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九年级数学下册1-5节_第二章二次函数学案北师大版 3

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第二章 二次函数§2.1 二次函数所描述的关系学习目标:1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.学习重点: 1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.学习难点:经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 学习方法:讨论探索法. 学习过程:1． 你知道什么叫二次函数吗？你否举出生活中关于二次函数的例子吗？ 2．下列函数中是二次函数的有（ ） ①x x y 1+=；②2)1(32+-=x y ；③22)3(x x y -+=；④x xy +=21A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个课堂研讨：自主完成：下面各题①某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．②圆的半径是cm 1，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加2ycm 。

写出变量y 与x 之间的关系：③正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式：④如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，请你写出两年后支付时的本息和y （元）与年利率x 的函数表达式： ⑥某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．： 小组讨论：（1）上面的问题中两个变量的关系是不是二次函数关系？ （2）你还能举出哪些生活中的二次函数的实例？ 课堂练习： 1.函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．2．下列不是二次函数的是（ ）A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 3．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数4.已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 5.正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．课堂小结1.定义：一般地,形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠0)的函数叫做x 的二次函数. y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠0)的几种不同表示形式:(1)y=ax ²(a ≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax ²+c(a ≠0,b=0,c ≠0). (3)y=ax ²+bx(a ≠0,b ≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax ²+bx+c 是整式,自变量x 的最高次数是二次,自变量x 的取值范围是全体实数. 方法：注意a ≠0的条件。

课堂检测：1．下列函数中，二次函数是（ ）A ．y=6x 2＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=x 6＋1 D ．y=26x＋12．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）模型的是（ ）A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系;B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系;C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）;D ．圆的周长与圆的半径之间的关系． 3．当m 时，y=（m －2）x22-m 是二次函数．4．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R ，通过的电流强度为I ，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ． 5．已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．6．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？7．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围．8．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n个图中，第一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？课后反思：你在学习中都遇到了哪些困难？你是如何解决的？§2.2 结识抛物线学习目标：1．能够利用描点法作出函数y＝x2的图象．能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．2．猜想并能作出y＝－x2的图象，能比较它与y＝x2的图象的异同．学习重点：1．能够利用描点法作出函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．2．能够作出二次函数y＝－x2的图象，并能比较它与y＝x2的图象的异同．学习难点经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y＝－x2的图象与性质方面．实现“探索——经验——运用”的思维过程．学习方法：探索——总结——运用法．学习过程温故知新，自主探究1、画函数图象的一般步骤是，，2、请大家按上面的步骤作出y=x2的图象．(2)在练习本的直角坐标系中描点．(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．（温馨提示：连线时，最好从左往右来画）看图说话，合作交流1、对于二次函数y＝x2的图象， (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．2、下面我们系统地总结一下．y=x2的图象的性质． (1)抛物线的开口方向是(2)它的图象有最点，（填高或低）最点坐标是( )．(3)它是对称图形，对称轴是．在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而．(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．(5)因为图象有最低点，所以函数有最值，当x＝0时，y最小=0．3、二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流．4、试着讨论y=-x2的图象的性质．(1)它的开口方向 (2)它的图象有最点最点坐标为（）(3)它是对称图形，对称轴是，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴右侧x随x的增大而．(4)图象与x轴有交点叫抛物线的顶点，还是图象的，这点的坐标为(0，0)．(5)因为图象有最高点，所以函数有，当x=0时，y最大＝0．归纳总结，思维提升1、函数y=x2与y＝-x2的图象的比较．不同点：（1）开口方向，y=x2开口，y=-x2开口．（2）．函数值随自变量增大的变化趋势不同。

（3）．y=x2有最低点，y=-x2有最高点．在y=x2中y有值，即x=0时．y最小＝0，在y=-x2中y有值．即当x＝0时，y最大＝0．相同点：（1）．图象都是．（2）．图象都与x轴交于点( )．（3）．图象都关于对称．联系：它们的图象关于对称．2、填表格|课堂练习：1、抛物线y=2x2的顶点坐标为，对称轴为当x>0时，y随x的增大而；当x<0时，y随x的增大而。

当x=0时．Y有最值，为。

抛物线y=2x2在x轴的方（除顶点外）。

2、抛物线y=-3x2的顶点坐标为，对称轴为当x>0时，y随x的增大而；当x<0时，y 随x 的增大而 。

当x=0时．Y 有最 值 ，为 。

抛物线y=-3x 2在x 轴的 方（除顶点外）。

3、抛物线y=ax 2过A （-2，-8）则解析式为 ，B （-1，-4）是否在抛物线上 ，C （2,-8）呢 。

若D 点的纵坐标为-6，那么横坐标是 。

4、.二次函数y=m 21m x-有最低点,则m=________.5、求出函数y=x ＋2与函数y=x 2的图象的交点坐标．.6、已知函数y=(m+2)24mm x+-是关于x 的二次函数.求: (1)满足条件的m 的值;(2)m 为何值时,抛物线有最低点?这时当x 为何值时,y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时当x 为何值时,y 随x 的增大而减小?课时小结：本节课我们学习了如下内容： 1．画函数y ＝x 2的图象，并对图象的性质作了总结．2．画函数y ＝－x 2的图象，并研究其性质． 3．比较y ＝x 2与y ＝－x 2的图象的异同点及联系．课堂检测：1. 求直线y=x 与抛物线y=x 2的交点坐标．2.已知a ＜－1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 33．若二次函数y=ax 2（a ≠0），图象过点P （2，－8），则函数表达式为 ． 4．函数y=x 2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．5．点A （21，b ）是抛物线y=x 2上的一点，则b= ；点A 关于y 轴的对称点B 是 ，它在函数 上；点A 关于原点的对称点C 是 ，它在函数 上． 6.已知点A(1,a)在抛物线y=x 2上. (1)求A 点的坐标.(2)在x 轴上是否存在点P,使得△OAP 是等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标; 若不存在,说明理由.课后反思：你在学习中都遇到了哪些困难？你是如何解决的？§2.3 刹车距离与二次函数学习目标:1．经历探索二次函数y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y=x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型． 学习重点:二次函数y=ax 2、y=ax 2＋c 的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析． 学习难点:由函数图象概括出y=ax 2、y=ax 2＋c 的性质．函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置． 学习方法:类比学习法。

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2023九年级数学下册第二章二次函数1二次函数教案(新版)北师大版

2023九年级数学下册第二章二次函数1二次函数教案(新版)北师大版

教学手段：
1.多媒体设备：利用多媒体课件和投影设备，展示二次函数的图像、公式和案例。通过视觉和听觉的结合，提高学生对知识点的理解和记忆。
-使用PowerPoint或交互式白板，展示二次函数的动态图像，帮助学生直观理解图像的变换。
-播放教学视频，介绍二次函数在实际中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.教学软件：运用数学教学软件，如GeoGebra、Desmos等，让学生在课堂上实时绘制和修改二次函数图像，增强学生对函数性质的理解。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a不等于0。它在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次函数在抛物线运动中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习二次函数时，学生可能遇到的困难包括对二次函数图像的理解，特别是对开口方向、顶点、对称轴等概念的理解；对二次函数一般形式的转换和顶点式的应用可能感到困惑；在运用描点法绘制图像时，可能会因为坐标点选择不当而导致图像失真。此外，对于二次函数在实际问题中的应用，学生可能缺乏将问题转化为数学模型的能力，这些都是学生可能面临的挑战。
学习者分析
1.学生已经掌握了相关知识：在进入二次函数学习之前，学生已经学习了一次函数的性质、图像和方程的解法，了解函数的基本概念，具备了一定的方程求解和图像分析能力。此外，学生还掌握了平面直角坐标系的基本知识，能够通过坐标点来描述图像。
2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：九年级学生正处于青春期，对新鲜事物充满好奇，对数学学习兴趣有所分化。部分学生对数学有较强的逻辑思维能力，喜欢探究和解决问题；部分学生则可能对数学感到困难和畏惧。学生在小组合作学习中表现出较强的互助和交流能力，喜欢通过实际操作和视觉辅助来加深理解。
九年级数学下册 第二章《二次函数》教案 北师大版

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山东省枣庄市第四十二中学九年级数学第二章《二次函数》教案北师大版教学过程：一、回顾、梳理本章内容师：今天这节课我们对《二次函数》这一章进行复习，首先我们来看一下以下问题：（课件出示：）你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”？你能用二次函数的值是解决哪些实际问题？小结一下做二次函数图像的方法．二次函数的图象有哪些性质？如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标？用具体例子说明如何恰当或有效地利用二次函数的表达式，表格和图像刻画变量之间的关系．用自己的语言描述二次函数2y axbx c =++的图像与方程20ax bx c ++=的根之间的关系．师：这是课本上的“回顾与思考”给我们提出的问题，你能回答的出来吗？现在给同学们5分钟的时间同位之间互相考查一下，同时要注意指正同位的错误观点．现在开始． 学生开始活动．师：同学们进行完了吗？ 生：说完了．师：下面我们对二次函数每一部分的内容进行具体的复习．设计意图：使复习内容条理性地出现在学生面前，发挥老师的引导作用． 二、师生互动，深入复习 1、二次函数的定义师：谁来说一下二次函数的定义？ 生：一般地，形如2y axbx c =++0a b c a （、、为常数，且≠）的函数叫做x 的二次函数．师：说的非常完整，其中特别强调以下几点：①a ≠ 0②最高次数为2 ③代数式一定是整式同学们在判断一个函数是不是二次函数是一定要抓住这几点，下面请同学们快速的完成下面两道题目，一会我找同学来回答． 多媒体出示： 练习：1.2y x =-，222y x x=-，21005y x =- ，23325y x x =-+,其中是二次函数的有____个． 2.当m _______时,函数2(1)21m my m x x -=+-+是二次函数？学生完成练习.师:第一题,谁来回答一下?生:第一个和第3个是二次函数.第二个的代数式不是整式,第四个x 的最高次数不是2次． 师：同学们赞同他的意见吗？ 生：赞同．师：谁再来说一下第二题怎么做？ 生：∵该函数是二次函数 ∴m +1≠0且 =2 解得：m 1=2，m 2=-1(舍去)师：这位同学考虑的非常全面，就要这样去解．下面我们再来一起复习一下二次函数的图像及性质． 2、二次函数的图像及性质 多媒体出示下面的内容：2m m -师：下面我找几位同学来填一下空格里的内容．多媒体出示：例2：已知二次函数21322y x x =+-， （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标．（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与X 轴交于A 、B 两点，求C ，A ,B 的坐标．（3）x 为何值时，y 随的增大而减少，x 为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）x 为何值时，y <0？x 为何值时，y >0？师安排学生独立在练习本上完成该题目，并安排三位学生分别板书第（1）问，第（2）问，以及第（3）和第（4）问． 学生板书：生1板书：解：（1）∵12＞0 ∴该抛物线的开口向上 ∵1112 2 2b a -=-=-×22134?×××××()?×14222144?××2ac b a ---==-生2 板书：解：（2）当y =0时，021322x x =+-，解得x 1=-3,x 2=1 当x =0时，y =32-所以，C （0，32-），A （-3,0），B （1,0）生3板书：解：该抛物线的大致图像是：所以，（3）x ＜-1时，y 随的增大而减少，x =-1时，y 有最小值，这个最小是-2.（4）-3＜x ＜1时，y <0；x ＞1或x ＜-3时，y >0． 师组织学生对三位同学的板书进行讲评．师：这道题目是给出抛物线的解析式来分析其他的性质，下面我们来总结一下确定抛物线的解析式的几种方法． 3、求抛物线解析式的三种方法 课件出示：1．一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为 :2y ax bx c =++（0a ≠）．2．顶点式：已知抛物线顶点坐标（h , k ），通常设抛物线解析式为:2()y a x h k =-+（0a ≠）,求出表达式后化为一般形式.3．交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1,0)、 (x 2,0),通常设解析式为:12()()y a x x x x =--（0a ≠）求出表达式后化为一般形式.师一边提问、一边解释、一边课件出示答案．师：正所谓“学以致用”，我们也不能只是纸上谈兵，同学们在练习本上做一做以下题目，实践一下． 课件出示：练习：根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；(3)图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 ． 师安排三位学生到黑板上板书．生1板书：解：设该抛物线的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），由题意可知：0=c-2=a +b +c 3=4a +2b +c a =72× × 1× (1,0)解得： b =-112c =0 ∴y =72x 2-112x 生2板书：解：设该抛物线的解析式为2(2)3y a x =-+，由题意可知： 1=a (3-2)2+3解得 a =-2∴ y =-2(x -2)2+3生3板书：解：设该抛物线的解析式为(12)y ax x =-，即212y ax ax =-，由题意可知：2(12)4a a-=3解得a =-112∴设该抛物线的解析式为y =-112x 2+x 师：现在我们一起来看看这几位同学做的对不对． 生：都正确．师：特别是第三题，这一题和其他两道题目的解法有所不同，为了利用“最高点的纵坐标是3”这个条件，这位同学是先设出解析式，然后用公式表示出最大值并令其等于3，从而解出a 的值．这种方法用的非常灵活，同学们还有没有其他的做法？生：我是看题目说“图象经过(0，0)， (12，0) ，”那么该抛物线的对称轴就是直线x =6,那么它的顶点坐标是（6,3），我再设定点式进行求解．师：这种做法更直接，同学们也已根据条件进行灵活的选用． 4、a ，b ，c 符号的确定师：下面我们来看一下抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的a ，b ，c 符号有关的问题.以提问后课件出示答案的形式引导学生复习一下内容： （1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上←→a >0 开口向下←→a <0（2）c 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定. 交点在x 轴上方←→c >0 交点在x 轴下方←→c <0 经过坐标原点←→c =0（3）b 的符号：由对称轴的位置确定 对称轴在y 轴左侧←→a 、b 同号 对称轴在y 轴右侧←→a 、b 异号 对称轴是y 轴 ←→b =0（4）24b ac -的符号：由抛物线与x 轴的交点个数确定 与x 轴有两个交点←→24b ac ->0与x 轴有一个交点←→24b ac -=0 与x 轴无交点←→24b ac -<0师：特别要注意的是这些关系的推导都是相互的．下面我们再来实战一下． 课件出示题目：１、二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A 、a <0,b >0,c >0 B 、a <0,b >0,c <0 C 、a <0,b <0,c >0 D 、a <0,b <0,c <0 2、二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A 、a >0,b >0,c =0 B 、a <0,b >0,c =0 C 、a <0,b <0,c <0 D 、a >0,b <0,c =03、二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的图象如图 所示，则a 、b 、c 、 △的符号为（ ） A 、a >0,b=0,c >0,△>0 B 、a <0,b >0,c <0,△=0 C 、a >0,b =0,c <0,△>0 D 、a <0,b =0,c <0,△<04.二次函数2y ax bx c =++中，如果a >0，b <0，c <0，那么这个二次函数图象的顶点必在第 象限．师：同学们做完了吗？谁来说一下你的答案和想法．生1：第一题选B ．因为该抛物线开口向下，所以a <0；其对称轴在y 轴的右侧，所以a 、b 异号，即b >0；又因为它与y 轴交与负半轴上，所以c <0．生2：第二题选A ．因为该抛物线开口向上，所以a ＞0；其对称轴在y 轴的左侧，所以a 、b 同号，即b >0；又因为它与坐标轴轴交原点上，所以c =0．生3：第三题选C ．因为该抛物线开口向上，所以a ＞0；其对称轴是y 轴， b =0；又因为它与坐标轴轴交负半轴上，所以c ＜0；它与x 轴有两个交点，所以△<0．生4：根据已知条件画出它的大致图像可以看出，这个二次函数图象的顶点必在第四象限． 师：这一位同学的解题思路体现的正是数形结合思想． 5、抛物线的平移师：接下来我们再来复习一下有关“抛物线的平移”的问题．谁来说一下该类题目的解题思路．生：有关抛物线的平移问题，必须将抛物线的解析式写成顶点式，然后遵循“左加右减，上加下减”的原则，而且左右平移变化的是二次项，上下平移变化的是常数项． 师：概括的非常好．下面我们就来实践一下： 课件出示：（1）二次函数22y x =的图象向 平移 个单位可得到22y x =-3的图象； 二次函数22y x =的图象向 平移 个单位可得到22(3)y x =-的图象．（2）二次函数22y x =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数22(1)2y x =++的图象．（3）由二次函数2y x =的图象经过如何平移可以得到函数256y x x =-+的图象. 师：同学们做完了没有？谁来说一下？生1：二次函数22y x =的图象向下平移3个单位可得到22y x =-3的图象；二次函数22y x =的图象向右平移3个单位可得到22(3)y x =-的图象．生2：二次函数22y x =的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数22(1)2y x =++的图象．生3：256y x x =-+化成顶点式是251()24y x =--，可以看出它是由2y x =先向右平移52个单位，再向下平移14个单位得到的． 师：这一类的题目还有两种变式考查，其一是给出平移后的解析式，求原来的解析式；其二是图像不变，移动坐标系，同学们思考一下这两类题目应该怎样解决？ 生：我认为这两类题目的解法是一样的，就是“倒过来”．师：精辟！就是这样的，比如“二次函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数22(1)2y x =++的图象，求原来的解析式”，那就将22(1)2y x =++的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位就行了，得到的答案是…… 生：22y x =6、二次函数与一元二次方程的关系师：最后还有一个重头戏，那就是二次函数与一元二次方程的关系．同学们来看这个表格大家能把他填写完整吗？判别式（师：二次函数20ax bx c ++=的图象和x 轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程20ax bx c ++=的解．我们再来看一下下面各题，同学们现在练习本上作答，一会儿找同学来说． 课件出示：(1)如果关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根,则m = ,此时抛物线22y x x m =-+与x 轴有 个交点.(2)已知抛物线28y x x c =-+的顶点在 x 轴上,则c = .(3)一元二次方程 23100x x +-=的两个根是1252,3x x =-=，那么二次函数2310y x x =+-与x 轴的交点坐标是 ． 学生独立练习． 师：谁来回答一下？生1：因为关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，所以2(2)4=0m --，解得=1m ，此时抛物线22y x x m =-+与x 轴有1个交点.生2：已知抛物线28y x x c =-+的顶点在 x 轴上，就说明改抛物线与x 轴只有一个交点，所以2(8)4=0c --，解得c =16.生3：一元二次方程23100x x +-=的解，就是对应的二次函数2310y x x =+-的图象和x 轴交点的横坐标，所以二次函数2310y x x =+-与x 轴的交点坐标是 （-2,0），（53，0）． 师：二次函数有关的知识点特别的多，但没想到的是同学们掌握的这么扎实，下面我们来做一道综合性的题目，同学们有没有信心？ 生：有．7、二次函数的综合运用师：好，那同学们来尝试一下吧！课件出示：已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同,顶点在直线x =1上,且顶点到x 轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式. 学生在练习本上尝试解答．师：同学们做完了没有？都得到了几个答案？ 生1：1个． 生2：2个． 生3：4个．师：那我们请得到4个答案的同学到黑板前来讲一下．同学们欢迎！生：我是这样想的已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同,说明这两个抛物线的a 值得绝对值是一样的，所以1a =±．又因为顶点在直线x =1上,且顶点到x 轴的距离为5,所以顶点为(1,5)或(1,-5)，组合起来，抛物线的解析式有以下四种情况：2(1)5y x =-+，2(1)5y x =--，2(1)5y x =--+，2(1)5y x =---．师：考虑的已经非常全面了，其他同学还有什么需要补充的吗？ 生：最后得到的解析式是不是需要化成一般形式？师：这个问题提的非常有必要，在一般情况下我们不管是用什么形式求解的抛物线的解析式，最后都要化成一般形式．设计意图：结合具体的例子回顾本章的内容，使学生对所学内容在思想方法上有一定的提升． 三、课堂小结．师：复习到这儿，同学们能不能把本章的知识网络结构简单的呈现一下． 小组讨论并拿出自己的作品．师利用实物投影仪投出学生的作品： 其中的两份作品： （1）（2）二次函数最值问题 与一元二次方程的关系 2x- 2ax c+师：同学们对本章的知识点概括的很全面，下面我们再来实践一下吧．设计意图：通过规范的语言，归纳新知识的框架，回顾本章学习的主要内容． 四、巩固练习(一)课件演示题组一：1．在同一个直角坐标系中作出二次函数212y x =-，21(1)2y x =-+，21(1)32y x =-+-的图象，并简要说明它们之间的关系．设计意图：概念题组；这组题目是在学习概念、性质的基础上，知识的重现及知识的应用，通过学习讨论得以充分巩固．2．如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落在篮框内，已知篮框的中心离地面的距离为3.05米． (1)球在空中运行的最大高度为多少米?(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少? 设计意图：考查学生用二次函数解决简单的实际问题，并能灵活应用题中自变量和因变量各自的不同含义有效地解决实际问。

北师大版九年级下册第二章二次函数教学设计

北师大版九年级下册第二章二次函数教学设计

北师大版九年级下册第二章二次函数教学设计一、教学目标本节课的教学目标有以下几点：1.理解二次函数的定义和性质。

2.能够确定二次函数的图像、对称轴、顶点等关键点的位置。

3.了解二次函数图像的几种基本类型：开口向上和开口向下的抛物线，开口朝左和右的抛物线。

4.能够通过实例应用，解决生活中的问题。

二、教学重点1.二次函数的定义和性质。

2.二次函数图像的对称轴、顶点等关键点的位置。

3.二次函数图像的几种基本类型。

三、教学难点1.如何准确的描述二次函数图像的关键点的位置。

2.如何灵活的运用二次函数解决实际问题。

四、教学方法1.探究式教学法2.讨论式教学法3.观察法4.对话式教学法1. 导入学生已经学过一次函数的相关知识，这里可以通过复习一次函数，再引出二次函数。

2. 概念讲解介绍二次函数的定义和性质，提醒学生注意和一次函数的区别和联系。

3. 图像展示用PPT或其他工具，讲解几个二次函数的图像，分别展示开口向上、向下和向左、向右的图像，帮助学生理解二次函数的特点，掌握二次函数关键点的位置。

4. 练习让学生做一些简单的练习题，检验是否掌握了二次函数图像的关键点的位置。

5. 实例分析通过一些与生活相关的实例，让学生灵活运用二次函数，解决实际问题，如：抛物线运动，路面设计，景区游览等等。

6. 总结提高对本节课学习的重点和难点进行梳理，让学生对知识点有更加深入的理解。

六、课堂评价1.教师可以在课堂上提问，了解学生掌握情况。

2.检查学生的课堂笔记和练习情况，评价学生的掌握程度。

3.对于实例分析的部分，要求学生提交解决问题的方法和思路，评价他们的灵活运用能力。

针对学生掌握情况进行了随堂的反馈，及时纠正学生的错误和误区。

本节课的难点在于怎么让学生了解二次函数图像的关键点的位置，针对这个问题，我们在实验教学中采用了多重组合教学法，让学生通过实际操作图像，才理解了关键点的位置。

通过四个小时的授课，学生对二次函数的概念和性质已经掌握，对实例应用有了一定的了解，二次函数开始进入到深入的学习阶段。

九年级数学下册 第2章 二次函数教案 北师大版

九年级数学下册 第2章 二次函数教案 北师大版

九年级数学下册 第2章 二次函数教案 北师大版§2.1二次函数所描述的关系教学目标1、 经历探索和表示二次函数关系过程，获得用二次函数表示变量之间关系体验2、 能够表示简单变量之间的二次函数关系3、 能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题 教学重点和难点重点：表示简单变量之间的二次函数关系 难点：利用尝试求值的方法解决实际问题 教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题在初中阶段，我们已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数。

这一章，我们将学习另外一种重要的函数——二次函数。

二、师生共同研究形成概念1、 橙树的产量)100)(5600(x x y +-= 6000010052++-=x x y2、 银行储蓄（课本P38 做一做）做一做是为了降低列式的复杂程度，根据学生的具体情况，教学时可以要求学生考虑利息税。

3、 二次函数定义及一般形式一般地，形如c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，0≠a ）的函数叫做x 的二次函数。

注意：1）x 的最高次数为2；2）0≠a ，但b 、c 可以为零。

巩固练习 1）课本 P 39 随堂练习 14、 讲解例题 例1、 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．例2、 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、①正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间函数表达式．② 已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式． ③ 已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式． ④已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式．例4、如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y （元）与年利率x 的函数表达式．三、随堂练习 四、小结二次函数定义及一般形式。