正弦定理的技巧正弦定理的公式为:a/sinA = b/sinB = c/sinC,其中a、b、c为三角形的边长,A、B、C为对应的夹角。
例题2:已知三角形ABC,AB = 6,AC = 8,∠BAC = 45°,求BC的长度。
解析:根据正弦定理,我们可以得到:6/sin45° = BC/sinBAC。
由于sin45° =√2/2,所以6/(√2/2) = BC/sin45°,即12√2 = BC。
因此,BC的长度为12√2。
解题技巧:1. 在使用正弦定理时,同样要明确已知条件,确定需要求解的量。
根据已知条件,确定a、b、c和对应的夹角。
2. 在计算过程中,注意角度的单位,一般使用度数制。