知识点20 二次函数在实际生活中应用

二次函数知识点总结二次函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

它是指一个形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

在二次函数中，x的平方是最高次幂，这也是其与一次函数的主要区别之一。

一、二次函数的一般形式二次函数的一般形式可以写为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c分别对应二次、一次和常数项。

如果a>0，那么二次项的系数为正，此时函数的图像开口向上；如果a<0，那么二次项的系数为负，函数的图像开口向下。

二、二次函数的图像特征1. 零点：二次函数的零点即为函数图像与x轴的交点，可以通过解方程ax^2+bx+c=0来求得。

零点有可能是一个，两个或者零个，具体取决于方程的判别式。

2. 导数与凹凸性：二次函数的导数为2ax+b，可以用来研究函数的凹凸性。

当a>0时，导数为正，说明函数是单调递增的；当a<0时，导数为负，函数单调递减。

此外，二次函数的凹凸性由二次项的系数a决定，当a>0时，函数图像是向上凹的；当a<0时，函数图像是向下凹的。

3. 对称轴和顶点：二次函数的对称轴是x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a)，f(-b/(2a))。

对称轴是函数图像的一条轴线，将图像分为两个对称的部分。

顶点则是函数的最低点（对于a>0）或最高点（对于a<0）。

三、二次函数在现实生活中的应用二次函数的应用非常广泛，在各个领域中都有重要作用。

以下为几个常见的应用示例：1. 弹射物的抛物线轨迹：物体在空中受到重力的作用，其运动轨迹可以用二次函数描述。

例如，一个抛出的物体在空中的运动轨迹就是一个抛物线。

2. 路面设计中的起伏：为了确保道路排水畅通，路面设计中通常会有一定的起伏。

这些起伏可以用二次函数来描述，以确保水沿着特定的方向流动。

3. 经济模型中的成本和收益：在经济学中，二次函数也有广泛的应用。

例如，利润函数可以用二次函数来刻画，通过求导可以找到最大利润的产量。

龙源期刊网 浅谈二次函数在实际生活中的应用作者：刘昌义来源：《学习与科普》2019年第11期摘要：随着社会的快速发展，人们的生活水平不断提升，生活质量的要求也不断提高，这样一来，对各种资源的需求量也不断增大。

而资源的总数是有限的，如何将优先的资源通过合理的运用来满足更多人的实际需要，这就需要用到数学中所学到的二次函数知识。

二次函数在实际生活中的应用，是利用所学知识解决实际生活问题的体现。

二次函数的实际应用过程，也是数学思想在生活实际中得到合理运用的过程。

关键词：二次函数；实际生活；实际应用二次函数不管是作为一种数学计算工具还是作为初中数学学习过程中的知识组成部分，都具有非常重要的作用。

二次函数贯穿了初中数学的整体学习过程，从最简单的图像方程画图计算再到复杂的二次函数实际应用，无一不体现出了它的重要性。

同时二次函数也作为中考的重要考察内容，其难度相对其他数学知识更高，连贯性也更强，如果初中阶段的二次函数没有学好，势必会影响到后续的函数学习。

除此之外，通过教学研究，笔者发现很多学生在二次函数的学习中暴漏出来一个问题：当题目与现实生活综合到一起时，很多学生往往后无从下手，这体现出学生对其所学知识的实际应用能力较差。

所以我们需要通过对二次函数在实际生活中应用方向的研究，来找到培养学生利用二次函数解决生活实际问题能力的方法。

一、二次函数在桥梁建筑方面的应用在日常生活中所见到的桥类建筑大多为拱形，拱形的桥梁结构相对于直桥更加稳固，且可以给桥下的水面提供较大的通行空间，以供船只通过。

从拱形桥的形状看上去跟抛物线类似，其在设计之中就应用了二次函数的相关性质。

除此之外，在很多公共建筑的设计上也应用了二次函数的原理，如花坛、喷泉和国家体育馆鸟巢的设计。

通过这类实际应用体现出二次函数已经融入了我们的生活之中。

二、二次函数在经济生活中的实际应用二次函數作为一种数学工具被广泛的应用到统计之中，其在经济生活之中的作用往往集中在投资调查、销售定价、销售情况统计、市场调查、消费住宿等方面。

实际问题与二次函数知识点总结和重难点精析一、实际问题与二次函数的定义和基本性质在九年级数学中，我们学习了二次函数的基本概念、表示方法和性质。

二次函数是指形如y = ax²+bx+c(a≠0)的函数，其中a、b、c为实数。

二次函数的图像是一个抛物线，具有以下基本性质：1.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

2.一次项系数b和二次项系数a共同决定抛物线的对称轴位置。

3.常数项c决定抛物线与y轴的交点。

二、实际问题与二次函数的解题方法解决实际问题时，需要灵活运用二次函数的性质和解题方法。

下面列举几种常见的解题方法：1.图像法：通过观察二次函数的图像，直接得出答案。

例如，在解决几何问题时，可以通过画图直接找出答案。

2.公式法：根据二次函数的公式，直接代入已知数进行计算。

例如，在解决代数问题时，可以运用二次方程求根公式等。

3.配方法：将二次函数化为顶点式，然后根据抛物线的性质进行解题。

例如，在解决最大值或最小值问题时，可以采用配方法。

4.因式分解法：将二次函数化为两个一次因式的乘积，然后通过解方程组得出答案。

例如，在解决某些代数问题时，可以采用因式分解法。

三、重难点精析1.重难点知识点介绍(1)二次函数的图像和性质：如何根据图像判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等;如何根据性质求出抛物线的最值、单调区间等。

(2)二次函数的应用题：如何根据实际问题建立二次函数模型;如何求解模型得出实际问题的答案;如何验证答案的正确性。

2.解题思路和技巧(1)对于图像题，可以采用数形结合的方法，将抽象的数学问题转化为形象的图像问题，从而简化解题过程。

(2)对于性质题，需要熟练掌握抛物线的各种性质，例如最值、单调性等，从而可以灵活运用到解题中。

(3)对于应用题，需要认真审题，将实际问题转化为数学问题，然后建立模型求解。

同时需要注意答案的合理性和实际意义的符合性。

3.解题错误分析(1)对于图像题，可能出现的错误是将图像中的信息误解或遗漏，导致答案错误。

二次函数与实际问题一、引言二次函数是高中数学中非常重要的一部分，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文旨在介绍二次函数的基本概念、性质以及如何应用到实际问题中。

二、二次函数的定义与性质1. 二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a,b,c为常数，x,y为自变量和因变量。

2. 二次函数的图像特征（1）对称轴：x=-b/2a（2）顶点：(-b/2a, c-b²/4a)（3）开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

（4）零点：即方程ax²+bx+c=0的解。

当b²-4ac>0时，有两个不相等实根；当b²-4ac=0时，有一个重根；当b²-4ac<0时，无实根。

3. 二次函数与一次函数、常数函数的比较（1）一次函数y=kx+b是一个斜率为k、截距为b的直线。

（2）常数函数y=c是一个水平直线，其值始终为c。

（3）与一次函数相比，二次函数具有更加复杂的图像特征；与常数函数相比，二次函数具有更加丰富的变化。

三、二次函数的应用1. 最值问题对于二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，其最小值为c-b²/4a，即顶点的纵坐标；当a<0时，其最大值为c-b²/4a。

2. 零点问题对于二次函数y=ax²+bx+c，求其零点即为求解方程ax²+bx+c=0的解。

可以使用求根公式或配方法等方式来求解。

3. 优化问题在实际生活中，很多问题都可以转化为求某个目标函数的最大值或最小值。

例如，在制作一个长方形纸箱时，如何使得纸箱的容积最大？假设纸箱长为x，宽为y，高为h，则容积V=xyh。

由于长和宽已知，因此我们只需要确定h的取值范围，并找出使得V最大的h即可。

由于纸箱需要稳定，在实际中我们还需要考虑其他因素（如纸板厚度等），从而确定出一个合适的取值范围。

二次函数的应用二次函数是数学中的一种重要函数类型，其应用十分广泛。

本文将以实例的形式探讨二次函数在实际生活中的几个应用。

一、抛物线的模型二次函数的图像是抛物线，其常见模型有抛物线的顶点形式和描点形式。

以顶点形式为例，二次函数的一般形式为：f(x) = a(x-h)^2 + k其中a,h,k是常数，(h,k)表示抛物线的顶点。

我们以一道题目为例：某物体以初速度30m/s向上抛出，经过2s达到最高点，求其下落的高度。

解：设物体下落的高度为f(t)，t为时间。

根据物理学的运动规律，物体自由落体的公式为：f(t) = -5t^2 + v0*t + h0其中v0为初速度，h0为初始高度。

题目中给出了初速度为30m/s，代入公式得：f(t) = -5t^2 + 30t + h0根据题目要求，物体经过2s达到最高点，即f(2)=0。

代入公式求解得：0 = -5*2^2 + 30*2 + h0= -20 + 60 + h0= 40 + h0可得h0 = -40，即物体的初始高度为-40m。

因此，物体下落的高度可以表示为：f(t) = -5t^2 + 30t - 40我们可以通过二次函数模型得出物体在任意时间t下的高度。

二、最值问题二次函数也常用于求解最值问题。

例如，我们考虑以下问题：用2根长为L的铁丝围成一个矩形，求该矩形的最大面积。

解：设矩形的长度为x，宽度为L-2x（由于必须用2根铁丝围成，所以长度和宽度之和为L）。

矩形的面积可以表示为：S = x(L-2x)= Lx - 2x^2显然，S是一个关于x的二次函数。

要求最大面积，即求函数的最大值。

通过求导的方法，我们可以得到该函数的极值点。

首先，将函数求导得：S' = L - 4x令导数等于0，求解可得极值点：L - 4x = 04x = Lx = L/4将x代入原函数得到最大面积：S = (L/4)(L-2(L/4))= (L/4)(L/2)= L^2/8因此，该矩形的最大面积为L^2/8。

二次函数是中学数学中重要的一个章节，主要涉及到解析式、图像和性质等方面。

本文将对九年级数学中二次函数的知识点进行总结，包括定义、基本性质、图像及其变化规律、求解等方面，以及与实际生活中的应用。

一、定义：二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c都是实数，并且a的值决定了图像的开口方向。

二、基本性质：1.零点和轴对称：二次函数的零点是使得函数值等于0的x值，零点的个数取决于判别式的值。

二次函数关于y轴对称。

2.求导和凹凸性：二次函数的导数是一次函数，二次函数的凹凸性由二次项系数的符号决定。

当a>0时，函数的图像开口向上，二次函数是凹的；当a<0时，函数的图像开口向下，二次函数是凸的。

3.极值：二次函数的极值点是函数图像的最高点或者最低点，极值点的x坐标是二次函数的顶点。

当a>0时，函数的极值是最小值；当a<0时，函数的极值是最大值。

三、图像及其变化规律：1.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的符号决定。

当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。

2.平移：二次函数的图像可以进行平移操作，平移后的函数图像仍然是一条二次曲线。

平移的规律是对原函数的输入x进行平移操作。

例如，y=(x-3)²平移到y=x²后，图像整体向右移动3个单位。

3.缩放：二次函数的图像也可以进行缩放操作，缩放后的函数图像仍然是一条二次曲线。

缩放的规律是对原函数的自变量x进行缩放操作。

例如，y=(2x)²相当于y=4x²，图像整体变窄。

四、求解：1. 二次函数的解析式：求解二次函数的关键是求出二次函数的零点，即令y=0，并解方程ax²+bx+c=0。

根据二次函数的解析式，可以根据判别式的值确定二次函数的零点个数，判别式D=b²-4ac。

-当D>0时，有两个不相等的实数根；-当D=0时，有两个相等的实数根；-当D<0时，没有实数根，但有两个共轭复数根。

二次函数和一次函数的应用二次函数和一次函数是高中数学中的重要内容，也是实际生活中广泛应用的数学概念。

本文将重点探讨二次函数和一次函数在实际问题中的应用，并通过实例详细说明其应用方式和意义。

一、二次函数的应用二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a≠0，其图像为抛物线。

二次函数在现实生活中的应用非常广泛，涉及到多个领域。

1. 抛物线运动二次函数最典型的应用之一就是描述抛物线运动。

例如，一个抛出的物体在空中运动的轨迹就可以用二次函数来描述。

具体来说，假设抛物线的顶点为(x₀, y₀)，则可以得到二次函数的标准式为y=a(x-x₀)²+y₀。

这个公式能够帮助我们确定抛物线的形状、方向和顶点位置，从而更好地理解和分析抛物线运动。

2. 自由落体自由落体是物体只受重力作用下自由下落的运动方式。

当一个物体从高处自由落下时，其下落的距离可以用二次函数来描述。

通过测量物体下落过程中的时间和距离，我们可以建立二次函数模型，从而预测未来的位置，并计算出物体达到地面所需的时间。

3. 优化问题在实际问题中，我们经常需要寻找最优解。

例如，在生产成本与销售利润之间寻找平衡点，寻找某个函数的最大值或最小值等。

这些问题往往可以转化为二次函数的优化问题。

通过求解二次函数的极值点，我们可以找到问题的最优解。

二、一次函数的应用一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b为常数。

一次函数的图像是一条直线，其在实际生活中的应用也非常广泛。

1. 直线运动一次函数经常用于描述物体的直线运动。

例如，在汽车行驶过程中，行驶的距离与所用的时间之间的关系可以用一次函数来描述。

通过观察和测量物体的运动情况，我们可以建立一次函数模型，从而预测未来的位置和时间。

2. 费用和收益在商业领域，一次函数可以用于描述企业的成本和收入之间的关系。

例如，某企业的生产成本可以表示为y=kx+b，其中x为生产数量，y为成本。

通过分析一次函数模型，我们可以找到成本与生产数量的关系，从而进行成本控制和利润分析。

二次函数的相关性质与应用二次函数是高中数学中比较重要的一类函数，它的图像呈现出U型或者倒U型的形状，具有多种性质和应用。

本文将介绍二次函数的相关性质以及它在现实生活中的应用，并探讨其中的数学原理和实际意义。

一、二次函数的一般形式及相关性质二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数，a不等于0。

根据此一般形式，可以了解到以下几个与二次函数相关的性质。

1. 首先，二次函数的图像为抛物线，在坐标系中通常呈现U型或者倒U型。

这一性质决定了二次函数在不同区间内的增减性，以及极值点的存在性。

2. 其次，二次函数的a值决定了抛物线的开口方向。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

这一性质可以通过计算二次函数的导数来进行证明，从而体现出与导数的相关性。

3. 另外，二次函数的顶点坐标可以通过求解二次方程的解来获得。

顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为f(x)=-b^2/4a+c。

顶点是抛物线的最低点（当a>0时）或者最高点（当a<0时），具有重要的几何意义。

4. 最后，二次函数的轴对称性是一个重要的性质。

对于任意一个二次函数，它的图像关于直线x=-b/2a对称。

这意味着，当我们确定了图像的一部分时，可以通过轴对称性来得到另一部分的信息。

二、二次函数的应用二次函数在现实生活中具有广泛的应用。

以下列举了几个常见的应用场景。

1. 马鞍形建筑设计二次函数的图像呈现U型或者倒U型的形状，可以用来设计马鞍形建筑物。

比如，体育馆、停车场和演唱会场馆等运用了二次函数的特性，使得空间的设计更加合理，并且能够提供较好的视野和使用效果。

2. 投射运动的轨迹抛体的运动轨迹可以被建模为二次函数。

比如，物体在自由落体运动或者抛体运动下的轨迹都可以使用二次函数来描述。

此外，通过求解二次方程可以计算出物体的最大高度、最大水平距离等重要参数。

3. 线性加速度运动某些物体的运动状态可以通过二次函数来刻画。

二次函数在实际生活中的应用案例分析
很多人可能会认为，二次函数只是数学中的一个抽象概念，没有实际意义。

其实，二次函数在我们的日常生活中也有着广泛的应用，从飞机航线到网络技术，都有着其影子。

本文将从几个方面分析二次函数在实际生活中的应用案例。

首先，二次函数在航空中具有重要的作用。

由于二次函数可以模拟加速度，从而使飞机轨迹更加平滑和精确。

当飞机起飞时，机组可以根据一套二次函数计算飞行轨迹，以实现最佳的飞行性能和最少的燃料消耗。

另外，航空公司现在也在使用二次函数来计算最佳的航线，以节省燃油消耗。

其次，二次函数在网络技术中也有重要的价值。

二次函数可以模拟数据传输时发生的延迟，从而帮助我们评估网络连接的性能和可靠性。

此外，在网络通信中，即使信息丢失也不会影响数据的完整性，因为二次函数可以保证丢失的数据有效地修复。

最后，二次函数在计算机图像处理中也有重要的应用，可以用于处理图像边缘和轮廓的模糊处理。

在数字图像编辑中，二次函数也可以用来分析图像的变化，从而实现更有效的图像处理结果。

从上面可以看出，二次函数在实际生活中有着广泛的应用，从飞行轨迹到数字图像处理，它都能提供有效的技术支持。

未来，二次函数将在技术发展中发挥更加重要的作用，我们期待与之共赴未来。

总之，二次函数不仅仅是一个抽象的数学概念，而是一个在实际生活中可以有效应用的实用技术。

在技术发展的过程中，二次函数可
以更有效地实现各种功能，它必将对现代社会发展产生重要的影响。

二次函数在实际生活中的应用举例二次函数在实际生活中有着广泛的应用，下面举例说明．一、预测例1．（河南省中考题）某市近年来经济发展速度很快，根据统计：该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币．经论证，上述数据适合一个二次函数关系．请你根据这个函数关系，预测2005年该市国内生产总值将达到多少？解；依题意，可以把三组数据看成三个点：A （0，8.6）、B （5，10.4）、C （10，12.9）设c bx ax y ++=2．把A 、B 、C 三点坐标代入上式，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=9.12101004.105256.8c b a c b a c ，解得：014.0=a ，29.0=b ，6.8=c ．即所求二次函数为6.829.0014.02++=x x y ．令15=x ，代入二次函数，得1.16=y ．所以，2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币．二、决策例2． （河北省中考题）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请售答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 函数关系式（不必写出x 的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过1000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？解：（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500－（55－50）×10＝450（千克），所以月销售利润为：（55－40）×450＝6750（元）．（2）当销售单价定为每千克x元时，月销售量为［500－（x－50）×10］千克，而每千克的销售利润是：（x－40）元，所以月销售利润为：y＝（x－40）[500－（x－50）×10]＝（x－40）（1000－10x）＝－10x2－1400x－40000（元），∴y与x的函数解析式为y＝－10x2＋1400x－4000．（3）要使月销售利润达到8000元，即y＝8000元，∴－10x2＋1400x－40000＝8000，即：x2－140x＋4800＝0，解得：x1＝60，x2＝80．当销售单价定为每千克60元时，月销售量为500－（60－50）×10＝400（千克），月销售成本为：40×400＝16000（元）；月销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500－（80－50）×10＝200（千克），月销售成本为：40×200＝8000（元）；由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．三、优化例3．（浙江嘉兴中考题）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x米，面积为S米2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45米2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．简解：（1）2(243)324S x x x x =-=-+；（2）232445x x -+=，解得125,3x x ==（不合题意，舍去），故AB 的长为5米；（3）22(243)3243(8)S x x x x x x =-=-+=--23(4)48x =--+， ∵1483x ≤≤，∴当143x =时，S 有最大值． 2142483(4)4633--=． 能，围法：24143103-⨯=．花圃的长为10米．宽为243米，这时有最大面积2463平方米．四、避祸例4．（吉林省中考题）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m ．⑴ 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；⑵ 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？解：（1）设抛物线的解析式为2y ax =，桥拱最高点O 到水面CD 的距离为h 米，则D （5，h -），B （10，3h --）．∴25100 3.a h a h =-⎧⎨=--⎩，解得1251a h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2125y x =-． （2）水位由CD 处涨到点O 的时间为：1÷0.25 = 4（小时）， 货车按原来速度行驶的路程为：40×1＋40×4 = 200＜280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥，设货车速度提高到x 千米/小时， 当4401280x +⨯=时，解得60x = ，∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米小时．。

二次函数应用知识点总结二次函数是高中数学中的重要内容，学好二次函数的应用是解决实际问题的关键。

以下是二次函数应用知识点的总结：1. 二次函数的概念和性质- 二次函数是形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。

- 二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于 $a$ 的正负性。

- 抛物线的对称轴是一个过抛物线顶点的直线，其方程为 $x = -\frac{b}{2a}$。

- 二次函数的最值可以通过求解方程$\frac{{-b}}{{2a}}$ 得到。

2. 抛物线的方程和图像- 二次函数的图像称为抛物线，其形状和位置可以通过函数的系数进行调整。

- 当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上，顶点是最小值点。

- 当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下，顶点是最大值点。

- 通过变换和平移可以将标准形式的抛物线方程转化为一般形式。

3. 抛物线的顶点和轴- 抛物线的顶点是抛物线的最值点，其 $x$ 坐标为 $-\frac{b}{2a}$，$y$ 坐标可以通过代入得到。

- 抛物线的轴对称线是过顶点的直线，其方程为 $x = -\frac{b}{2a}$。

4. 抛物线的焦点和准线- 抛物线的焦点是到抛物线上任意一点的距离与到抛物线的直线的距离之比保持不变的点。

- 抛物线的准线是到抛物线上任意一点的距离与到抛物线的直线的距离之比为1的直线。

5. 解决实际问题- 在解决实际问题中，抛物线的应用非常广泛。

例如，可以利用二次函数模型解决抛物线的最值问题、时间和距离问题等。

- 在解决问题时，需要将实际问题转化为数学模型，并利用相关知识点解决问题。

以上是二次函数应用知识点的总结。

通过理解和掌握这些知识点，我们能够更好地应用二次函数解决实际问题。

希望这份总结对您有帮助！。

二次函数的知识点总结二次函数是高中数学中重要的一部分，它在数学和实际问题中都起到了重要作用。

本文将对二次函数的基本定义、性质、图像、应用等方面进行总结和探讨。

一、基本定义和性质二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。

二次函数的定义域为全体实数集R。

1. 零点和根：二次函数f(x)的零点为方程f(x) = 0的解，也称为根。

根的个数与二次函数与x轴的交点数有关，最多有两个根。

2. 对称轴和顶点：二次函数的对称轴是x = -b/2a，对称轴上的点称为顶点，坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 函数增减性：当a>0时，二次函数开口向上，函数值随x增大而增大；当a<0时，二次函数开口向下，函数值随x增大而减小。

二、图像与性质二次函数的图像是一条平滑的曲线，其形状和位置与a、b和c的值有关。

1. 开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2. 平移与伸缩：对于一般形式的二次函数y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标。

当h>0时，图像向左平移；当h<0时，图像向右平移。

当a>1时，图像纵向收缩；当0<a<1时，图像纵向拉伸。

3. 最值：当a>0时，函数的最小值为k；当a<0时，函数的最大值为k。

三、应用二次函数在实际问题中有广泛的应用，下面举几个例子说明：1. 自由落体运动：假设一个物体自由下落，不考虑空气阻力的影响。

物体从起始位置开始下落，其高度随时间变化可以用二次函数进行建模。

通过分析二次函数的图像，可以求得物体的最大高度、落地时间等信息。

2. 抛物线的跳远问题：假设一个运动员以一定的速度和角度抛出物体，求物体的飞行轨迹和落地点。

通过建立二次函数模型，可以分析出物体的最远距离和落地点的位置。

3. 生活中的经济问题：二次函数也可以用来分析一些与经济有关的问题，例如成本与产量之间的关系、利润最大化问题等。

二次函数在实际生活中的应用[本课知识要点]1．会通过配方求出二次函数的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[回顾及创新思维]在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）；（2）．分析由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．解（1）二次函数中的二次项系数2＞0，因此抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=，所以当时，函数有最小值是．（2）二次函数中的二次项系数-1＜0，因此抛物线有最高点，即函数有最大值．因为=，所以当时，函数有最大值是．回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数的最大值或最小值．例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130 150 165y（件）70 50 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．解由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为．设每日销售利润为s元，则有．因为，所以．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）用含y的代数式表示AE；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．解（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此．（2）由∥，得，即，所以，，x的取值范围是．（3），所以，当x=2时，S有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数，当x=______时，y有最小值．2．已知二次函数有最小值–1，则a与b之间的大小关系是（）A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）；（2）．2．已知二次函数的最小值为1，求m的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：．y值越大，表示接受能力越强．（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B组4．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF．（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值。

二次函数的应用问题二次函数是一种常见的数学函数形式，具有广泛的应用。

它的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是实数且a≠0。

本文将探讨二次函数的应用问题，并分析其在实际生活中的具体应用。

一、弹跳高度问题考虑一个物体从地面上抛出并落地的过程。

假设物体以v₀的速度抛出，落地时的速度为v₁。

我们想要确定物体的最大高度h和落地的时间t。

首先，我们可以利用物理学中的运动学公式求解问题。

根据初速度、加速度和时间之间的关系，可以得到物体的高度公式h(t) = v₀t - ½gt²，其中g为重力加速度。

这是一个二次函数，我们可以继续求解。

将公式h(t)置零，即可得到物体的最大高度对应的时间。

设T为落地的时间，可以利用落地时速度为零的条件解得T = 2v₀/g。

将T代入公式h(t)中，可以得到物体的最大高度。

二、优化问题二次函数在优化问题中有广泛的应用。

考虑一个简单的例子——开销和产量的关系。

假设某公司的生产成本为C(x) = ax² + bx + c，其中x表示产量。

我们希望确定该公司应该生产多少产品才能使得成本最小。

为了解决这个问题，我们需要找到二次函数的最小值点。

二次函数的最小值点处于抛物线的顶点处。

通过计算，可以得到顶点的x坐标为-x₀ = -b/2a。

将x₀代入C(x)中，即可得到成本的最小值。

此外，二次函数的应用还涉及到优化问题中的距离和速度、面积最大化等方面。

三、轨迹问题二次函数的轨迹问题是另一个常见的应用。

考虑一个简单的例子——抛物线天桥。

假设一条天桥的形状由二次函数y = ax² + bx + c描述，我们想要确定天桥是否会与地面相交。

为了解决这一问题，我们需要计算抛物线的零点。

当二次函数的y 值为零时，抛物线与x轴相交。

通过求解方程ax² + bx + c = 0，可以得到抛物线与地面相交的x坐标。

将这些坐标代入二次函数中，可以得到天桥与地面相交的高度。

知识点20 二次函数在实际生活中的应用第一批一、选择题9．（2019·山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B 两点,拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米),跨径为90米,(即AB ＝90米),以最高点O 为坐标原点,以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则次抛物线型钢拱的函数表达式为( )A.y ＝26675x 2 B.y ＝26675-x 2 C.y ＝131350x 2 D.y ＝131350-x 2第9题图 【答案】B【解析】设二次函数表达式为y ＝ax 2,由题可知,点A 坐标为(－45,－78),代入表达式可得:－78＝a(－45)2,解得a ＝26675-,∴二次函数表达式为y ＝26675-x 2,故选B.三、解答题22．（2019年浙江省绍兴市，第22题，12分 ）.有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E ＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE 上，并使所截矩形的面积尽可能大.（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积；（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由.【解题过程】24．（2019·嘉兴）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数p＝t﹣刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣（t﹣h）2+0.4刻画．（1）求h的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：生长率p0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m（天）0 5 10 15①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；②请用含t的代数式表示m．（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．【解题过程】（1）把（25,0.3）的坐标代入21()0.4160p t h =--+，得h =29或h =21. ∵h >25，∴h =29.（2）①由表格可知m 是p 的一次函数，∴m=100p -20. ②当1025t ≤≤时，p=11505t -，∴m=11100()20505t --=2t -40. 当2537t ≤≤时，21(29)0.4160p t =--+. ∴m=21100[(29)0.4)]20160t --+-=25(29)208t --+ （3）（I ）当2025t ≤≤时，由（20，200），（25，300），得20200w t =- ∴增加利润为600m+[200×30-w （30-m ）]= 2406004000t t --. ∴当t=25时，增加利润的最大值为6000元. （II ）当2537t ≤≤时，300w =. 增加利润为600m+[200×30-w （30-m ）]= 25900()(29)150008t ⨯-⨯-+=21125(29)150002t --+ ∴当t=29时，增加利润的最大值为15000元.综上所述，当t=29时，提前上市20天，增加利润的最大值为15000元.22．（2019山东省青岛市，22，10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【解题过程】解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+， 将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得：100307045k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得：2160k b =-⎧⎨=⎩，故函数的表达式为：2160y x =-+；（2）由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+， 20-<，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x ， ∴当50x =时，w 由最大值，此时，1200w =，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元； （3）由题意得：(30)(2160)800x x --+， 解得：70x ，∴每天的销售量216020y x =-+， ∴每天的销售量最少应为20件．22．（2019·武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w （元）的三组对应值如下表：注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）（1） ① 求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）② 该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元（2） 由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件（m ＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值【解题过程】（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，依题意有，501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，k ＝－2，b ＝200，y 与x 的函数关系式是y ＝－2x ＋200；（2）将售价50，周销售量100，周销售利润1000，带入周销售利润＝周销售量×（售价－进价）得到，1000＝100×（50－进价），即进价为40元/件；周销售利润w ＝（x －40）y ＝（x －40）（－2x ＋200）＝－2（x －70）2＋1800，故当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元，故答案为40，70，1800；（3）依题意有，w ＝（－2x ＋200）（x －40－m ）＝－2x 2＋（2m ＋280）x －8000－200m ＝221401260180022m x m m +⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭ ∵m ＞0，∴对称轴140=702m x +>， ∵－2＜0，∴抛物线开口向下， ∵x ≤65，∴w 随x 的增大而增大，∴当x ＝65时，w 有最大值（－2×65＋200）（65－40－m ）， ∴（－2×65＋200）（65－40－m ）＝1400， ∴m ＝5．24．（2019·黄冈）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红.经市场调研发现，草莓销售单价y (万元)与产量x (吨)之间的关系如图所示(0≤x ≤100)，已知草莓的产销投人总成本p (万元)与产量x (吨)之间满足P ＝x ＋1. (1)直接写出草莓销售单价y (万元)与产量x (吨)之间的函数关系式； (2)求该合作社所获利润w (万元)与产量x (吨)之间的函数关系式；(3)为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w ＇不低于55万元，产量至少要达到多少吨?【解题过程】1. （2019·衢州市）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为80间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数（间）与每间标准房的价格x （元）的数据如下表：（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。

一、选择题7．（2020·衢州）某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．2180(1)461x-=B．2180(1)461x+=C．2368(1)442x-=D．2368(1)442x+={答案}B{解析}根据平均增长率的公式有：180（1+x）2=461,因此本题选B．11．（2020·绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．4米B．5米C．2米D．7米{答案}B{解析}如图所示，建立平面直角坐标系．设大孔对应的函数关系式为y＝ax2＋c，过B (5，c－1.5)，F(7，0)，则1.525049c a ca c-=+⎧⎨=+⎩，解得0.062.94ac=-⎧⎨=⎩，∴大孔对应的函数关系式为y＝－0.06x2＋2.94．当x＝10时，y＝－0.06×102＋2.94＝－3.06，∴H(0，－3.06)．设右边小孔顶点坐标为D(10，1.44)，则右边小孔对应的函数关系式为y＝m(x－10)2＋1.44，过点G(12，0)，则0= m(12－10)2＋1.44，解得m=－0.36，∴右边小孔对应的函数关系式为y＝－0.36(x－10)2＋1.44，当y＝－3.06时，－3.06＝－0.36(x－10)2＋1.44，解得x＝10±522，∴大孔水面宽度为20米，时单个小孔的水面宽度为5米．故选项B正确．（2020·山西）9．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0 (m)是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）32132H MF GDCE ONCBAyxA ．23.5mB ．22.5mC ．21.5mD ．20.5m {答案}C{解析}本题考查二次函数的实际应用．依题意，得h 0＝1.5m ，v 0＝20m/s ，∴高度h （m ）与运动时间t （s ）之间的关系可以近似地表示为h ＝－5t 2＋20t ＋1.5＝－5（t －2）2＋21.5，所以某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20m/s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为21.5m ，故选C.12．（2020·长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸的时间t （单位：分钟）近似满足函数关系式：c bt at p ＋＋＝2（0≠a ,a ,b ,c 为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟{答案}C{解析}本题考查了二次函数实际应用问题，根据题意，题中的“可食用率”p 应该是最大时为最佳时间，所以先把图中三个点代入c bt at p ＋＋＝2，可得到a ,b ,c 的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧c b a c b a c b a ＋＋＝＋＋＝＋＋＝5256.04169.0398.0，解得⎪⎩⎪⎨⎧9.15.12.0＝－＝＝－c b a ，所以p 应14．（2020·襄阳）汽车刹车后行驶的距离s （单位：米）关于行驶时间t （单位：秒）的函数关系式是s ＝15t －6t 2，则汽车从刹车到停止所用时间为__________秒．{答案}2.5．{解析}令s＝0，得15t－6t2＝0，解得t1＝2.5，t2＝0（不合题意，舍去），故答案为2.5．15.（2020·天门仙桃潜江）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则{答案}70{解析}．设每顶头盔的售价为x元, 由题意，得：w=（x-50）×[(200+ (80-x) ×20]，=（x-50）×（-20x+1800）=-20x2+2800x-90000，三、解答题23．（2020·绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线{解析}本题考查了用待定系数法求二次函数以及二次函数的应用．在第（1）小题中，根据题意，已知抛物线顶当x=9时，y=﹣150（x﹣7）2+2.88=2.8＞2.24，当x=18时，y=﹣150（x﹣7）2+2.88=0.64＞0，故这次发球过网，但是出界了．（2）如图，分别过点P，Q作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ=18﹣1=17，当y=0时，y=﹣150（x﹣7）2+2.88=0，解得：x=19或﹣5（其中﹣5舍去），∴OP=19，而OQ=17，故PQ=62≈8.4.∵9﹣8.4﹣0.5=0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．24．（2020·嘉兴）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．①求OD的长．②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．{解析}本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程之间的关系以及分段函数．（1）知顶点（0.4,3.32）和(0,3)，设顶点式求的二次函数解析式；（2）①把y＝2.6代入解析式，解得x，从而求的OD长；②东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，设MD＝h1，NF＝h2，当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，证明△MPN∽△NHE，得出MP NHPN HE，则NH＝5MP．分不同情况：（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，分别求出t的范围可得出答案．{答案}解：（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），把x＝0，y＝3代入，解得a＝﹣2，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32．（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，化简得（x﹣0.4）2＝0.36，解得x1＝﹣0.2（舍去），x2＝1.∴OD＝1 m．②东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E．由图1可得，当0≤t≤0.3时，h2＝2.2．当0.3＜t≤1.3时，h2＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7．当h1﹣h2＝0时，t＝0.65，东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，设MD＝h1，NF＝h2，当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，∴MD∥NF，PN∥EG，∴∠M＝∠HEN，∠MNP＝∠NEH，∴△MPN∽△NHE，∴MP NHPN HE=，∵PN＝0.5，HE＝2.5，∴NH＝5MP．（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，MP＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣2.2＝﹣2（t﹣0.5）2+0.5，NH＝2.2﹣1.3＝0.9．∴5[﹣2（t﹣0.5）2+0.5]＝0.9，整理得（t﹣0.5）2＝0.16，解得19 10t=（舍去），21 10t=，当0≤t≤0.3时，MP随t的增大而增大，∴13 1010t<≤．（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，MP＝MD﹣NF＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣[﹣2（t﹣0.8）2+2.7]＝﹣1.2t+0.78，NH＝NF﹣HF＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7﹣1.3＝﹣2（t﹣0.8）2+1.4，∴﹣2（t﹣0.8）2+1.4＝5×（﹣1.2t+0.78），整理得t2﹣4.6t+1.89＝0，解得：12328510t+=（舍去），22328510t-=，当0.3＜t≤0.65时，MP随t的增大而减小，∴323285 1010t-<<．（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，h1＜h2，不可能．综上所述，东东在起跳后传球的时间范围为123285 1010t-<<．24．（2020台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h （单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2＝4h（H﹣h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高hcm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b 之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．【分析】（1）将s2＝4h（20﹣h）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），利用因式分解变形即可得出答案；（3）设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）∵s2＝4h（H﹣h），∴当H＝20时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，∴当h＝10时，s2有最大值400，∴当h＝10时，s有最大值20cm．∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；（2）∵s2＝4h（20﹣h），设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），∴20a ﹣a2＝20b ﹣b2，∴a2﹣b2＝20a ﹣20b ，∴（a+b ）（a ﹣b ）＝20（a ﹣b ）， ∴（a ﹣b ）（a+b ﹣20）＝0，∴a ﹣b ＝0，或a+b ﹣20＝0，∴a ＝b 或a+b ＝20； （3）设垫高的高度为m ，则s2＝4h （20+m ﹣h ）＝﹣4(h −20+m 2)2+（20+m ）2，∴当h =20+m 2时，smax ＝20+m ＝20+16，∴m ＝16，此时h =20+m 2=18．∴垫高的高度为16cm ，小孔离水面的竖直距离为18cm ．21．（2020·新疆）某超市销售A 、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比A 款保温杯多10元，用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同． （1）A 、B 两款保温杯的销售单价各是多少元？（2）由于需求量大，A 、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的两倍．若A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ {解析}本题考查了分式方程的应用及利用二次函数求实际问题的最值．（1）利用相等关系“用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同”列分式方程求解．（2）设购进A 款保温杯a 个，再次进化所获全部卖出所获利润为W 元，先列出W 关于a 的函数关系式，再利用函数性质求最大值，从而得到利润最大时进贷方案．{答案}解：（1）设A 款保温杯的销售单价是x 元，根据题意得360x ＝48010x ，解得x ＝30．经检验，x ＝30是分式方程的解．x ＋10＝40．答：A 、B 两款保温杯的销售单价分别是30元，40元．（2）设再次购进a 个A 款保温杯，(120－a)个B 款保温杯，此时所获利润为w 元，则W ＝(30－20)a ＋[40×(1－10%)－20](120－a)＝－6a ＋1 920，∴W 是a 的一次函数．∵－6＜0，∴W 随a 的增大而减小．由题意得a ≥2(120－a)，解得a ≥80．∴当a ＝80时，W 最大，最大为－6×80＋1 920＝1 440（元），此时120－a ＝40．答：购进80个A 款保温杯，40个B 款保温杯才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少1 440元． 24．（2020·黔东南州）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为x （单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x ≤19时，甲商品的日销售量y （单位：件）与销售单价x 之间存在一次函数关系，x 、y 之间的部分数值对应关系如表：请写出当11≤x ≤19时，y 与x 之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w 元，当甲商品的销售单价x （元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？{解析}（1）根据等量关系“购进3件甲商品的花费+购进2件乙商品的花费＝60元；购进2件甲商品的花费+购进3件乙商品的花费＝65元”列二元一次方程组求解．（2）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝k1x+b1，用待定系数法求解．（3）根据“利润＝每件的利润×销售量”列出函数关系式，然后化成顶点式，由二次函数的性质可得答案． {答案}解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a 、b 元/件，由题意得： {3a +2b =602a +3b =65，解得：{a =10b =15．所以甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．（2）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得： {11k 1+b 1=1819k 1+b 1=2，解得：{k 1=−2b 1=40．∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣2x+40（11≤x ≤19）． （3）由题意得： w ＝（﹣2x+40）（x ﹣10）＝﹣2x2+60x ﹣400＝﹣2（x ﹣15）2+50（11≤x ≤19）． ∴当x ＝15时，w 取得最大值50．∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元． 26．（2020·宿迁）2某超市经销一种商品，每千克成本为50元．经试销发现，该种商品每天销售量y （千克）与销售单价（1）求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ {解析}本题考查了一次函数，以及一元二次方程、二次函数的实际应用．{答案}解：（1）设y ＝kx ＋b ，则55706060k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2180k b =-⎧⎨=⎩．∴y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式为y ＝－2x ＋180．（2）由题意得(x －50)(－2x ＋180)＝600，整理，得x2－140x ＋4800＝0，解得 x1＝60，x2＝80．答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元或80元． （3）设当天的销售利润为w 元，则w ＝(x －50)(－2x ＋180)＝－2(x －70)2＋800， ∵－2＜0，∴当x ＝70时，w 最大值＝800．答：当销售单价定为70元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 25．（2020·南京）小明和小丽先后从A 地出发沿同一直道去B 地.设小丽出发第x min 时，小丽、小明离B 地的距离分别为y 1m 、y 2m.y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝－180x ＋2250，y 2与x 之间的函数表达式是y 2＝－10x 2－100x ＋2000.(1)小丽出发时，小明离A 地的距离为________m.(2)小丽出发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？ {解析}(1)当x ＝0时，计算y 1和y 2的差即可；(2)计算函数y 1和y 2的差得到新的函数表达式，结合自变量的取值范围和函数的性质计算最值. {答案}(1)250.(2)设小丽出发第x min 时，两人相距sm ，则 s ＝－180x ＋2250－(－10x 2－100x ＋2000)， 即s ＝－10x 2－80x ＋250，其中，0≤x ≤10.也就是说，当小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m.26．（2020·无锡）有一块矩形地块ABCD ，AB =20米，BC =30米.为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x 米。