近世代数 1.1 集合,1.2 映射

近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究摘要我们对集合并不陌⽣，我们所熟知的集合实际上是朴素集合.那么我们为什么要讨论集合的划分呢?因为它在商群、商环、商域等其他⽅⾯中有着极其重要的应⽤.我们要研究集合的划分就必须研究等价关系，因为它们是互相决定的。

因此我们先从等价关系开始说起，之后再来探讨集合的划分，然后观察集合的划分在各⽅⾯的应⽤.第⼀章等价关系与等价类定义1.1：设S 是⼀个⾮空集合，R 是关于S 的元素的⼀个条件.如果对S 中任意⼀个有序元素对（a ，b ），我们总能确定a 与b 是否满⾜条件R ，就称R 是S 的⼀个关系（relation ）.如果a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 有关系R ，记做aRb ;否则称a 与b ⽆关系R.关系R 也成为⼆元关系.定义1.2：设~是集合A 上的⼀个⼆元关系，若满⾜下列性质：（1）⾃反性：?a ∈A ,a~a;（2）对称性：?a,b ∈A,a~b,则b~a;（3）传递性：?a,b,c ∈A,a~b,b~c,则a~c.则称~A 上的⼀个等价关系.当a~b 时，称a 与b 等价.定义1.3：设⼀个集合A 分成若⼲个⾮空⼦集，使得A 中每⼀个元素属于且只属于⼀个⼦集，则这些⼦集的全体成为A 的⼀个分类。

每个⼦集称为⼀个类.类⾥任何⼀个元素称为这个类的⼀个代表.由定义可知，A 的⾮空⼦集族S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类当且仅当其满⾜下列性质：（1） Ii iA ∈=A; （2）当j i ≠时，=j i A A ?，即不同的类互不相交.定理1.1 设S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类，规定~为： a~b ?a 与b 同属于同⼀个类，则~是A 上的⼀个等价关系.证明：⾸先由分类的定义，~是A 的⼀个关系.⽽且，显然?a ∈A ，a~a ；⼜?a ，b ∈A ，若a~b ，则a 与b 属于同⼀个类，从⽽b~a ；?a ，b ，c ∈A ，若a~b ，b~c ，则a 与b 属于同⼀个类，b 与c 属于同⼀个类，于是a 与c 属于同⼀个类，从⽽a~c.因此~是A 上的⼀个等价关系.定理1.2 设~是A 上的⼀个等价关系，对于a ∈A ，令[a]={x|x ∈A,x~a},则A 的⼦集族是A 的⼀个分类.证明（1）?a ∈A ，因为,a~a ，所以a ∈[a]，从⽽[a]是⼀个⾮空⼦集，并且[]=∈ A a a A.（2）若[a] [b]≠?,则?c ∈[a] [b]，于是c~a ，c~b ，从⽽a~b.x ∈[a],有x~a ，于是x~b ，所以x ∈[b]，即[a]?[b].同理[b]?[a].这⾥就得到[a]=[b].所以不同的等价类互不相交.该定理中所构成的⼦集[a]称为A 的⼀个包含a 的~等价类.定义4：设~是A 上的⼀个等价关系，由A 的全体不同~等价类所组成的集合族称为A 关于~的商集，记作A/~.第⼆章商群我们研究商群必须要知道：它是由什么样的等价关系确定的什么样的等价类，然后由这些等价类构成的集合再定义⼀种什么样的运算才是商群，最后为了把⼀些较为复杂的群转化较为简单的群，再给出群的同态基本定理.⼀、什么样的等价关系我们知道由⼀个正整数m ，确定了整数间的⼀个等价关系m R ，即a m Rb ?m|a —b ，?a ，b ∈Z .其中Z 是⼀个由1⽣成的循环加群，（m ）是Z 的⼀个⼦加群，且从⽽m R 也可以认为是由Z 的⼀个⼦群（m ）所确定的.现在将这个思想推⼴到⼀般的群中，设H 是群G 的⼀个⼦群，在G 中定义⼀个关系R ：G b a H ab H a b aRb 1-1-∈?∈∈?，，且容易验证R 是⼀个等价关系.利⽤这个等价关系可以决定群G 的⼀个分类.⼆、什么样的等价类定义2.1 设H ≤G ，由等价关系R 所决定的类称为H 的陪集.定理2.1 设H ≤G ，则包含元素a 的陪集等于Ha aH 或.证明将包含元素a 的陪集记作[a].?b ∈[a]，有bRa ，即H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即b=a 1h =∈a h 2Ha aH =，所以有[a]aH ?=Ha .反之，?b ∈Ha aH =，?21h h ，∈H ，使b=a h ah 21=，于是H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即bRa ，从⽽b ∈[a]，所以有aH ]a [].a [Ha aH =?=因此.三、商群定理2.2 设G 是群，N G ，令G/N={aN |a ∈G},规定： ,/G bN aN N ab bN aN N ∈?=，，）（则（G/N,?）是⼀个群.证明⾸先证明?是G/N 的代数运算，即G/N 到G/N 的映射，也就是要证与代表元的选取⽆关.设aN N a 1=，，bN N b 1=则N n a a 111-∈=，.N n b b 21-1∈=因为N G ，所以11111使3111n b b n =，这样N n n n b b b n b b a a b b a ab 3231-111-111-11-111-∈====）（）（）（）（）（，从⽽（ab ）N=（11b a ）N ，所以?是G/N 的代数运算，⼜?,/G cN bN aN N ∈，，有=====N bc aN ]bc [a N ]c )ab [(cN N ab cN bN aN ）（）（）（）（），（cN bN aN ??从⽽?满⾜结合律，且,/G aN eN aN aN eN N ∈??=?，从⽽N=eN 是G/N 的单位元.?,/G aN N ∈存在,/G N a 1-N ∈使，eN aN N a N a aN -11-=?=?从⽽.aN N a 1-的逆元是因此G/N 是⼀个群. 该定理中够作的群G/N 称为G 关于N 的商群.四、有限阶群的阶和⼦群阶的关系定理2.3（Lagrange （拉格朗⽇））设G 是有限群，H 是G 的⼦群，则|G|=[G ：H]|H|证明因为G 是有限群，所以[G ：H]有限，设为k ，则G=U U H a H a 21…H a k U .⼜因为在H 和H a i 之间存在⼀个双射，所以|H a i |=|H|，因此|G|=H a 1+…+H a k =k|H|=[G ：H]|H|. 五、群的同态基本定理定理2.4（同态基本定理）设f 是群G 到G ’的同态，则（1）Kerf G ；（2）G/ Kerf ?Imf.证明（1）因为e ∈ Kerf ，所以Kerf ≠?.⼜?a ，b ∈ Kerf ，x ∈G ，即f （a ）=f （b ）=e '，则f （a 1b -）= f （a ）1b f -）（= e '1e -= e ',f(xa -1x )=f(x)f(a)1x f -）（= f(x) e '1x f -）（=e '，从⽽a 1b -，xa -1x ∈ Kerf ，因此Kerf G.（2）在G/ Kerf 到Imf 间规定⼀个法则：Φ：aKerf f （a ）.a) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有aKerf=bKerf ?1a -∈Kerf ?f(1a -b)= e '1a f -）（f （b ）= e ' ? f （a ）=f （b ），从⽽Φ是⼀个G/ Kerf 到Imf 的映射.b ）?a ' ∈ Imf ，?a ∈G ，使 f （a ）= a '，于是Φ（aKerf ）= f （a ）=a '，从⽽Φ是满射.c) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf)= Φ( bKerf) ? f （a ）=f （b ）?1a f -）（ f （b ）=e ' ?f(1a -b)=e ' ? 1a -b ∈Kerf ? aKerf=bKerf ，从⽽Φ是单射.d) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf ?bKerf) =Φ( abKerf)=f(ab)= f （a ）f （b ）=Φ( aKerf)? Φ( aKerf)? Φ(bKerf)，从⽽Φ保持运算.因此Φ是同构.于是G/ Kerf ?Imf.第三章商环我们研究商环的思路是：在商加群的基础上再定义⼀种乘法运算，使得该种运算在某⼀⼦环下构成代数运算进⽽对该种运算构成半群且慢⾜：乘法运算对加法运算符合左分配律和右分配律，在学习过程中我们发现理想是可以在我们定义的乘法运算下满⾜上⾯条件的⼦环，因此我们先研究什么是理想，从⽽给出商环的定义，最后得出环的同态基本定理.⼀、理想定义3.1 设（R ，+，?）是⼀个环，（A ，+）是（R ，+）的⼀个⼦加群，（1）若?r ∈R ，a ∈A 有ra ∈A ，则称A 是R 的左理想；（2）若?r ∈R ，a ∈A 有ar ∈A ，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，⼜是R 的右理想，则称A 是R 的⽴、理想，记作A R ．（4）若A R ，且A ≠R ，则称A 是R 的真理想.由定义可知理想⼀定是⼦环.⼆、商环定义3.2 设R 是环，A R ，在商群（R ，+）/(A ，+)={[x]|x ∈R}={x+A| x ∈R }中再规定：[x]?[y]=[xy]，? [x] ，[y] ∈R/A ，则（R/A ，+，?）是⼀个环（R/A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[x]=x+A 称为R 模A 的剩余类）.证明⾸先证明上⾯规定的乘法运算是代数运算，即与代表元的选取⽆关.设[x]=[1x ]，[y]=[1y ]，则x-1x ∈A ，y-1y ∈A.因为A 是R 的理想，所以xy-1x 1y =（x-1x ）y+1x （y-1y ）∈A ，从⽽[xy]= [1x 1y ].其次? [x]，[y] ，[z] ∈ R/A ，有（[x]?[y]）? [z]= [xy] ? [z]=[( xy)z]= [ x(yz)]= [x] ? [yz]= ([y] ? [z])，从⽽?满⾜结合律.且[x] ?（[y] +[z]）= [x] ?（[y] +[z]）=[x(y+z)]=[xy+xz]=[xy]+[xz]= [x]?[y]+ [x] ? [z] 从⽽?对+满⾜左右分配律.同理可证，?对+也满⾜右分配律.因此R/A 是⼀个环.三、环的同态基本定理定理3.1（同态基本定理）设f 是环R 到环R ’的同态，则（1） Kerf R ；（2） R/Kerf ?Imf.证明（1）Kerf 是(R ，+)的⼦加群，⼜a ?∈Kerf ，r ∈ R ，有f （ra ）=f （r ）f （a ）=f （r ）0'=0'， f （ar ）=f （a ）f （r ）=0’f(r)=0'，从⽽ra ，ar ∈Kerf R.（2）因为在R/Kerf 到Imf 间存在⼀个双射： ?：a+Kerf f （a ），且保持加法运算。

《高等代数》课程教学大纲一．课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。

其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。

它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）和培养学生创造性能力等起到重要作用。

二．与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程：如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。

三．教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课（包括复习课）47学时。

各学期教学时数安排情况：第二学期：108学时，自第一章至第五章，周学时6第三学期：90学时，自第五章至第九章，周学时5四．讲授内容与要求：第一章基本概念（12学时）一．教学目的和要求：1. 正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。

2．掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。

3．理解和掌握数学归纳法原理，能熟练运用数学归纳法。

4．理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。

5．掌握数环，数域的概念，能够判别一些数集是否为数环、数域，懂得任意数域都包含有理数域。

二．教学内容：1.1 集合（2学时）1.2 映射（3学时）1.3 数学归纳法（2学时）1.4 整数的一些整除性质（3学时）1.5 数环，数域（2学时）第二章多项式（37学时）一．教学目的和要求：1．掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。

2．正确理解多项式的整除概念和性质。

理解和掌握带余除法。

3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4．理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理。

近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集,记作2A、1.2映射●证明映射:●单射:元不同,像不同;或者像相同,元相同。

●满射:像集合中每个元素都有原像。

Remark: 映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{(a,b)∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积,其中(a,b)为有序元素对,所以一般A*B不等于B*A、●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4等价关系与集合的分类★等价关系:1 自反性:∀a∈A,a a;2 对称性:∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性:∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R、Remark:对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类,反之,一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交,一般等价类用[a]表示。

第二章群2、1 半群1.半群=代数运算+结合律,记作(S,)Remark: i、证明代数运算:任意选取集合中的两个元素,让两元素间做此运算,观察运算后的结果就是否还在定义的集合中。

ii、若半群中的元素可交换,即a b=b a,则称为交换半群。

2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在,即使存在也可能不唯一,甚至可能都不存在;若都存在,则左单位元=右单位元=单位元。

ii.单位元具有唯一性,且在交换半群中:左单位元=右单位元=单位元。

iii.在有单位元的半群中,规定a0=e、3.逆元i.在有单位元e的半群中,存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii.逆元具有唯一性,记作a-1且在交换半群中,左逆元=右逆元=可逆元。

iii.若一个元素a既有左逆元a1,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。

4.子半群i.设S就是半群,≠T S,若T对S的运算做成半群,则T为S的一个子半群ii.T就是S的子半群a,b T,有ab T2、2 群1.群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark:i、若代数运算满足交换律,则称为交换群或Abel群、ii、加群=代数运算为加法+交换群iii、单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆(满秩)矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p)、2、群=代数运算+结合律+左(右)单位元+左(右)逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3、群的性质i、群满足左右消去律ii、设G就是群,则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii、e就是G单位元⇔ e2=eiv、若G就是有限半群,满足左右消去律,则G就是一个群4、群的阶群G的阶,即群G中的元素个数,用表示。

近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。

●满射：像集合中每个元素都有原像。

Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。

第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。

ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。

2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。

ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。

iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。

iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。

4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群∀a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元 e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。

1.2 映射及其运算1.2.1 特殊映射定义1.7 设σ是集合A 到A 的映射，若对A 中任意元素a 均有a a =)(σ，则称σ是集合A 上的恒等映射，记作A I =σ定义1.8 设B A →:σ，若ran B =)(σ，则称σ为从B A 到的满映射． 若由2121,,a a A a A a ≠∈∈，就推出)()(21a a σσ≠则称σ为从A 到B 的单映射．若σ既是单映射，又是满映射，则称σ是A 到B 的双射(或一一映射)．例如，(1) σ:Z →Z n n 2)(=σ就是Z →Z 的单映射．(2)若R 表示实数集合,B 表示非负实数集合,则2)(a a =σ就是R 到B 的满映射．(3)若R +表示正实数集合,R 表示实数集合,则x x lg )(=σ就是R +→R 的一一映射．1.2.2 映射的合成如果B A →:σ，C B →:τ，那么连续执行τσ与的映射，它的总效果就是把集合Ａ中元素a 变成集合Ｃ中元素c ，这就构成了从Ａ到Ｃ的映射．记作στ （或称为στ与的乘积，简记为τσ），其具体规定如下：στ ())()(a a στ=例如，若{}{}{}32121321,,,,,,,c c c C b b B a a a A ===3221232211)(,)(,)(,)(,)(c b c b b a b a b a =====ττσσσ则 ()()()2111))((c b a a ===τσττσ()()()3222))((c b a a ===τσττσ()()()3233))((c b a a ===τσττσ如果集合A,B,C 都是数的集合,那么B A →:σ，C B →:τ就都是函数,而τσ就是复合函数．例如，当Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝Ｒ为实数集合时，x e x x x ==)(,)(2τσ则2)(x e x =τσ就是复合函数．如果B A →:σ，若存在一个映射A B →:τ使得 B A I I ==σττσ,则称σ是可逆映射，στ是的逆映射，记为1-=στ．显然映射σ是可逆映射的充分必要条件是：B A →是σ的一一映射，且逆映射是惟一的．例如，若{}{}321321,,,,,b b b B a a a A ==332211)()()(b a b a b a ===σσσ 则 331221111)()()(a b a b a b ===---σσσ1.2.3 置 换如果Ａ是有限集合，σ是A 到A 的映射，则称σ为A 上变换．当σ是A 到A 的双射时，则称σ是Ａ上的置换．特别是当{}n A ,,2,1 =时，则Ａ上的置换可写为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()2(2)1(1n n σσσσ 这里)1(σ，)2(σ，…，)(n σ是n 个数码1，2，…，n 的一个排列．n 个数码的置换在伽罗瓦理论中起重要作用，这里我们简单介绍相关定理．当Ａ＝｛1,2,3｝时,则A 上共有3!=6个置换,它们是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=331221233211332211321σσσ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=132231231231133221654σσσ两个置换的合成可见下例：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23123123321113223126 σσ实际上这里 223,132,311→→→→→→ 每一个置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()2(2)1(1n n σσσ 都有惟一的逆置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n )(2)2(1)1(σσσ 例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-13322132211315σ 显然n 个数码的所有置换之间有乘法运算，且每一个置换都有逆置换，因而它们构成一个置换群（群的概念可见于任何一本近世代数书）若置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()2(2)1(1n n σσσσ 中排列)1(σ，)2(σ，…，)(n σ是奇排列，则称σ为奇置换；若是偶排列，则称σ为偶置换．定义１.9 若σ是n 个数码的一个置换，r a a a ,,,21 是１,2,…，n 中的r 个数码，如果,)(,)(,,)(,)(113221a a a a a a a a r r r ====-σσσσ而对其他数码i a a ≠有,)(a a =σ则称σ是长为r 的轮换，记为)(2113221r r a a a a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σ显然有)()(13221a a a a a a a r r ==…这里r a a a 21称为轮换σ可搬动元素.如果两个轮换σ与τ设有共同可搬动元素,则称σ与τ为不相交的轮换．定理1.3 每一个置换均可写成若干个不相交轮换的乘积．例如)5,4)(,321(4554133221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σ 实际上任意一置换⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)2121n i n i i σ这里至少有一个1=k i ，则从１一直变到k 就是一个轮换，然后再从第２个元素开始（第一个轮换未搬动元素）又得一轮换，…（证明略．）只有两个数码的轮换称为对换．例如（i j ）对于每一个轮换 ))()()(()(213111121a a a a a a a a a a a r r r -=所以有如下重要结论．任意一个置换都等于若干个对换的乘积．由于=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()2121j ia n a a j i a a n j i⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)2121n j i a n a a j i a a 所以，一个置换乘一个对换便改变了置换的奇偶性．定理1.4 奇置换只能分解成奇数个对换的乘积，偶置换只能分解成偶数个对换的乘积． 因为对换()()=j ij i ,恒等置换所以，若 ))(())((112211k k k k j i j i j i j i --= σ为偶数个对换的乘积，则σ的右边依次乘 )(,),(),(1111j i j i j i k k k k --得恒等置换；而恒等置换为偶置换，所以σ乘偶数个对换变为偶置换，即偶数个对换的乘积是偶置换．n 个数码的有置换共有n ！个，它们之间有乘法运算，因而构成群，称之为置换群，用n S 表示．所有偶置换集合也构成群，用n A 表示．1.2.4 有限集合与无限集合前面已经讲过有限集合，下面我们给出有限集合的严格定义．定义1.10 如果两个集合Ａ与Ｂ之间存在一个一一映射，则称这两个集合是等价的，并称它们具有相同的势．对于自然数集合Ｎ的一部分集合｛1,2,…,n ｝我们称之为自然数的一个片断，用n ,1表示．定义1.11 与自然数的一个片断n ,1等价的集合Ａ称为有限集合，其中集合Ａ的势为n ，或者说Ａ有n 个元素．空集也称为有限集合，它的势为０．由于集合的等价具有传递性，所以所有与有限集合等价的集合都是有限集，否则为无限集合．定理1.5 有限集合不能与其真子集合等价．证明 对于空集Ａ,A 没有真子集，所以命题正确；若Ａ与1,1等价，即Ａ只有一个元素，则Ａ只有一个真子集合——空集，Ａ不能与空集等价．下面我们对自然数n 实行归纳证明．若集合Ａ与自然数片断1,1+n 等价，且Ａ与其真子集合Ｂ等价．设{}121,,,,+=n n a a a a A ，不妨设B a n ∈+1（Ｂ是非空集合），因为若B a n ∉+1，则可将Ｂ中任意元素b 去掉，代入1+n a 即得新集合B '，Ｂ与B '等价，且B '是Ａ的子集合()A b B b ∈'∉,，所以Ａ与B '等价．另一方面，若f 是Ａ→Ｂ的一一映射，不妨假定11)(++=n n a a f ；否则，若i n n j a a f a a f ==++)(,)(11，只要令新的映射i j n n a a f a a f ='='++)(,)(11f '对其余元素的映射与f 一致即可．这时新的映射f '满足11)(++=n n a a f ．这样一来1+-n a A 是一个与n ,1等价的集合，它与1+-n a B这个真子集合等价，显然与归纳假设矛盾．由上述定理，显然可得如下推论，我们不加证明．推论１ 有限集合的子集合是有限集合．推论２ 若Ａ是无限集合，B A ⊂，则Ｂ是无限集合．推论３ 若集合Ａ与其真子集合等价，则Ａ是无限集合．康脱把上述推论当成无限集合的定义：若σ：Ｎ→Ｎ1)(+=n n σ则σ是自然数集合Ｎ到其真子集合｛2,3,…,n ,…｝的一一映射，所以自然数集合是无限集合．我们把与自然数集合等价的集合称为可数集合．下面给出无限集合的两个定理．定理1.6 任意无限集合都含有一个可数集合．证明 设Ｍ是无限集合，因为φ≠M ，从中任取一个元素1a ，若Ｍ中已取n 个不同元素n a a a ,,,21 ，则{}φ≠-n a a a M ,,,21所以Ｍ中存在一元素1+n a ，它不同于n a a a ,,,21依次类推，显然可选出一个集合,,,,21n a a a它是Ｍ的子集，且是可数集合．最后我们给出一个定理．定理1.7 每一个无限集合Ｍ都与其真子集合等价．证明 由前述Ｍ含有一个可数集合},,,,{21 n a a a A =令Ｂ＝Ｍ－Ａ 我们定义Ｍ到Ｍ的映射σ为),2,1()(1 ==+i a a f i i B b b b f ∈∀=对)(显然f 是M 到其真子集1a M -的一一映射，即Ｍ与其子集合等价．上述定理实际是无限集合的另一个定义，即能与真子集等价的集合是无限集合，不能与真其子集等价的集合是有限集合．上述定理说明所有无限集合都会有一个可数子集合，那么是不是所有无限集合彼此都是等价的呢？下面的例子说明实际上不是这样的．区间［０,1］中的所有实数集合与可数集合不是等价的．我们知道所有有理数（或有限小数）都有两种写法：第一种写法为０.n a a a ,,,21 ，第二种写法为０.b a a a n 121,,,- ９９９…，其中1-=n a b ,而b 后面全为９．我们不要第二种写法．如果［0,1］区间的实数是可数的，则它可排为1312111.0a a a c =2322212.0a a a c =321.0n n n n a a a c =现在我们用下面方法作一个数0. 321b b b取数码.9,0,;92≠≠≠≠n n nn n b b a b b 这些i b 是可取的（实际上它有7个数可供选择），该小数0. 321b b b 显然与所有),,,2,1( n i c i =都不相同，这说明0. 321b b b 并没有被排进去，所以[0，1]区间的实数集合与可数集合是不可能等价的．用普通语言讲，[0，1]中的元素个数比自然数集合Ｎ的元素个数多．通常称[0，1]中的实数为具有连续统的势c ．练习1.21.若有限集合A 和B 有B A >，则一定存在A 到B 的单射和满射吗？2.求出（0，1）到（-∞，∞）的一一映射．,0,;9;0,222211111≠≠≠≠≠b a b b b a b。

第 1 讲第 一 章 基 本 概 念§1—3 集合、映射及代数运算 （2课时）（Sets mapping and algebra operation ）本讲教学目的和要求：本讲主要介绍本书中将用到的有关集合、映射和代数运算的一些基本知识和基本概念。

要求学生掌握以下概念：1、元素属于（不属于）集合与集合包含（不包含）另一集合的区别。

2、子集、真子集；集合的运算（交、并、差、补、布而和等）。

3、映射的定义，元素关于硬是个的象、逆象。

单射、满射、双射及卡氏（cartesian ）积。

4、代数运算（包括A A A D B A 到和到⨯⨯）本讲的重点和难点：代数运算（二元运算）的掌握及映射概念的把握。

尤其是掌握各类映射（单射、满射及双射）的定义、陈述。

本讲的教法及教具：使用投影仪和展示台。

在教学过程中充分启发学生进行思考和提问。

本讲思考题：蕴涵在教学过程中。

布置作业：)2();2)(1();1(964P P P 。

教学内容及过程：一、集合定义1：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。

集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。

例1：师院99级数学与应用数学专业的全体学生组成一个集。

而每个学生就称为这个集中的元素。

定义2：没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。

例2：一切满足方程0122=+x 的实数组成的集合是空集。

（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。

例3：“由我院胖子组成的集合”这不能组成一个集合。

（违反了确定性）例4：集合中的元素要求两两互异。

即：｛1，2，2，3｝=｛1，2，3｝。

（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。

若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,。

表示集合通常有三种方法：1、枚举法（列举法）：例5：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。