弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图--知识讲解（提高）
责编：常春芳
【学习目标】
1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积
的计算公式，并应用这些公式解决问题；
2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；
3.能准确计算组合图形的面积.
【要点梳理】
要点一、弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求
出第三个量.
要点二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即
；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点
(3)扇形面积公式
类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：
.
要点三、圆锥的侧面积和全面积
π或
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积S=
扇nπl2
360=πrl，
圆锥的全面积.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【典型例题】
类型一、弧长和扇形的有关计算
1.如图所示，一纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，BC的长为20πcm，
那么AB的长是多少?
【答案与解析】
∵l=nπR 180，
120?π?R
∴20π=．
180
解得R＝30cm．
答：AB的长为30cm．
【总结升华】由弧长公式l=nπR
180知，已知l、n，可求R．
举一反三：
【高清ID号：359387高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥
关联的位置名称（播放点名称）：经典例题5-6】
【变式】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是．
【答案】由圆柱的侧面展示图知：2πr=10或2πr=16，解得r=58
π
.
2.如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3，以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积是多少?
= 2 = O
【答案与解析】
∵ BC ＝AD ＝ 3 ，∴
BE =
3
2
．
连接 PE ，∵ AD 切⊙E 于 P 点，∴ PE ⊥AD ． ∵ ∠A ＝∠B ＝90°．
∴ 四边形 ABEP 为矩形， ∴ PE ＝AB ＝1．
3
BE 3 在 △R t BEM 中， ，∠BEM ＝30°． ME 1 2
同理∠CEN ＝30°，∴ ∠MEN ＝180°-30°×2＝120°．
∴
S
扇形 n π R 2 120 ? π ?12 π = = = ． 360 360 3
【总结升华】由 MPN 与 AD 相切，易求得扇形 MEN 的半径，只要求出圆心角∠MEN 就可以利用扇形面积
公式求得扇形 MEN 的面积．
举一反三：
【高清 ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥
关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 5-6】
【变式】若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（
）．
A ． 3: 2
B ． 3 :1
C ． 5:3
D ． 2 :1 【答案】D ；
【解析】设圆锥底面圆的半径为 r ，∴S 底=π r 2，S 侧= ?2r?2π r=2π r 2，∴S 侧：S 底=2π r 2：π r 2=2：1．
类型二、圆锥面积的计算
3. 如图（1），从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90 的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留 π ）．
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说
明理由．
（3）当⊙O 的半径 R ( R > 0) 为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
A
① ② B
C
③
E
C EF=AF-AE=2-2弧BC的长：l=nπR
2πr=2
由勾股定理求得：AB=AC=2R弧BC的长：l=nπR
【答案与解析】
（1）连接BC，如图（2），由勾股定理求得：
nπR21
AB=AC=2S==π
3602
（2）连接AO并延长，与弧BC和O交于E，F，
B
A
①②
O
③
F
2
=π，图（2）
1802
2
π∴圆锥的底面直径为：2r=
22
2-2<2
2，∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
（3）（2）中的结论仍然成立.
2
=πR
1802
2πr=2πR
2
∴圆锥的底面直径为：2r=2 2 R
EF=AF-AE=2R-2R=(2-2)R
2-2<2
且R>0 2
∴(2-2)R<2 2 R
即无论半径R为何值，EF<2r
∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
【总结升华】（1）连接BC、OA，由于∠BAC=90°，根据圆周角定理知BC为⊙O的直径，根据等腰三角形的性质即可求出AB、AC的长，即扇形的半径长，已知了扇形的圆心角为90°，根据扇形
的面积公式即可求出扇形的面积．
（2）过A作⊙O的直径AF，求出以FE为直径的圆的周长，若此圆的周长＜弧BC的长，则
不能围成圆锥，反之则能．
举一反三：
【变式】（2015?黔西南州）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是．
【答案】24π.
【解析】底面周长是：2×3π=6π，
则侧面积是：×6π×5=15π，
底面积是：π×32=9π，
则全面积是：15π+9π=24π．
故答案为：24π．
类型三、组合图形面积的计算
4.（2015?山西模拟）如图，已知⊙O△是ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D 是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
【答案与解析】
解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，
∴PD⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD，
∵PF⊥AC，
∴∠OPF=30°，
∴OF=OP，
∵OA=OC，AD=BD，
∴BC=2OD，
∴OA=BC=2，
∴⊙O的半径为2，
∴劣弧PC的长=（2）∵OF=OP，∴OF=1，
∴PF====π；，
∴S
阴影=S
扇形
﹣△S OPF=﹣×1×=π﹣．
【总结升华】本题考查了垂径定理的应用，30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，弧长公式以及扇形的面积公式等，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键．