从一道高考物理题谈解决问题与认知结构的构建

从一道高考物理题谈解决问题与认知结构的构建crowncheng@解决问题是如何建立认知结构的？什么是理解？什么是合情合理？为什么说解决问题的成功与否最终只是取决于学习者的背景知识？以上这些问题我们可以通过一个例子来予以说明。

下面就以一道高考物理题为例，无论你已经忘记了，或者根本没有学过高中物理，都没关系，我们在这里假设的就是从一般人的常识出发的理解，希望你能耐心地看下去，一定会有所收获。

我们就从最后面的平抛运动开始： 平抛运动可以看成是两个运动的合成，一个水平方向的运动，水平方向不受力，是匀速运动。

垂直方向受到一个恒定垂直向下的重力，是直线匀加速运动：h 是高度，g 是重力加速度，t 是时间g 是固定的，所以h 的高度就决定了t 的长短，这一点是可以理解的。

但是这个公式是怎么来的呢？ 我们从匀加速运动开始说起，匀加速运动就是运动速度越来越快，而速度的增加在单位时间内是一样的。

在下图的速度v-t 时间图上，v 的增加相对于时间来说是一条直线，t v∆∆是固定的，如图所见，这个t v ∆∆就是单位时间增加的速度，我们给它取个名字叫加速度a ，a=tv ∆∆,在数学上，直线每个点的纵坐标除以横坐标的值是固定的，设为k,即v4/t4=v3/t3=v2/t2=v1/t1=k,同样可以证明，t v ∆∆=k,v4-v3=△v,t4-t3=△t, t v ∆∆=3434t t v v --=3434t t kt kt --=k. 即a 加速度就是v-t 直线的斜率。

第二个可以推导出来的公式是，t时间的速度v和初始速度v0的关系，v=v0+△v,而△v=a 乘以△t，因此v=v0+a△t.那么，我们来看一看在t时间内，匀加速直线运动的位移s是多少呢？这里就要用到微分法，参见下图：可见，t时间的s实际上就是图中梯形的面积，梯形的面积公式大家都知道了吧，S=(v0+v0+at)t/2=v0t+1/2at2如果初始速度v0是0的话，s=1/2 at2而对于垂直向下的落体运动的话，初始速度就是0，而加速度是固定的，是重力加速度g，因此公式就变为s=1/2g t2,s在落体运动中也可写为高度h，最后公式就是最一开始的在题目中，h是已知的，所以t就可以算出来是一个固定的数值，不好写，这儿就不算了。

在这个t时间时，赛车正好落到地面，而它到底平抛出去多远呢？那要取决于赛车开始平抛时的水平速度，我们需要的是水平速度恰好满足于在t时间时的位移为壕沟的距离S，即水平速度乘以时间t=S。

下面是另一个关键的地方，我们知道赛车在进入圆轨道时要有一定的速度，否则就冲不过圆轨道，速度太大了也是浪费，到后面可能使赛车平抛的太远，我们至少要保证赛车能顺利地完成圆轨道，进入后面的水平赛道。

有人说最高点还需要速度吗，不能为0吗？实际上是不能为0的？因为如果为0的话，需要的向心力就为0了？那么重力就不再提供作为圆周运动的向心力，而是发挥重力本身的作用，让赛车垂直下落了？有点难懂喔。

首先我们解释第一个需要理解的地方，为什么最高处的速度为0的话，向心力就为0.这要从向心力的公式说起我们假设一个物体做匀速圆周运动：例如在一个以同样大小速度旋转的转盘上放着一个木块，假设旋转速度适当，木块没有发生位移。

首先我们要认识到尽管木块的速度大小没有发生变化，但是方向无时无刻不在变化，每一时刻的速度方向都是圆的切线方向，我们知道加速度的定义是反映速度变化，既然速度发生了变化，就一定存在加速度，那么什么样的加速度才能不改变速度的大小，而只改变它的方向呢？这个加速度一定是与速度方向垂直的，只有这样，在速度的方向上才没有分量，才不至于改变速度的大小，这里要用到向量的知识，不再补充了，大部分人都是懂得的，如下图：因为v是沿着圆的切线方向，加速度的方向就必然是指向圆心的，因此称之为向心加速度。

既然有加速度的存在，根据牛顿第二定律，这个加速度不会无缘无故地出现，必然是在这个方向上有指向圆心的力存在，这就是向心力。

下面我们要涉及到向心加速度应该如何计算它的大小，只有大小合适才能使速度方向的改变恰好到位，形成一个圆形的运动，太小肯定不行，小到0，速度就不变，太大了，圆形就不成立了。

圆周运动向心加速度的推导1、作图分析： 如图所示，在0t、t 时刻的速度位臵为：2、推导过程：第一，几何上我们知道，弧长等于半径乘以圆心角（弧度制）； 这里我们要介绍一下弧长是什么，就是圆的周长上的一段，它对应一个圆心角，圆心角越大，弧长越长，圆心角如果是360度，弧长就是周长R π2了。

那么计算弧长的公式可以写成： 弧长=R π2/360 x 圆心角注意这里的圆心角是按照一般的角度单位计算的，如果我们把π2/360定义为一个弧度的话，那么圆心角360度就是π2个弧度，180度就是π个弧度，60度就是π/3个弧度，这就是圆心角的弧度制。

因此按照弧度制来重新写上面的弧长公式： 弧长=R 乘以圆心角（弧度制）V0、Vt 和v ∆可以组成一个三角形，从微积分（t 的时间无限小，三角形和扇形的区别无限小了）的观点它也可以看作是个扇形，设V0和Vt 夹角为θ∆（弧度制）则有：θθ∆=∆≈∆t v v v 0第二，根据加速度的定义：tv a ∆∆=则有：tv t v a n ∆∆=∆∆=θ0第三，根据圆周运动的相关关系知：Rv t =∆∆=θωω是角速度，V 是线速度，那么角速度和线速度是什么关系呢？我们以转一圈为例，角速度就是圆心角（弧度制）除以转一圈所需要的时间T ，即ω=2π/T ， 而线速度呢就是转一圈T 这么长时间走了一个周长，所以v=2πr/T ，结合角速度的公式可见v=ωr,也即：Rv t =∆∆=θω是故，圆周运动的向心加速度为：Rv a n 2=第四，圆周运动的向心力的大小为（牛顿第二定律）：Rv mm a F n 2==这样，我们就解决了圆周运动时向心加速度和向心力的计算公式。

下面我们来看一看，题目中赛车在圆轨道的顶点的受力，重力是一定的，如果赛车速度过快的话，赛车肯定会挤压轨道，根据牛顿第三定律（作用力与反作用力），轨道也会给赛车一个向下的弹力，所谓的向心力就是这两个力的合力（假定轨道没有摩擦力），注意没有单独的向心力，向心力只是我们分析需要这么一个只改变速度防线，不改变速度大小的合力，具体是由哪些力合而为之，还要具体分析。

根据上面的向心力公式，在半径确定的情况下，向心力的大小与线速度成正比，我们要寻找的是赛车在最高点的最小速度，那么向心力应该是最小的，重力是无法改变的，所以最小的向心力应该等于重力。

于是，我们就确定了赛车在最高点的最小速度，下面我们要根据这个最小速度确定赛车在圆轨道最低点的速度，这就要用到能量守恒定律。

在这个例子中，涉及到两种能量，动能和势能，动能就是物体运动以及势能，我们这里涉及的显然是位臵变化引起的势能变化。

由于能量守恒，所以由最高点的动能+势能=最低点的动能。

这样我们就知道了进入圆轨道的最小速度至少是4m/s才能保证赛车在圆轨道的最高点不落下来，顺利完成圆周运动，可以看出这个圆周运动不是匀速的，即速度发生了变化，而且可以发现最低点的速度，这可以拿来当做一个相对固定的知识，因为只与半径大小有关，很多题目中都会用到。

最高点的最小速度，根据公式得到。

再回到上面的问题，之所以是这个圆周运动的速度大小也发生变化，可以看下图：在图中的A点，重力加速度总是垂直向下的，因此与A点的切向速度就不是垂直关系了，它可以分成两个相互垂直的加速度，一个就是指向圆心的向心加速度，根据数学关系，一定比重力加速度小，根据向心加速度和线速度的关系，可见这儿的速度应该比最高点的速度小，但是从另一个观点看，从轨道的高处往下速度应该是越来越大，这是常识，实际情况是常识是正确的，因为我们忽视了另外一个指向圆心的力，轨道对赛车的弹性力。

根据能量守恒定律也可以判断出，从最高点到A点，势能减少，一部分势能将转化为动能，所以速度是越来越快的，所以在这个例子中，应该是持有这样的观点，当最高点的速度决定下来之后，能量守恒就决定了圆周上其他各点的线速度，每个点的线速度大小就决定了这个点的向心加速度和向心力的大小，通过向心力的大小，我们再去分析赛车的具体受力情况以满足这个向心力，注意向心力不是真正的力，而是圆周运动需要满足的力。

重力加速度在切线方向还有另一个分量，这就是切向加速度，它与线速度的方向是一致的，因此改变了线速度的大小（增大线速度）。

下面回到这个题目，我们已经知道进入轨道的赛车速度V3是4m/s,那么赛车在绕圆轨道一圈之后，从圆轨道出去时的速度是多少呢？按照能量守恒，同样是4m/s.那么这个4m/s，是怎么在后面的一段路变成了开始平抛运动时的3m/s呢?这是因为这一段后面的路程，赛车在水平方向上只有一个摩擦力，与赛车的运动方向相反，产生相反的加速度，因此赛车是做的匀减速直线运动，如果后面这段路太长，赛车就可能停下来了，所以这段路的长度实际上是确定的（在摩擦力0.3N确定，初始速度4m/s，终末速度3m/s），见下图实际上就是求图中的梯形面积公式，上底、下底都知道了，只要高（图中的时间ｔ）确定了，就OK了。

T的长短主要取决于斜边从4 m/s下降到3m/s的快慢，下降的越快，t就越短，斜边就越陡，用数学术语说就是斜率越大，在v-t图像上，这个斜率就是加速度a呀，不懂的可以复习一下前面，那么这个斜率a是多少呢？根据牛顿第二定律f=ma,可以计算，赛车受到的合力只有一个摩擦力0.3N,m是赛车的质量0.1KG，因此a=3,vt=v0+at3=4-3t,注意这里的a是负的，因为摩擦力与运动方向是相反的T=1/3秒S=梯形面积=（4+3）×1/3×1/2=7/6米这只是题目中隐含的条件，关键之处是从圆轨道出来的速度要大于平抛运动开始的速度，否则就不成立了。

好，下面的工作是要解释需要通电多长时间，所做的功能够满足后面到达最低点的速度为4m/s?这里再次需要用到能量守恒定律。

Pt就是电动机所做的功能其中一部分消耗在摩擦力所做的负功剩下来的就是赛车所具有的动能1.5t=0.8+3T=3.8/1.5=2.53s以上总结如下从上面这个例子的解题过程中，我们可以发现在这一个实例中，我们运用到牛顿第一定律，第二定律，牛顿第三定律，匀加速运动，匀速运动，平抛运动，圆周运动，能量守恒定律，向心力，向心加速度，切向加速度、弧度、弧长、圆心角、角速度，线速度，微积分，梯形公式、斜率、势能、动能、向量，功率、功等等知识，每一个知识都是有目的的，都是为了更好地理解其他知识，最终达到理解整个过程，保证每一个过程都合情合理，所有的知识就是这样组织在一起，为了最终的目的而处于认知结构中等的不同位置，构建了一个有意义的认知结构。