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高等数学测试题及解答(分章)2

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第七单元 空间解析几何与向量代数一、填空题1、已知→a 与→b 垂直，且12|||,5||==→→b a ，则=+→→||b a _________,=-→→||b a _________。

2、一向量与ox 轴和oy 轴成等角，而与oz 轴组成的角是它们的两倍，那么这个向量的方向角为___________。

3、→→→→→→→→→→→⨯-+⨯+++⨯++a c b b c b a c c b a )()()(__________=。

4、若两平面0=-++k z y kx 与z y kx 2-+0=互相垂直，则__________=k 。

5、通过两点(1,1,1)和(2,2,2)且与平面0=-=z y x 垂直的平面方程是____________。

6、已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点(1,2,2--)，则该平面方程为_________。

7、设平面092:=--+z ky x π，若π过点)6,4,5(--，则_______;=k 又若π与平面032=+-z y x 成︒45角，则__________=k 。

8、一平面过点(1,10,6-),它在ox 轴上的截距为3-，在oz 轴上的截距为2，则该平面的方程是___________。

9、若直线531123-=++=-z k y k x 与22531-+=+=-k z y x 垂直，则_________=k 。

10、设,2)(=⋅⨯→→→c b a 则___________)()]()[(=+⋅+⨯+→→→→→→a c cb b a 。

11、过点)1,2,1(-M 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=1,43,2t z t y t x 垂直的平面方程是___________。

12、已知两条直线的方程是,11122:,130211:21zy x L z y x L =-=+--=-=-则过1L 且平行于2L 的平面方程是______________。

二、选择题1、下列命题，正确的是（ ）(A)→→→++k j i 是单位向量； (B)→-j 非单位向量； (C)22||→→=a a ； (D)→→→→→=⋅b a b a a 2)(。

2、若直线λ12111-=+=-z y x 和直线z y x =-=+1111相交，则=λ（ ）(A)1； (B)23； (C)45-； (D)45。

3、母线平行于轴且通过曲线⎩⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 的柱面方程是（ ） (A)1622=+y x ； (B)16322=-z y ； (C)162322=+z x ； (D)16322=+-z y 。

4、旋转曲面0322222=-+z y x 的旋转轴是（ ） (A)oz 轴； (B)oy 轴； (C)ox 轴； (D)直线z y x ==。

5、两平面01111=+++D z C y B x A 与02222=+++D z C y B x A 重合的充分必要件是（ ）。

(A)212121C C B B A A ==； (B)212121,,C C B B A A ===； (C)21212121D D C C B B A A ===； (D)21212121,,,D D C C B B A A ====。

6、设→→→→++=CA BC AB D （其中均为非零向量），则=→||D （ ） (A) 0 ； (B)非零常数；(C)||||||→→→++CA BC AB ； (D)→→→++222||||||CA BC AB 。

7、设有直线⎩⎨⎧=+=-+=--=-,32,6:,182511:21z y y x L z y x L 则1L 与2L 的夹角为（ ） (A)6π ； (B) 4π ； (C) 3π ； (D)2π。

8、设有直线⎩⎨⎧=+--=+++,03102,0123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π则直线L （ ）(A)平行于π ； (B)在π上； (C)垂直于π； (D)与π斜交。

9、设一平面经过原点及)2,3,6(-，且与平面824++-z y x 垂直，则此平面方程为（ ） （Ａ）0322=-+z y x ； （Ｂ）0322=--z y x ；（Ｃ）0322=++z y x ； （Ｄ）1322=-+z y x 。

10、已知向量→→b a ,的模分别为2||,4||==→→b a 且24=⋅→→b a ，则=⨯→→||b a （ ） （A ）22； （B ）22； （C ）24； （D ）2。

11、设有非零向量→→b a ,，若→→⊥b a ，则必有（ ）（Ａ）||||||→→→→+=+b a b a ； （Ｂ）||||→→→→-=+b a b a ； （Ｃ）||||→→→→-<+b a b a ； （Ｄ）||||→→→→->+b a b a 。

1２、设→→→c b a ,,满足0=++→→→c b a ，则=⨯+⨯+⨯→→→→→→a c c b b a （ ） （A ）0 ； （B ）→→→⨯⨯c b a ； （C ）)(3→→⨯b a ； （D ）→→⨯c b 。

三、计算解答1、设单位向量→a 、→b 、→c 满足→→→→=++0)(c b a 试证：→→→→→→→→→→→→→→⨯-=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅b a a c a c c b c b b a b a 23))(())(())((2、试求点)4,2,1(-A 的关于(1)平面023=--z y x 的对称点； (2)关于直线z y x ==2的对称点。

3、求半径为3，且与平面0322=+++z y x 相切点)3,1,1(-A 的球面方程。

4、求过点)3,4,1(--并与下面两直线⎩⎨⎧-=+=+-53142:1y x z y x L 和⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=+=tz t y tx L 23142:2都垂直的直线方程。

5、求过点)4,0,1(-，平行于平面1043=+-z y x ，且与直线231zy x =-=+相交的直线方程。

6、求过直线223221-=-+=-z y x 且垂直于平面0523=--+z y x 的平面方程。

7、求平行于平面0566=+++z y x ，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面。

8、求通过两平面022:1=--+z y x π和01223:2=+--z y x π的交线，且与平面06323:3=-++z y x π垂直的平面方程。

9、判断下列两直线4332:1z y x L =+=和221211:2-=+=-z y x L 是否在同一平面内，若是，则求两直线的交点；若不是，试求它们的最短距离。

第七单元 空间解析几何与向量代数测试题详细解答一、填空题1、13 , 13 由向量加法的平行四边形法则及勾股定理易知.13512||22=+=+→→b a .13512||22=+=-→→b a2、,,2πγπβα===或.2,4πγπβα===由已知,21γβα==而.1cos cos cos 222=++γβα 0)1(cos cos 1cos 21cos 21cos 2=+∴=++++∴γγγγγ1cos -=∴γ或.0cos =γπγ=∴或2πγ=,,2πγπβα===∴或.2,4πγπβα===3、→→⨯c a 2 原式=→→→→→→→→→→→→→→⨯=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯c a a c a b b c b a c b c a 24、1±=k 1021.),2,1,(),1,1,(22121±=∴=-+∴⊥-==→→→→k k n n k n k n Θ。

5、0=-y x 设所求方程为0=+++d cz by ax ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=-+022200d c b a d c b a c b a0.==-=∴d c b a .0=-∴y x6、0922=+-+z y x )1,2,2(--到原点的向经为)1,2,2(--，取)1,2,2(--=→n 则所求平面方程为01)2)(2()2)(2(=-++-++-z y x 既.0922=+-+z y x7、235-将)6,4,5(--代入平面方程092=--+z ky x ， 得091245=-+-k 解得2=k 取).2,,1(1-=→k n ).1,3,2(2-=→n 则.22145313221232)cos(222222221=+-=++++--=→→k k k k n n 两边平方解得235-=k 或235=k (舍去)。

8、012634=+-+z y x 设所求平面截距式方程为,123=++-zb y x 将)1,10,6(-代入 得 1211036=+-+-b 解得 4-=b 所以所求平面为1243=+-+-z y x ， 即 012634=+-+z y x 。

9、43取),2,1,3(),5,1,2(21-=+=→→k s k k s 则由21→→⊥s s 得.431290)2(5132==∴=-+++⋅k k k k 10、4 这是向量运算问题，先用叉乘对加法的分配律得原式=)()()()()(→→→→→→→→→+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯+⨯a c b b b b c a b a ，其中→→→=⨯0b b 。

再用点乘对加法的分配律得原式=→→→→→→→→→→→→→→→→⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯a c b c c b a c a c c a a b a c b a )()()()()()(。

由于 ,0)(),,(=⋅⨯=→→→→→→c b a c b a 只要其中有两个向量相同，又),,(c b a 中相邻两向量互换则变号，于是原式=422)(2=⨯=⋅⨯→→→c b a 。

11、043=---z y x 所求平面的法向量→n 平行于所给直线的方向向量)1,3,1(-，取)1,3,1(-=→n ，则所求平面方程为0)1())2(3)1(=++-+--z y x ，即 043=---z y x12、023=++-z y x 所求平面π过直线1L 因而过1L 上的点π);3,2,1(过1L 平行于,2L 于是π平行于不共线的向量)1,1,2(),1,0,1(21=-=→→ιι（分别是直线与的方向向量）。

于是平面π的方程0113102211=----z y x ，即023=++-z y x 为所求。

二、选择题1、选（C ） 因,3111||222=++=++→→→k j i 所以A 错；.1||=-→j 所B 错；22||),sin(||||→→→→→→==a a a a a a 所以选C ；)(→→→⋅b a a 方向与→a 相同,→→b a 2方向与→b 相同所以D 错。

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高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

高等数学习题集及答案

高等数学习题集及答案


D. 无关条件
A. 若 { un} 有界，则 { un} 发散 C. 若 { un} 单调，则 { un} 收敛
B. 若 {un} 有界，则 { un} 收敛 D. 若 { un} 收敛，则 { un} 有界
22. 下面命题错误的是 【 】
A. 若 { un} 收敛，则 { un} 有界
C. 若 { un} 有界，则 { un} 收敛
A. y arcsin x
B. y arccosx
C. y arctan x
D. y arccot x
7. 已知函数 y arcsin( x 1) ，则函数的定义域是 【 】
A. ( , )
B. [ 1,1]
C. ( , )
D. [ 2,0]
8. 已知函数 y arcsin( x 1) ，则函数的定义域是 【 】
A. 连续点
B. 可去间断点
C.跳跃间断点
47. lim xsin 1 的 值为 【
x0
x
A. 1
B.
】 C. 不存在
D. 0
48. 当 x
时下列函数是无穷小量的是 【 】
x cos x
A.
sin x
x2
B.
C.
sin x D. (1 1) x
x
x
x
x
x2 1 x 0
49. 设 f ( x)
， 则下列结论正确的是 【 】
C. e 3
】
D. e3
4
A. e
B. 1
2
C. e
D.
4
e
26. x 1是函数 f ( x)
x x3 的 【 x2 x 2
】
A. 连续点
高等数学测试及答案(第二章)

高等数学测试及答案(第二章)

【解析】 .
20.设 ，求 .
【解析】因为 ，
所以 .
21.设
【解析】对等式两边同时求微分，可得， ，
即 ，故 .
22.（8分）求曲线 在 处的切线方程和法线方程
【解析】因为 ，所以 .当 时，x= ， ， .
.
23.求由方程 所确定的隐函数 的二阶导数
【解析】对x求导，可得， ，即 .
再对x求导，得 .
24.设函数 ，适当选择 的值，使得 在 处可导
【解析】因为 在 处可导，则 ， .即 .
又知 ， ，即 .
25.若 ，其中 为可微函数，求
【解析】因为 ，对x求导可得， ，即 .
四.证明题
26.设 在点 处连续，且 (A为常数)，证明 在点 处可导.
【证明】因为 ，则 .又因为 在点 处连续，所以 .于是 ,故 在点 处可导，且 .
高பைடு நூலகம்数学测试（第二章）
一．选择题（每小题２分，共20分）
1．设函数 在 处（）A．不连续B．连续但不可导C．可导D．可微
2．设函数 在 处可导，且 ，则 等于（）A．1 B． C． D．
3．设函数 在点 处可导，则 等于（）
A．0B． C． D．
4．设 ， ，则 （）
A． B． C． D．
5．设函数 在 内可导，则下列结论中正确的是（）
23.（5分）求由方程 所确定的隐函数 的二阶导数 .
24.（7分）设函数 ，适当选择 的值，使得 在 处可导.
25.（8分）若 ，其中 为可微函数，求 .
四.证明题（共10分）
26.（10分）设 在点 处连续，且 (A为常数)，证明 在点 处可导.
答案：
一.选择题1—5 BBCCA 6—10BBCAD
(完整版)高等数学测试题及解答(分章)

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第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。