【精品】2021届人教A版理科数学课时试题含解析(6)二次函数

第六节 二次函数一、基础知识考点一 求二次函数的解析式[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[题组训练]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.2．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有 f (2－x )＝f (2＋x )，则函数的解析式f (x )＝____________.考点二 二次函数的图象与性质考法(一) 二次函数图象的识别[典例] 若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )考法(二) 二次函数的单调性与最值问题[典例] (1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．(2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题[典例] (1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．[题组训练]1．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( )A.54B ．1或54C ．－1或54D ．－5或542．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0,4]B.⎣⎡⎦⎤32，4C.⎣⎡⎦⎤32，3D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 3．已知函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．[课时跟踪检测]1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( )A ．2,4B ．－2,4C ．2，－4D ．－2，－42．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－23．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝05．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．8．y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________．9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．第六节 二次函数(答案)一、基础知识1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．二次函数的图象与性质 二次函数系数的特征(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，系数a 的正负决定图象的开口方向及开口大小；(2)－b 2a的值决定图象对称轴的位置；(3)c 的取值决定图象与y 轴的交点； (4)b 2－4ac 的正负决定图象与x 轴的交点个数． 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象定义域(－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a 单调性 在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上单调递增；在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递减 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a 对称性图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形二、常用结论 1．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”．(2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”．2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，闭区间为[m ，n ]．(1)当－b 2a≤m 时，最小值为f (m )，最大值为f (n )； (2)当m <－b 2a ≤m ＋n 2时，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，最大值为f (n )； (3)当m ＋n 2<－b 2a ≤n 时，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，最大值为f (m )；(4)当－b 2a>n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )．考点一 求二次函数的解析式求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同.[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一：利用二次函数的一般式: 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二：利用二次函数的顶点式 设f (x )＝a (x －m )2＋n .∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：利用零点式 由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a＝8. 解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.[题组训练] 1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________. 解析：法一：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧－b 2a ＝－2，4ac －b 24a ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59. 法三：设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1，将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.答案：19x 2＋49x －592．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有 f (2－x )＝f (2＋x )，则函数的解析式f (x )＝____________.解析：∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象经过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.答案：x 2－4x ＋3考点二 二次函数的图象与性质考法(一) 二次函数图象的识别 [典例] 若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )[解析] 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以a <0，b <0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x ＝－b 2a<0，只有选项C 适合．[答案] C 考法(二) 二次函数的单调性与最值问题[典例] (1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．(2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________． [解析] (1)函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1.当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)． 当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.(2)依题意a ≠0，二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，因为函数f (x )在区间[0,1]上单调递减，所以a >0，即函数图象的开口向上，所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.[答案] (1)－1或2 (2)[0,2][解题技法] 1．二次函数最值问题的类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．2．二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题 [典例] (1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．[解析] (1)作出二次函数f (x )的草图如图所示，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. (2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫－22，0 (2)(－∞，1) [解题技法] 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[题组训练]1．(2019·杭州模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( ) A.54 B ．1或54 C ．－1或54 D ．－5或54解析：选D f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，对称轴为直线x ＝a 2. ①当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴f (x )max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a ＝±1(舍去)．②当0<a 2<1，即0<a <2时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54.③当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2. 令－4a －a 2＝－5，得a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或－5. 2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎦⎤32，3 D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析：选C y ＝x 2－3x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎡⎦⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3，故选C. 3．已知函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．解析：令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以a 的最大值为2.答案：2[课时跟踪检测]1．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( ) A ．2,4 B ．－2,4 C ．2，－4 D ．－2，－4解析：选C ∵y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴是x ＝1，∴－b 2a＝1. ① 又图象过点P (－1,7)，∴a －b ＋1＝7，即a －b ＝6. ②由①②可得a ＝2，b ＝－4.2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－2 解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0,1]上单调递增，则当x ＝0时，f (x )的最小值为f (0)＝a ＝－2.3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C 若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b 2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故可排除B. 4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：选A 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b 2a＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2.6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0)，方程a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝2 －49a＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40.答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋40 8．(2018·浙江名校协作体考试)y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________． 解析：当a ＝0时，y ＝4x －1，值域为[0，＋∞)，满足条件；当a ≠0时，要使y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，Δ＝16－8a (a －1)≥0，解得0<a ≤2.综上，0≤a ≤2. 答案：[0,2] 9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．解：函数f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a 2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论．(1)当a <－2时，由图①可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)．(2)当－2≤a ≤2时，由图②可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24. (3)当a >2时，由图③可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1.综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)，a <－2，a 24，－2≤a ≤2，a －1，a >2.10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1,1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1,1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1,1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54，因为g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．。

第5讲 对数与对数函数一、选择题1．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <c <aB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析 由题知，a ＝log 45>1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c <b <a .答案 D 2．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lgx ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋11－x＜1， ∴－1＜x ＜0. 答案 A3．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )． A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析 由于y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a 24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，故选C. 答案 C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是 ( )．解析 由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0<a <1，0<b <1.则g (x )＝a x ＋b 的图象由y ＝a x 的图象沿y 轴向上平移b 个单位而得到，故选B. 答案 B5．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为( )．A ．(0,1)∪(1,3)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23)解析 “对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f (x )有意义”．事实上由于g (x )＝x 2－ax ＋3在x ≤a2时递减，从而⎩⎨⎧a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为(1,23)．故选D.答案 D6．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )． A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 作出函数f (x )＝|lg x |的图象，由f (a )＝f (b )，0<a <b 知0<a <1<b ，－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，由函数y ＝x ＋2x 的单调性可知，当0<x <1时，函数单调递减，∴a ＋2b ＝a ＋2a >3.故选C. 答案 C 二、填空题。

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高考数学复习二次函数测试题1．解析式、待定系数法若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11），则A ．1,4,11a b c ==-=-B ．3,12,11a b c ===C ．3,6,11a b c ==-=D ．3,12,11a b c ==-=变式2:若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称,则c =_______．变式3:若二次函数()2f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠），则122x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2b a -B ．ba - C ． c D ．244acb a-变式2：函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是A．()()()110f f f <-<B ．()()()011f f f <-<C．()()()101f f f <<-D ．()()()101f f f -<<变式3：已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示，xyO请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．单调性已知函数()22f x x x =-,()()22[2,4]g x x x x =-∈．(1）求()f x ,()g x 的单调区间;(2) 求()f x ，()g x 的最小值．变式1:已知函数()242f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是 A ．3a ≥ B ．3a ≤ C ．3a <- D ．3a ≤-变式2：已知函数()()215f x x a x =--+在区间（错误!，1）上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．4．最值已知函数()22f x x x =-,()()22[2,4]g x x x x =-∈．（1）求()f x ，()g x 的单调区间；(2） 求()f x ,()g x 的最小值．变式1：已知函数()223f x x x =-+在区间［0,m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A ．[)1,+∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．(),2-∞变式2：若函数y =M ，最小值为m ，则M + m 的值等于________． 变式3：已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间［0,2］上的最小值为3,求a 的值．5．奇偶性已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像,并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是 A ．增函数 B ．减函数 C ．常数 D ．可能是增函数，也可能是常数 变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________． 变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．（I ）讨论)(x f 的奇偶性；（II ）求)(x f 的最小值．6．图像变换已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；（2)求函数的单调区间；（3)求函数的最大值和最小值． 变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间． 变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；② 当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x =1对称； ③ 若02≤-b a ，则)(x f 在区间［a ，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a -．其中正确的序号是________．③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题: ①当c =0时,)(x f y =是奇函数；②当b =0，c 〉0时，方程0)(=x f 只有一个实根;③)(x f y =的图象关于点（0，c ）对称;④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为 ．7．值域求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域: (1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤;(2） 定义域为[]2,1-． 变式1：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A ．⎡-⎢⎣⎦B ．()20,4-C ．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ． 920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 变式2:函数y =cos2x +sin x 的值域是__________．变式3：已知二次函数 f (x ) = a x 2+ bx (a 、b 为常数,且 a ≠ 0)，满足条件 f （1 +x ） = f (1－x ）,且方程 f （x ） = x 有等根．(1）求 f （x ） 的解析式;（2）是否存在实数 m 、n （m 〈 n ），使 f （x ) 的定义域和值域分别为 ［m ,n ] 和 ［3m ，3n ]，如果存在，求出 m 、n 的值，如果不存在,说明理由．8．恒成立问题当,,a b c 具有什么关系时,二次函数()2f x ax bx c =++的函数值恒大于零？恒小于零？ 变式1:已知函数 f （x ) = lg (a x 2+ 2x + 1) ．(I)若函数 f (x ） 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； (II ）若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围．变式2：已知函数2()3f x x ax a =++-,若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 变式3：若f (x ) = x 2+ bx + c ,不论 、 为何实数,恒有 f (sin )≥0，f （2+ cos）≤0．(I ） 求证:b + c = －1; （II) 求证： c ≥3;（III) 若函数 f (sin ） 的最大值为 8,求 b 、c 的值．9．根与系数关系右图是二次函数()2f x ax bx c =++的图像，它与xy轴交于点()1,0x 和()2,0x ，试确定,,a b c 以及12x x ,12x x +的符号．变式1：二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为变式2：直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=23,m +-23:323C y x mx m =+--中至少有一条相交，则m 的取值范围是．变式3：对于函数 f （x )，若存在 x 0R ，使 f (x 0) = x 0 成立，则称 x 0 为 f (x ） 的不动点．如果函数 f (x ) = a x 2+ bx + 1（a 〉 0）有两个相异的不动点 x 1、x 2．(I ）若 x 1 < 1 < x 2，且 f (x ） 的图象关于直线 x = m 对称，求证m 〉 错误!； (II ）若 | x 1 | < 2 且 | x 1－x 2 ｜ = 2，求 b 的取值范围．D ．C ．xyO xyO OO xyxyA ．B ．10．应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶;若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？变式1：在抛物线()2f x x ax =-+与x 轴所围成图形的内接矩形（一边在x 轴上)中(如图），求周长最长的内接矩形两边之比,其中a 是正实数．变式2：某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元)(1) 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；BCxyDO A(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？变式3：设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g （a ) ．（Ⅰ）求g （a ）；（Ⅱ）试求满足)1()(ag a g =的所有实数a ．。

【人教版】中考数学精选真题专题1 图形的变换、视图与投影学校：___________姓名：___________班级：___________1.【浙江省杭州市中考模拟】下列图形中，中心对称图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C.【解析】考点：中心对称图形．2.【黑龙江哈尔滨中考数学试卷】如图所示的几何体是由五个小正方形体组合而成的，它的主视图是（）A B C D【答案】A【解析】试题分析：根据三视图的法则可得：下面为3个着呢刚放学，上面为一个正方形.故选A.考点：三视图.3．【辽宁辽阳中考数学试卷】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）【答案】C．【解析】试题分析：如图所示：P点即为所求，故P点坐标为：（﹣3，2）．故选C．考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．4.【山东省济南市中考二模】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（-y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，…．例如：点A1的坐标为（3，1），则点A2的坐标为（0，4），…；若点A1的坐标为（a，b），则点A2015的坐标为（）A.（-b+1，a+1） B．（-a，-b+2） C．（b-1，-a+1） D．（a，b）【答案】B.【解析】∵2015÷4=503余3，∴点A2015的坐标与A3的坐标相同，为（-a，-b+2）；故选B．考点：规律型：点的坐标．5.【辽宁辽阳中考数学试题】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为．【答案】（0，94 ）．【解析】考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．坐标与图形性质．6.【黑龙江牡丹江中考数学试题】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是个．【答案】7.【解析】试题分析：根据几何体的主视图，在俯视图上表示出正确的数字，并进行验证，如图：则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2=7（个）．考点：由三视图判断几何体．7.【山西省吕梁市孝义市中考一模】如图，四边形ABCD为矩形，AB=6，BC=8，E为AB的中点，将矩形ABCD折叠，使得点D与点E重合，折痕为MN，则折痕MN的长度为．【答案】21973 584【解析】解得：MN=21973，考点：翻折变换（折叠问题）8.【广东省广大附中中考一模】在直角坐标系中，一直线a向下平移3个单位后所得直线b经过点A（0，3），将直线b绕点A顺时针旋转60°后所得直线经过点B（-3，0），则直线a的函数关系式为．【答案】y=-3x+6．【解析】考点：一次函数图象与几何变换．9．【安徽省合肥市蜀山区中考一模】如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及△A1B1C1及△A2B2C2；（1）若点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3），请画出平面直角坐标系并指出点B的坐标；（2）画出△ABC关于y轴对称再向上平移1个单位后的图形△A1B1C1；（3）以图中的点D为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．【答案】（1）图形见解析，B（﹣4，2）；（2）图形见解析；（3）图形见解析.【解析】试题解析：（1）如图所示，B（﹣4，2）；（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；（3）如图所示：△A2B2C2即为所求．考点：1.轴对称变换；2.平移变换；3.位似变换.10.【辽宁抚顺中考数学试题】（湖南益阳）（12分）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．【答案】（1）90°；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题解析：（1）由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2，∵α=90°，∴△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形，∴∠APP1=∠BPP2=45°，∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°；（2）由旋转的性质可知△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣12α，∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90°－12α）=α，在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α，又∵∠PP2P1=∠AP2P，∴△P2P1P∽△P2PA．（3）如图，连接QB，∵l1，l2分别为PB，P2B的中垂线，∴EB=12BP，FB=12BP2，又BP=BP2，∴EB=FB，在Rt△QBE和Rt△QBF中，，∴Rt△QBE≌Rt△QBF，∴∠QBE=∠QBF=12∠PBP2=12α，由中垂线性质得：QP=QB，∴∠QPB=∠QBE=12α，由（2）知∠APP1=90°﹣12α，∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣12α）－12α=90°，即 P1P⊥PQ．考点：几何变换综合题.专题2 二次函数应用学校：___________姓名：___________班级：___________1.【贵州铜仁中考数学试卷】河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m【答案】C.【解析】考点：点的坐标的求法及二次函数的实际应用．2.【河北省石家庄市长安区中考模拟】便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A.20 B．1508 C．1550 D．1558【答案】D．【解析】试题分析：∵一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，且15≤x≤22，∴当x=20时，y最大值=1558．考点：二次函数的最值．3.【浙江金华中考数学试卷】图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线16)80(40012+--=x y ，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．40916米 B ．417米 C ．40716米 D ．415米 【答案】B ． 【解析】考点：二次函数的应用．4．【江苏省苏州市青云中学九年级第二次模拟】平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看做抛物线，如图建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为2331612++-=x x y ，绳子甩到最高处时刚好通过站在点（2，0）处的小明的头顶，则小明的身高为（ ）A ．1．5mB ．1．625mC ．1．66mD ．1．67m 【答案】A试题分析：当x=2时，y=－61×4+13232=1．5m ． 考点：二次函数的性质．5.【浙江温州中考数学试题】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门。

专题07 二次函数综合问题一．考情分析二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，千变万化，但又是基础的基础，万变不离宗。

所以二次函数也是高中学习的重要基础．与其他知识交汇的最值问题以及恒成立问题是目前高考中最基础的两个考试方向。

复合函数也越来越重要。

所以二次函数的学习，都显示的特别重要。

二．经验分享1.二次函数解析式的三种形式：①一般式方程：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).②顶点式方程：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). ③零点式方程：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.2.二次函数的图象和性质 解析式y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称最值当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；函数取最小值y ＝244ac b a-．当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a；函数取最大值y ＝244ac b a-．3.恒成立问题①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩（或00a <⎧⎨∆<⎩）； ②.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

三、题型分析（一）二次函数之恒成立与存在性问题例1 已知函数().222m mx x x f -+-=（1）若不等式()mx x f -≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围;（2）记(){},10,≤≤==x x f y y A 且[)，，∞+⊆0A 求实数m 的最大值。

2021中考数学专题训练——二次函数（解析版）考点一二次函数解析式1.(2018杭州,9,3分)四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数),甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是 ()A.甲B.乙C.丙D.丁答案 B假设甲和丙发现的结论正确,则 解得 ∴该函数的解析式为y=x2-2x+4.若-1是方程x2+bx+c=0的一个根,则x=-1是函数y=x2+bx+c的一个零点,当x=-1时,y=x2-2x+4=7≠0,∴乙发现的结论不正确.当x=2时,y=x2-2x+4=4,∴丁发现的结论正确.∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的,∴假设成立.故选B.2.(2017绍兴,8,4分)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使纸上的点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使纸上的点与点C重合,则此时抛物线的函数表达式变为 ()A.y=x2+8x+14B.y=x2-8x+14C.y=x2+4x+3D.y=x2-4x+3答案 A如图, A(2,1),则可得C(-2,-1).一点从A(2,1)平移到C(-2,-1),需要向左平移4个单位,向下平移2个单位,则所求表达式为y=(x+4)2-2=x2+8x+14,故选A.3.(2019宁波,22,10分)如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).(1)求a的值和图象的顶点坐标;(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.①当m=2时,求n的值;②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围. 解析 (1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3,得3=(-2)2-2a+3,解得a=2.∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴顶点坐标为(-1,2).(2)①把x=2代入y=x2+2x+3,求得y=11,∴当m=2时,n=11.②2≤n<11.4.(2015绍兴,21,10分)如果抛物线y=ax 2+bx+c 过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线.(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x 2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式.请你解答.解析 (1)不唯一,如y=x 2-2x+2.(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b 2+1),且-1+2b+c+1=1,∴c=1-2b,∴顶点纵坐标c+b 2+1=2-2b+b 2=(b-1)2+1,∴当b=1时,c+b 2+1最小,即抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1,∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x考点二 二次函数的图象与性质1.(2019温州,9,4分)已知二次函数y=x 2-4x+2,关于该函数在-1≤x ≤3的取值范围内,下列说法正确的是 ( )A.有最大值-1,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-2答案 D y=x 2-4x+2=(x-2)2-2(-1≤x ≤3).由图象可知当x=2时,y 取得最小值-2,当x=-1时,y 取得最大值7.故选D.2.(2019杭州,10,3分)在平面直角坐标系中,已知a ≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x 轴有M 个交点,函数y=(ax+1)·(bx+1)的图象与x 轴有N 个交点,则 ( )A.M=N-1或M=N+1B.M=N-1或M=N+2C.M=N 或M=N+1D.M=N 或M=N-1 答案 C 对于函数y=(x+a)(x+b),当y=0时,函数图象与x 轴的交点为(-a,0),(-b,0),故M=2. 对于函数y=(ax+1)(bx+1),当y=0时,有以下3种情况:①ab ≠0时,图象与x 轴的交点为 , ,此时N=2,M=N;②a=0时,图象与x 轴的交点为 ,此时N=1,M=N+1;③b=0时,图象与x 轴的交点为 ,此时N=1,M=N+1.综上所述,M=N 或M=N+1.故选C.3.(2016温州,10,4分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2.P 是AB 边上一动点,PD ⊥AC 于点D,点E 在P 的右侧,且PE=1,连接CE.P 从点A 出发,沿AB 方向运动,当E 到达点B 时,P 停止运动.在整个运动过程中,图中阴影部分面积S 1+S 2的大小变化情况是 ( ) A.一直减小B.一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小答案 C 作CF ⊥AB 于F.在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=2,AC=4,∴AB=25,CF=554.易知△APD ∽△ABC. 设PD=x,则AD=2x,AP=5x,BE=25-1-5x,∴S 1=x 2,S 2=21(25-1-5x)×554=4-552-2x,∴S 1+S 2=x 2-2x+4-552=(x-1)2+3-552. 4.(2017温州,22,10分)如图,过抛物线y=41x 2-2x 上一点A 作x 轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y 轴于点C.已知点A 的横坐标为-2.(1)求抛物线的对称轴和点B 的坐标;(2)在AB 上任取一点P ,连接OP ,作点C 关于直线OP 的对称点D.①连接BD,求BD 的最小值;②当点D 落在抛物线的对称轴上,且在x 轴上方时,求直线PD 的函数表达式.解析 (1)对称轴是直线x=-ab 2=4. ∵点A,B 关于直线x=4对称,点A 的横坐标为-2,∴点B 的横坐标为10.当x=10时,y=5,∴点B 的坐标为(10,5).(2)①如图,连接OD,OB.∵点C,D 关于直线OP 对称,∴OD=OC=5.∵OD+BD ≥OB,∴BD ≥OB-OD=55-5,∴当点D 在线段OB 上时,BD 有最小值55-5.5.(2018温州,21,10分)如图,抛物线y=ax 2+bx(a ≠0)交x 轴正半轴于点A,直线y=2x 经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x 轴于点B.(1)求a,b 的值;(2)P 是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP ,BP .设点P 的横坐标为m,△OBP 的面积为S,记K=S K,求K 关于m 的函数表达式及K 的范围.解析 (1)将x=2代入y=2x,得y=4,∴M(2,4),由题意得 a=-1,b=4(2)如图,过点P 作PH ⊥x 轴于点H,∵点P 的横坐标为m,抛物线的解析式为y=-x 2+4x,∴PH=-m 2+4m.∵B(2,0),∴OB=2,∵S=21OB ·PH=21×2×(-m2+4m)=-m2+4m, ∴K=m S =-m+4, ∴K 随着m 的增大而减小.易得A(4,0),又M(2,4),∴2<m<4.∴0<K<2.6.(2019温州,21,10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-12x ²+2x+6的图象交x 轴于点A,B(点A 在点B 的左侧).(1)求点A,B 的坐标,并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围;(2)把点B 向上平移m 个单位得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位,将与该二次函数图象上的点B 2重合;若点B 1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B 3重合.已知m>0,n>0,求m,n 的值.解析 (1)令y=0,则-21x 2+2x+6=0, ∴x 1=-2,x 2=6,∴A(-2,0),B(6,0).由函数图象得,当y ≥0时,-2≤x ≤6.(2)由题意得B 1(6,m),∴B 2(6-n,m),B3(-n,m),函数图象的对称轴为直线x=2.∵点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,∴()26n n -+-=2,∴n=1, ∴m=-21×(-1)2+2×(-1)+6=27, ∴m,n 的值分别为27,1.考点三 二次函数综合1.(2015金华,8,3分)图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O 为原点,水平直线OB 为x 轴,建立平面直角坐标系,桥拱可以近似看成抛物线y=-4001(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面,有AC ⊥x 轴.若OA=10米,则桥面离水面的高度AC 为 ( )A.16409米B.417米C.16407米D.415米答案 B 把x=-10代入y=-4001(x-80)2+16得,y=-417,故选B 2. (2016衢州,15,4分)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为_______ m 2.答案 144解析 如图,设总占地面积为S m2,CD 的长度为x m,由题意知AB=CD=EF=GH=x m,∴BH=(48-4x)m,易知0<x<12,∴S=AB ·BH=x(48-4x)=-4(x-6)2+144,∴当x=6时,S 取得最大值,最大值为144.3.(2017温州,16,5分)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1).完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A 、出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上,点A 到出水管BD 的距离为 12 cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2 cm 的圆柱形水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E,则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为_______ cm.答案 24-82解析 如图所示,建立直角坐标系,过A 作AG ⊥OC 于G,交BD 于Q,过M 作MP ⊥AG 于P ,由题可得,AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36, 在Rt △APM 中,MP=22AP AM +=8,故DQ=OG=MP=8,∴BQ=12-8=4,由BQ ∥CG 可得,△ABQ ∽△ACG,∴CG BQ =AG AQ ,即CG 4=3612, ∴CG=12,OC=12+8=20,∴C(20,0),∵水流所在抛物线经过点D(0,24),∴可设抛物线为y=ax 2+bx+24,把C(20,0),B(12,24)代入抛物线解析式,可得 解得 a=203-,b=59∴抛物线的解析式为y=-203-x 2+59x+24, 又∵点E 的纵坐标为10.2,∴令y=10.2,则10.2=-203-x 2+59x+24, 解得x1=6+82,x2=6-82(舍去),∴点E 的横坐标为6+82,又∵ON=30,∴EH=30-(6+82)=24-82.即点E 到洗手盆内侧的距离EH 为(24-82)cm.巩固练习一．选择题1.(2019温州龙湾一模,5)二次函数y=ax 2-4x+4图象的顶点在x 轴上,则a 的值是 ( )A.1B.-1C.4D.-42.(2017杭州拱墅二模,9)已知某二次函数,当自变量x 满足0≤x ≤4时,函数值y 满足0≤y ≤2,则这个函数不可能是 ( ) A.y=21(x-2)2 B.y=x 2-4x+2 C.y=-21(x-2)2+2 D.y=-41x 2+x+1 3.(2019杭州桐庐一模)已知二次函数y=ax 2+(a+2)x-1(a 为常数,且a ≠0), ( )A.若a>0,则x<-1时,y 随x 的增大而增大B.若a>0,则x<-1时,y 随x 的增大而减小C.若a<0,则x<-1时,y 随x 的增大而增大D.若a<0,则x<-1时,y 随x 的增大而减小4.(2017温州联考,10)抛物线y=x 2+x-2与x 轴交于A 、B 两点,A 点在B 点左侧,与y 轴交于点C,若点E 在x 轴上,点P 在抛物线上,且以A 、C 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形,则符合条件的点E 有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.(2018江干二模,10)对于二次函数y=ax 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 221x(a<0),下列说法正确的个数是 ( ) ①对于任何满足条件的a,该二次函数的图象经过定点(2,1)和(0,0);②若该函数图象的对称轴为直线x=x0,则必有1<x0<2;③当x ≥0时,y 随x 的增大而增大;④若P(4,y 1),Q(4+m,y 2)(m>0)是函数图象上的两点,如果y 1>y 2总成立,则a ≤-121-. A.1 B.2 C.3 D.4二.填空题6.(2018杭州滨口二模)已知点A(4,4)与点B 是二次函数y=ax 2+bx+3(a ≠0)图象上的点,点B 的横坐标是2,到拋物线对称轴的距离为d,其中0<d ≤1,则a 的取值范围是____________ .7.如图,若抛物线y=ax 2+bx+c 上的P(4,0),Q 两点关于它的对称轴x=1对称,则Q 点的坐标为________ .8.如图,直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x 的不等式 mx+n>ax 2+bx+c 的解集是________ .9.如图是一款抛物线型落地灯的示意图.防滑螺母C 为抛物线支架的最高点,灯罩D 距离地面1.86 m,灯柱AB 及支架的相关数据如图所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE 为_______m.三.解答题10.(2018滨江二模)已知关于x 的方程kx 2-(2k-1)x+k+1=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)亮亮在通过变化k 的值研究二次函数y=kx 2-(2k-1)x+k+1的图象时发现,函数图象都经过点A(1,a),若函数y=x+b+2的图象也经过点A,求b 的值.11.(2019温州洞头二模,23)如图,对称轴为直线x=23的抛物线y=ax 2+b+c 过点A(4,0),B(0,4),点P 为抛物线上一动点,直线OP 交抛物线的对称轴于点C,与抛物线的另一个交点为点D.(1)填空:抛物线的函数表达式为___________ ;(2)若点P 在第一象限,且CP=CO,求点D 的坐标;(3)连接BD,BP ,若POB DOB S S △△=21,求点P 的横坐标.12.某手机制造厂实验室对一种新型快充电池进行实验,充电时电池的电量y(%)是充电时间x(分钟)的一次函数,其中y≤100.已知充电前电量为0(%),测得充电10分钟后电量达到100,充满电后手机马上开始连续工作,工作阶段电池电量y(%)是工作时间x(分钟)的二次函数,如图所示,A是该二次函数图象的顶点.又测得充满电后连续工作了40分钟,这时电量降为20(%),厂商规定手机充电时不能工作,电量小于10(%)时手机部分功能将被限制,不能正常工作.(1)求充电时和充电后使用阶段y关于x的函数表达式(不用写出x的取值范围);(2)为获得更多实验数据,实验室计划在首次充满电并使用40分钟后停止工作再次充电,充电6分钟后再次工作,假定所有的实验条件不变,请问第二次工作的时间是多少分钟(电量到10(%)就停止工作)?13.(2018杭州下沙一模)已知函数y1=kx2-(2k+1)x+(k+1)(k为实数,且k≠0).(1)求证:无论k为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点;(2)若一次函数y2=(k-1)x+2k-1的图象与y1的图象经过x轴上的同一点,求k的值;(3)对于任意非零实数k,当0<x<3时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.14.(2018杭州上城模拟)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(k+1)x2-(k+1)x+2(其中k≠-1).(1)若函数y1的图象经过点(2,8),求函数y1的表达式;(2)将函数y1的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,得到函数y2的图象.①求证:若函数y2有最大值,则最大值为正数,若函数y2有最小值,则最小值为负数;②若一次函数y3=(k+1)x+k+1(k>-1),试写出三条与系数k无关的y2、y3两个函数共有的结论。

高考数学 课时作业(六) [第6讲 二次函数][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( )A ．a ≤ 3B ．－3≤a ≤ 3C ．0<a ≤ 3D ．－3≤a <02．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(a 2＋b )x ＋c 的图象开口向上，且f (0)＝1，f (1)＝0，则实数b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－34B.⎣⎡⎭⎫－34，0 C ．[0，＋∞) D ．(－∞，－1)3．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)4．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．不确定能力提升5．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①c ＝0时，f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实根；③f (x )的图象关于点(0，c )对称；④方程f (x )＝0至多有两个实根．其中正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有两个零点x 1，x 2，且1<x 1<x 2<3，那么在f (1)，f (3)两个函数值中( )A ．只有一个小于1B ．至少有一个小于1C ．都小于1D ．可能都大于17．设b >02＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为( )① 图K6－1A ．1B ．－1C.－1－52D.－1＋528．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则实数b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b <－2C ．b <－1或b >2D ．不能确定9．下列四个命题：(1)函数f (x )在x >0时是增函数，x <0时也是增函数，所以f (x )是增函数；(2)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2与x 轴没有交点，则b 2－8a <0且a >0；(3)y ＝x 2－2|x |－3的递增区间为[1，＋∞)；(4)y ＝1＋x 和y ＝(1＋x )2表示相同的函数．其中正确命题的个数是________．10． 已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则f (1)的最小值为________．11．已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，f (x )≥18，则a ＝________.12．(13分) 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为1206t吨(0≤t≤24)．(1)从供水开始经过多少小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有多少小时出现供水紧张现象．难点突破13．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，且f(x＋1)为偶函数，定义：满足f(x)＝x 的实数x称为函数f(x)的“不动点”，若函数f(x)有且仅有一个不动点．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)＋kx2在(0,4)上是增函数，求实数k的取值范围；(3)是否存在区间[m，n](m<n)，使得f(x)在区间[m，n]上的值域为[3m,3n]？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．课时作业(六)【基础热身】1．D [解析] f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上单调递增，有－a 3－a 2a≥－1且a <0，得－3≤a <0.2．D [解析] 由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋a 2＋b ＋1＝0，b ＝－a 2－a －1(a >0)，得b <－1.3．C [解析] 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4＜0恒成立，∴a ＝2满足题意；当a －2≠0时，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ<0，解得－2＜a ＜2.所以a 的范围是－2＜a ≤2. 4．A [解析] ∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )＜0，∴m ∈(0,1)，∴m －1＜0，∴f (m －1)>0.【能力提升】5．C [解析] 对于①，c ＝0时，f (－x )＝－x |－x |＋b (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，故f (x )是奇函数；对于②，b ＝0，c >0时，f (x )＝x |x |＋c ，∴当x ≥0时，x 2＋c ＝0无解，x <0时，f (x )＝－x 2＋c ＝0，∴x ＝－c ，有一个实数根； 对于③，f (－x )＋f (x )＝[－x |－x |＋b (－x )＋c ]＋(x |x |＋bx ＋c )＝－x |x |－bx ＋c ＋x |x |＋bx ＋c ＝2c ，∴f (x )的图象关于点(0，c )对称；对于④，当c ＝0时，f (x )＝x (|x |＋b )，若b <0，则方程有三根0，b ，－b ，故选C.6．B [解析] 当函数图象关于直线x ＝2对称时，Δ＝16－4b >0，b <4，f (1)，f (3)都小于1；当函数图象对称轴不是直线x ＝2时，f (1)，f (3)中至少有一个小于1.7．B [解析] 由b >0可知，①、②图象不正确；由③、④图象均过点(0,0)，则a 2－1＝0⇒a ＝±1.当a ＝1时，b >0，f (x )的对称轴为x ＝－b 2<0，此时不合题意；当a ＝－1时，f (x )的对称轴x ＝b 2>0，③图象满足，故选B. 8．B [解析] 由f (1－x )＝f (1＋x )得对称轴为直线x ＝1，所以a ＝2.当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，得f (x )min ＝f (－1)>0，即－1－2－b ＋1>0⇒b <－2.9．0 [解析] (1)反例f (x )＝－1x；(2)不一定a >0，a ＝b ＝0也可；(3)画出图象(图略)可知，递增区间为[－1,0]和[1，＋∞)；(4)值域不同．10．4 [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4－4ac ＝0，f (1)＝a ＋c ＋2≥2＋2ac ＝4. 11．1 [解析] f (x )＝－32⎝⎛⎭⎫x －a 32＋16a 2， f (x )max ＝16a 2≤16，得－1≤a ≤1，对称轴为x ＝a 3. 当－1≤a <34时，⎣⎡⎦⎤14，12是f (x )的递减区间， 而f (x )≥18， 即f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝a 2－38≥18⇒a ≥1，与－1≤a <34矛盾；当34≤a ≤1时，14≤a 3≤13，且13<14＋122＝38， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝a 2－38≥18⇒a ≥1，而34≤a ≤1，所以a ＝1. 12．[解答] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24)．令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)，∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始经过6小时，蓄水池水量最少，只有40吨．(2)依题意400＋10x 2－120x <80，得x 2－12x ＋32<0， 解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323. ∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张． 【难点突破】13．[解答] (1)∵f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b 为偶函数， ∴2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a ，∴f (x )＝ax 2－2ax .∵函数f (x )有且仅有一个不动点，∴方程f (x )＝x 有且仅有一个解，即ax 2－(2a ＋1)x ＝0有且仅有一个解，∴2a ＋1＝0，a ＝－12， ∴f (x )＝－12x 2＋x . (2)g (x )＝f (x )＋kx 2＝⎝⎛⎭⎫k －12x 2＋x ， 其对称轴为x ＝11－2k. 由于函数g (x )在(0,4)上是增函数，∴当k <12时，11－2k≥4，解得38≤k <12； 当k ＝12时，符合题意；当k >12时，11－2k<0恒成立． 综上，k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫38，＋∞.(3)f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， ∵在区间[m ，n ]上的值域为[3m,3n ]，∴3n ≤12，∴n ≤16， 故m <n ≤16，∴f (x )在区间[m ，n ]上是增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝3m ，f (n )＝3n ，即⎩⎨⎧－12m 2＋m ＝3m ，－12n 2＋n ＝3n ，∴m ，n 是方程－12x 2＋x ＝3x 的两根， 由－12x 2＋x ＝3x ， 解得x ＝0或x ＝－4，∴m ＝－4，n ＝0.。

人教版数学九年级上册22.1.1《二次函数》课时练习一、选择题1.已知函数：①y=ax 2；②y=3(x －1)2＋2；③y=(x ＋3)2－2x 2；④y=1x 2＋x. 其中，二次函数的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )A.y=3x －1B.y=ax 2＋bx ＋cC.s=2t 2－2t ＋1D.y=x 2＋1x3.二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是( )A.1B.-1C.2D.-24.已知函数y=(m 2+m)x 2+mx+4为二次函数,则m 的取值范围是( )A.m ≠0B.m ≠-1C.m ≠0,且m ≠-1D.m=-15.国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分比为x,该药品的原价为36元,降价后的价格为y 元,则y 与x 之间的函数关系式为( )A.y=72(1-x)B.y=36(1-x)C.y=36(1-x 2)D.y=36(1-x)26.对于y=ax 2+bx+c ，有以下四种说法，其中正确的是( )A.当b=0时，二次函数是y=ax 2+cB.当c=0时，二次函数是y=ax 2+bxC.当a=0时，一次函数是y=bx+cD.以上说法都不对7.已知矩形的周长为36 m ，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为x m ，圆柱的侧面积为y m 2，则y 与x 的函数关系式为( )A.y=－2πx 2＋18πxB.y=2πx 2－18πxC.y=－2πx 2＋36πxD.y=2πx 2－36πx8.如果二次函数y=x 2＋2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是( )A.5B.3C.3或－5D.－3或59.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t 2+2t ， 则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D.28米10.二次函数y=x 2+2x-7的函数值是8，那么对应的x 的值是( )A.5B.3C.3或-5D.-3或5二、填空题11.某校九(1)班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y与x之间的函数关系式，它 (填“是”或“不是”)二次函数.12.已知两个变量x，y之间的关系式为y=(a－2)x2＋(b＋2)x－3.(1)当时，x，y之间是二次函数关系；(2)当时，x，y之间是一次函数关系.13.已知函数y=(m-1)+5x+3是关于x的二次函数,则m的值为 .14.有长24 m的篱笆,一面利用长为12 m的围墙围成如图所示中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃垂直于墙的一边长为x m,面积为S m2,则S与x的函数关系式是,x的取值范围为.三、解答题15.小李家用40 m长的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园，如图所示.(1)写出这块菜园的面积y(m2)与垂直于墙的一边长x(m)之间的关系式，并指出它是一个什么函数；(2)直接写出x的取值范围.16.已知函数y=(m2＋m)·xm2－2m＋2.(1)当函数是二次函数时，求m的值；(2)当函数是一次函数时，求m的值.17.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)d=0.5n2-1.5n； (2)y=1-x2.18.已知:y=y+y2,y1与x2成正比,y2与x-2成正比,当x=1时,y=1;当x=-1时,y=-5.1(1)求y与x的函数关系式;(2)求x=0时,y的值.19.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=24 cm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y cm2.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)四边形APQC的面积能否等于172 cm2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由.参考答案1.答案为：B.2.答案为：C.3.答案为：D.4.答案为：C.5.答案为：D.6.答案为：D7.答案为：C.8.答案为：C.9.答案为：A10.答案为：C11.答案为：y=12x 2－12x ，是. 12.答案为：(1)当a ≠2；(2)a=2且b ≠－2.13.答案为：-114.答案为：S=(24-3x)x ；4≤x<8.15.解：(1)因为矩形菜园中垂直于墙的一边长为x m ，则与墙平行的一边长为(40－2x)m.根据题意，得y=x(40－2x)，即y=－2x 2＋40x.它是一个二次函数.(2)0＜x ＜20.16.解：(1)由题意，得m 2－2m ＋2=2，解得m=2或m=0.又因为m 2＋m ≠0，解得m ≠0且m ≠－1.所以m=2.(2)由题意，得m 2－2m ＋2=1，解得m=1.又因为m 2＋m ≠0，解得m ≠0且m ≠－1.所以m=1.17.解：(1)二次项系数、一次项系数和常数项分别为0.5、-1.5、0.(2)二次项系数、一次项系数和常数项分别为-1、0、1. 18.解：(1)∵y=y 1+y 2,y 1与x 2成正比,y 2与x-2成正比,∴设y 1=k 1x 2,y 2=k 2(x-2)(k 1≠0,且k 2≠0).∴y=k 1x 2+k 2(x-2). ∵当x=1时,y=1;当x=-1时,y=-5,∴解得∴y=4x 2+3(x-2)=4x 2+3x-6,即y 与x 的函数关系式是y=4x 2+3x-6.(2)当x=0时,y=4×02+3×0-6=-6.即x=0时,y的值是-6.19.解：(1)由题意可知，AP=2x，BQ=4x，则y=12BC·AB－12BQ·BP=12×24×12－12·4x·(12－2x)，即y=4x2－24x＋144.(2)∵0＜AP＜AB，0＜BQ＜BC，∴0<x<6.(3)不能.理由：当y=172时，4x2－24x＋144=172.解得x1=7，x2=－1.又∵0<x<6，∴四边形APQC的面积不能等于172 cm2.。

专题18二次函数一、二次函数1．（2021·江苏泰州市）在函数2(1)y x =-中,当x ＞1时,y 随x 的增大而 ___．（填“增大”或“减小”）【答案】增大【分析】根据其顶点式函数2(1)y x =-可知,抛物线开口向上,对称轴为1x = ,在对称轴右侧y 随x 的增大而增大,可得到答案．【详解】由题意可知: 函数2(1)y x =-,开口向上,在对称轴右侧y 随x 的增大而增大,又∵对称轴为1x =,∵当1x >时,y 随的增大而增大,故答案为:增大．本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性,掌握当二次函数开口向上时,在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大,在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小是解题的关键．2．（2021·江苏徐州市）在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =-- 【答案】B【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．【详解】解：∵2y x 的顶点坐标为（0，0）∵将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），∵所得抛物线对应的函数表达式为()221y x =++，故选B本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．3．（2021·江苏盐城市）已知抛物线2(1)y a x h =-+经过点(0,3)-和(3,0)．（1）求a 、h 的值；（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．【答案】（1）1a =，4h =-；（2）242y x x =-+【分析】（1）将点(0,3)-和(3,0)，代入解析式求解即可；（2）将2(1)4y x =--，按题目要求平移即可．【详解】（1）将点(0,3)-和(3,0)代入抛物线2(1)y a x h =-+得：22(01)3(31)0a h a h ⎧-+=-⎨-+=⎩解得：14a h =⎧⎨=-⎩∵1a =，4h =-（2）原函数的表达式为:2(1)4y x =--，向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：∴平移后的新函数表达式为:22(11)42=42y x x x =---+-+即242y x x =-+本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键．4．（2021·江苏常州市）已知二次函数2(1)y a x =-，当0x >时，y 随x 增大而增大，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a >B ．1a >C ．1a ≠D ．1a <【答案】B【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．【详解】∵二次函数2(1)y a x =-的对称轴为y 轴，当0x >时，y 随x 增大而增大，∵二次函数2(1)y a x =-的图像开口向上，∵a -1＞0，即：1a >，本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．5．（2021·江苏无锡市）设1(,)P x y ，2(,)Q x y 分别是函数1C ，2C 图象上的点，当a x b ≤≤时，总有1211y y 恒成立，则称函数1C ，2C 在a x b ≤≤上是“逼近函数”，a x b ≤≤为“逼近区间”．则下列结论：∵函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上是“逼近函数”；∵函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”；∵01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”；∵23x ≤≤是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”．其中，正确的有（ ）A ．∵∵B ．∵∵C ．∵∵D ．∵∵ 【答案】A【分析】分别求出12y y -的函数表达式，再在各个x 所在的范围内，求出12y y -的范围，逐一判断各个选项，即可求解．【详解】解：∵∵15y x =-，232y x =+，∵1253227y y x x x ，当12x ≤≤时，12119y y ，∵函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上不是“逼近函数”；∵∵15y x =-，224y x x =-，∵12225554x y y x x x x ，当34x ≤≤时，1211y y ，函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”；∵∵211y x =-，222y x x =-，∵22122112x x x y y x x ，当01x ≤≤时，12314y y ， ∵01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”；∵∵15y x =-，224y x x =-，∵12225554x y y x x x x ，当23x ≤≤时，12514y y ， ∵23x ≤≤不是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”．本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键．6．（2021·江苏苏州市）已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数22y x kx k =+-向右平移3个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--；再向上平移1个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∵220(03)(03)k k =-+--+1即20310k k +-=解得：5k =-或2k =∵抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧 ∵2k x =-＞0 ∵k ＜0∵5k =-故选：B ．此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7．（2021·江苏南通市）平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,39P m n -，且实数m ，n 满足240m n -+=，则点P 到原点O 的距离的最小值为___________．【分析】由已知得到点P 的坐标为(m ，33m +)，求得PO =可．【详解】解：∵240m n -+=，∵24n m =+，则23933n m -=+，∵点P 的坐标为(m ，33m +)，∵PO =∵100>，∵210189m m ++当1892010m =-=-时，有最小值， 且最小值为910，∵PO ．本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．8．（2021·江苏扬州市）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】 首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第∵个图形中的黑色圆点的个数为：1，第∵个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3， 第∵个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6， 第∵个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10， ...第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275， 故答案为：1275．此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．9．（2021·江苏泰州市）二次函数y ＝﹣x 2+（a ﹣1）x +a （a 为常数）图象的顶点在y 轴右侧．（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a 的代数式表示）；（2）该二次函数表达式可变形为y ＝﹣（x ﹣p ）（x ﹣a ）的形式，求p 的值；（3）若点A （m ，n ）在该二次函数图象上，且n ＞0，过点（m +3，0）作y 轴的平行线，与二次函数图象的交点在x 轴下方，求a 的范围．【答案】（1）12a -；（2）p =-1；（3）1＜a ＜2． 【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得答案；（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；（3）利用（2）的结果可得抛物线与x 轴的交点坐标，根据顶点在y 轴右侧，过点（m +3，0）作y 轴的平行线，与二次函数图象的交点在x 轴下方可得关于a 的不等式，解不等式即可得答案．【详解】（1）∵二次函数解析式y ＝﹣x 2+（a ﹣1）x +a ，∵顶点横坐标为12(1)a --⨯-=12a -． （2）∵y ＝﹣x 2+（a ﹣1）x +a =(1)()x x a -+-=﹣（x ﹣p ）（x ﹣a ），∵p =-1．（3）∵y ＝﹣x 2+（a ﹣1）x +a =(1)()x x a -+-，∵抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（a ，0），∵-1＜0，∵该二次函数的图象开口向下，∵图象的顶点在y 轴右侧， ∵12a -＞0， ∵1a >，∵点A （m ，n ）在该二次函数图象上，且n ＞0，∵-1＜m ＜a ，∵过点（m +3，0）作y 轴的平行线，与二次函数图象的交点在x 轴下方，∵(1)a --＜3，解得：2a <，∵a 的范围为1＜a ＜2．本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键．10．（2021·江苏徐州市）如图，点,A B 在函数214y x =的图像上．已知,A B 的横坐标分别为－2、4，直线AB 与y 轴交于点C ，连接,OA OB ．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）求AOB ∆的面积；（3）若函数214y x =的图像上存在点P ，使得PAB ∆的面积等于AOB ∆的面积的一半，则这样的点P 共有___________个．【答案】（1）直线AB 的解析式为：122y x =+；（2）6；（3）4 【分析】（1）将,A B 的横坐标分别代入214y x =求出生意人y 的值，得到A ，B 点坐标，再运用待定系数法求出直线AB 的解析式即可； （2）求出OC 的长，根据“AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+”求解即可；（3）分点P 在直线AB 的上方和下方两种情况根据分割法求解即可．【详解】解：（1）∵A ，B 是抛物线214y x =上的两点， ∵当2x =-时，21(2)14y =⨯-=；当4x =时，21444y =⨯= ∵点A 的坐标为（-2，1），点B 的坐标为（4，4）设直线AB 的解析式为y kx b =+，把A ，B 点坐标代入得2144k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得，122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以，直线AB 的解析式为：122y x =+； （2）对于直线AB ：122y x =+ 当0x =时，2y =∵2OC =∵AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=11222422⨯⨯+⨯⨯=6 （3）设点P 的坐标为（x ，214x ） ∵PAB ∆的面积等于AOB ∆的面积的一半，∵PAB ∆的面积等于162⨯=3， ∵当点P 在直线AB 的下方时，过点A 作AD ∵x 轴，过点P 作PF ∵x 轴，过点B 作BE ∵x 轴，垂足分别为D ，F ，E ，连接PA ，PB ，如图，∵PAB ADEB ADFP PFEB S S S S ∆=++四边形四边形四边形 ∵2211111(14)(24)(2)(1)(4)(4)322424x x x x ⨯+⨯+=++++-+ 整理，得，2240x x --=解得，11x =21x =∵在直线AB 的下方有两个点P ，使得PAB ∆的面积等于AOB ∆的面积的一半；∵当点P 在直线AB 的上方时，过点A 作AD ∵x 轴，过点P 作PF ∵x 轴，过点B 作BE ∵x 轴，垂足分别为D ，F ，E ，连接PA ，PB ，如图，∵PADF PAB ADEB BEFP S S S S ∆=++四边形四边形四边形 ∵2211111(1)(2)(14)(24)(4)(4)324224x x x x ++=⨯+⨯+++-+ 整理，得，22120x x --=解得，11x =21x =∵在直线AB 的上方有两个点P ，使得PAB ∆的面积等于AOB ∆的面积的一半； 综上，函数214y x =的图像上存在点P ，使得PAB ∆的面积等于AOB ∆的面积的一半，则这样的点P 共有4个， 故答案为：4．此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式，二次函数与图形面积，注意在解决（3）问时要注意分类讨论． 11．（2021·江苏无锡市）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点C 为y 轴正半轴上的一个动点，过点C 的直线与二次函数2y x 的图象交于A 、B 两点，且3CB AC ，P 为CB 的中点，设点P 的坐标为(,)(0)P x y x >，写出y 关于x 的函数表达式为：________．【答案】283y x = 【分析】过点A 作AN ∵y 轴，过点B 作BM 垂直y 轴，则BM ∵AN ，13AN AC BM CB ==，设A (-a ，a 2)，则B (3a ，9a 2)，求出C (0，3a 2)，从而得P (32a ，26a )，进而即可得到答案．【详解】解：过点A 作AN ∵y 轴，过点B 作BM 垂直y 轴，则BM ∵AN ，∵CBM CAN ∽，∵3CB AC ， ∵13AN AC BM CB ==， 设A (-a ，a 2)，则B (3a ，9a 2)，设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，则2293a ka b a ka b ⎧=-+⎨=+⎩，解得：223k a b a =⎧⎨=⎩， ∵直线AB 的解析式为：y =2ax +3a 2，∵C (0，3a 2)，∵P 为CB 的中点，∵P (32a ，26a )， ∵2326x a y a⎧=⎪⎨⎪=⎩，即：283y x =， 故答案是：283y x =．本特纳主要考查二次函数与一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．12．（2021·江苏宿迁市）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，有下列结论：∵0a ＞；∵24b ac -＞0；∵40a b +=；∵不等式21ax b x c +-+（）＜0的解集为1≤x ＜3，正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】 根据抛物线的开口方向、于x 轴的交点情况、对称轴的知识可判∵∵∵的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定∵．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∵a ＞0，故∵正确；∵抛物线与x 轴没有交点∵24b ac -＜0，故∵错误∵抛物线的对称轴为x =1 ∵12b a-= ，即b =-2a ∵4a +b =2a ≠0，故∵错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则21933b a a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ，解得12132a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩∵()21ax b x c +-+＜0可化为213222x x -+＜0，解得：1＜x ＜3 故∵错误．故选A ．本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键．13．（2021·江苏无锡市）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数2y ax 2x c =++的图象过B 、C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F ，交二次函数2y ax 2x c =++的图象于点E ．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段EF 的长度；（3）已知点N 是y 轴上的点，若点N 、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）209或94；（3）N (0，1) 【分析】（1）先求出B (3，0)，C (0，3)，再利用待定系数法即可求解；（2）先推出∵MBF =∵FBM =∵CFE =45°，可得以C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，EF CF AB CB =或CF CF AB EB =，设F (m ，-m +3)，则E (m ，223m m -++)，根据比例式列出方程，即可求解；（3）先推出四边形NCFE 是平行四边形，再推出FE =FC ，列出关于m 的方程，求出m 的值，从而得CN =EF =2，进而即可得到答案．【详解】解：（1）∵直线3y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，∵B (3，0)，C (0，3)，∵二次函数2y ax 2x c =++的图象过B 、C 两点，∵3096c a c =⎧⎨=++⎩，解得：31c a =⎧⎨=-⎩， ∵二次函数解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）∵B (3，0)，C (0，3)，l ∵y 轴，∵OB =OC ，∵∵MBF =∵FBM =∵CFE =45°，∵以C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，EF CF AB CB =或CF EF AB CB =， 设F (m ，-m +3)，则E (m ，223m m -++)，∵EF =223m m -++-(-m +3)= 23m m -+，CF ，∵234m m -+=2= ∵53m =或0m =（舍去）或32m =或0m =（舍去）， ∵EF =23m m -+=209或94； （3）∵l ∵y 轴，点N 是y 轴上的点，∵∵EFC =∵NCG ，∵点N 、F 关于直线EC 对称，∵∵CNE =∵EFC ，∵∵CNE =∵NCG ，∵NE ∵FC ，∵四边形NCFE 是平行四边形，∵点N 、F 关于直线EC 对称，∵∵NCE =∵FCE ，∵l ∵y 轴，∵∵NCE =∵FEC ，∵∵FCE =∵FEC ，∵FE =FC ，∵23m m -+，解得：3m =0m =（舍去），∵CN =EF =2，∵ON =2+3=1，∵N (0，1)．本题主要考查二次函数与几何的综合，相似三角形的判定，掌握函数图像上点的坐标特征，用点的横坐标表示出相关线段的长，是解题的关键．14．（2021·江苏南京市）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围． 【答案】（1）1b =-；（2）1；（3）0a <或45a >． 【分析】（1）将点()()2,1,2,3--代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分0a <和0a >两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】 解：（1）将点()()2,1,2,3--代入2y ax bx c =++得：421423a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩， 两式相减得：44b -=，解得1b =-；（2）由题意得：0a ≠，由（1）得：2211()24y ax x c a x c a a=-+=-+-， 则此函数的顶点的纵坐标为14c a-， 将点()2,3-代入2y ax x c =-+得：423a c -+=-，解得41a c -=+， 则1141c c a c -=++，下面证明对于任意的两个正数00,x y ，都有00x y +≥2000(0x x y -=+-，00x y ∴+≥00x y =时，等号成立）， 当1c >-时，10c +>，则11111111c c c c +=++-≥=++（当且仅当111c c +=+，即0c 时，等号成立）， 即114c a-≥， 故当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由423a c -+=-得：41c a =--，则二次函数的解析式为241(0)y ax x a a =---≠，由题意，分以下两种情况：∵如图，当0a <时，则当1x =-时，0y >；当3x =时，0y <，即141093410a a a a +-->⎧⎨---<⎩， 解得0a <；∵如图，当0a >时，当1x =-时，14130y a a a =+--=-<，∴当3x =时，93410y a a =--->， 解得45a >， 综上，a 的取值范围为0a <或45a >．本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．15．（2021·江苏扬州市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点．()1,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）b =________，c =________；（2）若点D 在该二次函数的图像上，且2ABD ABC S S =，求点D 的坐标；（3）若点P 是该二次函数图像上位于x 轴上方的一点，且APC APB S S =，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）-2，-3；（2）（1+6）或（16）；（3）（4，5）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出∵ABC 的面积，设点D （m ，223m m --），再根据2ABD ABC SS =，得到方程求出m 值，即可求出点D的坐标；（3）分点P 在点A 左侧和点P 在点A 右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．【详解】解：（1）∵点A 和点B 在二次函数2y x bx c =++图像上，则01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， 故答案为：-2，-3；（2）连接BC ，由题意可得：A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），223y x x =--，∵S ∵ABC =1432⨯⨯=6， ∵S ∵ABD =2S ∵ABC ，设点D （m ，223m m --）， ∵1262D AB y ⨯⨯=⨯，即21423262m m ⨯⨯--=⨯，解得：x =1+1223y x x =--，可得：y 值都为6，∵D （16）或（16）；（3）设P （n ，223n n --），∵点P 在抛物线位于x 轴上方的部分，∵n ＜-1或n ＞3，当点P 在点A 左侧时，即n ＜-1，可知点C 到AP 的距离小于点B 到AP 的距离，∵APC APB S S <△△，不成立；当点P 在点B 右侧时，即n ＞3，∵∵APC 和∵APB 都以AP 为底，若要面积相等，则点B 和点C 到AP 的距离相等，即BC ∵AP ，设直线BC 的解析式为y =kx +p ，则033k p p =+⎧⎨-=⎩，解得：13k p =⎧⎨=-⎩， 则设直线AP 的解析式为y =x +q ，将点A （-1，0）代入，则-1+q =0，解得：q =1，则直线AP 的解析式为y =x +1，将P （n ，223n n --）代入，即2231n n n --=+，解得：n =4或n =-1（舍），2235n n --=，∵点P 的坐标为（4，5）．本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．16．（2021·江苏连云港市）如图，抛物线()223(69)y mx m x m =++-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，请直接写出点P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．【答案】（1）1m =-，3y x =-；（2）()2,1P ，⎝⎭P ，⎝⎭P ；（3）75,24⎛⎫- ⎪⎝⎭Q 【分析】（1）求出A ，B 的坐标，用待定系数法计算即可；（2）做点A 关于BC 的平行线1AP ，联立直线1AP 与抛物线的表达式可求出1P 的坐标，设出直线1AP 与y 轴的交点为G ，将直线BC 向下平移，平移的距离为GC 的长度，可得到直线23P P ，联立方程组即可求出P ； （3）取点Q ，连接CQ ，过点A 作AD CQ ⊥于点D ，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，过点C 作CE DF ⊥于点E ，得直线CD 对应的表达式为132y x =-，即可求出结果；【详解】（1）将()3,0B 代入()()22369=++-+y mx m x m ， 化简得20m m +=，则0m =（舍）或1m =-，∵1m =-，得：243y x x =-+-，则()0,3C -．设直线BC 对应的函数表达式为y kx b =+，将()3,0B 、()0,3C -代入可得033k b b =+⎧⎨-=⎩，解得1k =， 则直线BC 对应的函数表达式为3y x =-．（2）如图，过点A 作1AP ∵BC ，设直线1AP 与y 轴的交点为G ，将直线BC 向下平移 GC 个单位，得到直线23P P ，由（1）得直线BC 的解析式为3y x =-，1,0A ， ∵直线AG 的表达式为1y x =-，联立2143y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩， 解得：10x y =⎧⎨=⎩（舍），或21x y =⎧⎨=⎩， ∵()12,1P ，由直线AG 的表达式可得()1,0G -，∵2GC =，2CH =，∵直线23P P 的表达式为5y x =-，联立2543y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，解得：11x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵3P ⎝⎭，2P ⎝⎭， ∵()2,1P，⎝⎭P，⎝⎭P ． （3）如图，取点Q ，连接CQ ，过点A 作AD CQ ⊥于点D ， 过点D 作DF x ⊥轴于点F ，过点C 作CE DF ⊥于点E ，∵45ACQ ∠=︒，∵AD=CD ，又∵90ADC ∠=︒，∵90ADF CDE ∠+∠=︒，∵90CDE DCE ∠+∠=︒，∵DCE ADF ∠=∠，又∵90E AFD ∠=∠=︒，∵CDE DAF ∆∆≌，则AF DE =，CE DF =．设==DE AF a ，∵1OA =，OF CE =，∵1CE DF a ==+．由3OC =，则3=-DF a ，即13+=-a a ，解之得，1a =．所以()2,2D -，又()0,3C -，可得直线CD 对应的表达式为132y x =-， 设1,32Q m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入243y x x =-+-， 得213432-=-+-m m m ，2142=-+m m m ，2702-=m m ， 又0m ≠，则72m =．所以75,24⎛⎫- ⎪⎝⎭Q ．本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．17．（2021·江苏苏州市）如图，二次函数()21y x m x m =-++（m 是实数，且10m -<<）的图像与x 轴交于A 、B两点（点A 在点B 的左侧），其对称轴与x 轴交于点C ，已知点D 位于第一象限，且在对称轴上，OD BD ⊥，点E 在x 轴的正半轴上，OC EC =．连接ED 并延长交y 轴于点F ，连接AF ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示）；（2）已知点Q 在抛物线的对称轴上，当AFQ △的周长的最小值等于125，求m 的值．【答案】（1）(),0A m ，()1,0B ，1,02m C +⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）15m =- 【分析】（1）把0y =代入函数解析式，可得()210x m x m -++=，再利用因式分解法解方程可得,A B 的坐标，再求解函数的对称轴，可得C 的坐标；（2）先证明COD CDB ∽△△，利用相似三角形的性质求解2214m CD -=，利用三角形的中位线定理再求解22241OF CD m ==-．再利用勾股定理求解1AF =，如图，当点F 、Q 、B 三点共线时，FQ AQ +的长最小，此时AFQ △的周长最小．可得75BF =．再利用勾股定理列方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）令0,y = 则()210x m x m -++=， ()()10,x x m ∴--=∴ 12,1,x m x ==∵(),0A m ，()1,0B ，∵对称轴为直线12m x +=， ∵1,02m C +⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）在Rt ODB △中，CD OB ⊥，,OD BD ⊥90,ODB OCD ∴∠=∠=︒,DOC BOD ∠=∠∴ COD CDB ∽△△，,CD CO CB CD∴= ()1,0,1,0,2m C B +⎛⎫ ⎪⎝⎭∴ 12m OC +=，11122m m BC +-=-=． ∴ 22111224m m m CD OC CB +--=⋅=⋅=． ∵CD x ⊥轴，OF x ⊥轴，∵//CD OF ．∵OC EC =，∵2OF CD =．∵22241OF CD m ==-．在Rt AOF 中，222AF OA OF +=，∵22211AF m m =+-=，即1AF =．（负根舍去）∵点A 与点B 关于对称轴对称，∵QA QB =．∵如图，当点F 、Q 、B 三点共线时，FQ AQ +的长最小，此时AFQ △的周长最小．∵AFQ △的周长的最小值为125，∵FQ AQ +的长最小值为127155-=，即75BF =． ∵222OF OB BF +=，∵2491125m -+=． ∵15m =±． ∵10m -<<， ∵15m =-．本题考查的求解二次函数与坐标轴的交点坐标以及对称轴方程，图形与坐标，二次函数的对称性，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，灵活应用二次函数的性质是解题的关键．。

2021年全国统一高考理科数学试卷（全国乙卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共12题；共60分）1. ( 5分) 设2（z+ z̅）+3(z- z̅)=4+6i，则z=（）.A. 1-2iB. 1+2iC. 1+iD. 1-i2. ( 5分) 已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）A. ∅B. SC. TD. Z3. ( 5分) 已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p ∧qB. ¬p ∧qC. p ∧¬qD. ¬(pVq)4. ( 5分) 设函数f(x)= 1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A. f(x-1)-1B. f(x-1)+1C. f(x+1)-1D. f(x+1)+15. ( 5分) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A. π2B. π3C. π4D. π66. ( 5分) 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7. ( 5分) 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x- π4)的图像，则f(x)=（）A. sin( x2−7π12) B. sin( x2+π12) C. sin( 2x−7π12) D. sin( 2x+π12)8. ( 5分) 在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A. 74B. 2332C. 932D. 299. ( 5分) 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。