x C1 cosnt C2 sin nt C1和C2是积分常数,由运动 的起始条件确定。 设: A C12 C 2 2 tan C1 C2 则解为: x Asin(nt ) 表明:无阻尼自由振动是简谐振动。 其运动图线为: x A x0 l0 st O x x Ot n F P t T x 2.无阻尼自由振动的特点 (1)固有频率 武汉大桥局桥科院、北方交通大学进行 的“秦-沈线中华之星高速列车通过桥梁 振动及结构应变试验” 。 中华之星高速 列车设计时速260Km/h,实际测试时速 321.5 Km / h 。大桥为 28 孔双线后张 法 预应力混凝土简支箱梁桥 , 梁顶宽 12.4m,梁高2.2m,梁跨长24.6m。 案例:齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分 析,确定最大频率分量,然后 根据机床转速和传动链,找出 故障齿轮。 三、工程振动问题类型 • 1. 振动分析(已知输入,系统求输出) • 2. 系统识别(已知输入和输出求系统) • 3. 载荷识别(已知系统,输出求输入) 四、振动现象分类 • 1. 按系统分:线性、非线性 • 2. 按响应分:定则、随机 • 3. 按输入分:自由、强迫、自激(由系统反馈引 起)、参数激励、(随机或周期改变系统特性) • 4. 按自由度分、离散、连续 • 离散:常微 • 连续:偏微 • 本课程:线性、时不变系统。 它是振动系统的固有的特性,所以称ωn为固有圆频率。 固有频率是振动理论中的重要概念,它反映了振动系统的动力学特性, 计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。 由 mPg k P st n k m n g st 上式表明:上述振动系统,知道重力作用下的静变形,就可求得系统的 固有频率。 如:我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢上下振动的频率。 满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大,则其振动频率比空载车厢低。 (2)振幅与初位相 谐振振动表达式 x Asin(nt ) A表示相对于振动中心点O的最大位移,称为振幅。 (ωnt+θ)称为相位(或相位角),相位决定了质点在某瞬时t 的位置,它具有角度的量纲,而θ称为初相位,它决定了质点 运动的起始位置。 机械振动理论 于德介 绪论 振动是日常生活和工程中普遍存在的现象,有机械振动、 电磁振荡、光的波动等不同的形式。 这里研究机械振动,如钟摆的摆动、汽车的颠簸、混凝 土振动捣实以至地震等。 特点:物体围绕其平衡位置而往复运动。 掌握机械振动的基本规律,可以更好地利用有益的振动而 减少振动的危害。 机械振动 振动有各种不同的形式 电磁振动 案例:螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆 的固有频率和临界转速,确定 螺旋浆转速工作范围。 二、动态问题特点 • 1. 复杂性:载荷作用的后效性,响应对 载荷的记忆性 • 2. 危险性:共振、自激振动(在无外力 的激励情况下突然振动,振幅上升,如机 床、轧钢机、飞机)、颤振 • 3. 超常性:振动现象难以直观解释,如 共振、调谐消振器 d2x m kx dt 2 l0 两端除以质量m,并设 2 n k m 移项后得: d2x dt 2 2 n x 0 st O x 无阻尼自由振动微分方程的标准形式 F 是一个二阶齐次线性常系数微分方程。 x P 设: x ert 代入微分方程,消去ert 得特征方程: r2 2 n 0 两个根为: r1 i n r2 i n 方程解表示为: x C1 cosnt C2 sin nt 第一章 单自由度系统自由振动 一. 单自由度系统的自由振动 1. 自由振动微分方程 工程中许多振动可简化为一个质量和一个弹簧的弹簧质量系统,系统在 重力作用下沿铅垂方向振动的,具有一个自由度,简化为图示模型。 下面来分析其运动规律,先列出其运动微分方程。 设弹簧原长为l0,刚性系数为k。 在重力P=mg 的作用下 无阻尼自由振动是简谐振动,是一种周期振动,任何瞬时t,其 运动规律x(t)总可以写为: x(t)= x(t+T) T为常数,称为周期,单位符号为s。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振Hale Waihona Puke Baidu微分方程 d2x dt 2 2 n x 0 解为: x Asin(nt ) 角度周期为2π,则有: [n (t T ) ] (nt ) 2 l0 弹簧变形为δs,称为静变形,该位置为平 衡位置。重力和弹簧力。 st Fst k st P mg O 平衡时满足: mg k st st mg k x 取重物的平衡位置点O为坐标原点,取x轴 的正向铅直向下。受力如图 。 x Fst mg F P 弹簧力F: F k(x st ) l0 由质点运动微分方程可列: 广义振动: 任一物理量(如位移、电流等)在 某一数值附近反复变化。 一、振动工程的重要性 • 1. 大型回转机械动态失稳造成事故 • 2. 桥梁由于共振、风激振动倒塌 • 3. 产品包装 • 4. 汽车舒适性,航天工程 • 5. 机床加工质量 • 6. 夯士、振动检测 国家重点工程:长江三峡水利 枢纽工程,135米蓄水前中孔 闸门振动试验现场(2003年4 月应用锤击模态法) 则自由振动的周期为: T 2 n 可得: 其中 T 2 n n 2 1 T 2f f 1 T 称为振动的频率 表示每秒钟的振动次数,其单位符号为1/s或Hz(赫兹)。 因为ωn=2πf 所以ωn表示2π秒内的振动次数,称为圆频率 单位符号为rad/s(弧度/秒)。 由 2 n k m n k m 自由振动的圆频率ωn只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关,而与 运动的初始条件无关; 自由振动中的振幅A和初相位θ是两个待定常数,它们由运动 的初始条件确定。 设在起始t=0时,物块的坐标x=x0,速度v=v0。为求A和θ, x Asin(nt ) st m d2x dt 2 P k ( st x) mg k st O x F m d2x dt 2 kx x P 表明,物体偏离平衡位置于坐标x处,受到与偏离距离成正 比而与偏离方向相反的合力,称此力为恢复力。 在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。 重力加在振动系统上只改变其平衡位置,只要将坐标原点取 在平衡位置,可得到如上形式的运动微分方程。