小学数学竞赛：加减法数字谜.学生版解题技巧 培优 易错 难

第十二讲加减法数字谜知识要点与学法指导：同学们已经学习了万以内的加法和减法，本讲我们重点学习运用加减法运算法则及数与数之间的关系巧填数字。

解答加减法数字谜的一般步骤是：一、审题，认真分析算式的特征及数量关系。

二、寻找解题突破口，结合运算法则及已知数与未知数之间的数量关系去分析、推算。

三、解题过程中注意试验，一步步寻求与前后不矛盾的正确答案。

例1根据所给的算式，推算出每个□里该填几？5＋ 24 8【分析与解】（1）观察：这是两位数加两位数和是两位数的不进位加法。

根据加法的运算法则，先看个位。

（2）寻找突破口：根据加法的运算法则，先看个位。

个位上三个数已知两个数，很容易推知另一个数。

（3）依次解决各数位上的数：个位：5与一个数相加的结果是8，只有5＋3＝8，个位的空格里应填3。

十位：一个数加上2等于4，这个数肯定是2。

十位的空格里应该填2。

这个加法算式是：2 5＋ 2 34 8试一试15＋ 48 7例2在算式的空格内填入适当的数，使算式成立。

【分析与解】方法一：（1）观察：这是一道三位数减去三位数的减法算式。

（2）寻找突破口：个位上三个数中有两个数是已知的，可以作为突破口。

（3）依次解决各数位上的数：个位：一个数减去5等于7，这个数是12，个位上的空格里应该填2，个位不够减向十位借1。

十位：个位不够减向十位借1后，十位上是7减去一个数等于3，十位减数的空格里应该填4。

百位：百位的三个数中只有被减数已知是4，所以有以下几种可能，4-1=3，4-2=2，4-3=1。

答案是：方法二：分别转化为加法算式转化为加法算式后就可以分析求解。

试一试2在下列各式的空格里分别填入适当的数，使算式成立。

6 8 8 － 2 － 6 － 6 42 6 4 4 1 2 9例3在算式的空格内填入适当的数，使算式成立。

【分析与解】（1）观察：这是一道两位数加三位数和是四位数的进位加法。

（2）寻找突破口：个位上三个数已知两个数，可以作为突破口。

数字谜是杯赛中非常重要的一块，特别是迎春杯，数字谜是必考的，一般学生在做数字谜的时候都采用尝试的方式，但是这样会在考试中浪费很多时间．本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法，学会通过找突破口来解决问题．最后通过例题的学习，总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口．在确定各数位上的数字时，首先要对填写的数字进行估算，这样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的取值，直到取得正确的解答．1. 数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．2. 数字谜突破口：这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断．3. 解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意： ⑴ 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字； ⑵ 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；⑶ 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； ⑷ 数字谜解出之后，最好验算一遍．模块一、与数论结合的数字谜 （1）、特殊数字【例 1】 如图，不同的汉字代表不同的数字，其中“变”为1，3，5，7，9，11，13这七个数的平均数，那么“学习改变命运”代表的多位数是 ．1999998⨯学习改变命运变 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第9题 【解析】 “变”就是7，19999987285714÷= 【答案】285714【例 2】 右边是一个六位乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，其中的六位数是______ 。

例题精讲知识点拨教学目标5-1-2-3.乘除法数字谜（二）杯小9望99999×赛赛希学【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，20题 【解析】 赛×赛的个位是9，赛=3或7，赛=3，小学希望杯赛=333333，不合题意，舍去；故赛=7，小学希望杯赛=999999÷7=142857【答案】142857【例 3】 右面算式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，问A 和E 各代表什么数字？E AEDEEEEE×3CB【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由于被乘数的最高位数字与乘数相同，且乘积为EEEEEE ,是重复数字根据重复数字的特点拆分，将其分解质因数后为：=37111337EEEEEE E ⨯⨯⨯⨯⨯，所以3A =或者是7A =①若A ＝3，因为3×3＝9，则E ＝1，而个位上1×3＝3≠1，因此，A≠3。

数字谜是杯赛中非常重要的一块，特别是迎春杯，数字谜是必考的，一般学生在做数字谜的时候都采用尝试的方式，但是这样会在考试中浪费很多时间．本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法，学会通过找突破口来解决问题．最后通过例题的学习，总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口．在确定各数位上的数字时，首先要对填写的数字进行估算，这样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的取值，直到取得正确的解答．1. 数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．2. 数字谜突破口：这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断．3. 解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意： ⑴ 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字； ⑵ 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；⑶ 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； ⑷ 数字谜解出之后，最好验算一遍．模块一、与数论结合的数字谜 （1）、特殊数字【例 1】 如图，不同的汉字代表不同的数字，其中“变”为1，3，5，7，9，11，13这七个数的平均数，那么“学习改变命运”代表的多位数是 ．1999998⨯学习改变命运变 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第9题 【解析】 “变”就是7，19999987285714÷= 【答案】285714【例 2】 右边是一个六位乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，其中的六位数是______ 。

例题精讲知识点拨教学目标5-1-2-3.乘除法数字谜（二）杯小9望99999×赛赛希学【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，20题 【解析】 赛×赛的个位是9，赛=3或7，赛=3，小学希望杯赛=333333，不合题意，舍去；故赛=7，小学希望杯赛=999999÷7=142857【答案】142857【例 3】 右面算式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，问A 和E 各代表什么数字？E AEDEEEEE×3CB【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由于被乘数的最高位数字与乘数相同，且乘积为EEEEEE ,是重复数字根据重复数字的特点拆分，将其分解质因数后为：=37111337EEEEEE E ⨯⨯⨯⨯⨯，所以3A =或者是7A =①若A ＝3，因为3×3＝9，则E ＝1，而个位上1×3＝3≠1，因此，A≠3。

一加减竖式谜例1 在下面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求这个算式.分析这是一道三位数加三位数，和是四位数的加法竖式.显然和的首位数字应该为1，以此为突破口，进行试验求解.解显然上=1.考虑个位，因为海和大均不能为0和1，所以海+大= 11.考虑十位，由于上+上+进位1=1+1+1=3，因此海= 3.根据海+大=11，可推出大=8.加法算式为例2 在下面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求这个算式.解选择个位作突破口.在个位上，谜+数+数的个位还是谜，由此可以推出数+数的个位是0，所以数=0或5，但数还是和的首位数字，故数只能为5.在十位上，同理，字+谜+1（进位）的个位还是字，说明谜+1的个位是0，由此推出谜=9.在百位上，字+1（进位）=5，所以字=4.加法算式为例3 在下面的减法算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求这个算式.分析这是一个减法算式，我们可以根据逆运算，将其转化为加法算式解决.解将减法算式转化为加法算式：选择十位作突破口.在十位上，有两种情况：（1）A+C的个位是A，（2）A+C+1（进位）的个位是A，由此可知C=0或9.如果C=0，那么和的个位应该是A，不合题意，所以C=9.在千位上，B与A的关系是B+1（进位）=A在百位上，A+A+1（进位）的个位是B，由于百位需要向千位进1，因此A≥5.A的取值有4种可能：5、6、7、8. （9已被C取走）.在5+5+1=11，6+6+1=13，7+7+1=15，8+8+1=17中，只有8+8+1=17满足7+1=8的条件，所以A= 8，B=7.减法算式为：例4 在下面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求这个算式.解突破口在百位上.显然，从千位上可以看出趣=1.在百位上，有三种情况；（1）味+1+2（进位）=9，（2）味+1+1（进位）=9，（3）味+1=9.因此味的取值有三种可能：6、7、8.下面分别试验：（1）若味=6，则十位上有：数+6+1+进位=29，此时无论个位向十位进位1或2，数都无解.（2）若味=7，则十位上有：数+7+1+进位=19，当个位向十位进位2时，数=9.此时在个位上，学+9+7+1= 25，可以推出学=8.（3）若味=8，则十位上只能数=0，此时个位上学无解. 所以满足条件的解答为：。

学科培优数学数字谜学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位什么是数字谜？数字谜,一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式。

这种不完整的算式,就像“谜”一样,要解开这样的谜,就得根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数,数的整除性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确的推理、判断。

重难点：1．横式迷问题2．竖式迷题中的除法式迷3．试验法在解决数字谜问题的应用考点： 1．复杂的横式迷题2．复杂的竖式谜题3．枚举和筛选相结合的方法（试验法）解决数字谜题知识梳理如何解决数字谜题？解数字谜,一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口。

推理时应注意：（1）数字谜中的文字、字母或其它符号,只取0～9中的某个数字；（2）要认真分析算式中所包含的数量关系,找出尽可能多的隐蔽条件；（3）必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法）,逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；（4）数字谜解出之后,最好验算一遍。

横式的补填空格和破译字母问题中,解题的基本方法有尾数分析,分情况试算,数值估算,以及因数分解等。

同学们在解题时要灵活应用。

例题精讲【试题来源】【题目】在下面的3个方框内分别填入恰当的数字,可以使得这3个数的平均数是150。

那么所填的3个数字之和是多少？□,□8,□97【试题来源】【题目】在下列各等式的方框中填入恰当的数字,使等式成立,并且算式中的数字关于等号左右对称：（1）12×23□=□32×21, （2）12×46□=□64×21,（3）□8×891=198×8□, （4）24×2□1=1□2×42, （5）□3×6528=8256×3□。

【试题来源】【题目】在下列算式的□中填上适当的数字,使得等式成立：（1）6□□4÷56=□0□, （2）7□□8÷37=□1□,（3）3□□3÷2□=□17, （4）8□□□÷58=□□6。

学科培优 数学 “数字谜初步” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜,从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。

横式与竖式亦可以互相转换,本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。

主要涉及小数、分数、循环小数的数字谜问题,因此,会需要利用数论的知识解决数字谜问题。

知识梳理数字谜加减法(1)个位数字分析法（如图）加法各位数规律；减法个位数规律；乘法个位数规律；(2)加减法中的进位与错位(3)奇偶性分析法数字谜乘除法(1)解题方法：数字乘法个位数字的规律--最大值最小值的考量--加减法进位规律--合数分解质因数性质--奇偶数性质规律--余数性质数阵图1、从整体和局部两种方向入手,单和与总和2、区分数阵图中的普通点（或方格）,和关键点（方格）3、在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数,计算这些 关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围4、运用已经得到的信息进行尝试（试数）429+7例题精讲 【试题来源】 【题目】有一个五位数,在某一位数字后加上一个小数点,得到一个小数,再把这个小数和原来的五位数相加,得数十79358.73,求这个五位数? 【试题来源】 【题目】希1+望1＋杯1＝1,不同的汉字表示不同的自然数,则“希＋望＋杯”＝【试题来源】【题目】在每个方框内填入一个数字,要求所填数字都是质数,并使竖式成立【试题来源】【题目】迎杯×春杯=好好好在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同的数字。

那么“迎+春+杯+好”之和等于多少?【试题来源】【题目】由3个不同数字能组成6个互异的三位数,这6个三位数的和是2886．求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【试题来源】【题目】下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式,其中□≠2,那么乘积是 ．x7【试题来源】【题目】下面残缺的算式中,只写出了3个数字1,其余的数字都不是1,那么这个算式的乘积是．【试题来源】【题目】下面的除法算式(1)是一个小数的除法竖式,其中所注明的两个字母要求：A＜B,那么满足这个竖式的除数与商的和是．【试题来源】【题目】在下面的算式中,只有四个4是已知的,则被除数为【试题来源】【题目】把1,2,3,…,13这13个数分别填在如图所示的3个圆圈内,使得同一个圆圈内任意两个数相减,所得的差不在这个圆圈内．现在已经把1,4,7填在第一个圆圈内,3填在第三个圆圈内,请将其余9个数填好．【试题来源】 【题目】将I,2,3,4,5,6,7,8这8个数分成3组,分别计算各组数的和．已知这3个和互不相等,且最大的和是最小的和的2倍,那么最小的和是多少?【试题来源】【题目】红、黄、蓝和白色卡片各一张,每张上写有一个数字．小明将这4张卡片如图7-l 放置,使它们构成一个四位数,并计算这个四位数与它的数字之和的10倍的差．结果小明发现,无论白色卡片上是什么数字,计算结果都是1998．问红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字?红黄 白 蓝【试题来源】【题目】请补全下图这个残缺的除法竖式.问这个除法算式的商数是多少?31 4 7 2 11 125 6 8 910 1331 4 7习题演练【试题来源】【题目】ABCD表示一个四位数,EFG表示一个三位数,A,B,C,D,E,F,G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993,问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?【试题来源】【题目】如图,4个小三角形的顶点处有6个圆圈。

教学目标数字谜是杯赛中非常重要的一块，特别是迎春杯，数字谜是必考的，一般学生在做数字谜的时候都采用尝试的方式，但是这样会在考试中浪费很多时间．本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法，学会通过找突破口来解决问题．最后通过例题的学习，总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口．在确定各数位上的数字时，首先要对填写的数字进行估算，这样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的取值，直到取得正确的解答．知识点拨1. 数字谜定义: 一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．2. 数字谜突破口：这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断．3. 解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意：⑴ 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9 中的某个数字；⑵ 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；⑶ 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；⑷ 数字谜解出之后，最好验算一遍．例题精讲模块一、乘法数字谜【例1】下面是一个乘法算式：问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？×5考点】乘法数字谜【难度】 1 星【题型】填空关键词】华杯赛，初赛，第 2 题解析】乘积是两位数并且是 5 的倍数，因而最大是95.95÷5＝19，所以题中的算式实际上是19×595所以，所填四个数字之和便是1＋9＋9＋5＝24答案】24例 2 】下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．美妙数学数数妙，美+妙数学=妙数数。

美妙数学 _____________考点】乘法数字谜【难度】 2 星【题型】填空关键词】走美杯，四年级，初赛，第12 题，五年级，初赛，第11题解析】由美妙数学数数妙知，“美”不为1，且“美”×妙“”<10，如果“美”为2，根据“美”×学“”的个位数为“妙”，那么“妙”为偶数，即为4，推出“学”为7，又由“美” +学“” =数“”，可知“数”为9，所以美妙数学2497 。

加减法数字谜的题巧解的方法
解决加减法数字谜题的巧解方法是通过观察数字间的规律和关系，找出能够满足题目要求的特殊规律。

以下是一些常见的巧解方法：
1. 利用进位和借位：当进行加法或减法计算时，如果两个数字和小于10，则不会产生进位或借位；但如果和大于等于10，
则会产生进位或借位。

观察数字间的进位和借位情况，可以找到一些特殊的数值组合。

2. 使用特殊的数字组合：有时，题目给出的数字可能有特殊的组合，例如数字的个位数相同，或数字之间存在一定的倍数关系。

观察并利用这些特殊组合，可以简化计算过程。

3. 利用数字的对称性：有时，数字的组合具有对称性。

例如，两个加法数字相对称，或者两个减法数字相对称。

通过观察并利用这种对称性，可以简化计算并找出符合要求的数字。

4. 利用乘法分配律：有时，题目中的数字可能满足乘法分配律。

例如，将加法问题转化为乘法问题，或将减法问题转化为加法问题。

通过应用乘法分配律，可以简化计算并找到结果。

这些巧解方法需要一定的观察力和运算技巧。

通过观察数字间的规律和关系，可以找到一些特殊的数值组合或计算转换方式，从而有效解决加减法数字谜题。

五、数字谜（一）数字谜与我们前面学习的填竖式一样，也是一种锻炼我们思维的体操，它对于我们学习数学、提高分析问题的能力是非常有益的。

数字谜的分析思考方法和填竖式的分析思考方法基本相同，即审题、选择解题突破口、确定各汉字或字母所代表的数字这三个步骤。

在第三个步骤中也需要根据已知数字的关系与特征，确定要填数字的大致范围，然后进行适当的试验，确定各汉字或字母所代表的数字。

例1 下边加法算式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字。

当它们各代表什么数字时，算式成立？分析与解在这个加法算式中，加数个位上的数字均相同，并且它们和的个位为0，所以选择个位作为解题的突破口。

（1）填个位在算式的个位上克+克+克+克的个位为0，所以克的取值为0或5。

如果克=0，那么在算式的十位上匹+匹+匹的个位也是0，这样匹只能取0，而不同的汉字应代表不同的数字，所以克=5。

此时算式中和的个位向十位进2（见下式）。

（2）填十位在上面算式的十位上，匹+匹+匹的个位应是8，而只有6＋6＋6=18，所以匹=6，并且十位上数字之和向百位进2。

（3）填百位在算式的百位上，林+林的个位应为8，而4＋4=8，9＋9＋=18，所以林取4或9。

如果林=4，百位相加后向千位进1，这样奥=1。

如果林=9，百位相加后向千位进2，这样奥=0，但是一个数的首位数字不能为0，于是林≠9。

因此，得到本题的一个解为：例2 下面算式中的每个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字。

当它们各代表什么数字时算式成立？分析与解这是一个三位数减三位数差为两位数的减法竖式。

十位数字不够减，需向百位借1，这样好比学大1，这就成为解题的突破口。

（1）如果个位不向十位借1，那么由十位可求出生的值为9，而个位上9-5=4，5与4相邻，且5比4大1。

得到一个解为：（2）如果个位向十位借1，那么由十位可求出生=8，而18不能拆成两个相邻自然数的和，因此，这种情况不可能。

于是，此题只有唯一解：例3 下面算式中的每一个字母代表一个数字，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。

5-1-2-1.加減法數字謎教學目標數字謎從形式上可以分為橫式數字謎與豎式數字謎，從運算法則上可以分為加減乘除四種形式的數字謎。

橫式與豎式亦可以互相轉換，本講中將主要介紹數字謎的一般解題技巧。

主要涉及小數、分數、循環小數的數字謎問題，因此，會需要利用數論的知識解決數字謎問題知識點撥一、數字迷加減法1.個位數字分析法2.加減法中的進位與退位3.奇偶性分析法二、數字謎問題解題技巧1.解題的突破口多在於豎式或橫式中的特殊之處，例如首位、個位以及位數的差異；2.要根據不同的情況逐步縮小範圍，並進行適當的估算；3.題目中涉及多個字母或漢字時，要注意用不同符號表示不同數字這一條件來排除若干可能性；4.注意結合進位及退位來考慮；模組一、加法數字謎【例 1】 “華杯賽”是為了紀念和學習我國傑出的數學家華羅庚教授而舉辦的全國性大型少年數學競賽．華羅庚教授生於1910年，現在用“華杯”代表一個兩位數．已知1910與“華杯”之和等於2004，那麼“華杯”代表的兩位數是多少？0191杯华2040＋【考點】加法數字謎 【難度】1星 【題型】填空【關鍵字】華杯賽，初賽，第1題【解析】 由0+“杯”=4，知“杯”代表4（不進位加法）；再由191+“華”=200，知“華”代表9．因此，“華杯”代表的兩位數是94．【答案】94【例 2】 下麵的算式裏，四個小紙片各蓋住了一個數字。

被蓋住的四個數字的總和是多少?1＋49【考點】加法數字謎 【難度】2星 【題型】填空【關鍵字】華杯賽，初賽，第5題【解析】 149的個位數是9，說明兩個個位數相加沒有進位，因此，9是兩個個位數的和，14是兩個十位數的和。

於是，四個數字的總和是14＋9＝23。

【答案】23【例 3】 在下邊的算式中，被加數的數字和是和數的數字和的三倍。

問：被加數至少是多少？例題精講【考點】加法數字謎 【難度】3星 【題型】填空【關鍵字】第四屆，華杯賽，初賽，第2題【解析】 從“被加數的數字和是和的數字和的三倍”這句話，可以推斷出兩點：①被加數可以被3整除。