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六年级数学专题复习_分数的裂项

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分数的巧算：裂项
知识点分析：
特殊的分数加法试题，难以运用课本中固有的运算性质及定律进行巧算。

它们有其特殊的规律及性质，对于这些特殊试题，我们通常要用到以下两种方法：
①引用公式法：有特殊的分数加法试题，有其固有的求和公式，计算时可以直接运用这些公式使计算简便。

②裂项法：先将算式中的一些分数按规律作适当拆分，使得拆分后的一些分数可以互相抵消，从而达到巧算的目的。

例题精讲
例1：
10
91...431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 分析：观察发现每一个分数的分母是两个相邻的自然数相乘，分子1就是它们的差，可以运用裂项公式：
()a
n n a n n a +-
=+11，先裂项，再求和。

解答：
举一反三①
（1）21201...871761651⨯++⨯+⨯+⨯
（2）53494...1394954514⨯++⨯+⨯+⨯
（3）47425...171251275725⨯++⨯+⨯+⨯
10
9101110191...413131212111091...431321211=-
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯++⨯+⨯+⨯=
原式注重：必须弄懂第一种裂项公式：
()a
n n a n n a +-
=+1
1
例2：100
981...861641421⨯++⨯+⨯+⨯
分析：这里的每一个分数的分母虽然不是两个相邻的数，但这些自然数都相差2.如果想
办法将分子都变成2，就可以利用例1中的公式计算了。

解答：方法一：将分子都扩大两倍，再将它们的和缩小两倍，结果不变。

方法二：直接运用另一个裂项公式()⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-⨯=+d n n d d n n 1111
举一反三②
（1）36331...1291961631⨯++⨯+⨯+⨯
（2）36331...1291961631⨯++⨯+⨯+⨯
（3）43371...191311371711⨯++⨯+⨯+⨯
200
492110049211001981 (8)
1
616141412121
100982 (8)
62642422=⨯=⨯
⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+-=⨯
⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯+⨯=原式200
4910049211001981...81616141412121100198121...816121614121412121=⨯=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=
原式
例3：42
13012011216121+++++（第二届新起点杯数学竞赛试题）
分析：观察发现题目中的分母都是可以看作是两个连续自然数的积，且分子都是1，将分母加以变形，再利用裂项公式即可求出和。

解答：
举一反三③
（1）13211101901721+++ （2）80148124181+++ （3）56174216301520141213612211++++++
例4：
100
99982...43223212⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯ 分析：观察发现每一个分数的分母都是连续三个自然数的和，且分子2是每个数与第三个数的相差数，运用裂项公式
()()()()()
211
11212+⨯+-
+⨯=+⨯+⨯n n n n n n n 先裂项，再求和。

解答：
举一反三④ （1）11
1092...65425432⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯
7
671
1716161515141413131212117
61
651541431321211=-
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=原式9900
454510099121110099199981...431321321211=
⨯-
⨯=⎪
⎭⎫
⎝⎛⨯+⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯=原式先将分母变为两个数相乘的形式，注意要使相乘两数之差相等，再利用第一种裂项公式
()a
n n a n n a +-
=+11求和。

第三种裂项公式：()()()()()21111212+⨯+-
+⨯=+⨯+⨯n n n n n n n 通过代数法先理解公式的推导，再结合题目解题
（2）8645590537452045845145+++++ （3）50
49481...98718761⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯
例5：100
..43211...432113211211++++++
++++++++ 分析：观察发现每一个分数的分母都是从1开始的连续若干个自然数的和，因此分母可以运用等差数列求和公式()21n n ⨯+求和，那么()n
n n ⨯+=
+++++12..43211。

所以分母就变成了两个数相乘的形式，最后再采用裂项法计算。

解答：
举一反三⑤
（1）2012
..43211...4321132112111++++++
+++++++++
（2）50
..4321...432132121++++++++++
（3）⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+99119911 (411411311311211211)
101
9920299210111001 (5)
1
41413131212101
1002
...542432322=⨯
=⎪
⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+-⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=
原式运用等差数列的求和公式先将每一个分数变形，再利用第一种裂项公式进行计算。

模 拟 练 习
一、初级 1、60591...131211*********⨯++⨯+⨯+⨯ 2、63
581...181311381831⨯++⨯+⨯+⨯
3、1321...421301201++++
4、57551...751531311⨯++⨯+⨯+⨯
二、中级
5、1101901721561421611+++++-
6、9900989997029701...3029201912116521+++++++
7、6413211618141211------ 8、64120180148124181⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++ 三、高级
9、90197217561542133011209127311-+-+-+- 10、22
21201...43213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯
11、945
73975311753115311311-
⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯
12、5
43214...4321332122111⨯⨯⨯⨯+
+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+
历 年 小 考 真 题
1、（2008年韶关北中，9题）：
从式子12
110181614121+++++中去掉（ ），余下的各数和等于1。

A 、12121和
B 、10121和
C 、10181和
D 、12181和
2、（2008年韶关北中，21题）：4018
40162009...862009642009422009⨯++⨯+⨯+⨯
3、（2010年韶关统考，17题）：
有两根同样长的木条。

从第一根中先用去14，再用去余下的1
4
米；从第二根中先用去
1
4
米，再用去
余下的1
4
，两条木条仍然有剩余。

比较两根木条剩下部分的长度（ ）
A 、第一根长
B 、第二根长
C 、两根一样长
D 、不能确定。

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六年级上册数学竞赛试题分数裂项求和方法总结_通用版

六年级上册数学竞赛试题分数裂项求和方法总结_通用版

分数裂项求和方法总结（一） 用裂项法求1(1)n n +型分数求和分析：因为 111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960)+++⨯⨯⨯的和。

（二） 用裂项法求1()n n k +型分数求和：分析：1()n n k +型。

（n,k 均为自然数）因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++所以1111()()n n k k n n k =-++【例2】 计算11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯（三） 用裂项法求()k n n k +型分数求和：分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】 求2222 (1335579799)++++⨯⨯⨯⨯的和 （四） 用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和： 分析：2()(2)k n n k n k ++ （n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++【例4】 计算：4444......135357939597959799++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （五） 用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3)n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）【例5】 计算：111......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（六） 用裂项法求3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和： 分析：3()(2)(3)k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 【例6】 计算：333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例7】计算：71＋83＋367＋5629＋6337＋7241＋7753＋8429＋883 【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把5629、6337、7241、7753这四个分数，可以拆成是两个分数的和。

小学数学分数裂项

小学数学分数裂项

小学数学分数裂项考试要求（1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。

（4） 4、通项归纳知识结构一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

六年级+分数裂项

六年级+分数裂项

六年级+分数裂项 work Information Technology Company.2020YEAR本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

五六年级分数巧算裂项拆分

五六年级分数巧算裂项拆分

思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求型分数求和分析：因为＝（n为自然数）所以有裂项公式：【例1】求的和。

（二）用裂项法求型分数求和：分析：型。

（n,k均为自然数）因为所以【例2】计算（三）用裂项法求型分数求和：分析：型（n,k均为自然数）＝＝所以＝【例3】求的和（四）用裂项法求型分数求和：分析：（n,k均为自然数）【例4】计算：（五）用裂项法求型分数求和分析：（n,k均为自然数）【例5】计算：（六）用裂项法求型分数求和：分析：（n,k均为自然数）【例6】计算：【例7】计算：＋＋＋＋＋＋＋＋【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把、、、这四个分数，可以拆成是两个分数的和。

另一类是把、、这三个分数，可以拆成是两个分数的差，然后再根据题目中的相关分数合并。

原式＝＋＋（－）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（－）＋（－）＝＋＋－＋＋＋＋＋＋＋＋＋－＋－＝（＋＋＋＋）＋（＋＋＋）＋（＋＋）＋（－）－（＋）＝1＋1＋＋－＝【例8】计算：（1＋＋＋…＋）＋（＋＋…＋＋＋…＋）＋…＋（＋）＋【分析与解】先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法分配律进行简便计算。

原式＝1＋＋（＋）＋（＋＋＋＋＋）＋（＋…＋）＋…＋（＋＋＋…＋＋）＝1＋＋×＋×＋×＋……＋×＝1＋＋＋＋＋……＋＝1＋×（1＋2＋3＋4＋ (59)＝1＋×＝1＋15×59＝886【巩固练习】1、＋＋＋……＋2、＋＋＋3、＋＋＋＋＋4、1－＋＋＋5、＋＋……＋6、＋＋＋……＋7、＋＋＋＋8、－＋－＋－9.＋＋＋＋＋10．69316.931÷69.31＝11、（11－×15）+(13－×13)÷(15－×11)19．4×5×6×7×……×355×356的末尾有( )个零。