全等三角形做辅助线-倍长中线、截长补短教案

八年级上教案《全等三角形辅助线作法》全等三角形常用辅助线作法一、倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。

1、基本模型：（1）△ABC中AD 是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BEA 方式2：间接倍长，作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E ，连接BE方式3： 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CD经典例题例1、（核心母题） 已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.ED F CB A例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA变式练习1、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。

2、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC 的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE。

3、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。

FCAD4、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠。

二、截长补短法截长补短法：若遇到证明线段的和、差、倍、分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线B第 1 题图ABFDEC段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

例1、（核心母题）如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC．例2、已知：如图，ABC∆是等边三角形，120BDCο∠=，求证：AD BD CD=+.AB CD例3、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

A BCDEF三角形全等之倍长中线（讲义）一、知识点睛1．辅助线的定义：为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成虚线．2．辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 3．辅助线的作用：①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转为基本图形． 4．添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试． 5．“三角形全等”辅助线：见中线要___________，_________之后________________． 6．倍长中线的作法：ABCDDCB AM延长AD 到E ，使DE=AD , 延长MD 到E ，使DE=MD ，连接BE 连接CE二、精讲精练1. 如图，AD 为△ABC 的中线．求证：AB +AC >2AD ．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．BADCABC延长FE 交BC 的延长线于点G3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AC =AB ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．A FEBD CAEB DCGE D AF A F EBDCGEDAF6. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，GE ⊥EF ．求证：GF =AG +BF ．7. 如图，在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取一点E ，△FEB 为等腰直角三角形，∠FEB =90°，连接FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】DGAEBFCAF EBGCD【知识点睛】见中线要倍长，倍长之后证全等．【精讲精练】1．证明略（提示：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD）2．证明略（提示：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD）3．证明略（提示：延长CD到点F，使DF=CD，连接BF，证明△BDF≌△ADC，△CBE≌△CBF）4．证明略（提示：延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，证明△ADC≌△MDB）5．证明略（提示：延长EF到点M，使EM=EF，连接BM，证明△CFE≌△BME）6．证明略（提示：延长GE交CB延长线于点M，证明△AEG≌△BEM）7．证明略（提示：延长EG交CD延长线于点M，证明△FGE≌△DGM，再证明三角形EGC是等腰直角三角形）三角形全等之倍长中线每日一题1.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点．求证：AE⊥BE．ADEBC 2.已知：如图，在△ABC中，D为BC边中点，∠BDA=∠BAD，E为BD中点，连接AE．求证：∠C=∠BAE．AE D C3. 已知：如图，△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形，BA ⊥AC ，ED ⊥BD ，垂足分别为点A ，点D ，连接EC ，F 为EC 中点，连接AF ，DF ，猜测AF ，DF 的数量关系和位置关系，并说明理由．FED CA4. 已知：如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上任取一点C （不与点A ，B ，D 重合），分别以AC ，BC 为斜边在AB 同侧作等腰Rt △ACE 与等腰Rt △BCF ，∠AEC =∠CFB =90°，连接DE ，DF ，EF ． 求证：△DEF 为等腰直角三角形．ABCDE F5. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的数量关系，并说明理由．EDCBA【参考答案】1. 证明：延长AE 交BC 的延长线于点F .FADEC B∵AD ∥BC∴∠D =∠DCF ，∠DAE =∠F ∵E 是CD 的中点 ∴DE =CE在△ADE 和△FCE 中=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠D FCE DAE F DE CE ∴△ADE ≌△FCE （AAS ） ∴AD =FC ，AE =FE ∵AB =AD +BC ∴AB =CF +BC =BF 在△ABE 和△FBE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩AB FB BE BE AE FE ∴△ABE ≌△FBE （SSS ） ∴∠ABE =∠FBE =90° 即AE ⊥BE2. 证明：延长AE 到F ，使得EF =AE ，连接DF .FAB CDE∵E 为BD 中点 ∴BE =ED在△ABE 和△FDE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠BE DE BEA DEF AE FE ∴△ABE ≌△FDE （SAS ）∴AB =FD ，∠BAF =∠F ，∠B =∠FDE ∵∠BDA =∠BAD ∴BD =AB ∵D 为BC 边中点 ∴CD =BD =AB =FD ∵∠BDA =∠BAD∴∠ADF =∠BDA +∠FDE ，∠ADC =∠B +∠BAD 即∠ADF =∠ADC 在△FAD 和△CAD 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠FD CD FDA CDA AD AD ∴△FAD ≌△CAD （SAS ） ∴∠F =∠C ∴∠C =∠BAE3. 解：AF ⊥DF ，AF =DF ，理由如下： 延长DF 交AC 于点P .P AD E FC∵BA ⊥AC ，ED ⊥BD ∴∠BAC =∠EDA=90° ∴DE ∥AC ∴∠DEC =∠ECA ∵F 为EC 中点 ∴EF =FC在△EDF 和△CPF 中DEF PCF EFD CFP EF CF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△EDF ≌△CPF （AAS ） ∴DE =CP ，DF=PF∵△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形 ∴AB =AC ，DE=BD ∴AB -BD=AB -DE=AC -CP 即AD =AP在△DAF 和△PAF 中DF PF AF AF AD AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△DAF ≌△PAF （SSS ）∴∠DFA =∠PFA =90°，∠DAF =∠PAF =45° ∴AF ⊥DF ，AF =DF4. 证明：延长ED 到点G ，使得DG =DE ，连接BG ，FGDCAE FB∵D 为线段AB 的中点 ∴AD =BD在△EDA 和△GDB 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ED GD EDA GDB DA DB ∴△EDA ≌△GDB （SAS ） ∴EA =GB ，∠A =∠GBD∵△ACE 与△BCF 是等腰直角三角形∴AE =CE =BG ，CF =FB ，∠A =∠ECA =∠FCB =∠FBC =45° ∴∠ECF =90°，∠FBG =∠FBD +∠GBD =90° 在△ECF 和△GBF 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠EC BG ECF GBF CF BF ∴△ECF ≌△GBF （SAS ） ∴EF =GF ，∠EFC =∠GFB ∵∠CFB =∠CFG +∠GFB =90° ∴∠EFG =∠EFC +∠CFG =90° 在△EFD 和△GFD 中，=⎧⎪=⎨⎪=⎩EF GF FD FD ED GD ∴△EFD ≌△GFD （SSS ）∴∠EDF =∠GDF =90°，∠EFD =∠GFD =45° ∴ED =DF∴△DEF 为等腰直角三角形5. 解：AB =AF +CF ，理由如下： 延长AE 交DF 的延长线于点G .CFEBAD∵E 为BC 边的中点 ∴BE =CE ∵AB ∥DC∴∠B =∠BCG ，∠BAG =∠G 在△ABE 和△GCE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠B GCE BAE G BE CE ∴△ABE ≌△GCE （AAS ） ∴AB =GC ∵∠BAE =∠EAF ∴∠G =∠EAF ∴AF =GF ∵GC = GF +FC ∴AB =AF +CF三角形全等之倍长中线（随堂测试）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是____________________．2. 已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．FEC A【参考答案】1．3<AB<132．证明略（提示：延长AE 到点M ，使EM =AE ，连接DM ， 证明△DME ≌△CAE ）三角形全等之倍长中线（作业）3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =5，AC =3，则中线AD 的取值范围是________________．A4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，若AD =2.7，BE =AE =5，求CE 的长．A B C D EF5. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形．求证：EF =2AD ．EAFCB6. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．AC DEFG7. 如图，在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．BE AFGC D8. 已知：如图，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点，连接CD ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ． 求证：△BCF ≌△CAE ．BC D EF9. 多项式9x 2+1加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．【参考答案】1．1＜AD ＜42．2.3（提示：延长AF 交BC 于点G ，导角证明AE =EG ）3．证明略（提示：延长AD 到点P ，使得AD =PD ，连接CP ，证明△ABD ≌△PCD ，△EAF ≌△PCA ）4．证明略（提示：延长FE 到点H ，使得FE =EH ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，导角）5．证明略（提示：延长EG 交AD 于点P ，连接CE ，CP ） 6．证明略7．5；-1，-9x 2，-6x ，6x ，814x 4三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短：题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠D =∠ABC =∠BAD =90°，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ．求证：EF =BF +DE ．3. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60º，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．F EA B DC21D CA A EBD CO4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD的延长线于点E ．求证：CE =21BD ．5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CE ⊥AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，∠BDC =90°，BD CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】【知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系． 【精讲精练】 1．证明略 提示：方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，然后再证明CE =BD ；ACDEBFCEDA方法二：延长AB到E，使BE=BD，证明△ADE≌△ADC2．证明略提示：延长FB到G，使BG=DE，连接AG，证明△ABG≌△ADE，再证明△AFG≌△AFE）3．证明略提示：在AC上截取AF=AE，连接OF，证明△AEO≌△AFO，∠AOC=120°，再证明△COF≌△COD）4．证明略提示：延长CE交BA的延长线于点F，证明△BEF≌△BEC，得EC=EF，再证明△ACF≌△ABD，得CF=BD）5．证明略提示：方法一：延长BA交CD的延长线交于点H，证明△BDH≌△CDF，得DH=DF，BH=CF，再证明△ADH≌△ADF，得AH=AF；方法二：在CF上截取CH=AB，连接DH，证明△DHC≌△DAB，得DH=DA，CH=BA，∠HDF=∠ADF=45°，再证明△ADF≌△HDF，得AF=HF）三角形全等之截长补短（每日一题） 姓名_________1. 在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ．求证：CD =AB +BD ．DCBA2. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点．求证：AB -AC >PB -PC ．PD A 213. 已知：如图，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠A +∠C =180°．求证：BD =AB +CD ．12A D PN4. 在正方形ABCD 中，点E 在CB 延长线上，点F 在DC 延长线上，∠EAF =45°． 求证：DF =EF +BE ．A BCDEF5. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上任意一点，AF 平分∠DAE ．求证：AE =BE +DF ．FEDCBA【参考答案】1. 证明：如图，在线段DC 上截取DE ，使DE =BD ，连接AE ．∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADE =90° 在△ABD 和△AED 中AD ADADB ADE DB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABD ≌△AED （SAS ） ∴∠B =∠1，AB =AE ∵∠B =2∠C ∴∠1=2∠C∵∠1是△AEC 的一个外角 ∴∠1=∠C +∠2 ∴∠C =∠2 ∴AE =CE∵CD =CE +ED ∴CD =AE +BD ∴CD =AB +BD（如果延长DB 到点F ，使BF =AB ，连接AF 也可进行证明）2. 证明：如图，在线段AB 上截取AE =AC ，连接PE ．则AB -AC =AB -AE =EB 在△AEP 和△ACP 中12AE AC AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩21ABCE12A BCDP∴△AEP ≌△ACP （SAS ） ∴PE =PC在△PEB 中，PB -PE <EB ∴PB -PC <AB -AC 即AB -AC >PB -PC（延长AC 到点F ，使AF =AB ，连接PF ，也可证明结论）3. 证明：如图，在BC 上截取BE =BA ，连接PE ．在△ABP 和△EBP 中12BA BE BP BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△EBP （SAS ） ∴∠A =∠3∵∠A +∠C =180°，∠3+∠4=180° ∴∠4=∠C ∵PD ⊥BC∴∠PDE =∠PDC =90° 在△PDE 和△PDC 中4CPDE PDC PD PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDE ≌△PDC （AAS ） ∴DE =DC ∴BD =BE +ED∴BD =AB +CD （过点P 作PF ⊥BA 于F ，也可进行证明）4. 证明：如图，在DF 上截取DG =BE ，连接AG ．∵四边形ABCD 为正方形∴∠D =∠BAD =∠ABC =90°，AB =AD ∴∠ABE =∠D =90° 在△ABE 和△ADG 中AB AD ABE D BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ADG （SAS ） ∴AG =AE ，∠1=∠2 ∵∠EAF =45°，43ENP D CB A 214321GFED CBA∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° ∴∠GAF =45°=∠EAF 在△EAF 和△GAF 中4AE AG EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△GAF （SAS ） ∴EF =GF ∵DF =GF +DG ∴DF =EF +BE5. 证明：如图，延长EB 到点G ，使BG =DF ，连接AG ．54321GA BC DEF∵四边形ABCD 为正方形∴AB =AD ，∠D =∠ABC =∠BAD =90° ∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADF 中AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADF （SAS ） ∴∠1=∠2，∠5=∠G∵AF 平分∠DAE ∴∠1=∠3 ∵∠1+∠5=90°∴∠3+∠G=90°∵∠1+∠3+∠4=90°∴∠2+∠3+∠4=90°∴∠2+∠4=∠G∴AE=EG=BE+BG∴AE =BE+DF三角形全等之截长补短随堂测试题姓名________6.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC．求证：AB=AD+BC．【参考答案】证明略提示方法一：在AB上截取AF=AD，连接EF，证明△ADE≌△AFE，再证明△BFE ≌△BCE；方法二：延长AE交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△FBE，再证明△ADE ≌△FCE）三角形全等之截长补短（作业）1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．求证：AC=AB+BD．2.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．EDCBACADC3. 如图，在△ABC 中，∠A =100°，∠ABC =40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD至E ，使DE =AD ．求证：BC =AB +CE ．4. 如图，在等边三角形ABC 中，点E ，F 分别在AB ，AC 上，∠EDF =60°，DB =DC ，∠BDC =120°．求证：EF =BE +CF ．5. 多项式16x 2+4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．6. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE =ED =DC ，∠1=∠2，则：①AD 是△ABC 的边_________上的高，也是________的边BD 上的高，还是△ABE 的边___________上的高；②AD 既是_________的边_______上的中线，又是_______边上的高，还是_________的角平分线．7. 已知：如图，AD ∥EF ，BF ∥DG ，∠A =∠B =∠G =35°．求∠EFG 的度数．CDAEB FCE DABAEBDCFE D CA 218. 计算下列各式：（1）-(3a 3b -2ab 3)÷(-ab )-(-a -2b )(-a +2b )-(-2a )2；（2）01122022111()3(3)3()()(3)233----⨯π---⨯+-÷---．【参考答案】1．证明略 提示：方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，再证明CE =BD ； 方法二：延长AB 到E ，使BE =BD ，证明△ADE ≌△ADC 2．证明略提示：在AE 上截取AF =AD ，证明△CDA ≌△CFA ，再证明BE =FE 3．证明略提示：在BC 上截取BF =BA ，连接DF ，证明△ABD ≌△FBD ，再证明△DFC ≌△DEC 4．证明略提示：延长FC 到G ，使CG =BE ，证明△BED ≌△CGD ，得ED =GD ，∠BDE =∠CDG ，再证明△EFD ≌△GFD ，得EF =GF 5．5；16x 4， ±16x ，-4，-16x 2；6．①BC ，△ABD ，BE ； ②△AEC ，EC ，EC ，∠EAC7．略；8．（1。

全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：如图①，在ABC 中，若8AB =，5AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．可以用如下方法：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；（2）问题解决：如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，100BCD ∠=︒，以C 为顶点作一个50︒的角，角的两边分别交AB 、AD 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）31322AD <<；（2）见详解；（3）EF BE DF =+，理由见详解【分析】（1）根据旋转的性质可证明ADC EDB ≅，6,AC BE AD ED ===，在ABE △中根据三角形三边关系即可得出答案；（2）延长FD 至M ，使DF=DM ，连接BM ，EM ，可得出CF BM =，根据垂直平分线的性质可得出EF EM =，利用三角形三边关系即可得出结论；（3）延长AB 至N ，使BN=DF ，连接CN ，可得NBC D ∠=∠，证明NBC FDC ≅，得出,CN CF NCB FCD =∠=∠，利用角的和差关系可推出50ECN ECF ∠=︒=，再证明NCE FCE ≅，得出EN EF =，即可得出结论．【详解】解：（1）∵,,AD ED CD BD ADC BDE ==∠=∠∴ADC EDB ≅∴5,AC BE AD ED ===在ABE △中根据三角形三边关系可得出：AB BE AE AB BE −<<+，即3213AD << ∴31322AD <<故答案为：31322AD <<； （2）延长FD 至M ，使DF=DM ，连接BM ，EM ，同（1）可得出CF BM =，∵,FD MD FD DE =⊥∴EF EM =在BEM △中，BE BM EM +>∴BE CF EF +>；（3）EF BE DF =+，理由如下：延长AB 至N ，使BN=DF ，连接CN ，∵180,180ABC D ABC NBC ∠+∠=︒∠+∠=︒∴NBC D ∠=∠∴NBC FDC ≅∴,CF CN NCB FCD =∠=∠∵100,50BCD FCE ∠=︒∠=︒∴50ECN ECF ∠=︒=∴NCE FCE ≅（SAS ）∴EN EF =∴EF EN BE BN BE DF ==+=+∴EF BE DF =+．【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．例2．（2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC 中，若AB =5，AC =3，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD ，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 干E ，交AD 于F ，且AE =EF ．请判昕AC 与BF 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC=BF ，理由见解析【解析】（1）解：如图，延长AD 到点E ，使DE=AD ，连接BE ，在△ADC 和△EDB 中∵AD DE ADC EDB CD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ）．∴BE=AC=3．∵AB -BE<AE<AB+BE ∵2<AE<8．∵AE=2AD ∴1<AD<4．（2）AC=BF ，理由如下：延长AD 至点G ，使GD=AD ，连接BG ，在△ADC 和△GDB 中，AD DG ADC GDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△GDB （SAS ）．∴BG=AC ，∠G=∠DAC ．．∵AE=EF ∴∠AFE=∠FAE ． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG ∴∠G=∠BFG ∴BG=BF ∴AC=BF ．【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD 到点E ，使DE=AD ，构造全等三角形是解题的关键．例3．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F ，使EF DE =，连接CF ，证明ADE CFE ≌，再证四边形DBCF 是平行四边形即得证．类比迁移：（1）如图2，AD 是ABC 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于点F ，且AE EF =，求证：AC BF =． 小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD 至点M ，使MD FD =，连接MC ，……请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：（2）如图3，在等边ABC 中，D 是射线BC 上一动点（点D 在点C 的右侧），连接AD ．把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，F 是线段BE 的中点，连接DF 、CF ．请你判断线段DF 与AD 的数量关系，并给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2）2AD DF =，证明见解析【分析】(1) 延长AD 至M ，使MD FD =，连接MC ，证明BDF CDM △≌△，结合等角对等边证明即可． (2) 延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，证明(SAS)ABM ACD △≌△，△ABM 是等边三角形，代换后得证．【详解】（1）证明：延长AD 至M ，使MD FD =，连接MC ．在BDF 和CDM V 中，BD CD BDF CDM DF DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BDF CDM △≌△，∴MC BF =，M BFM ∠=∠， ∵AE EF =，∴EAF EFA ∠=∠，∵EFA BFM ∠=∠，∴M MAC ∠=∠，∴AC MC =，∴AC BF =．（2）线段DF 与AD 的数量关系为：2AD DF =．证明如下：延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，如图2所示：∵点F 为BE 的中点，∴BF EF =在BFM 和EFD △中，∵BF EF BFM EFD FM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)BFM EFD △≌△∴BM DE =，MBF DEF ∠=∠，∴BM DE ∥ ∵线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE∴CD DE BM ==，120∠=︒BDE ，∴18012060MBD ∠=−=︒︒︒∵ABC 是等边三角形∵AB AC =，60ABC ACB ∠=∠=︒，∴6060120ABM ABC MBD ∠∠∠︒︒=+=+=︒ ∵180********ACD ACB ∠=︒−∠=︒−︒=︒，∴ABM ACD ∠=∠在ABM 和ACD △中，∵AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABM ACD △≌△∴AM AD =，BAM CAD ∠=∠，∴60MAD MAC CAD MAC BAM BAC ∠∠∠∠∠∠=+=+==︒∴AMD 是等边三角形，∴2==AD DM DF ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．例4．（2022·河南商丘·一模）阅读材料如图1，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接CF ，证明△ADE ≌△CFE ，再证四边形DBCF 是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE ＝EF ，求证：AC ＝BF ． 小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD 至点M ，使MD ＝FD ，连接MC ，……请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC 中，D 是射线BC 上一动点（点D 在点C 的右侧），连接AD ．把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ．F 是线段BE 的中点，连接DF ，CF ．请你判断线段DF 与AD 的数量关系，并给出证明；【答案】(1)见解析(2)线段DF 与AD 的数量关系为：AD ＝2DF ，证明见解析；【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论．（2）运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论．（1）证明：如图，延长AD 至M ，使MD ＝FD ，连接MC ，在△BDF 和△CDM 中，∵BD CD BDF CDM DF DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF ≌△CDM （SAS ），∴MC ＝BF ，∠M ＝∠BFM ，∵AE ＝EF ，∴∠EAF ＝∠EFA ，∵∠EFA＝∠BFM，∴∠M＝∠MAC，∴AC＝MC，∴AC＝BF；（2）解：线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，证明如下：延长DF至点M，使DF＝FM，连接BM、AM，如图所示：∵点F为BE的中点，∴BF＝EF，在△BFM和△EFD中，∵BF EFBFM EFDFM DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFM≌△EFD（SAS），∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，∴BM∥DE，∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABM＝∠ACD，在△ABM和△ACD中，∵AB ACABM ACDBM CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，∴△AMD是等边三角形，∴AD＝DM＝2DF；综合运用相关知识是解题的关键．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

证明举例教案（提高）1)等变换中的“旋转”．2)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．3)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）4)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶常见辅助线的作法有以下几种：．手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60(4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

截长补短法——《全等三角形的专题复习》教案初中数学教师优质课比赛
间思考和讨论，鼓励他们发散
思维，寻找不同的解题思路和
方法．
活动4
小结与作业
教师对本次课程进行小结。

让学生回顾课程内容和收获。

并布置相应的作业，巩固所
学知识和能力．同时，教师应
鼓励学生自主探索，拓展数学
思维，提高数学素养．
本次课程旨在通过“截长补短法”解决线段和问题，培养学
生的数学思维能力和解决问题的能力。

教学任务包括通过观察、操作、归纳等教学活动，积累数学活动经验，感受数学思维过
程的条理性，进一步提高学生的数学思维能力。

同时，通过对
线段和问题的探究，体会辅助线在数学中的作用，学会运用
“截长补短法”作辅助线解决问题。

教学重点是正确的辅助线作
法和运用截长补短法解决线段和问题，难点在于如何应用规律，巩固知识。

教学过程包括竞赛活动复旧知、思考问题初步体会截长补短法解决线段和问题、应用规律巩固知识和小结与作业。

在活动中，教师应引导学生发散思维，寻找不同的解题思路和方法，鼓励学生自主探索，拓展数学思维，提高数学素养。

倍长中线与截长补短互动精讲知识点一、倍长中线【知识梳理】△ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长，延长MD到N，使DN=MD，连接CN方式3：同时向中线作垂线，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE【例题精讲】例1、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

例2、已知：如图，在ABCDF//AB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BA ∆中，AC∠交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC【课堂练习】1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC 于F，求证：AF＝EF。

2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小.ED F CBA知识点二、截长补短【知识梳理】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

【例题精讲】例1、如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD例2、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.【课堂练习】1、（1）如图1-1，△ABC 中，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于D ，且AB+BD=DC ，则∠C=__20°．（2）如图1-2，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别是边BC 、CD 上的点，连接PQ ．若△CPQ的周长是2，则∠PAQ=___________．图1-1 图1-2课堂检测1、如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．D C B AA B C DP QADB C2、已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE课后作业1、已知：△ABC中，AB=4cm ，BC=6cm ，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围是。

第六讲 全等三角形辅助线之倍长中线与截长补短一、全等三角形知识点复习 1．判定和性质② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3、当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS 找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

因此我们可以来采取逆思维的方式。

来想要证全等，则需要什么条件另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。

倍长中线专题初中阶段三角形有三条重要的、也是最基本的线段：三角形的高线、中线、角平分线。

三种线段各有其重要信息反馈，就中线而言，它具有的功能：①必有相等的线段②必有相等的面积③必有倍长中线构成全等。

本专题只讨论倍长中线的问题。

【基本原理】：如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至E点，使DE＝AD，得到△ADC≌△EDB。

口诀：图形有中线，倍长延中线，连接另一端，全等尽呈现。

【模型实例】：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F 点，AF=EF ，求证：AC=BE证明： 如图所示。

延长AD 至G 点，使DG=AD ，连接BG 。

在△ADC 与△GDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD BD GDB ADC GD AD∴△ADC ≌△GDB∴BG =AC ，∠1=∠G又因为AF=EF∴∠1=∠2=∠3∴∠3=∠G∴BG=BE （等角对等边）∴AC=BE②证全等①作倍长中线 ③列出需要用的结果④转化替代 ⑤得出结果【练习1】：如图，在在△ABC中，D为BC的中点，求证：AD+>AB2AC【练习2】：如图，在△ABC中，D为B C的中点,且AD是角平分线。

求证：AB=AC【练习3】：AD是△ABC的中线，分别以AB边、AC边为直角边向外作等腰直角三角形，求证：EF=2AD【练习4】：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于F点。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。

截长补短专题要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采用“截长补短”法。

①截长法：把较长的线段截取一段等于两较短线中的一条；②补短法：把两条较短的线段补成一条，再证与长线段相等。

【模型实例】：如图，△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C。

求证：AC=AB+BD 方法一：截长(利用角平分线构建全等三角形)分析：如图，在AC上截AE=AB，连接DE。

..教学过程一、复习预习全等三角形的判定定理：1、SSS：三边对应相等的两个三角形全等2、SAS：两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等3、AAS：两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4、ASA：两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等5、HL：在直角三角形中，直角边与斜边对应相等的两个三角形全等.. ..二、知识讲解考点1遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．..考点2截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．... 三、例题精析【例题1】【题干】已知：如图3所示，AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。

AB CDE3.【答案】证明：延长AD至E，使DE=AD，连接EC∵AD是中线∴DC=DB∵DE=AD，∠CDE=∠BDA，DC=DB∴△CDE≌△BDA∴CE=AB在△AEC中CE+AC>AE，CE=AB..∴AB+AC>AE∵DE=AD∴AE=2AD∵AB+AC>AE∴AB+AC>2AD【解析】分析：要证AB+AC>2AD，由图形想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

..【例题2】【题干】已知：如图1所示，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。

求证：BE+CF>EF。

...ABCDE FN1图1234.【答案】证明：在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC在△DEB和△DNE中DN=DB∠1=∠2DE=DE∴△DEB≌△DNE（SAS）∴BE=NE同理可得：CF=NF..在△EFN中，EN+FN>EF∴BE+CF>EF【解析】分析：要证BE+CF>EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

“截长补短”全等法教学目标：1、通过观察、操作、归纳等教学活动，积累数学活动经验。

感受数学思维过程的条理性，进一步提高学生的数学思维能力。

2、掌握运用截长补短的方法构造全等三角形，来解决线段的和差问题，体会辅助线在数学中的作用。

3、培养学生积极主动参与学习数学活动的意识，增强学好数学的信心，培养学生与他人合作交流的意识和能力。

教学重点：掌握运用截长补短的方法解决线段的和差问题。

教学难点：正确添加辅助线。

教学流程：一．导入: 开门见山，直接导入新课。

（板书课题）学习完全等三角形的判定之后，往往遇到求证线段相等或角度相等的问题，我们都转化成三角形全等的问题。

但是有的时候并不是让我们证明两条线段相等，而是证明线段之间的和差关系。

遇到这样的问题我们会发现直接证明全等无法完成或比较麻烦，那这样的问题有没有更好的解决办法呢？当然有，这节课我们就一起来探究全等三角形中非常重要的添加辅助线的方法------截长补短全等法。

截长补短是如何在实际问题中应用的呢？下面我们就结合例题研究一下。

二．活动流程：（一）截长补短法1.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC 。

求证：AC=AB+BD.师：直接使用全等，能证出来吗？这时候我们的法宝“截长补短”就发挥作用了。

截长：在长的线段中截取出一条短线段一样长的线段构造出全等三角形，再证明出剩下的线段等于另一条较短的线段。

通过全等完成相等线段的转移。

补短：就是把其中一条较短的线段补成和长的线段同样长的线段，进而得出线段和差关系。

学生动手操作尝试：（1）截长AC上截取AE=AB（2）补短：延长AB至F，使BF=BD,连接FB（3）补短：延长BD至F,使BF=AB,连接AF.（本次活动设置两种解决问题的方法，主要是让学生很容易的想到要一题多解，让学生轻松的进入本节课的课题探究。

）（二）截长法2. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．（三）补短法3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ．求证：EF =BF +DE ．4.综合应用： 已知：如图，AE //BC ，AD 、BD 分别是∠EAB 、∠CBA 的平分线，相交于点D ，过点D 的直线EC 交AE 于点E ，交BC 于点C . 求证：AE +BC =AB.三．总结师：无论截长还是补短，都是为了构造全等三角形，进而完成线段和角的转移，得出我们想要的结论，解决问题中到底是选择截长还是补短，这就需要同学们自己去尝试。

《动态数学思维》教案教材版本：人教版学校：第一课时复备内容及讨论记录教学过程师引导学生复习全等三角形的判断方法.播放导入师引导学生说说直角三角形全等的判断方法:生：边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边定理.师可以根据学生的情况，让学生完成下面这道题：如图，已知∠B=∠F=90°，若添加两个条件，判定R t△ABC≌R t△DFE,可添加的条件有哪些？利用了什么定理？生分组讨论，看看哪组说的最多，其他同学补充.提示：（1）若AB=DF，∠A=∠D，利用ASA可判定Rt△ABC≌Rt△DFE，（2）若AB=DF，∠C=∠E，利用AAS可判定Rt△ABC≌Rt△DFE，（3）若AC=DE，∠C=∠E，利用AAS可判定Rt△ABC≌Rt△DFE，（4）若AC=DE，∠A=∠D，利用AAS可判定Rt△ABC≌Rt△DFE，（5）若AC=DE，AB=DF，利用HL可判定Rt△ABC≌Rt△DFE，（6）若AC=DE，BC=FE，利用HL可判定Rt△ABC≌Rt△DFE.(二)教学探究教学例1：课件出示例1：例1 （1）如图（1），已知AC=AD，请你添加一个条件，使得△ABC≌△ABD.（2）如图（1），已知∠C=∠D，请你添加一个条件，使得△ABC≌△ABD.（3）如图（1），已知∠CAB=∠DAB，请你添加一个条件，使得△ABC≌△ABD.（4）如图（2），已知∠B=∠C，请你添加一个条件，使得△ABE≌△ACD.(1) （2）1.此类开放性问题一般需要经过探索确定结论或者补全条件，将开放性问题转化为封闭型问题，再选择合适的解题途径完成最后的解答.注意寻找题中隐含的条件.2.学生独立完成，然后师指定程度较弱的学生说，其他同学补充.3.小结：三角形全等的基本思路：（题目中找，图形中看）SASHL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角1.已知两边找直角找另一边2.1AASASA2AASSAS →→→⎧⎪→⎨⎪→⎩已知一边一角，（）边为角的对边任找一角找这条边上的另一角（）边为角的一条边找这条边的对角找该角的另一边()ASA AAS⎧→⎪⎨⎪→⎩找两角的夹边3.已知两角找一边非公共边答案：（1）BC =BD （∠BAC =∠BAD ） （2）∠ABC =∠ABD （∠BAC =∠BAD ） （3）AC =AD （∠ABC =∠ABD 或∠C =∠D ） （4）AB =AC （AD =AE 或BE =DC ） 学生独立完成类似性问题1探究类型二 运用全等三角形证明线段相等或直线垂直、平行师：如果我们知道三角形全等，根据全等三角形的性质我们就知道线段相等，角相等，那么我们就可以利用全等三角形证明线段相等，和角相等.课件出示例2：例2 如图，已知R t△ABC≌R t△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC 与DE相交于点F，连接CD,EB.（1）图中还有几对全等三角形？请你一一列举；（2）求证：CF=EF.1.师：从题目所给信息中，你能得到什么结论呢？生：根据两个三角形全等，能知道AC=AE，AB=AD，∠CAB=∠EAD……师：那么根据哪些条件你能判断出哪些三角形是全等的吗？你能说出你的理由吗？2.指定学生说说全等三角形并说说根据,其他同学指出错误并更正.生：根据SAS证△ADC≌△ABE, 根据AAS证△CDF≌△EBF……3.师：如何证明CF=EF？生：利用三角形全等来证明.师：我们要证哪两个三角形全等呢？生独立完成，然后指定学生说说自己的解题思路：4.指定学生说说自己的解题思路：生1：证明△CDF≌△EBF，再证明△ADC≌△ABE.生2：由R t△ABC≌R t△ADE得CD=EB，要想证明CF=EF，可以先证DF=BF，可以连接AF，再证明R t△ABF≌R t△ADF.答案：解：（1）△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF.（2）证明：∵R t△ABC≌R t△ADE,∴AC=AE,AB=AD,∠CAB=∠EAD,∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB,即∠CAD=∠EAB,∴△ACD≌△AEB(S A S),∴CD=EB,∠ADC=∠ABE.又∵∠ADE=∠ABC,∴∠CDF=∠EBF.又∵∠DFC=∠BFE,∴△CDF≌△EBF(AA S),∴CF=EF.探究类型之三加倍折半法证明倍分关系课件出示例3：例3 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC 中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（）A.SSSB.SASC.AASD.HL（2）求得AD的取值范围是（）A.6＜AD＜8B.6≤AD≤8C.1＜AD＜7D.1≤AD≤71.学生根据题意独立完成作图，然后找学生说说（1）的答案.2.师：知道三角形全等了，我们要怎么求AD的取值范围呢？生独立思考，然后指定学生说说.生：由△ADC≌△EDB知AC=BE=6，AD=DE, AE=2AD.在△ABE中，由三角形三边关系定理得AB-BE＜AE＜AB+BE8-6＜2AD＜8+6, 1＜AD＜7.3.学生分组讨论，并思考小明这样的做理由，然后指定小组汇报. 提示：证明不等关系，构造全等三角形将不在同一三角形的三条线并说一说自己获得得信息，帮助学生理解题如图，延长ED到G使DG=ED，连接CG，FG.在△BED和△CGD中，BD=CD，∠BDE=∠CDG，DG=ED，∴△BED≌△CGD，∴CG=BE.∵DE⊥DF，∴∠EDF=∠GDF.在△EFD和△GFD中，FD=FD，∠EDF=∠GDF，ED = DG，∴△EFD≌△GFD，∴EF=FG，在△FCG中，FC+CG＞FG，∴BE+CF＞EF．（三）课堂总结：1.利用全等三角形证明线段相等和角相等，进而可证明垂直或平行.2.一般的如果出现中线时，将中线延长，使延长的线段等于中线的长，可以构造全等三角形解决问题.此种解决问题的方法称之为倍长中线（线段）法．第二课时复备内容及讨论记录教学过程师：上节课，我们证明线段相等，介绍了利用倍长中线构造全等三角形，那么现在让我们来看看什么时候倍长中线呢？生：（1）已知三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形；（2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形.师：让我们来看看下面这道题要怎么做呢？探究类型四利用截长补短法解决有关两条线段的和或差的问题课件出示例4：例4 如图，在△ABC中，∠ABC=60°,AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，且相交于点O.求证：AC=AE+CD.1.师引导学生分析:师：通过仔细审题，题中只是告诉我们一些与角有关条件，那么我们怎么求线段和呢？学生可能没有接触过，是适当提示学生用截长补短的方法，并详细的跟学生讲解什么是截长补短？师重点介绍如何截长补短：截长法即在较长线段上截取一段等于两条较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一条较短线段；所谓补短，即把两条短线段补成一条线段，再证这条线段与长线段相等.2.师：那对于这道题是采用截长还是补短呢？学生分组讨论，提示学生可以参考思维导引，3.找同学代表汇报讨论结果，其他学生指正、补充.生1：利用截长法来做，在AC上截取AF=AE.连接OF.只要证明CD=CF.生2：利用截长法来做，在AC上截取CD=CF.连接OF.只要证明AF=AE.4.学生独立完成，然后师指定学生课下研究是否可以利用补短法来做.5.拓展时也可以根据学生的情况来补充讲解下面这道题：拓展延伸：（此题也可以在例4之前讲解）如图，在△ABC中，∠B=2∠C,∠BAC的平分线AD交BC于D.求证：AB+BD=AC.1.学生独立用截长的方法做，然后指定学生讲解.学生尝试用补短的方法思考，最后师讲解.2.学生独立证明延长DB至E,使BE=BA,然后指定学生说说自己的答案.答案：证明：在AC上截取AE=BD,连接DE,如图.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2.在△ABD和△AED中,AB=AE,∠1=∠2,AD=AD,∴△ABD≌△AED.∴∠B=∠3,BD=DE,又∵∠B=2∠C,∠3=∠4+∠C,∴∠C=∠4.∴DE=CE.∴AC= AE+EC= AB+BD.方法2：补短：延长AB至E,使BE=BD，如图.下一步：通过证明△AED≌△ACD证AE=AC.(△AED和△ACD填充颜色)答案：证明：延长AB至E,使BE=BD，如图.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2.又∵∠ABD=2∠C,∠ABD =∠3+∠E,∴∠C=∠E.∴BE=BD.在△AED和△ACD中,∠E =∠C,∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD.∴AE = AC,即AE=AB+BE=AB+BD.探究类型之五与三角形全等有关的探究型问题课件出示例5例5 如图所示，在R t△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.1. 师：从图上能直接看出这两条边之间的数量和位置上的关系吗？生：BE=EC，位置关系是垂直.师：说的非常好，那我们怎么证明？同桌之间相互交流.2.学生独立思路，同桌之间相互交流，说说自己的解题思路.生：证明△EAB≌△EDC.3.生独立完成，然后指定学生讲解.答案:解：BE=EC，BE⊥EC .理由：∵AC=2AB，点D是AC的中点,∴AB=AD=CD.∵∠EAD=∠EDA=45°,∴∠EAB=∠EDC=135°.又∵EA=ED,∴△EAB≌△EDC,∴∠AEB=∠DEC，EB=EC.∴∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED,∴∠BEC=∠AED=90°,∴BE=EC，BE⊥EC.巩固拓展学生独立完成类似性问题1,2,3,这三道题相对简单，对于第2题学生尽可能的找出多种可能，然后指定程度较差的学生讲解，其他同学指出错误并更正.课堂总结添加辅助线构造全等的方法：1.在求线段的和差关系时，会采用“截长补短法”；2.倍长中线：（1）已知三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形；（2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形.倍长中线造“8”字形，出全等有平行3.遇见角平分线经常做辅助线的方法：根据对称的思想，构造全等三角形本讲教材及练习册答案：类似性问题1. D2.解：情况一：已知条件：①②③；结论：④．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,∴△ABC≌△DEF（S A S），∴∠1=∠2；情况二：已知条件：①③④；结论：②．证明：在△ABC和△DEF中，∵∠B=∠E,∠1=∠2，AB=DE,∴△ABC≌△DEF（AA S），∴BC=EF，∴BC-FC=EF-FC，即BF=EC；情况三：已知条件：②③④；结论：①．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BC=EF，∠1=∠2，∴△ABC≌△DEF（A S A），∴AB=DE．3. 解：（1）证明：∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在R t△ABE和R t△CBF中,∵AE=CF, AB=BC,∴R t△ABE≌R t△CBF(H L).(2)∵AB=BC, ∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由（1）知R t△ABE≌R t△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°,∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.练习册答案：1.C2. D3.①②④4.AC=DC(答案不唯一)5.7 解析：因为AB=BC≠AC,所以等腰△ABC中，边AB和BC为腰，AC为底边，以AB和BC为公共边且与△ABC全等的三角形各有3个，以AC为公共边且与△ABC全等的三角形只有1个，故共有7个.6.解：如图，连接BC.∵BD=CE，CD=BE，BC=CB，∴△DBC≌△ECB（SSS），∴∠DBC=∠ECB，∴AB=AC.7.证明：（1）∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠CDF=∠BEF=90°.又∵∠BFE=∠CFD,∴∠ABP=∠QCA.又∵AB=QC,BP=AC，∴△ABP≌△QCA,∴AP=AQ.（2）由（1）知△ABP≌△QCA,∴∠QAC=∠APB.又∵∠APB+∠P AD=90°,∴∠QAC+∠P AD=90°,∴∠QAP=90°，即AP⊥AQ.8.解：（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．②由①知△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE,∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE．（3）当MN旋转到图4-6（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE）．∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．。