汽车振动分析习题二

结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。

它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。

课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。

以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。

系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。

习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。

特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。

习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。

结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。

冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。

习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。

一、选择题1．如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆。

当a 摆振动的时候，其余各摆在a 摆的驱动下也逐步振动起来，不计空气阻力，达到稳定时，b 摆的振动图像如图乙。

下列说法正确的是（ ）A ．稳定时b 摆的振幅最大B ．稳定时b 摆的周期最大C ．由图乙可以估算出b 摆的摆长D ．由图乙可以估算出c 摆的摆长D 解析：DA ．a 与c 的摆长接近，它们的固有频率接近，在a 摆的驱动下，稳定时c 摆的振幅最大，所以A 错误；B ．bc 摆是在a 摆的驱动下振动起来的，则b 的周期等于外力周期，稳定时abc 摆的周期都相同，所以B 错误； CD ．根据单摆的周期公式2l T g=解得224T gl π= 由图像可得a 摆周期，则可以算出a 摆的摆长，估算出c 摆的摆长，所以C 错误；D 正确； 故选D 。

2．下列说法中 不正确 的是( )A ．将单摆从地球赤道移到南(北)极,振动频率将变大B ．将单摆从地面移至距地面高度为地球半径的高度时,则其振动周期将变到原来的2倍C ．将单摆移至绕地球运转的人造卫星中,其振动频率将不变D ．在摆角很小的情况下,将单摆的振幅增大或减小,单摆的振动周期保持不变C 解析：CA 、将单摆从地球赤道移到南（北）极，重力加速度增加，根据2LT gπ=，振动的周期变小，故振动频率将变大，故A 正确；B 、重力等于万有引力，故：2Mm mg Gr =，解得：2GMg r =，将单摆从地面移至距地面高度为地球半径的高度时，r 增加为2倍，故g 减小为14；根据2T π=2倍，故B 正确； C 、将单摆移至绕地球运转的人造卫星中，处于完全失重状态，不能工作，故C 错误；D 、根据2T =，振动的周期与振幅无关；在摆角很小的情况下，将单摆的振幅增大或减小，单摆的振动周期保持不变，故D 正确． 【点睛】本题关键是根据单摆的周期公2T =和重力加速度公式2GM g r =分析，注意周期与振幅无关．3．关于简谐运动，下列说法正确的是（ ）A ．做简谐运动物体所受的回复力方向不变，始终指向平衡位置B ．在恒力的作用下，物体可能做简谐运动C ．做简谐运动物体速度越来越大时，加速度一定越来越小D ．做简谐运动物体的加速度方向始终与速度方向相反C 解析：CA ．回复力是使做简谐运动的物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力，所以物体在远离和靠近平衡位置时的方向不同，A 错误；B ．物体做简谐运动中回复力满足F x κ=-即回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以在恒力的作用下，物体不可能做简谐运动，B 错误；C ．做简谐运动物体速度越来越大，说明物体向着平衡位置运动，物体受回复力越来越小，加速度一定越来越小，C 正确；D ．做简谐运动物体的加速度方向始终指向平衡位置，速度方向与物体运动方向相同，物体做简谐运动过程中，加速度方向和速度方向有时相同，有时相反，D 错误。

名词解释1．制动效能制动效能即制动距离和制动减速度。

(或指汽车迅速降低车速直至停车的能力2．汽车的平顺性保持汽车在行驶过程中乘员所处的振动环境具有一定舒适程度和保持货物完好的性能。

3．纵向附着系数地面对轮胎切向反作用力的极限值（最大值）即为附着力与FZ —地面作用在车轮上的法向反力的比例系数Z X F F max ＝ϕ即附着系数， ϕ与路面和轮胎都有关。

4． 滑转:作用在驱动轮上的转矩t T 引起的地面对轮胎切向反作用力大于其极限值时（即为附着力）驱动轮发生打滑的现象。

5、滚动阻力系数；车轮在一定条件下滚动时所需之推力1P F 与车轮负荷W 之比。

6、侧偏力 ；地面作用于车轮的侧向反作用力。

Y F7．发动机外特性曲线：发动机的转速特性，即P e 、T tq 、b=f （n ）关系曲线。

在发动机节气们全开（或高压油泵在最大供油量位置）时，该转速特性曲线称为发动机外特性曲线。

8．汽车的行驶平顺性；保持汽车在行驶过程中乘员所处的振动环境具有一定舒适程度和保持货物完好的性能。

9．挂钩牵引力； 车辆的土壤推力FX 与土壤阻力 F r 之差，称为挂钩牵引力。

10．回正力矩；轮胎发生侧偏时，会产生作用于轮胎绕OZ 轴的力矩，该力矩称为回正力矩。

11．传动效率：P in —输入传动系的功率；P T －传动系损失的功率12．汽车通过性 ；汽车的通过性（越野性）是指它能以足够高的平均车速通过各种坏路和无路地带（如松软地面、凹凸不平地面等）及各种障碍（如陡坡、侧坡、壕沟、台阶、灌木丛、水障等）的能力。

13．制动效能的恒定性；制动效能的恒定性即抗热衰退性能。

制动器温度上升后，制动器产生的摩擦力矩常会有显著下降，这种现象称为制动器的热衰退。

14．汽车的操纵稳定性；汽车的操纵稳定性是指在驾驶者不感到过分紧张、疲r dF F F X -=WF f 1p =劳的情况下，汽车能遵循驾驶者通过转向系统及转向车轮给定的方向行驶，且当遭遇外界干扰时，汽车能抵抗干扰而保持稳定行驶的能力。

1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。

1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?1.3 设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —1.3所示，试证明：1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2)它们串联时的总刚度eq k 满足：21111k k k eq +=解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为：1122P k xP k x=⎧⎨=⎩由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+故等效刚度为：12eq Pk k k x ==+2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 1122Px k Px k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，弹簧的总变形为：121211()x x x P k k =+=+故等效刚度为：122112111eq k k P k x k k k k ===++1.4 求图所示扭转系统的总刚度。

两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。

解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 1122t t Tk T k θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩系统的总转角为：121211()t t T k k θθθ=+=+，12111()eq t t k T k k θ==+故等效刚度为：12111eq t t k k k =+1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c1)在两只减振器并联时，2)在两只减振器串联时。

解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为：1122P c x P c x =⎧⎨=⎩&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+&故等效刚度为：12eq P c c c x ==+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 1122P x c P x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩&&，系统的总速度为：121211()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：1211eq P c x c c ==+&1.6 一简谐运动，振幅为0.5cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。

1、 方波振动信号的谐波分析，00,02(),2T x t x t T x t T⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩。

绘制频谱图。

解：()x t 的数学表达式可写为： 计算三要素：()a n =0202()()sin 22Tn t b n x t dt T T π⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎰=20042sin Tn t x dt T T π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰=0222cos T n t n T ππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()021cos ,1,2,x n n n ππ-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦ =4,1,3,5x n nπ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 01()cos sin 222n n n a n t n t X t a b T T ππ∞=⎛⎫ ⎪∴=++ ⎪ ⎪⎝⎭∑=12sin n n n t b T π∞=∑=0142sin n x n t nT ππ∞=∑,n=1,3,5, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，02T t <<或2Tt T <<振幅频谱图4,1,3,5n n x A b n nπ===⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()⎩⎨⎧≤≤-≤≤-=02/2/00t T T t x x t x相位频谱图1tan 0,1,3,5nn n a n b φ-⎛⎫===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎝⎭2、 求周期性矩形脉冲波的复数形式的傅立叶级数，绘频谱图。

解： 数学表达式：计算三要素：傅立叶级数复数形式：频谱图0000,0sin ,0,n x t n TA x n t n n n T ππ⎧=⎪⎪=⎨⎪≠-∞<<∞⎪⎩()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤--≤≤-=220222200000T t t t t t x t t T t x 偶函数 T x t a 0002=2sin 2010tn n x a n ωπ⋅=0=n b 2sin 22010tn n x a ib a X n n nn ωπ⋅==-=()2sin 1101012/2/02/2/102/2/02/2/010********t n n x tin e e T x t in e T x dt e x T dt e t x T X t in t in t t t in t in t t tin T T n ωπωωωωωωω⋅=--⋅=-⋅=⋅⋅=⋅⋅=-------⎰⎰T t x t n n x X n 00010002sinlim =⋅=→ωπ()∑∑∞-∞=∞-∞===n tin n t in n e n t n x e X t x 112sin 010ωωωπ2.1解：（1）能量法222341222111()()222e a a k x k x k x a a += 2232122244e a a k k k a a ∴=+（2）能量法222 (1214)111222e a m x m x m x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭212124e a m m m a ∴=+（3）固有频率222132224211e e k a k a k p m a m a m +==+2.3解：平衡位置系统受力如图 则122,2F G F G == 弹簧1k 变形112G x k =，弹簧变形222Gx k =，且m 静位移1222x x x =+ 12124422e G G Gx x x k k k ∴==+=+ ()1212,4e e k k k m m k k ∴==+∴固有圆频率()121212e e k k k p m k k m==+2.5解对数衰减率：111110ln ln 0.06920 2.5j A j A δ+=== 相对阻尼系数：22110.01122110.069ζππδ===⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭衰减系数：9.80.0110.3140.012n k g n ms ζωζζ===== 阻尼系数：220.3149 5.652(/)c nm N s m ==⨯⨯= 临界阻尼： 5.652513.8(/)0.011c cc N s m ζ=== 2.7解受力分析如图-xs ’)单自由度振动系统振动微分方程()2022s sn n n smx c x x kx mx cx kx cx x x x x ζωωζω+-+=∴++=∴++=设iwtcs x e =，则()c cs x H x ω=22222()212n n n i iH i iζωωζλωωωζωωλζλ∴==-+-+()H ω=，相位差角：122tan ()12ζλπϕλ-=--()()()()()i iwt i wt s x t H x t H e ae ϕϕωω--===()0sin )s x a t x t t ωωϕ=∴=-Xa =其中，n ωλω==ζ= 2.8 解：1、 系统的振动微分方程为：0=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++•••s x x k kx x c x m即：s kx kx x c x m =++2激励函数为：()T t t Tdk kx s ≤≤=0 傅立叶级数三要素：kd tdt T dk T a T ==⎰002()0cos 20=⋅=⎰dt nwt t T dk T a T n()πn kd dt nwt t T d k T b T n -=⋅=⎰sin 20所以，激励函数的前四项为：()()()∑=⋅+⋅+=41sin cos 2n n n s t n b t n a a kx ωω)4sin 413sin 312sin 21(sin 2wt wt wt wt d k d k+++-=π 系统稳态响应的前三项为：])6()91(3)3sin()4()41(2)2sin()2()1()sin([24)2()1(2)sin(4222322222221312222ζλλψζλλψζλλψπλζλψ+--++--++---=+--+=∑=wt wt wt dd n n k nwt b d x n n n 其中3,2,1,12arctan22=-=n n n n λλζψ2.9 解：运用杜哈美积分法())]03.0sin()02.0(sin(50)03.0cos()02.0cos(5.0[)03.0sin()03.0(sin )(1)03.0sin(03.0)];01.0sin(50)01.0cos(5.0[)01.0sin()01.0(sin )50(1)01.0sin(01.0);01.00(50)(;)(sin )(1sin )(sin )(1sin )/(cos 20001.0020001.00000000000.0p p p p p mpF p p d p f mp p p x s t p p p mp F p pd p F F mpp px s t t t F F t f d t p f mppt p d t p f mp pt p x pt x t t t ---+=-+==+-+=--+==≤≤-=-+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰⎰υτττυυτττυτττυτττχ时，当时，当4.1解直接法()11121221111221222213222212320()0()0()0m x k k x k x m x k x k x x m x k x x k x m x k x k k x ++-=⎧+--=⎧⎪⇒⎨⎨+-+=-++=⎪⎩⎩122111223222000k k k m x x k k k m x x +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中，122223k k k K k k k +-⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦拉格朗日法系统为无阻尼自由振动系统，拉格朗日方程形式为：0ii id TT Udt q q q δδδδδδ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 广义坐标为：12,x x2211221122T m x m x =+ 0,1,2iTi x δδ== 111111,T d T m x m x x dt x δδδδ⎛⎫== ⎪⎝⎭222222,T d T m x m x x dt x δδδδ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2221122132111222U k x k x x k x =+-+ 112212213212(),()U U k x k x x k x x k x x x δδδδ=--=-+ ∴()11121221111221222213222212320()0()0()0m x k k x k x m x k x k x x m x k x x k x m x k x k k x ++-=⎧+--=⎧⎪⇒⎨⎨+-+=-++=⎪⎩⎩影响系数法令121,0x x ==11112112k k x k x k k =+=+ 2112212k k k x k ==-=-令120,1x x ==22223223k k x k x k k =+=+122223k k k K k k k +-⎡⎤∴=⎢⎥-+⎣⎦4.2解：直接法∴111213311113112332212123222111222333232331333122233()()0()0()()0()0()()0()0J k r k r J k r k r k r k r J k r k r J k r k r k r k r J k r k r J k r k r k r k r θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧⎧----=++--=⎪⎪+---=⇒-++-=⎨⎨⎪⎪+-+-=--++=⎩⎩ ∴12300100000100001J M J J J ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦131311223223211121112k r k rk r k r K k rk r k r k r kr k rk rk r k r +----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+--⎣⎦⎣⎦4.3解a，1234mmMmm⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1222233334444k k kk k k kKk k k kk k+-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦b，1234mmMmm⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，222233334444k kk k k kKk k k kk k-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦c，1234mmMmm⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12222333344443k k kk k k kKk k k kk k k+-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦4.4解：质心位于距左端34l处0324l m xdx mllx lm⎛⎫+⎪==⎪⎪⎝⎭⎰令1,0xθ==11211223442 k kx kx kl kl k k kx kx l=+===-=-令0x=，1θ=22233544448l l k k k l l kl θθ=+= ∴刚度矩阵为，222528kl kK kl kl ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦令1,0x θ==1122m mx m ∴==21120m m ==令0,1x θ==222524m I ml θ==，3222445()424ll m l I x dx m ml l -=+=⎰∴质量矩阵为，2205024mM ml ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦22202205502428kl mk x x klml kl θθ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥∴+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦特征矩阵为，22222222552824n n nkl k m H K M kl kl ml ωωω⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦将20n H K M ω=-=整理为，22422221440335n n m ll km k l ωω-+=求得特征值为，2120.735k k m m ω⎛=≈ ⎝，222 3.265k k mm ω⎛=+≈ ⎝ 2n H K M ω=-的伴随阵，2222558242222n n kl kl ml adjH kl k m ωω⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦将22120.735, 3.265k km mωω==代入 得对应特征向量，1211,1.0599.06A A l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则主振型矩阵为，111.0599.06A l l ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦模态质量矩阵为21111201.0599.06 1.0599.065024TT P mM A MA ml l l l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2.2340019.1mm ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦模态刚度矩阵为21111221.0599.06 1.0599.06528TT P kl k K A KA kl kl l l l l ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦1.6420062.362kk ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦归一化因子为，i α==∴归一化因子方阵，0.669000.229R ⎤=⎥⎦ ∴正则振型矩阵为，110.6690.2290.66901.0599.060.708 2.07500.229N A AR ll l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥===--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦正则模态质量矩阵为，20.6690.2290.6690.229200.9990.0000.7082.0750.708 2.07550.000 1.002024TTN N N mM A MA ml ll l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥⎢===--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦正则模态刚度矩阵为，20.6690.2290.6690.22920.7340.00020.7082.0750.708 2.07550.0003.16528T TN N N kl kk K A KA kl m kl l l l l ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎥⎥===⎢--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢-⎢⎥⎢⎥⎦⎦⎢⎣⎦第一阶主振型示意图，1N 为节点1第二阶主振型示意图，2N 为节点1.265习题4.6解：（1）直接法，受力如图f f k mz)r r l ϕ2m ρϕ2()()0()()0r r f f r r r f f f mz k z l k z l m k z l l k z l l ϕϕρϕϕϕ+++-=⎧⎪⎨++--=⎪⎩222()()0()()0f r r r f f r r f f r r f f mz k k z k l k l m k l k l z k l k l ϕρϕϕ+++-=⎧⎪⇒⎨+-++=⎪⎩ 运动微分方程为222000f r r r f f r rf f r r f f k k k l k l mz z k l k lk l k l m ρϕϕ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 特征矩阵为222222f r r r f fr r f f r r f f k k m k l k l H K M k l k l k l k l m ωωωρ⎡⎤+--=-=⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦由20H K M ω=-=得()()2422222()0f r r r f f f r f r m k k m kl k l m k k l l ρωρω⎡⎤-+++++=⎣⎦21ω=22ω=H 的伴随矩阵22222r r f ff f r r f f r r f r k l k l m k l k l adjH k l k l k k m ωρω⎡⎤+--=⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦将固有频率21ω、22ω代入adjH ，得主振型：22(1)(2)1211,f r f r f f r r f f r r k k m k k m A A k l k l k l k l ωω⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+-+-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦（2）f f r r k l k l = 则运动微分方程变为22200000f r r r f f k k mz z k l k l m ρϕϕ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ z自由度的固有频率为ω=ϕ自由度的固有频率为ω=两运动互不相关 （3）2f r l l ρ=()()21,22fr f f r r f f r rf rll k l k l k l k l ml l ω++±-=若f f r r k l k l >()()2212,f r rf r ffrl l k l l k ml ml ωω++==，(1)(2)111,1f r A A l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若f f r r k l k l <()()2212,f r ff r rrfl l k l l k ml ml ωω++==，(1)(2)111,1f r A A l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4.9柔度矩阵 F=1111122123k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦刚度矩阵 K=1210121011F k --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦质量矩阵 000000J M J J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以222362422322025600nn nn n n nk J kH K M k k J kJ J k Jk k kk J ωωωωωωω--=-=---=-+-+=--解得：2(1)2(2)2(3)0.2, 1.5, 3.2nn n k k k J J Jωωω===(1)(2)(3)N1111.80.5 1.22.240.750.441111.80.5 1.22.240.750.440.330.740.62A0.60.370.740.740.560.27P0.5TCpA A AA⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∴⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=对应主振型正则振型矩阵TN NPNiNi2Pi PiN0.67P A P0.11.5T sin t0.249.26000 1.81000 2.634.07k00K K00.75k0008.97kPXK M0.6XTP p PTp PJA MA JJA Aωω⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-∴=质量模态矩阵 M刚度模态矩阵简谐力作用下2222N N2274.07k9.26J0.110.75k1.81J0.248.97k 2.63J0.0094.07k9.26J0.539X=A X0.75k1.81J0.4938.97k 2.63Jωωωωωω⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∴-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦物理坐标下位移响应4.102222(1)2(2)(1)(2)P TP P Pi Pi i i 0202202113,,A ,A 1111A 11Q 0P P A P Q 2Q X P (1cos t)/n nnnn m k k M K m kk k mk H K M kk mk k m m ωωωωωωω-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦--∴=-==--⎡⎤⎡⎤∴====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤∴=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-对应主振型由杜哈梅积分得2P 2P P 0m X 2k Q(1cos t)312mQ X A X (13k 1ω⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦5.1 解：系统质量刚度矩阵分别为22,2m kk m k k k M K m kk k m kk -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦第一瑞丽商：假设21111112111112111,0.2;2211111222;1233123411,0.1234;22111112221,0.112331234TTTT A KA k A p A MA m A MA k p A MFMA m k p trD m⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦1则第二瑞丽商：1系统柔度矩阵 F=k 假设 A 则邓克莱法：m D=FM=则k这三种方法中，第二瑞丽商精度最高，邓克莱法计算结果偏小。