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g
g 9.8 9.9mm
mg
2 sin(t ) 2 (2 5)2
P57.1-3: 求简谐位移u1(t) 5e j(t300)与u2(t) 7e j(t900)的合成运动u(t), 并求u(t)与u1(t)的相位差。
u(t) u1(t) u2 (t) 5e j(t300 ) 7e j(t900 ) (5e j300 7e j900 )e jt (5 cos 300 j(5sin 300 7))e jt 10.44e j(t65.50 )
由以上各式得到：keq
(a b)2 a2 b2
k2 k1
k1x1 x1
a
bx1 ax2 ab
k 2 x2
o
x2
b f
P57.1-7: 图中简支梁长l 4m, 抗弯刚度EI 1.96106 Nm2, 且k 4.9105 N/m, m 400kg。 分别求图示两种系统的固有频率。
w
F F／2
u (t) cos(39t (t))
u (t) (5cost 3)2 (5sin t)2 34 30cos t (t) arctan( 5sin t )
5cos t 3
umax 34 30 8 umin 34 30 2
拍频 | 2 1 || 40 39 | 1 rad/s 拍周期 2 2 2 (s)
keq k3 keq k3
(k1 k2 )k3 k1 k2 k3
系统的固有频率：n
keq 261.86 rad/s m
P57.1-6: 写出图示系统的等效刚度的表达式。
垂直方向力平衡：f k1x1 k2x2
对o力矩平衡：k1x1a k2x2b
设等效刚度系数为keq，则：f
keq
bx1 ax2 ab
| 2 1 | | 40 39 |
P57.1-5: 写出图示系统的等效刚度的表达式。当m 2.5kg, k1 k2 2105 N/m, k3 3105 N/m时， 求系统的固有频率。
分析表明：k1和k2并联，之后与k3串联 k1和k2并联后的等效刚度：keq k1 k2
整个系统的等效刚度：keq
/ m)
n
百度文库keq m
1.96 106 70(rad / s)
400
(b)
keq
k kbeam k kbeam
3.675105
n
keq 30.3(rad / s) m
P58.1-8: 钢索的刚度为4105 N/m, 绕过定滑轮吊着质量为100kg的物体以匀速0.5m/s下降， 若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。
(ml2 2ml2 )&& k l2 mgl 4
n
kl 4mg 12ml
P58.1-12: 图示摆，其转轴与铅垂方向成角，摆长l，质量不计。求摆动固有频率。 ml2&& mg sin( )l sin
ml2&& mg sin( )l sin 0
很小，sin
ml2&& mg sin( )l 0
对台面的振幅有何限制？
m
u
质量m运动方程：N mg mu&&(t)
N mu&&(t) mg
不跳离条件: N 0
a
sin(t
)
g
2
g u(t) 2
mu&&(t) mg 0
u&&(t) 2u(t)
(•) 如果sin(t ) 0, 则上式恒成立
N
m
(•) 如果sin(t ) 0, 则上式变为a
x3
12
1 6
x
l 2
3
3l 2 48
x
w
F F／2
F／2 x
w(x)
F EI
x3
12
1 6
x
l 2
3
3l 2 48
x
(a)
F
F 48EI
kbeam w(l / 2) l3F l3
48EI
keq
k
kbeam
k
48EI l3
4.9 105
48 1.96 106 43
1.96106 (N
系统固有频率：n
k m
初始条件：u(0) 0, u&(0) v0
振幅：a
u02
( u&0 )2 n
v0 n
v0
m k
最大张力：T mg ka mg v0 mk 1000 9.8 0.5 1000 4105 1.98104 (N)
P58.1-11: 系统在图示平面内作微摆动，不计刚杆质量，求其固有频率。
第一章习题
P57.1-1: 一物体作简谐振动, 当它通过距平衡位置为0.05m, 0.1m处时的速度分别为0.2m/s和0.08m/s。 求其振动周期、振幅和最大速度。
u(t) a sin(t ) u&(t) a cos(t )
两边平方，相加
代入已知条件
[a2 u2 (t)]2 u&2 (t)
振动周期：T 2 / 2 / 2.1167 2.9684 振幅：a 0.1069 最大速度=a 0.1069 2.1167 0.2263
[a2 0.052 ]2 0.22 [a2 0.12 ]2 0.082
解出
a 0.1069, =2.1167
P57.1-2: 一物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，
n
mg sin( )l ml 2
g sin( ) l
mg sin
P58.1-13: 证明对临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。
(1) 对临界阻尼情形
u(t) [u0 (u&0 nu0 )t]ent
u(t)与u1(t)的相位差：65.50 300 35.50
P57.1-4: 求两简谐运动u1(t) 5cos 40t, u2 (t) 3cos 39t的合成运动的最大振幅和最小振幅， 并求其拍频和周期。
u(t) u1(t) u2 (t) Re[5e j40t 3e j39t ] Re[(5e jt 3)e j39t ] Re[((5cos t 3) j5sin t)e j39t ] Re[u (t)e j (t)e j39t ]
F／2
x
任意截面处的弯矩：
M (x) F x F x l
2
2
挠曲线微分方程：
x
l 2
x 0
l 2
当x l 2
当x l 2
d 2w
M (x)
F 2
xF
x
l 2
dx2 EI
EI
积分：
w(x)
F EI
x3
12
1 6
x
l 2
3
Cx
D
边界条件： w(0) w(l) 0
w(x)
F EI
