高考理科数学专题十一概率与统计第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差

离散型随机变量的分布列与期望和方差考点一：离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 (2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根()X D 为随机变量X 的标准差．（3）均值与方差的性质 1．E(aX ＋b)＝aE(X)＋b. 2．D(aX ＋b)＝a2D(X)(a ，b 为常数)． 考点二：超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，如果随机变量X 的分布列具有下表形式，考点三：二项分布二项分布；在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 基础练习1.在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX ＝（ ） A ．18.12B ．18.22C ．19.12D ．19.222.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量X 的期望与方差分别是10和8，则n ，p 的值分别是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知X 的分布列为X ﹣1 0 1 P且Y ＝aX +3，E （Y ）＝，则a 为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.设随机变量X ∼N(1,δ2),且P(X>2)=51,则P(0<X<1)=___.5.已知离散型随机变量x 的取值为0，1，2，且()()(),2,1,410b x p a x p x p ======若()1=X E ，则 ()=X D .6.若随机变量，且，，则当 ．（用数字作答）7.已知随机变量X 满足(23)7E X +=，(23)16D X +=，则下列选项正确的是( ) A ．7()2E X =，13()2D X = B ．()2E X =，()4D X = C ．()2E X =，()8D X = D ．7()4E X =，()8D X = 超几何分布VS 二项分布1.“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．2.某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50~(,)X B n p 52EX =54DX =(1)P X ==条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（1）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求x 的分布列和数学期望．3.假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为X ，保险公司支出给这4人的总金额为Y 万元(参考数据：40.90.6561=) (1)指出X 服从的分布并写出Y 与X 的关系； (2)求(22)≥P Y .(结果保留3位小数)考点四：正太分布1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,5(N ，若)2()2(-<=+>c p c p ξξ，则c 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72.已知随机变量服从正态分布即，且，若随机变量，则（ ）A ．0.3413B ．0.3174C ．0.1587D ．0.15863.已知随机变量X ∼N （2，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）A ．0.1359B ．0.7282C ．0.8641D ．0.932054.某市高三年级第二次质量检测的数学成绩X 近似服从正态分布N （82，σ2），且P （74＜X ＜82）＝0.42．已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A ．64B ．81C ．100D ．1215.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．X 2~(,)X N μσ()0.6826P X μσμσ-<≤+=~(5,1)X N (6)P X ≥=①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．。

离散型随机变量的分布列、期望、方差复习指导学习要求：了解随机变量，离散型随机变量的意义，会求简单的离散型随机变量，掌握离散型随机变量的分布列，会求出期望、方差。

知识总结：一、离散型随机变量的分布列1.随机变量：如果一个随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，可以按一定次序列出的随机变量叫做离散型随机变量，常用ξ，等希腊字母表示2.离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量ξ的一切可能取值为：a1, a2, ……, a n, ……, 相应取这些值的概率为：p1，P2，……, P n, ……，则称下表：为离散型随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列。

离散型随机变量的分布列具有的两个性质：①P i0(i=1,2,……,n,……) ②P1+P2+……+P n+……=1 一种典型的离散型随机变量的分布列：二项分布：设重复独立地进行n次随机试验A，在每一次试验中，P(A)=P(0<P<1)，ξ为n次试验中A 发生的次数，则ξ的分布列为：称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,P)注：是二项展开式[P+(1-P)]n=++……++……+中的第k+1项。

P1+P2+……+P n=++……+=[P+(1-P)]n=1。

二、离散型随机变量的期望与方差1．期望：设离散型随机变量ξ的分布列是：ξa1a2……a n……p p1p2……p n……称a1p1+a2p2+……+a n p n+……为ξ的数学期望，简称期望，记作Eξ。

期望的性质：①若=aξ+b (a,b均为常数), 则E=aEξ+b。

②E(ξ1+ξ2)=Eξ1+Eξ2。

③若ξ～B(n, p), 则Eξ=np注：期望Eξ是反映随机变量ξ集中趋势的指标，也反映了ξ取值的平均水平。

2．方差:设离散型随机变量ξ的分布列是ξa1a2……a n……p p1p2……p n……称(a1-Eξ)2p1+(a2-Eξ)2p2+……+(a n-Eξ)2p n+……为随机变量ξ的均方差，简称方差，记作Dξ。

高三数学离散型随机变量的期望值和方差离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要：1、期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2x3...xn...PP1P2P3...Pn...则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+...+xnPn+...为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。

它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。

若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。

E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2・P1+(x2-Eξ)2・P2+...+(xn-Eξ)2・Pn+...称为随机变量ξ的方差。

Dξ的算术平方根=δξ叫做随机变量的标准差。

随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。

若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。

二、例题：例1、（1）下面说法中正确的是（）A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。

B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。

C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。

D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。

解：选C说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。

（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。

解：含红球个数ξ的Eξ=0×+1×+2×=1.2说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的"了解......，会......"的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。

高考总复习：离散型随机变量及其分布列、期望与方差【考纲要求】一、离散型随机变量及其分布列（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。

二、离散型随机变量的均值与方差（1）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

【知识网络】【考点梳理】考点一、离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，,ξη，……表示。

所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

要点诠释：1．所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系。

这与函数概念在本质上是相同的，不同的是函数的自变量是实数，而随机变量的自变量是试验结果。

2．如果随机变量可能取的值为有限个，则我们能够把其结果一一列举出来。

3．随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件，在学习中，要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系。

二、离散型随机变量的分布列及性质1．一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,i nx x x x ，，，，X 取每一个值(=1,2,,)i x i n 的概率(=)=i i P X x p ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式(=)=,=1,2,,i i P X x p i n 表示X 的分布列。

2．离散型随机变量的分布列的性质 ①i p ≥0（=1,2,,i n ）； ②1=1ni i p =∑。

要点诠释：求离散型随机变量的分布列时，首先确定随机变量的极值，求出离散型随机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格。

1．分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示。

在分布列的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取值，第2行是对应的变量的概率。

离散型随机变量期望与方差引言离散型随机变量是概率论与统计学中的重要概念之一。

在处理离散型随机变量时，我们经常需要计算其期望与方差，以帮助我们了解变量的分布特征。

本文将详细介绍离散型随机变量的期望与方差的定义及其计算方法。

期望的定义与计算离散型随机变量的期望表示了该随机变量可能取值的加权平均。

如果离散型随机变量X的取值为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn，那么随机变量X的期望可以通过以下公式计算：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + … + xn * pn其中E(X)表示变量X的期望。

下面以一个简单的例子来说明期望的计算过程。

假设某班级有10个学生，他们的考试成绩（以百分制计）分别为60、70、80、90、90、80、70、80、90、60，对应的概率分别为0.1、0.2、0.1、0.2、0.1、0.05、0.1、0.1、0.05、0.1。

现在我们来计算这些考试成绩的期望。

60 * 0.1 + 70 * 0.2 + 80 * 0.1 + 90 * 0.2 + 90 * 0.1 + 80 * 0.05 + 70 * 0.1 + 80 * 0.1 + 90 * 0.05 + 60 * 0.1 = 79所以，这些考试成绩的期望为79。

方差的定义与计算离散型随机变量的方差反映了该变量的取值相对于其期望的离散程度。

方差的计算公式如下所示：Var(X) = E((X - E(X))²) = (x1 - E(X))² * p1 + (x2 - E(X))² * p2 + … + (xn - E(X))² * pn其中Var(X)表示变量X的方差。

方差的计算比较繁琐，但仍然是可行的。

我们可以利用先前计算得到的X的期望，将其带入方差计算公式中，即可求得方差的值。

继续以前面的例子进行说明，我们已经计算得到班级考试成绩的期望为79。

高三数学离散型随机变量的分布列、期望与方差【本讲主要内容】离散型随机变量的分布列、期望与方差求解某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差．【知识掌握】【知识点精析】1. 离散型随机变量的分布列（1）随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母ξ、η表示．例如课本上的两个例子：①某人射击一次可能出现的命中环数ξ是一个随机变量，ξ可取值为：0，1，2， (10)②某次产品检验所取4件产品中含有的次品数η是一个随机变量，η可取值为：0，1，2，3，4．③一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3只球， 被取出的球的最大数ξ是一个随机变量，ξ可取值为3，4，5．ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或 2，4，5或3，4，5．随机变量最常见的两种类型：①离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．②连续型随机变量：如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．（2）离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ的可能取值为x 1，x 2，…，x i ，…，ξ取每一个值x i （i ＝1，2，…）的概率P （＝x i ）＝p i ，则表例如抛掷一个色骰子得到的点数ξ可能取值为1，2，3，4，5，6．ξ取各值的概率都等于61．此表从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况． 离散型随机变量的分布列具有下列性质： ①,2,1(0=≥i p i ...)；②p 1＋p 2＋ (1)一般地，离散型随机变量在某一取值X 围内取值的概率等于它取值这个X 围内各值的概率之和．（3）常见的离散型随机变量的分布①0—1例如，任意抛掷一枚硬币的实验结果：ξ＝0表示正面向上；ξ＝1表示正面向下.②二项分布：如果在一次试验中某事件Ａ发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中事件Ａ恰好发生k 次的概率是P （ξ＝k ）．kn k k n qp C )k (P -==ξ，其中k ＝1，2，3，…，n ，q ＝1－p ，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：kn k k n qp C -＝b(k ；n ，p). 例如，抛掷一个骰子，得到任一确定的点数（比如2点）的概率是61．重复抛掷骰子n 次，得到此确定点数的次数ξ服从二项分布，ξ～Ｂ(n ，61) 显然，当n ＝1时，二项分布即为0—1分布． ③几何分布：在独立重复试验中，某次事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个取值为正整数的离散型随机变量．“ξ＝k ”表示在第k 次独立试验时事件第一次发生．如果把第k 次试验时事件A 发生记为A k ，事件A 不发生记为k A ，p A P k =)(，q A P k =)(，那么p q A P A P A P A P A P A A A A A P k P k k k k k 113211321)()()()()()()(---==== ξ.（k ＝1，2，3，…）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：，…，分布列的表达式可有如下几种：（1）表格形式；（2）一组等式；（3）压缩为一个带“i ”的等式．2. 离散型随机变量期望和方差（1则称E ξ＝∑=1i x i p i， ++++=n n p x p x px 2211.为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．则其n 次射击的环数ξ的期望为E ξ＝4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.28＝8.32若b a +=ξη其中a ，b 是常数，则η也是随机变量．因为P （b ax i +=η）＝P （ξ＝x i ）i ＝1，2，3， …所以η于是E η＝（a x 1＋b ）p 1＋（a x 2＋b ）p 2＋…＋（a x n ＋b ）p n ＋…＝a （1p 1＋2p 2＋…＋x n p n ＋…）＋b （p 1＋p 2＋…＋p n ＋…）aE ξ＋b即（2那么，把 D ξ＝∑∞=1(i x i －E ξ)2p i ＝(x 1－E ξ)2·p 1＋(x 2－E ξ)2·p 2＋…＋(x n － E ξ)2·pn＋…叫做随机变量ξ的均方差，简称方差．其中E ξ是随机变量ξ的期望．D ξ的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．其中标准差与随机变量本身有相同的单位．两个计算方差的简单公式(不要求证明)：①D(a ξ＋b)＝a 2D ξ．②如果ξ～B(n ，p)，那么D ξ＝npq ，这里q ＝1－p说明：在实际问题中，人们常关心随机变量的特征，而不是随机变量的具体值．离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的特征数，期望反映了随机变量的平均取值，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．其中标准差与随机变量本身有相同的单位，在实际中应用更广泛．【解题方法指导】例1.盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）．记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ．（I ）求随机变量ξ的分布列； （II ）求随机变量ξ的期望ξE ．解：（I ）由题意可得，随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10． 随机变量ξ的概率分布列如下：ξE ＝2×0.09＋3×0.24＋4×0.16＋6×0.18＋7×0.24＋10×0.09＝5.2.例2.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解：（Ⅰ）依题意，ξ可能取的值为0，1，2，3．3,2,1,0,)(310346=⋅==-k C C C k P k k ξ.甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ＝0×301＋1×103＋2×21＋3×61＝59. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P(A)＝310361426C C C C +＝1202060+＝32，P(B)＝310381228C C C C +＝1205656+＝1514. 方法一：因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P(B A ⋅)＝P(A )P(B )＝（1－32）(1－1514)＝451. ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P(B A ⋅)＝1－451＝4544. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 方法二：因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P ＝P(A ·B )＋P(A ·B)＋P(A ·B)＝P(A)P(B )＋P(A )P(B)＋P(A)P(B) ＝32×151＋31×1514＋32×1514＝4544. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 说明：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．【考点突破】【考点指要】离散型随机变量是高考的重点内容，它是随机事件的概率的深化，它的本质是某些随机试验结果的数量化．离散型随机变量的分布列整体地反映了随机变量所有可能的取值及其相应值的概率P （ξ＝x i ）＝P i ．期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．离散型随机变量的期望与方差都建立在分布列的基础之上．方差又与期望紧密相连，求期望与方差的关键是求ξ的分布列．期望与方差是随机变量的最重要的两个特征数，它们所表示的意义具有很大的实用价值，所以成为高考的热点之一．历年高考中所占的分值为5~13分，多以填空题和解答题的形式出现．【典型例题分析】例1. （2005卷17题）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32． （I ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ； （II ）求乙至多击中目标2次的概率；（III ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．分析：本题主要考查概率的内容，考查点有随机事件的分布列、互斥事件的概率及相互独立事件的概率等.解：（I ）P (ξ＝0)＝03311()28C =，P (ξ＝1)＝13313()28C =， P (ξ＝2)＝23313()28C =，P (ξ＝3)＝33311()28C =.ξE ξ＝130123 1.58888⋅+⋅+⋅+⋅=， （或E ξ＝3·2＝1.5）； （II ）乙至多击中目标2次的概率为1－3332()3C ＝1927；（III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．1231121()()()8278924P A P B P B =+=⋅+⋅=所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124．例2. （2004某某卷理18题）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为14．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：（Ⅰ）ξ的概率分布列及期望E ξ；（Ⅱ）停车时最多已通过3个路口的概率． 解：（I ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4用A K 表示“汽车通过第k 个路口时不停（遇绿灯）”，则P （A K ）＝4321,,,),4,3,2,1(43A A A A k 且=独立.从而ξ有分布列：ξ 01234P41 16364925627256812562564256364216140=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （II ）256175256811)4(1)3(=-==-=≤ξξP P 答：停车时最多已通过3个路口的概率为256175．【综合测试】一. 选择题1.随机变量ξ的分布列如下，则m ＝ （ ）ξ1 2 3 4P41 M31 61 A.31 B. 2 C. 6 D. 42.某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则P （ξ≥1）等于（）A. 0.9163B. 0.0081C. 0.0756D. 0.99193. 某一计算机网络，有n 个终端，每个终端在一天中使用的概率p ，则这个网络中一天平均使用的终端个数为 （）A. np(1－p)B. npC. nD. p(1－ p) 4.设随机变量ξ～B(n ，p)，且E ξ＝1，D ξ＝1.8，则（ ）A. n ＝8，p ＝0.2B. n ＝4，p ＝0.4C. n ＝5，p ＝0.32D. n ＝7，p ＝0.45二. 填空题5.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ε，则P(ε>3)＝______________.6. 某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 ．(结果用分数表示) 7. 有一批数量很大的商品的次品率为100，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，则E ξ＝__________， D ξ＝_____________．8. 在有奖摸彩中，一期(发行10000X 彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一X 彩票的合理价格是_______________元．三. 解答题9.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么?10. A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： A 机床B 机床问：哪一台机床加工质量较好?11. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率．12.（2004年高考全国卷Ⅳ（19））某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率．参考答案一. 选择题1. D 解析：∵41＋m ＋31＋61＝1 ∴m ＝．∴选D 2. D 解析：∵P （ξ≥1）＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.7)4＝1－0.0081＝0.9919. ∴选D3. B 解析：设这个网络中一天使用的终端个数为ξ，则ξ～Ｂ(n ，p)，∴E ξ＝np ．∴选B ．4. A 解析：由E ξ＝ np ，D ξ＝np(1－p) 可知⎩⎨⎧-==)1(28.16.1p np np ∴⎩⎨⎧==2.08p n ∴选A二. 填空题 5.388813解：依题意，随机变量ε～Ｂ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴Ｐ(ε＝4)＝6561C 445⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛＝777625，P(ε＝5)＝55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛＝77761． ∴Ｐ(ε>3)＝P(ε＝4)＋P(ε＝5)＝388813． 6. 190119解：属于同一个国家的概率为190712202524211=++C C C C ， 所求概率为 190119190711=-，或：所求概率为 19011954511411220=⨯+⨯+⨯C 7. 2，1.98解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~B(200，1%). 因为E ξ＝n ξ，D ξ＝npq ，这里n ＝200，p ＝1%，q ＝99%， 所以，E ξ＝200⨯1%＝2，D ξ＝200%99%1⨯⨯＝1.98．8. 0.2解：设一X 彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取得的值为0，5，25，100.依题意，可得ξ的分布列为∴E ξ＝0400⨯2.0200010050025505=⨯+⨯+⨯+ 答：一X 彩票的合理价格是0.2元.三. 解答题9. 答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ＝5”．所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点，10.解：E ξ1 ＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44 E ξ2 ＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44 它们的期望相同，再比较它们的方差．D ξ1 ＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44) 2×0.2＋(2－0.44) 2×0.06＋(3－0.44) 2×0.04＝0.6064，D ξ2 ＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44) 2×0.06＋(2－0.44) 2×0.04＋(3－0.44) 2×0.10 ＝ 0.9264，∴D ξ1＜D ξ2，故A 机床加工较稳定、质量较好11. （Ⅰ）解：ξ可能取的值为0，1，2．2,1,0,)(36342=⋅==-k C C C k P k k ξ. 所以，ξ的分布列为（Ⅱ）解：由（1），ξ的数学期望为1525150=⨯+⨯+⨯=ξE（Ⅲ）解：由（1），“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率为54)1()0()1(==+==≤ξξξP P P12. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ＝－300）＝0.23＝0.008，P （ξ＝－100）＝3×0.22×0.8＝0.096，P （ξ＝100）＝3×0.2×0.82＝0.384，P （ξ＝300）＝0.83＝0.512， 所以ξ的概率分布为E ξ＝（－300）×0.008＋（－100）×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180. （Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）＝0.384＋0.512＝0.896.。

离散型随机变量分布列、期望、方差一、基本概念1.随机变量：如果随机试验的结构可以用一个变量来表示，那么这个变量叫做随机变量（常用,ξη来表示） 2.随机变量的分类：（１）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，如果可以按一定次序一一列出，称为离散型随机变量.（如：掷骰子出现的点数）（２）连续型随机变量：可以取某区间内的一切值时，这样的随机变量称为连续型随机变量.（如：某工厂加工某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差）练习：下列量是否为随机变量，如果是，是哪一型随机变量？1.100件产品中5件次品，任取4件，次品数（离散，0,1,2,3,4ξ=）2.连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数（离散，1,2,3,4,,,n ξ=）3.射击一次命中的环数（离散，0,1,2,3,4,,10ξ=）4.某公司促销水杯，原价6元，现一次购买小于等于50只不优惠，超出50只，超出部分按七折优惠，现去买水杯，至少买50只，不得超过80只，已知买水杯数ξ是一个随机变量，那么付款呢？两者之间有什么关系？506(50)60.76ηξξ=⨯+-⨯⨯=+，其中5080ξ≤≤，故：a b ηξ=+为ξ的随机变量函数３．离散型随机变量的分布列：例一：投掷硬币一次，随机变量有两个（正面=0，反面=1）每个概率12，用一个表格将随机变量与其例二：掷一枚骰子，静止时朝上的点数为随机变量6个，每个概率1例三：掷两枚骰子，静止时，朝上的点数和为随机变量11个，每个概率是多少？如何列举像上述三个问题一样，将随机变量ξ的取值，与相应取值下的概率写成一个表格，这个表格就叫做随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列设离散型随机变量ξ的可能取值为12,,,,n x x x ，ξ取每一个(1,2,3,)n x n =的概率()n n P x P ξ==，则分布列要求：1.看清ξ的意义，写对随机变量；2.算准每个概率性质：1. 0i P ≥ 2.11ni i P ==∑4．两个重要的分布列：例：某君参加射击，每一次击中目标的概率为0.99，（1）设ξ为他射击6次击中目标的次数，求ξ的分布列（二项分布） （2）设η为他第一次击中目标时所需射击的次数，求η的分布列（几何分布）5．离散型随机变量的期望与方差： 例：某射手射击所得环数ξ的分布列如下：他射击所得环数的平均数为多少？平均环数=40.0250.04100.2240.0250.04100.228.32n n n n⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯==⨯+⨯++⨯=总环数射击次数定义：离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平若离散型随机变量ξ的分布列为：则称1122n n E x P x P x P ξ=+++，为ξ的数学期望，或平均数，均值，简称期望理解：（1）期望是算数平均值的概念的推广，是概率意义下的平均，单位与ξ一致 （2）E ξ是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，描述ξ的平均状态，与试验次数无关 类比统计数据的方差，我们可以给出离散型随机变量的方差：2221122()()()n n D x E P x E P x E P ξξξξ=-+-++-，它反映了随机变量的取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 6．常用公式：（1）()E a b aE b ξξ+=+（易证） （2）2()D a b a D ξξ+= （222112222221122()()()()[()()()]n nn n D a b ax b aE b P ax b aE b P ax b aE b P a x E P x E P x E P ξξξξξξξ+=+--++--+++--=-+-++-）（3）22()D E E ξξξ=-（22211222222112211221222()()()()2()()()()n nn n n n n D x E P x E P x E P x P x P x P E x P x P x P E P P P E E ξξξξξξξξ=-+-++-=+++-+++++++=-）了解：二项分布,(1)E np D np p ξξ==- 几何分布211,p E D p pξξ-==二、习题精练1.设随机变量ξ的分布列为1()(),1,2,33iP i a i ξ===，则a =___________2.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验成功的次数，则(0)P ξ==___3.下列变量：（1）某信息台1分钟接到的信息总数ξ是一个随机变量（2）以仪器测量得来的最小单位来计数，测量的误差ξ是一个随机变量（3）一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置是一个随机变量，以上是离散型随机变量的是__________4.已知随机变量ξ的概率分布如下：则(10)P ξ==__________ 5.随机变量ξ为()(1,2,3,4)(1)cP k k k k ξ===+，其中c 为常数，则15()22P ξ<<=_________6.已知离散型随机变量ξ的分布列为：若2()12P x ξ<=，则实数x 的取值范围是___________7.现有10张奖券，其中8张2元，2张5元，从中同时任意取3张，所得金额的分布列为_________ 8.设随机变量η满足：(1),(0)1,P p P p ηη====-则D η=_________9.已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差σ=_____10.若ξ是离散型随机变量，12()3P x ξ==，21()3P x ξ==，且12x x <，又已知42,39E D ξξ==，则12x x +=_______11.求()E E ξξ-=______ ()D D ξξ-=_______ 12.已知随机变量ξ的分布列为1()(1,2,,10)10P k k ξ===，则1(2)2E ξ+=________13.节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元，节后卖不出的鲜花以每束1.6元的价格处理，根据5年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这14.某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的时间是独立的，并且胜场的概率是13（1）求这支篮球队首次胜场前已经负4的概率（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率（3）求这支篮球队在六场比赛中胜场数的期望与方差15.某人在投篮练习中最多可以投4次，设每次投中的概率都是0.7，分别求：（1）在4次投篮练习中恰好投中2次的概率（2）若规定：一旦投中即停止练习，否则一直试投到四次为止，求该人投篮次数ξ的数学期望16.袋中1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，（1）求取球次数ξ的概率分布（2）求ξ的数学期望和方差17.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23（1）设甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ（2）求乙至多击中目标2次的概率（3）求甲恰好比乙多集中目标2次的概率18.A 、B 两位同学各有5张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已经赢得所有卡片时游戏终止，设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数（1）求ξ的取值范围（2）求ξ的数学期望E ξ19.某城市有甲乙丙3个旅游景点，一位游客游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值（1）求ξ的分布列及数学期望（2）证“函数2()31f x x x ξ=-+”在区间[)2,+∞上单调递增为事件A ，求事件A 的概率。

离散型随机变量的数学期望和方差知识点一、离散型随机变量的数学期望 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称n n i i p x p x p x p x X E +++++= 2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。

2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。

3.性质：若X 是随机变量，b aX Y +=，其中b a ,是实数，则Y 也是随机变量，且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称∑=-=ni i ip X E x X D 12))(()(为随机变量的方差。

2.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。

3.性质：)()(2X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差如果),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=。

题型一离散型随机变量的均值【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝()X0123P0.1a b0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2 D．0.4【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为()A．0.6 B．1C．3.5 D．2【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【过关练习】1.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E (ξ)等于( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765D ．0.222.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：3.已知随机变量ξ的分布列为则x ＝______，P (1≤ξ<3)＝4.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．题型二 离散型随机变量方差的计算【例1】若X 的分布列为其中p ∈(0,1)，则( ) A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2D ．D (X )＝pq 2【例2】设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n⎝⎛⎭⎫23k .⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24, 则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29D ．16【例3】若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________.【例4】若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则σ(X 3)＝( )A ．0.5 B. 1.5 C. 2.5D ．3.5【例5】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：求工期延误天数Y 的均值与方差．【过关练习】1.某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( ) A ．0.48 B ．1.2 C ．0.72D ．0.62.设投掷一个骰子的点数为随机变量X ，则X 的方差为________．3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X 表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列结论：①E (X )＝65，E (η)＝95；②E (X 2)＝E (η)；③E (η2)＝E (X )；④D (X )＝D (η)＝925.其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)4.海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2(单位：s)，其分布列如下：课后练习【补救练习】1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.642．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为()A．100和0.08 B．20和0.4C．10和0.2 D．10和0.83.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较4．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．【巩固练习】1.现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是() A．6 B．7.8C．9 D．122.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为()A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.43.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6,2.4 B．2,2.4C．2,5.6 D．6,5.64.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.5.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.6.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.7.某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出3 km 时按起步价收费，若行驶路程超出3 km ，则按每超出 1 km 加收3元计费(超出不足 1 km 的部分按 1 km 计)．已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位：km)，它们出现的概率分别为0.12,0.18，0.20，0.20,0.18,0.12，设出租车行车路程ξ是一个随机变量，司机收费为η(元)，则η＝3ξ－3，求出租车行驶一天收费的均值．8.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D (ξ)为62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【拔高练习】1．设ξ为离散型随机变量，则E (E (ξ)－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．3.A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为：(1)在A ，B 两个项目上各投资10012A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．。

专题十一 概率与统计第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p =A ．0．7B ．0．6C ．0．4D ．0．32．(2018浙江)设01p <<，随机变量ξ的分布列是0 1 2则当p 在(0,1)内增大时，A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 3．（2017浙江）已知随机变量i ξ满足(1)i i P p ξ==，(0)1i i P p ξ==-，i =1，2．若12102p p <<<，则 A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξB ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξC ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξD ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ 4．（2014浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中．（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =．则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξ<>C ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<二、填空题5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，Χ表示抽到的二等品件数，则DX = ．6．(2016年四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .7．（2014浙江）随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=__． 三、解答题8．（2018北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．9．（2018全国卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(<<p p ，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(p f ，求)(p f 的最大值点0p ．(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？10．(2018天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．11．（2017新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温[10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。