汽车振动分析习题二

结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。

它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。

课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。

以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。

系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。

习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。

特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。

习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。

结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。

冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。

习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。

一、选择题1．如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆。

当a 摆振动的时候，其余各摆在a 摆的驱动下也逐步振动起来，不计空气阻力，达到稳定时，b 摆的振动图像如图乙。

下列说法正确的是（ ）A ．稳定时b 摆的振幅最大B ．稳定时b 摆的周期最大C ．由图乙可以估算出b 摆的摆长D ．由图乙可以估算出c 摆的摆长D 解析：DA ．a 与c 的摆长接近，它们的固有频率接近，在a 摆的驱动下，稳定时c 摆的振幅最大，所以A 错误；B ．bc 摆是在a 摆的驱动下振动起来的，则b 的周期等于外力周期，稳定时abc 摆的周期都相同，所以B 错误； CD ．根据单摆的周期公式2l T g=解得224T gl π= 由图像可得a 摆周期，则可以算出a 摆的摆长，估算出c 摆的摆长，所以C 错误；D 正确； 故选D 。

2．下列说法中 不正确 的是( )A ．将单摆从地球赤道移到南(北)极,振动频率将变大B ．将单摆从地面移至距地面高度为地球半径的高度时,则其振动周期将变到原来的2倍C ．将单摆移至绕地球运转的人造卫星中,其振动频率将不变D ．在摆角很小的情况下,将单摆的振幅增大或减小,单摆的振动周期保持不变C 解析：CA 、将单摆从地球赤道移到南（北）极，重力加速度增加，根据2LT gπ=，振动的周期变小，故振动频率将变大，故A 正确；B 、重力等于万有引力，故：2Mm mg Gr =，解得：2GMg r =，将单摆从地面移至距地面高度为地球半径的高度时，r 增加为2倍，故g 减小为14；根据2T π=2倍，故B 正确； C 、将单摆移至绕地球运转的人造卫星中，处于完全失重状态，不能工作，故C 错误；D 、根据2T =，振动的周期与振幅无关；在摆角很小的情况下，将单摆的振幅增大或减小，单摆的振动周期保持不变，故D 正确． 【点睛】本题关键是根据单摆的周期公2T =和重力加速度公式2GM g r =分析，注意周期与振幅无关．3．关于简谐运动，下列说法正确的是（ ）A ．做简谐运动物体所受的回复力方向不变，始终指向平衡位置B ．在恒力的作用下，物体可能做简谐运动C ．做简谐运动物体速度越来越大时，加速度一定越来越小D ．做简谐运动物体的加速度方向始终与速度方向相反C 解析：CA ．回复力是使做简谐运动的物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力，所以物体在远离和靠近平衡位置时的方向不同，A 错误；B ．物体做简谐运动中回复力满足F x κ=-即回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以在恒力的作用下，物体不可能做简谐运动，B 错误；C ．做简谐运动物体速度越来越大，说明物体向着平衡位置运动，物体受回复力越来越小，加速度一定越来越小，C 正确；D ．做简谐运动物体的加速度方向始终指向平衡位置，速度方向与物体运动方向相同，物体做简谐运动过程中，加速度方向和速度方向有时相同，有时相反，D 错误。

名词解释1．制动效能制动效能即制动距离和制动减速度。

(或指汽车迅速降低车速直至停车的能力2．汽车的平顺性保持汽车在行驶过程中乘员所处的振动环境具有一定舒适程度和保持货物完好的性能。

3．纵向附着系数地面对轮胎切向反作用力的极限值（最大值）即为附着力与FZ —地面作用在车轮上的法向反力的比例系数Z X F F max ＝ϕ即附着系数， ϕ与路面和轮胎都有关。

4． 滑转:作用在驱动轮上的转矩t T 引起的地面对轮胎切向反作用力大于其极限值时（即为附着力）驱动轮发生打滑的现象。

5、滚动阻力系数；车轮在一定条件下滚动时所需之推力1P F 与车轮负荷W 之比。

6、侧偏力 ；地面作用于车轮的侧向反作用力。

Y F7．发动机外特性曲线：发动机的转速特性，即P e 、T tq 、b=f （n ）关系曲线。

在发动机节气们全开（或高压油泵在最大供油量位置）时，该转速特性曲线称为发动机外特性曲线。

8．汽车的行驶平顺性；保持汽车在行驶过程中乘员所处的振动环境具有一定舒适程度和保持货物完好的性能。

9．挂钩牵引力； 车辆的土壤推力FX 与土壤阻力 F r 之差，称为挂钩牵引力。

10．回正力矩；轮胎发生侧偏时，会产生作用于轮胎绕OZ 轴的力矩，该力矩称为回正力矩。

11．传动效率：P in —输入传动系的功率；P T －传动系损失的功率12．汽车通过性 ；汽车的通过性（越野性）是指它能以足够高的平均车速通过各种坏路和无路地带（如松软地面、凹凸不平地面等）及各种障碍（如陡坡、侧坡、壕沟、台阶、灌木丛、水障等）的能力。

13．制动效能的恒定性；制动效能的恒定性即抗热衰退性能。

制动器温度上升后，制动器产生的摩擦力矩常会有显著下降，这种现象称为制动器的热衰退。

14．汽车的操纵稳定性；汽车的操纵稳定性是指在驾驶者不感到过分紧张、疲r dF F F X -=WF f 1p =劳的情况下，汽车能遵循驾驶者通过转向系统及转向车轮给定的方向行驶，且当遭遇外界干扰时，汽车能抵抗干扰而保持稳定行驶的能力。

1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。

1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?1.3 设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —1.3所示，试证明：1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2)它们串联时的总刚度eq k 满足：21111k k k eq +=解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为：1122P k xP k x=⎧⎨=⎩由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+故等效刚度为：12eq Pk k k x ==+2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 1122Px k Px k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，弹簧的总变形为：121211()x x x P k k =+=+故等效刚度为：122112111eq k k P k x k k k k ===++1.4 求图所示扭转系统的总刚度。

两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。

解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 1122t t Tk T k θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩系统的总转角为：121211()t t T k k θθθ=+=+，12111()eq t t k T k k θ==+故等效刚度为：12111eq t t k k k =+1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c1)在两只减振器并联时，2)在两只减振器串联时。

解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为：1122P c x P c x =⎧⎨=⎩&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+&故等效刚度为：12eq P c c c x ==+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 1122P x c P x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩&&，系统的总速度为：121211()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：1211eq P c x c c ==+&1.6 一简谐运动，振幅为0.5cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。

1、 方波振动信号的谐波分析，00,02(),2T x t x t T x t T⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩。

绘制频谱图。

解：()x t 的数学表达式可写为： 计算三要素：()a n =0202()()sin 22Tn t b n x t dt T T π⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎰=20042sin Tn t x dt T T π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰=0222cos T n t n T ππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()021cos ,1,2,x n n n ππ-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦ =4,1,3,5x n nπ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 01()cos sin 222n n n a n t n t X t a b T T ππ∞=⎛⎫ ⎪∴=++ ⎪ ⎪⎝⎭∑=12sin n n n t b T π∞=∑=0142sin n x n t nT ππ∞=∑,n=1,3,5, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，02T t <<或2Tt T <<振幅频谱图4,1,3,5n n x A b n nπ===⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()⎩⎨⎧≤≤-≤≤-=02/2/00t T T t x x t x相位频谱图1tan 0,1,3,5nn n a n b φ-⎛⎫===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎝⎭2、 求周期性矩形脉冲波的复数形式的傅立叶级数，绘频谱图。

解： 数学表达式：计算三要素：傅立叶级数复数形式：频谱图0000,0sin ,0,n x t n TA x n t n n n T ππ⎧=⎪⎪=⎨⎪≠-∞<<∞⎪⎩()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤--≤≤-=220222200000T t t t t t x t t T t x 偶函数 T x t a 0002=2sin 2010tn n x a n ωπ⋅=0=n b 2sin 22010tn n x a ib a X n n nn ωπ⋅==-=()2sin 1101012/2/02/2/102/2/02/2/010********t n n x tin e e T x t in e T x dt e x T dt e t x T X t in t in t t t in t in t t tin T T n ωπωωωωωωω⋅=--⋅=-⋅=⋅⋅=⋅⋅=-------⎰⎰T t x t n n x X n 00010002sinlim =⋅=→ωπ()∑∑∞-∞=∞-∞===n tin n t in n e n t n x e X t x 112sin 010ωωωπ2.1解：（1）能量法222341222111()()222e a a k x k x k x a a += 2232122244e a a k k k a a ∴=+（2）能量法222 (1214)111222e a m x m x m x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭212124e a m m m a ∴=+（3）固有频率222132224211e e k a k a k p m a m a m +==+2.3解：平衡位置系统受力如图 则122,2F G F G == 弹簧1k 变形112G x k =，弹簧变形222Gx k =，且m 静位移1222x x x =+ 12124422e G G Gx x x k k k ∴==+=+ ()1212,4e e k k k m m k k ∴==+∴固有圆频率()121212e e k k k p m k k m==+2.5解对数衰减率：111110ln ln 0.06920 2.5j A j A δ+=== 相对阻尼系数：22110.01122110.069ζππδ===⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭衰减系数：9.80.0110.3140.012n k g n ms ζωζζ===== 阻尼系数：220.3149 5.652(/)c nm N s m ==⨯⨯= 临界阻尼： 5.652513.8(/)0.011c cc N s m ζ=== 2.7解受力分析如图-xs ’)单自由度振动系统振动微分方程()2022s sn n n smx c x x kx mx cx kx cx x x x x ζωωζω+-+=∴++=∴++=设iwtcs x e =，则()c cs x H x ω=22222()212n n n i iH i iζωωζλωωωζωωλζλ∴==-+-+()H ω=，相位差角：122tan ()12ζλπϕλ-=--()()()()()i iwt i wt s x t H x t H e ae ϕϕωω--===()0sin )s x a t x t t ωωϕ=∴=-Xa =其中，n ωλω==ζ= 2.8 解：1、 系统的振动微分方程为：0=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++•••s x x k kx x c x m即：s kx kx x c x m =++2激励函数为：()T t t Tdk kx s ≤≤=0 傅立叶级数三要素：kd tdt T dk T a T ==⎰002()0cos 20=⋅=⎰dt nwt t T dk T a T n()πn kd dt nwt t T d k T b T n -=⋅=⎰sin 20所以，激励函数的前四项为：()()()∑=⋅+⋅+=41sin cos 2n n n s t n b t n a a kx ωω)4sin 413sin 312sin 21(sin 2wt wt wt wt d k d k+++-=π 系统稳态响应的前三项为：])6()91(3)3sin()4()41(2)2sin()2()1()sin([24)2()1(2)sin(4222322222221312222ζλλψζλλψζλλψπλζλψ+--++--++---=+--+=∑=wt wt wt dd n n k nwt b d x n n n 其中3,2,1,12arctan22=-=n n n n λλζψ2.9 解：运用杜哈美积分法())]03.0sin()02.0(sin(50)03.0cos()02.0cos(5.0[)03.0sin()03.0(sin )(1)03.0sin(03.0)];01.0sin(50)01.0cos(5.0[)01.0sin()01.0(sin )50(1)01.0sin(01.0);01.00(50)(;)(sin )(1sin )(sin )(1sin )/(cos 20001.0020001.00000000000.0p p p p p mpF p p d p f mp p p x s t p p p mp F p pd p F F mpp px s t t t F F t f d t p f mppt p d t p f mp pt p x pt x t t t ---+=-+==+-+=--+==≤≤-=-+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰⎰υτττυυτττυτττυτττχ时，当时，当4.1解直接法()11121221111221222213222212320()0()0()0m x k k x k x m x k x k x x m x k x x k x m x k x k k x ++-=⎧+--=⎧⎪⇒⎨⎨+-+=-++=⎪⎩⎩122111223222000k k k m x x k k k m x x +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中，122223k k k K k k k +-⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦拉格朗日法系统为无阻尼自由振动系统，拉格朗日方程形式为：0ii id TT Udt q q q δδδδδδ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 广义坐标为：12,x x2211221122T m x m x =+ 0,1,2iTi x δδ== 111111,T d T m x m x x dt x δδδδ⎛⎫== ⎪⎝⎭222222,T d T m x m x x dt x δδδδ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2221122132111222U k x k x x k x =+-+ 112212213212(),()U U k x k x x k x x k x x x δδδδ=--=-+ ∴()11121221111221222213222212320()0()0()0m x k k x k x m x k x k x x m x k x x k x m x k x k k x ++-=⎧+--=⎧⎪⇒⎨⎨+-+=-++=⎪⎩⎩影响系数法令121,0x x ==11112112k k x k x k k =+=+ 2112212k k k x k ==-=-令120,1x x ==22223223k k x k x k k =+=+122223k k k K k k k +-⎡⎤∴=⎢⎥-+⎣⎦4.2解：直接法∴111213311113112332212123222111222333232331333122233()()0()0()()0()0()()0()0J k r k r J k r k r k r k r J k r k r J k r k r k r k r J k r k r J k r k r k r k r θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧⎧----=++--=⎪⎪+---=⇒-++-=⎨⎨⎪⎪+-+-=--++=⎩⎩ ∴12300100000100001J M J J J ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦131311223223211121112k r k rk r k r K k rk r k r k r kr k rk rk r k r +----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+--⎣⎦⎣⎦4.3解a，1234mmMmm⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1222233334444k k kk k k kKk k k kk k+-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦b，1234mmMmm⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，222233334444k kk k k kKk k k kk k-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦c，1234mmMmm⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12222333344443k k kk k k kKk k k kk k k+-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦4.4解：质心位于距左端34l处0324l m xdx mllx lm⎛⎫+⎪==⎪⎪⎝⎭⎰令1,0xθ==11211223442 k kx kx kl kl k k kx kx l=+===-=-令0x=，1θ=22233544448l l k k k l l kl θθ=+= ∴刚度矩阵为，222528kl kK kl kl ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦令1,0x θ==1122m mx m ∴==21120m m ==令0,1x θ==222524m I ml θ==，3222445()424ll m l I x dx m ml l -=+=⎰∴质量矩阵为，2205024mM ml ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦22202205502428kl mk x x klml kl θθ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥∴+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦特征矩阵为，22222222552824n n nkl k m H K M kl kl ml ωωω⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦将20n H K M ω=-=整理为，22422221440335n n m ll km k l ωω-+=求得特征值为，2120.735k k m m ω⎛=≈ ⎝，222 3.265k k mm ω⎛=+≈ ⎝ 2n H K M ω=-的伴随阵，2222558242222n n kl kl ml adjH kl k m ωω⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦将22120.735, 3.265k km mωω==代入 得对应特征向量，1211,1.0599.06A A l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则主振型矩阵为，111.0599.06A l l ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦模态质量矩阵为21111201.0599.06 1.0599.065024TT P mM A MA ml l l l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2.2340019.1mm ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦模态刚度矩阵为21111221.0599.06 1.0599.06528TT P kl k K A KA kl kl l l l l ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦1.6420062.362kk ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦归一化因子为，i α==∴归一化因子方阵，0.669000.229R ⎤=⎥⎦ ∴正则振型矩阵为，110.6690.2290.66901.0599.060.708 2.07500.229N A AR ll l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥===--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦正则模态质量矩阵为，20.6690.2290.6690.229200.9990.0000.7082.0750.708 2.07550.000 1.002024TTN N N mM A MA ml ll l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥⎢===--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦正则模态刚度矩阵为，20.6690.2290.6690.22920.7340.00020.7082.0750.708 2.07550.0003.16528T TN N N kl kk K A KA kl m kl l l l l ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎥⎥===⎢--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢-⎢⎥⎢⎥⎦⎦⎢⎣⎦第一阶主振型示意图，1N 为节点1第二阶主振型示意图，2N 为节点1.265习题4.6解：（1）直接法，受力如图f f k mz)r r l ϕ2m ρϕ2()()0()()0r r f f r r r f f f mz k z l k z l m k z l l k z l l ϕϕρϕϕϕ+++-=⎧⎪⎨++--=⎪⎩222()()0()()0f r r r f f r r f f r r f f mz k k z k l k l m k l k l z k l k l ϕρϕϕ+++-=⎧⎪⇒⎨+-++=⎪⎩ 运动微分方程为222000f r r r f f r rf f r r f f k k k l k l mz z k l k lk l k l m ρϕϕ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 特征矩阵为222222f r r r f fr r f f r r f f k k m k l k l H K M k l k l k l k l m ωωωρ⎡⎤+--=-=⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦由20H K M ω=-=得()()2422222()0f r r r f f f r f r m k k m kl k l m k k l l ρωρω⎡⎤-+++++=⎣⎦21ω=22ω=H 的伴随矩阵22222r r f ff f r r f f r r f r k l k l m k l k l adjH k l k l k k m ωρω⎡⎤+--=⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦将固有频率21ω、22ω代入adjH ，得主振型：22(1)(2)1211,f r f r f f r r f f r r k k m k k m A A k l k l k l k l ωω⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+-+-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦（2）f f r r k l k l = 则运动微分方程变为22200000f r r r f f k k mz z k l k l m ρϕϕ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ z自由度的固有频率为ω=ϕ自由度的固有频率为ω=两运动互不相关 （3）2f r l l ρ=()()21,22fr f f r r f f r rf rll k l k l k l k l ml l ω++±-=若f f r r k l k l >()()2212,f r rf r ffrl l k l l k ml ml ωω++==，(1)(2)111,1f r A A l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若f f r r k l k l <()()2212,f r ff r rrfl l k l l k ml ml ωω++==，(1)(2)111,1f r A A l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4.9柔度矩阵 F=1111122123k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦刚度矩阵 K=1210121011F k --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦质量矩阵 000000J M J J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以222362422322025600nn nn n n nk J kH K M k k J kJ J k Jk k kk J ωωωωωωω--=-=---=-+-+=--解得：2(1)2(2)2(3)0.2, 1.5, 3.2nn n k k k J J Jωωω===(1)(2)(3)N1111.80.5 1.22.240.750.441111.80.5 1.22.240.750.440.330.740.62A0.60.370.740.740.560.27P0.5TCpA A AA⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∴⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=对应主振型正则振型矩阵TN NPNiNi2Pi PiN0.67P A P0.11.5T sin t0.249.26000 1.81000 2.634.07k00K K00.75k0008.97kPXK M0.6XTP p PTp PJA MA JJA Aωω⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-∴=质量模态矩阵 M刚度模态矩阵简谐力作用下2222N N2274.07k9.26J0.110.75k1.81J0.248.97k 2.63J0.0094.07k9.26J0.539X=A X0.75k1.81J0.4938.97k 2.63Jωωωωωω⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∴-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦物理坐标下位移响应4.102222(1)2(2)(1)(2)P TP P Pi Pi i i 0202202113,,A ,A 1111A 11Q 0P P A P Q 2Q X P (1cos t)/n nnnn m k k M K m kk k mk H K M kk mk k m m ωωωωωωω-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦--∴=-==--⎡⎤⎡⎤∴====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤∴=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-对应主振型由杜哈梅积分得2P 2P P 0m X 2k Q(1cos t)312mQ X A X (13k 1ω⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦5.1 解：系统质量刚度矩阵分别为22,2m kk m k k k M K m kk k m kk -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦第一瑞丽商：假设21111112111112111,0.2;2211111222;1233123411,0.1234;22111112221,0.112331234TTTT A KA k A p A MA m A MA k p A MFMA m k p trD m⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦1则第二瑞丽商：1系统柔度矩阵 F=k 假设 A 则邓克莱法：m D=FM=则k这三种方法中，第二瑞丽商精度最高，邓克莱法计算结果偏小。

《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

机械振动分析与应用习题第一部分问答题1．一简谐振动，振幅为0.20cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。

2．一加速度计指示结构谐振在80HZ时具有最大加速度50g，求振动的振幅。

3．一简谐振动，频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。

4．阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？5．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。

6．何为隔振？一般分为哪几类？有何区别？试用力法写出系统的传递率，画出力传递率的曲线草图，分析其有何指导意义。

第二部分计算题1．求图2-1所示两系统的等效刚度。

图2-1 图2-2 图2-32．如图2-2所示，均匀刚性杆质量为m，长度为l，距左端O为l0处有一支点，求O点等效质量。

3．如图2-3所示系统，求轴1的等效转动惯量。

图2-4 图2-5 图2-6 图2-74．一个飞轮其内侧支承在刀刃上摆动，如图2-4所示。

现测得振荡周期为1.2s，飞轮质量为35kg，求飞轮绕中心的转动惯量。

(注：飞轮外径100mm，R＝150mm。

)5．质量为0.5kg的重物悬挂在细弹簧上，伸长为8mm，求系统的固有频率。

6．质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置；另一质量为m2的重物从高度为h处自由降落到m l上而无弹跳，如图2-5所示，求其后的运动。

7．一质量为m、转动惯量为J的圆柱体作自由纯滚动，但圆心有一弹簧k约束，如图2-6所示，求振动的固有频率。

8．一薄长条板被弯成半圆形，如图2-7所示，让它在平面上摇摆，求它的摇摆周期。

图2-8 图2-99．长度为L 、重量为W 的均匀杆对称地支承在两根细绳上，如图2-8所示。

试建立杆相对于铅垂轴线o-o 的微角度振动方程并确定它的周期。

10．求图2-9所示系统的等效刚度和固有频率。

11．用能量法求图2-10所示均质圆柱体振荡的固有频率。

第一章 单自由度系统1。

1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。

单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。

1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：(1） 对系统进行受力分析，得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率.2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1) 对系统进行受力分析和动量距分析；（2) 利用动量距定理J ∑=M θ，得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

3、 拉格朗日方程法：适用范围:所有的单自由度系统的振动.解题步骤:（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T —U ； （2)由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。

4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零，即0)(=+dtU T d ,进一步得到系统的运动微分方程；(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。

1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤.用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法和共振法。

方法一：衰减曲线法.求解步骤：(1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A .（2)由对数衰减率定义 )ln(1+=i iA A δ， 进一步推导有 212ζπζδ-=，因为ζ较小， 所以有πδζ2=。

机械振动习题集同济大学机械设计研究所2004．91_简谐运动及其运算1-1 求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅(1) x 2sin( t )(2) x 4 cos(10 t ) ( 3) x 3 cos(2 t 45 )341-2 通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和。

(1)x12sin( t 3)x23sin( t3)(2)x15sin 10 tx 24 cos(10 t4)(3) x 1 4 sin(2 t 30 ) x 2 5 sin( 2 t 60 )x 3 3cos(2 t 45 )x 47cos(2 t38 )x 5 2 cos(2 t 72 )答案：(1) x 124.359 cos( t 6.6)(2) x 12 3.566 cos(10 t 47.52 )(3) x 12345 14.776 cos(2 t9.22 )1-3试计算题 1中 x(t)的一阶对数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程。

1-4 设 x(t)、 f(t) 为同频简谐函数，并且满足 ax bx cx f(t) 。

试计算下列问题 (1)已知 a 1.5,b 6,c 25,x(t) 10 sin(12 37 ) ，求 f(t)(2)已知 a 3,b 7,c 30, f (t) 25 sin(7 64 )，求 x(t)1-5 简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。

1-6 利用“振动计算实用工具” ，通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。

2_单自由度系统振动2-1 请解释有阻尼衰减振动时的固有圆频率d为什么总比自由振动时的固有圆频率n小？答案：因为 d 1 2 n ， <12-2 在欠阻尼自由振动中，把 改成 0.9 的时候，有人说曲线不过 X 轴了，这种说法正确么，请说明理由？答案： <1 为小阻尼的衰减振动，当然过 X 轴2-3 在单自由度自由振动时候，给定自由振动时的固有圆频率n ,阻尼系数 ,初始位移 x 0,以及初始速度 v 0 ,利用本计算工具 ,请计算有阻尼衰减振动时的固有圆频率d .答案：如n =3rad/s, =0.01, x 0 =-1, v 0=0;则 d =2.9985rad/s 2-4 如图 2-1 所示，一小车(重 P )自高 h 处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一 起作自由振动。

汽车振动与噪声控制（第二版）
第一章振动理论基础
第一节介绍
第二节单自由度系统
第三节多自由度系统
第四节连续系统振动
第五节随机振动分析基础
练习题
第二章声学理论基础
第一节波动方程与声的基本性质
第二节声传播及结构声辐射
第三节声阻抗、声强及声功率
第四节噪声及其控制技术
练习题
第三章汽车发动机的振动分析与控制
第一节发动机的振动激励源分析
第二节发动机隔振技术
第三节发动机气门振动
练习题
第四章汽车动力传动及转向系统振动
第一节振动分析的传递矩阵法
第二节汽车动力传动系统振动
第三节汽车转向系统振动
第四节汽车制动时的振动
练习题
第五章汽车平顺性
第一节平顺性定义
第二节人体反应与平顺性评价
第三节道路路面不平度的统计描述
第四节平顺性分析
第五节影响汽车平顺性的结构因素
练习题
第六章发动机及动力总成噪声
第一节发动机及动力总成噪声分析与控制
第二节传动系噪声
第三节发动机的空气动力噪声
练习题
第七章底盘系统噪声
第一节轮胎噪声
第二节制动噪声
练习题
第八章车身及整车噪声
第一节车身结构噪声及其控制
第二节车内噪声
第三节汽车整车噪声及其控制第四节汽车噪声有源控制
练习题。

《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。

试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。

试求其摆动的固有频率。

图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。

《车辆系统动力学》（此复习题覆盖大部分试题。

考试范围以课堂讲授内容为准。

） 一、概念题1. 约束和约束方程（19）力学系统在运动时会受到某些几何和运动学特性的限制，这些构成限制条件的物体称为约束。

用数学方程表示的约束关系称为约束方程。

2. 完整约束和非完整约束（19）如果系统约束方程仅是系统位形和时间的解析方程，则这种约束称为完整约束；如果约束方程不仅包括系统的位形，还包括广义坐标对时间的倒数或者广义坐标的微分，而且不能通过积分使之转化为包括位形和时间的完整约束方程，则这种约束就称为非完整约束。

3. 轮胎侧偏角（31）车轮回转平面与车轮中心运动方向的夹角。

4. 轮胎径向变形（31）定义为无负载时的轮胎半径rt 与负载时的轮胎半径rtf 之差。

5. 轮胎的滚动阻力系数（40）相应载荷下的滚动阻力与轮胎垂直载荷的比值。

6. 轮胎驱动力系数（50）轮胎驱动力系数定义为驱动力与法向力的比值 7. 边界层（70）当流体绕物体流动时，在物体壁面附近受流体粘性影响显著的薄层称为边界层。

8. 压力系数（74）假设车身某点压力p 、速度v ，来流压力p ∞、速度v ∞，定义压力系数21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∞∞∞v v q p-p C p9. 风洞的堵塞比（77）车辆迎风面积和风洞送风横断面面积的关系（堵塞比） 10. 雷诺数（79）雷诺数定义为气流速度v 、流体特性长度L 的乘积与流体运动粘度ν的比值。

Re=vL/ν 11. 空气阻力系数（82-83）q /A F Aq F C D D D ==Fd 为空气阻力，A 为参考面积，通常采用汽车迎风面积，q 为动压力12. 旋转质量换算系数（88）12dv ii +=r m Θδ 其中 )(Ti c e 2g 20dr 20w i ΘΘΘi i Θi ΘΘ++++=为等效转动惯量。

mv 是整车整备质量,rd 为驱动轮的滚动半径。

13. 后备驱动力（92）车辆行驶时实际需要的驱动力FDem 与车辆所能提供的最大驱动力Fx 的差值。

《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。