2018届中考数学复习：阅读理解问题课件(含答案)

阅读理解问题1．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a42．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= ．3．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）= ．4．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D= ，O2F= ．（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ．（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．5．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是．6．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为．7．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是．8．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？9．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32=3×2=6．一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作A n m．A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n ﹣m+1）（m≤n）例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53=5×4×3=60．材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的排列数记作A n m，A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有种不同的选法；（2）从7个人中选取4人，排成一列，有种不同的排法．10．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N．小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．阅读理解问题参考答案与试题解析1．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a4【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】设等边三角形的边长是a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率a1；设正方形的边长是x，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率a3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．【解答】解：设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3设正方形的边长是x，由勾股定理得：对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828，设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故选：B．【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．2．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= （a+b）（a+b+c）．【考点】因式分解﹣分组分解法．【专题】压轴题；阅读型．【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．【解答】解：原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）．故答案为（a+b）（a+b+c）．【点评】此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．3．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）= 8 ．【考点】代数式求值．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据已知可将12⊗（﹣1）转换成a﹣4b的形式，然后将a、b的值代入计算即可．【解答】解：12⊗（﹣1）=×12﹣4×（﹣1）=8故答案为：8．【点评】本题主要考查代数式求值的方法：直接将已知代入代数式求值．4．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D= 2 ，O2F= 1 ．（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= 3 ．（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据正方形对角线是正方形边长的倍可得正方形的对角线长，除以2即为所求的线段的长；（2）此时中心距为（1）中所求的两条线段的和，若只有一个公共点，则点D与点F重合，由此可得出答案．（3）动手操作可得两个正方形的边长可能没有公共点，有1个公共点，2个公共点，或有无数个公共点，据此找到相应取值范围即可．【解答】解：（1）O1D=2×÷2=2；O2F=×÷2=1．故答案为：2，1；（2）点D、F重合时有一个公共点，O1O2=2+1=3．故答案为：3；（3）两个正方形的边长有两个公共点时，1＜O1O2＜3；无数个公共点时，O1O2=1；1个公共点时，O1O2=3；无公共点时，O1O2＞3或0≤O1O2＜1．【点评】考查正方形的动点问题；需掌握正方形的对角线与边长的数量关系；动手操作得到两正方形边长可能的情况是解决本题的主要方法．5．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是15 ．【考点】分式方程的应用．【专题】阅读型．【分析】题中给出了调和数的规律，可将x所在的那组调和数代入题中给出的规律里，然后列出方程求解．【解答】解：根据题意，得：．解得：x=15经检验：x=15为原方程的解．故答案为：15．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于弄懂题意，准确地找出题目中所给的调和数的相等关系，这是列方程的依据．6．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为24 ．【考点】一元一次不等式的应用．【专题】压轴题．【分析】首先理解“可连数”的概念，再分别考虑个位、十位、百位满足的数，用排列组合的思想求解．【解答】解：个位需要满足：x+（x+1）+（x+2）＜10，即x＜，x可取0，1，2三个数．十位需要满足：y+y+y＜10，即y＜，y可取0，1，2，3四个数（假设0n就是n）因为是小于200的“可连数”，故百位需要满足：小于2，则z可取1一个数．则小于200的三位“可连数”共有的个数=4×3×1=12；小于200的二位“可连数”共有的个数=3×3=9；小于200的一位“可连数”共有的个数=3．故小于200的“可连数”共有的个数=12+9+3=24．【点评】解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解，还要掌握排列组合的解法．7．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是±3 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】压轴题；新定义．【分析】先根据题意列出不等式，根据x的取值范围及x为整数求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可．【解答】解：由题意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，∴，∵x、y均为整数，∴xy为整数，∴xy=2，∴x=±1时，y=±2；x=±2时，y=±1；∴x+y=2+1=3或x+y=﹣2﹣1=﹣3．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x，y均为整数求出x、y的值即可．8．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1 + 1 ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．9．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32=3×2=6．一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作A n m．A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n ﹣m+1）（m≤n）例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53=5×4×3=60．材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的排列数记作A n m，A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有56 种不同的选法；（2）从7个人中选取4人，排成一列，有840 种不同的排法．【考点】有理数的混合运算．【专题】压轴题；阅读型．【分析】（1）利用组合公式来计算；（2）都要利用排列公式来计算．【解答】解：（1）C83==56（种）；（2）A74=7×6×5×4=840（种）．【点评】本题为信息题，根据题中所给的排列组合公式求解．10．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N．小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）证线段相等，可证线段所在的三角形全等．结合本题，证△MM′E≌△NN′F即可；（2）由于M′E∥CD，则∠EM′M=∠FNN′=α，易证得△FNN′∽△EM′M，那么MM′：NN′=EM′：FN；而EM′=FN′，则比例式可化为： ==tanα，由此可知：当α=45°时，MM′=NN′；当α≠45°时，MM′≠NN′．【解答】解（1）在方形环中，∵M′E⊥AD，N′F⊥BC，AD∥BC，在△MM′E与△NN′F中，，∴△MM′E≌△NN′F（AAS）．∴MM′=N′N；（2）法一∵∠NFN′=∠MEM′=90°，∠FNN′=∠EM′M=α，∴△NFN′∽△M′EM，∴=．∵M′E=N′F，∴==tanα（或）．①当α=45°时，tan α=1，则MM′=NN′；②当α≠45°时，MM′≠NN′，则=tanα（或）．法二在方形环中，∠D=90°．∵M′E⊥AD，N′F⊥CD，∴M′E∥DC，N′F=M′E．∴∠MM′E=∠N′NF=α．在Rt△NN′F与Rt△MM′E中，sinα=，cosα=，即=tanα（或）．①当α=45°时，MM′=NN′；②当α≠45°时，MM′≠NN′，则=tanα（或）．【点评】此题主要考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用等知识．。

2018年安徽省初中学业水平考试数学一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,满分40分）1。

的绝对值是()A。

B. 8 C. D。

【答案】B【详解】数轴上表示数—8的点到原点的距离是8，所以—8的绝对值是8,故选B.【点睛】本题考查了绝对值的概念，熟记绝对值的概念是解题的关键.2. 2017年我赛粮食总产量为635.2亿斤，其中635。

2亿科学记数法表示（）A。

B。

C. D.【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|〈10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时,n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】635.2亿=63520000000,63520000000小数点向左移10位得到6.352，所以635。

2亿用科学记数法表示为:6.352×108,故选C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤｜a|〈10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 下列运算正确的是（）A. B. C。

D。

【答案】D【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方的运算法则逐项进行计算即可得。

【详解】A. ，故A选项错误；B。

，故B选项错误；C。

,故C选项错误;D. ，正确，故选D.【点睛】本题考查了有关幂的运算，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，积的乘方的运算法则是解题的关键。

4。

一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置，其主（正)视图为（)A. （A）B. （B)C. （C)D. （D）【答案】A【解析】【分析】根据主视图是从几何体正面看得到的图形，认真观察实物，可得这个几何体的主视图为长方形上面一个三角形,据此即可得。

【详解】观察实物，可知这个几何体的主视图为长方体上面一个三角形,只有A选项符合题意，故选A。

2018年江苏省常州市中考数学试题含答案解析(Word版)A. 85B.87C. 107D.54（第8题）二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.)9. 计算：=--1|3|10. 化简：=---ba b b a a 11. 分解因式：=+-3632x x12. 已知点)1,2(-P ，则点P 关于x 轴对称的点的坐标是 13. 地球与月球的平均距离大约384000km ，用科学计数法表示这个距离为 km14. 中华文化源远流长，下图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称.在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是(第14题) （第15题） (第16题) （第18题）15. 如图，在□ABCD 中，070=∠A ，DC=DB ，则=∠CDB .16. 如图,ABC ∆是⊙O 的内接三角形，060=∠BAC ，»BC的长是34π，则⊙O 的半径是 .17. 下面是按一定规律排列的代数式：2a ，2a ，2a ，2a ，…则第8个代数式是 .18. 如图，在ABC ∆纸板中，AC=4,BC=2,AB=5,P 是AC 上一点，过点P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP 长的取值范围是 . 三、解答题(本大题共10小题，共84分.）19.（6分）计算：0030sin 4)21(4|1|+----20.（8分）解方程组和不等式组：⎩⎨⎧-=+=-13732)1(y x y x ⎩⎨⎧-≥+≥-x x x 2062)2(21.（8分）如图，把ABC∆.∆沿BC翻折得DBC（1）连接AD，则BC与AD的位置关系是（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由.第21题）22.（8分）为了解某市初中学生课外阅读情况，调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图.根据统计图提供的信息，解答下列问题：（第22题）（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该市共有12000名初中生，估计该市初中学生这学期课外阅读超过2册的人数.23.（8分）将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.（第23题） （1）搅均后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A 型矩形纸片的概率;（2）搅均后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）.24.（8分）如图，已知点A 在反比例函数)0(4>=x xy 的图像上，过点A 作x AC ⊥轴，垂足是C ，AC=OC.一次函数b kx y +=的图像经过点A ，与y 轴的正半轴交于点B.(1)求点A 的坐标；(2)若四边形ABOC 的面积是3，求一次函数b kx y +=的表达式.第24题）25.（8分）京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A 、B 和点C 、D ，先用卷尺量得AB=160m ，CD=40m ，再用测角仪测得，，006030=∠=∠DBA CAB 求该段运河的河宽（即CH 的长）.第25题）26.（10分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为ax 的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解;类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组。

专题二 阅读理解与类比推理两类事物具有相同的结构、特征，当我们了解其中一类事物的某些属性后，往往可去认识、猜测另一类事物是否也有类似的属性，这种思考问题的方法，称作类比．类比和归纳一样，也是科学研究中常用的方法．阅读理解型问题一般篇幅比较长，由“阅读”和“问题”两部分构成，其阅读部分往往为考生提供一段自学材料，其内容多以“定义一个新概念(法则)，或展示一个解题过程，或给出一种新颖的解题方法”为主．阅读理解型问题按解题方法不同在百色中考考查的题型可能有：(1)新定义概念或法则；(2)新知模仿；(3)迁移探究与应用.解答阅读理解型问题的基本模式：阅读→理解→应用，即重点是阅读，难点是理解，关键是应用．一般有以下几个步骤：(1)阅读给定材料，提取有用信息；(2)分析、归纳信息，建立数学模型；(3)解决数学模型，回顾检查．在解题过程中要避免以下几个问题：(1)缺乏仔细审题意识，审题片面；(2)受思维定式影响，用“想当然”代替现实的片面意识；(3)忽略题中关键词语、条件，理解题意有偏差；(4)缺乏回顾反思意识．中考重难点突破新定义概念或法则新定义概念或法则类以纯文字、符号或图形的形式定义一种全新的概念、公式或法则等，解答时要在阅读理解的基础上解答问题．解答这类问题时，要善于挖掘定义的内涵和本质，要能够用已学的知识对新定义进行合理解释，进而将陌生的定义转化为熟悉的已学知识去理解和解答．【例1】对于两个非零实数x ，y ，定义一种新的运算：x *y ＝a x ＋by.若1*(－1)＝2，则(－2)*2的值是__－1__．【解析】所给新定义的运算中，有a ，b 两个字母，而题中只给了1*(－1)＝2一个条件，就不能把a ，b 两个值都求出来，但能求得a 与b 的数量关系，将a 与b 的数量等式代入到(－2)*2中即可得出结果．【例2】对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b }的意义为：当a ≥b 时，max{a ，b }＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b }＝b .例如，max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max{x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( B )A ．0B ．2C ．3D ．4【解析】可分x ≥－1和x ＜－1两种情况进行讨论．①当x ＋3≥－x ＋1，即x ≥－1时，y ＝x ＋3，此时y 最小值＝2；②当x ＋3＜－x ＋1，即x ＜－1时，y ＝－x ＋1，此时y >2.∴y 最小值＝2.也可以通过图象很直观地求出最小值(如图，该函数图象为实线部分)，即为直线y ＝x ＋3与直线y ＝－x ＋1的交点的纵坐标．1．(2021·包头中考)定义新运算“⊗”，规定：a ⊗b ＝a －2b .若关于x 的不等式x ⊗m >3的解集为x >－1，则m 的值是( B )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 2．(2018·百色中考)对任意实数a ，b 定义运算“∅”：a ∅b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >b ），b （a ≤b ）， 则函数y ＝x 2∅(2－x )的最小值是( C )A ．－1B ．0C ．1D ．4新知模仿新知模仿类以范例的形式给出，并在求解的过程中暗示解决问题的思路和技巧，再以此为载体设置类似的问题．解决这类问题的常用方法是类比、模仿和转化，主要是通过对数学公式、法则、方法和数学思想的准确掌握，运用其进行解答问题．【例3】(2017·百色中考)阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2－x －3的方法． (1)二次项系数2＝1×2；(2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，验算：“交叉相乘之和”；(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(－3)＋2×1＝－1，等于一次项系数－1. 即(x ＋1)(2x －3)＝2x 2－3x ＋2x －3＝2x 2－x －3，则2x 2－x －3＝(x ＋1)(2x －3).像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2＋5x －12＝__(x ＋3)(3x －4)__．【解析】如图，验算：1×(－4)＋3×3＝5，根据“十字相乘法”分解因式得出3x 2＋5x －12＝(x ＋3)(3x －4)即可．3．(2019·百色中考)阅读理解：已知两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则线段MN 的中点K (x ，y )的坐标公式为：x ＝x 1＋x 22 ，y ＝y 1＋y 22.如图，已知点O 为坐标原点，点A (－3，0)，⊙O 经过点A ，点B 为弦P A 的中点．若点P (a ，b )，则有a ，b 满足等式：a 2＋b 2＝9.设B (m ，n )，则m ，n 满足的等式是( D )A ．m 2＋n 2＝9B ．⎝⎛⎭⎫m －32 2＋⎝⎛⎭⎫n 2 2＝9 C ．(2m ＋3)2＋(2n )2＝3 D ．(2m ＋3)2＋4n 2＝9 迁移探究与应用迁移探究与应用类，即阅读新问题并运用新知识探究问题或解决问题．解答这类题的关键是认真阅读其内容，理解其实质，把握其方法、规律，然后加以解决．【例4】(2018·百色一模)材料：对于式子2＋31＋x 2，利用换元法，令t ＝1＋x2，y ＝3t .则由于t ＝1＋x 2≥1，所以反比例函数y ＝3t 有最大值，且为3.因此分式2＋31＋x 2的最大值为5.根据上述材料，解决下列问题：当x 的值变化时，分式x 2－2x ＋6x 2－2x ＋3的最大(或最小)值为__2.5__．【解析】根据题意将分式变形，即可确定出最大值或最小值．4．在Rt △ABC 中，以下是小亮探究a sin A 与bsin B之间关系的方法(如图①)：∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴c ＝a sin A ，c ＝bsin B .∴a sin A ＝b sin B. 根据你掌握的三角函数知识，在图②的锐角△ABC 中，探究 a sin A ，b sin B ，c sin C 之间的大小关系是__a sin A＝b sin B ＝csin C __(用“>”“<”或“＝”连起来). 5．(2021·广东中考)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记p ＝a ＋b ＋c2，则其面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ） .这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若p ＝5，c ＝4，则此三角形面积的最大值为( C )A ．5B ．4C ．25D ．5中考专题过关1.(2021·张家界中考)对于实数a ，b 定义运算“☆”如下：a ☆b ＝ab 2－ab ，例如3☆2＝3×22－3×2＝6，则方程1☆x ＝2的根的情况为(D)A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根2．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例．指数运算 21＝2 22＝4 23＝8 … 新运算 log 22＝1 log 24＝2 log 28＝3 … 指数运算 31＝3 32＝9 33＝27 … 新运算 log 33＝1 log 39＝2 log 327＝3 …①log 216＝4；②log 525＝5；③log 212＝－1.其中正确的是( B )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．(2021·甘肃中考)对于任意的有理数a ，b ，如果满足a 2 ＋b 3 ＝a ＋b2＋3，那么我们称这一对数a ，b 为“相随数对”，记为(a ，b ).若(m ，n )是“相随数对”，则3m ＋2[3m ＋(2n －1)]等于( A )A ．－2B ．－1C ．2D ．3 4．(2020·百色二模)阅读材料：在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例如，求点P (1，3)到直线4x ＋3y －3＝0的距离．解：由直线4x ＋3y －3＝0知，A ＝4，B ＝3，C ＝－3，∴点P (1，3)到直线4x ＋3y －3＝0的距离为d ＝|4×1＋3×3－3|42＋32＝2.根据以上材料，求点P 1(0，2)到直线y ＝512 x －16的距离为____2__． 5．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：解一元二次不等式：x 2－4＞0.解：不等式x 2－4＞0可化为 (x ＋2)(x －2)＞0.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －2>0 或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，x －2<0.解不等式组①，得x ＞2；解不等式组②，得x ＜－2.∴(x ＋2)(x －2)＞0的解集为x ＞2或x ＜－2，即x 2－4＞0的解集为x ＞2或x ＜－2. (1)一元二次不等式x 2－16＞0的解集为__x ＞4或x ＜－4__；(2)分式不等式x －1x －3>0的解集为__x ＞3或x ＜1__．6．阅读下列运算过程： 13 ＝33×3 ＝33 ， 25 ＝255×5 ＝255 ，12＋1 ＝1×（2－1）（2＋1）（2－1）＝2－12－1 ＝2 －1，13－2 ＝1×（3＋2）（3－2）（3＋2）＝3＋23－2 ＝3 ＋2 .数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可以把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题：(1)化简：26 ＝__63 __，25－3 ＝，1n ＋1＋n＝；(2)计算：11＋3 ＋13＋5 ＋15＋7 ＋…＋12 021＋ 2 023＝___ 2 023－12 ___．。

中考数学备考专题复习：阅读理解问题（含解析）中考备考专题复习：阅读理解问题一、单选题1、对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b，如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（）A、0B、2C、3D、42、对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=．则方程x⊗（﹣2）= ﹣1的解是（）A、x=4B、x=5C、x=6D、x=73、设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A、②③④B、①③④C、①②④D、①②③4、定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（）A、0≤m≤1B、﹣3≤m≤1C、﹣3≤m≤3D、﹣1≤m≤0二、填空题5、州）阅读材料并解决问题：求1+2+22+23+…+22014的值，令S=1+2+22+23+…+22014等式两边同时乘以2，则2S=2+22+23+…+22014+22015两式相减：得2S﹣S=22015﹣1所以，S=22015﹣1依据以上计算方法，计算1+3+32+33+…+32015=________．三、解答题6、自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．反之：（1）若＞0，则或（2）＜0，则____________ ．根据上述规律，求不等式＞0的解集．7、阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用[()n﹣()n]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．8、先阅读下列材料，然后解答问题：材料1 从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32＝3×2＝6.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列数记作A n m，A n m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m≤n)．例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A53＝5×4×3＝60.材料2 从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C32＝＝3.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作C n m，C n m＝(m≤n)．例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：C63＝＝20.问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？9、定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．四、综合题10、阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，==，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵=∴b====3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明(2)求乙船每小时航行多少海里？11、阅读下列材料：2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，2013 年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9 万人次．根据以上材料解答下列问题：(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为________ 万人次(2)选择统计表或统计图，将2013﹣2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．12、阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：(1)计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；(2)解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．13、）阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．(1)等比数列3，6，12，…的公比q为________ ，第4项是________(2)如果一个数列a1， a2， a3， a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…=q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2， a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：an =________（用a1和q的代数式表示）．(3)若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．14、阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组;(2)已知x，y满足方程组（i）求x2+4y2的值；（ii）求+的值．15、）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC∵E、F是AB、CD的中点∴EF∥AD∥BCEF=（AD+BC）材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）：在△ABC中：∵E是AB的中点，EF∥BC∴F是AC的中点如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．(1)求证：EF=AC；(2)若OD=，OC=5，求MN的长．16、我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）17、已知点P（x0， y）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．18、定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．(1)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；(2)如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．(3)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．19、我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．20、阅读下列材料：北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．根据以上材料解答下列问题：(1)用折线图将2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；(2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约________亿元，你的预估理由________．21、）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβtan（α±β）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan75°=tan（45°+30°）= = =2+根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题(1)计算：sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．22、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．(1)根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：(2)如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；(3)如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】分段函数【解析】【解答】解：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，y min=2，当x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴y min=2，故选B【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．2、【答案】B【考点】分式方程的解，定义新运算【解析】【解答】解：根据题意，得= ﹣1，去分母得：1=2﹣（x﹣4），解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解．故选B．【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．3、【答案】C【考点】整式的混合运算，因式分解的应用，二次函数的最值【解析】【解答】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，解得：a=0或b=0，正确；②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4aca@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；③a@b=a2+5b2， a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，解得，a=0，b=0，故错误；④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，∴a2+b2+2ab≥4ab，∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，解得，a=b，∴a@b最大时，a=b，故④正确，故选C．【分析】根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4、【答案】 B【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【解答】解：∵x=y，∴x=2x+m，即x=﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故选B．【分析】根据x=y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．二、填空题5、【答案】【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：令s=1+3+32+33+ (32015)等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+ (32016)两式相减得：2s=32016﹣1．所以S= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32015，然后再等式的两边同时乘以2，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．本题主要考查的是数字的变化规律，依据材料找出解决问题的方法和步骤是解题的关键．三、解答题6、【答案】解：（2）若＜0，则或；故答案为：或；由上述规律可知，不等式转化为或，所以，x＞2或x＜﹣1．【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【分析】根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．7、【答案】【解答】解：第1个数，当n=1时，[()n﹣()n]=（﹣）=×=1．第2个数，当n=2时，[()n﹣()n]=[（）2﹣（）2]=×（+）（﹣）=×1×=1．【考点】二次根式的应用【解析】【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．8、【答案】解：(1)A74＝7×6×5×4＝840(种)．(2)C83＝＝56(种)【考点】探索数与式的规律【解析】【分析】探索数与式的规律。

中考数学专题复习：阅读理解题【知识梳理】阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点．知识的覆盖面较大，它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质，理解实质的基础上作出回答．这类问题的主要题型有：阅读特殊范例，推出一般结论；阅读解题过程，总结解题思路和方法；阅读新知识，研究新问题等．这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，并能准确阐述自己的思想和观点，考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等．因此，在平时的学习和复习中应透彻理解所学内容．搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中体现出的数学思想和方法．【课前预习】1、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)表示二进制数，转换为十进制形式是，那么将二进制(1111)转换为十进制形式是数（ ）A、8B、15C、20D、302、阅读下面材料并完成填空。

你能比较两个数和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较的大小（n≥1的整数）。

然后，从分析n=1,n=2,n=3,……，从这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。

⑴通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=” ）1 ＿＿＿＿2 ②＿＿＿＿3 ③＿＿＿＿④＞ ⑤ ⑥ ⑦⑵从第⑴小题的结果经过归纳，可以猜想出的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到＿＿＿＿（填“＞”、“＝”或“＜”3、阅读下列材料：FEDCBA（图1） （图2） （图3） （图4）如图1，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图2，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置。

1中考指导：近年来，图形折叠问题特别是矩形折叠问题一直是各地中考试题中一道靓丽的风景线.将矩形按不同要求进行折叠可以产生丰富多彩的几何问题.其中，创设开放的折叠情境，使矩形的顶点在折叠后的图形中的落点位置不固定，形成两解类中考压轴填空题的命题形式正悄然兴起. 折叠矩形纸片是轴对称变换，属于全等图形的范畴.可以先从边、角、形三方面思考折叠前后有哪些相等的线段、角和全等三角形，然后联想已知条件，看看又能产生哪些新的结论.这当中，尤其要注意将矩形折叠中产生的角平分线与矩形的两组对边分别平行结合在一起思考，往往会发现等腰三角形.面对折叠后的“静止”图形，你会发现解决这类折叠问题的关键有二点:一是在折叠操作(或“凭空想象”)中，弄清楚各种情况，画出相应状态下的静态图形;二是利用轴对称知识将分散的几何条件(边长)集中到某一个直角三角形中，再设未知数，运用勾股定理构建方程求解.典型例题解析:【例1】（2017年内蒙古赤峰二中中考数学二模）如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，沿着BE 将△ABE 折叠，点A 刚好落在BF 上，若AB=2，则AD=________．【答案】22∴Rt △EA′F ≌Rt △EDF （HL ）， ∴A′F=DF=1，∴BF=BA′+A′F=AB +DF=2+1=3， 在Rt △BCF 中，22223122BF CF -=-=∴2 ．点睛：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF ，证明Rt △EA′F ≌Rt △EDF ，得出BF 的长，再利用勾股定理解答即可．【例2】（河南省周口市西华县2018届九年级第一次模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为_____．3【答案】或．∴DE=；如图2所示：∠EDB=90时，4由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°， ∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°， ∴四边形ACDC′为矩形，【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，结合题意，正确地进行分类讨论并画出相应的图形是解题的关键.*网【例3】（2018年河南省驻马店市实验中学第一次中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝83，AD ＝10，点E 是CD 的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图②，折痕为MN ，连接ME ，NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图③，点B 落到B′处，折痕为HG ，连接HE ，则下列结论：①ME ∥HG ；②△MEH 是等边三角形；③∠EHG ＝∠AMN ；④tan ∠EHG ＝53.其中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C点睛：本题属于四边形综合题，主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形对应边成比例，求得EN的长度．解决折叠问题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．强化训练1．（2018年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟）在矩形纸片A BCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿5AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为（）A. 3B. 5C. 3或5D. 3或6【答案】D点睛：本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况寻找BE的长度是解题的关键．2．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm67【答案】A【解析】由题意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF ， ∴四边形ECDF 是正方形， ∴DC=EC=BC-BE ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC=AD=10， ∴DC=10-6=4（cm ）. 故选A.3．如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果60BAF ∠=o ,则DAE ∠等于 ( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60° 【答案】A4．（陕西省宝鸡市凤翔县2017-2018学年九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）8A. 12B. 10C. 8D. 6 【答案】B【解析】四边形ABCD 是矩形,,,,,,点睛：本题考查了图形的翻折问题、矩形的性质、三角形的面积及勾股定理;利用勾股定理求得AF 的大小,从而求得叠部分△AFC 的面积是正确解答本题的关键. *网95．（辽宁省大石桥市水源镇九年一贯制学校2018届九年级下学期月考）如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE=HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④ 23AD AB ，其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④ 【答案】D【解析】试题解析：∵矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点， ∴GF ⊥AD ，由折叠可得，AH=AD=2AG ，∠AHE=∠D=90°， ∴∠AHG=30°，∠EHM=90°-30°=60°， ∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH ，∴△EHM 中，∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH ， ∴△MEH 为等边三角形，故①正确； ∵∠EHM=60°，HE=HF ， ∴∠HEF=30°，∴∠FEM=60°+30°=90°，即AE ⊥EF ，故②正确； ∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA ，∠EPH=∠EHA=90°，10∴△PHE ∽△HAE ，故③正确；6．（安徽合肥市2018届初三名校大联考一）如图,矩形ABCD 中,AB=4,BC=2,把矩形ABCD 沿过点A 的直线AE 折叠，点D 落在矩形ABCD内部的点D 处,则CD 的最小值是A. 2B. 5C. 252D. 252【答案】C【解析】根据题意，点D′在以点A 为圆心，AD 为半径且在矩形ABCD 内部的圆弧上，连接AC 交圆弧于点D′，由勾股定理得2242+=5CD′的最小值为5，故选C.7．（广东省广州三中2017年中考数学一模）如图，把一矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系xoy 中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，现将纸片OABC 沿OB 折叠，折叠后点A 落在点A'的位置，若OA=1，OB=2，则点A'的坐标为（ ）11A. 132⎛⎫⎪⎪⎝⎭， B. 132⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D. （ ()31-， 【答案】B【解析】点睛：（1）折叠问题充分利用对应的边相等，角相等.12（2）通过三角函数值能推出角的度数；（3）已知线段的长度，表示坐标的时候注意符号问题.8．（2018年广东省深圳市中考数学突破模拟二）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 的对应点落在BC 上点F处，过点F 作FG ∥CD ，连接EF ，DG ，下列结论中正确的有（ ）①∠ADG=∠AFG ；②四边形DEFG 是菱形；③DG 2=12AE•EG ；④若AB=4，AD=5，则CE=1．A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ①② 【答案】B（3）如图所示，连接DF 交AE 于O ，∵四边形DEFG为菱形，∴GE⊥DF，OG=OE=12 GE，∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，∴△DOE∽△ADE，∴OE DEDE AE，即DE2=EO•AE，∵EO=12GE，DE=DG，∴DG2=12AE•EG，故③正确；9．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=4，BC= 6，则FD的长为（）1314A.85 B. 4 C. 94D. 23 【答案】C【解析】试题解析：∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE , ∴AE =EG ，AB =BG ， ∴ED =EG ，∵在矩形ABCD 中， ∴90A D ∠=∠=o ， ∴90EGF ∠=o ，1510．（2018年湖北省咸宁市咸安区中考数学模拟）如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB 落在AD 边上，折痕为AE ，再将△ABE 以BE 为折痕向右折叠，AE 与CD 交于点F ，则CFCD的值是（ ）A. 1B.12 C. 13 D. 14【答案】C【解析】由题意知：AB=BE=6，BD=AD ﹣AB=2（图2中），AD=AB ﹣BD=4（图3中）； ∵CE∥AB， ∴△ECF∽△ADF，得12CE CF AD DF ==， 即DF=2CF ，所以CF ：CD=1：3，16故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，相似三角形的判定与性质等，准确识图是解题的关键. *网11．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是（ ）A.35 B. 45 C. 12D. 32【答案】A点睛：本题考查的是翻折变换的性质、余弦的概念，掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变换，对应边和对应角相等时解题的关键.1712．如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且∠AFG =60°，GE =2BG ，则折痕EF 的长为（ ）A. 1B. 3C. 2D. 23【答案】C13．（2017年安徽省安庆一中中考数学三模）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3），按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ）A. 都是等腰梯形B. 都是等边三角形C. 两个直角三角形，一个等腰三角形D. 两个直角三角形，一个等腰梯形【答案】C【解析】严格按照图中的顺序向上对折，对角顶点对折，沿折痕中点与重合顶点的连线剪开展开可得到两个直角三角形，一个等腰三角形．故选C．14．如图，将一张三角形纸片折叠，使点落在边上，折痕，得到；再继续将纸片沿的对称轴折叠，依照上述做法，再将折叠，最终得到矩形，若中，和的长分别为和，则矩形的面积为（）．A. B. C.D.【答案】B15．（山东省临朐县沂山风景区2018届九年级上期末模拟）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，1819使点C 与点A 重合，折痕为EF ，点D 的对应点为G ，连接DG ，则图中阴影部分面积是（ ）A. 5B. 3C.365 D. 185【答案】D【解析】过点G 作GH ⊥AD 于点H ，由题意知，AF=FC ，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理知AB 2+BF 2=AF 2 ， 即42+（8﹣AF ）2=AF 2 ， 解得AF=5，2016．如图，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=8，点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为________．A. 3或4B.52或10 C. 52或53 D. 25或53【答案】B【解析】试题解析：①如图1，当点F 在矩形内部时， ∵四边形ABCD 为矩形， 58AD AB ==，， ∴AB CD =，②如图2，当点F在矩形外部时，2122∵四边形ABCD 为矩形， 58AD AB ==，，∴AB CD =，设DE EF y ==，则4ME y =-， 在Rt EMF V 中， ∴222ME MF EF +=， 即()22248y y -+=，∴10.y =即DE =10. 故选B.17．（河南省濮阳市2018届九年级第一次模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D ，E 为AC ，BC 上两个动点，若将∠C 沿DE 折叠，点C 的对应点'C 恰好落在AB 上，且'ADC∆恰为直角三角形，则此时CD 的长为___________.23【答案】12473或 【解析】试题解析： 9034C AC BC ∠=︒==，，，225,AB AC BC ∴=+=由折叠可知： .DC DC =' 若90,ADC ∠='oDC '∥,CB,ADC ACB '∴V V ∽,AD DC AC CB ∴='3,34DC DC-∴= 解得： 12.7CD =点睛：两组角对应相等，两个三角形相似.18．（河北省唐山市路南区2017年中考数学三模）如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′AD=3，则△EB′C的周长为________．的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，【解析】试题分析：根据翻折图形的性质可得：B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，结合对顶角得出△ADE和△CB′E 全等，则B′E=DE，则△EB′C的周长=B′C+B′E+CE=BC+DE+EC=BC+CD=AD+AB=3+8=11．*网19．（2018年咸宁市通城县北港镇初级中学数学中考模拟）如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落E处，则tan∠ADF=_______．在矩形的对称中心2420．（安徽省蚌埠市2017届九年级下学期中考一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF=25．以上结论中，你认为正确的有______．（填序号）【答案】①②④．【解析】试题解析：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH//CG,EH//CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，2526∴四边形CFHE 是菱形， 故①正确；③∴∠BCH =∠ECH ，∴只有30DCE ∠=o 时EC 平分∠DCH ， 故③错误；过点F 作FM ⊥AD 于M ，则ME =(8−3)−3=2，由勾股定理得， 2225EF MF ME =+=， 故④正确，综上所述，结论正确的有①②④， 故答案为：①②④.27。

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】中考冲刺：阅读理解型问题—知识讲解（基础）【中考展望】阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应该特别引起我们的重视. 它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，内容丰富，超越常规，源于课本，又高于课本，各种关系错综复杂，不仅能考查同学们阅读题中文字获取信息的能力，还能考查同学们获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能力等.同时，更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力.【方法点拨】题型特点：先给出一段材料，让学生理解，再设立新的数学概念，新概念的解答可以借鉴前面材料的结论或思想方法．解题策略：从给的材料入手，通过理解分析本材料的内容，捕捉已知材料的信息，灵活应用这些信息解决新材料的问题．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. 阅读理解题一般可分为如下几种类型：(1)方法模拟型——通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题； (2)判断推理型——通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；按照对材料本质的理解进行推理，作出解答；(3)迁移发展型——从提供的材料中，通过阅读，理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题．【典型例题】类型一、阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题1．阅读材料：例：说明代数式221(3)4x x ++-+的几何意义，并求它的最小值． 解：221(3)4x x ++-+=222(0)1(3)2x x -++-+， 如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则2(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角△A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32． 根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式22(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）（2）代数式22491237x x x ++-+的最小值为 ． 【思路点拨】（1）先把原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，然后在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可． 【答案与解析】解：（1）∵原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，∴代数式222(1)1(2)3x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B （2，3）的距离之和， 故答案为（2，3）；（2）∵原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，如图所示：设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短， ∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度， ∵A（0，7），B （6，1） ∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8， ∴A′B=222268A C BC '+=+=10，故答案为：10． 【总结升华】本题考查的是轴对称——最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．类型二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法2．阅读材料：（1）对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法： 当a-b ＞0时，一定有a ＞b ； 当a-b=0时，一定有a=b ； 当a-b ＜0时，一定有a ＜b ．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． （2）对于比较两个正数a 、b 的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a 2-b 2=（a+b ）（a-b ），a+b ＞0，∴（a 2-b 2）与（a-b ）的符号相同.当a 2-b 2＞0时，a-b ＞0，得a ＞b ；当a 2-b 2=0时，a-b=0，得a=b ；当a 2-b 2＜0时，a-b ＜0，得a ＜b. 解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y ，且x ＞y ，张丽同学的用纸总面积为W 1，李明同学的用纸总面积为W 2．回答下列问题： ①W 1= （用x 、y 的式子表示）； W 2= （用x 、y 的式子表示）； ②请你分析谁用的纸面积更大．（2）如图1所示，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，已知A 、B 到l 的距离分别是3km 、4km （即AC=3km ，BE=4km ），AB=xkm ，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l 于点P ，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度a 1=AB+AP ．方案二：如图3所示，点A′与点A 关于l 对称，A′B 与l 相交于点P ，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度a 2=AP+BP ．①在方案一中，a 1= km （用含x 的式子表示）； ②在方案二中，a 2= km （用含x 的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．【思路点拨】（1）①根据题意得出3x+7y 和2x+8y ，即得出答案；②求出W 1-W 2=x-y ，根据x 和y 的大小比较即可； （2）①把AB 和AP 的值代入即可；②过B 作BM⊥AC 于M ，求出AM ，根据勾股定理求出BM ．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；③求出a 12-a 22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案． 【答案与解析】（1）解：①W 1=3x+7y ，W 2=2x+8y ， 故答案为：3x+7y ，2x+8y ．②解：W 1-W 2=（3x+7y ）-（2x+8y ）=x-y ， ∵x＞y ， ∴x -y ＞0， ∴W 1-W 2＞0， 得W 1＞W 2，所以张丽同学用纸的总面积更大． （2）①解：a 1=AB+AP=x+3， 故答案为：x+3．②解：过B 作BM⊥AC 于M ， 则AM=4-3=1，在△ABM 中，由勾股定理得：BM 2=AB 2-12=x 2-1， 在△A′MB 中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=22248A M BM x '+=+，故答案为：248x +．③解：a 12-a 22=（x+3）2-（248x +）2=x 2+6x+9-（x 2+48）=6x-39，当a 12-a 22＞0（即a 1-a 2＞0，a 1＞a 2）时，6x-39＞0，解得x ＞6.5，当a12-a22=0（即a1-a2=0，a1=a2）时，6x-39=0，解得x=6.5，当a12-a22＜0（即a1-a2＜0，a1＜a2）时，6x-39＜0，解得x＜6.5，综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x=6.5时，两种方案一样，当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．【总结升华】本题考查了勾股定理，轴对称——最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线l上平移时，正方形 EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D=_______，O2F=______；（2）当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.（3）随着中心 O2在直线l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）【答案】（1）O1D=2，O2F=1；（2）O1 O2 =3；（3）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．类型三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论3．（2016•无锡一模）已知：如图正方形ABCD中，点E、F分别是边AB和BC上的点，且满足BE=CF．（1）不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边CD和DA上分别作出点G和点H，使DG=AH=BE=CF（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，当点E在AB边上的何处时，能使S四边形EFGH：S四边形ABCD=5：8，并说明理由．（3）如图：正六边形ABCDEF中，点A′、B′、C′、D′、E′、F′分别是边AB、BC、CD、DE、EF、FA上的点，且A A′=BB′=CC′=DD′=EE′=FF′．①设AA′：A′B=1：3，则S六边形A′B′C′D′E′F′：S六边形ABCDEF= ；②设AA′：A′B=k，求S六边形A′B′C′D′E′F′：S六边形ABCDEF的值（用含k的代数式表示）．【思路点拨】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可；（2）设BE=CF=x，根据勾股定理表示出EF，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可；（3）①作B′H⊥AB交AB的延长线于H，设AA′=a，根据题意表示出A′B，利用三角函数的定义表示出B′H和BH，根据勾股定理求出A′B′，根据相似多边形的性质计算即可；②设AA′=k，利用①的思路进行解答即可．【答案与解析】解：（1）如图1所示：DG=AH=BE=CF；（2）设BE=CF=x，BC=y，则BF=y﹣x，由勾股定理得，EF2=BE2+BF2=x2+（y﹣x）2=2x2﹣2xy+y2，∵S四边形EFGH：S四边形ABCD=5：8，∴（2x2﹣2xy+y2）：（y2）=5：8，则2（）2﹣2×+=0，解得，=，=，∴当BE=AB或BE=AB时，S四边形EFGH：S四边形ABCD=5：8；（3）①如图3，作B′H⊥AB交AB的延长线于H，设AA′=a，则A′B=3a，AB=4a，B′B=a，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠ABC=120°，∴∠B′BH=60°，∴BH=a，B′H=a，∴A′B′==a，∴=，∴S六边形A′B′C′D′E′F′：S六边形ABCDEF=13：16，故答案为：13：16；②∵AA′：A′B=k，∴设AA′=k，则A′B=1，则BH=k，B′H=k，∴A′B′==，AB=1+k，∴S六边形A′B′C′D′E′F′：S六边形ABCDEF=（）2=．【总结升华】本题考查的是正方形和正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形是中心对称图形、正确求出正六边形的内角的度数、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．举一反三：【变式】（2015秋•邹城市期中）阅读材料大数学家高新在上学时，曾经研究过这样一个问题：1+2+3+4+5+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是：1+2+3+4+5+…+n=n（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+4×5×…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：1×2=．2×．3×．如果将这三个等式的两边相加，你会有怎样的发现呢？解决问题要求：直接在横线上写出结果（式子或数值），不必写过程．（1）将材料中的三个特殊的等式两边相加，可以得到：1×2+2×3+3×4=；（2）探究并计算：1×2+2×3+3×4+4×5+…+20×21=；1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）=.【答案】解：（1）三式相加得：1×2+2×3+3×4=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=×3×4×5；（2）归纳总结得：原式=×20×21×22；原式=n（n+1）（n+2）．故答案为：（1）×3×4×5；（2）×20×21×22；n（n+1）（n+2）．类型四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题4．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．【思路点拨】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤43时，当43＜t≤2时，当2＜t≤103时，当103＜t≤4时去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB-BG=3-x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴AG GF AB BC=，即336x x -=，解得：x=2，即BE=2.（2）存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t-2|，EC=4-t，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴ME ECAB BC=，即436ME t-=，∴ME=2-12t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2-12t）2=14t2-2t+8，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t-2）2=t2-4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2-12t，∴DN=DH-NH=3-（2-12t）=12t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=54t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即54t2+t+1=（14t2-2t+8）+（t2-4t+13），解得：t=207，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2-4t+13=（14t2-2t+8）+（54t2+t+1），解得：t1=-3+17，t2=-3-17（舍去），∴t=-3+17；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：14t2-2t+8=（t2-4t+13）+（54t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=207或-3+17时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=83，∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-83=43，∵ME=2-12t，∴FM=12t，当0≤t≤43时，S=S△FMN=12×t×12t=14t2，②如图④，当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•DHCH=34（4-t）=3-34t，∴FK=2-EK=34t-1，∵NL=23AD=43，∴FL=t-43，∴当43＜t≤2时，S=S△FM N-S△FKL=14t2-12（t-43）（34t-1）=-18t2+t-23；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=83，∴EC=4-t=B′C-2=23，∴t=103，∵B′N=12B′C=12（6-t）=3-12t，∵GN=GB′-B′N=12t-1，∴当2＜t≤103时，S=S梯形GNMF-S△FKL=12×2×（12t-1+12t）-12（t-43）（34t-1）=-38t2+2t-53，④如图⑥，当103＜t≤4时，∵B′L=34B′C=34（6-t），EK=34EC=34（4-t），B′N=12B′C=12（6-t）EM=12EC=12（4-t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-12t+52．综上所述：当0≤t≤43时，S=14t2，当43＜t≤2时，S=-18t2+t-23；当2＜t≤103时，S=-38t2+2t-53，当103＜t≤4时，S=-12t+52．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．5．阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现:（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【思路点拨】（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．【答案与解析】解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C；故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC 是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．【总结升华】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质,难度较大．举一反三：【：阅读理解型问题例3】【变式】阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC 的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2) 如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.①②③【答案】(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2) 此时共有2个友好矩形，如图中的矩形BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC 面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.(3) 此时共有3个友好矩形，如图的矩形BCDE、CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周长最小 .证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=2Sa+2a，L2=2Sb+2b，L3=2Sc+2c .∴L1-L2=(2Sa+2a)-(2Sb+2b)=2(a-b)ab Sab，而ab＞S，a＞b，∴L1-L2＞0，即L1＞L2 .同理可得，L2＞L3 .∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小.。

中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解阅读理解问题是通过阅读材料，理解其实质，揭示其方法规律从而解决新问题．既考查学生的阅读能力、自学能力，又考查学生的解题能力和数学应用能力．这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律．该类问题一般是提供一定的材料或介绍一个概念或给出一种解法等，让考生在理解材料的基础上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题．基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”．类型一新概念学习型新概念学习型是指在题目中先构建一个新数学概念(或定义)，然后再根据新概念提出要解决的相关问题．主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力．解决这类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的新概念和已有的知识相结合，并进行运用．例1 (2017·枣庄) 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p ×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【自主解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．变式训练1．(2016·常德)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”．现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是 ______________2．(2016·荆州) 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵抛物线解析式为，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，∵顶点落在OP上，∴A′与D重合，∴A′（2，3），设P（4，c）（c＞0），由折叠有，PD=PA，∴=c，∴c=，∴P（4，）∴直线OP解析式为y=，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．类型二新公式应用型新公式应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的数学公式、定理、运算法则或解题思路等，进而运用这些知识和已有知识解决题目中提出的数学问题．解决这类问题，一是要所运用的思想方法、数学公式、性质、运算法则或解题思路与阅读材料保持一致；二是要创造条件，准确、规范、灵活地解答．例2（2017•日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．例如：求点P解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．∴点P根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；1问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S的最大值和最小值．△ABP【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d=【自主解答】解：（1）点P1=4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣4b=0的距离d=1，∴=1， 解得b=或．（3）点C （2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3， ∴⊙C 上点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S △ABP 的最大值=×2×4=4，S △ABP 的最小值=×2×2=2．变式训练3．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D 中每一个点都是等可能的，用A 表示“实验结果落在D 中的某个小区域M 中”这个事件，那么事件A 发生的概率P(A)＝ .如图，现在等边△ABC 内射入一个点，则该点落在△ABC 内切圆中的概率是____ ．4．(2016·随州)如图1，PT 与⊙O 1相切于点T ，PB 与⊙O 1相交于A ，B 两点，可证明△PTA ∽△PBT ，从而有PT 2＝PA ·PB ．请应用以上结论解决下列问题：如图2，PAB ，PCD 分别与⊙O 2相交于A ，B ，C ，D 四点，已知PA ＝2，PB ＝7，PC＝3，则CD ＝______.类型三 新方法应用型新方法应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识解决题目中提出的问题．例3 (2017·毕节)D M 93 35）观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)解：设S=1+2+22+…+210，①①×2得2S=2+22+23+…+211，②②﹣①得S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32017，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．【自主解答】解：令s=1+3+32+33+…+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+…+32018两式相减得：2s=32018﹣1，∴s=，故答案为：．变式训练5、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．设另一个因式为（x+n），得x2-4x+m=（x+3）（x+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴n+3=-4m=3n 解得：n=-7，m=-21∴另一个因式为（x-7），m的值为-21．问题：（1）若二次三项式x2-5x+6可分解为（x-2）（x+a），则a=______；（2）若二次三项式2x2+bx-5可分解为（2x-1）（x+5），则b=______；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是（2x-3），求另一个因式以及k的值．解：（1）∵（x-2）（x+a）=x2+（a-2）x-2a=x2-5x+6，∴a-2=-5，解得：a=-3；（2）∵（2x-1）（x+5）=2x2+9x-5=2x2+bx-5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x-k=（2x-3）（x+n）=2x2+（2n-3）x-3n，则2n-3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k 的值为12．故答案为：（1）-3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）． 6、（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111(1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++． 令111234t ++=，则 原式=11(1)()(1)55t t t t -+--- =22114555t t t t t +---+ =15 问题：（1）计算1111111111111111111(1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014-----⨯+++++--------⨯++++。

2019重庆中考数学第25题专题训练25．已知，我们把任意形如：t abcba =的五位自然数（其中c a b =+，19a ≤≤，08b ≤≤）称之为喜马拉雅数，例如：在自然数32523中，325+=，所以32523就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数n 整除的最大的喜马拉雅数记为()F n ，能被自然数n 整除的最小的喜马拉雅数记为()I n ．（1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除； （2）求()3+(8)F I 的值．解析：（1）各数位数字之和2222()3()a b c b a a b c a b a b a b ++++=++=+++=+ ∵a b 、是整数 ∴a b +是整数 ∴任意一个喜马拉雅数都能被3整除（2）(3)90909F =, ()101011110321263139888ab a b ba a b a b a b +++==+- ∵喜马拉雅数能被8整除∴32a b +能被8整除19,08,1933227a b a b a b ≤≤≤≤≤+≤∴≤+≤，，328,1624a b ∴+=或可得：(8)21312I = ∴(3)(8)9090921312112221F I +=+=25．一个正偶数k 去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k 为“魅力数”，把这个商叫做k 的魅力系数，记这个商为()F k ．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记(722)4F =．(1)计算：(304)(2052)F F +；(2)若m 、n 都是“魅力数”，其中3030101m a =+，40010n b c =++(09,09,09a b c ≤≤≤≤≤≤，a 、b 、c 是整数)，规定：(,)a c G m n b-=．当()()24F m F n +=时，求(,)G m n 的值．.解：（1）189962808062)8062(=-=F ……（1分） 设abcd n = ∴99)10101000(101001000)(b a d c d c b a n F +++-+++=d c b a --+=1010 ∵d c b a 、、、是整数, ∴d c b a --+1010也为整数,即：结论成立.……（4分）（2）设“平衡数”mnpq N = 由题可得：12,-=+=+n p q p n m∴q p n m N +++=101001000p n m 91011001++= 91191001-+=n m （5分）∵N 能被11整除∴119910911191191001-++=-+n n m n m ∴1199-n 为整数 又∵90≤≤n 且n 为整数 ∴1=n∴112=-=n p ……（7分）∴1101001+=m N∵N 能被3整除∴3223633*********+++=+a m m ∴322+a 为整数 又∵91≤≤a ∴852或或=a∴N=2112或5115或8118……（9分）∵63)8118(,36)5115(,9)2112(===F F F∴9)(的最小值为N F ……（10分）25．阅读下列材料，解决问题：一个能被17整除的自然数我们称“灵动数”，“灵动数”的特征是；若把一个整数的个位数字截去，在从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍大，相减，验差”的过程，直到能清楚判断为止．例如：判断1675282是不是“灵动数”，判断过程：16752825167518-⨯=，167518516711-⨯=，1671151666-⨯=，16665136-⨯=，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…65=30⨯，现在个位5=30>⨯剩下的13，就用大数减去小数，301317-=，17是17的1倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“灵动数”．（1）请用上述方法判断7242和2098754是否是“灵动数”，并说明理由；（2）已知一个四位整数可表示为27mn ，其中个位上的数字为n ，十位上的数字为m ，且m 、n 为整数，若这个数能被51整除，请求出这个数．解：（1）5154-71,71452-724=⨯=⨯51是17的3倍，7242∴是“灵动数”；1827-5927956-209,209650-20962096055-20985,20985554-209875=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯18不能被17整除，2098754∴不是“灵动数”.（2）由题可知：2700+10m+n=5153+10m+n-3能被51整除10m+n-3能被51整除96310390,90≤-+≤-∴≤≤≤≤n m n m 10m+n-3=0或51，即10m+n=3或54⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴4530n m n m 或 ∴这个数为2703或275425、一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除．（1）判断266357 （能/不能）被13整除，证明任意一个多位自然数都满足上述规律；（2）一个自然数t 可以表示为22q p t -=的形式，（其中q p >且为正整数），这样的数叫做“佛系数”，在t 的所有表示结果中，当q p -最小时，称22q p -是t 的“佛系分解”，并规定qp q p t F -+=2)(．例如：22227-92-632==，267-9-<，则79729)32(-⨯+=F 223=． 已知一个五位自然数，末三位数4210800++=y m ，末三位以前的数为y x n ++=）（110（其中81≤≤x ，91≤≤y 且为整数），n 为“佛系数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除，求)(n F 的最大值．解析：（1）能；…………………………………（1分）设末三位数为B ，末三位以前的数为A ，则这个数为1000A+B.)1377(13131001)131000100013,13+=+=++=+∴+=∴=-A k A k A A B A k A B k k A B （是整数是整数是整数1377,+∴A k A所以：任意一个多位自然数都满足上述规律…………………………………（4分）（2）当51≤≤y 时，这个五位数万位、千位、百位、各位数字为（1+x ）、y 、8、（4+y ）、2； 1345336813472991013)1(10824100+-+++-=++-=-+-++∴y x y x y x y x y ）（ 13453+-∴y x 是整数 93,85,32,243,5,2,48,7,2,113,0,13453234531851,81=∴⎩⎨⎧==∴-=+-∴≤+-≤-∴≤≤≤≤n y x y x y x y x …………………………………（6分）当96≤≤y 时，这个五位数万位、千位、百位、各位数字为（1+x ）、y 、9、（6-y ）、2；1324340-813518-991013)1(10926-100+-++-=+-=-+-+∴y x y x y x y x y ）（ 13243+-∴y x 是整数 ⎩⎨⎧==∴---=+-∴-≤+-≤-∴≤≤≤≤6,85,413,26,3924342434096,81y x y x y x y x66,58=∴n …………………………………（7分）由))((22q p q p q p n -+=-=,）（）（q p q p -+,奇偶性相同139)93(127)85(223)32(,217)24(====F F F F ，， 139127223217<<< )(n F ∴最大值是139.…………………………………（10分）25．一个数的后三位数加上前边的数之和能被37整除，那么这个数就能够被37整除，如果前边的数超过三位，那么三个数字为一组，相加能够被37整除，这个数就能被37整除．例如：6549 ，549+6=555，555÷37=15，所以6549能被37整除；12360146， 146+360+12=518，518÷37=14，所以12360146能被37整除．（1）判断：333444 （能、不能）被37整除；证明：若四位数abcd （其中91≤≤a ，91≤≤b ，9c 1≤≤，9d 1≤≤，a 、b 、c 、d 为整数）能被37整除，求证：将abcd 的个位截去，再用余下的数减去个位数的11倍也能被37整除．（2）一个四位数abcd （其中91≤≤a ，91≤≤b ，9c 1≤≤，9d 1≤≤，a 、b 、c 、d 为整数），其个位数字与千位数字的和等于十位数字与百位数字的和，此四位数能被37整除，且百位数字加上个位数字再与十位数字的差是一个完全平方数，求此四位数．25．（1） 能 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分证明：由题可知，k a d c b 3710100=+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分其中91≤≤a ，91≤≤b ，9c 1≤≤，9d 1≤≤，a 、b 、c 、d 、k 为整数∴a c b k d ---=1010037）（）（c b a k cb a k ac b k c b a dc b a 330311371111110111407101003711101001110100+++-=+++-=----++=-++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∴abcd 的个位截去，再用余下的数减去个位的11倍也能被37整除（2）由题可知，c b d a +=+，k a d c b 3710100=+++2m c d b =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分其中91≤≤a ，91≤≤b ，9c 1≤≤，9d 1≤≤，a 、b 、c 、d 、k 、m 为整数∴kc b b k c b kc b c b 37111011137111013710100=+-=+=+++1371110k c b =+- （1k 为整数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ∵89111079≤+-≤-c b∴7437037741110、、、、--=+-c b ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ∴⎩⎨⎧==3711c b 或⎩⎨⎧==7422c b当⎩⎨⎧==3711c b 时，满足条件2m c d b =-+的5=d ，此时5=a 当⎩⎨⎧==7422c b 时，满足条件2m c d b =-+的⎪⎩⎪⎨⎧===743321d d d ，此时对应的⎪⎩⎪⎨⎧===478321a a a 综上所述，此四位数为5735、8473、7474、4477．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分25.一个两位正整数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n 为“启航数”，将n 的两个数位上的数字对调得到一个新数'n 。

课后练习38 阅读理解型问题A 组1．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a .其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A ．1，2，3B ．1，1， 2C ．1，1， 3D ．1，2， 33．对点(x ，y )的一次操作变换记为P 1(x ，y )，定义其变换法则如下：P 1(x ，y )＝(x ＋y ，x －y )；且规定P n (x ，y )＝P 1(P n －1(x ，y ))(n 为大于1的整数)．如P 1(1，2)＝(3，－1)，P 2(1，2)＝P 1(P 1(1，2))＝P 1(3，－1)＝(2，4)，P 3(1，2)＝P 1(P 2(1，2))＝P 1(2，4)＝(6，－2)．则P 2017(1，－1)＝( )A ．(0，21008)B ．(0，－21008)C ．(0，－21009)D ．(0，21009)4．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x ＋1x(x ＞0)的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x ，矩形的周长是2(x ＋1x )；当矩形成为正方形时，就有x ＝1x(x ＞0)，解得x ＝1，这时矩形的周长2(x ＋1x )＝4最小，因此x ＋1x(x ＞0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子x 2＋9x(x ＞0)的最小值是( ) A ．2 B ．1 C ．6 D ．105．定义[]p ，q 为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．(1)若特征数是[]2，m ＋1的一次函数为正比例函数，求m 的值；(2)已知抛物线y ＝(x ＋n )(x －2)与x 轴交于点A 、B ，其中n >0，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，且△OAC 的面积为4，O 为原点，求图象过A 、C 两点的一次函数的特征数．6．(2015·杭州)如图1，⊙O 的半径为r (r >0)，若点P ′在射线OP 上，满足OP ′·OP ＝r 2，则称点P ′是点P 关于⊙O 的“反演点”，如图2，⊙O 的半径为4，点B 在⊙O 上，∠BOA ＝60°，OA ＝8，若点A ′、B ′分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，求A ′B ′的长．第6题图7．点P 是双曲线y ＝k x(x ＞0)上一点，以点P 为圆心，2为半径的圆与直线y ＝x 的交点为A 、B ，则称线段AB 是双曲线y ＝k x (x ＞0)的径长．如图，线段AB 是双曲线y ＝k x(x ＞0)的径长．(1)当⊙P 与x 轴和y 轴都相切时，求双曲线y ＝k x(x ＞0)的径长及k 的值； (2)若点P 在双曲线y ＝4x(x >0)上运动，当径长等于23时，求点P 的坐标．第7题图8．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A ＝底边腰＝BC AB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad 60°＝____________________；(2)对于0°<A <180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是____________________；(3)如图2，已知sin A ＝35，其中∠A 为锐角，试求sad A 的值．第8题图B 组9．若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，则称矩形ABCD 为方形．(1)设a ，b 是方形的一组邻边长，写出a ，b 的值(一组即可)；(2)在△ABC 中，将AB ，AC 分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3，B 4C 4的对边分别在B 2C 2，B 3C 3，B 4C 4，BC 上，如图2所示．①若BC ＝25，BC 边上的高为20，判断以B 1C 1为一边的矩形是不是方形？为什么？ ②若以B 3C 3为一边的矩形为方形，求BC 与BC 边上的高之比．第9题图10．将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍，得△AB ′C ′，即如图1，∠BAB ′ ＝θ，AB ′AB ＝B ′C ′BC ＝AC ′AC＝n ，我们将这种变换记为[θ，n ]． (1)如图1，对△ABC 作变换[60°，3]得△AB ′C ′，则S △AB ′C ′∶S △ABC ＝____________________；直线BC 与直线B ′C ′所夹的锐角为____________________度；(2)如图2，△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，对△ABC 作变换[θ，n ]得△AB ′C ′，使点B 、C 、C ′在同一直线上，且四边形ABB ′C ′为矩形，求θ和n 的值；(3)如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，BC ＝1，对△ABC 作变换[θ，n ]得△AB ′C ′，使点B 、C 、B ′在同一直线上，且四边形ABB ′C ′为平行四边形，求θ和n 的值．第10题图11．(2016·绍兴)对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A 的斜平移，如点P (2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，已知点A 的坐标为(1，0)．(1)分别写出点A 经1次，2次斜平移后得到的点的坐标；(2)如图，点M 是直线l 上的一点，点A 关于点M 对称的点为点B ，点B 关于直线l 对称的点为点C .①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由；②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(7，6)，求出点B的坐标及n 的值．第11题图12．(2017·衢州)定义：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A、B两点不重合)，如果△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．第12题图(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；(2)如图2，已知抛物线C∶y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．C组13．(2016·广东模拟)定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：(1)如图1，已知A 、B 、C 在格点(小正方形的顶点)上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB 、BC 为边的两个对等四边形ABCD ；(2)如图2，在圆内接四边形ABCD 中，AB 是⊙O 的直径，AC ＝BD .求证：四边形ABCD 是对等四边形；(3)如图3，在Rt △PBC 中，∠PCB ＝90°，BC ＝11，tan ∠PBC ＝125，点A 在BP 边上，且AB ＝13.用圆规在PC 上找到符合条件的点D ，使四边形ABCD 为对等四边形，并求出CD 的长．第13题图参考答案课后练习38 阅读理解型问题A 组1．A 2.D 3.D 4.C5. (1)由题意得 m ＋1＝0.∴ m ＝－1. (2)由题意得点A 的坐标为(－n ，0)，点C 的坐标为(0，－2n )．∵ △OAC 的面积为4，∴ 12×n ·2n ＝4，∴ n ＝2.∴ 点A 的坐标为(－2，0)，点C 的坐标为(0，－4)．设直线AC 的解析式为 y ＝kx ＋b .∴ ⎩⎪⎨⎪⎧0＝－2k ＋b ，－4＝b .∴ ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4.∴ 直线AC 的解析式为 y ＝－2x －4. ∴ 图象过A 、C 两点的一次函数的特征数为[]－2，－4.6．∵OA ′·OA ＝16，OA ＝8，∴OA ′＝2，同理可得OB ′＝4，即B 点的反演点B ′与B 重合，设OA 交圆于点M ，连结B ′M ，∵∠BOA ＝60°，OM ＝OB ′，∴△OB ′M 为正三角形，又∵点A ′为OM 的中点，∴A ′B ′⊥OM ，根据勾股定理，得：OB ′2＝OA ′2＋A ′B ′2，即16＝4＋A ′B ′2，解得：A ′B ′＝2 3.7．(1)∵⊙P 与x 轴和y 轴都相切，半径为2，∴点P 到x 轴和y 轴的距离都是2，∴点P (2，2)，∴线段AB 经过圆心，2＝k 2，∴径长AB ＝4，k ＝4. (2)设点P (m ，n )，点P 在直线l 上方时，如图，作PC ⊥AB 于点C ，作PD ⊥x 轴于点D ，PD 与AB 交于点E ，连结PB ，∴C 是AB 中点， ∴BC ＝3，∴PC ＝PB 2－BC 2＝4－3＝1，∵点E 在直线y ＝x 上， ∴OD ＝ED ＝m ，∴∠OED ＝45°，∴∠PEC ＝45°，∴PE ＝2PC ＝2，∴n ＝PD ＝DE ＋PE＝m ＋2，∵点P 在双曲线y ＝4x上，∴mn ＝4，∴m (m ＋2)＝4，解得m 1＝2，m 2＝－22，∵点P 在第一象限，∴m ＝2，∴n ＝22，∴点P (2，22)，类似地求出点P 在直线l 下方时坐标为(22，2)，∴点P 的坐标为(2，22)或(22，2)．第7题图 第8题图8．(1)1 (2)0<sad A <2(3)设AB ＝5a ，BC ＝3a ，则AC ＝4a .如图，在AC 延长线上取点D 使AD ＝AB ＝5a ，连结BD .则CD ＝a .BD ＝CD 2＋BC 2＝a 2＋（3a ）2＝10a .∴sad A ＝BD AD ＝105. B 组9．(1)答案不唯一，如a ＝2，b ＝4； (2)①以B 1C 1为一边的矩形不是方形．理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，交B 1C 1于E ，交B 2C 2于H ，交B 3C 3于G ，交B 4C 4于N ，则AM ⊥B 4C 4，AM ⊥B 3C 3，AM ⊥B 2C 2，AM ⊥B 1C 1，∵由矩形的性质得：BC ∥B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3∥B 4C 4，∴△ABC ∽△AB 1C 1∽△AB 2C 2∽△AB 3C 3∽△AB 4C 4，∴B 1C 1BC ＝AE AM ，B 2C 2BC ＝AH AM ，B 3C 3BC ＝AG AM ，B 4C 4BC ＝AN AM，∵AM ＝20，BC ＝25，∴B 1C 1＝5，B 2C 2＝10，B 3C 3＝15，B 4C 4＝20，AE ＝4，AH ＝8，AG ＝12，AN ＝16，∴MN ＝GN ＝GH ＝HE ＝4，∴B 1Q ＝B 2O ＝B 3Z ＝B 4K ＝4，即B 1C 1≠2B 1Q ，B 1Q ≠2B 1C 1，∴以B 1C 1为一边的矩形不是方形； ②∵以B 3C 3为一边的矩形为方形，设AM ＝h ，∴△ABC ∽△AB 3C 3，∴B 3C 3BC ＝AG AM ＝35，则AG ＝35h ，∴MN ＝GN ＝GH ＝HE ＝15h ，当B 3C 3＝2×15h 时，BC AM ＝23；当B 3C 3＝12×15h 时，BC AM ＝16.综合上述：BC 与BC 边上的高之比是23或16.第9题图10．(1)3 60 (2)∵四边形ABB ′C ′是矩形，∴∠BAC ′＝90°.∴θ＝∠CAC ′＝∠BAC ′－∠BAC ＝90°－30°＝60°.在Rt △ABB ′中，∠ABB ′＝90°， ∠BAB ′＝60°，∴n ＝AB ′AB＝2. (3)∵四边形ABB ′C ′是平行四边形，∴AC ′∥BB ′，又∵∠BAC ＝36°，∴θ＝∠CAC ′＝∠ACB ＝72°∴∠C ′AB ′＝∠AB ′B ＝∠BAC ＝36°，而∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△B ′BA ，∴AB 2＝CB ·B ′B ＝CB ·(BC ＋CB ′)，而CB ′＝AC ＝AB ＝B ′C ′， BC ＝1, ∴AB 2＝1·(1＋AB )，∴AB ＝1±52，∵AB ＞0，∴n ＝B ′C ′BC ＝1＋52. 11．(1)∵点P (2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，点A 的坐标为(1，0)，∴点A 经1次斜平移后得到的点的坐标为(2，2)，点A 经2次斜平移后得到的点的坐标为(3，4)；(2)①连结CM ，如图1：由中心对称可知，AM ＝BM ，由轴对称可知：BM ＝CM ，∴AM ＝CM ＝BM ，∴∠MAC ＝∠ACM ，∠MBC ＝∠MCB ，∵∠MAC ＋∠ACM ＋∠MBC ＋∠MCB ＝180°，∴∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 是直角三角形；②延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，如图2：∵A (1，0)，C (7，6)，∴AF ＝CF ＝6，∴△ACF 是等腰直角三角形，由①得∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝45°，∴E 点坐标为(13，0)，设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵C ，E 点在直线上，可得：⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋b ＝0，7k ＋b ＝6，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝13，∴y ＝－x ＋13，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴点B (n ＋1，2n )，由2n ＝－n －1＋13，解得：n ＝4，∴B (5，8)．第11题图12．(1)抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点的坐标为(0，1)； (2)抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点，即点A (0，0)，如图，作PG ⊥x 轴于点G ，∵点P 的坐标为(1，3)，∴AG ＝1，PG ＝3，P A ＝AG 2＋PG 2＝12＋（3）2＝2，∵tan ∠P AB ＝PG AG＝3，∴∠P AG ＝60°，在Rt △P AB 中，AB ＝P A cos ∠P AB ＝212＝4，∴点B 坐标为(4，0)，设y ＝ax (x －4)，将点P (1，3)代入得：a ＝－33，∴y ＝－33x (x －4)＝－33x 2＋433x ； (3)当点Q 在x 轴上方时，由S △ABQ ＝S △ABP 知点Q 的纵坐标为3，则有－33x 2＋433x ＝3，解得：x 1＝3，x 2＝1(不符合题意，舍去)，∴点Q 的坐标为(3，3)；当点Q 在x 轴下方时，由S △ABQ ＝S △ABP 知点Q 的纵坐标为－3，则有－33x 2＋433x ＝－3，解得：x 1＝2＋7，x 2＝2－7，∴点Q 的坐标为(2＋7，－3)或(2－7，－3)；综上，满足条件的点Q 有3个：(3，3)或(2＋7，－3)或(2－7，－3)．第12题图C 组13．(1)如图1所示(画2个即可)．第13题图(2)如图2，连结AC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ADB 和Rt △ACB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，BD ＝AC ，∴Rt △ADB ≌Rt △BCA ，∴AD ＝BC ，又∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ≠CD ，∴四边形ABCD 是对等四边形． (3)如图3，点D 的位置如图所示：①若CD ＝AB ，此时点D 在D 1的位置，CD 1＝AB ＝13；②若AD ＝BC ＝11，此时点D 在D 2、D 3的位置，AD 2＝AD 3＝BC ＝11，过点A 分别作AE ⊥BC ，AF ⊥PC ，垂足为E ，F ，设BE ＝x ，∵tan ∠PBC ＝125，∴AE ＝125x ，在Rt △ABE 中，AE 2＋BE 2＝AB 2，即x 2＋⎝⎛⎭⎫125x 2＝132，解得：x 1＝5，x 2＝－5(舍去)，∴BE ＝5，AE ＝12，∴CE ＝BC －BE ＝6，由四边形AECF 为矩形，可得AF＝CE ＝6，CF ＝AE ＝12，在Rt △AFD 2中，FD 2＝AD 22－AF 2＝112－62＝85，∴CD 2＝CF －FD 2＝12－85，CD 3＝CF ＋FD 3＝12＋85，综上所述，CD 的长度为13，12－85或12＋85.。

2018届重庆中考复习：材料阅读题分类练习(含答案)重庆中考材料阅读题分类讲练（含答案）类型1 代数型新定义问题例1【2017·重庆A】对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以，F(123)＝6.(1)计算：F(243)，F(617)；(2)若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数)，规定：k＝F⎝⎛⎭⎫sF⎝⎛⎭⎫t.当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．针对训练1．对于一个两位正整数xy(0≤y≤x≤9，且x、y为正整数)，我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做t的“平方和数”，把十位上的数与个位上的数的平方差叫做t的“平方差数”．例如：对数62来说，62＋22＝40，62－22＝32，所以40和32就分别是62的“平方和数”与“平方差数”．(1)75的“平方和数”是________，5可以是________的“平方差数”；若一个数的“平方和数”为10，它的“平方差数”为8，则这个数是________．(2)求证：当x≤9，y≤8时，t的2倍减去t 的“平方差数”再减去99所得结果也是另一的“调和优选数”，F(215)＝22－1×5＝－1.(1)F(236)＝________；(2)如果在正整数n三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数；(3)设三位自然数t＝100x＋60＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t′.若t－t′＝693，那么我们称t为“和顺数”．求所有“和顺数”中F(t)的最大值．3．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位．十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成(a)X.类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数(1111)X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3.故(1111)X＝1×X3＋1×X2＋1×X1＋1×X0，即：(1111)X转化为十进制表示的数为X3＋X2＋X1＋X0.如：＝1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝15，(1111)2(1111)＝1×53＋1×52＋1×51＋1×50＝156.5根据材料，完成以下问题：(1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：(101011)2＝________；(302)4＝________；(257)7＝________(2)若一个五进制三位数(a4b)5与八进制三位数(ba4)8之和能被13整除(1≤a≤5，1≤b≤5，且a、b均为整数)，求a的值；(3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断(mm1)6与(nn5)8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由．4.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F(n)＝pq.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝3.4(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1.(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F(t)的最大值．类型2 函数型新定义问题例2 已知一个大于1的正整数t可以分解成t ＝ac＋b2的形式(其中a≤c，a，b，c均为正整数)，在t的所有表示结果中，当bc－ba取得最小值时，称“ac＋b2”是t的“等比中项分解”，此时规定：P(t)＝b＋c2（a＋b），例如：7＝1×6＋12＝2×3＋12＝1×3＋22，1×6－1×1＞2×3－2×1＞1×3－1×2，所以2×3＋12是7的“等比中项分解”，P(7)＝23 .(1)若一个正整数q＝m2＋n2，其中m、n为正整数，则称q为“伪完全平方数”，证明：对任意一个“伪完全平方数”q都有Ρ(q)＝12 .(2)若一个两位数s＝10x＋y(1≤y≤x≤5，且x，y均为自然数)，交换原数十位上的数字和个位上的数字得到的新数的两倍再加上原数的14倍，结果被8除余4，称这样的数s为“幸福数”，求所有“幸福数”的P(s)的最大值．针对训练1. 如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程x 2－x －2＝0是倍根方程；②若(x －2)(mx ＋n)＝0是倍根方程，则4m 2＋5mn ＋n 2＝0；③若点(p ，q)在反比例函数y ＝2x 的图象上，则关于x 的方程px 2＋3x ＋q ＝0是倍根方程． 其中正确的是________．(写出所有正确说法的序号)2. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：(x ＋y)2＋2(x ＋y)＋1. 解：将“x＋y”看成整体，令x ＋y ＝A ，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝________；(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4＝________；(3)证明：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．3. 若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．(1)实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由；(2)若M(t，y1)，N(t＋1，y2)，R(t＋3，y3)三点均在函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三数组”，求实数t的值；(3)若直线y＝2bx＋2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2＋3bx＋3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三数组”；②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P(ca，ba)与原点O的距离OP的取值范围．4．若一个整数能表示成a2＋b2(a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为5＝22＋12.再如，M＝x2＋2xy＋2y2＝(x＋y)2＋y2(x，y是整数)，所以M 也是“完美数”．(1)请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”．(2)已知S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．(3)如果数m，n都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．5. 若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”P，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b.定义：若数K＝a2＋b2－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K ＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；(2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．类型3 整除问题例3 我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n＝p＋q(p、q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p、q 两数的乘积最大，我们就称p＋q是n的最佳分解．并规定在最佳分解时：F(n)＝pq.例如6可以分解成1＋5或2＋4或3＋3，因为1×5<2×4<3×3，所以3＋3是6的最佳分解，所以F(6)＝3×3＝9.(1)求F(11)的值；(2)一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数被2除余1，前三位数被3除余2，前四位数被4除余3，…，一直到前N位数被N除余(N－1)，我们称这样的数为“多余数”．如：236的第一位数“2”能被1整除，前两位数“23”被2除余1，“236”被3除余2，则236是一个“多余数”．若把一个小于200的三位“多余数”记为t，它的各位数字之和再加1为一个完全平方数，请求出所有“多余数”中F(t)的最大值．针对训练1. 一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”．(1)若四位数123k是一个“精巧数”，求k的值；(2)若一个三位“精巧数”2ab各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”．2. 人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系．若两个不同的自然数的所有真因数(即除了自身以外的正因数)之和相等，我们称这两个数为“亲和数”．例如：18的正因数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和为1＋2＋3＋6＋9＝21；51的正因数有1、3、17、51，它的真因数之和为1＋3＋17＝21，所以称18和51为“亲和数”．数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头(首位与末位)都是1的数为“两头蛇数”．例如：121、1351等．(1)8的真因数之和为________；求证：一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的3倍的差，能被7整除；(2)一个百位上的数为4的五位“两头蛇数”能被16的“亲和数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的五位“两头蛇数”．3. 材料1：将分式x 2－x ＋3x ＋1拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．解：x 2－x ＋3x ＋1＝x （x ＋1）－2（x ＋1）＋5x ＋1＝x （x ＋1）x ＋1－2（x ＋1）x ＋1＋5x ＋1＝x －2＋5x ＋1， 这样，分式x 2－x ＋3x ＋1就拆分成一个整式x －2与一个分式5x ＋1的和的形式． 材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数100x ＋10y ＋x ，且1≤x≤4，求y与x的函数关系式．解：∵101x＋10y11＝99x＋11y＋2x－y11＝9x＋y＋2x－y 11，又∵1≤x≤4，0≤y≤9，∴－7≤2x－y≤8，还要使2x－y11为整数，∴2x－y＝0.(1)将分式x2＋6x－3x－1拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为___________________；(2)已知整数x使分式2x2＋5x－20x－3的值为整数，则满足条件的整数x＝_________________；(3)已知一个六位整数20xy17能被33整除，求满足条件的x，y的值．4. 在任意n(n>1且n为整数)位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324－13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．(1)请根据以上方法判断31568________(填“是”或“不是”)“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值；(2)证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．5. 若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得a b＝n ，即a ＝bn.例如：若整数a 能被整数7整除，则一定存在整数n ，使得a ＝7n.(1)将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字1078分解为8和107，107－8×2＝91，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，请你证明任意一个三位数都满足上述规律．(2)若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的k(k为正整数，1≤k≤5)倍，所得之和能被13整除，求当k为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．参考答案例1. 解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9，F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14.(2)∵s，t都是“相异数”，∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6，∵F (s )＋F (t )＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18，∴x ＋y ＝7，∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y都是正整数，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6，y ＝1.（2）∵s 是“相异数”，∴x ≠2，x ≠3，∵t 是“相异数”，∴y ≠1，y ≠5，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧F ⎝⎛⎭⎫s ＝6，F ⎝⎛⎭⎫t ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧F ⎝⎛⎭⎫s ＝9，F ⎝⎛⎭⎫t ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧F ⎝⎛⎭⎫s ＝10，F ⎝⎛⎭⎫t ＝8.∴k ＝F ⎝⎛⎭⎫s F ⎝⎛⎭⎫t ＝12或k ＝F ⎝⎛⎭⎫s F ⎝⎛⎭⎫t ＝1或k ＝F ⎝⎛⎭⎫s F ⎝⎛⎭⎫t ＝54， ∴k 的最大值为54. 针对训练1解：（1）74；32；31(2)证明：令t ＝10x ＋y ，2(10x ＋y )－(x 2－y 2)－99＝20x ＋2y －x 2＋y 2－99＝(y 2＋2y ＋1)－(x 2－20x ＋100)＝(y ＋1)2－(x －10)2，∴t 的2倍减去t 的“平方差数”再减去99所得结果是另一个数的“平方差”数．(3)令t ＝xy ，t ′＝yx ，由题意知：10x ＋y ＋x 2＋y 2＝10y ＋x ＋y 2－x 2，所以9x －9y ＋2x 2＝0，9(x －y )＋2x 2＝0，∵x －y ≥0，2x 2≥0，∴x ＝y ＝0.故t ＝0.2. 解：(1)F (236)＝－3(2)证明：设这个正整数n 三个数位上的数字分别为：x ，x ＋y 2，y . ∵|a ＋c －2b |最小时，我们称abc 是n 的“调和优选数”，∴F (n )＝b 2－ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－xy ＝x 2＋y 24－xy 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22； ∴F (n )为一个完全平方数；(3)t ＝100x ＋60＋y ，t ′＝100y ＋60＋x ， ∵t －t ′＝99x －99y ＝693，∴99(x －y )＝693，x －y ＝7，x ＝y ＋7，∴1≤x ≤9，1≤y ≤9，∴1≤y ＋7≤9，∴1≤y ≤2，∴⎩⎨⎧y ＝1，x ＝8或⎩⎨⎧y ＝2，x ＝9，∴t ＝861或t ＝962， 当t ＝861时，可以重新排列为168，186，618. ∵|1＋8－2×6|＝3，|1＋6－2×8|＝9，|6＋8－2×1|＝12，∴168为861的“调和优选数”， ∴F (861)＝6×6－1×8＝28；当t ＝962时，可以重新排列为269，296，629，∵|2＋9－2×6|＝1，|2＋6－2×9|＝10，|6＋9－2×2|＝11，∴269为962的“调和优选数”，∴F (962)＝6×6－2×9＝18.∴所有“和顺数”中F (t )的最大值为28.3. 解：（1）43；50；140(2)b ＋4×51＋a ×52＋4＋a ×8＋b ×82＝33a ＋65b ＋24＝13(2a ＋5b ＋1)＋7a ＋11， ∴13整除7a ＋11，而1≤a ≤5，1≤b ≤5，∴18≤7a ＋11≤46，∴7a＋11＝26或39.解得a＝157(舍去)或4，∴a＝4.(3)(mm1)6＋(nn5)8＝1＋6m＋36m＋5＋8n＋64n＝6＋42m＋72n.若互为“如意数”，则6＋42m＋72n＝666，∴7m＋12n＝110，此时m必为偶数，经检验，当m＝2，n＝8时，7m＋12n＝110，∴这两个数为85和581.4. (1)证明：对任意一个完全平方数m，设m ＝a2(a为正整数)，∵|a－a|＝0，∴a×a是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝aa＝1.(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y＋x，∵t是“吉祥数”，∴t′－t＝(10y＋x)－(10x＋y)＝9(y－x)＝36，∴y＝x＋4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有15，26，37，48，59.(3)F(15)＝35，F(26)＝213，F(37)＝137，F(48)＝68＝34，F(59)＝159.∵34>35>213>137>159，∴所有“吉祥数”中，F(t)的最大值是34 .类型二例2解：(1)证明：∵a≤c，a，b，c为正整数，∴bc－ba＝b(c－a)≥0.又q＝m2＋n2＝m·m＋n2，令n＝b，m＝a＝c，则此时bc－ba最小为0，故m·m＋n2是q的“等比中项分解”，∴P(q)＝n＋m2（m＋n）＝12.(2)由题意，得2(10y＋x)＋14(10x＋y)＝8k＋4(k为整数)，即：142x＋34y＝8k＋4.∴8(18x＋4y)＋2y－2x －4＝8k，∴2(y－x－2)是8的倍数，∴y－x－2是4的倍数．又∵1≤y≤x≤5且x，y均为自然数，∴－6≤y－x－2≤－2，∴y－x－2＝－4，∴x＝y＋2，∴s＝31，42，53.∵bc－ba＝b(c－a)，且a，b，c为正整数，a ≤c，∴当b越小，c－a的差越小，b(c－a)越小．∴当s＝31时，31＝5×6＋12，则P(31)＝1＋62×（5＋1）＝712；当s＝42时，42＝2×3＋62，则P(42)＝6＋32×（6＋2）＝916；当s＝53时，53＝7×7＋22或53＝2×2＋72，则P(53)＝12.∵916>712>12，∴P(s)max＝916.针对训练1.②③2. 解：(1)1＋2(x－y)＋(x－y)2＝(x－y＋1)2；(2)令A＝a＋b，则原式变为A(A－4)＋4＝A2－4A＋4＝(A－2)2，故(a＋b)(a＋b－4)＋4＝(a＋b－2)2；(3)证明：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n)[(n＋1)(n＋2)]＋1＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2，∵n为正整数，∴n2＋3n＋1也为正整数，∴代数式(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．3. 解：(1)∵1，2，3的倒数分别为1，12，13，且1>12>13.∵12＋13≠1，∴1，2，3不可以构成“和谐三数组”．(2)M (t ，k t )，N (t ＋1，k t ＋1)，R (t ＋3，kt ＋3)，且k t ，k t ＋1，k t ＋3构成“和谐三数组”． ①若t k ＝t ＋1k ＋t ＋3k ，得2t ＋4＝t ，得t ＝－4；②若t ＋1k ＝t k ＋t ＋3k，得2t ＋3＝t ＋1，得t ＝－2；③若t ＋3k ＝t k ＋t ＋1k，得2t ＋1＝t ＋3，得t ＝2.综上，t 的值为－4或－2或2.(3)①证明：∵a ，b ，c 均不为0，∴x 1，x 2，x 3都不为0，令y ＝2bx ＋2c ＝0，则x 1＝－cb，联立⎩⎨⎧y ＝2bx ＋2c ，y ＝ax 2＋3bx ＋3c ，整理得：ax 2＋bx ＋c ＝0.∵x 2＋x 3＝－b a ，x 2·x 3＝ca，∴1x 2＋1x 3＝x 2＋x 3x 2·x 3＝－b a ·a c ＝－b c ＝1x 1， ∴A ，B ，C 三点的横坐标x 1，x 2，x 3构成“和谐三数组”．②∵x 2＝1，∴a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b . ∵a >2b >3c ，∴a >2b >3(－a －b )，且a >0，整理得⎩⎨⎧a ＞2b ，5b ＞－3a ， ∴－35<b a <12且b a ≠0.∵P (c a ，b a)，∴OP 2＝(c a )2＋(b a )2＝(－a －b a )2＋(b a )2＝2(b a＋12)2＋12， 令m ＝b a ，则－35<m <12且m ≠0，则OP 2＝2(m ＋12)2＋12，∵2>0， ∴当－35<m <－12时，OP 2随m 的增大而减小，当m ＝－35时，OP 2有最大值1325，当m ＝－12时，OP 2有最小值12；当－12<m <12且m ≠0时，OP 2随m 的增大而增大，当m ＝－12时，OP 2有最小值12，当m ＝12时，OP 2有最大值52，∴12≤OP 2<52且OP 2≠1，∴22≤OP<102且OP≠1.4. 解：(1)(答案不唯一)0，1，2，4，8，9均可．因为29＝52＋22，所以29是“完美数”； (2)当k ＝13时，S ＝x 2＋4y 2＋4x －12y ＋13＝x 2＋4x ＋4＋4y 2－12y ＋9＝(x ＋2)2＋(2y －3)2，∵x ，y 是整数，∴x ＋2，2y －3也是整数，∴S 是一个“完美数”．(3)∵m 与n 都是“完美数”，∴设m ＝a 2＋b 2，n ＝c 2＋d 2(a ，b ，c ，d 都是整数)，则mn ＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＋a 2d 2＝(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2. ∵a ，b ，c ，d 是整数，∴ac ＋bd 与bc －ad 都是整数， ∴mn 也是“完美数”．5. 解：(1)6不是“尼尔数”；39是“尼尔数”；设a ＝3n ＋1，b ＝3n －1(其中n 为自然数)， K ＝(3n ＋1)2＋(3n －1)2－(3n ＋1)(3n －1)＝2×9n 2＋2×1－(9n 2－1)＝9n 2＋3， ∴所有“尼尔数”一定被9除余3.(2)设这两个“尼尔数”分别为9m 2＋3，9n 2＋3，其中m ，n 为整数，则(9m 2＋3)－(9n 2＋3)＝189， m 2－n 2＝21. (m ＋n )(m －n )＝1×21或3×7. ∴⎩⎨⎧m ＋n ＝21，m －n ＝1或⎩⎨⎧m ＋n ＝7，m －n ＝3.解得⎩⎨⎧m ＝11，n ＝10或⎩⎨⎧m ＝5，n ＝2. 当m ＝11，n ＝10时，9m 2＋3＝9×112＋3＝1092， 9n 2＋3＝9×102＋3＝903.当m ＝5，n ＝2时，9m 2＋3＝9×52＋3＝228， 9n 2＋3＝9×22＋3＝39.答：这两个“尼尔数”分别是1092和903或228和39.类型3.整除问题例3. 解：(1)11＝1＋10＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，且1×10<2×9<3×8<4×7<5×6，所以F(11)＝5×6＝30.(2)设此数为1bc，由题可得10＋b＝2m＋1①，由①得：10＋b为奇数，所以b为奇数；100＋10b＋c＝3n＋2②，由②得：1＋b＋c ＋1是3的倍数；1＋b＋c＋1＝k2③.(其中m，n，k为整数) 又因为1≤b≤9，1≤c≤9，所以4≤1＋b ＋c＋1≤20，所以1＋b＋c＋1只能等于9，即b＋c＝7.所以当b＝1时，c＝6，此数为116.当b＝3时，c＝4，此数为134；当b＝5时，c＝2，此数为152；当b＝7时，c＝0，此数为170；当b＝9时，舍去；所以F(t)max＝F(170)＝85×85＝7225.针对训练1. 解：(1)∵四位数123k是一个“精巧数”，∴1230＋k是4的倍数；即1230＋k＝4n，当n＝308时，k＝2；当n＝309时，k＝6，∴k＝2或6；(2)∵2ab是“精巧数”，∴a为偶数，且2＋a ＋b是3的倍数，∵a＜10，b＜10，∴2＋a＋b＜22，∵各位数字之和为一个完全平方数，∴2＋a＋b＝32＝9，∴当a＝0时，b＝7；当a＝2时，b＝5；当a ＝4时，b＝3；当a＝6时，b＝1，∴所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261.2. 解：(1)证明：设这个四位“两头蛇数”为1ab1，由题意，得1ab1－3ab＝1001＋100a＋10b－30a－3b＝1001＋70a＋7b＝7(143＋10a＋b)．∵a、b为整数，∴143＋10a＋b为整数，∴一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的3倍能被7整除．(2)∵16的真因数有：1，2，4，8，∴1＋2＋4＋8＝15.∵15＝1＋3＋11，∴16的“亲和数”为33. 设这个五位“两头蛇数”为1x 4y 1，由题意，得1x 4y 133为整数，∴315＋30x ＋10x ＋10y ＋633为整数，故10x ＋10y ＋6＝66，∴x ＋y ＝6.∵0≤x ≤9，0≤y ≤9，且x ，y 为整数，x <y ，∴⎩⎨⎧x ＝0，y ＝6或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，∴这个五位“两头蛇数”为：10461或11451或12441.3. 解：(3)20xy 1733＝200017＋100xy33＝6061＋3xy ＋xy ＋433，故xy ＋4为33的倍数，因为10≤xy ≤99，所以14≤xy ＋4≤103，即xy ＋4＝33，66，99，所以xy ＝29，62，95，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝9或⎩⎨⎧x ＝6，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝9，y ＝5.4. 解：(1)是；设N ＝5xy (8－y )，其中0≤y ≤x ≤9，y ≤8，x ，y 为整数，则N 的“顺数”为：56xy (8－y )，N 的“逆数”为：5xy 6(8－y )，由题意，得56xy （8－y ）－5xy 6（8－y ）17为整数，∴7＋x －5y 17为整数，∵0≤y ≤x ≤9，y ≤8，， ∴－33≤7＋x －5y ≤16，∴7＋x －5y ＝－17或0，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝6或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝8，y ＝3.∴N 的值为5835，5326，5662.(2)证明：设正整数K＝xAy，其中A为m位正整数，m≥1，1≤x≤9，0≤y≤9，x，y为整数，则K的“顺数”为：x6Ay＝10m＋2x＋6×10m＋1＋10A＋y，K的“逆数”为：xA6y＝10m＋2x＋100A＋60＋y，x6Ay－xA6y＝60(10m－1)－90A，∴x6Ay－xA6y能被30整除，即结论成立．5. 解：(1)证明：设某三位数百位、十位、个位上的数字分别是x、y、z，则原三位数为：100x＋10y＋z，根据题意，存在整数n，使得10x＋y－2z＝7n，∴10x＋y＝2z＋7n，∴100x＋10y＋z＝10(10x＋y)＋z＝10(2z＋7n)＋z＝21z＋70n，∴100x＋10y＋z7＝21z＋70n7＝3z＋10n，∵z、n都为整数，∴(3z＋10n)为整数，∴原数能被7整除．(2)设将一个多位自然数按题意分解后得到的个位数是B，个位之前的数是A，则原数为(10A ＋B)．根据题意，存在整数m，使得A＝13m－kB，∴10A＋B＝10(13m－kB)＋B＝130m＋(1－10k)B＝130m－13kB＋(1＋3k)B，∴10A＋B13＝130m－13kB＋（1＋3k）B13＝10m－kB＋1＋3k13B，∵k为正整数，1≤k≤5，∴k＝1或2或3或4或5，∵1＋3×113＝413，1＋3×213＝713，1＋3×313＝1013，1＋3×413＝1，1＋3×513＝1613.又∵m，B为整数，∴当k＝4时，10m－kB＋1＋3k13B为整数，此时原多位自然数能被13整除．。

初三中考初中数学阅读理解专题训练含答
案
阅读理解是中考数学考试中常见的题型之一。

在这种题型中，
学生需要通过阅读一篇数学相关的文章，并回答相关的问题。

以下
是一些初三中考初中数学阅读理解专题训练题目及其答案，供同学
们练。

题目一：
某公司为两位员工A和B购买了一套办公设备，设备总价为元。

公司决定按照员工A的工作量和贡献度，将设备总价分成两份。

员工A参与公司工作的时间为8个月，员工B参与公司工作的时间为4个月。

设员工A和B分别支付的费用为X元和Y元，则X+Y
的值为多少？
A. 4000元
B. 6000元
C. 8000元
D. 元
答案：C. 8000元
题目二：
某学校举行篮球比赛，共有12名学生参加。

其中有7名男生
和5名女生。

学校规定，要选出一支由至少3名男生和至少2名女
生组成的比赛队。

则符合要求的不同组队方式有多少种？
A. 50种
B. 60种
C. 70种
D. 80种
答案：C. 70种
题目三：
某商店打折出售一种商品，原价120元，现在打8折出售。

同时，商店还提供会员折扣，会员购买可再打7折。

某消费者是该商
店的会员，他购买了两件该商品。

则他需要支付的总费用是多少元？
A. 82.4元
B. 86.4元
C. 89.6元
D. 93.6元
答案：B. 86.4元
通过完成以上的阅读理解训练题目，同学们可以提高自己的阅读理解能力，并更好地应对中考数学考试。

专题09 阅读理解问题例1．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧⌒P 1P 2 ，⌒P 2P 3 ，⌒P 3P 4 ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P 1P 2 ，P 2P 3 ，P 3P 4 ，…得到螺旋折线（如图），已知点P 1 （0，1），P 2 （－1，0），P 3 （0，－1），则该折线上的点P 9 的坐标为（ ） A ．（－6，24） B ．（－6，25） C ．（－5，24） D ．（－5，25）同类题型1.1 定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3．函数y＝[x ]的图象如图所示，则方程[x ]＝ 12x 2的解为（ ）A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D ． 2 或－ 2同类题型1.2 对于函数y ＝x n ＋x m ，我们定义y '＝nx n ﹣1＋mx m ﹣1（m 、n 为常数）．例如y ＝x 4＋x 2，则y '＝4x 3＋2x ．已知：y ＝13x 3＋（m ﹣1）x 2＋m 2x ．（1）若方程y ′＝0有两个相等实数根，则m 的值为 ；（2）若方程y ′＝m ﹣14有两个正数根，则m 的取值范围为 ．例2．将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3x ＋2y ＝2有正数解的概率为___．同类题型2.1 六个面上分别标有1，1，2，3，4，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．则得到的坐标落在抛物线y ＝2x 2－x 上的概率是（ ） A ．23 B ．16 C ．13 D ．19同类题型2.2 把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m 、n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴没有公共点的概率是________．同类题型2.3 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（ ）A ．4－π4B ．π4C ．14D ．π－14同类题型2.4 从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14 ，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a 1－x ≤2a有解的概率为_________．例3．若f （n ）为n 2＋1（n 是任意正整数）的各位数字之和，如142＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f （14）＝17，记f 1 （n ）＝f （n ），f 2＝f （f 1（n ））…f k ＋1＝f k （f （n ）），k 是任意正整数则f 2016 （8）＝（ ） A ．3 B ．5 C ．8 D ．11同类题型3.1 将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式12(|a －b |＋a ＋b )中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是____________． 同类题型3.2 规定：[x ]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）①当x ＝1.7时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝6；②当x ＝－2.1时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝－7；③方程4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11的解为1＜x ＜1.5；④当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有两个交点．同类题型3.3 设[x ]表示不大于x 的最大整数，{x }表示不小于x 的最小整数，＜x ＞表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4≥3．则方程3[x ]＋2{x }＋＜x ≥22（ ） A ．没有解 B ．恰好有1个解 C ．有2个或3个解 D ．有无数个解同类题型3.4对于实数p ，q ，我们用符号min {p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min {1，2}＝1，因此，min {－2，－3}＝______；若min {（x －1）2，x 2}＝1，则x ＝____________．例4．已知点A 在函数y 1＝－1x（x ＞0）的图象上，点B 在直线y 2 ＝kx ＋1＋k （k 为常数，且k ≥0）上．若A ，B 两点关于原点对称，则称点A ，B 为函数y 1 ，y 2 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ） A ．有1对或2对 B ．只有1对 C ．只有2对 D ．有2对或3对 同类题型4.1 在平面直角坐标内A ，B 两点满足： ①点A ，B 都在函数y ＝f （x ）的图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称A ，B 为函数y ＝f （x ）的一个“黄金点对”．则函数f （x ）＝ ⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋4|，x ≤0－ 1x，x ＞0的“黄金点对”的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个同类题型4.2 定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P （－1，1），Q （2，3），则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS ＋SQ ＝5或PT ＋TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A （3，1），B （5，－3），C （－1，－5），若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为____________．同类题型4.3 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为__________．专题09 阅读理解问题例1．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧⌒P 1P 2 ，⌒P 2P 3 ，⌒P 3P 4 ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P 1P 2 ，P 2P 3 ，P 3P 4 ，…得到螺旋折线（如图），已知点P 1 （0，1），P 2 （－1，0），P 3 （0，－1），则该折线上的点P 9 的坐标为（ ） A ．（－6，24） B ．（－6，25） C ．（－5，24） D ．（－5，25）解：由题意，P 5 在P 2 的正上方，推出P 9 在P 6 的正上方，且到P 6 的距离＝21＋5＝26， 所以P 9 的坐标为（－6，25）， 选B ．同类题型1.1 定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3．函数y＝[x ]的图象如图所示，则方程[x ]＝ 12x 2的解为（ ）A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D ． 2 或－ 2解：当1≤x ＜2时，12x 2＝1，解得x 1＝ 2 ，x 2＝－ 2 ；当x ＝0，12x 2＝0，x ＝0；当－1≤x ＜0时，12x 2＝－1，方程没有实数解；当－2≤x ＜－1时，12x 2＝－2，方程没有实数解；所以方程[x ]＝12x 2的解为0或 2 ．选A ．同类题型1.2 对于函数y ＝x n ＋x m ，我们定义y '＝nx n ﹣1＋mxm ﹣1（m 、n 为常数）．例如y ＝x 4＋x 2，则y '＝4x 3＋2x ． 已知：y ＝13x 3＋（m ﹣1）x 2＋m 2x ．（1）若方程y ′＝0有两个相等实数根，则m 的值为 ；（2）若方程y ′＝m ﹣14有两个正数根，则m 的取值范围为 ．解：根据题意得y ′＝x 2＋2（m ﹣1）x ＋m 2，（1）∵方程x 2﹣2（m ﹣1）x ＋m 2＝0有两个相等实数根， ∴△＝[﹣2（m ﹣1）]2﹣4m 2＝0， 解得：m ＝12；（2）y ′＝m ﹣14，即x 2＋2（m ﹣1）x ＋m 2＝m ﹣14，化简得：x 2＋2（m ﹣1）x ＋m 2﹣m ＋14＝0，∵方程有两个正数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧2(m －1)＜0m 2－m ＋14＞0[－2(m －1)]2－4(m 2－m ＋14)≥0，解得：m ≤34且m ≠12．例2．将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3x ＋2y ＝2有正数解的概率为___．解：①当2a －b ＝0时，方程组无解；②当2a －b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．易知a ，b 都为大于0的整数，则两式联合求解可得x ＝6－2b 2a －b ，y ＝2a －32a －b，∵使x 、y 都大于0则有x ＝6－2b 2a －b ＞0，y ＝2a －32a －b＞0，∴解得a ＜1.5，b ＞3或者a ＞1.5，b ＜3， ∵a ，b 都为1到6的整数，∴可知当a 为1时b 只能是4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 为1或2， 这两种情况的总出现可能有3＋10＝13种； （1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为＝1336．同类题型2.1 六个面上分别标有1，1，2，3，4，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．则得到的坐标落在抛物线y ＝2x 2－x 上的概率是（ ） A ．23 B ．16 C ．13 D ．19解：掷一次共出现6种情况，根据图形可知1，2，3所对应的数分别是1，5，4，在抛物线上的点为：（1，1），只有两种情况，因此概率为：26＝13．选C ．同类题型2.2 把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m 、n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴没有公共点的概率是________．解：∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴没有公共点，∴△＜0，即m 2－4n ＜0，∴m 2＜4n ， m 、 n 1 2 3 4 5 6 1 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，6共有36种等可能的结果，其中满足m ＜4n 占17种，所以二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴没有公共点的概率＝1736．同类题型2.3 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（ ） A ．4－π4 B ．π4 C ．14 D ．π－14解：根据题意得点M 到正方形各顶点的距离都为1，点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，∴点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．而正方形ABCD 的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为4×90π×12360＝π，∴点M 所经过的路线围成的图形的面积为4－π，∴把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝4－π4．选A ．同类题型2.4 从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14 ，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a 1－x ≤2a有解的概率为_________．解：当a ＝－1时，y ＝2x ＋a 可化为y ＝2x －1，与x 轴交点为（12，0），与y 轴交点为（0，－1），三角形面积为12×12×1＝14；当a ＝1时，y ＝2x ＋a 可化为y ＝2x ＋1，与x 轴交点为（－12，0），与y 轴交点为（0，1），三角形的面积为12×12×1＝14；当a ＝2时，y ＝2x ＋2可化为y ＝2x ＋2，与x 轴交点为（－1，0），与y 轴交点为（0，2），三角形的面积为12×2×1＝1（舍去）；当a ＝－1时，不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a 1－x ≤2a 可化为⎩⎨⎧x ＋2≤－11－x ≤－2 ，不等式组的解集为⎩⎨⎧x ≤－3x ≥3 ，无解；当a ＝1时，不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a 1－x ≤2a 可化为⎩⎨⎧x ＋2≤11－x ≤2 ，解得⎩⎨⎧x ≤－1－x ≤1 ，解集为⎩⎨⎧x ≤－1x ≥－1，解得x ＝－1．使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a 1－x ≤2a有解的概率为P ＝13 ．例3．若f （n ）为n 2＋1（n 是任意正整数）的各位数字之和，如142＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f （14）＝17，记f 1 （n ）＝f （n ），f 2＝f （f 1（n ））…f k ＋1＝f k （f （n ）），k 是任意正整数则f 2016 （8）＝（ ） A ．3 B ．5 C ．8 D ．11解：∵82＋1＝65，∴f 1 （8）＝f （8）＝6＋5＝11，同理，由112 ＋1＝122得f 2 （8）＝1＋2＋2＝5；由52＋1＝26，得f 3 （8）＝2＋6＝8， 可得f 4（8）＝6＋5＝11＝f 1 （8），f 5（8）＝f 2 （8），…，∴f k ＋3（8）＝f k （8）对任意k ∈N *成立 又∵2016＝3×672，∴f 2016（8）＝f 2013（8）＝f 2000（8）＝…＝f 3 （8）＝8． 选C ．同类题型3.1 将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式12(|a －b |＋a ＋b )中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是____________．解：①若a ≥b ，则代数式中绝对值符号可直接去掉， ∴代数式等于a ，②若b ＞a 则绝对值内符号相反， ∴代数式等于b由此可见输入一对数字，可以得到这对数字中大的那个数（这跟谁是a 谁是b 无关） 既然是求和，那就要把这五十个数加起来还要最大， 我们可以枚举几组数，找找规律，如果100和99一组，那么99就被浪费了，因为输入100和99这组数字，得到的只是100， 如果我们取两组数字100和1一组，99和2一组， 则这两组数字代入再求和是199， 如果我们这样取100和99 2和1， 则这两组数字代入再求和是102，这样，可以很明显的看出，应避免大的数字和大的数字相遇这样就可以使最后的和最大， 由此一来，只要100个自然数里面最大的五十个数字从51到100任意俩个数字不同组， 这样最终求得五十个数之和最大值就是五十个数字从51到100的和， 51＋52＋53＋…＋100＝3775．同类题型3.2 规定：[x ]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）①当x ＝1.7时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝6；②当x ＝－2.1时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝－7；③方程4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11的解为1＜x ＜1.5；④当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有两个交点．解：①当x ＝1.7时， [x ]＋（x ）＋[x ）＝[1.7]＋（1.7）＋[1.7） ＝1＋2＋2＝5，故①错误； ②当x ＝－2.1时， [x ]＋（x ）＋[x ）＝[－2.1]＋（－2.1）＋[－2.1）＝（－3）＋（－2）＋（－2）＝－7，故②正确； ③4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11， 7[x ]＋3＋[x ）＝11， 7[x ]＋[x ）＝8，1＜x ＜1.5，故③正确； ④∵－1＜x ＜1时，∴当－1＜x ＜－0.5时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1， 当－0.5＜x ＜0时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1， 当x ＝0时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋0＋0＝0，当0＜x ＜0.5时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1， 当0.5＜x ＜1时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1，∵y ＝4x ，则x －1＝4x 时，得x ＝－13 ；x ＋1＝4x 时，得x ＝13；当x ＝0时，y ＝4x ＝0，∴当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有三个交点，故④错误， 答案为②③．同类题型3.3 设[x ]表示不大于x 的最大整数，{x }表示不小于x 的最小整数，＜x ＞表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4≥3．则方程3[x ]＋2{x }＋＜x ≥22（ ） A ．没有解 B ．恰好有1个解C ．有2个或3个解D ．有无数个解】解：当x ＝3时，3[x ]＋2{x }＋＜x ≥3×3＋2×3＋3＝18，当x ＝4时，3[x ]＋2{x }＋＜x ≥3×4＋2×4＋4＝24，∴可得x 的大致范围为3＜x ＜4，①3＜x ＜3.5时，3[x ]＋2{x }＋＜x ≥3×3＋2×4＋3＝20，不符合方程； ②当3.5＜x ＜4时，3[x ]＋2{x }＋＜x ≥3×3＋2×4＋4＝21，不符合方程． 选A ．同类题型3.4对于实数p ，q ，我们用符号min {p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min {1，2}＝1，因此，min {－2，－3}＝______；若min {（x －1）2，x 2}＝1，则x ＝____________． 解：min {－2，－3}＝－3，∵min {（x －1）2，x 2}＝1，当x ＝0.5时，x 2＝（x －1）2，不可能得出，最小值为1，∴当x ＞0.5时，（x －1）2＜x 2，则（x －1）2＝1， x －1＝±1，x －1＝1，x －1＝－1，解得：x 1 ＝2，x 2 ＝0（不合题意，舍去），当x ＜0.5时，（x －1）2＞x 2，则x 2＝1，解得：x 1 ＝1（不合题意，舍去），x 2 ＝－1， 综上所述：x 的值为：2或－1．例4．已知点A 在函数y 1＝－1x（x ＞0）的图象上，点B 在直线y 2 ＝kx ＋1＋k （k 为常数，且k ≥0）上．若A ，B 两点关于原点对称，则称点A ，B 为函数y 1 ，y 2 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ） A ．有1对或2对 B ．只有1对 C ．只有2对D ．有2对或3对解：设A （a ，－1a），由题意知，点A 关于原点的对称点B （－a ，1a）在直线y 2 ＝kx ＋1＋k 上，则1a＝－ak ＋1＋k ，整理，得：ka 2－（k ＋1）a ＋1＝0 ①， 即（a －1）（ka －1）＝0， ∴a －1＝0或ka －1＝0， 则a ＝1或ka －1＝0，若k ＝0，则a ＝1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k ≠0，则a ＝1或a ＝1k，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对， 选A ．同类题型4.1 在平面直角坐标内A ，B 两点满足： ①点A ，B 都在函数y ＝f （x ）的图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称A ，B 为函数y ＝f （x ）的一个“黄金点对”．则函数f （x ）＝ ⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋4|，x ≤0－ 1x，x ＞0的“黄金点对”的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解：根据题意：“黄金点对”，可知，作出函数y ＝－1x（x ＞0）的图象关于原点对称的图象，同一坐标系里作出函数y ＝|x ＋4|，x ≤0的图象如右图： 观察图象可得，它们在x ≤0时的交点个数是3． 即f （x ）的“黄金点对”有：3个． 选D ．同类题型4.2 定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P （－1，1），Q （2，3），则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS ＋SQ ＝5或PT ＋TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A （3，1），B （5，－3），C （－1，－5），若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为____________．解：若设M （x ，y ），则由题目中对“实际距离”的定义可得方程组：3－x ＋1－y ＝y ＋5＋x ＋1＝5－x ＋3＋y ，解得，x ＝1，y ＝－2，则M （1，－2）．同类题型4.3 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为__________．解：∵△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A ＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，∵∠ADC ＞∠BCD ， ∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD ，①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12（180°－46°）＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A ＝46°， ∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°， 故答案为113°或92°．。