假设检验的公式运用总结

第三节u检验和t检验u检验和t检验可用于样本均数与总体均数的比较以及两样本均数的比较。

理论上要求样本来自正态分布总体。

但在实用时，只要样本例数n较大，或n小但总体标准差σ已知时，就可应用u检验；n小且总体标准差σ未知时，可应用t检验，但要求样本来自正态分布总体。

两样本均数比较时还要求两总体方差相等。

一、样本均数与总体均数比较比较的目的是推断样本所代表的未知总体均数μ与已知总体均数μ0有无差别。

通常把理论值、标准值或经大量调查所得的稳定值作为μ0.根据样本例数n大小和总体标准差σ是否已知选用u检验或t 检验。

（一）u检验用于σ已知或σ未知但n足够大[用样本标准差s作为σ的估计值，代入式（19.6）]时。

以算得的统计量u，按表19-3所示关系作判断。

表19-3 u值、P值与统计结论例19.3根据大量调查，已知健康成年男子脉搏均数为72次/分，标准差为6.0次/分。

某医生在山区随机抽查25名健康成年男子，求得其脉搏均数为74.2次/分，能否据此认为山区成年男子的脉搏高于一般？据题意，可把大量调查所得的均数72次/分与标准差6.0次/分看作为总体均数μ0和总体标准差σ，样本均数x为74.2次/分，样本例数n为25.H0：μ=μ0H1：μ＞μ0α=0.05（单侧检验）算得的统计量u=1.833＞1.645，P＜0.05，按α=0.05检验水准拒绝H0，可认为该山区健康成年男子的脉搏高于一般。

（二）t检验用于σ未知且n较小时。

以算得的统计量t，按表19-4所示关系作判断。

表19-4 ｜t｜值、P值与统计结论例19.4 若例19.3中总体标准差σ未知，但样本标准差已求出，s=6.5次/分，余数据同例19.3.据题意，与例19.3不同之处在于σ未知，可用t检验。

H0：μ=μ0H1：μ＞μ0α=0.05（单侧检验）本例自由度v=25-1=24，查t界值表（单侧）（附表19-1）得t0.05（24）=1.711.算得的统计量t=1.692＜1.711，P＞0.05，按α=0.05检验水准不拒绝H0，尚不能认为该山区成年男子的脉搏高于一般。

3.1 假设检验1．假设检验是统计推断的一个基本问题，在总体的分布函数完全未知或只知其形式但不知其参数的情况下，为了推断总体的某些性质，先对总体的分布类型或总体分布的参数做某种假设，然后根据样本提供的信息，对所作的假设作出是接受，还是拒绝的决策，这一过程就是假设检验。

2．定义1 对总体分布类型或未知参数值提出的假设称为待检假设或原假设，用表示。

对某问题提出待检假设的同时，也就给出了相对立的备择假设，用1H 表示。

3．假设检验的基本原理：首先提出原假设，其次在成立的条件下，考虑已经观测到的样本信息出现的概率。

如果这个概率很小，这就表明一个概率很小的事件在一次实验中发生了。

而小概率原理认为，概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的，也就是说在成立的条件下导出了一个违背小概率原理的结论，这表明假设是不正确的，因此拒绝，否则接受。

4．假设检验的两类错误假设检验中作出推断的基础是一个样本，是以部分来推断总体，因此不可避免地会犯错误。

第一类错误（弃真错误）：0H 为真而拒绝，；第二类错误（取伪错误）：0H 不真而接受0H 。

犯第一类错误的概率记为{}00P H H 当为真拒绝，犯第二类错误的概率记为{}00P H H 当不真接受。

我们当然希望犯两类错误的概率都很小，但是，进一步讨论可知，当样本容量固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往增大。

若要使犯两类错误的概率都减小，则须增加样本容量。

在给定样本容量的情况下，一般来说，我们总是控制犯第一类错误的概率，使它不大于α，即令{}00P H H α≤当为真拒绝，通常取0.1,0.05,0.01等。

这种只对犯第一类错误的概率加以控制。

而不考虑犯第二类错误的概率的检验，成为显著性检验。

α是一个事0H 0H 0H 0H 0H 0H 0H 0H 0H α先指定的小的正数，称为显著性水平或检验水平。

5．假设检验的步骤（1）提出原假设和备择假设1H（2）给定n α及（3）选取检验统计量及确定拒绝域的形式（4）令{}00P H H α≤当为真拒绝，求拒绝域（5）由样本值作出决策：拒绝0H 或接受0H 。

常见的假设检验一般地说，根据样本对总体某项或某几项作出假设，并对该假设作出接受或拒绝的判断，这种方法称为假设检验。

u—检验法检验的是：在大样本（n>30）的情况下，某一随机变量的期望是否等于一个常数C。

t检验法/学生检验检验的是：在小样本（n<30）的情况下，两个变量的平均值差异程度。

对于两个变量的解释：可以看作是两个不同的样本；也可以看作是抽样样本和总体。

据此就分为：单样本T检验、配对样本T检验和独立样本T检验例子：难产婴儿和总体婴儿对比；治疗前后对比；北京人和南京人对比χ2检验法（卡方检验）检验的是：两个及其以上的频率/构成比例之间的差异分析，对比的数是“比例”案例：某咨询公司想了解南京和北京的市民对最低生活保障的满意程度是否相同。

他们从南京抽出600居民，北京抽取600居民，每个居民对满意程度(非常满意、满意、不满意、非常不满意)任选一种，且只能选一种。

南京和北京居民对最低生活保障满意程度比例相同吗？检验的是：来自不同总体的两个样本的方差是否存在差异。

F检验又叫方差齐性检验。

简单的说，检验两个样本的方差是否有显著性差异。

从两个研究总体中随机抽取样本，要对这两个样本进行比较的时候，首先要判断两总体方差是否相同，即方差齐性。

若两总体方差相等，则直接用t检验，若不等，可采用t'检验或变量变换或秩和检验等方法。

要判断两个总体方差是否相等，就可以用F检验。

（在OLS中，假设随机扰动项是0均值、同方差——方差齐性、非序列相关）。

在两样本t检验（两个样本的均值差异性检验）中要用到F检验。

这是选择何种T检验（等方差双样本检验，异方差双样本检验）的前提条件。

F检验法是英国统计学家Fisher提出的，主要通过比较两组数据的方差 σ2，以确定他们的精密度是否有显著性差异。

至于两组数据之间是否存在系统误差，则在进行F检验并确定它们的精密度没有显著性差异之后，再进行t检验。

计算方法：检验的是：比较两个独立样本的分布是否存在差异适用范围：在实践中我们常常会遇到以下一些资料，如需比较患者和正常人的血铁蛋白、血铅值、不同药物的溶解时间、实验鼠发癌后的生存日数、护理效果评分等，这类资料有如下特点：（1）资料的总体分布类型未知；（2）资料的总体分布类型已知，但不符合正态分布；（3）某些变量可能无法精确测量；（4）方差不齐。

应用数理统计之假设检验1. 概述假设检验是数理统计中一种重要的推论方法，用于对统计总体的某些特征提出假设，并通过收集样本数据进行检验，以确认这些假设是否成立。

在实际应用中，假设检验可以帮助我们对某些问题做出明智的决策，比如判断广告效果是否显著、产品质量是否达标等。

2. 基本概念2.1 零假设和备择假设•零假设（H0）：通常表示我们希望进行检验的假设，可以是一种默认的状态或者旧观点。

例如，H0：广告对销售额没有显著影响。

•备择假设（Ha）：与零假设相对立的假设，通常体现了研究者的猜想或者新观点。

例如，Ha：广告对销售额有显著影响。

2.2 显著水平和p值•显著水平（α）：在假设检验中设定的判断标准，通常取0.05或0.01。

当p值小于等于显著水平时，我们拒绝零假设。

•p值：表示观察到的样本数据对应的统计量取得更极端情况的概率。

当p值越小时，表明数据发生的概率越低，从而支持备择假设。

3. 假设检验的步骤3.1 确定假设首先要明确研究问题，提出零假设和备择假设。

3.2 选择适当的检验方法根据实验设计和数据类型，选择合适的假设检验方法，包括单样本t检验、双样本t检验、方差分析等。

3.3 收集数据并计算统计量根据样本数据，计算相应的统计量，如t值、F值等。

3.4 判断显著性计算p值，并与显著水平进行比较，判断是否拒绝零假设。

3.5 得出结论根据假设检验的结果，综合考虑实际问题，得出结论并做出相应的决策。

4. 假设检验的举例4.1 单样本t检验假设我们想要验证某药物的疗效，零假设为“该药物对疗效没有显著影响”，备择假设为“该药物对疗效有显著影响”。

我们进行了对照组和实验组的实验，通过单样本t检验计算得到的p值为0.03，显著水平为0.05。

根据检验结果，我们拒绝了零假设，认为该药物对疗效有显著影响。

4.2 双样本t检验假设我们想比较两种产品的质量表现，零假设为“两种产品的平均质量没有显著差异”，备择假设为“两种产品的平均质量存在显著差异”。

第七章假设检验第一节假设检验的基本知识一、假设陈述1、原假设/虚无假设：用H表示，常常是根据已有资料得出的，稳定、保守的经验性看法，没有充分根据是不会被推翻的。

2、备选假设/研究假设：与原假设对立的假设，用H1表示，经过抽样调查后，获得证据希望予以支持的假设。

二、假设检验的基本原理——小概率原理小概率原理：一次观察中小概率事件被认为不可能发生；如果一次观察出现了小概率事件，合理的想法应该是否定原有事件具有小概率的说法。

小概率原理在假设检验中的运用：抽取一个样本并计算出检验统计量，如果在原假设成立的条件下这个统计量几乎不可能发生，则拒绝原假设而接受备选假设。

反之，如果计算出的统计量发生的可能性不太小，则接受原假设。

即在原假设下，检验统计量是小概率事件则拒绝原假设。

例1：某市场有100位摊贩，根据以往统计，其中非本地居民占10%，现随机抽取10人调查，发现5个都不是本地人，则原有统计结果是否成立？解：H：100人中10个是非本地人。

计算在原假设成立的情况下，抽取5人都是非本地人的概率：P= C105 C905/C10010＜10-4可见，出现5名非本地人的结果概率极其小，但一次实验就出现了，所以怀疑原假设的真实性，拒绝原假设。

三、拒绝域与显著性水平1、显著性水平α，在原假设成立条件下，统计检验中规定的小概率的数量界限，常用的有α=0.10,0.05,0.01。

2、接受域和拒绝域根据原假设画出统计量的分布，以Z分布为例。

如果把拒绝原假设的小概率α事件定在分布的右侧尾部，则右侧面积代表的概率即显著性水平，Zα是临界值。

如果检验统计量值Z＞Zα，则应拒绝原假设；如Z＜Zα，则接受原假设。

以Zα为临界值，左边为接受域，右边为拒绝域。

也可把α定在左边或两边。

α1、双边检验如果拒绝域放在抽样分布的两侧，每侧拒绝域的概率分别为α/2，假设抽样本分布以0为对称，则P(|Z|＞Z α/2)= α；双边检验的假设如下：H 0: μ=μ0H 1: μ≠-Z α/2 Z α/2如果检验统计量|Z|＞Z α/2，则拒绝原假设，否则接受。

假设检验的公式运用总结假设检验是统计学中的一种方法，用于根据样本数据来对一个或多个总体参数进行推断。

它可以用来验证与研究假设或猜想相关的统计推断。

以下是假设检验的公式运用总结。

1.假设检验的步骤-第一步：提出原假设（零假设）和备择假设。

原假设通常表示没有变化或无效果，备择假设则表示有变化或有效果。

-第二步：确定显著性水平（α），用于设定拒绝原假设的临界值。

-第三步：收集样本数据并计算所需的统计量。

根据问题的不同，可能需要计算平均值、比例、标准差等统计量。

-第四步：计算拒绝域的临界值。

根据样本量、显著性水平和检验类型，可以使用不同的分布来计算。

-第五步：计算检验统计量的值，并将其与拒绝域的临界值进行比较。

-第六步：做出决策，判断是否拒绝原假设。

如果检验统计量的值落在拒绝域内，则拒绝原假设；否则，接受原假设。

2.常见的假设检验公式2.1单样本t检验-假设检验的计算公式：t=(tt-t)/(√(t²/t))-其中，tt为样本均值，t为总体均值，t²为样本的方差，t为样本量。

2.2双独立样本t检验-假设检验的计算公式：t=(tt₁-tt₂)/√(t₁²/t₁+t₂²/t₂)-其中，tt₁和tt₂为两个独立样本的均值，t₁²和t₂²为两个独立样本的方差，t₁和t₂为两个独立样本的样本量。

2.3配对样本t检验-假设检验的计算公式：t=(ttt-t₀)/(√(t²t/t)-其中，ttt为配对样本的差异的均值，t₀为配对样本差异的总体均值，t²t为配对样本差异的样本方差，t为配对样本的样本量。

2.4卡方检验-假设检验的计算公式：t²=Σ(tt-tt)²/tt-其中，tt为观察到的频数，tt为期望的频数。

2.5方差分析-假设检验的计算公式：t=tttt/tttt-其中，tttt为处理间均方，tttt为处理内均方。

以上是常见的假设检验公式的运用总结。

定义假设检验是用来判断样本与样本，样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法。

其基本原理是先对总体的特征作出某种假设，然后通过抽样研究的统计推理，对此假设应该被拒绝还是接受作出推断。

基本原理（1）先假设总体某项假设成立，计算其会导致什么结果产生。

若导致不合理现象产生，则拒绝原先的假设。

若并不导致不合理的现象产生，则不能拒绝原先假设，从而接受原先假设。

（2）它又不同于一般的反证法。

所谓不合理现象产生，并非指形式逻辑上的绝对矛盾，而是基于小概率原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，若发生了，就是不合理的。

至于怎样才算是“小概率”呢？通常可将概率不超过0.05的事件称为“小概率事件”，也可视具体情形而取0.1或0.01等。

在假设检验中常记这个概率为α，称为显著性水平。

而把原先设定的假设成为原假设，记作H0。

把与H0相反的假设称为备择假设，它是原假设被拒绝时而应接受的假设，记作H1。

假设的形式H0——原假设，H1——备择假设双侧检验：H0:μ = μ0，单侧检验：，H1:μ < μ0 或，H1:μ > μ0假设检验就是根据样本观察结果对原假设（H0）进行检验，接受H0，就否定H1；拒绝H0，就接受H1。

假设检验的种类下面介绍几种常见的假设检验1.T检验亦称student t检验（Student's t test），主要用于样本含量较小（例如n<30），总体标准差σ未知的正态分布资料。

目的：比较样本均数所代表的未知总体均数μ和已知总体均数μ0。

计算公式：统计量：自由度：v=n - 1适用条件：(1) 已知一个总体均数；(2) 可得到一个样本均数及该样本标准误；(3) 样本来自正态或近似正态总体。

T检验的步骤1、建立虚无假设H0:μ1= μ2，即先假定两个总体平均数之间没有显著差异；2、计算统计量T值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法；1）如果要评断一个总体中的小样本平均数与总体平均值之间的差异程度，其统计量T值的计算公式为：2）如果要评断两组样本平均数之间的差异程度，其统计量T值的计算公式为：3、根据自由度df=n-1，查T值表，找出规定的T理论值并进行比较。

通俗易懂说假设检验1.假设检验的基本概念1.假设检验的分类和基本原理。

假设检验是一种带有概率性质的反证法。

其依据是小概率事件在一次观察中不会出现。

例如：北京方便面官方发布一袋北京方便面重100g（默认是正态分布），为了证明官方是否说谎，我们随机从刚刚批发进货来的几箱北京方便面中，随机抽样一袋，来证明。

这里我们就用假设检验方法来证明（实则是用反证法）。

反证法的思路是：假设条件成立，然后推翻或者证明条件。

这里我们假设H0：北京方便面均值u=100g，并服从正态分布X服从N(100,2^2).由概率学可知u-3v <= X <=u+3v的概率为0.9973，即94 <=X <= 106,如果随机抽取一包方便面的重量为90g，那么没有落在上述大概率的范围内，我们将认为这种小概率的观测一般不可能出现。

故否定我们的条件H0，即否定H0.假设检验分为参数检验和非参数检验。

参数检验:在已知总体分布类型的前提下，判断总体参数及相关性质。

上面的例子就是参数测试。

给定官方公布的分布类型，测试官方分布中平均值的参数。

非参数检验:总体分布的类型是部分或完全未知的，检验的目的是作出一般性的推断，如分布的类型，两个变量是否独立，分布是否相同等。

总结：处理参数的假设检验我们一般是三部曲：1.根据实际情况提出假设H0和备选假设H1；如H0=100g;H1不等于100g。

2.在假设H0成立的条件，确定检验统计量。

如上述例子U=（X-100）/2 服从N(0,1)的正态分布3.给定显著性水平a，即上述例子中3v。

来确定条件是否成立。

小技巧：这里的第二步，一般根据已知条件情况来构造统计量，如上述北京方便面的例子，已知方差为2，来检验均值是否为100.即构造统计量U.如果方差未知，来检验均值要构造统计量T为：非参数检验的举例：经典非参数检验的例子是卡方分布拟合检验，不要被名字给吓住了，其实很简单其思想和上面参数检验一样，利用反证法的思路。

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值决策
P，拒绝H o 准则
总体比率的检验与总体均值的检验基本上是相同的，区别只在于参数和检验统计量的形式不同。

所以总体均值检验的整个程序可以作为总体比率检验的参考，甚至有很多内容可以完全“照搬”。

与总体均值和总体比率检验所通常使用的抽样分布（正态分布或t分布）不同，一个总
体方差的检验用的是卡方（2）分布。

此外，总体方差的检验，不论样本容量n的大小，都要求总体服从正态分布，这是由检验统计量的抽样分布决定的。

数理统计中的重要公式整理正文：数理统计是一门研究统计学原理和方法的学科，其重要性不可忽视。

在数理统计中，有一些重要的公式被广泛应用于各类统计问题的求解和分析。

本文将对数理统计中的重要公式进行整理，以帮助读者更好地掌握和应用这些公式。

1. 概率论与数理统计基本公式1.1 概率论基本公式：(1) 加法法则：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)(2) 乘法法则：P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)(3) 全概率公式：P(A) = ∑ P(A ∩ Bᵢ) = ∑ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)(4) 贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)1.2 数理统计基本公式：(1) 期望值公式：E(X) = ∑ XᵢP(Xᵢ)(2) 方差公式：Var(X) = E[(X - E(X))²] = E(X²) - [E(X)]²(3) 协方差公式：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(XY) -E(X)E(Y)(4) 相关系数公式：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / σ(X)σ(Y)2. 统计推断中的重要公式2.1 参数估计公式：(1) 矩估计：θ̂= ḡ(m₁, m₂, ..., mₖ)(2) 最大似然估计：θ̂= argmax[∏ f(x; θ)](3) 最小二乘估计：θ̂= argmin[∑ (yᵢ - g(xᵢ; θ))²]2.2 假设检验公式：(1) z检验：z = (x - μ) / (σ/√n)(2) t检验：t = (x - μ) / (s/√n)(3) 卡方检验：χ² = ∑ (Oᵢ - Eᵢ)² / Eᵢ3. 抽样理论中的重要公式3.1 随机变量公式：(1) 期望值公式：E(X) = μ(2) 方差公式：Var(X) = σ²/n(3) 中心极限定理：Z = (X - μ) / (σ/√n) 服从标准正态分布3.2 总体参数估计公式：(1) 基本抽样分布（z分布）：z = (X - μ) / (σ/√n)(2) t分布：t = (X - μ) / (s/√n)(3) X²分布：χ² = ∑ (Xᵢ - Eᵢ)² / Eᵢ4. 方差分析中的重要公式4.1 单因素方差分析公式：(1) 总平方和公式：SST = ∑ (xᵢj - x)²(2) 因素平方和公式：SFA = n ∑ (xₖ - x)²(3) 误差平方和公式：SSE = ∑ (xᵢj - xₖ)²4.2 F检验公式：F = (SFA / (k - 1)) / (SSE / (n - k))5. 相关分析中的重要公式5.1 简单线性回归公式：(1) 回归模型：Y = β₀ + β₁X + ε(2) 最小二乘估计公式：β̂₁ = ∑((Xᵢ - X)(Yᵢ - Ȳ)) / ∑((Xᵢ - X)²)β̂₀ = Ȳ - β̂₁X(3) 相关系数公式：r = Cov(X, Y) / (σ(X)σ(Y))6. 抽样调查中的重要公式6.1 简单随机抽样公式：(1) 抽样率：p = n / N(2) 估计总量公式：T = N * (X / n)(3) 估计方差公式：Var(T) = N² * ((1 - p/n) / n) * σ²7. 时间序列分析中的重要公式7.1 平稳时间序列公式：(1) 自协方差公式：γ(h) = Cov(Xₖ, Xₖ₋ₖ) = γ(-h)(2) 自相关系数公式：ρ(h) = Cov(Xₖ, Xₖ₋ₖ) / (σ(Xₖ)σ(Xₖ₋ₖ))通过对这些数理统计中的重要公式的整理，我们可以更加方便地在实际问题中应用这些公式，进行数据分析、参数估计、假设检验等统计推断工作。