万有引力精讲
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第4讲 万有引力定律及其应用概论页数:8
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作业+讲义 第4讲 万有引力页数:10
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第04讲 万有引力与宇宙航行(精练)页数:32
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万有引力定律及应用页数:21
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万有引力推导过程详解页数:2
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课时作业2：第4讲 万有引力定律及应用页数:9
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(完整版)万有引力知识点详细归纳
第五章：万有引力定律 人造地球卫星『夯实基础知识』1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续20年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。
第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上； 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等； 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．即k T r =23开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。
2．万有引力定律及其应用(1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。
2r MmGF =（1687年） 2211/1067.6kg m NG ⋅⨯=-叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相距1m 时的相互作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。
万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤 实验原理是力矩平衡。
实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。
万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物体m ，有2EE R m m G mg =（式中R E 为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到G gR m EE 2=。
(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r 是两球心间的距离．当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出F 近为无穷大。
万有引力定律完美版课件
07
总结与展望
Chapter
课件内容回顾与总结
万有引力定律的表述和数学公式
01
详细阐述了万有引力定律的定义、公式和适用范围，使学生全
面理解该定律。
引力常量的测定及意义
02
介绍了引力常量的历史背景、测定方法和在科学研究中的重要
性，加深了学生对引力常量的认识。
万有引力定律在天体运动中的应用
03
通过实例分析了万有引力定律在天体对万有引力定律的验 证不仅加深了我们对宇宙的认识和理解， 同时也为未来的空间探测和科学研究提 供了重要的理论支持和技术手段。
广义相对论对万有引力定律修正与发展
广义相对论简介
广义相对论是爱因斯坦在1915年提出 的一种描述引力的理论，它认为引力是 由物质和能量在时空中弯曲而产生的几 何效应。这一理论对万有引力定律进行 了修正和发展，为我们提供了更深刻、 更全面的引力理论。
了学生运用该定律解决实际问题的能力。
万有引力定律在科学和技术中重要性
天文学领域
万有引力定律为天文学提供了基础理论支持，是研究天体运动和 宇宙演化的关键。
航天工程领域
万有引力定律是航天工程设计和实施的重要依据，如卫星轨道计 算、太空探测等。
其他领域
万有引力定律还对地理学、地质学等其他领域产生了深远影响， 推动了相关学科的发展。
公式
F=G(m1m2)/r^2，其中F为两物体之
间的引力，m1和m2分别为两物体的
质量，r为两物体之间的距离，G为万
有引力常数。
科学家牛顿与万有引力定律
牛顿的生平与成就 牛顿是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，他在物 理学领域取得了举世瞩目的成就，其中最为著名的就是万 有引力定律。
高中物理重点难点精讲：6.万有引力定律
一.万有引力定律自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这个物质的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比，这个规律叫做万有引力定律，数学表达式是：221r m m G F 。
万有引力定律虽然是利用开普勒定律和牛顿运动定律推导出来的，但它是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物质之间的相互吸引力，不论这两个物体是相对运动的还是相对静止的，也不论其中的物质与其他的物质是否存在另一种性质的力；万有引力是一种不同于其他性质的力，它区别于弹力，电磁力等性质的力。
由万有引力定律的表达式可以看出，影响引力大小的是两个物体质量的乘积，而不是孤立的某一个物质的质量。
万有引力同其他性质的力一样具有相互性，即两个物体都要受到大小相等，方向相反的引力作用；严格来讲，万有引力公式只适用于两个质点间的相互作用，但当两物体的距离远大于物体本身大小时，公式也近似适用，公式中的r 为两物体质心之间的距离。
【难点突破】：重力的定义是由于地球的吸引而使物体受到的力，由此可以知道，重力并不等于万有引力。
但它们之间有什么关系呢？由于地球的自转，地面上的所有物体跟随地球一起做匀速圆周运动，其旋转中心是地轴上的某点O ′，如图所示。
旋转时所需的向心力是万有引力在旋转面内的一个分力F ′，F ′=mω2r cos θ，式中m 为地面上某物体的质，ω为地球的自转角速度，r 是地球半径，θ为物体所处的纬度。
万有引力221rm m G F ，式中M 为地球质量。
重力G 应该是万有引力F 的另一个分力，方向并不指向地心，由于F ′很小，所以G 的数值非常接近F 的数值，在粗略计算时可以不作区别。
物体一旦离开地球表面而绕着地心做匀速圆周运动时， 地球的自转是不影响物体的受力情况的。
此时的重力就是万有引力。
【例题】地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，经估算，地核的平均密度为_____kg/m 3。
(结果取两位有效数字，R 3=6.14×103 km ，G =6.7×10-11N·m 2/kg 2) (2000年，北京)【分析】【题解】【答案】【例题】某物体在地面上受到的重力为160 N ，将它放入卫星中，在卫星以加速度a =21g 随火箭向上加速上升过程中，卫星中的支持面对物体的弹力为90N ，求此时火箭距地面的高度？（地球半径R =6.4×103km ，g =10m/s 2）【分析】【题解】【答案】二.万有引力定律的应用万有引力定律在天文学上的应用主要有两条：一是对天体质量、密度进行估算。
万有引力定律精品课件完整版精品课件
万有引力定律精品课件完整版精品课件一、教学内容本节课我们将学习普通高中物理必修2第三章《万有引力定律》的相关内容。
具体涉及教材第三章第1节至第3节，详细内容包括万有引力定律的发现历程、定律表述及公式推导、万有引力常量的测定以及万有引力定律在天文学上的应用等。
二、教学目标1. 让学生了解万有引力定律的发现过程，理解万有引力定律的基本原理。
2. 掌握万有引力定律的数学表达式，能运用其解决实际问题。
3. 了解万有引力常量的测定方法，理解其物理意义。
三、教学难点与重点重点：万有引力定律的发现过程、数学表达式、应用。
难点：万有引力定律的公式推导，万有引力常量的测定。
四、教具与学具准备1. 教具：地球仪、天平、计算器、PPT课件。
2. 学具：笔记本、教材、计算器。
五、教学过程1. 引入新课：通过展示地球与月球相互吸引的动画，让学生初步认识万有引力现象，激发学习兴趣。
2. 讲解万有引力定律的发现历程：以牛顿的苹果故事为切入点，介绍万有引力定律的发现过程。
3. 讲解万有引力定律的数学表达式：通过PPT展示公式推导过程，引导学生理解万有引力定律的基本原理。
4. 实践情景引入：设置地球与月球之间的万有引力问题，让学生运用公式计算。
5. 例题讲解：讲解地球与月球之间的万有引力计算方法，引导学生掌握如何运用公式解决实际问题。
6. 随堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 讲解万有引力常量的测定：介绍卡文迪许实验，解释万有引力常量的物理意义。
六、板书设计1. 万有引力定律的发现历程2. 万有引力定律的数学表达式3. 万有引力常量的测定方法4. 应用举例七、作业设计1. 作业题目：（1）根据万有引力定律，计算地球与月球之间的引力。
（2）已知地球半径、地球质量，计算地球表面的重力加速度。
2. 答案：（1）F = G Mm Me / r^2（2）g = G Me / R^2八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过生动的实例引入，激发了学生的学习兴趣，讲解了万有引力定律的基本原理和数学表达式，使学生对万有引力定律有了较为深刻的认识。
万有引力定律及其应用 (核心考点精讲精练)(教师版) 备战2025年高考物理一轮复习(新高考通用)
考点19 万有引力定律及其应用1. 高考真题考点分布题型考点考查考题统计选择题开普勒三定律2024年山东卷选择题估算天体质量和密度2024年海南卷、辽宁卷2. 命题规律及备考策略【命题规律】高考对万有引力定律应用的考查各地几乎每年都考，大多以选择题的形式考查，最近几年对这部分内容考查的难度不大。
【备考策略】1.掌握开普勒定律和万有引力定律。
2.能够应用万有引力定律估算天体的质量密度。
【命题预测】重点关注利用万有引力定律估算天体质量和密度。
一、开普勒行星运动定律内容图示或公式在 它与太阳的连线在相等的时间内所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。
2．表达式F ＝Gm 1m 2r 2，G 是比例系数，叫作引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。
3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用。
当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
考点一开普勒行星运动定律特别提醒：1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2．由开普勒第二定律可得12v1·Δt·r1＝12v2·Δt·r2，解得v1v2＝r2r1，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。
3．在开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
1．2024年3月20日，我国“鹊桥二号”卫星发射成功，多次调整后进入周期为24h的环月椭圆轨道运行，并与在月球上开展探测任务的“嫦娥四号”进行通讯测试。
已知月球自转周期27.3天，下列说法正确的是（ ）A．月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的中心位置B．“鹊桥二号”在近月点和远月点的加速度大小相同C．“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度D．“鹊桥二号”与月心连线和“嫦娥四号”与月心连线在相等时间内分别扫过的面积相等【答案】C【详解】A．由开普勒第一定律可知，月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的一个焦点上，A错误；B．“鹊桥二号”在近月点距离月球最近，受到的万有引力最大，加速度最大；在远月点距离月球最远，受到的万有引力最小，加速度最小，故“鹊桥二号”在近月点和远月点的加速度大小不相同，B错误；C．“鹊桥二号”在远月点的速度小于轨道与远月点相切的卫星的线速度，轨道与远月点相切的卫星的线速度小于第一宇宙速度，故“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度，C正确；D．由开普勒第二定律可知，同一颗卫星与月球的连线在相同时间扫过的面积相等，但是“鹊桥二号”与“嫦娥四号”是两颗轨道不同的卫星，相同时间扫过的面积不相等，D错误。
万有引力知识点解析精华版
【本讲主要内容】万有引力与航天 万有引力定律及万有引力在天文学上的应用 【知识点精析】一. 万有引力定律：1. 内容：宇宙间有质量的物体之间都是相互吸引的，两个物体之间的引力大小，跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。
公式：F =G ·m 1·m 2/r 2其中G =6. 67×10－11N ·m 2/kg 2 2. 条件：适用于质点，或可视为质点的均匀球体。
二. 重力和地球的万有引力：1. 地球对其表面物体的万有引力产生两个效果：（1）物体随地球自转的向心力：F 向=m ·R ·（2π/T 0）2，很小。
由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化。
（2）重力约等于万有引力：在赤道处：mg F F +=向，所以R m RGMm F F mg 22自向ω-=-=， 因地球自转角速度很小，R m RGMm 22自ω>>，所以2R GM g =。
地球表面的物体所受到的向心力f 的大小不超过重力的0. 35%，因此在计算中可以认为万有引力和重力大小相等。
如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小，就不能再认为重力等于万有引力了。
如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了。
在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即21)('h R Gm g +=。
强调：g =G ·M /R 2不仅适用于地球表面，还适用于其它星球表面。
2. 绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力，万有引力、向心力、重力三力合一。
即：G ·M ·m /R 2=m ·a 向=mg ∴g =a 向=G ·M /R 2三. 天体运动：1. 开普勒行星运动规律：（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
高中物理万有引力专题讲解
一、引力F 与行星的质量成正比，与行星到太阳的距离成反比。
根据牛顿第三定律，行星吸引太阳的引力与太阳吸引行星的力大小相等， 2Mm F r ∝ 则2Mm F G r =自然界中任何两个物体都是相同吸引的，引力大小跟这两个物体的质量成正比，跟它们的距方成反比力常量11226.6710/G N m kg -=⨯①万有引力只适用于质点间引力大小的计算，当两物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力计算。
②当两物体是质量分布均匀的球体时，它们间的引力也可由公式直接计算，但式中的r 是两球心间的距离由于地球自转，重力为万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转的向心力。
引力常量G 的测定（1）卡文迪许扭秤装置（2）扭秤实验的原理两次放大及等效的思想。
扭秤装置把微小力转变成力矩来反映（一次放大），扭转角度通过光标的移动来反映（二次放大），从而确定物体间的万有引力。
万有引力与圆周运动：R 2m υR GM=⇒υ=2m R GM32m R GM R =⇒ωω 求天体的质量：M=334R πρρυ=GM R T R T3222m4ππ=⇒ 题型一、万有引力提供向心力［例1］探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比AA.轨道半径变小B.向心加速度变小C.线速度变小D.角速度变小 ［例2］（多选）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有ABCA.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度B.在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D 在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度［例3］（多选）宇宙飞船以周期为T 绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。
(完整word版)万有引力知识精讲
万有引力定律2007年我国“嫦娥一号”、2008年“神舟七号”、2011年“天宫一号”相继成功发射，即将发射的“神舟八号”、“神舟九号”、“神舟十号" 、“天宫二号"、“天宫三号”.宇航员翟志刚实现了中国人的第一次太空飞行．这些世人瞩目的成就使得本章内容在高考命题中的热点地位将会进一步增强．对于万有引力定律的复习，要分两条主线展开，一是万有引力等于向心力，二是重力等于向心力.考点一：开普勒运动定律开普勒运动定律定律内容图示或公式开普勒第一定律所有的行星围绕太阳运动的轨道都是 ,太阳处在所有椭圆的上开普勒第二定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 .开普勒第三定律所有行星的轨道的的三次方跟它的的二次方的比值相等23TR＝k，k是一个与行星无关的常量"与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比．地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为水星金星地球火星木星土星公转周期（年）0.2410。
6151。
01。
8811。
8629.59亿千米2。
（2011重庆)某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。
每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题21图所示。
该行星与地球的公转半径比为A．231()NN+B．23()1NN-C．321()NN+D．32()1NN-3。
（2011安徽）（1）开普勒行星运动第三定律指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即32akT=，k是一个对所有行星都相同的常量。
将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。
已知引力常量为G，太阳的质量为M太。
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。
经测定月地距离为3。
84×108m ，月球绕地球运动的周期为2。
36×106S ，试计算地球的质M 地。
万有引力知识串讲
2 借助外援法（r、T 法）--利用万有引力提供“天上卫星”向心力
通过观测“环绕天体”绕“中心天体”做匀速圆周运动的周期 T,轨道半径 r.
Mm 4π2
(1)由万有引力等于向心力,即 G ＝m r,得出中心天体质量 M＝____________．
r2
T2
(2) 若已知“中心天体”的半径 R,则“中心天体”的密度ρ＝
轨道半径
角速度
线速度
周期
向心加速度
3、同步卫星变轨问题的几个量比较
比较内容
小圆 (ω1、v1、T1、a1、E1)
椭圆上近地点 (ω2、v2、T2、a2、E21)
椭圆上远地点 (ω3、v3、T3、a3、E3)
角速度
大圆 (ω4、v4、T4、a4、E4)
线速度
第1页共2页
周期
向心加速度 机械能
三、中心天体质量和密度计算 1、自力更生法（g、R 法）--利用万有引力提供“地上物体”的重力 如何利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R 求天体质量或密度
四星系统问题
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接 于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)． ②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心 O，外围三颗星绕 O 做匀速圆周运动(如图丁所示)．
第2页共2页
相同，T=
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：
，
④两颗星到圆心的距离 r1、r2 与星体质量
，
即;Βιβλιοθήκη 三星系统问题①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为 R 的 圆形轨道上运行(如图甲所示)． ②三颗质量均为 m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)． 利用牛二定律和里的合成写出向心力表达式
《认识万有引力定律》 讲义
《认识万有引力定律》讲义一、什么是万有引力定律在我们生活的这个浩瀚宇宙中，存在着一种神秘而又无处不在的力量，它掌控着天体的运行，影响着物体的下落，这就是万有引力定律。
万有引力定律指出：任何两个物体之间都存在着相互吸引的力，这个力的大小与两个物体的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。
用公式来表示就是：F ＝ G （m1 m2) ／ r²，其中 F 表示两个物体之间的引力，G 是万有引力常量，m1 和 m2 分别是两个物体的质量，r是它们之间的距离。
为了更好地理解这个定律，我们可以想象一下日常生活中的例子。
比如，当我们把一个苹果抛向空中，它最终会落回地面，这就是地球对苹果的引力作用。
而地球围绕太阳公转，月球围绕地球转动，也是因为万有引力的存在。
二、万有引力定律的发现历程万有引力定律的发现并非一蹴而就，而是经过了多位科学家的不懈努力和探索。
早在古希腊时期，哲学家亚里士多德就对物体的下落现象进行了思考，但他的观点存在着一定的局限性。
到了 17 世纪，开普勒通过对行星运动的观测和研究，总结出了行星运动的三大定律。
他的工作为万有引力定律的发现奠定了重要的基础。
而最终发现万有引力定律的是伟大的科学家牛顿。
据说，牛顿是在看到苹果落地时受到启发，开始思考引力的本质。
经过多年的研究和计算，他成功地提出了万有引力定律。
牛顿的发现不仅解释了许多当时无法解释的自然现象，还极大地推动了天文学和物理学的发展。
三、万有引力常量的测定虽然牛顿提出了万有引力定律，但其中的万有引力常量 G 当时并不知道。
直到 1798 年，英国科学家卡文迪许通过巧妙的实验，成功地测定了万有引力常量的值。
卡文迪许的实验被称为“扭秤实验”。
他利用一个轻质的横杆，两端分别悬挂一个小铅球，横杆中间用一根细丝悬挂起来。
然后，再用两个大质量的铅球靠近小铅球，由于万有引力的作用，横杆会发生微小的扭转。
通过测量扭转的角度，结合其他已知的物理量，就可以计算出万有引力常量的值。
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万有引力定律【知识结构图示】【物理思想方法】1．观察记录寻找规律由于研究太阳系、地球和月球系统等大尺度范围内物体间的相互作用，无法直接进行测量，因此必须要根据观察到的现象入手，经过记录、分析，逐步深入，直到找到客观的规律．这个客观的规律就像一只无形的大手操纵天体间的行星按一定的规律在运动，同时能预测以后的运动，因此就有可能发射人造的天体，在天空中自由地翱翔，而不与其他的行星碰撞．因此要认真学习这种思想方法．这种思想方法的思维过程是：这种思维的方法是探测未知领域的普遍方法之一，学习时要适当地注意小结．2．构建物理模型的方法在解决物理问题时常常要构建合适的物理模型，找到解决问题的方法，在这一章的知识中，人们从一系列观察天体运动结果的基础上，首先构建的是地心学说的模型，但随着社会的进步，技术的发展，逐步认识到地心学说的模型是错误的．人们又构建了日心学说的模型来解释天体运行的结果，发现是正确的，从而确立了各行星绕太阳运动的匀速圆周运动的模型。
本章有很多的问题就是要先构建物理模型，再利用规律才能解决．太阳光从太阳射到地球的时间为8分20秒，估算太阳的质量、平均密度。
月球到地球的距离为l，估算地球的质量、地球的平均密度。
讨论人造地球卫星的速度、角速度、周期与卫星的高度之间的关系等等一系列的问题都要构建一个物体绕另一个物体做匀速圆周运动的模型．如图6—21，图6—22，图6—23所示。
因此，本节教材要认真学习构建模型的方法．例1 天体中两颗恒星的质量相差不大，相距较近时，它们绕一中心分别做匀速圆周运动，这叫做双星。
已知双星的质量分别为1m 和2m ，相距为r ，它们分别绕连线中的一点做匀速圆周运动，求它们的周期和线速度。
解析 首先建立双星系统的运动模型如图6—24所示．由转动的中心总在一直线上得到，两星的转动周期相同，角速度一样，再根据向心力由它们之间的万有引力提供，结合规律容易得到．解答 设1m 到O 的距离为x ，2m 到O 的距离为r-x ，则x T m r m m G21221)2(π= )()2(22221x r T m r m m G -=π联立二式解得21221m x , )(2m m r m m G r r T +=+=π因此速度分别为 )(22121m m r G m T x v +==π)()(22112m m r G m T x r v +=-=π点拨 要注意两个恒星的运动周期和角速度是一样的，这一点是解决问题的关键．例2 空间有一颗绕恒星运动的球形行星，此行星上一昼夜是6h ，在行星的赤道处，用弹簧测力计称量物体的重力加速度比在两极测量的读数小10%，已知万有引力恒量是2211/1067.6kg m N ⋅⨯-，求此行星的密度。
解析 要解决这一问题先要建立符合题意的模型，建立模型时可以和日—地系统的运动模型进行对比得到，如图6-25所示．答案 由题意知自转的周期为6h 。
设行星的质量为M ，半径为R ，平均密度为ρ，则ρπ334R M =．两极的重力为物体受到的万有引力2R Mm G F =，m 是一个假定的物体的质量．物体在赤道随行星自转的向心力为R T m F 2)2(π=向弹簧测力计的读数为'F 由题意得到向F F F -=' 2229.02R Mm G R T m R Mm G =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 注意到ρπ334R M = ρππρπ32232349.0234R R G R T R R G ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅代入数据得到33/1003.3m kg ⨯=ρ。
点拨 这一个问题要能和地球绕太阳运动的模型对照起来，再利用物体做匀速圆周运动的规律，解决就方便，因此要善于将已经掌握的知识应用到新的情景中去，提高能力．【走向新高考】1．历届高考试题选讲由于这一部分知识与人造地球卫星的运动相关，而探测太空又是空间科学技术发展的重要领域，因此高考中含有这一方面知识和规律的问题屡见不鲜．例1 如图6—26所示，a 、b 、c 是地球大气层外圆形轨道上的三颗卫星，a 、b 的质量相同，但小于c 的质量，则A ．b 所需的向心力最小B ．b 、c 的周期相同且大于a 的周期C ．b 、c 向心加速度大小相同且小于a 的向心加速度D ．b 、c 的线速度相同，且小于a 的线速度解析 解决这样的问题只要抓住万有引力使物体产生加速度这一关键，问题便容易了．b 、c 比较，轨道的半径一样，线速度、角速度、周期一样，b 和a 比较，根据一般的规律得到结果．解答 22R mM G R v m =R GM v = 而3R GM R v ==ω 再根据周期v R T π2=得到ABCD 正确．点拨 解决这一类问题，只要掌握卫星离开地球中心的距离大小与线速度、角速度及周期的关系，问题就容易解决了．例2 用m 表示地球的通讯卫星(同步卫星)的质量，h 表示离地面的高度，用R 表示地球的半径，g 表示地球表面的重力加速度．ω表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为A ．等于0B ．等于22)(h R g R m + C ．等于342ωg R m D ．以上结果都不正确解析 首先应理解地球同步卫星的转动角速度和地球自转的角速度相同，为ω，卫星的高度为R+h ，所以有：2)(h R mM G F +=万 而地球表面的重力加速度为2R GM g =代入前面的式子得2)(h R R mg F +=万， 根据)()(22h R m h R mM G+=+ω得到32)(h R GM +=ω考虑到2R GM g =， 运算得知2362222342)()(h R mM G h R R M GMG R m g R m +=+=ω。
答案 BC 正确。
点拨 从解决这一问题可以看出，要理解各物理量的含义，并能进行适当的代换，就容易解决问题了．2．高考试题展望例1 A ．同步通讯卫星是进行现代通讯的重要工具，我国在卫星发射方面已取得了辉煌的成就，进入了世界航天大国的行列．下面是关于同步卫星的一些问题，请回答或进行讨论．(1)同步通讯卫星的轨道有什么特点?(2)同步通讯卫星的轨道离地球表面的距离约为多大?(3)在同步的轨道上均匀分布三颗通信卫星，能否实现全球通讯，为什么?B ．发射同步卫星时，先将卫星发射到近地的圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送人同步的圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图6—27所示，当卫星在轨道1、2、3上正常运行时，(1)比较卫星在轨道1、3上运行的角速度的大小关系，并写出推理的过程．(2)比较卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度与轨道2上经过Q 点的加速度的大小关系，说明理由．解析 A ．(1)同步卫星的轨道平面必须与地球的赤道平面重合，这是同步卫星运动实现的必要条件，同步卫星发射后并不是直接进入同步轨道的，而是要先进入近地的停泊轨道再进入转移轨道，最后再经过一系列的调整进入同步轨道．同步卫星的轨道平面虽然要与地球的赤道平面重合，但发射并不一定要在赤道上发射．(2)万有引力提供向心力，可得)(4)(222h R T m h R mM G +=+⋅π 整理后得R GMT h -=3224π代入数据，解得km h 410587.3⨯=。
应该注意同步卫星的高度与同步卫星的轨道半径不同．(3)参见图6—28所示，设地球为球体，从卫星处作与地球相切的两条直线，因为同步卫星的高度不是无限大，所以这两根切线总不能通过地球南北的极点M 、N ．由此可见，不管在同步轨道上发射多少卫星，都不能覆盖全球．B ．(1)设卫星在轨道上运动的角速度为ω，由万有引力提供向心力，得22ωmR R mM G=， 得到32R GM =ω，因为轨道3的半径大于轨道1的半径，所以卫星在轨道3上运行的角速度小于它在轨道1上的角速度．(2)因为同一颗同步卫星在轨道1上经过Q 点与轨道2上经过Q 点时受到的地球的引力相等，根据牛顿第二定律得，这两个加速度大小和方向相同．点拨 解决这一个问题要建立清晰的物理模型，利用万有引力使物体完成圆周运动的规律，结合牛顿第二定律，还要根据几何关系等多个知识点的知识才能解决．在学习的过程中要训练用综合知识来解决问题的能力．例2 设地球的质量为M ，地球的半径为R ，万有引力恒量为G ．取离地球无限远重力势能为零，物体的重力势能公式为r GmME p -=(式子中，r 为质量m 的物体离开地心的距离)．(1)有一质量为m 的人造地球卫星在离地心为r 的圆轨道上运行，推导卫星具有机械能的表达式．(2)在地球的表面发射一颗人造地球卫星，如果发射的速度太大，此卫星可以上升到离地心无穷远外，这个速度称第二宇宙速度(也称为逃逸速度)，推导第二宇宙速度的表达式．(3)若已知第一宇宙速度为7.9km/s ，求第二宇宙速度．解析 这是一个给定方法，要求解决给定的问题．因此要充分利用所给的条件，结合已经掌握的知识和规律，找到方法．(1)由万有引力提供向心力得到r v m r mM G 22= r GMm mv E k 2212==r GMm r GMm r GmM E E E k p 22-=+-=+=(2)发射以后的运动机械能守恒，到离地心无穷远时，0≥E ，当地面的发射速度为v ，则应有0≥+=k p E E E ， 即0212≥-r GMm mv ， 解得r GM v 2≥。
(3)由上面的运算得到：r GM v 2≥，而在地球的表面s km R GM /9.7=。
代入上面的式子得s km s km v /2.11/19.7414.1=⨯≥．点拨 利用给定的方法来解决一些问题也是学习中的一种重要的方法，以后还会经常遇到．例如利用开普勒三定律计算卫星在近地点和远地点的速度．学习的过程中要留心总结．【单元达纲检测】1．关于地球同步通讯卫星，下列说法正确的是A ．它一定在赤道的上空运行B ．各国发射的这种卫星的轨道半径是一样的C．它运行的线速度一定小于第一宇宙速度D．它运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间2．设地面附近的重力加速度为g，地球的半径为R，人造地球卫星圆形运行轨道的半径为r，那么下列说法正确的是A．卫星在轨道上的向心加速度大小为22 r gRB．卫星在轨道上的速度大小为rg R2C．卫星运行的角速度大小为32 r gRD．卫星运行的周期为23 2gRr π3．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其半径为R，线速度为v，周期为T，若要使卫星的周期变为2T,可能的办法是A．R不变，使线速度变为2 vB．v不变，使轨道的半径变为2RC．轨道的半径变为R 34D．无法实现4．两颗靠得较近的天体叫双星，它们以两者重心连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，因而不会因为引力的作用而吸引在一起，以下关于双星说法中正确的是A．它们做圆周运动的角速度与其质量成反比B．它们做圆周运动的线速度与其质量成反比C．它们所受向心力与其质量成反比D．它们做圆周运动的半径与其质量成反比5．已知火星半径是地球半径的21，火星质量为地球质量的91．若一物体在地球表面所受的重力比它在火星表面所受的重力大49N，则这个物体的质量是_____kg.(2/8.9smg=)6．某行星表面附近有一颗卫星，其轨道的半径可以认为近似等于该行星的球体半径．已测出此卫星运行的周期为80min，已知万有引力的恒量为2211/1067.6kgmN⋅⨯-，根据以上信息求出该行星的平均密度为__________.(取两位有效数字)7．在天体演变的过程中，红色巨星发生“超新星爆炸”后，可以形成中子星(电子被迫与原子核中的质子相结合而形成中子)，中子星具有极高的密度．(1)若已知中子星的密度是317/10mkg，该中子星的卫星绕它做圆轨道运动，求该中子星的卫星运行的最小周期．(2)中子星也在绕自转轴自转，若中子星的自转角速度6.28x30r／s，为了使中子星不因自转而被瓦解，密度至少应为多少?(假设中子星是通过中子间的万有引力结合成球形星体，引力常量为2211/1067.6kgmN⋅⨯-)8．2001年3月俄罗斯“和平号”空间站坠落在南太平洋．“和平号”空间站正常运行时距地面的高度约为350km，为了保证安全坠落，控制中心对空间站的运行作了精心的安排和控制，在坠落前，空间站已经顺利地进入了低空轨道，此时距地面的高度为240km，在“和平号”空间站沿指定低空轨道运行时，其轨道的高度平均每昼夜降低2．7km．设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350km的圆形轨道运行，在坠落前沿高度240km的指定低空轨道运行，而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，计算时对空间站每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理．(1)简要说明，为什么空间站沿圆轨道运行的过程中，运动的速度不变?(2)空间站沿正常的轨道运行时的加速度与在低空轨道运行时的加速度大小之比是多少?计算的结果保留2位有效数字．(3)空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站的高度平均变化多大?(地球的半径取6400km，计算的结果保留1位有效数字)9．我国成功地发射、回收“神州号”系列宇宙飞船，表明我国载人航天技术有了重大突破．(1)如果飞船在轨道上做的是匀速圆周运动，运行的速度应满足( )A．v<7.9km／s B．v=7.9km／sC．7.9km／s<v<11.2km／s D．v=11.2km／s(2)返回地球时，为了保护返回舱内的仪器不受损坏，在离地面为4km时放出降落伞进行减速(已知此时返回舱速度的大小为200m／s，方向竖直向下)，为了最安全着落，放出降落伞返回舱的加速度至少应该是多大?(假设放出降落伞后返回舱做匀变速运动)参考答案【单元达纲检测】1．ABC 点拨：同步卫星的角速度与地球自转的角速度一样，高度惟一．2．ABCD 点拨：卫星的向心力由万有引力提供．3．C 点拨：根据向心加速度的不同的表达式．4．BD 点拨：双星运动的角速度和周期一样．5．9kg 点拨：求出地球和火星表面的加速度．6．33/101.6mkg⨯点拨：建立卫星绕行星运动的模型，进行物理量之间的代换。