年安徽省自主命题高考数学仿真卷

2025届安徽省合肥六中高考仿真卷数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-2．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ） A ．32B ．32-C ．12D ．12-3．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）A 3B 6C 3D 33 4．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18；④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④5．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.86．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1B ．1C ．3D ．47．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，312b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>8．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -9．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．223-C ．23-D ．13-10．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞11．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1B ．-1C ．0D ．212．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B ．31- C ．221-D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年安徽省合肥市高考数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.已知复数z 满足，则()A.5B. C.13D.3.已知在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为，，，且这3个队是否完成该任务相互独立，则恰有2个队完成该任务的概率为()A.B.C.D.4.已知抛物线C ：的焦点为F ，A 为x 轴上一点，若，且抛物线C 经过线段AF的中点，则()A.8B.C.4D.5.已知向量，，，若，，则在上的投影向量为()A.B.C.D.6.在长方体中，，过作平面，使得平面，若平面，则直线l 与所成角的余弦值为()A.B. C.D.7.已知函数，若，则直线与的图象的交点个数为()A.3 B.4C.5D.68.已知椭圆的左顶点为A ，左焦点为F ，P 为该椭圆上一点且在第一象限，若射线AF 上存在一点Q ，使得，线段PQ 的垂直平分线与射线AF 交于点H ，则()A.1B.2C.aD.2a二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某校高一年级的某次月考中，甲、乙两个班前10名学生的物理成绩单位：分，满分100分如表所示，则甲班67727683858788888990乙班70777777818384899394A.甲班前10名学生物理成绩的众数是88B.乙班前10名学生物理成绩的极差是24C.甲班前10名学生物理成绩的平均数比乙班前10名学生物理成绩的平均数低D.乙班前10名学生物理成绩的第三四分位数是8410.已知函数其中，的部分图象如图所示，则()A.B.C.D.11.下列不等式中正确的是()A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数______.①定义在R上的函数不是常值函数；②；③对任意的，均存在，使得成立.13.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______.14.已知半径为的球O的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等，若正四面体ABCD的棱与球O 的球面有公共点，则正四面体ABCD的棱长的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

2023-2024学年安徽省黄山市高考数学仿真模拟试题（6月）第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）1.i 是虚数单位，若复数z 满足3i 2z -=，则z 的取值范围是（）A.[]1,5B.3⎡-+⎣C.[]0,5 D.0,3⎡+⎣【正确答案】A【分析】利用复数的几何意义即可.【详解】在复平面内，若复数z 满足3i 2z -=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()0,3为圆心，半径为2的圆，z 几何意义是点Z 到原点的距离，3132z ∴-≤≤+，所以z 的取值范围是[]1,5.故选：A.2.已知集合{}2|13902xx A x B x x +⎧⎫=<≤=≤⎨⎬-⎩⎭,则A B = （）A.(1,2)B.(0,1)C.(0,2)D.[2,2)-【正确答案】C【分析】分别解集合,A B ,再用集合的交集运算即可得出答案【详解】集合{}139xA x =<≤,解得{}02A x x =<≤,202x x +≤-,即()()2202x x x ⎧+-≤⎨≠⎩,解得22x -≤<,故{}22B x x =-≤<,所以(0,2)A B ⋂=故选：C3.为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（）种.A.40B.24C.20D.12【正确答案】B【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，先令丙、丁两人相邻用捆绑法22A ，再把丙、丁与戊排列在一起22A ，最后插空令甲、乙两人不相邻23A ,则不同的排法共有222223A A A 22624⨯⨯=⨯⨯=种.故选.B4.已知8280128()(2)f x x a a x a x a x =-=++++ ，则下列描述正确的是（）A.1281a a a +++= B.(1)f -除以5所得的余数是1C.812383a a a a +++⋯+= D.2382388a a a +++=- 【正确答案】B【分析】结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案.【详解】对于A ：令1x =得：01281a a a a ++++= ；令0x =，得802a =．812812a a a +++=- ，因此A 错误；对于B ：844413223312213444444(1)39(101)10C 10C 10C 10110(10C 10C 10C )1f -===-=-+-+=⨯-+-+，因此B 正确对于C ：因为8(2)x -二项展开式的通项公式为()()88188C 21C 2rrr r r r r r T x x --+=-=-，由通项公式知，8(2)x -二项展开式中偶数项的系数为负数，所以12381283a a a a a a a a -+++⋯-=++++ ，由8280128(2)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，得到802a =，令=1x -，得到8012833a a a a a ++--+= ，所以88123823a a a a +++=-⋯+，因此C 错误对于D ：对原表达式的两边同时对x 求导，得到77212388(2)238x a a x a x a x -⨯-=++++ ，令1x =，得到12382388a a a a ++++=- ，令0x =，得7182a =-⨯所以，772382388828(21)a a a +++=-+⨯=- 所以选项D 错误．故选：B5.公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前4个，现有如下说法：①第9个五角形数比第8个五角形数多25；②前8个五角形数之和为288；③记所有的五角形数从小到大构成数列{}n a ，则n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为610；则正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】C【分析】先根据图形找到规律，得到数列{}n a 的递推关系131n n a a n +=++，然后用累加法可得232n n na -=，然后可判断①②③.【详解】根据图形知：131n n a a n +=++，11a =，131n n a a n +-=+则()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()()3113213111n n =-++-++⋅⋅⋅+⨯++()()311311112n n -++⨯+-⎡⎤⎣⎦=+232n n -=9811725a a ==+，①正确；1281592288a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，②正确；312n a n n -=，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公差为32的等差数列，前20项和为2019312030522⨯⨯+⨯=，③错误.故选：C.6.若a ，b是两个互相垂直的单位向量，且向量c 满足23c a c b -+-= 则c a + 的取值范围是（）A.13⎡⎢⎣B.C.913,313⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.以上答案均不对【正确答案】A【分析】取(1,0),(0,1)a b == ，引入向量坐标后处理表达式，找出向量c满足的关系，最后用模长公式结合二次函数的性质求c a +的范围【详解】根据,a b 垂直可得0a b ⋅=，不妨取(1,0),(0,1)a b == ，设(2,0),(0,3)A B ，于是2OA a = ，3OB b = ，并取OC c = ，注意到AB AB === .于是23c a c b AC BC AB -+-=⇔+= .故C 点在线段AB 上运动，由直线的截距式方程可得，直线AB 方程为：123x y+=，即332y x =-，设3,32t C t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，02t ≤≤，则3,32t OC c t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，31,32t a c t ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，故a c +==设2131481()(02)41313f t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭，[]140,213∈，则min 81()13f t =；由(0)10f =，(2)9f =，于是[0,2]t ∈时，81(),1013f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是91313a c ⎡+=⎢⎣.故选：A7.图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为1的圆O 的一段圆弧E ，且弧E 所对的圆周角为25π.设圆C 的圆心C 在点O 与弧E 中点的连线所在直线上.若存在圆C 满足：弧E 上存在四点满足过这四点作圆O 的切线，这四条切线与圆C 也相切，则弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离的取值范围为（）A.(1⎤-⎦B.(C.()1- D.(【正确答案】D【分析】先根据题意画出相应的图，弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离即为圆心距减去两圆半径，找出圆心距的最大值即可.【详解】如图，弧E 的中点为M ，弧E 所对的圆周角为25π，则弧E 所对的圆心角为45π，圆O 的半径为1OM =，在弧E 上取两点A 、B ，则45AOB π∠≤，分别过点A 、B 作圆O 的切线，并交直线OM 于点D ，当过点A 、B 的切线刚好是圆O 与圆C 的外公切线时，劣弧AB 上一定还存在点S 、T ，使过点S 、T 的切线为两圆的内公切线，则圆C 的圆心C 只能在线段MD 上，且不包括端点，过点C ，分别向AD 、BD 作垂线，垂足为R 、P ，则CR 即为圆C 的半径，此时圆O 与圆C 皆满足题意：弧E 上存在四点A 、B 、S 、T ，过这四点作圆O 的切线，这四条切线与圆C 也相切.线段OC 交圆C 于点N ，则弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离即为线段MN 的长度.在直角AOD △中，12cos 51cos cos 254OA OA OAOD AOB AOD π==≤=∠∠，11011MN OC OM CN OC CR OD =--=--<--=-=，即弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离MN的取值范围为(.故选.D8.已知函数()e ,13x x f x x ⎧≤⎪=<<，若函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是（）A.110e ,,4e 3⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦B.e 10,,152e 3⎛⎛⎤⎥ ⎝⎦⎝⎭C.1e 0,,15e 3⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥ ⎪⎝⎦⎝⎭UD.e 10,,152e 3⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭ 【正确答案】C【分析】作出函数()y f x =与函数2y k x =+的图像，讨论曲线()20y k x k =+>与曲线()e1xy x =≤，)13y x =<<相切以及过点()1,e 的情况，求出对应的实数k 的值，利用数形结合思想可求得k 的取值范围.【详解】作出()e ,13xx f x x ⎧≤⎪=<<与()20y k x k =+>的图像，如图所示，由)24313y x x x =-+-<<，整理得()()22210x y y -+=≥，当直线()()20y k x k =+>与圆()2221x y -+=相切时，2411kk =+，解得1515k =，对应图中分界线①的斜率；再考虑直线()2y k x =+与曲线()e 1xy x =≤相切，设切点坐标为(),e tt ，对函数e x y =求导得e x y '=，则所求切线的斜率为e t ，所求切线即直线()2y k x =+方程为()e e tty x t -=-，直线()2y k x =+过定点()2,0-，将()2,0-代入切线方程得()e e 2ttt -=--，解得1t =-，所以切点坐标为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1ek =，对应图中分界线③的斜率；当直线()2y k x =+过点()1,e 时，则3e k =，解得e3k =，对应图中分界线②的斜率.由于函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，由图可知，实数k 的范围为151e 0,,15e 3⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥ ⎪⎝⎦⎝⎭U .故选：C方法点睛：利用函数的零点个数求参数的取值范围，主要从以下几个角度分析：（1）函数零点个数与图像交点的转化；（2）注意各段函数图像对应的定义域；（3）导数即为切线斜率的几何应用；（4）数形结合的思想的应用.二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，21n n S S n +=-+，则（）A.121n n a a n ++=-B.当10a =时，501225S =C.当11a =时，{}n a 为等差数列D.当数列{}n a 单调递增时，1a 的取值范围是11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】BD【分析】对于A ，由21n n S S n +=-+，多写一项，两式相减得到121(2)n n a a n n ++=-≥，注意检验1n =时是否成立即可；对于B ，先根据题意求得22n n a a +-=，从而得到{}n a 奇数项是以10a =为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以21a =为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列得前n 项和公式即可求解；对于C ，结合B 选项求得223=-n a n ，2122+=+n a n ，得到数列{}n a 为1,4,1,6,3,8,5,10,- ，进而判断即可；对于D ，先结合选项C 求得21221n a n a =--，21122+=+n a n a ，再根据数列{}n a 单调递增，则必有22212n n n a a a ++>>，且21a a >，求解即可得出1a 的取值范围．【详解】对于A ，因为21n n S S n +=-+，当2n ≥，21(1)n n S S n -=-+-，两式相减得121(2)n n a a n n ++=-≥，但当1n =时，2211=-+S S ，即21211+=-+a a a ，得1221a a +=，不符合，故A 错误；对于B ，结合A 选项有121(2)n n a a n n ++=-≥，所以122(1)121+++=+-=+n n a a n n ，两式相减得22(2)n n a a n +-=≥，又21n n S S n +=-+，令1n =，则211S S =-+，1211a a a +=-+，得2121a a =-+，又10a =，所以21a =，令2n =，则324S S =-+，112324a a a a a ++=--+，得312122422=--+=+a a a a ，所以32a =，则312a a -=，所以22n n a a +-=，所以{}n a 奇数项是以10a =为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以21a =为首项，2为公差的等差数列，则100123495013492450()()=+++++=+++++++ S a a a a a a a a a a a 25242524(2502)(2512)122522⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以B 正确；对于C ，结合B 选项有22(2)n n a a n +-=≥，2121a a =-+，3122=+a a ，又11a =，则()()()()2222222442211212122123---=-+-++-+=--+=--=- n n n n n a a a a a a a a n a n a n ，()()()()21212121235333121222222++---=-+-++-+=-+=-++=+ n n n n n a a a a a a a a n a n a n ，即数列{}n a 的偶数项和奇数项都是等差数列，但数列{}n a 为1,4,1,6,3,8,5,10,- ，所以数列{}n a 不是等差数列，故C 错误；对于D ，结合选项C 有21221n a n a =--，21122+=+n a n a ，又数列{}n a 单调递增，则必有22212n n n a a a ++>>，且21a a >，所以111222122221n a n a n a +-->+>--，且1112->a a ，解得11144a -<<，所以1a 的取值范围是11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以D 正确．故选：BD ．关键点点睛：数列单调性问题或不等式问题，要充分挖掘题干条件，通常由递推公式求通项公式，或研究出数列的性质，结合等差数列或等比数列的性质进行求解．10.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11AD ，1AA 的中点，G 为线段1B C 上一个动点，则（）A.存在点G ，使直线1B C ⊥平面EFGB.平面EFG 截正方体所得截面的最大面积为98C.三棱锥1A EFG -的体积为定值D.存在点G ，使平面//EFG 平面1BDC 【正确答案】AC【分析】对于A 项，可以通过取111,B C B B 的中点H 、I ，连接HI 交1B C 于G 点，判定即可；对于B 项，讨论截面的形状并计算各交线长来判定即可；对于C 项，通过等体积法转化即可判定；对于D 项，通过反证，利用面11A DCB 与面EFG 和面1BDC 的交线PG 、DH 是否能平行来判定.【详解】对于A 项，如图所示，取111,B C B B 的中点H 、I ，连接HI 交1B C 于G 点，此时//EH 11A B ，由正方体的性质知：11A B ⊥面11BCC B ，又11//EH A B ，则EH ⊥面11BCC B ，1B C ⊂面11BCC B ，可得1EH B C ⊥，在正方形11BCC B 中，易知1HI B C ⊥，EH HI H = ，,EH HI ⊂面EFG ，所以1B C ⊥平面EFG ，故A 正确；对于B 项，若G 点靠C 远，如图一示，过G 作//QR EF ，即截面为四边形EFQR ，显然该截面在G 为侧面CB 1的中心时取得最大，最大值为98，若G 靠C 近时，如图二示，G 作KJ //EF ，延长EF 交1DD 、DA 延长线于M 、H ，连接MK 、HJ 交11D C 、AB 于L 、I ，则截面为六边形EFIJKL ，若K ，J 为中点时六边形面积为334，33948>，即B 错误；对于C 项，随着G 移动但G 到面1A EF 的距离始终不变即11A B ，故1111111324A EFG G A EF A EFV V A B S --==⨯⨯=是定值，即C 正确；对于D 项，如图所示，连接1A D EF P = ，H 为侧面1CB 的中心，则面11A DCB 与面EFG 和面1BDC 分别交于线PG 、DH ，若存在G 点使平面//EFG 平面1BDC ，则PG //DH ，又A 1D //CB 1，则四边形PGHD 为平行四边形，即PD =GH ，而PD ＞122B H =，此时G 应在1CB 延长线上，故D 错误；故选：AC11.设函数()()()sin ,0,02πf x A x A ωϕωϕ=+>≤<，如图是函数()f x 及其导函数()f x '的部分图像，则（）A.A ω=B.5π6ϕ=C.()f x 与y 轴交点坐标为330,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.()f x 与()f x '的所有交点中横坐标绝对值的最小值为3π6【正确答案】ABD【分析】本题先结合图象分析得知图①为()f x '的图象，图②为()f x 的图象，再根据图象中点的坐标求出基本量A ，ω，ϕ，进而可判断ABCD 四个选项.【详解】由()()sin f x A x =+ωϕ得()()cos f x A x ωωϕ'=+，如图，因当0π23f >，0π23f '>，故可判断图①为()f x '的图象，图②为()f x 的图象，由图可知：当0x ωϕ+=时，()()cos 3f x A x A ωωϕω'=+==，当x =3cos 2f A ωϕ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭，故1cos2ϕ⎫+=⎪⎭，因sin 0ϕ⎫+>⎪⎭，故3sin 2ϕ⎫+==⎪⎭由23si n f A ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得3322A =，故A =3Aω==A 正确又1cos 2π2ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 2π2ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=-，3cos 2ϕ=，又因0πϕ≤<2，故5π6ϕ=，故B 正确.综上可得()5π6in f x ⎫=+⎪⎭，()π3co 56s f x ⎫'=+⎪⎭，()6305π2f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故()f x 与y 轴交点坐标为30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，C 错误.令()()f x f x '=53co 5ππ66s ⎫⎫+=+⎪⎪⎭⎭得5π6tan ⎫+=⎪⎭ππ5π63k +=+，Z k ∈，得3π633πk x =-+，Z k ∈，故当0k =或1k =时x 的值最小为3π6，故D 正确.故选：ABD12.已知O 为坐标原点，抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 为()1,0，过点()3,2M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上的动点，则（）．A.PM PF +的最小值为B.直线FM 与抛物线C 相交的弦长为8C.当PF l ∥时，点P 到直线l的距离的最大值为D.4O A O B ⋅≥-【正确答案】BCD【分析】确定抛物线方程，过点P 作PH 垂直准线于H ，4PM PF PH PF +=+≥，A 错误，联立方程计算得到B 正确，根据平行线的距离公式讨论m 的值得的C 正确，确定根与系数的关系得到21442OA OB m ⎛⎫⋅=--≥ ⎪⎝⎭ ，D 正确，得到答案.【详解】抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 为()1,0，故12p=，2p =，抛物线2:4C y x =，准线方程为=1x -，设()11,A x y ，()22,B x y ，过点P 作PH 垂直准线于H，如图所示：对选项A ：134PM PF PH PM +=+≥+=，当,,P M H 三点共线时等号成立，错误；对选项B ：2131FMk ==-，直线FM 方程为1y x =-，241y x y x ⎧=⎨=-⎩，故2610x x -+=，364320∆=-=>，设交点横坐标分别为3x ，4x ，则346x x +=，弦长为3428x x ++=，正确；对选项C ：设直线l 的方程为230x my m -+-=，设直线PF 的方程为10x my --=，则点P 到直线l 的距离等于两平行线l 与PF的距离d ==，当0m =时，2d =；当0m >时，12m m+≥，1m =时等号成立，故[)0,2d =；当0m <时，12m m--≥，1m =-时等号成立，(2,d =；综上所述：0d ≤≤，正确；对选项D ：过点(3,2)M 的直线l 可设为(2)3x m y =-+，代入抛物线24y x =，可得248120y my m -+-=，()22163248161320m m m ∆=-+=-+>，则124y y m +=，12812y y m =-，()()2221212121281218124416162y y m OA OB x x y y y y m m -⎛⎫⋅=+=+=+-=-- ⎪⎝⎭ 4≥-，正确；故选：BCD.关键点睛：本题考查了抛物线的弦长，最值问题，向量的数量积，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域．．．．．．．．．．答题．．.）13.二次函数222y x x -=+与()20,0y x ax b a b =-++>>在它们的一个交点处切线互相垂直，则24b a b+的最小值为________.【正确答案】855+【分析】根据交点处切线垂直得到52a b +=，再利用基本不等式中的乘1法即可得到最值.【详解】解：设该交点为()11,x y ，因为()22x f x '=-，则()1122f x x '=-，因为()2g x x a '=-+，则()112g x x a =-+'，因为两函数在交点处切线互相垂直，所以()()112221x x a -⋅-+=-，221111122y x x x ax b =-+=-++，分别化简得21111222x x ax a -++=-，2111222x x ax b --=-，上述两式相加得52a b +=，又24524542b a a b a b a b-+=+=+-，其中()542542541885545555b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当54b a a b =，且52a b +=即25105210a b ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩时取等号.故所求最小值为88555+，故答案为.855+切线问题是导数中常遇到的问题，本题设交点坐标，根据交点处切线垂直得到等式，再转化为基本不等式中的最值问题.14.在ABC 中，角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，且a b c ､､为正数，120BAC ∠=︒，AO 为BC边上的中线，AO =2c b -的取值范围是__________.【正确答案】(-【分析】先利用平面向量得到2AO AB AC =+，从而求得2212b c bc +=+，设2z c b =-，代入消去c 得到关于b 的一元二次方程，从而由判别式得到z -≤≤，再分类讨论对称轴的正负求得0z <<1220bc +>，从而利用恒成立问题求得z >-，综上即可得解.【详解】依题意得，,,AB c AC b BC a ===，,,a b c 为正数.又ABC 中，120,BAC AO ∠︒=为BC 边上的中线，AO =所以2AO AB AC =+ ，两边平方得22242AO AB AB AC AC =+⋅+ ，则2212b c bc =+-，故2212b c bc +=+①，设22,2b z AB AC c b c z -==+=-，代入①得()22(2)122b z b b z b ++=++，整理得2233120b zb z ++-=②，此方程至少有1个正根，首先()22Δ912120z z =--≥，解得z -≤≤③，对于方程②：若对称秞30,03zz z -=-><，则方程②至少1个正根，符合题意；若对称轴30,03zz z -=-<>，要使方程②至少有一个正根，则需2120z -<，解得0z <<在三角形ABC 中，由余弦定理得222222cos1201220a b c bc b c bc bc =+-︒=++=+>恒成立，所以6c b >-，则622z c b b c=->--恒成立，由于6622b b b b ⎛⎫--=-+≤-- ⎪⎝⎭62b b =，即b =时，等号成立，所以z >-，结合③可得z -<≤.综上所述，z 也即2AB AC -的取值范围是(-.故答案为.(-关键点睛：本题的解决关键是假设2z c b =-，将两变量范围问题转化为一个变量z 的范围问题，再由平面向量与余弦定理依次缩小z 的范围，从而得解.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=- ，则C 的离心率为________．【正确答案】355##【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到2211,,,AF BF BF AF 关于,a m 的表达式，从而利用勾股定理求得a m =，进而利用余弦定理得到,a c 的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得00235,3x c y t ==-，224t c =，将点A 代入双曲线C 得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故355c e a ==.方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c -，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =- ，所以()()002,,3x c y c t -=--，则00235,3x c y t ==-，又11F A F B ⊥ ，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭ 2282033c t =-=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b -=，整理得2222254199c t a b -=，则22222516199c c a b-=，所以22222225169c b c a a b -=，即()()2222222225169cca a c a c a --=-，整理得424255090c c a -+=，则()()22225950c a ca --=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以355e =或55e =（舍去），故355e =.故答案为.355关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解.16.已知各项都为正数的数列{}n a 满足：2*11(2,N )n n n a a a n n +-⋅<≥∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a <，则*1(N )n n a a n +<∈成立；②若*(,,N )p q a a p q p q =<∈，则11p q a a ++>；③若p q m n +>+*(,,,N )p q m n ∈，则p q m n a a a a ⋅<⋅；④存在常数q ，使得1*1<(2,N )n n a a qn n -≥∈成立．上述命题正确的__________________.(写出所有正确结论的序号)【正确答案】①②④【分析】由题意得到11n nn n a a a a +-<，分析出{}n a 可能为递增数列，递减数列或者先增后减数列，从而依次判断即可.【详解】正数的数列{}n a 满足211n n n a a a +-⋅<，11n n n n a a a a +-∴<，当211a a <时，1121211n n n n n n a a a a a a a a ++--<<<<< ，11n n a a +<，{}n a 为递减数列；当211a a >时，1n na a +大于1和小于1均有可能，{}n a 可能为递增数列或者先增后减数列；所以{}n a 可能为递增数列，递减数列或者先增后减数列，不可能为先减后增数列.若21a a <，则1121211n n n n n n a a a aa a a a ++--<<<<< ，11n na a +∴<，故①正确；若*(,,N )p q a a p q p q =<∈，则{}n a 为先增后减数列，11p p q q a a a a ++>=>，故②正确；若{}n a 为递增数列，则p q m n +>+时，存在p q m n a a a a ⋅>⋅，故③不成立；若111,1n n a n a a n++==，则n a n =，显然存在常数q ，使得1*1<(2,N )n n a a q n n -≥∈成立，故④正确；故①②④四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()46,122n n n a S a +==.（1）求n a ；（2）记1n nb na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【正确答案】（1）24n a n =+（2）38()()23412n n n +-++【分析】（1）当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-推出112n n n a a a -+=+，由等差中项法得{}n a 为等差数列，根据1a 与4a 求出公差，可得通项公式；（2）根据11142n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭进行裂项求和可求出结果.【小问1详解】由()62n n n a S +=，当1n =时，11162a a S +==，解得16a =，当2n ≥时，()()11162n n n a S ---+=，所以1n n n a S S -=-()()()161622n n n a n a -+-+=-，整理得：()()1261n n n a n a --+=-，①所以有()116n n n a na +-+=，②①-②可得112n n n a a a -+=+，所以{}n a 为等差数列，因为146,12a a ==，所以公差为12623-=，所以24n a n =+.【小问2详解】()111112442n n b na n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，∴11111111111432435462n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭32384(1)(2)n n n +=-++.18.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos cos C a B b A c +=.（1）求C ；（2）若c =ABC 的面积为332，求ABC 的周长.【正确答案】（1）π3C =（2）5+【分析】（1）由题可知利用正弦定理可得1cos 2C =，又()0,πC ∈，可得π3C =；（2）由余弦定理可得227a b ab =+-，利用面积公式可得6ab =，配方即可解得5a b +=，所以周长为5+【小问1详解】由()2cos cos cos C a B b A c +=利用正弦定理可得，()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，即()2cos sin sin C A B C +=；又因为()sin sin 0A B C +=≠，所以2cos 1C =，可得1cos 2C =又()0,πC ∈，可得π3C =【小问2详解】利用余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即227a b ab =+-；由面积1sin 22S ab C ==，可得6ab =，所以()22273a b ab a b ab =+-=+-，即()225a b +=，所以5a b +=；因此周长5l a b c =++=+19.截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一.与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点.下图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素.研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据（v 表示行车速度，单位：12km/h;,d d 分别表示反应距离和制动距离，单位：m ）道路交通事故成因分析v64728089971051131211281351d 13.415.216.718.620.121.923.525.326.828.5（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；（2）已知2d 与v 的平方成正比，且当行车速度为100km /h 时，制动距离为65m .由表中数据可知，1d 与v 之间具有线性相关关系，请建立1d 与v 之间的回归方程，并估计车速为110km /h 时的停车距离.参考数据：()()101010102111111110331004,210,22187.3,106054,0.2152524ii i i i i i i i vd v d v ========≈∑∑∑∑参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其线性回归直线方程ˆˆy ax b=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()112211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx yax x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆby ax =-.【正确答案】（1）48125（2）10.210.084d v =-，101.666m【分析】（1）概率类型为二项分布，按照二项分布计算公式()()C 1n kk kn P x k p k -==-即可；（2）首先代入公式求ˆa，然后求出1100.4,21v d ==代入式子，即可得答案.【小问1详解】由题意可知从一年内发生的交通事故中随机抽出一起事故，则该起事故是恰好是超速驾驶的概率为0.2，设“恰好有一起事故属于超速驾驶”为事件A ，则()2131148C 155125P A ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.所以其中恰好有1起属于超速驾驶的概率48125.【小问2详解】由题意，设22d k v =⋅，因为当行车速度为100km /h 时，制动距离为65m ，所以0.0065k =，即220.0065d v =，因为1d 与v 之间具有线性相关关系，故设1ˆˆd avb =+，于是()1011110222122187.310100.4211103.3ˆ0.2110605410100.45252.4iii ii v d nvdavnv ==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑，故1ˆ0.21d v b=+，把1100.4,21v d ==代入上式，解得ˆ0.084b=-，则1d 与v 之间的回归方程为：10.210.084d v =-.设停车距离为d ，则12d d d =+，则20.00650.210.084d v v =+-，当110km /h v =时，101.666m d =，即车速为110km /h 时的停车距离为101.666m .20.如图，在梯形ABCD 中，ABCD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）求二面角A BF C --的平面角的余弦值；（3）若点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为(90)θθ≤︒，试求cos θ的范围.【正确答案】（1）证明见解析（2）77（3）7cos 7θ∈，1]2.【分析】（1）通过证明BC AC ⊥结合平面ACFE ⊥平面ABCD 可证明结论；（2）取FB 中点G ，连接AG ，CG ，通过说明AG FB ⊥，CG FB ⊥可得AGC ∠为二面角的平面角，后由题目条件结合余弦定理可得答案；（3）当点M 在F 点时，由（2）可知答案；当M 在点E 时，过B 作BN CF ∥，且使BN CF =，连接EN ，FN ，则由题目条件可得ABC θ∠=；当M 与E ，F 都不重合时，令FM λ=，延长AM 交CF 的延长线于N ，连接BN ，过C 作CH NB ⊥交NB 于H ，连接AH ，通过说明AC NB ⊥，AH NB ⊥可得AHC ∠=θ.后综合三种情况可得答案.【小问1详解】证明：在梯形ABCD 中，∥ AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，AB 2∴=，2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，222AB AC BC ∴=+，BC AC ∴⊥， 平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面ACFE .【小问2详解】解：取FB 中点G ，连接AG ，CG ，2AF == ，AB AF ∴=，AG FB ∴⊥，1CF CB == ，CG FB ∴⊥，AGC ∴∠为二面角的平面角.BC CF = ，FB ∴=，2CG ∴=，2AG =，2227cos 27CG AG AC AGC CG AG +-∴∠==⋅.【小问3详解】由（2）知：①当M 与F 重合时，cos θ=②当M 与E 重合时，过B 作BN CF ∥，且使BN CF =，连接EN ，FN ，则平面MAB 平面FCB BN =，BC CF ⊥ ，AC CF ⊥，BC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∩BC AC C =，CF ∴⊥平面ABC ，BN ∴⊥平面ABC ，ABC θ∴∠=，60θ∴=︒，1cos 2θ∴=；③当M 与E ，F 都不重合时，令FM λ=，03λ<<，延长AM 交CF 的延长线于N ，连接BN ，N ∴在平面MAB 与平面FCB 的交线上，B 在平面MAB 与平面FCB 的交线上，∴平面MAB 平面FCB BN =，过C 作CH NB ⊥交NB 于H ，连接AH ，由（1）知，ACBC ⊥，又AC CN ⊥ ，,CN BC ⊂平面NCB ，∩CN BC C =，AC ∴⊥平面NCB ，∵NB ⊂平面NCB ，AC NB ∴⊥.又CH NB ⊥ ，,AC CH ⊂平面ACH ，AC CHC ⋂=，NB ∴⊥平面ACH ，AH NB ∴⊥，AHC θ∴∠=.在NAC △中，33NC λ=-NCB △中，23(3)3CH λ=-+90ACH ∠=︒ ，22223(3)4(3)3AH AC CH λλ⋅-+∴=+=-+，21cos (3)4CH AH θλ∴==-+03λ<< ∴71cos 72θ<<.综上所述，7cos [7θ∈，12.方法点睛：本题涉及利用几何方法求二面角的平面角大小，对于此类问题可在两半平面内过交线上一点作交线的垂线；也可找到与交线垂直的平面，则垂面与半平面交线所形成的角即为所求平面角.21.已知椭圆2222:1x yCa b+=的离心率为2，且C经过点1,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭．（1）求椭圆C方程；（2）直线(0)y kx k=>与椭圆C交于点,M N F、为C的右焦点，直线MF NF、分别交C于另一点1M、1N，记FMN与11FM N△的面积分别为12S S、，求12SS的范围．【正确答案】（1）2212x y+=（2）12(1,9)SS∈【分析】（1）由离心率为22，且C 经过点21,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭可得答案；（2）设()00,M x y，令1MF FMλ=可得1M坐标，代入椭圆方程得32xλ=-，设1NF FNμ=，可得1N坐标，代入椭圆方程得32xμ=+，利用1211111||||sin21sin2MF NF MFNSS M F N F N FM⋅⋅∠=⋅⋅∠及0x的取值范围可得答案．【小问1详解】由离心率为22，且C 经过点21,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭可得2221112caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得222,1a b==，所以椭圆C22:12x y+=；【小问2详解】设()00,M x y ，则()00,N x y --，()1,0F ，令1MF FM λ= ，()001,x y MF -=- ，可得001(1),x y M λλλ+--⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入2212x y +=，得[]()220022(1)12y x λλλ-+-+=，又220012x y +=，得032x λ=-，设1NF FN μ= ，()001,x F y N += ，可得001(1),x y N μμμ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，代入2212x y +=，得()()220022112y x μμμ⎡⎤++⎣⎦+=，又220012x y +=，得032x μ=+，∵11||||,MF NF FM FN λμ==，∴210211111||||sin 2941sin 2MF NF MFN S x S M F N F N FM λμ⋅⋅∠===-⋅⋅∠，∵(0x ∈，()200,2x ∈，∴()121,9S S ∈．关键点点睛：本题第二问的关键点是设()00,M x y ，令1MF FM λ= ，1NF FN μ= ，分别求出1M 、1N 坐标，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.22.已知函数()()21ln 2f x x x x t t =-+∈R .（1）()g x 是()f x 的导函数，求()g x 的最小值；（2）证明：对任意正整数()2n n ≥，都有222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中e 为自然对数的底数）【正确答案】（1）0；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意得()()ln 1,0g x f x x x x ==-'->，求导判断单调性即可求解；（2）由（1）可得可知1ln x x -≥，当且仅当1x =时等号成立，令2111x k =+≠，则()2211111ln 1,2,3,4,11k n k kk k k k ⎛⎫+<<=-= ⎪--⎝⎭ .借助数列的裂项求和的方法和对数的运算性质即可证明.【小问1详解】由题意，()21ln 2f x x x x t =-+，()()ln 1,0g x f x x x x ==-'->，()111x g x x x-'=-=，令()0g x '=，解得1x =，又()0,1x ∈时，()()0,1,g x x ∞<∈+'时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，()()10g x g ∴≥=，即()g x 的最小值为0.【小问2详解】证明：由（1）得，()1ln 0g x x x =--≥，可知1ln x x -≥，当且仅当1x =时等号成立，令2111x k =+≠，则()2211111ln 1,2,3,4,11k n k kk k k k ⎛⎫+<<=-= ⎪--⎝⎭ .22221111ln 1ln 1ln 1ln 1234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111111223341n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22221111ln 1ln 1ln 1ln 11234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也即22221111ln 1111lne 234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，故对任意正整数()2n n ≥，都有222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

2025届安徽合肥市高考仿真卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=2．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥3．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为 A ．π8B ．π4C ．12π+D4．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-5．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞， B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，6．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入15x =，16x =，18x =，20x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）A ．6i >，7S S =B ．6i 7S S =C ．6i >，7S S =D ．6i ，7S S =7．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324B ．522C ．535D ．5788．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2或3 B ．2或3C ．2或3D ．2或310．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥ B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ C ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥ D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥12．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年安徽省合肥市高三下学期高考数学模拟试题（三模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合301x A x x ⎧⎫-=∈≤⎨⎬+⎩⎭Z ，{}2,B y y x x A ==∈，则集合A B ⋃的非空真子集的个数为（）A.14B.15C.30D.62【正确答案】D【分析】解集合A 中的不等式，得到集合A ，由集合B 中元素的条件得到集合B ，再求集合A B ⋃，由集合中元素的个数，判断非空真子集的个数.【详解】不等式301x x -≤+解得13x -<≤，由x ∈Z ，得集合{}0,1,2,3A =，则集合{}0,1,4,9B =，所以集合{}0,1,2,3,4,9A B ⋃=，集合A B ⋃中有6个元素，所以集合A B ⋃的非空真子集的个数为62262-=．故选：D ．2.已知复数z满足1i =1iz +（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】D【分析】根据复数的除法、模长运算化简复数z ，再结合复数的几何意义即可得答案.【详解】由)112i i =1i2z +=+得))12i i 21i 2i22z ++===--，∴复数z 在复平面内对应的点为21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴复数z 在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．故选：D ．3.给出下列四个命题，其中正确命题为（）A.“0x ∀>，21x x +>”的否定是“00x ∃>，2001x x +<”B.“αβ>”是“sin sin αβ>”的必要不充分条件C.α∃，β∈R ，使得()sin sin sin αβαβ+=+D.“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件【正确答案】C【分析】利用全称量词命题的否定判断A ；利用充分条件、必要条件的定义判断BD ；判断存在量词命题的真假判断C 作答.【详解】对于A ，“0x ∀>，21x x +>”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，该命题的否定为00x ∃>，2001x x +≤，A 错误；对于B ，“若sin sin αβ>，则αβ>”是假命题，如π5πsin sin 36>，而π5π36<，B 错误；对于C ，取0αβ==，则()sin sin 0sin 0sin 0sin sin αβαβ+==+=+，C 正确；对于D ，因为函数2x y =是R 上的增函数，则“a b >”是“22a b >”的充要条件，D 错误．故选：C4.如图，用M ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统，当M 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知M ，1A ，2A 正常工作的概率依次是12，34，34，已知在系统正常工作的前提下，则只有M 和1A 正常工作的概率是（）A.59B.34C.15D.19【正确答案】C【分析】利用独立事件的乘法公式求得系统正常工作和只有M 和1A 正常工作的概率，再利用条件概率公式求解即可.【详解】设事件A 为系统正常工作，事件B 为只有M 和1A 正常工作，因为并联元件1A 、2A 能正常工作的概率为33151114416⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1151521632P A =⨯=，又()()1333124432P AB P B ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以()()()15P AB P B A P A ==．即只有M 和1A 正常工作的概率为15.故选：C ．5.以边长为2的等边三角形ABC 每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P 为弧AC 上的一点，且π6PBC ∠=，则BP CP ⋅ 的值为（）A.4-B.4C.4-D.4+【正确答案】C【分析】如图所示，以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】如图所示，以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()2,0C ，由π6PBC ∠=，得)P ，所以)BP = ，)2,1CP =-，所以)2114BP CP ⋅=-+⨯=- ．故选：C.6.已知函数()213cos sin 2222x x x f x =-+，则下列结论正确的有（）A.()f x 的最小正周期为2πB.直线π3x =-是()f x 图像的一条对称轴C.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.若()f x 在区间π,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则π3m ≥【正确答案】D【分析】利用倍角公式和辅助角公式，化简函数解析式，根据函数解析式研究最小正周期、对称轴、单调区间和最值.【详解】()2131cos 1π3cos sin sin sin 22222226x x x x f x x x -⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π，A 错误；因为πππ366-+=-，ππ1sin 1362f ⎛⎫⎛⎫-=-=-≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π6x =-不是()f x 图像的一条对称轴，B 错误；当π02x <<时，ππ2π663x <+<，而函数sin y x =在π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 错误；当π2x m -≤≤时，πππ366x m -≤+≤+，因为()f x 在区间π,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，即πsin 16x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以ππ62m +≥，解得π3m ≥，D 正确．故选：D ．7.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点()2,0对称，当[]0,2x ∈时，()f x =()()20f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是（）A.26,412⎛⎫⋃-∞- ⎪ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭ B.62,124⎛⎫⋃-∞- ⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭C.,412⎧⎫⎛⎫⎪⎪-⋃+∞ ⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎝⎭D.26,412⎧⎛⎫⎪-⋃-+∞ ⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭【正确答案】A【分析】数形结合思想，方程()()20f x k x --=的根转化为()y f x =和()2y k x =-的图象的公共点的横坐标，根据直线与圆的位置关系求解.【详解】方程()()20f x k x --=的根转化为()y f x =和()2y k x =-的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点()2,0对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．因为[]0,2x ∈时，()f x =所以22(1)1x y -+=，所以图象为圆的一部分，作出()y f x =和()2y k x =-的图象如图所示．当0k >时，只需直线()2y k x =-与圆()2251x y -+=相切，1=，可得24k =；当0k <时，只需直线()2y k x =-与圆22(3)1x y ++=相离，1>，解得得612k<-或12k >（舍）．故k的取值范围是,412⎛⎫⋃-∞- ⎪ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭．故选：A ．8.已知函数()()e 1,xf x m x n m n =---∈R ，若()1f x ≥-对任意的x ∈R 恒成立，则mn 的最大值是（）A.2e - B.2e -- C.1e - D.1e --【正确答案】B【分析】讨论0m ≤，0m >，利用导数得出()ln 1m m mn +≥，构造函数()()ln 1h m m m =+，由导数得出()min h m ，进而得出mn 的最大值.【详解】()e 1xf x m x n =---，()e 1xf x m '=-，当0m ≤时，()0f x '<恒成立，则()f x 单调递减，()01f m n =--，显然()1f x ≥-不恒成立；当0m >时，(),ln x m ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；()ln ,x m ∈-+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，∴()()min ln ln f x f m m n =-=-，∵()1f x ≥-恒成立，∴ln 10m n -+≥，∴()ln 1m m mn +≥，令()()ln 1h m m m =+，0m >，()ln 2h m m '=+，()20,e m -∈时，()0h m ¢<；()2e ,m -∈+∞时，()0h m ¢>.()h m 在区间()20,e -上单调递减，在区间()2e ,-+∞上单调递增，∴()()22min e eh m h --==-，即mn 的最大值是2e --.故选：B ．关键点睛：解决本题的关键在于，将不等式的恒成立问题转化为最值问题得出()ln 1m m mn +≥，再由导数得出()min h m mn ≥.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n ，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间[)50,60内的人数为16．则下列结论正确的是（）A.图中0.016x =B.样本容量1000n =C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分D.该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分【正确答案】ACD【分析】根据频率之和等于1，即可判断A ；根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断B ；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C ；根据题意算出25%分位数，即可判断D ．【详解】对于A ，因为()0.0300.0400.0100.004101x ++++⨯=，解得0.016x =，故A 正确；对于B ，因为成绩落在区间[)50,60内的人数为16，所以样本容量161000.01610n ==⨯，故B 错误；对于C，学生成绩平均分为0.01610550.03010650.04010750.01010850.004109570.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故C 正确；对于D ，因为()()100.0040.010800.0400.25x ⨯++-⨯=，解得77.25x =，所以大约成绩至少为77.25的学生能得到此称号，故D 正确．故选：ACD ．10.已知正实数,,a b c 满足2240a ab b c -+-=，当cab取最小值时，下列说法正确的是（）A.2a b =B.24=c bC.216a b c +-的最大值为1 D.216a b c+-的最小值为12【正确答案】AC【分析】由224c a ab b =-+，代入cab用基本不等式求得最小值，得结论2a b =判断A ，此处条件代入已知得26c b =可判断B ，判断AB 过程中两个结论代入216a b c+-后利用二次函数性质求得最值判断CD ．【详解】∵正实数,,a b c 满足2240a ab b c -+-=，∴2244113c a ab b a b ab ab b a -+==+-≥-=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时等号成立，A 正确；2a b =时，2222(2)246c b b b b =-+=，B 错；2222161161211)16a b c b b b b b b +-=+-=-+=--+（，11b =，即1b =时，216a b c+-的最大值1，C 正确D 错误．故选：AC ．11.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M 为棱1CC 上的动点，AM ⊥平面α，则下列说法正确的是（）A.若N 为1DD 中点，当AM MN +最小时，1212CM CC =-B.当点M 与点1C 重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C.直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为26,23⎣⎦D.当点M 与点C 重合时，四面体11AMD B 内切球表面积为16π3【正确答案】ACD【分析】对于A ，由展开图求解；对于B ，取特殊位置判断；对于C ，由空间向量求解；对于D ，由正四面体的性质可求内切球半径，可得内切球的表面积，．【详解】对于A ，矩形11ACC A 与正方形11CC D D展开成一个平面，如图所示，若AM MN +最小，则A 、M 、N 三点共线，因为11//CC DD ，所以2MC AC DN AD ===(1222MC DN CC ==，即1222122MC CC ==-，故A 正确；对于B ，当点M 与点1C 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC 、1AC，如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1BD CC ⊥，又因为BD AC ⊥，且1AC CC C = ，1,AC CC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，又1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥，同理可证11A D AC ⊥，因为1A D BD D ⋂=，1,A D BD ⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，易知1A BD是边长为的等边三角形，其面积为(1234A BD S =⨯=△，周长为3=；设E 、F 、Q 、N ，G ，H 分别为11A D ，11A B 、1BB ，BC ，CD ，1DD 的中点，易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ，正六边形EFQNGH的周长为，面积为(2364⨯⨯=，则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，即B 错误；对于C ，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()4,0,0A ，()4,4,0B ，设()()0,4,04M a a ≤≤，因为AM ⊥平面α，所以AM是平面α的一个法向量，且()4,4,AM a =- ，()0,4,0AB = ，故32cos ,,32AM AB ==⎣⎦ ，所以直线AB 与平面α所成角的正弦值的取值范围为,32⎣⎦，则直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为,23⎣⎦，故C 正确；对于D ，当点M 与点C 重合时，四面体11AMD B 即为11ACD B 为正四面体，棱长AC =，由正四面体的性质可得，其内切球半径6123343r =⨯=，所以表面积为216π4π3r =，故D 正确．故选：ACD ．12.已知抛物线2:2C x y =的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是C 上异于点O 的两点（O 为坐标原点）则下列说法正确的是（）A.若A 、F 、B 三点共线，则AB 的最小值为2B.若32AF =，则AOF 的面积为24C.若OA OB ⊥，则直线AB 过定点()2,0D.若60AFB ∠=，过AB 的中点D 作DE l ⊥于点E ，则ABDE的最小值为1【正确答案】ABD【分析】设出直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理、焦半径公式以及基本不等式可求得AB 的最小值，可判断A 选项；求出点A 的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式可判断B 选项；设直线AB 的方程为y kx b =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及0OA OB ⋅=求出b 的值，求出直线AB 所过定点的坐标，可判断C 选项；利用抛物线的定义以及基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，易知抛物线C 的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线AB 与y 轴重合时，直线AB 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，设直线AB 的方程为12y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得2210x kx --=，2440k ∆=+>，由韦达定理可得122x x k +=，121x x =-，则221212144x x y y ==，易知10y >，20y >，所以，12112AB y y =++≥+=，当且仅当1212y y ==时，等号成立，故AB 的最小值为2，A 对；对于B 选项，设点()11,A x y ，11322AF y =+=，可得11y =，所以，21122x y ==，则1x =，所以，11112224AOF S OF x =⋅=⨯=△，B 对；对于C 选项，易知AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx b =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由于直线AB 不过原点，所以，0b ≠，联立22y kx bx y=+⎧⎨=⎩可得2220x kx b --=，2480k b ∆=+>，由韦达定理可得122x x b =-，所以，22212124x x y y b ==，因为OA OB ⊥，则2121220OA OB x x y y b b ⋅=+=-+=，解得2b =，所以，直线AB 的方程为2y kx =+，故直线AB 过定点()0,2，C 错；对于D 选项，过点A 作1AA l ⊥于点1A ，过点B 作1BB l ⊥于点1B ，设AF m =，BF n =，所以1122AA BB m nDE ++==，因为()2222222cos 3AB m n mn AFB m n mn m n mn=+-∠=+-=+-()()2222342m n m n m n DE ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭，所以AB DE ≥，则ABDE的最小值为1，当且仅当m n =时，等号成立，D对．故选：ABD ．方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()24,2,1log ,2x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩的值域是______．【正确答案】[)2,+∞【分析】根据分段函数结合常见函数的取值情况即可求得函数的值域.【详解】当2x ≤时，满足()42f x x =-+≥；当2x >时，由()21log 2f x x =+>，所以函数()f x 的值域为[)2,+∞．故[)2,+∞．14.某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．【正确答案】14【分析】根据特殊元素法进行安排即可.【详解】①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为33A 6=；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数为112222A A A 8=．综上，不同的安排种数为14．故答案为.1415.过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右焦点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为点A ，O 为坐标原点，若OAF ∠的角平分线与x 轴交于点M ，且点M 到OA 与AF 的距离都为3b，则双曲线C 的离心率为______．【分析】如图设点A 在第一象限，根据点到直线的距离公式可得F 到渐近线by x a=的距离为b ，得OA a =，由题意得四边形MTAN 为正方形，有3tan 3bMN bAOF b ON a a ∠===-，整理可得2b a =，即可求解.【详解】由题意得，双曲线的渐近线为0bx ay ±=，(c,0)F ，如图，设点A 在第一象限，则点F 到渐近线by x a=的距离为AF d b ===，所以OA a ===，过点M 分别作MN OA ⊥于点N ，MT AF ⊥于点T ，又FA OA ⊥于A ，所以四边形MTAN 为正方形，得3b NA MN ==，所以3bON OA NA a =-=-，又3tan 3bMN b AOF b ON a a ∠===-，所以33a ba =-，得2b a =，则22225c a b a =+=，所以5c a =，故5ce a==，即双曲线的离心率为5.故答案为.516.已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，ADC △是边长为2的等边三角形，ADC △外接圆的圆心为O '．若四面体ABCD 的体积最大时，π3BAO ∠'=，则球O 的半径为______；若213AB BC ==，点E 为AC 的中点，且2π3BED ∠=，则球O 的表面积为______．【正确答案】①.43②.19π3【分析】先确定ADC △的外接圆半径，若四面体ABCD 的体积最大时，结合直角三角形的边角关系即可求得此时球O 的半径；若213AB BC ==，根据四面体的线面关系确定外接球球心O 的位置，求解半径大小，即可得此时球O 的表面积.【详解】设ACD 的外接圆的半径R ，由题可得2πsin 3ACR =，解得233R =；若四面体ABCD 的体积最大时，则点B 在过O 和O '的直径上，且,B O '在O 的两侧，在ACD 中，233AO R =='，又π3BAO ∠'=，所以πtan 23BO AO =⨯'='，设球O 的半径为r ，则在Rt AO O '△中，()2222323r r ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，解得43r =；如图，取AC 的中点E ，连接DE 并延长DE 交圆O '于点F ．连接,BE BF ，由2π3BED ∠=得，则2πππ33BEF ∠=-=．33223EF R AD =-⨯=．在ABE 中，223BE AB AE =-=，所以在BEF △中，由余弦定理得2222cos 1BF EF BE EF BE BEF =+-⋅∠=，可得BF EF ⊥，结合图形可得BF ⊥圆O '．连接OO '，过点O 作BF 的垂线，垂足为点G ，连接BO ，四面体ABCD 外接球的半径2222r GO BG OO O D ''=+=+解得1122OO BG BF '===，所以球O 的半径2212192123r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四面体ABCD 外接球的表面积为19π3．故43；19π3.四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 3b aA A c+=．（1）求角C ；（2）设BC 的中点为D ，且3AD =，求2+a b 的取值范围．【正确答案】（1）π3C =（2）(23,43【分析】（1）已知等式，由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求角C ；（2）设CAD θ∠=，由正弦定理，把2+a b 表示成θ的三角函数，利用三角函数的性质求取值范围.【小问1详解】ABC中，cos b a A A c +=，由正弦定理得sin sin cos sin B AA A C++=．所以sin cos sin sin sin C A A C B A +=+，即()sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin C A A C A C A A C C A A +=++=++，sin sin cos sin A C A C A =+；又()0,πA ∈，则sin 0A ≠，所以cos 1C C -=，则有π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,πC ∈，则ππ66C -=，即π3C =；【小问2详解】设CAD θ∠=，则ACD 中，由π3C =可知2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理及AD =可得2π2πsin sinsin 33CD AC AD θθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin CD θ=，2π2sin 3AC θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2ππ24sin 4sin 6sin 36a b θθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知，ππ5π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π1sin ,162θ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(2a b +∈．即2+a b的取值范围(.18.在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*n ∈N ，都有12nn n a a +-=．在等差数列{}n b 中，前n 项和为n S ，12b =，35228b S +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设()*22nn n b c n a =∈+N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】（1）22nn a =-，1n b n =+；（2）737994n nn T +=-⨯【分析】（1）由递推关系12n n n a a +-=，可用累加法即可求得22nn a =-，再对12b =，35228b S +=化简解得1d =，从而可得{}n b 的通项公式；（2）由知（1）结论即可求得14n n n c +=，利用错位相减法、等比数列的前n 项和公式即可得出结论.【小问1详解】由12nn n a a +-=得2n ≥时，()()21121122222n n n n n a a a a a a --=+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+=-．又10a =，满足22n n a =-，所以22nn a =-．设等差数列{}n b 的公差为d ，则()35111542225714282b S b d b d b d ⨯+=+++=+=，解得1d =，所以1n b n =+；【小问2详解】2124n n n n b n c a +==+，223414444n n n T 3+=+++⋅⋅⋅+①，231123144444n n n n n T ++=++⋅⋅⋅++②①-②得231111132111111164414444442414n n n n n n n T ++-⨯++=+++⋅⋅⋅+-=+-111141117372316441234n n n n n +++++⎛⎫=+--=- ⎪⨯⎝⎭所以737994n nn T +=-⨯．19.2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．卡塔尔世界杯后，某校为了激发学生对足球的兴趣，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，统计得出的数据如下表：喜欢足球不喜欢足球合计男生50女生25合计（1）根据所给数据完成上表，试根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析该校学生喜欢足球与性别是否有关．（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球，已知男生进球的概率为34，女生进球的概率为13，每人踢球一次，假设各人踢球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，a b c d n+++=．α0.0500.0100.001 xα 3.841 6.63510.828【正确答案】（1）表格见解析，该校学生喜欢篮球与性别有关；（2）分布列见解析，数学期望为11 6.【分析】（1）根据题意中的数据分析，补充列联表，利用卡方公式计算，结合独立性检验的思想即可下结论；（2）3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3．利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，得出分布列，结合求数学期望公式计算即可求解.【小问1详解】因为随机抽取了男、女同学各100名进行调查，男生不喜欢篮球的有50人，女生喜欢篮球的有25人，所以男生喜欢篮球的有50人，女生不喜欢篮球的有75人.22⨯列联表如下：喜欢篮球不喜欢篮球合计男生5050100女生2575100合计75125200零假设为0H：该校学生喜欢篮球与性别无关．根据列联表中的数据，经计算得到()220.0012005075502513.310.82810010075125x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，∴根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为该校学生喜欢篮球与性别有关．【小问2详解】3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3．()212104324P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()21231211131C 4433448P ξ⎛⎫==⋅⋅⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()2121313212C 443432P ξ⎛⎫==⋅⋅⋅+⨯= ⎪⎝⎭，()231334316P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭．∴ξ的分布列如下：ξ0123P124134812316∴ξ的数学期望：()1131311012324482166E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．20.如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒，PAC △的边长为4的等边三角形，4PB =，BC =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）求二面角A PB C --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）91【分析】（1）通过等腰三角形性质、中位线的性质、勾股定理，证明PE ⊥平面ABC ，可证平面PAB ⊥平面ABC ．（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值.【小问1详解】（方法一）证明：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=︒，BC =，所以DE AC ⊥，DE =因为PAC △是边长为4的等边三角形，所以PD AC ⊥，PD =，在ACB △中，(22222428AB AC BC =+=+=，AB =因为PA PB =，点E 为AB 的中点，所以PE AB ⊥，3PE =，在PDE △中，有222PD PE ED =+，所以PE ED ⊥，ED AB E ⋂=，,ED AB ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ，因为PE ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ．（方法二）证明：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，PE ，DE ，则DE BC ∥．因为90ACB ∠=︒，所以BC AC ⊥，AC DE ⊥，PAC △是等边三角形，则PD AC ⊥，由PD DE D =I ，,PD DE ⊂平面PDE ，所以AC ⊥平面PDE ，又PE ⊂平面PDE ，所以AC PE ⊥，因为PA PB =，点E 为AB 的中点，所以PE AB ⊥，又AC AB A ⋂=，,AC AB ⊂平面ABC ，则有PE ⊥平面ABC ，因为PE ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ．【小问2详解】以点C 为原点，直线CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0C ，()0,3,0B ，()4,0,0A ，()3,0E ，()3,3P ，()4,3,0AB =-，()0,23,0CB =，()3,3CP = ，()0,0,3PE =-．设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z =r，则1111302330m CB m CP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，取13x =，得110,2y z ==-，则()3,0,2m =- ．设平面PAB 的一个法向量为()222,,n x y z =r ，则22243030n AB x y n PE z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取23x =，得222,0y z ==，则)3,2,0n =．设二面角A PB C --的平面角为θ，所以333273cos cos ,91137m n θ===⋅．21.如图，椭圆()222:10416x y b bΓ+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A ，B ，C 分别为椭圆Γ的左、右顶点和上顶点，O 为坐标原点，过点1F 的直线l 交椭圆Γ于E ，F 两点，线段2EF 的中点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭．点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与直线BC 相交于点Q ，直线CP 与x 轴相交于点M．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设OCQ △的面积为1S ，OCM 的面积为2S ，求12S S ⋅的值．【正确答案】（1）221164x y +=（2）16【分析】（1）根据题意，利用待定系数法即可求出结果；（2）由题可知()4,0B ，()0,2C ，所以直线BC 的方程的截距式为142x y+=，即为240x y +-=．设直线AP 的斜率为k ，点P 的坐标为(),P P x y ，则AP 的方程为()4y k x =+，并与椭圆方程221164x y +=联立方程组解得2241614P k x k -=+，2814Pk y k =+，从而表达出点P 坐标，同理可得出M x ，Q x 的值，继而求得12S S ⋅的值．【小问1详解】因为线段2EF 的中点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭在y 轴上，O 为12F F 的中点，所以1EF y ∥轴，即EF x ⊥轴，设(),1E c -，(),1F c --，222a b c =+，代入椭圆Γ的方程得，221116c b+=，又222216c a b b =-=-，所以22161116b b -+=，即2211116b b-+=，所以22116b b =，解得24b =，所以椭圆Γ的方程为221164x y +=．【小问2详解】由题意可得()4,0B ，()0,2C ，所以直线BC 的方程的截距式为142x y+=，即为240x y +-=．设直线AP 的斜率为k ，点P 的坐标为(),P P x y ，则AP 的方程为()4y k x =+，联立()221,1644,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2222143264160k x k x k +++-=，所以()226416414P k x k --=+，即2241614P k x k-=+，()28414P P k y k x k =+=+．所以2224168,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭102k ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．直线CP 的方程为22P P y y x x -=+，设点M ，Q 的坐标分别为(),0M x ，(),Q Q x y ，在22P P y y x x -=+中，令0y =得()4122212P M P k x x y k+-==--．解()240,4,x y y k x +-=⎧⎨=+⎩得()41212Q k x k -=+．所以()()12412412161212k k S S k k-+⋅=⋅=+-．关键点睛：本题第二问的关键是采取设线法，AP 的方程为()4y k x =+，并与椭圆方程221164x y +=联立方程组，解得P x ，P y 是关键；本题考查了椭圆的标准方程以及椭圆中三角形面积的问题，属于较难题.22.若对任意的实数k ，b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()3f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()1e 1e 2x x f x x m =--+是“恒切函数”，求证：108m -<≤．【正确答案】（1）是“恒切函数”；（2）证明见解析.【分析】（1）设函数()f x 的切点为()00,x y ，分析“恒切函数”的性质可得()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，对于函数()3f x x =，则有3020030x x ⎧=⎨=⎩，解可得00x =，即可得出结论.（2）设函数()f x 的切点为()00,x y ，分析可得()000001e 1e 22e 2x x x m x x ⎧=---⎪⎨⎪=+⎩ ，设2e 2x x =+，考查2e 2x x =+的解，综合即可得答案.【小问1详解】根据题意，若函数()3f x x =为“恒切函数”，切点为()00,x y ，则()()0000,,f x kx b kx b f x k k ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩' 即()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，对于函数()3f x x =，()23f x x '=，所以30200,30,x x ⎧=⎨=⎩解得00x =．因此，函数()3f x x =是“恒切函数”；【小问2详解】根据题意，函数()()1e 1e 2xx f x x m =--+是“恒切函数”，设切点为()00,x y ，由()()1e 1e 2x x f x x m =--+，可得()()12e 2e 2x x f x x '=--，则有()()0000001e 1e 0,212e 2e 0,2x x x x x m x ⎧--+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 即()000001e 1e ,22e 2,x x x m x x ⎧=---⎪⎨⎪=+⎩ 考查方程2e 2x x =+的解，设()2e 2x g x x =--，因为()2e 1x g x '=-，令()0g x '=，得ln 2x =-．当(),ln 2x ∈-∞-时，()0g x '<；当()ln 2,x ∈-+∞时，()0g x '>．所以，函数()y g x =的单调递减区间为(),ln 2-∞-，单调递增区间为()ln 2,-+∞．所以()()min ln 2ln 210g x g =-=-<．（i ）当(),ln 2x ∞∈--时，因为()2220e g -=>，()2110eg -=-<，所以，函数()y g x =在区间(),ln 2-∞-上存在唯一零点()02,1x ∈--．又因为()()()002000011111e 1e 21,028888x x m x x x x ⎛⎫=---=+=+-∈- ⎪⎝⎭；（ii ）当()ln 2,x ∈-+∞时，因为()00g =，所以函数()y g x =在区间()ln 2,-+∞上有唯一零点，则0m =，综上所述，108m -<≤．本题考查利用导数分析函数的切线以及函数的单调性，关键是理解“恒切函数”的定义，属于较难题.。

2023-2024学年安徽省合肥高考数学押题模拟试题（五模）一、单选题1．已如集合()(){}{150,log A x x x B x y =+-≥==∣∣，则U B A = ð（）A ．{14}xx -<<∣B ．{4}xx <∣C ．{14}xx -≤<∣D ．{}1xx ≤-∣【正确答案】A【分析】根据题意，先将集合,A B 化简，然后结合集合的运算，即可得到结果.【详解】因为()(){}{1505A xx x x x =+-≥=≥∣或}1x ≤-，则{}15U A x x =-<<ð{{}log 4B x y x x ===<∣，所以{14}U B xx A <=-< ∣ð.故选：A2．设i 是虚数单位，复数3i1i 1iz +=-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A【分析】根据题意，由复数的运算化简复数z ，即可得到结果.【详解】由3i1i 1iz +=-+，得()()()()()()3i 1i 42i 1i 42i 13i 1i 1i 1i 1i z +----====-+++-，所以13i z =+，故选：A3．“2m <”是“方程22121x y m m +=-+表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据方程表示椭圆的条件求解.【详解】方程22121x ym m +=-+表示椭圆2012101212m m m m m m ->⎧-<<⎧⎪⎪⇔+>⇔⎨⎨≠⎪⎪-≠+⎩⎩，所以“2m <”是“方程22121x y m m +=-+表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B.4．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm 的球O 的球面上，且一个底面的中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（）A ．12B C D 【正确答案】D【分析】由题意作出正四棱台的对角面，O 为外接球球心，为线段BC 中点，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，则DCE ∠即为所求角.【详解】由题意，作出正四棱台的对角面，如图AD 为正四棱台上底面正方形对角线，BC 为正四棱台下底面正方形对角线，O 为外接球球心，为线段BC 中点，则50OD OA OB OC ====，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，则DCE ∠即为所求角.因为50,40OD DE ==，所以30OE =，所以20EC =，所以DC =.故选:D.5．在数列{}n a 中，已知122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，则2023a =（）A ．4B ．3C ．2D ．1【正确答案】C【分析】由题意，列出数列的前若干项，分析出数列变化规律，进而得出答案.【详解】因为122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，所以36a =，48a =，58a =，64a =，72a =，88a =，96a =，108a =，118a =，124a =，可知数列{}n a 中，从第3项开始有6n n a a +=，即当3n ≥时，n a 的值以6为周期呈周期性变化，又20236337...1÷=，故202312a a ==.故选：C.6．数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数sin y A x ω=，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为11sin sin 2sin 323x x x ++，则其部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，与选项中的图象比较即可得出答案.【详解】令()11sin sin2sin323y f x x x x ==++，求导得()cos cos2cos3cos cos2cos2cos sin2sin f x x x x x x x x x x =++=++-'()()()2cos 12sin cos21cos 12cos cos2x x x x x x =-++=+，当[]0,πx ∈时，由()0f x '=解得π2π3π,,434x =，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当π2π,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2π3π,34x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当3π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以，当π4x =和3π4x =时，()f x 取极大值；当2π3x =时，()f x 取极小值，由于()()π12π3π100,,,0,π043234432f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==->= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得π3π44f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()0,πx ∈时()0f x >，结合图象，只有C 选项满足．故选：C ．7．在菱形ABCD 中，2AB =，点,E F 分别为BC 和CD 的中点，且4AB AF ⋅= ，则AE BF ⋅= （）A ．1B ．32C ．2D ．52【正确答案】B【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律结合4AB AF ⋅= ，求出2AB AD ⋅=，继而根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求得答案.【详解】因为点E F ､分别为BC 和CD 的中点，211422AB AF AB AD AB AB AD AB ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+= ⎪⎝⎭，所以2AB AD ⋅=，又11112222A B BC BC C E BF A AB AD AD A D B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+⎝⎭2213313222424AB AD AD AB =⨯=⋅+-= ，故选：B.8．定义在R 上的函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.当[),x m ∈+∞时，()332f x ≤，则m 的最小值为（）A ．278B ．298C ．134D ．154【正确答案】B【分析】根据已知计算出()()11122122n nf x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，画出图象，计算()332f x =，解得298x =，从而求出m 的最小值.【详解】由题意得，当[)1,2x ∈时，故()()()11112322f x f x x =-=--，当[)2,3x ∈时，故()()()11112524f x f x x =-=-- ，可得在区间[)(),1Z n n n +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，所以当4n ≥时，()332f x ≤，作函数()y f x =的图象，如图所示，当7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由()()13129127,27,83248f x x x x =--=-==，则298m ≥，所以m 的最小值为298故选：B 二、多选题9．某学校高三年级学生有500人，其中男生320人，女生180人.为了获得该校全体高三学生的身高信息，现采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm ），计算得男生样本的均值为174，方差为16，女生样本的均值为164，方差为30.则下列说法正确的是（）A ．如果抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有16人B ．该校全体高三学生的身高均值为171C ．抽取的样本的方差为44.08D ．如果已知男､女的样本量都是25，则总样本的均值和方差可以作为总体均值和方差的估计值【正确答案】AC【分析】利用分层抽样计算即可判断选项A ；代入均值与方差公式即可判断选项BC ；因为抽样中未按比例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适，可以判断D.【详解】根据分层抽样，抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有3202516,A 500⨯=正确；样本学生的身高均值320180174164170.4500500⨯+⨯=，B 错误；抽取的样本的方差为2232018016(174170.4)30(164170.4)44.08500500⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，C 正确；因为抽样中未按比例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适.D 错误.故选：AC10．已知函数()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的有（）A ．若()()122f x f x -=，则12min πx x -=B ．将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到的图象关于y 轴对称C ．函数2πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2πD ．若()(0)f x ωω>在[]0,π上有且仅有3个零点，则ω的取值范围为1115,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】ABD【分析】对A ：()()12,f x f x 必有一个最大值和一个最小值可求12minx x -；对B ：求出平移后函数解析式判断是否为偶函数；对C ：化简2πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭后求周期；对D ：求出π4x ω+的范围，数据正弦曲线的图象列出满足的不等式并求解.【详解】由()()122f x f x -=，故()()12,f x f x 必有一个最大值和一个最小值，则12min x x -为半个周期长度，故π,A 2T=正确；由题意ππsin cos 42f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于y 轴对称，B 正确；2π1cos 2π1sin22sin 422x x y x ⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=+= ⎪⎝⎭的最小正周期为π,C 错误.()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在[]0,πx ∈上ππππ444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,有且仅在3个零点，结合正弦函数的性质知：π3ππ4π4ω≤+<，则111544ω≤<，D 正确；故选：ABD11．正四棱锥M ABCD -中，高为3，底面ABCD 是边长为2的正方形，则下列说法正确的有（）A ．CD 到平面ABM的距离为5B ．向量AM 在向量AC 上的投影向量为12ACC ．棱锥M ABCD -D ．侧面ABM 所在平面与侧面CDM 所成锐二面角的余弦值为45【正确答案】BD【分析】补形成长方体，在长方体中作出所求距离，利用等面积求解可判断A ；根据投影向量的几何意义可判断B ；利用等体积法可判断C ；利用长方体作出平面角，由余弦定理可得.【详解】补形为长方体1111ABCD A B C D -.如图，记AC BD O = ，1111,A D B C 的中点分别为P ，Q ，作CW BQ ⊥于点W ,易知1111A C B D M =I，OB =CQ BQ ===在BCQ △中，11122BQ CW BC BB ⋅=⋅,即112322CW =⨯⨯,解得CW =易知,CW 为CD 到平面ABM 距离，A 错误；根据投影向量概念知：向量AM 在向量AC 上的投影向量为向量AO .即为12AC ，所以B 正确；即AB 中点为N ，连接MN ，ON，易得MN =，所以14442M ABCD S -=⨯⨯=+四棱锥表面积4ABCD S =正方形，由等体积求内切球半径,得11:33M ABCD ABCD M ABCD V S OM S R --=⋅=⋅正方形四棱锥表面积，ABCD M ABCD S OM R S -⋅==正方形四棱锥表面积，所以C 错误；连接CQ ，由长方体性质可知BQC ∠是所求二面角的平面角，在BQC中由余弦定理得：4cos ,D 5BQC ∠=正确.故选：BD12．已知数列{}n a 满足*n N ∀∈，曲线0:ln C y x =和:1nn n a C y x=-有交点(),nn n T x y ，且0C 和n C 在点n T 处的切线重合，则下列结论正确的为（）A ．*,n n N x e∀∈<B ．*,1p p N a ∃∈<C ．*,,p p p q p qp q N x a x a ++∃∈=D ．1*,1n ny n N e ∀∈⋅<【正确答案】AD【分析】依题意，有ln 1n n n n a x x =-，且11n n n n na x x +=，解得11e n n x -=，1e n n a n-=，对于A ，由于11e e n -<，从而可得结论，对于B ，构造函数1e ()xf x x-=，然后利用导数判断其单调性，再利用单调性判断即可，对于C ，由于111111111e e 1e nn n nn n x x -+-++==<，从而可判断数列{}n n x a 为正项递增数列，进而可判断，对于D ，只需证1*11e ()n n n--<∈Ν，令1x n =-，然后只要证1e x x +<，构造函数()e 1x g x x =--，利用导数只要证明其最小值大于零即可【详解】依题意，有ln 1n n n n a x x =-，且11n n n n na x x +=，解得11e n n x -=，1e n n a n-=，（1）考查选项A ：显然11e e n -<，即e n x <，故选项A 正确；（2）考查选项B ：构造函数1e ()xf x x-=，则12(1)e ()x x f x x --'=，显然当[1,)x ∈+∞时，()0f x '≥，即()f x 在[1,)+∞上单调递增，从而{}n a 为递增数列，又11a =，故*n ∀∈Ν，1n a ≥，易知选项B 错误；（3）考查选项C ：由111111111e e 1e nn n nn n x x --+-++==<，可知10n n x x +<<，即{}n x 为正项递增数列，{}n a 亦为正项递增数列，故数列{}n n x a 为正项递增数列，又p p q <+，易知选项C 错误；（4）考查选项D ：易知11n y n =-，需证11(1)e 1n n -⋅<，只需证1*11e ()n n n--<∈Ν，令1x n=-，则[1,0)x ∈-，只需证1e x x +<，[1,0)x ∈-，令()e 1x g x x =--，[1,0]x ∈-，则()e 10x g x '=-≤，易知()g x 单调递减，故当[1,0)x ∈-时，()(0)0g x g >=，从而选项D 正确；故选：AD.三、填空题13．52()x x-的展开式中含x 项的系数为__________.【正确答案】40【分析】求出二项展开式的通项公式，由题设中的指定项可得项数即可作答.【详解】52()x x -的展开式的通项为5521552((2),,5r r r r r rr T C x C x r N r x--+=⋅-=-∈≤，则展开式中含x 的项有521r -=，即2r =，所以展开式中含x 项的系数为225(2)40C -=.故4014．近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________.【正确答案】150【分析】7个人去三个景点，每个景点至少2人，则两个景点两人，一个景点3人，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，分类相加即可.【详解】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，第一类：仅要好的两位女生去同一景点3353C A 60=；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点112534C C C 90=，总方法数为6090150+=.故150.15．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为____.【正确答案】16设出直线1l 方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理，由弦长公式求得弦长AB ，用1k-，代替k 得弦长DE ，求出AB DE +，用基本不等式求得最小值．【详解】由题意抛物线焦点为(1,0)F ，显然直线12,l l 的斜率都存在且都不为0，设直线1l 方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=，所以21222(2)k x x k ++=，121=x x，224(1)k AB k +=，同理可得2221414(1)1k DE k k ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以2222114(1)4(1)84()8416AB DE k k k k +=+++=++≥+⨯=，当且仅当1k =±时等号成立．故16．关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交弦长问题，解题方法是设而不求思想方法，即设出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得得1212,x x x x +，然后由弦长公式12d x =-求得弦长．四、双空题16．设(){}{}()()*1212,,,,0,1,1,2,,N ,2,,,,n n i n n S aa a a a a i n n n a a a a S ==∈=∈≥=∈ ∣，定义a 的差分运算为()()213211,,,n n n D a a a a a a a S --=---∈ .用()m D a 表示对a 进行()*N ,m m m n ∈≤次差分运算，显然，()mDa 是一个()n m -维数组.称满足()()0,0,,0m D a = 的最小正整数m 的值为a 的深度.若这样的正整数m 不存在，则称a 的深度为n .（1）已知()80,1,1,1,0,1,1,1a S =∈，则a 的深度为__________.（2）n S 中深度为()*N ,d d d n ∈≤的数组个数为__________.【正确答案】412d -【分析】利用新定义和集合的运算性质即可得出结论.【详解】空1：因()80,1,1,1,0,1,1,1a S =∈，则()()1,0,0,1,1,0,0D a =，()()21,0,1,0,1,0D a =，()()31,1,1,1,1D a =，()()40,0,0,0D a =.故4空2：易知m S 中仅有一组()0,0,0,,0 ，1m S +中深度1d =的数组仅1组()1,1,1,,1 ，2m S +中深度2d =的数组仅2组，3m S +中深度3d =的数组仅4组，,m k S +中深度d k =的数组仅12k -组，,所以n S 中深度为d 的数组仅有12d -组.关键点睛：本题考查新定义和集合运算的综合应用能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新定义的本质.五、解答题17．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，L .球数构成一个数列{}n a ，满足1,1n n a a n n -=+>且*n ∈N.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证.121112na a a +++< 【正确答案】(1)()12n n n a +=(2)证明见解析【分析】（1）利用累加法求解即可；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）（1）因为1,1n n a a n n -=+>，所以1,1n n a a n n --=>，所以当1n >时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+ ()()11212n n n n +=+-+++=，当1n =时，上式也成立，所以()12n n n a +=；（2）由()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121111111112121222311n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.18．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且210sin 7cos22B C A +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1,23,O O O.(1)求角A ；(2)若1233,a O O O =ABC 的周长.【正确答案】(1)π3A =(2)3+【分析】（1）根据三角恒等变化可得22cos 5cos 30A A +-=，进而可得1cos 2A =，即可求解，（2）利用正弦定理得13,33AO c AO b ==，结合余弦定理即可联立方程求解.【详解】（1）210sin 7cos22B C A +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()51cos 7cos2B C A -+=-，故()251cos 82cos A A +=-，所以22cos 5cos 30A A +-=，可得1cos 2A =（负值舍），由()0,πA ∈，所以π3A =.（2）如图，连接13,AO AO ，由正弦定理得12sin 60AB AO =，32sin 60ACAO ︒=,则13,AO AO ==，正123O O O 面积2221313131sin6072S O O O O O =⋅⋅==∴= ，而60BAC ∠= ，则13120O AO ∠=，在13O AO 中，由余弦定理得：222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-⋅⋅∠，即221723332b c bc ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，则2221b c bc ++=，在ABC 中，60,3A a == ，由余弦定理得2222cos a b c bc BAC ∠=+-，则22229,6,15b c bc bc b c +-=∴=+=，b c ∴+=ABC 的周长为3+19．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，其中四边形ABCD 是边长为4的正方形，点G 是半圆弧CD 上的动点，且,,,C E D G 四点共面.(1)若点G 为半圆弧CD 的中点，求证：平面BFD ⊥平面BCG ；(2)是否存在G 点，使得直线CF 与平面BCG 所成的角是π3若存在，确定G 点位置；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）连接EC ，证明BF CG ⊥，从而可证得BF ⊥平面BCG ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以A 为原点，,,AF AB AD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，设π,0,2GCD θθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，利用向量法求解即可.【详解】（1）连接EC，如图所示：若点G 为半圆弧CD 的中点，则45ECD GCD ︒∠=∠=，所以90ECG ∠=︒，即EC CG ⊥，因为//BF EC ，所以BF CG ⊥，又,,,BF BC BC CG C BC CG ⊥⋂=⊂面BCG ，所以BF ⊥平面,BCG BF ⊂平面BFD ，则平面BFD ⊥平面BCG ；（2）假设存在点G ，使得直线CF 与平面BCG 所成的角为60︒，以A 为原点，,,AF AB AD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则()()()4,0,0,0,4,0,0,4,4F B C ，设π,0,2GCD θθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，则()24sin cos ,44cos ,4G θθθ--，所以()()()24,4,4,0,0,4,4sin cos ,4cos ,4CF BC BG =--==-- θθθ，设平面BCG 的法向量为(),,m x y z =，由0m BC m BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2404sin cos 4cos 40z x y z θθθ=⎧⎨--+=⎩，令sin y θ=，则cos ,0x z =-=θ，即()cos ,sin ,0m θθ=-，则cos,CF m===，整理得5sin24θ=，与[]sin20,1θ∈矛盾，所以不存在，20．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F A为双曲线C的右支上一点，点A 关于原点O的对称点为B，满足1260F AF∠=︒，且222BF AF=.(1)求双曲线C的离心率；(2)若双曲线C过点)，过圆222:O x y b+=上一点()00,T x y作圆O的切线l，直线l交双曲线C 于,P Q两点，且OPQ△的面积为l的方程.【正确答案】(2)2y x=±±或2y x=±【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义结合余弦定理列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，分直线l的斜率不存在与存在讨论，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可得到结果.【详解】（1）由对称性可知：21BF AF=，故122AF AF=，由双曲线定义可知：122AF AF a-=，即22222AF AF AF a-==，所以14AF a=，又因为122F F c=，在12AF F△中，由余弦定理得：222121212121cos22F A F A F FF AFF A F A∠+-==⋅，即22222216442041242162a a c a ca a a+--==⨯⨯，解得：c=，故离心率为ca=（2）因为双曲线过点)，所以双曲线方程：2212y x -=当直线l的斜率不存在时，则12,2,2,44PQ F F OP OQ OP OQ ⊥===≠∴直线l 的斜率不存在时不成立.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()1122,,,y kx m P x y Q x y =+又点O 到直线l距离()2221d m m k ==∴==+，联立22220y kx m x y =+⎧⎨--=⎩，消去y 得()(2222220k x kmx m k ----=≠，则12221222222km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，由OPQ △的面积为PQ =∴=PQ =将()2221m k =+代入上式得PQ =2214k m ⎧=∴⎨=⎩或22410k m ⎧=⎨=⎩，即12k m =±⎧⎨=±⎩或2k m =±⎧⎪⎨=⎪⎩，经检验，满足0∆>，∴直线l 的方程为：2yx =±±或2y x =±关键点睛：本题主要考查了双曲线的性质，以及直线与双曲线相交问题，难度较难，解答本题的关键在于联立直线与双曲线方程表示出PQ ，结合面积公式列出方程.21．已知函数()()ln ln f x px m p x =--，其中,0p m >.(1)若4x =时，()f x 有极值ln2-，求,p m 的值；(2)设1m p ≤-，讨论()f x 的零点个数.【正确答案】(1)32p =，2m =(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，然后由条件列出方程，即可得到结果.（2）方法一：根据题意，分1m p =-与1m p <-，结合零点存在定理，分情况讨论即可；方法二：根据题意，将函数零点转化为方程的根，再由导数研究其单调性与极值，即可得到结果.【详解】（1）()()()1p p x m f x x px m '⎡⎤-+⎣⎦=-.由题意得()40f '=且()4ln2f =-，即()()410,ln 4ln4ln2p m p m p -+=--=-，联立解得32p =，2m =.经检验，符合题意.（2）方法一：()f x 定义域是,m p ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由条件知，1p >.当,1m m x p p ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增；当,1m x p ∞⎛⎫∈+ ⎪-⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减.故01m x p =-是()f x 的极大值点，且极大值为()()01ln 1mf x p p =--.当1m p =-时，()00f x =，此时()f x 有一个零点.当1m p <-时，()00f x >.记111p p p pm m p m --=+，则101m <<.取11m x p m =-，则11m m x p p <<-，()111ln ln ln 0p p pp p p m mp m p f x p p p p p p m +-+=-=<+，根据零点存在定理，当,1m m x p p ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，存在一个零点.取112p x p -=，则()()()222222,ln ln ln ln ln101mx f x px m p x px p x p >=--<-==-.由零点存在定理可知，当,1m x p ∞⎛⎫∈+⎪-⎝⎭时，存在一个零点，此时()f x 有两个零点.综上所述，当1m p =-时，()f x 只有一个零点；当1m p <-时，()f x 有两个零点.方法二：由题意，函数()f x 的零点即方程()0f x =的根，即方程()ln ln ppx m x -=的根，即p m px x =-的根，记(),,pm g x px x x p ∞⎛⎫=-∈+ ⎪⎝⎭，：由()()1110p p g x p px p x --'=-=-=，得到1m x p=>，当,1m x p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，()1,x ∈+∞时，()()0,g x g x '<单调递减，又pm m g m m p p ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1p >，当x 趋向正无穷时，()pg x px x =-趋向负无穷，且()g x 的最大值为()11g p =-，综上所述，当1m p =-时，()f x 只有一个零点；当1m p <-时，()f x 有两个零点.方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.22．在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值12,,,n x x x 的随机变量，分别记作X 和Y .条件概率(),,1,2,,j i P Y x X x i j n === ∣，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量X 的平均信息量定义为.()()21()log ni i i H X p X x p X x ==-==∑当2n =时，信道疑义度定义为()()22211(),log i j j i i j H Y X p X x Y x pY x X x ===-====∑∑∣∣()()11211,log P X x Y x p Y x X x ⎡=-====⎣∣()()21212,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()12221,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()22222,log P X x Y x p Y x X x ⎤+====⎦∣(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数X 的平均信息量()222log 3 1.59,log 5 2.32,log 7 2.81≈≈≈；(2)设某信道的输入变量X 与输出变量Y 均取值0，1.满足.()()()0,1001(01,01)P X p Y X p Y X p p ωω========<<<<∣∣试回答以下问题：①求()0P Y =的值；②求该信道的信道疑义度()H YX ∣的最大值.【正确答案】(1)2.40(2)①()0P Y =()()11p p ωω=-+-；②1【分析】（1）充分理解题意，利用随机变量X 的平均信息量定义解决本小题；（2）由全概率和条件概率公式解决本小题.【详解】（1）设X 表示扔一非均匀股子点数，则X123456P121221321421521621扔一次平均得到的信息量为()()621()log i i i H X p X x p X x ==-==∑62121log 21i i i==∑62211log 21log 21i i i==-∑2224516log 7log 3log 572121=+--2.40≈.（2）①由全概率公式，得()()()()()0000101p Y p X P Y X p X P Y X =====+===∣∣()()11p pωω=-+-②由题意，()()00111p Y X p Y X p ======-∣∣.所以，()H Y X ∣()()11211,log P X x Y x p Y x X x ⎡=-====⎣∣()()21212,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()12221,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()22222,log P X x Y x p Y x X x ⎤+====⎦∣()()()111211log P X x p Y x X x p Y x X x ⎡=-=====⎣∣∣()()()121221log p X x p Y x X x p Y x X x +=====∣∣()()()212212log p X x p Y x X x p Y x X x +=====∣∣()()()222222log p X x p Y x X x p Y x X x +=====∣∣()()()()()()22221log 1log 1log 11log 1p p p p p p p p ωωωω⎡⎤=---++-+---⎣⎦()()22log 1log 1p p p p =----;其中120,1x x ==.令()()()22log 1log 1f p p p p p =----()()()()2211log log 11ln21ln2f p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤-=-+---+-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦'()2221log log 1log pp p p-=-+-=.()110,,0,22f p p x ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭'时1()0,,12f p x '⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<,max 1()12f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.。

2023-2024学年安徽省高考数学仿真模拟试题卷（三模）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数0z ≠，则“1z =”是“1R z z +∈”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C 充要 D.既不充分也不必要【正确答案】A【分析】当1z ==时，即221a b +=，12R z a z+=∈，充分性；取2z =，则15R 2z z +=∈，2z =，不必要，得到答案.【详解】设i z a b =+，,R a b ∈，当1z ==时，即221a b +=，2211i i i 2R i a b z a b a b a z a b a b-+=++=++=∈++，充分性；取2z =，则15R 2z z +=∈，2z =，不必要性.综上所述：“1z =”是“1R z z +∈”的充分不必要条件.故选：A2.若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b R ∈，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，则ϕ应满足条件（）A.tan ba ϕ=B.cos ϕ=C.tan a bϕ=D.sin ϕ=【正确答案】C【分析】先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到22k πϕθπ-=+，进而求得tan a bϕ=.【详解】sin cos y a x b x=+x x ⎫=+⎪⎭)x θ=+，其中tan baθ=，函数sin cos y a x b x =+（其中,a b R ∈，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，∴()sin()cos x x θϕ+=-，即sin()sin 2x x πθϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，∴22k πϕθπ-=+()k Z ∈，∴()tan tan 22k πϕθπ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，即cot tan ϕθ=，∴1tan tan a b ϕθ==，故选：C.本题考查了两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，需熟记公式，属于基础题.3.某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1【正确答案】D【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【详解】由题得：()20.9P x ≥=，故()20.1P x <=，因为6242+=，所以根据对称性得.()()620.1P x P x ≥=<=故选：D.4.中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（）39.6,1L 1000cm ≈=，参考公式：(13V S S h 下上棱台=++⋅）A.1.5LB.2.4LC.5.0LD.7.1L【正确答案】B【分析】由勾股定理算出高h ，即可由公式求体积.【详解】由题意，正四棱台中，设棱台的高为h ，则22222202112239236711.591.752224h 骣骣琪琪琪=-=-==琪琪琪桫桫桫，故(223120112371.2cm 2.4L 3V 棱台=⨯+≈≈.故选：B5.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B 如图所示.其中()()()()12,6,4,8,n n A n B n A B Ω===⋃=则事件A 与事件B （）A.是互斥事件，不是独立事件B.不是互斥事件，是独立事件C.既是互斥事件，也是独立事件D.既不是互斥事件，也不是独立事件【正确答案】B【分析】由()4n A B = 可判断事件是否为互斥事件，由()()()P AB P A P B =可判断事件是否为独立事件.【详解】因为()12,()6,()4,()8n n A n B n A B Ω==== ，所以()2n A B = ，()4n A B = ，()8n B =，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，所以()41123P AB ==，()()68112123P A P B =⨯=，所以()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 是独立事件.故选：B.6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =--，且函数()1f x +是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()21f x x =-，则20235f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.925B.1625C.3425D.4125【正确答案】C【分析】由函数(1)f x +是偶函数，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，从而有()(2)f x f x -=+，再结合()2()f x f x =--可得函数()f x 的周期为4，然后利用周期和()2()f x f x =--将20235化到[]1,0-上即可求解.【详解】因为函数(1)f x +是偶函数，所以(1)(1)f x f x -=+，所以()(2)f x f x -=+，因为()2()f x f x =--，所以()(2)2f x f x ++=，所以(2)(4)2f x f x +++=，所以()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，所以33()(101204)()53525f f f =⨯+=，因为233334()2(21()55525f f ⎡⎤=--=---=⎢⎥⎣⎦，所以202334525f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故选：C.7.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的两条弦AB CD ，相交于点P （点P 在第一象限），且AB x ⊥轴，CD y ⊥轴.若:::1:3:1:5PA PB PC PD =，则椭圆E 的离心率为（）A.5B.105C.5D.5【正确答案】B【分析】设(),,P m n PA t =，进而得,,,A B C D 的坐标，进而根据对称性得()()3,,2,2A t t C t t ，再代入椭圆方程整理得2235b a =，最后求解离心率即可.【详解】解：设(),,P m n PA t =，则()(),,,3A m n t B m n t +-，()(),,5,C m t n D m t n +-，由题知,A B 关于x 轴对称，,C D 关于y 轴对称，所以30n t n t ++-=，50m t m t ++-=，即n t =，2m t =，所以()()3,,2,2C t t A t t ，所以2222222291441t t a b t t a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即22229144a b a b +=+，所以2253a b=，即2235b a =，所以椭圆E的离心率为5e ===.故选：B8.已知0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（）A.log 2log 2log 2x y z x y z >>B.log 2log 2log 2y z x y z x >>C.log 2log 2log 2x z y x z y >>D.log 2log 2log 2y x z y x z>>【正确答案】B【分析】由已知0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.【详解】∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0，∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==，122z a a a a b=+=+=>，又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞，()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增，()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0，∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ，根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<，∴log 2log 2log 2y z x y z x >>．故选B ．本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在9x⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A.第6项和第7项的二项式系数相等B.奇数项的二项式系数和为256C.常数项为84D.有理项有2项【正确答案】BC【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.【详解】9x⎛⎝的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A 错误；由已知可得二项式系数之和为92，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以奇数项的二项式系数和为82256=，故B 正确；展开式的通项为139922199C C ,09,N rr r r rr T x x x r r ---+⎛⎫==≤≤∈ ⎪⎝⎭，令3902r -=，解得6r =．故常数项为6399C C 84==，故C 正确；有理项中x 的指数为整数，故0r =，2，4，6，8，故有理项有5项，故D 错误．故选：BC10.下列说法正确的是（）A.若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B.若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C.设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“lα⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充要条件D.若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补【正确答案】AB【分析】对于选项ABC ，可根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理进行判定；对于选项D ，可在长方体中寻找特殊平面进行排除.【详解】选项A ，若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线a 与平面α平行，与条件相矛盾，故选项A 正确；选项B ，由面面平行的判定定理可知选项B 正确；选项C ，当直线,m n 不相交时，由线面垂直的判定定理知：l m ⊥且l n ⊥时，得不到l α⊥，故选项C 错误；选项D ，当11//αβ，αβ⊥时，可满足题设条件，此时平面α与平面β所成的二面角为90︒,平面1α与平面1β所成的二面角为0︒，故选项D 错误.故选：AB11.定义在R 上的函数()()π2sin N 3f x x ωω*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭满足在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确．．．的是（）A.()f x 的最小正周期为π2B.将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后关于原点对称C.()f x 图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【正确答案】ABC【分析】根据题意可求出ω的值，从而可得到()f x 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．【详解】依题可知π23T T <<，于是36ω<<，于是πππ0263ππ3ππ632ωω⎧-≤-+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，∴45ω<≤，又N ω*∈，∴5ω=，∴()π2sin 53f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由2π2π==5T ω，则()f x 的最小正周期为25π，故A 错误；对于B ，因为ππ4π4π2π2sin 52sin 52sin 52π2sin 533333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得()2π2sin 53g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2π02sin 3g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 不关于原点对称，故B 错误；对于C ，由π7π2sin 166f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 图象的一个对称中心，故C 错误；对于D ，由π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πππ5,323x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：ABC ．12.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足||||5PM PN ⋅=，则下列结论正确的是（）A.点P 的横坐标的取值范围是⎡⎣B.OP 的取值范围是[]1,3C.PMN 面积的最大值为52D.PM PN +的取值范围是⎡⎤⎣⎦【正确答案】BC【分析】设出点P 的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A ；利用几何意义并结合求函数值域判断B ；利用三角形面积公式计算判断C ；取点计算判断D 作答.【详解】设点(,)P x y ，依题意，2222[(2)][(2)]25x y x y ++-+=，对于A ，2222222225[(2)][(2)](2)(2)(4)x y x y x x x =++-+≥+-=-，当且仅当0y =时取等号，解不等式22(4)25x -≤得：33x -≤≤，即点P 的横坐标的取值范围是[3,3]-，A 错误；对于B ，2222[(4)4][(4)4]25x y x x y x +++++-=，则224x y ++=显然209x ≤≤，因此||[1,3]OP ==，B 正确；对于C ，PMN 的面积115||||sin ||||222S PM PN MPN PM PN =∠≤=，当且仅当90MPN ∠= 时取等号，当90MPN ∠= 时，点P 在以线段MN 为直径的圆224x y +=上，由222244x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得39454x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以PMN 面积的最大值为52，C 正确；对于D ，因为点(3,0)在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，516PM PN +=+=，D 错误.故选：BC易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，则AB 在CD上的投影为______.【正确答案】2105【分析】先求AB ，CD，再求AB ，CD ，AB CD ⋅ ，利用向量夹角余弦公式求夹角，再由投影向量的模长公式求解.【详解】因为()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，所以()2,2AB =，()1,3CD =- ，所以AB ==，CD == ，264AB CD ⋅=-+= ，设向量AB 与CD 的夹角为θ，5cos 5|||AB CD AB CD θ⋅===，那么AB 在CD上的投影为5210cos 55AB θ==|故答案为.514.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．【正确答案】10π【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.【详解】解：设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，母线为l ，由题意可知，24π20πR R =⇒=，又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足22252l r R ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，而圆柱的侧面积2πS rl =，0l >，因为22222l l r r lr ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2l r =，即102r =，l =时等号成立，所以5lr ≤，2π10πS rl =≤，故10π15.已知实数a b c d ,,,成等比数列，且函数()ln 2y x x =+-，当x b =时取到极大值c ，则ad 等于______.【正确答案】1-【分析】通过导函数，求出极值，再利用等比数列的性质，即可求解.【详解】令()()ln 2f x x x =+-，则函数()()ln 2f x x x =+-的定义域为()2,-+∞，导函数11()122x f x x x --'=-=++，当()2,1x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 在()2,1--上单调递增，当()1,x ∈-+∞时，()0f x '<，函数()f x 在()1,-+∞上单调递减，所以当=1x -时，函数()ln 2y x x =+-取极大值，极大值为1，所以1,1b c =-=，故bc 1=-，又a b c d ,,,成等比数列，所以1ad bc ==-，故答案为.1-16.如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次（例如：先按()1,1，再按()4,4），则()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变的概率为______.()1,1()1,2()1,3()1,4()2,1()2,2()2,3()2,4()3,1()3,2()3,3()3,4()4,1()4,2()4,3()4,4【正确答案】41120【分析】根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式进行求解即可.【详解】要使得()2,3的状态发生改变，则需要按()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3这五个开关中的一个，要使得()4,1的状态发生改变，则需要按()3,1，()4,1，()4,2这三个开关中的一个，所以要使得()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3中的两个或()3,1，()4,1，()4,2中的两个，故所求概率为222853216A A A 41A 120++=.故41120关键点睛：根据开关阵列的判断出：要使得()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3中的两个或()3,1，()4,1，()4,2中的两个，是解题的关键.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知{}n a 为等差数列，且11a =，()6423a a a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()*12na nb n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，{}n b 的前n 项和为n S ，求127128n S ≤成立的n 的最大值.【正确答案】（1）n a n =（2）7【分析】（1）代入公式求出公差即可求通项公式；（2）代入等比数列的前n 项和公式即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为：d ，()6423a a a =-，11a =∴()111533a d a d a d +=+--，∴1d =.∴()1111n a a n d n n =+-=+-=，即n a n =.【小问2详解】()*12na nb n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，nan =，∴12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴数列{}n b 为等比数列，所以11112211212n n nS ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--由127128nS ≤，即112712128n -≤，化简得：111282n ≤，解得17n ≤≤，()*n ∈N ，所以，要使127128nS ≤成立的n 的最大值为：7.18.已知函数()()sin 0,π2,0f x M x M ϕωϕω⎛⎫>>⎭<⎪⎝＝＋）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos a c B b C -=，求2f A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围.【正确答案】（1）()π26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1,12⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】（1）利用最大值和最小值，求出M ，通过函数的周期求出ω，由经过π,16⎛⎫⎪⎝⎭，求出φ，即可求出()f x 的解析式；（2）利用()2cos cos a c B b C －＝，结合正弦定理，求出cos B ，利用函数的解析式2f A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，通过A 的范围求出函数的取值范围.【小问1详解】由图象知函数()f x 的最大值为1，最小值为1-，所以1M =由图象知函数()f x 的周期5ππ4π126T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以ω2=，将点π,16⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得πsin φ13⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为πφ2<，所以πφ6=，所以()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()2cos cos a c B b C -=得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，2sin cos sin A B A =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =，π3B =，2π3A C +=，由（1）πsin 26A f A ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2π03A <<，ππ5π666A <+<，所以π1sin 62A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以1,122A f ⎛⎫⎛⎤∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.所以2f A ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.19.如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，//FD EA ，且112FD EA ==.（1）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；（2）求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.【正确答案】（1）答案见解析（2）6【分析】（1）根据线面平行性质定理，可得所作直线必平行面ABCD 与面ECF 的交线，因此先作两平面交线，再在平面ABCD 内作交线的平行线.（2）建立空间直角坐标系，求直线EB 的方向向量和平面ECF 的法向量，利用向量夹角公式求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.【小问1详解】延长,AD EF ，设其交点为N ，连接CN ，则CN 为平面ABCD 与平面ECF 的交线，取线段CD 的中点M ，连接KM ，直线KM 即为所求．证明如下：延长,AD EF ，设其交点为N ，连接CN ，则CN 为平面ABCD 与平面ECF 的交线，因为//FD EA ，所以FDA EAN ∽，又12FD EA =，所以12ND NA =，所以ND DA BC ==，又//ND BC ，所以四边形BCND 为平行四边形，所以//CN BD ，取CD 的中点M ，连接KM ，∵,K M 分别为,BC CD 的中点，∴//KM BD ，∴//KM CN ．∵CN ⊂平面EFC ，KM ⊄平面EFC ，∴//KM 平面EFC．【小问2详解】以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知可得()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,2,1A E B C F ，所以()()()2,2,2,2,0,2,0,2,1EC EB EF =-=-=-，设平面ECF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.n EC n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1y =得，1,2x z ==，平面ECF 的一个法向量(1,1,2)n =.设直线EB 与平面ECF 所成的角为θ，则3sin cos ,6E EB n E B B n nθ⋅====⋅.所以直线EB 与平面ECF所成角的正弦值为6.20.放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A 地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.xyt1021ii x=∑101iii x y=∑1021ii t=∑101iii t y=∑2017.580.4 1.5.0.227.71226.8其中()ln 2012i i t x =-，101110i i t t ==∑（1）根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率.（2）已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()112211ˆnni ii i i i n ni ii i u u vv u vnu v u u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.【正确答案】（1）()ln 2012y c x d =-+适宜，预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率84%（2）（i ）0.778；（ii ）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.【小问1详解】由散点图判断()ln 2012y c x d =-+适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型.令()ln 2012t x =-，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102212101226.8101.580.4ˆ427.7101.510i iii i t y t yctt =--=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ804415744...dy ct =-=-⨯=，该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为ˆ4744.yt =+，因此y 关于年份数x 的回归方程为()ˆ4ln 201274.4yx =-+所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为()ˆ4ln 202320127444ln11744424074484....y=-+=+≈⨯+=.所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%.【小问2详解】设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”，则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =.（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112232P C P A P C A P A P C A P A P C A =++0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778.（ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C ⨯===，因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.21.已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>，直线1l ：2y x =+线C 仅有一个公共点.（1）求双曲线C 的方程（2）设双曲线C 的左顶点为A ，直线2l 平行于1l ，且交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C 上.【正确答案】（1）2211616x y -=（2）证明见解析【分析】（1可得a b =，再联立直线与双曲线利用判别式可得C 的方程；（2）设2l 方程，及M N ，的坐标，由过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，可得点H 为2016,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.再证AN MH ⊥即可.【小问1详解】因为双曲线C 2222a b a+=，即22a b =，所以双曲线C 的方程为222x y a -=，联立直线1l 与双曲线C 的方程2222y x x y a⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得(2222x x a -+=，即))2216480a +++=，因为1l 与双曲线C 仅有一个公共点，所以()22164480a ∆=-+=，解得216a =,故双曲线C 的方程为2211616x y -=.【小问2详解】设(2:2l y x m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y 则M N 、满足222,16,y x m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得2234160x mx m +++=，所以1243x x m +=-，212163m x x +=，如图所示，过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，则AH 的方程为122y x =--.代入2216x y -=得238800x x --=，即4x =-（舍去）或203x =.所以点H 为2016,33⎛⎫-⎪⎝⎭.所以()()()()()()21122122116322162320320443AN MHy y x m x m x m k k x x x x ⎛⎫+ ⎪++++⎝⎭==-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()()2222212122212122241683163212632316312328016163280m m m m x x x m x x x m m x x x x x m m x +-++++++++==++--+---，22221632611632644m m x m m x -++==----+所以MH AN ⊥，故H 为AMN 的垂心，得证.关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求AMN 一条垂线与双曲线的交点H ，再证另两条过交点H 的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想.22.已知()21ln 22f x a x x x =+-（R a ∈且0a ≠），()cos sin g x x x x =+．（1）求()g x 在[],ππ-上的最小值；（2）如果对任意的[]1,x ππ∈-，存在21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()212f x ag x x -≤成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）-1（2）()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）对()g x 求导，因为()g x 为偶函数，求出()g x 在()0,x π∈的单调性，即可求出[],ππ-上的最小值；（2）由（1）知，()g x 在[],ππ-上的最小值为1-，所以21,x e e⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()221f x a x --≤成立，即()222221ln 2a x x x x --≥成立，即2222212ln x x a x x --≥，设()212ln x xx x xϕ-=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即只需()min a x ϕ≥即可．【小问1详解】()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，显然()g x 为偶函数，当0x >时，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x x >，()0g x '>，∴()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x x <，()0g x '<，∴()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；()01g =，22g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1g π=-，∴()g x 在()0,π上的最小值为1-．由偶函数图象的对称性可知()g x 在(),ππ-上的最小值为1-．【小问2详解】先证ln 1≤-x x ，设()ln 1h x x x =-+，则()111x h x x x-'=-=，令()001h x x '>⇒<<，令()01h x x '⇒，∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．()()10h x h ≤=故ln 1≤-x x ①恒成立．由题意可得21,x e e ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()221f x a x --≤成立，即()222221ln 2a x x x x --≥成立．由①可知22ln 10x x ->≥，参变分离得2222212ln x x a x x --≥，设()212ln x x x x xϕ-=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即只需()min a x ϕ≥即可．()()()()()()2221111ln 1ln 122'ln ln x x x x x x x x x x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫----⋅--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--由①知ln 1≤-x x 得ln 1x x -≥-，∴1114ln 111202222xx x x x x --++-+=-=>≥令()'01x x e ϕ>⇒<<，令()1'01x x eϕ<⇒<<，∴()x ϕ在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增．∴()()min 112x ϕϕ==-，∴12a ≥-，又已知0a ≠故a 的取值范围为()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。

2025届安徽省合肥十一中高考仿真模拟数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 2．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ）A ．B ．C ．4D ．53．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）A ．12- B 1 C ．1D ．324．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．355．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB BAC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心7．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7,0)F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．()27,8 B ．()25,7C ．()25,8 D ．()27,7 9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．10．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度11．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,112．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )A ．152- B ．512+ C ．512- D ．512+或512- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省宿州市2025届高考仿真卷数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 2．若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．35±C ．12D ．12±3．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+5．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）．A ．32B ．105C ．155D ．636．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌 （块） 银牌（块） 铜牌（块） 奖牌总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 3038272388A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.57．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+8．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．32y x =±B ．233y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．10．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．11．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A B ．12C ．34D 12．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB ACλμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B C ．7D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省滁州市部分高中2025届高考仿真卷数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 3．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．93B ．123C ．163D ．1834．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过135．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．56．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，()2log3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<7．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．268．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．439．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则20206log a =（ ） A ．1-B ．1C 2D ．210．下列判断错误的是( ) A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件11．函数1()1xxe f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．12．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。