五年级奥数数学共边模型课件最全

大海传功等积变形五大模型——共边模型、鸟头模型共角模型(鸟头模型)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

1.两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的面积相等。

拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。

2.两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍；两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍。

DAE D EADD AE EAB C B C B CB如图,S:S (AB AC):(AD AE)△ABC△ADEC【例1】(★★)【例2】(★★★)如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积。

如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大三角形，已知：S△ADE 2,S△AEC 5,S△BDF 7,S△BCF 3,那么三角形BEF的面积为___________。

1如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△ BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，则△DCF的面积等于。

等腰△ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分，求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。

【例5】（★★★）【例6】(★★★★)已知四边形ABCD、BEFG、CHIJ为正方形，正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积。

E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。

求阴影部分的面积。

2已知△DEF的面积为7 平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。

1如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE BC,2 F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？大海点睛大海点睛一、本讲重点知识回顾等积变形边比＝面积比二、本讲经典例题例2，例3，例5，例7，例8共角模型(鸟头模型)如图, △ABC△ADE3。

一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)知识框架五大模型（二）(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DCBA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A BCDO ba S 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCD AB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

三角形中的模型（一）知识点详解1“燕尾模型”：面积比转化为边之比D 是BC 上任意一点，1423:::S S S S BD DC==证明：法一：S 1与S 4共边ED,则S 1与S 4同高，令S 1：S 4=BD:DC=ma:mb ，同理，令S △ABD ：S △ADC ＝BD:DC=na:nb 则S2:S3=(na-ma):(nb-mb)=a:b=BD:DC法二：△BED 与△CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；△ABE 与△EBD 同高，12::S S ED EA =；△ACE 与△CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.2题目类型(1)基础类型可直接利用三角形三条边上的燕尾模型，由“底边之比决定面积之比”来解题。

往往题目会只给出两条由定点出发的分先，需自己添加第三条分线为辅助线，即形成“”形状。

(2)拓展类型利用“多于两条分先围成的面积不可直接求”先判断哪些部分可利用燕尾模型直接求解，然后制定求解策略、逐一求解。

例题详解例1分析：份为令△1BDF S 53231:1::62:1::31:1::22:1:+⇒==⇒==⇒==⇒=份均为、份为份为份为△△△△△△△△△△△S S EC AE S S S DC BD S S S EC AE S S S DC BD EFC AEF EFC AEF AFC AFC ABF ABF BFC ABF DFC例2分析：1:8:1:8:8)31(21:2::33:1:1=∴==+×⇒==⇒=OE BO S S S DC BD S S S EC AE S AOE ABO AOB AOC AOB EOC AEO △△△△△△△∵份为份为份为令例3分析：16:27::16:124:3::27:129:4::==∴======FB AF S S EC EA S S DC BD S SBOC AOC BOC AOB AOC AOB△△△△△△例5分析：2296321232222112221121:1::21:1::11:1::1cm S ABCD AGCD S EB AE S S S FB CF S S S EB AE S S SAGCD GCB GCB AGC AGC AGB AGC GEB GEB AGE AEG=×==×+++++++∴∴==∴==∴==）（的占正方形四边形份为，∵份为，∵份为，∵份为令△△△△△△△△△△例6分析：135144135144648381262)216(45120)45(80)216(40408021645::408045216::==∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=−=−⎩⎨⎧+=+=+++=⇒==++⇒===AOE BOF BOC ABO COE AOE AOC ABO ODC OBD AOE BOF S S y x x y x y x y y x xy S S S S y x S S S S yS x S △△△△△△△△△△△△，解得整理得即∵∵，例4分析：△GHI 是由3条等分线围成的不可直接求，制定间接求解策略△AGC 是由两条等分线围成的可用燕尾直接求解，其求解过程与△AHB 、△BIC 完全一样，即AGCABC GHI S S S △△△3−=求解AGC S △：设BGC S △看成1份，则AGC S △=1×2=2份，AGB S △=2×2=4份713721724212=×−==++=∴GHI AGC S S S S △△，则家庭作业1分析：72216,218,722142,21186421182443121:2::12262:1::62)21(1:2::22:1::33:2:,1====+==++++=∴=×==÷=⇒===×⇒===×+⇒==⇒==⇒=ABF BFD EFDC AE FDC FDC FDC BFD BFC BFC ABF ABF AFC ABF EFC EFC AEF DFC AEF S S S S S S DC BD S S S EC AE S S S DC BD S S S EC AE S S S DC BD S △△△△△△△△△△△△△△△△△△份份，份为份为份为份为份为令2分析：731733311733734:3:::11:3::31:1::31:3:,1 ,CE =∴==++++⇒===⇒==⇒==⇒=阴影△△△△△△△△△△△△△△∵面积的阴影部分占△份为份为份为份为份为令S S ABC S FC AF S S S S S DC BD S S S DE AE S S S DC BD S ABC AEF BEC ABE EFC AEF AEC AEC ABE BED BED ABE BDECED 3分析：2:56:15::6:103:5::15:103:2::===∴======FB AF S S EC EA S S DC BD S S BGC AGC BGC ABC AGC ABG △△△△△△4分析：△GHI 是由3条等分线围成的不可直接求，制定间接求解策略△AGC 是由两条等分线围成的可用燕尾直接求解，其求解过程与△AHB 、△BIC 完全一样，即AGCABC GHI S S S △△△3−=求解AGC S △：设BGC S △看成9份，则AGC S △为9÷3×4=12份，AGB S △为12÷3×4=16份23717437133712137129161212=×=∴=×−==++=∴GHI ABC GHI ABC AGC S S S S S △△△△△，则5分析：2DFE 5522452)21333(2332:1::31:1::3211:1:::22:1:: 1 S cm S ABCD S S EC DE S S S FC BF S S S FG DF S S S S S EC DE S S BFG BDF GHD BGH BHD BFC DFB FGC BFG DFB CFG DFC EFC EFC DEF =×=∴=×+++++∴==∴===+∴===∴==阴影△△△△△△△△△△△△△△△△面积的阴影部分占长方形份为、，∵份为，∵份为，∵份为，∵E D B6分析：设yS x S EOC AOF ==△△，24646422*********262::4262::=+++++=∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=−=−++=⇒==++⇒=ABC BOC AOC BOF AOF AOC ABO ODC OBD S y x y x y x yx S S S S y x S S S S △△△△△△△△△解得整理得∵∵超常挑战N M GA BCD EF分析：若知道△AMN 占ABC △的面积的比即可只ABC △的面积，△AMN 是由3条等分线围成的不可直接用燕尾求面积。

共边模型
本讲主线
1、等积变形中的共边
2、一半模型中的共边
课前小练习
将下面的两个三角形各自分成面积相等的4个小三角形
知识要点：
1、等底等高的两个三角形面积相等
2、夹在平行线间的一组同底三角形面积相等如下图：
3、三角形等分面积：等分底边，即可等分面积
4、一半模型
板块一：等积变形
例1、正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
例2、四边形ABCD是一个直角梯形。

以上底AD为边向外作正方形ADEF，面积为9平方厘米。

连接BE交AD于P，再连接PC。

试求图中阴影部分的面积
例3、如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，4321S S S S 、、、分别表示四个小四边形的面积。

试比较 的大小与4231S S S S ++
例4、如图，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD=15，四边形EFGO 的面积为多少？
例5、如图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是多少？
例6、如图，P为长方形ABCD内的一点，△PAB的面积为5，△PBC面积为13，请问：△PBD的面积是多少？
例7、超常大挑战
图中正方形面积为1，把每条边都3等分，然后将这8个等分点与正方形内部的某一点相连，形成4个阴影的四边形和4个空白的三角形，那么，阴影部分的总面积是多少？。

三角形当中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。

在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2二、平行四边形中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2，平行四边行的面积公式S=底×高所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半：知识结构一半模型【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。

是打“√”，不是打“×”。

（）（）（）（）（）（）梯形中的一半模型在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。

如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。

四、任意四边形中的一半模型如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2【能力提升】】【巩固练习【例1】如图，已知长方形ABCD的面积为24平方厘米，且线段EF,GH把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。

【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。

【例2】如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，阴影部分面积是（）平方厘米．【例3】如图,长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是多少4A BF ED C【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4，矩形EDFG的边EF过A点，G点在BC上，若DG=5，则矩形EDGF的宽DE=_____；EA DFB C G【巩固】如图所示，正方形 A B C D的边长为8厘米，长方形 E B G F的长 B G为1 0厘米，那么长方形的宽为几厘米EA BFD G C【例4】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是1 3，3 5，4 9．那么图中阴影部分的面积是多少A D3549E13B C【巩固】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是11,32,57．那么图中阴影部分的面积是多少A D325711B C【例5】如图所示，长方形ABCD内的阴影面积之和为65，AB=8，AD=15,四边形EFGD的面积是【思考题】提示：构造一半模型（很多时候，需要我们构造一半模型来解决一些问题。

一半模型知识结构一、 三角形当中的一半模型由于三角形的面积公式 S=底x 高+2,决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。

在等高模型中，（图 1 ）当BD=CD 寸，阴影部分，S A ABD=2 ABO 2特别地如图2,当BE=ED , DF=FC ，阴影部分面积， S A AEF=A ABO 2在等底模型中（图 3），当AE=DE 时，阴影部分，S A EBC=A ABO 2二、平行四边形中的一半模型由于三角形的面积公式 S=Bx 高十2,平行四边行的面积公式 s=Bx 高所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积 是四边形面积的一半：匡】梯形中的一半模型在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一 半。

如图5,是它的变形，注意其中 AF=DF BE=CE【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的,不是打“XS AADE=SABCD 2四、任意四边形中的一半模型女口图 6,在四边形 ABCD 中，AE=EB DF=CF 贝U SEBFD=SAB &DS 如CD - “bS £BCE ■ S A BCF N S A BCD = S A BCPS|..ABCD = axb百f ADEr 打 xbly S^BCE - ixa xb2阴影-比ADE * S A BCE - - A xbl t —> I w bi - —ox(bl t b2)- i a x b【巩固练习】a【能力提升】不规则图形左因’阴影=E BFE二丄x ?乂1> =丄a b、 2 2 41q 1 a右图；S A Ata = -x^xbl; SA B11<J = - x-xbz2 2 2 2阴影=5AFG丰S.BEG = —x-xbl + -x-xb2 = —a x(bl + b2) = — a xb也也22224 A辰例题精讲【例1】如图，已知长方形ABCD勺面积为24平方厘米，且线段EF,GHS它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。

【温故】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？【知新】共角模型(鸟头模型)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图, :():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯【例1】(★★)如图， △ABC 中，AD ：AB ＝2：3，AE ：AC ＝4：5，求： △AED 的面积是△ABC 面积的几分之几？【例2】(★★★)如图在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD ∶AB ＝2∶5，AE ∶AC ＝4∶7， S △ADE ＝16平方厘米，求△ABC 的面积。

共角模型【例3】(★★★)如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB∶AD＝5∶2，AE∶EC＝3∶2，S△ADE＝12平方厘米，求△ABC的面积【例4】(★★★★)如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。

【例5】(★★★★)已知，AC∶AE＝5∶1，BC∶CD＝4∶1，BA∶BF＝6∶1 ，那么，△DEF的面积是△ABC的几分之几？【例6】(★★★★★) (走进美妙数学花园六年级初赛)如图，三角形ABC中，延长BA到D，使DA＝AB，延长CA到E，使EA＝2AC，延长CB到F，使FB＝3BC。

如果三角形ABC的面积是1，那么三角形DEF的面积是____。

一、本讲重点知识回顾共角模型(鸟头模型)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图, :():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯二、本讲经典例题例2，例3，例5，例6。

一、 三角形当中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。

在等高模型中，（图1）当BD=CD 时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2特别地如图2，当BE=ED ，DF=FC ，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2在等底模型中（图3），当AE=DE 时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2二、平行四边形中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2，平行四边行的面积公式S=底×高所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半：知识结构一半模型【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。

是打“√”，不是打“×”。

（）（）（）（）三、梯形中的一半模型在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。

如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。

四、任意四边形中的一半模型如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2【能力提升】【巩固练习】【例1】如图，已知长方形ABCD 的面积为24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。

【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。

【例2】如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，阴影部分面积是（ ）平方厘米．例题精讲4【例3】A BF ED C【巩固】如图，正方形ABCD的边长为 4，矩形EDFG的边EF过A点，G点在BC上，若DG=5，则矩形EDGF的宽DE=_____；EA DFB C G【巩固】如图所示，正方形 A B C D的边长为8厘米，长方形 E B G F的长 B G为1 0厘米，那么长方形的宽为几厘米？EA BFD G C【例4】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是1 3，3 5，4 9．那么图中阴影部分的面积是多少A D3549E13B C【巩固】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 11,32,57．那么图中阴影部分的面积是多少？A D325711B C【例5】如图所示，长方形ABCD内的阴影面积之和为 65，AB=8，AD=15,四边形EFGD的面积是？【思考题】提示：构造一半模型（很多时候，需要我们构造一半模型来解决一些问题。