专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案

一．【学习目标】1．熟练掌握等差、等比数列前n项和公式．2．熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等．二．【知识要点】求数列前n项和的基本方法(1)公式法数列{a n}为等差或等比数列时直接运用其前n项和公式求和．若{a n}为等差数列，则S n＝（a1＋a n）n2＝____________________．若{a n}为等比数列，其公比为q，则当q＝1时，S n＝_________({a n}为常数列)；当q≠1时，S n＝______________＝_________(2)裂项相消求和法数列{a n}满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和．(3)倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项的和公式就是用此法推导的．(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和．形如a n ＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 三．【方法总结】1.常用基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征，联想相应的求和方法既是根本，又是关键.2.数列求和实质就是求数列{S n }的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.练习3. 已知函数，则的值为 _____． 【答案】2.裂项求和例2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若，则5S 等于（ ）16 56 130【答案】【解析】选练习1.数列的前项的和为（ ）11【答案】 【解析】故数列的前10项的和为选练习6.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有，则等于（ ）20162017 4032201720172018 40342018【答案】D练习7.设数列{}n a 满足，且，若[]x表示不超过x 的最大整数，则( )【答案】 【解析】构造，则，由题意可得，故数列{}n b 是为首项为公差的等差数列， 故，故以上个式子相加可得，解得，∴，∴，∴20172018则．故答案为：．练习8. 已知幂函数()af x x =的图象过点()4,2，令（*n N ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2018S =（ ）1 11 1【答案】故选：.练习9. 已知数列{}n a 的首项为9，且，若，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________．【答案】2119101n --练习10.设数列{}n a 的前项为n S ，点,n S n n⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()*n N ∈均在函数32y x =-的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式。

专题六数列第十七讲 递推数列与数列求和答案部分1．C 【解析】∵113n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113S -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+，故选C ．2．D 【解析】【法1】有题设知21a a -=1，① 32a a +=3 ② 43a a -=5 ③ 54a a +=7，65a a -=9，76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，121121a a -=，……∴②－①得13a a +=2，③+②得42a a +=8，同理可得57a a +=2，68a a +=24，911a a +=2，1012a a +=40，…，∴13a a +，57a a +，911a a +，…，是各项均为2的常数列，24a a +，68a a +，1012a a +，…是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{n a }的前60项和为11521581615142⨯+⨯+⨯⨯⨯=1830. 【法2】可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+112341515141010151618302b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+⨯= 【法3】不妨设11a =，得23572,1a a a a ====⋅⋅⋅=，466,10a a ==，所以当n 为奇数时，1n a =，当n 为偶数时，构成以2a 为首项，以4为公差的等差数列，所以得601830S =3．A 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+=，故1210a a a ++⋅⋅⋅+=3515⨯=．故选A. 4．6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴6n ． 5．27【解析】∵11a =，11(2)2n n a a n -=+≥，所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，所以前9项和998192722S ⨯=+⨯=．6．2011【解析】由题意得：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)1212n n n n +=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++．7．12【解析】将82a =代入111n n a a +=-，可求得712a =；再将712a =代入111n n a a +=-，可求得61a =-；再将61a =-代入111n na a +=-得52a =；由此可知数列{}n a 是一个周期数列，且周期为3，所以1712a a ==． 8．【解析】当n =1时，1a =1S =12133a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=12233n n a a --，即n a =12n a --，∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1(2)n --.9．（1）116-，（2）10011(1)32-【解析】(1)∵1(1)2nn n n S a =--． 3n =时，a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18 ①4n =时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，∴a 1＋a 2＋a 3＝－116. ②由①②知a 3＝－116．(2)1n >时，11111(1)()2n n n n S a ----=--，∴11(1)(1)()2n n n n n n a a a -=-+-+当n 为奇数时，1111()22n n n a a +-=-； 当n 为偶数时，11()2nn a -=-．故11(),21(),2n n n n a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，11,20,n n n S n +⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数∴121002461001111()2222S S S ++⋅⋅⋅+=-+++⋅⋅⋅+ 10010010011(1)111142(1)(1)1323214-=-=--=--．10．1830【名师解析】可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+，1123410b a a a a =+++=⇒15151410151618302S ⨯=⨯+⨯=． 11．3018【解析】因为cos 2n π的周期为4；由cos 12n n a n π=+n N *∈∴12346a a a a +++=，56786a a a a +++=，… ∴ 201250363018S =⨯=12．4【解析】由题意得1122(4)()(1)(14)()3322(4)()(1)(14)()33k k k k k k k k k k k k -+⎧+>--+⎪⎪⎨⎪+>+++⎪⎩，得22(1)1010k k ⎧-<⎨>⎩，13．【解析】(1)设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+，可得220q q --=．因为0q >，可得2q =，故12n n b -=．所以122112nn n T -==--． 设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=． 由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==， 故n a n =，所以(1)2n n n S +=． (2)由(1)，知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--由12()4n n n n S T T T a b ++++=+可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =．所以n 的值为4．14．【解析】（1）因为123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=，故当2n ≥时，1213(23)2(1)n a a n a n -++⋅⋅⋅+-=-．两式相减得(21)2n n a -=． 所以221n a n =-(2)n ≥． 又由题设可得12a =． 从而{}n a 的通项公式为 =.（2）记{}21na n +的前n 项和为n S ， 由（1）知21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-++--+． 则11111121335212121n nS n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-++． 15．【解析】（Ⅰ）由已知，1221121,1,,3a b b b b b +===得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）和11n n n n a b b nb +++= ，得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为13的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ，则111()313.122313nn n S --==-⨯- 16．【解析】 (Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 当n =1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n =4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n =6,7,8时，2334,35n n b +≤<=； 当n =9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17．【解析】（Ⅰ）由12a =，12n n a a +=，得2nn a =．当1n =时，121,b b =-故22b =． 当n 2≥时，11,n n n b b b n+=-整理得11,n n b n b n ++=所以n b n =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2nn n a b n =⋅， 故23222322nn T n =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()2341222222122n n n T n n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()1122n n T n +=-+．18．【解析】（Ⅰ）由条件，对任意*n N ∈，有2133n n n a S S ++=-+*()n N ∈，因而对任意*,2n N n ∈≥，有1133n n n a S S +-=-+*()n N ∈，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥， 又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=，故对一切*n N ∈，23n n a a +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0n a ≠，所以23n na a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯，于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++1113(31)(133)2(133)3(133)2n n n n ----=+++++=++=．从而1221223(31)323(531)22n n n n n n S S a ----=-=-⨯=⨯-， 综上所述，2*2*23(531),(21,)23(31),(2,)2n n nn k k N S n k k N -⎧⨯-=+∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩．19．【解析】（Ⅰ）2211111:(1)320,60n S S S S =---⨯=+-=令得即，所以11(3)(2)0,S S +-=1110,2, 2.S S a >∴==即（Ⅱ）2222(3)3()0,:(3)()0,n n n n S n n S n n S S n n ⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦由得20(),0,30,,n n n n a n N S S S n n *>∈∴>+>∴=+从而2212,(1)(1)2,n n n n a S S n n n n n -⎡⎤∴≥=-=+--+-=⎣⎦当时1221,2().n a a n n N *==⨯∴=∈又（Ⅲ）当*k ∈N 时，22313()()221644k k k k k k +>+-=-+ 111111113(1)2(21)44()()()244k k a a k k k k k k ∴==⋅<⋅+++-+11111111144(1)()(1)4444k k k k ⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦1122111(1)(1)(1)n n a a a a a a ∴++++++1111111()()11111141223(1)444444n n ⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦20．【解析】(Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，当 .1,011=≠⇒a a 11111111222221----=⇒-=---=-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当-.*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为（Ⅱ）n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT上式左右错位相减：n n n nn n n n na qq a na a a a a T q 21211)1(111321⋅--=---=-++++=-++*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒。

专题六数列第十七讲 递推数列与数列求和2019年1.(2019天津理19)设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N . (i)求数列(){}221n n a c -的通项公式; (ii)求()2*1ni ii a c n =∈∑N .2010-2018年一.选择题1.(2013大纲)已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于 A.106(13)--- B.101(13)9- C.103(13)-- D.103(13)-+2.(2012上海)设25sin 1πn n a n =,n n a a a S +++= 21,在10021,,,S S S 中,正数的个数是A.25B.50C.75D.100 二.填空题3.(2018全国卷Ⅰ)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,若21n n S a =+,则6S =_____.4.(2017新课标Ⅱ)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则11nk kS ==∑ . 5.(2015新课标Ⅱ)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且1111,n n n a a S S ++=-=,则n S =__. 6.(2015江苏)数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1{na 前10项的和为 .7.(2013新课标Ⅰ)若数列{n a }的前n 项和为n S =2133n a +,则数列{n a }的通项公式是n a =______.8.(2013湖南)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 (1)3a =_____;(2)12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.9.(2012新课标)数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ,则}{n a 的前60项和为.10.(2012福建)数列{}n a 的通项公式cos12n n a n π=+,前n 项和为n S ,则 2012S =___________.三.解答题11.(2018浙江)已知等比数列1{}a 的公比1q >,且34528a a a ++=,42a +是3a ,5a 的等差中项.数列{}n b 满足11b =,数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为22n n +.(1)求q 的值;(2)求数列{}n b 的通项公式.12.(2018天津)设{}n a 是等比数列,公比大于0,其前n 项和为n S ()n *∈N ,{}n b 是等差数列.已知11a =,322a a =+,435a b b =+,5462a b b =+. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)设数列{}n S 的前n 项和为n T ()n *∈N ,(i)求n T ;(ii)证明221()22(1)(2)2n nk k k k T b b k k n ++=+=-+++∑()n *∈N . 13.(2017江苏)对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立,则称数列{}n a 是“()P k 数列”.(1)证明:等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;(2)若数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,证明:{}n a 是等差数列.14.(2016年全国II)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且11a =,728S =.记[]lg n n b a =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]0.90=,[]lg991=. (Ⅰ)求1b ,11b ,101b ;(Ⅱ)求数列{}n b 的前1000项和.15.(2015新课标Ⅰ)n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知0n a >,2243n n n a a S +=+(Ⅰ)求{}n a 的通项公式: (Ⅱ)设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和. 16.(2015广东)数列{}n a 满足:1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-,*N n ∈. (1)求3a 的值;(2)求数列{}n a 的前n 项和n T ; (3)令11b a =,1111(1)23n n n T b a n n-=++++⋅⋅⋅+(2)n ≥ 证明:数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.17.(2014广东)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222.(Ⅰ)求1a 的值;(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数n ,有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a18.(2013湖南)设n S 为数列{n a }的前项和,已知01≠a ,2n n S S a a •=-11,∈n N *(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.19.(2011广东)设0b >,数列{}n a 满足1a b =,11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n ,11 1.2n n n b a ++≤+专题六数列第十七讲 递推数列与数列求和答案部分 2019年1.解析 (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q , 依题意得2662,6124q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3.2d q =⎧⎨=⎩ 故14(1)331,6232n n n n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯.所以,{}n a 的通项公式为(){}31,n na n nb *=+∈N 的通项公式为()32n nbn *=⨯∈N .(Ⅱ)(i)()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-. 所以,数列(){}221n n a c -的通项公式为()()221941n n n a c n *-=⨯-∈N . (ii)()()222211112211n n n niii iiiiii i i i ca c a a c a a ====-⎡⎤=+-=+⎣⎦∑∑∑∑()()12212439412n nn ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N .2010-2018年1.【解析】∵113n n a a +=-,∴{}n a 是等比数列又243a =-,∴14a =,∴()1010101413313113S -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+,故选C.2.D 【解析】由数列通项可知,当125n,n N +∈时,0na ,当2650n ,n N +∈ 时,0na ,因为1260a a +>,2270a a +>⋅⋅⋅∴1250,,,S S S ⋅⋅⋅都是正数;当51100n ,n N +∈同理5152100,,,S S S ⋅⋅⋅也都是正数,所以正数的个数是100.3.63-【解析】通解 因为21n n S a =+,所以当1=n 时,1121=+a a ,解得11=-a ;当2=n 时,12221+=+a a a ,解得22=-a ; 当3=n 时,123321++=+a a a a ,解得34=-a ; 当4=n 时,1234421+++=+a a a a a ,解得48=-a ; 当5=n 时,12345521++++=+a a a a a a ,解得516=-a ; 当6=n 时,123456621+++++=+a a a a a a a ,解得632=-a . 所以61248163263=------=-S .优解 因为21n n S a =+,所以当1=n 时,1121=+a a ,解得11=-a , 当2≥n 时,112121--=-=+--n n n n n a S S a a ,所以12-=n n a a ,所以数列{}n a 是以1-为首项,2为公比的等比数列,所以12-=-n n a ,所以661(12)6312-⨯-==--S . 4.21n n +【解析】设等差数列的首项为1a ,公差为d ,则1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩, 解得11a =,1d =,∴1(1)(1)22n n n n n S na d -+=+⨯=,所以12112()(1)1nS k k k k ==-++, 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++∑. 5.1n-【解析】当1n 时,111S a ==-,所以111S =-, 因为111n n n n n a S S S S +++=-=,所以1111n n S S +-=,即1111n nS S +-=-, 所以1{}nS 是以1-为首项,1-为公差的等差数列, 所以1(1)(1)(1)n n n S =-+--=-,所以1n S n=-. 6.2011【解析】由题意得:112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)1212n n n n +=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++.7.【解析】当n =1时,1a =1S =12133a +,解得1a =1, 当n ≥2时,n a =1n n S S --=2133n a +-(12133n a -+)=12233n n a a --,即n a =12n a --,∴{n a }是首项为1,公比为-2的等比数列,∴n a =1(2)n --.8.(1)116-,(2)10011(1)32-【解析】(1)∵1(1)2nn n nS a =--. 3n =时,a 1+a 2+a 3=-a 3-18 ①4n =时,a 1+a 2+a 3+a 4=a 4-116,∴a 1+a 2+a 3=-116. ②由①②知a 3=-116.(2)1n >时,11111(1)()2n n n n S a ----=--,∴11(1)(1)()2n n n n n n a a a -=-+-+当n 为奇数时,1111()22n n n a a +-=-; 当n 为偶数时,11()2nn a -=-.故11(),21(),2n n n n a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数,11,20,n n n S n +⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数∴121002*********()2222S S S ++⋅⋅⋅+=-+++⋅⋅⋅+ 10010010011(1)111142(1)(1)1323214-=-=--=--.9.1830【解析】可证明:14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+1123410b a a a a =+++=⇒15151410151618302S ⨯=⨯+⨯=. 10.3018【解析】因为cos 2n π的周期为4;由cos 12n n a n π=+n N *∈∴12346a a a a +++=,56786a a a a +++=,… ∴201250363018S =⨯=.11.【解析】(1)由42a +是3a ,5a 的等差中项得35424a a a +=+,所以34543428a a a a ++=+=, 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=, 因为1q >,所以2q =.(2)设1()n n n n c b b a +=-,数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,2n nn S n c S S n -=⎧=⎨-⎩≥,解得41n c n =-.由(1)可知12n n a -=,所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅,故211(45)()2n n n b b n ---=-⋅,2n ≥,11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+.设221113711()(45)()222n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅,2n ≥,2311111137()11()(45)()22222n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅,因此2114(43)()2n n T n -=--⋅,2n ≥,又11b =,所以2115(43)()2n n b n -=--⋅.12.【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.因为0q >,可得2q =,故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ,由435a b b =+,可得13 4.b d +=由5462a b b =+, 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=,数列{}n b 的通项公式为.n b n =(2)(i)由(1),有122112nn n S -==--, 故1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑. (ii)证明:因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++,所以,324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n n k k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑.13.【解析】证明:(1)因为{}n a 是等差数列,设其公差为d ,则1(1)n a a n d =+-,从而,当n 4≥时,n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=,1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6, 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.(2)数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,因此, 当3n ≥时,n n n n n a a a a a --+++++=21124,①当4n ≥时,n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知,n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++,③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+,④将③④代入②,得n n n a a a -++=112,其中4n ≥, 所以345,,,a a a 是等差数列,设其公差为d'.在①中,取4n =,则235644a a a a a +++=,所以23a a d'=-, 在①中,取3n =,则124534a a a a a +++=,所以122a a d'=-, 所以数列{}n a 是等差数列.14.【解析】(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,74728S a ==,∴44a =,∴4113a a d -==,∴1(1)n a a n d n =+-=. ∴[][]11lg lg10b a ===,[][]1111lg lg111b a ===,[][]101101101lg lg 2b a ===. (Ⅱ)记{}n b 的前n 项和为n T ,则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+.当0lg 1n a <≤时,129n =⋅⋅⋅，，，; 当1lg 2n a <≤时,101199n =⋅⋅⋅，，，; 当2lg 3n a <≤时,100101999n =⋅⋅⋅，，，;当lg 3n a =时,1000n =.∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=.15.【解析】(Ⅰ)当1n =时,211112434+3a a S a +=+=,因为0n a >,所以1a =3,当2n ≥时,2211143434---+--=+--=n n n n n n n a a a a S S a ,即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+,因为0n a >,所以1n n a a --=2,所以数列{n a }是首项为3,公差为2的等差数列, 所以n a =21n +; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++,所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111[()()()]235572123n n -+-++-++ =116463(23)n n n -=++. 16.【解析】(1)由题意知:1212242n n n a a na -++++=-当3=n 时,121222=42++-a a ; 当3=n 时,1232322+3=42++-a a a ;321322233=4(4)224++---=a31=4a(2)当1n 时,11112412a ; 当2n ≥时,由1212242n n n a a na -++++=-知 1212122(1)42n n n a a n a ---++++-=-两式相减得21112222n n n n n n nna ---++=-=, 此时112nn a . 经检验知11a 也满足112nn a .故数列{}na 是以1为首项,12为公比的公比数列,故111[1()]1221212n n n T -⨯-==--. (3)由(1)(2)知,111b a .当2n ≥时,2111211111112(1)(1)23232n n n n n T b a n nn n ----=++++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+⋅1211111(1)2312n n n n -=++++⋅⋅⋅+-⋅-. 当1n 时,1122ln12S ,成立;当2n ≥时,1221121111[(1)][(1)]2223232n S =++-⋅+++-⋅+⋅⋅⋅1211111[(1)]2312n n n n -+++++⋅⋅⋅+-⋅- 212311111111111112()()()2322222222n n n --+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-34121211111111111()()()322221222n n n n n n ----+++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-- 212111111111212()(1)()123222212n n n ---+++⋅⋅⋅++-+⋅--33212111111111112()()()1322122212n n n n n n -----+⋅-+⋅⋅⋅+-+--- 1111111112()(1)()23222n n n --+++⋅⋅⋅++-+-111111111()()()32122n n n n n ---+-+⋅⋅⋅+-+-- 1111111122()(1)23232n n n -=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⋅11122()23n<+++⋅⋅⋅+.构造函数()ln(1),01xf x x x x=+->+ 2()0,()()1x f x f x x在0,+单调递增'∴=>∞+()ln(1)(0)01xf x x f x∴=+->=+ln(1)()1xx x 在0,+上恒成立∴+>∞+,即ln(1)1x x x1=,1x n 令-2n ≥,则11ln(1)1n n <+-, 从而可得11ln(1)221<+-,11ln(1)331<+-,⋅⋅⋅,11ln(1)1n n <+-, 将以上1n -个式子同向相加即得{}111111ln(1)ln(1)ln(1)2321311n n ++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅++=--- 23ln()ln 121n n n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=-, 故11122()22ln 23n S n n<+++⋅⋅⋅+<+综上可知,22ln n S n <+.17.【解析】(Ⅰ)2211111:(1)320,60,n S S S S =---⨯=+-=令得即所以11(3)(2)0S S +-=,1110,2, 2.S S a >∴==即(Ⅱ)2222(3)3()0,:(3)()0,n n n n S n n S n n S S n n ⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦由得20(),0,30,,n n n n a n N S S S n n *>∈∴>+>∴=+从而2212,(1)(1)2,n n n n a S S n n n n n -⎡⎤∴≥=-=+--+-=⎣⎦当时1221,2().n a a n n N *==⨯∴=∈又(Ⅲ)22313,()(),221644k k k N k k k k *∈+>+-=-+当时 111111113(1)2(21)44()()()244k k a a k k k k k k ∴==⋅<⋅+++-+ 11111111144(1)()(1)4444k k k k ⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦1122111(1)(1)(1)n n a a a a a a ∴++++++1111111()()11111141223(1)444444n n ⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦.18.【解析】(Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，当 .1,011=≠⇒a a 11111111222221----=⇒-=---=-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当- .*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为(Ⅱ)n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT上式错位相减:n n n nn n n n na qq a na a a a a T q 21211)1(111321⋅--=---=-++++=-++*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒.19.【解析】(1)由11111210,0,.22n n n n n nba n n a b a a n a b b a ----=>=>=++-知令11,n n n A A a b==, 当1122,n n n A A b b-≥=+时2112111222n n n n A b b b b----=++++ 21211222.n n n n b bb b---=++++ ①当2b ≠时,12(1)2,2(2)1nn n n n b b b A b b b⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--②当2,.2n n b A ==时 (2),222,2n n nn nb b b a b b ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩(2)当2b ≠时,(欲证1111(2)21,(1)2222n n n n n nn n n n n nb b b b b a nb b b ++++--=≤+≤+--只需证)11111212(2)(2)(22)2n n n n n n n n n b bb b b b ++++----+=++++-112222*********n n n n n n n n n b b b b b +-+---+=+++++++21212222()222n n n nnn n n b b b b b bb --=+++++++ 12(222)222n n n n n n b n b n b +>+++=⋅=⋅,11(2) 1.22n n n n nn nb b b a b ++-∴=<+- 当112,2 1.2n n n b b a ++===+时综上所述11 1.2n n n b a ++≤+。

数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。

数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。

本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。

一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。

常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。

其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。

举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。

斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。

可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。

2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。

非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。

例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。

等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。

又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。

等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。

二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。

根据不同的数列类型，有不同的求和公式。

1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。

2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。

3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。

例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。

理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之17递推数列与数列求和专题六数列第十七讲递推数列与数列求和2019年1.(2019天津理19)设是等差数列,是等比数列.已知.(Ⅰ)求和的通项公式;(Ⅱ)设数列满足其中.(i)求数列的通项公式;(ii)求.2010-2018年一､选择题1.(2013大纲)已知数列满足,则的前10项和等于A.B.C.D.2.(2012上海)设，在中,正数的个数是A.25B.50C.75D.100二､填空题3.(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和,若,则_____.4.(2017新课标Ⅱ)等差数列的前项和为，,则.5.(2015新课标Ⅱ)设是数列的前项和,且,则=__.6.(2015江苏)数列满足,且(),则数列前10项的和为.7.(2013新课标Ⅰ)若数列{}的前n项和为=,则数列{}的通项公式是=______.8.(2013湖南)设为数列的前n项和,则(1)_____;(2)___________.9.(2012新课标)数列满足,则的前60项和为.10.(2012福建)数列的通项公式,前项和为,则=___________.三､解答题11.(2018浙江)已知等比数列的公比,且,是,的等差中项.数列满足,数列的前项和为.(1)求的值;(2)求数列的通项公式.12.(2018天津)设是等比数列,公比大于0,其前项和为,是等差数列.已知，,.(1)求和的通项公式;(2)设数列的前项和为,(i)求;(ii)证明.13.(2017江苏)对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.(1)证明:等差数列是“数列”;(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列.14.(2016年全国II)为等差数列的前n项和,且,.记,其中表示不超过x的最大整数,如,.(Ⅰ)求，;(Ⅱ)求数列的前项和.15.(2015新课标Ⅰ)为数列的前项和,已知,(Ⅰ)求的通项公式:(Ⅱ)设,求数列的前项和.16.(2015广东)数列满足:,.(1)求的值;(2)求数列的前项和;(3)令,证明:数列的前项和满足.17.(2014广东)设各项均为正数的数列的前项和为,且满足.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数,有18.(2013湖南)设为数列{}的前项和,已知,2,N(Ⅰ)求，并求数列{}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和.19.(2011广东)设,数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:对于一切正整数,专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案部分2019年1.解析(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,依题意得解得故.所以,的通项公式为的通项公式为.(Ⅱ)(i).所以,数列的通项公式为.(ii).2010-2018年1.【解析】∵,∴是等比数列又,∴,∴,故选C.2.D【解析】由数列通项可知,当,时，当,时，因为,∴都是正数;当,同理也都是正数,所以正数的个数是100.3.【解析】通解因为,所以当时，解得;当时，解得;当时，解得;当时，解得;当时，解得;当时，解得.所以.优解因为,所以当时，解得,当时，所以,所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以.4.【解析】设等差数列的首项为,公差为,则,解得，∴,所以,所以.5.【解析】当时，所以,因为,所以,即,所以是以为首项,为公差的等差数列,所以,所以.6.【解析】由题意得:所以.7.【解析】当=1时,==,解得=1,当≥2时,==-()=,即=,∴{}是首项为1,公比为-2的等比数列,∴=.8.(1),(2)【解析】(1)∵.时,a1+a2+a3=-a3-①时,a1+a2+a3+a4=a4-,∴a1+a2+a3=-.②由①②知a3=-.(2)时，∴当n为奇数时,;当n为偶数时,.故,∴.9.【解析】可证明:.10.3018【解析】因为的周期为4;由∴，…∴.11.【解析】(1)由是,的等差中项得,所以,解得.由得,因为,所以.(2)设,数列前项和为.由,解得.由(1)可知,所以,故，.设，所以,因此，又,所以.12.【解析】(1)设等比数列的公比为q.由可得.因为,可得,故.设等差数列的公差为d,由,可得由,可得从而故所以数列的通项公式为,数列的通项公式为(2)(i)由(1),有,故.(ii)证明:因为,所以,.13.【解析】证明:(1)因为是等差数列,设其公差为,则,从而,当时，所以,因此等差数列是“数列”.(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,当时，①当时,.②由①知，③,④将③④代入②,得,其中,所以是等差数列,设其公差为.在①中,取,则,所以,在①中,取,则,所以,所以数列是等差数列.14.【解析】(Ⅰ)设的公差为，∴,∴,∴.∴，.(Ⅱ)记的前项和为,则.当时,;当时,;当时,;当时,.∴.15.【解析】(Ⅰ)当时，因为,所以=3,当时，即,因为,所以=2,所以数列{}是首项为3,公差为2的等差数列,所以=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=,所以数列{}前n项和为==.16.【解析】(1)由题意知:当时,;当时,;(2)当时,;当时,由知两式相减得,此时.经检验知也满足.故数列是以1为首项,为公比的公比数列,故.(3)由(1)(2)知,.当时,.当时，成立;当时,.构造函数,即,则,从而可得，，将以上个式子同向相加即得,故综上可知,.17.【解析】(Ⅰ)所以,(Ⅱ) (Ⅲ).18.【解析】(Ⅰ) (Ⅱ)上式错位相减: .19.【解析】(1)由令,当①当时,②当(2)当时,(欲证),当综上所述。

专题六数列第十七讲递推数列与数列求和2019年 1.19（2019天津理）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知112233 4,622,24a b b a b a ===−=+，.（Ⅰ）求 {}n a 和 {}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列 {}n c 满足11 1,22,2,1,,kk n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N . （）求数列i() {}221n n a c −的通项公式；（）求ii()2*1ni ii a c n =∈∑N . 2010-2018年一、选择题1．（2013大纲）已知数列 {}n a 满足12430,3n n aa a + +==−，则 {}n a 的前项和等于10 A ．106(13)−−− B ．101(13)9−C ．10 3(13)−− D ．10 3(13)−+2．(2012 )上海设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021 ,,,S S S 中，正数的个数是A 25 B 50 C 75 D 100．．．．二、填空题3(2018 ．全国卷Ⅰ记)n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____． 42017 ．（ 新课标Ⅱ）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ．52015 ．（ 新课标Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且 1111,n n n a a S S ++ =−=，则n S =__．62015．（江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=−+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na前10项的和为．72013 ．（新课标Ⅰ）若数列{n a }的前项和为n n S ＝2133n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______.82013 ．（ 湖南）设n S 为数列{}n a 的前项和，n 1 (1),,2n n n nS a n N *= −−∈则（）13a =_____；（）2 12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________ ．92012 ．（ 新课标）数列}{n a 满足12)1(1−=−++n a a n n n ，则}{n a 的前项和为60 ．10．（福建）数列2012 {}n a 的通项公式cos 12n n a n π=+，前n 项和为n S ，则2012S =___________．三、解答题11．（2018 浙江）已知等比数列1{}a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列1 {()}n n n b b a +−的前n 项和为22n n +． (1)求q 的值；(2)求数列{}n b 的通项公式．12．(2018)天津设{}n a 是等比数列，公比大于，其前0n 项和为n S ()n * ∈N ，{}n b 是等差数列．已知11a =，322a a =+， 435a b b =+， 5462a b b =+． (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n S 的前n 项和为n T ()n *∈N ， (i)求n T ；(ii)证明221()22(1)(2)2n nk k k k T b b k k n ++=+=− +++∑()n *∈N ． 13．（ 2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka −−+−++−+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（）证明：等差数列1{}n a 是“(3)P 数列”；（）若数列2{}n a 既是“(2)P 数列，又是”“(3)P 数列，证明：”{}n a 是等差数列． 14．（2016年全国II ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记 []lg n n b a =，其中 []x表示不超过x 的最大整数，如 [] 0.90=， [] lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列 {}n b 的前1000项和．15．（ 2015新课标Ⅰ）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+ （ⅠⅠ）求{}n a 的通项公式： （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 16．（ 2015广东）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na −+ ++⋅⋅⋅+=−，*N n ∈． （）求13a 的值；（）求数列2{}n a 的前n 项和n T ；（）令311b a =，1 111 (1)23n n n Tb a nn− =++++⋅⋅⋅+(2)n ≥ 证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足 22ln n S n <+．17．（ 2014广东）设各项均为正数的数列 {}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()* ∈=+−−+−N n n n S n n S n n ,033222．（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列 {}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a 18．（ 2013湖南）设n S 为数列{n a }的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a •=−11，∈n N *()Ⅰ求1a ，2a ，并求数列｛n a ｝的通项公式；()Ⅱ求数列｛n na ｝的前n 项和．19．（ 2011 广东）设0b >，数列 {}n a 满足1a b =，11 (2)22n n n nba a n a n −−=≥+−．（）求数列1 {}n a 的通项公式；（）证明：对于一切正整数2n ，11 1.2n n n b a ++≤+专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案部分 2019年1.解析 （Ⅰ）设等差数列 {}n a 的公差为d ，等比数列 {}n b 的公比为q ，依题意得2 662, 6124q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3.2d q =⎧⎨=⎩故1 4(1)331,6232n n n n a n n b − =+−⨯=+=⨯=⨯. 所以， {}n a 的通项公式为 () {} 31,n na n n b*=+∈N 的通项公式为 ()32n nb n *=⨯∈N . （Ⅱ））（i () () ()()222 11321321941n n n n n n n a c a b −=−=⨯+⨯−=⨯−. 所以，数列() {}221n n a c −的通项公式为 ()()22 1941n n n a c n * −=⨯−∈N . （）ii () ()222211112211n n n niii i i i i ii i i i c a c a a c a a ====−⎡⎤ =+−=+⎣⎦ ∑∑∑∑ ()()1 221 2439412n nn ni i =⎛⎫− ⎪ =⨯+⨯+⨯− ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n−−−=⨯+⨯+⨯−−() 211*2725212n n n n −−=⨯+⨯−−∈N . 2010-2018年1．【解析】∵113n n a a +=−，∴ {}n a 是等比数列 又243a =−，∴14a =，∴ ()1010101413 313113S −⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ==−+，故选C ． 2．D 【解析】由数列通项可知，当125n 剟，n N +∈时，0na …，当 2650n 剟，n N +∈时，0n a …，因为 1260a a +>， 2270a a +>⋅⋅⋅∴ 1250,,,S S S ⋅⋅⋅都是正数；当51100n 剟，n N +∈同理5152100,,,S S S ⋅⋅⋅也都是正数，所以正数的个 数是100.3．63−【解析】通解 因为21n n S a =+，所以当1=n 时，1121=+a a ，解得11=−a ；当2=n 时，12221+=+a a a ，解得22=−a ； 当3=n 时，123321++=+a a a a ，解得34=−a ； 当4=n 时，1234421+++=+a a a a a ，解得48=−a ； 当5=n 时，12345521++++=+a a a a a a ，解得516=−a ； 当6=n 时，123456621+++++=+a a a a a a a ，解得632=−a ． 所以61248163263=− −−−−−=−S ． 优解因为 21n n S a =+，所以当1=n 时，1121=+a a ，解得11=−a ，当2≥n 时，112121−−=−=+−−n n n n n a S S a a ，所以12−=n n a a ， 所以数列{}n a 是以1−为首项，2 为公比的等比数列，所以12−=−n n a ，所以661(12)6312−⨯−==−−S ．4．21n n +【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a =，1d =，∴1(1)(1)22n n n n n S na d −+=+⨯=，所以12112()(1)1n S k k k k ==−++，所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==−+−+⋅⋅⋅+−=−=+++∑．5．1n −【解析】当1n =时，111S a ==−，所以111S =−，因为111n n n n n a S S S S +++=−=，所以1111n n S S +−=，即1111n nS S +−=−，所以1{}nS 是以1−为首项，1−为公差的等差数列， 所以1 (1)(1)(1)nn n S = −+−−=−，所以1n S n =−．6．2011【解析】由题意得： 112211()()()nn n n n a a a a a a a a −−− =−+−++−+ (1)1212n n n n + =+−+++=所以10 11112202(),2(1), 11111n n n S S a n n n n =−=−== +++．7．【解析】当n =1 时，1a =1S =12133a +，解得1a =1， 当n ≥2 时，n a =1n n S S −−=2133n a +－(12133n a −+)=12233n n a a −−，即n a =12n a −−，∴{n a}是首项为，公比为－1 2 的等比数列，∴n a =1(2)n −−. 81．（ ）116−，（2）10011 (1)32−【解析】(1)∵1(1)2n n n nS a = −−．3n =时，a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18①4n =时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，∴a 1＋a 2＋a 3＝－116.②由①②知a 3＝－116．(2)1n >时，11111(1)()2n n n n S a −−−− = −−，∴11(1)(1)()2n n nn n n a a a − = −+−+ 当为奇数时，n 1111()22n n n a a +−=−； 当为偶数时，n 11()2nn a −=−．故11 (),21 (),2n n n n a n +⎧−⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，11,20,n n n S n +⎧−⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数∴ 12100 2461001111() 2222S S S ++⋅⋅⋅+=−+++⋅⋅⋅+10010010011(1)111142(1)(1)1323214−=−=−−=−−．9．1830【解析】可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++−−−=+++=++++=+1123410b a a a a =+++=⇒15151410151618302S ⨯=⨯+⨯=．10．3018【解析】因为cos 2n π的周期为4；由cos 12n n a n π=+n N *∈∴12346a a a a +++=，56786a a a a +++=，… ∴201250363018S =⨯=． 11．【解析】由(1)42a +是3a ，5a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =．由3520a a +=得18()20q q+=，因为1q >，所以2q =．(2)设1()nn n n c b b a +=−，数列{}n c 前n 项和为n S ．由11,1,2n nn S n c S S n −=⎧=⎨−⎩≥，解得41n c n =−． 由可知(1)12n n a −=，所以111(41)()2n n n b b n −+−=−⋅，故211(45)()2n nn b b n −−−=−⋅，2n ≥， 11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b −−−−=−+−+⋅⋅⋅+−+−23111(45)()(49)()73222n n n n −−=−⋅+−⋅+⋅⋅⋅+⋅+．设221113711()(45)()222n n T n −=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+−⋅，2n ≥，2311111137()11()(45)()22222n n T n −=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+−⋅所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n −−=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅−−⋅，因此2114(43)()2n nT n −=−−⋅，2n ≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n −=−−⋅．12．【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ．由1321,2,a a a ==+可得220q q −−=． 因为0q >，可得2q =，故12n n a −=．设等差数列{}n b 的公差为，由d 435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,bd += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以数列{}n a 的通项公式为12n n a −=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =(2)(i)(1)由，有122112nn n S −==−−，故1112(12)(21)22212nnnk k n n k k T n n n +==⨯−=−=−=−=−−−∑∑．(ii)证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+kT +b b k k k k k k k k k k k k ++++−−++⋅===−++++++++，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n n k k kk T b b kk n n n ++++=+=−+−++−=−+++++∑．13．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+−， 从而，当n 4≥时，nk n k a a a −++=+11(1)(1)n k d a n k d −−+++−122(1)2n a n d a =+−=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a −−−+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”. （2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a −−++ +++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a −−−+++ +++++=3211236.② 由①知，n n n a a a−−− +=−32141()n n a a ++，③ n n n a a a +++ +=−23141()n n aa −+，④ 将③④代入②，得n n n a a a −++=112，其中4n ≥，所以345 ,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则 235644a a a a a +++=，所以23a a d'=−， 在①中，取3n =，则 12453 4a a a a a +++=，所以122a a d'=−， 所以数列{}n a 是等差数列.14．【解析】（Ⅰ）设 {}n a 的公差为d ，74 728S a ==，∴44a =，∴4113a a d −==，∴1 (1)na a n d n =+−=． ∴ [][]11 lg lg10b a ===， [][] 1111 lg lg111b a ===， [][] 101101101 lg lg 2b a ===． （Ⅱ）记 {}n b 的前n 项和为n T ，则 1000121000 Tb b b =++⋅⋅⋅+ [][] [] 121000 lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当 0lg 1na <≤时， 129n =⋅⋅⋅，，，； 当 1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，； 当 2lg 3n a <≤时， 100101999n =⋅⋅⋅，，，；当 lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=． 15．【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3， 当2n ≥时，22 111 43434 −−− +−−=+−−=n n nn n n n a a a a S S a ，即 111 ()()2()n n n n n n a a a a aa −−− +−=+，因为0n a >，所以1n n a a −−=2， 所以数列{n a}32是首项为，公差为的等差数列，所以n a =21n +； （）由（ⅡⅠ）知，n b =1111() (21)(23)22123n n n n =− ++++，所以数列{n b}n 前项和为 12n b b b +++=1111111 [()()()]235572123n n −+−++−++=116463(23)n n n −=++. 16．【解析】（）由题意知：11212242n n n a a na −+ +++=−当3=n 时，121222=42++−a a ；当3=n 时， 1232322+3=42++−a a a ；321 322233=4(4) 224++ −−−=a 31=4a （）当21n =时，11112412a -+=-=；当2n ≥时，由1212242n n n a a na −++++=−知 121212 2(1)42n n n a a n a −−−++++−=−两式相减得21112 222n n n n n n nna −−−++ =−=， 此时112n n a -=．经检验知11a =也满足112n n a -=．故数列{}n a 是以为首项，1 12为公比的公比数列， 故11 1[1()]1221212nn n T −⨯− ==−−．（）由（）知，31）（ 2111b a ==．当2n ≥时，2111211111112(1)(1) 23232n n n n n Tb a n n n n −−−−=++++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+⋅1 211111 (1) 2312n n n n − =++++⋅⋅⋅+−⋅−．当1n =时，1 122ln12S =<+=，成立；当2n ≥时，12 2112111 1[(1)][(1)] 2223232n S =++−⋅+++−⋅+⋅⋅⋅1 211111 [(1)] 2312n n n n − +++++⋅⋅⋅+−⋅−= 21231 11111111111 12()()() 2322222222n n n −−+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+− 34121211111111111 ()()() 322221222n n n n n n −−−− +++⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅+−+−−=21211 1111111212()(1)()1 23222212n n n −−− +++⋅⋅⋅++−+⋅−−33212111 111111112 ()()()1 322122212n n n n n n − −−−− +⋅−+⋅⋅⋅+−+−−−=11 111111 12()(1)() 23222n n n −− +++⋅⋅⋅++−+−111111111 ()()() 32122n n n n n −−− +−+⋅⋅⋅+−+−−1 1111111 22()(1) 23232n n n −=+++⋅⋅⋅+−+++⋅⋅⋅+⋅ 111 22()23n<+++⋅⋅⋅+．构造函数()ln(1),01xf x x x x=+−>+ 2()0,()()1x f x f x x在单调递增0,+'∴=>∞+ ()ln(1)(0)01xf x x f x∴=+−>=+ ln(1)()1xx x 在上恒成立0,+∴+>∞+，即ln(1)1x x x<++1=,1x n 令−2n ≥，则11 ln(1)1n n <+−，从而可得11 ln(1) 221<+−，11ln(1) 331<+−，⋅⋅⋅，11ln(1)1n n <+−，将以上1n −个式子同向相加即得{} 111111ln(1)ln(1)ln(1) 2321311n n++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅++= −−−23ln()ln121n n n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=−，故 11122()22ln 23n S n n <+++⋅⋅⋅+<+综上可知， 22ln n S n <+．17．【解析】（Ⅰ）22 1111 1:(1)320,60,n S S S S =−−−⨯=+−=令得即所以11(3)(2)0S S +−=， 111 0,2, 2.S S a >∴==即（Ⅱ）2222 (3)3()0,:(3)()0,n n n n S n n S n n S S n n ⎡⎤ −+−−+=+−+=⎣⎦ 由得2 0(),0,30,,n n n n a n N S S S n n *>∈∴>+>∴=+从而221 2,(1)(1)2,n n n n a S S n n n n n−⎡⎤ ∴≥=−=+−−+−=⎣⎦ 当时1 221,2().n a a n n N *==⨯∴=∈又（Ⅲ）22 313 ,()(),221644kk k N k k k k *∈+>+−=−+当时 111111 113 (1)2(21)44 ()()() 244k k a a k k k k k k ∴==⋅<⋅++ +−+11111111144 (1) ()(1)4444k k k k ⎡⎤⎢⎥ =⋅=⋅−⎢⎥⎡⎤⎢⎥−+− −⋅+−⎢⎥⎣⎦⎣⎦1122111(1)(1)(1)n n a a a a a a ∴++++++1111111()() 1111114 1223(1) 444444n n ⎡⎤⎢⎥ <−+−++−⎢⎥⎢⎥ −−−−−+−⎣⎦．18．【解析】(Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=−=∴=时，当 .1,011 =≠⇒a a 11111111222221−−−−=⇒−=−−−=−=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当- .*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒−的等比数列，公比为时首项为（Ⅱ）n n n nqa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n na n a a a qT 上式错位相减：nn n nn n n n na qq a na a a a a T q 21211)1(111321⋅−−=−−−=−++++=−++ *,12)1(N n nT n n ∈+⋅−=⇒．19．【解析】（1）由11111210,0,.22n n n n n nba n n a b a a n a b b a −−−−=>=>=++−知令11,n n n A A a b==，当1122,n n n A A b b −≥=+时211 2111222n n n n A b b b b−−−− =++++2121 1222.n n n n b b b b−−− =++++①当2b ≠时，12 (1)2,2 (2)1nn n n nb b b A b b b⎛⎫− ⎪−⎝⎭==−− ②当2,.2n nb A ==时 (2),22 2,2n nnn nb b b a b b ⎧−≠⎪=−⎨⎪=⎩（2）当2b ≠时，（欲证1111 (2)2 1,(1)2 222n n n n n nn n n n n nb b b b b a nb b b ++++−− =≤+≤+−−只需证）11111212 (2)(2)(22)2n n n n n n n n n b b b b b b++++−−−− +=++++− 1122222111 22222n n n n n n n n n b b b b b +−+−−−+=+++++++2121 222 2()222n nn nnn n n b b bb b bb −− =+++++++12(222)222n n n n n n b n b n b + >+++=⋅=⋅，11 (2) 1.22n n n n n n nb b b a b ++− ∴=<+−当112,2 1.2nn nbb a++===+时综上所述111.2nn nba++≤+。

一．【学习目标】1．熟练掌握等差、等比数列前n项和公式．2．熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等．二．【知识要点】求数列前n项和的基本方法(1)公式法数列{a n}为等差或等比数列时直接运用其前n项和公式求和．若{a n}为等差数列，则S n＝（a1＋a n）n2＝____________________．若{a n}为等比数列，其公比为q，则当q＝1时，S n＝_________({a n}为常数列)；当q≠1时，S n＝______________＝_________(2)裂项相消求和法数列{a n}满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和．(3)倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项的和公式就是用此法推导的．(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和．形如an＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.三．【方法总结】1.常用基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征，联想相应的求和方法既是根本，又是关键.2.数列求和实质就是求数列{S n}的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.练习3. 已知函数，则的值为 _____．【答案】2.裂项求和例2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若，则5S 等于（ ）16 56 130【答案】【解析】选练习1.数列的前项的和为（ ）11【答案】【解析】故数列的前10项的和为选练习6.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有，则等于（ ）20162017 4032201720172018 40342018【答案】D练习7.设数列{}n a 满足，且，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则( )【答案】 【解析】构造，则，由题意可得，故数列{}n b 是为首项为公差的等差数列， 故，故以上个式子相加可得，解得，∴，∴，∴20172018则．故答案为：．练习8. 已知幂函数()a f x x =的图象过点()4,2，令（*n N ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2018S =（ ）1 11+ 1【答案】故选：.练习9. 已知数列{}n a 的首项为9，且，若，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________． 【答案】2119101n --练习10.设数列{}n a 的前项为n S ，点,n S n n⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()*n N ∈均在函数32y x =-的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式。

高中复习系列资料专题六数列第十七讲 递推数列与数列求和答案部分1.解析（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k kq k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x (1,e)e (e ，+∞)()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取33q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．2.解析：对于B ，令2104x λ-+=，得12λ=， 取112a =，所以211,,1022n a a ==<L ，所以当14b =时，1010a <，故B 错误；对于C ，令220x λ--=，得2λ=或1λ=-， 取12a =，所以22,,210n a a ==<L ， 所以当2b =-时，1010a <，故C 错误；对于D ，令240x λ--=，得117λ±=取1117a +=2117a +=，…，11710n a +=<， 所以当4b =-时，1010a <，故D 错误；对于A ，221122a a =+…，223113224a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭…，242431911714216216a a a ⎛⎫=++++=> ⎪⎝⎭…，10n n a a +->，{}n a 递增，当4n …时，11132122n n n n a a a a +=+>+=， 所以5465109323232a a a a a a ⎧>⎪⎪⎪>⎪⎨⎪⎪⎪>⎪⎩M，所以610432a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以107291064a >>故A 正确．故选A ．3.解析（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ．由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．（Ⅱ）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（1）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（2）假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12h c c c +++<L ． 那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<L<==．即当1n k =+时不等式也成立．根据（1）和（2），不等式12n c c c +++<L *n ∈N 成立．2010-2018年1．C 【解析】∵113n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113S -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+，故选C ．2．D 【解析】【法1】有题设知21a a -=1，① 32a a +=3 ② 43a a -=5 ③ 54a a +=7，65a a -=9，76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，121121a a -=，……∴②－①得13a a +=2，③+②得42a a +=8，同理可得57a a +=2，68a a +=24，911a a +=2，1012a a +=40，…，∴13a a +，57a a +，911a a +，…，是各项均为2的常数列，24a a +，68a a +，1012a a +，…是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{n a }的前60项和为11521581615142⨯+⨯+⨯⨯⨯=1830. 【法2】可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+112341515141010151618302b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+⨯= 【法3】不妨设11a =，得23572,1a a a a ====⋅⋅⋅=，466,10a a ==，所以当n 为奇数时，1n a =，当n 为偶数时，构成以2a 为首项，以4为公差的等差数列，所以得601830S =3．A 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+=，故1210a a a ++⋅⋅⋅+=3515⨯=．故选A. 4．6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴6n =． 5．27【解析】∵11a =，11(2)2n n a a n -=+≥，所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，所以前9项和998192722S ⨯=+⨯=．6．2011【解析】由题意得：112211()()()n n n n n a a a a a a a a K ---=-+-++-+(1)1212n n n n L +=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++．7．12【解析】将82a =代入111n n a a +=-，可求得712a =；再将712a =代入111n n a a +=-，可求得61a =-；再将61a =-代入111n na a +=-得52a =；由此可知数列{}n a 是一个周期数列，且周期为3，所以1712a a ==． 8．【解析】当n =1时，1a =1S =12133a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=12233n n a a --，即n a =12n a --，∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1(2)n --.9．（1）116-，（2）10011(1)32-【解析】(1)∵1(1)2nn n nS a =--．3n =时，a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18 ①4n =时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，∴a 1＋a 2＋a 3＝－116. ②由①②知a 3＝－116．(2)1n >时，11111(1)()2n n n n S a ----=--，∴11(1)(1)()2n n n n n n a a a -=-+-+当n 为奇数时，1111()22n n n a a +-=-； 当n 为偶数时，11()2nn a -=-．故11(),21(),2n n n n a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，11,20,n n n S n +⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数∴121002*********()2222S S S ++⋅⋅⋅+=-+++⋅⋅⋅+ 10010010011(1)111142(1)(1)1323214-=-=--=--．10．1830【名师解析】可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+，1123410b a a a a =+++=⇒15151410151618302S ⨯=⨯+⨯=． 11．3018【解析】因为cos 2n π的周期为4；由cos 12n n a n π=+n N *∈∴12346a a a a +++=，56786a a a a +++=，… ∴ 201250363018S =⨯=12．4【解析】由题意得1122(4)()(1)(14)()3322(4)()(1)(14)()33k k k k k k k k k k k k -+⎧+>--+⎪⎪⎨⎪+>+++⎪⎩，得22(1)1010k k ⎧-<⎨>⎩，13．【解析】(1)设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+，可得220q q --=．因为0q >，可得2q =，故12n n b -=．所以122112nn n T -==--． 设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=． 由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==， 故n a n =，所以(1)2n n n S +=． (2)由(1)，知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--L L由12()4n n n n S T T T a b ++++=+L 可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =．所以n 的值为4． 14．【解析】（1）因为123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=，故当2n ≥时，1213(23)2(1)n a a n a n -++⋅⋅⋅+-=-．两式相减得(21)2n n a -=． 所以221n a n =-(2)n ≥． 又由题设可得12a =． 从而{}n a 的通项公式为 =.（2）记{}21na n +的前n 项和为n S ， 由（1）知21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-++--+． 则11111121335212121n nS n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-++． 15．【解析】（Ⅰ）由已知，1221121,1,,3a b b b b b +===得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）和11n n n n a b b nb +++= ，得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为13的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ，则111()313.122313nn n S --==-⨯- 16．【解析】 (Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 当n =1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n =4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n =6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n =9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17．【解析】（Ⅰ）由12a =，12n n a a +=，得2nn a =．当1n =时，121,b b =-故22b =． 当n 2≥时，11,n n n b b b n+=-整理得11,n n b n b n ++=所以n b n =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2nn n a b n =⋅， 故23222322nn T n =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()2341222222122n n n T n n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()1122n n T n +=-+．18．【解析】（Ⅰ）由条件，对任意*n N ∈，有2133n n n a S S ++=-+*()n N ∈，因而对任意*,2n N n ∈≥，有1133n n n a S S +-=-+*()n N ∈，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥， 又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=，故对一切*n N ∈，23n n a a +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0n a ≠，所以23n na a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯，于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++L L L1113(31)(133)2(133)3(133)2n n n n ----=+++++=++=L L L ．从而1221223(31)323(531)22n n n n n n S S a ----=-=-⨯=⨯-， 综上所述，2*2*23(531),(21,)23(31),(2,)2n n nn k k N S n k k N -⎧⨯-=+∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩．19．【解析】（Ⅰ）2211111:(1)320,60n S S S S =---⨯=+-=令得即，所以11(3)(2)0,S S +-=1110,2, 2.S S a >∴==Q 即（Ⅱ）2222(3)3()0,:(3)()0,n n n n S n n S n n S S n n ⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦由得20(),0,30,,n n n n a n N S S S n n *>∈∴>+>∴=+Q 从而2212,(1)(1)2,n n n n a S S n n n n n -⎡⎤∴≥=-=+--+-=⎣⎦当时1221,2().n a a n n N *==⨯∴=∈又（Ⅲ）当*k ∈N 时，22313()()221644k k k k k k +>+-=-+ 111111113(1)2(21)44()()()244k k a a k k k k k k ∴==⋅<⋅+++-+11111111144(1)()(1)4444k k k k ⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦1122111(1)(1)(1)n n a a a a a a ∴++++++L 1111111()()11111141223(1)444444n n ⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦L 20．【解析】(Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，当Θ.1,011=≠⇒a a 11111111222221----=⇒-=---=-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当- .*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为 （Ⅱ）n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅=ΛΛ321321321321设 1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT Λ上式左右错位相减：n n n n n n n n na q q a na a a a a T q 21211)1(111321⋅--=---=-++++=-++Λ *,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒。

数列专题六 ：数列求和（分组法、倒序相加法）一、知识储备1、倒序相加法，即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和.2、分组求和法，如果一个数列可写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 二、例题讲解1．（2021·全国高三专题练习）定义在R 上的函数()442xx f x =+,121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2,3,n =⋅⋅⋅,求n S . 【答案】12n - 【分析】由已知条件推导出()(1)1f x f x +-=，因此111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此能求出结果. 【详解】函数4()42xx f x =+，114(1)42xxf x ---=+， 可得()(1)1f x f x +-=， 即有： 121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又121n n n S f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 可得：1122n n S ff fn n n ⎡⎤⎡-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣211n n f f f n n n ⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦， 1n =-，即有12n n S -=.故答案为：12n -. 2．（2021·全国高三专题练习）()221xf x x =-，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得122020202120212021f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值。

【答案】2021 【分析】先证得()()12f x f x +-=，利用倒序相加法求得表达式的值. 【详解】解：由题意可知()()()()()2122121=22121-121x x xf x f x x x x --+-=+=---， 令S=122020 202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 则S=202020191 202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 两式相加得，220202S =⨯2020S ∴=．故填：2020 【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到()()12f x f x +-=的规律．3．（2022·全国）已知等比数列{}n a 中，11a =，且22a 是3a 和14a 的等差中项.数列{}n b 满足，且171,13b b ==.212n n n b b b +++=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a ；（2）221n n T n =+-.【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由等差中项的性质建立等量关系，求解q ，从而求出数列{}n a 的通项公式；（2）由等差中项的性质可知{}n b 为等差数列，求出{}n b 通项公式，分组求和即可.【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q 因为11a =，所以222131,a a q q a a q q ====.因为22a 是3a 和14a 的等差中项， 所以23144a a a =+， 即244q q =+， 解得2,q =所以1112n n n a a q --==.（2）因为212n n n b b b +++=， 所以{}n b 为等差数列. 因为171,13b b ==， 所以公差131271d -==-. 故21n b n =-.所以1122n n n T a b a b a b =++++⋯++()()1212n n a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋯+21212121()n n n n n -+-=+=+- 三、实战练习1．（2021·陕西渭南市·（文））已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求。

专题六数列第十七讲 递推数列与数列求和2019年1.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M－数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．2.（2019浙江10）设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ,则 A ．当b =12时，a 10＞10 B ．当b =14时，a 10＞10C ．当b =-2时，a 10＞10D ．当b =-4时，a 10＞103.（2019浙江20）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N L2010-2018年一、选择题1．（2013大纲）已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+2．（2012新课标）数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为A ．3690B ．3660C ．1845D ．18303．（2011安徽）若数列{}n a 的通项公式是(1)(32)n a n =-⋅-,则1210a a a ++⋅⋅⋅+= A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 二、填空题4．（2015新课标1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = ．5．（2015安徽）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a (2n ≥)，则数列}{n a 的前9项和等于______．6．（2015江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 前10项的和为 ．7．（2014新课标2）数列{}n a 满足111n na a +=-，2a =2，则1a =_________． 8．（2013新课标1）若数列{n a }的前n 项和为n S ＝2133n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______．9．（2013湖南）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________．10．（2012新课标）数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ，则}{n a 的前60项和为．11．（2012福建）数列{}n a 的通项公式cos12n n a n π=+，前n 项和为n S ，则2012S =___． 12．（2011浙江）若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =____________． 三、解答题13．（2018天津）设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S (*n ∈N )；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为n T (*n ∈N )．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+．(1)求n S 和n T ；(2)若12()4n n n n S T T T a b +++⋅⋅⋅+=+，求正整数n 的值．14．设（2017新课标Ⅲ）数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}21na n +的前n 项和． 15．（2016全国I 卷）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}nb 满足11b =，213b =， 11n n n n a b b nb +++=．（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和．16．（2016年全国II 卷）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=．(Ⅰ)求{n a }的通项公式；(Ⅱ)设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．17．（2015浙江）已知数列{}n a 和{}n b 满足，12a =，11b =，*12(N )n n a a n +=∈，1231123b b b L +++*111(N )n n b b n n++=-∈．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．（2015湖南）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈．（Ⅰ）证明：23n n a a +=；（Ⅱ）求n S ．19．（2014广东）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222．（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a Λ20．（2013湖南）设n S 为数列{n a }的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a •=-11，∈n N *(Ⅰ)求1a ，2a ，并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列｛n na ｝的前n 项和．21．（2011广东）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，11 1.2n n n b a ++≤+。

专题六数列第十七讲 递推数列与数列求和2020年1.（2020•北京卷）已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =； ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,,a a a 成等比数列，之后证得1234,,,a a a a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证. 【详解】(Ⅰ){}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴不具有性质①；(Ⅱ){}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴具有性质①；{}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴具有性质②；(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<， 第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<<，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<， 由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3k k k l a a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =， 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k km k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥ （*） 由②得：存在s t >，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+， 由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>= （**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-，注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--， 代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q-=.即数列{}n a 为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时()23kl a a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3k k k l a a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =， 即123,,a a a 成等比数列，不妨设()22131,1a a q a a qq ==>，然后利用性质①：取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q===， 即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l la aa a a a a ==>，从而4k <， 与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3k l k l ⊆>，满足24kl a a a =，若3,2k l ==，则：2341kla a a q a ==，与假设矛盾； 若3,1k l ==，则：243411kla a a q a q a ==>，与假设矛盾； 若2,1k l ==，则：22413kla a a q a a ===，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =， 同理可得：455161,,a a q a a q ==，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力. 2.（2020•全国3卷）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.3.（2020•天津卷）.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n nn n +--+⨯. 【解析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=∑和21nkk c=∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444nnk kn n k k k n n c -==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444n k nn k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n nk n n n k n n c ++=⎛⎫-⎪--⎝⎭=+++-=---∑，由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994nk n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑.所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.4.（2020•浙江卷）已知数列{a n }满足(1)=2n n n a +，则S 3=________． 【答案】10【解析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出． 【详解】因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===．即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10.【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题． 5.（2020•浙江卷）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与a n 的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d+++<+． 【答案】（I ）1142,.23n n q a -+==；（II ）证明见解析. 【解析】（I ）根据1236b b b +=，求得q ，进而求得数列{}n c 的通项公式，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式.（II ）利用累乘法求得数列{}n c 的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.【详解】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即216q q +=，由于0q >，所以解得12q =，所以112n n b -=. 所以2112n n b ++=，故11112412n n n n n c c c -++=⋅=⋅，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n c -=. 所以114n n n n a a c -+==-（*2,n n N ≥∈）.所以12142144.3n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=（II ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于12n nn n c b c b ++=， 所以111n n n n c b c b --+=()*2,n n N ≥∈， 故13211221n n n n n c c c c c c c c c c ---=⋅⋅⋅⋅⋅1232111143n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=⋅⋅⋅⋅⋅ 121111111111n n n n n n b b d b b d b b d b b +++⎛⎫⎛⎫+⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以121223*********n nn c c c d b b b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111n d b +⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于10,1d b >=，所以10n b +>，所以1111111n d b d +⎛⎫⎛⎫+-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即1211n c c c d++⋯+<+，*n N ∈. 【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.2016-2019年1.（2019天津理19）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式；（ii ）求()2*1ni i i a c n =∈∑N .2.．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____．3.．（2017新课标Ⅱ）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS==∑ ．4．（2018浙江）已知等比数列1{}a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为22n n +．(1)求q 的值；(2)求数列{}n b 的通项公式．5．(2018天津)设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为n S ()n *∈N ，{}n b 是等差数列．已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n S 的前n 项和为n T ()n *∈N ，(i)求n T ；(ii)证明221()22(1)(2)2n nk k k k T b b k k n ++=+=-+++∑()n *∈N ． 6．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．7．（2016年全国II ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg 991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．2016-2019年 答案1.解析 （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意得2662,6124q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3.2d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n n n n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯.所以，{}n a 的通项公式为(){}31,n na n nb *=+∈N 的通项公式为()32n nbn *=⨯∈N .（Ⅱ）（i ）()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-. 所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()()221941n n n a c n *-=⨯-∈N . （ii ）()()222211112211n n n niii iiiiii i i i ca c a a c a a ====-⎡⎤=+-=+⎣⎦∑∑∑∑()()12212439412n n n ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N .2．63-【解析】通解 因为21n n S a =+，所以当1=n 时，1121=+a a ，解得11=-a ；当2=n 时，12221+=+a a a ，解得22=-a ； 当3=n 时，123321++=+a a a a ，解得34=-a ； 当4=n 时，1234421+++=+a a a a a ，解得48=-a ； 当5=n 时，12345521++++=+a a a a a a ，解得516=-a ； 当6=n 时，123456621+++++=+a a a a a a a ，解得632=-a ． 所以61248163263=------=-S ．优解 因为21n n S a =+，所以当1=n 时，1121=+a a ，解得11=-a ，当2≥n 时，112121--=-=+--n n n n n a S S a a ，所以12-=n n a a ， 所以数列{}n a 是以1-为首项，2为公比的等比数列，所以12-=-n n a ，所以661(12)6312-⨯-==--S ． 3．21n n +【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得11a =，1d =， ∴1(1)(1)22n n n n n S na d -+=+⨯=，所以12112()(1)1n S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++∑． 4．【解析】(1)由42a +是3a ，5a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =． 由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =．(2)设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S ．由11,1,2n n n S n c S S n -=⎧=⎨-⎩≥，解得41n c n =-．由(1)可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)()2n n n b b n ---=-⋅，2n ≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+． 设221113711()(45)()222n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，2n ≥，2311111137()11()(45)()22222n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222nn n T n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅， 因此2114(43)()2n n T n -=--⋅，2n ≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=--⋅．5．【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ．由1321,2,a a a ==+可得220q q --=．因为0q >，可得2q =，故12n n a -=．设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =(2)(i)由(1)，有122112nn n S -==--， 故1112(12)(21)22212n n n k k n n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑． (ii)证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++， 所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n n k k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑．6.【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.7．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=．∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． （Ⅱ）记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．。

2专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案部分 2019 年当n_ 2时,整理得 bn|j Lbn 1 L 20 • 所以数列｛b n ｝是首项和公差均为1的等差数列1•解析(1) 设等比数列 a 3 4a 2 4 a2 4a q4aq1a4 □11，解得aqaq a q 2因此数列｛a ｝为“ M —数列”(2)①因为2，所以bb O由bi1bi ，得b 2 L2- ，则b2bb12(bn 1b)n｛a n ｝的公比为q ，所以 a i 工Q q 工0.1 124 14 1 0，得因此，数列｛b n ｝的通项公式为b n =nLL1②由①知，b k =k , k^N *.因为数列｛C n ｝为"M-数列”设公比为q ,所以C 1=1, q>0. 因为C k 电kWk+i ,所以q k l k，其中k=1, 2, 3，…当k=1时，有q > 1 ;当k=2, 3,…，m 时, 有m.ln k ln k In q _kk 12In x设 f ( x ) = (x - 1)，则 f'(x) x令f'(x) |_0 ,得X=e ・列表如下:x (1,e)e(e , + g)f'(x) +f ( x )极大值一 -：一 ，所以 f (k) f (3)— 26 6 3 max3经检验知q k1《k 也成立. 因此所求m 的最大值不小于5.若m >6分别取k=3, 6，得3角3,且q 5w6从而q 15> 243且q 15< 216 所以q 不存在•因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.x k一，得14 _21 11取—a _ ，所以a一丄,a_〈10,12n22 21所以当1 2•解析：对于B ,令2— 0 b ］时，a 10〈10，故B 错误;对于C,令 取 a 1 2, 所以当b 对于D ,x 2 .. 2 0，得」2或 所以 a I 」L a 2 2 J J J厂 2时, < , n 2 10 厂a 10 〈10，故C 错误； ，得，1-1717，所以21 171 1710,21 In x取 q 3.3，当 k=1, 2, 3, 4, 5 时,In k kkIn q ，即 k_ q ,所以当b] 4时，a 〈，故D错误；io 102>0，{ } a—n当rr ・4时,越所以a5.L a3•解析（I ）设数列a 1 L 2d L 4,a 1 L 3d L 3a L 3d , 解得a L 0,d 2 .从而a 2n 2,n£ N * •对于A , a 2 —2a>172 1616所以a103>1 I2所以729a1064-10故A 正确.故选A . az递增,102a {a }的公差为d ,由题意得nn由S li b ,S|| l b ,S|| li b成等比数列得n n n 1 n n 2 n_S[ |_b [ LL S l_b |__S[ Lb _ •2 -n 1 n n n n 2 n1解得l_ _b [ S S S •2n n|_1 n n[2dLn2E N*.所以bna 2n 2 n 1(n) c ，託*n N nn2b 2n( n[]1) n(n J1)我们用数学归纳法证明.(1 )当n=1时，C1=0<2，不等式成立;3(2)假设 _uC _2『L 『22 k 2( k 1 k) 12 k 1 kV即当n L k|_1时不等式也成立.根据（1）和（2）,不等式 c 1 ll c 2 L C n 2 n 对任意n . N *成立.2010-2018 年10n k k^N时不等式成立，即c 1 LsL L2h 〈2『那么，当n时,,故选C .4 1I II 1 I I10aa =1, ①a a =3②a a =5③a a =7, a a =9,2132435465a a =11 ,aa =13,a a =15,a a =17a a =19, a a,76879810911 1012 1121【法 有题设知1】2k[l是等比数列2. D 【解析】•••②一①得a a =2,③+ ②得a a =8，同理可得a a =2, a a =24, a a =2,1 3 42 57689 11a [a =40，…，10 12•- a a , a a , a a ，…，是各项均为2的常数列，a \ a , a a , a II a，…1 3 5 7 9 112 4 6 8 10 12是首项为8，公差为16的等差数列，1• { a }的前60 项和为15汐|_15何：（16}{15）（ 14=1830.n2【法2】可证明：b 1.1 _ a4 [1 _ a41_2 _ a41_3 _ a4 [4 _ a4 3 _ a4 2 _ a4 2 _ a4 16 b _ 16nnnnn nnnn n41b |a |a |a |a [JlO 芳 S |10)05 --------------- 归6 [18301),S 12(1 n1 (n2n,S n 11110代入11234152【法3】不妨设11 2 2, 35 7 1 46, 6 10a _，得aa a [aL|||[，a a L ，所以当n 为奇数时，a 1，当nn 为偶数时，构成以a 为首项， 2以 4为公差的等差数列，所以得S 60 U 18303. A 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二： a 1 a 2 I a 3 a 4 ■- ■- C a 9 a 10 3，故 a a …14. 6【解析】T a H a12，n 1 • S 2(1n2 )n1262a 数列 ：2 na 是首项为2，公比为n••• 2叫64 , ••• n=6.2的等比数列,5. 27【解析】T a 1 Il 1, a 1 an1(n > 2)，所以数列｛a ｝是首项为 1,公差为11的等26. 差数列，所以前9项和S 99 一1 27.20【解析】由题意得：a fl (a a ) (a n■ ann" 111n ll nn(n 1)7.【解析】将a 8 2代入，可求得再将可求得 代入a6a l ；再将；由此可知数列；再将a1 一 -- 6代入1周期数列，且周期为3，所以2 【解析】当n =1时， S = a a =1 1 1.72 1a2a=35 15.故选 A.102 n1201252 12 1当 n > 2 时， S S =a )=a =a ]—(n n n 1nn 13 3 3 3••• { a }是首项为1，公比为一2的等比数列，•••n11 19. (1)(2)(1) 163 2100【解析】 (1)'•- S _( 1) annnna = ( 2)n1 . n31时，a 1 + a 2+ a 3= — a 3— 1a 〔+ a ?+ 83+ a 4= a 4— 11,.•. a 1 + a 2+ a 3= —1616.为奇数时,为偶数时,1 (),n 为偶数n由①②知 a 3= —16⑵n 〉1 时， S 1)nan1) a _nn(1) ()n 12fl1 [1,n 为奇数 (),n 为奇数n 为偶数100 1002时, 40,31(142 (11)2 3 21 4610. 1830【名师解析】可证明:b [1 _a 4 [1 _a 4 [2 _a 4 [a a 4 |_4 a 4 3 a 4 2a 4 2 _ a 4 16 _bL16，nnnn n nnnn n15X14b a a a aN S 网但X16 1830.1123410152n-r11. 3018 【解析】 因为cos 的周期为4；由an cos1_ N ；-n22••• a a a a，5678612346a a a a•- SX::2012503 6 3018[] >:2 <22，得(k 1)10 12. 4【解析】由题意得kk 1Jk(k 4)( ) (k 1)(k 1 4)( )k >1023 3 I22| ] > □ □ □kk 1k(k 4)( ) (k 1)(k 1 4)()3313.【解析】(1)设等比数列｛b ｝的公比为q ，由322b L , b L b L ，可得 q q 2 L 0. 1 1•所以 1 22 1~n~n ,所以1) 2两式相减得(2n 1)a L2 .又由题设可得从而｛a ｝的通项公式为na(2)记｛｝的前n 项和为 n S , 2n|_1因为q 〉0,可得q[2 ,故2“ 1TU设等差数列｛a ｝的公差为d .由 ，可得 3 |_3d|_4 .5由b5a 4 2a 6,可得3a [13d 116,从而1,d⑵由(1)，知12 (222 T _TL L U T L L丄 _nn213nn)n2.整理得 n 2 3n 4 14. 【解析】(1)因为解得an3 2a1 (舍) 2n-l(2 n a ，或nL4 .所以1) n 2_ n ,故当n >n 的值为 2时,4.a 1 |_3a L …」(2n 3)a n 1 L2(n 1).1)可得4所以a n22n 1(n > 2).a 2 1 17b是首项为1,公比为n的等比数列记［bnSn 的前n项和为15 . 由( 1)【解析】2n (2n 1)(2 n1)2n 2n 12n2n 2nLL2n 11由已知,ab |_b1 21,b 所以数列ia |是首项为n 2，公差为3的等差数列，通项公式为3n(n)由(i)和a b ] U b II fl nb ，得b n [1Sn n 11 2 2 31316-【解析】（I）设数列：一a的公差为d，由题意有n2a [I d I ，所以n解得1, a的通项公式为1 n5 -------(n)由(I)知b 2nn -------2n552n 352n52』3故1,整理得 1bOn 1, 所以bn2a 5d 4,a 5d O3， ___ 1 12n 35-—J2叫3当n =1,2,3 时，1<---------- 〈2,b L1 ；当n =4,5 时，2 < <3,b [2 ；当n =6,7,8 时，3 , 〈4,b L3；当n =9,10 时,〈5,b L4，所以数列I的前10 项和为1X3L2X2L3X3L4X2L 24 .17•【解析】（i）由a1a 1 2a ，得故T |_2 |_2|22 |_3|23L---L门|艺,n2 2 2 2 2 2 1 2n2nT L 2 L \ 3 L I 4 n L| I_n| L1，n所以l_ _T [ n L _ •1 2n12n18•【解析】（i）由条件，对任意n ■_ N*, 有L S S （n 一N*）,2 3 1 3n n n因而对任意n _ N* ,n_2,有a 13S 1S [J 3 （n 一N*）,n n n两式相减，得a 2 a |1 Il3a a n，即a i）2 3a ,（n_2）,n n n n n n又a li a ，所以a ll ss HU a a li a LI L a，81 1,2 23 3 1 23 3 1 （1 2 ）33 1819 .（n）由（i）知,的等比数列，数列所以a*0.2n 1所以a i{a }是首项2nS2 n a i a2 L[(1〔3L L从而S2n 1综上所述,3 a 是首项a i [Ji，公比为3，于是数列{ }n2，公比为3的等比数列,(a i a3 L a2ni) @2 a4 L a2n)n 13 )〔2(13(3nS2na2n【解析】（i）令n(5 3n 1)L3({^L 33(3 1)n1)(5n1),(n 2k fl i,k - N )n3(32 1),(n 2k,k_N )*1得:oS211) 3S X10,即S2_S1 11)9S 2 (n 2 Ln 3)S 3(n 2 [ n) L 0, 由nnk^N 时，2*k 2k3 ( 1)( 3)k _ >k_ kkU（川）当22 16 4 41 111 11.LLI< 1a (a Li) 2k(2k[]l)4 k(k L ) 4 (k)(k L )11 3 k k244:(S ]3)[s (n 2 L n) L 0, 得nnn/V>>一NP *sn>aLssnn1,n2\72n1时2312k — 卜婭& -------- k4 4 41 1 1L 二tLt —a (a X) a (a ⑷ a (a |_1)1 1 1 1<( )(1 1 1 41 22_4 4420.【解析】（i ） ® S当nn n1 1 11)L1 1 13(1)Lnn4」441 时，2a 1 a 一s Is1 ? 0, _1a a2a a 2aa a a a1 |_2 2 |_2 ------------------ n 1 1 — _ ______nnn 1nn 1SS1 1公比为 的等比数列，1I 20 n - 1qa 2, nnLTL -4 ()「( 1)]4"(L D 11 1 1 1 11111 (n)设T n L I a L I a L 22I a L n| a =qT IqaI qa 1L (qaL A L ni qa323—qT n 1 a 2 2当n>1时，a n_ s s 1n n={ 时首项为a n }a1上式左右错位相减:312q)T a in[]a a O，：；i[]a na [l a2 3 n n1 11 q 芳T』(n 1)|叫1忌2 ,21. [解析] (1)由a b > 0, a知1 nnba n 1 2 n 11n 〉0, 一- ・La _2n 2 ab b an 1 n n 1令n令A , A 1n 1a bn当 1 2n「2 时,A D An nb b1 2]Ob b2 ①当b*2时,1 2L2“ 2n n?n 1Ab b b b2 1 11n 2 n12 2]b bn 1 n2 1 2na nn nn 11021 —-2 (1 ) b b b 2A—nnn2 n( 2)1b bbn②当b2时,Aan2nnb (b 2) I ,b*2 a b -------------------n nn22, b 2[24b n L24 b n L L |_2 n Lb n |_2b n |_L L 2n b n1 12 2 2 2 2 12 n n n 12 22 b b _2 b ( L L LLL L L L n nb bb222nn n 1(2)当b*2时，(欲证an|.L nb_n|_112nn(2b )(2b 2nb (b n2)bb 2nnn[11,nb <(_1)只需证)nn[1b 22nn nn1 112b )(b 2b Ln LibnLi<b 2212 )>2n b n(2 |_2 L L |_2) |_2n|2n b n L n|2n b n,2n n[lnb (b 2) b〈Li.n nnLib 2 2n|_1b 当b[2 时,a |_2 [_ |_1.n n|_12n 1综上所述 ba _i 1.n n2ii 1. C【解析】•••所以12(a。

一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路聊城高中数学学习 qq 群56936885 高考真题专项分类（文科数学）第1页—共1页 专题六数列第十七讲 递推数列与数列求和一、选择题1．（2013大纲）已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于 A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+3．（2011安徽）若数列{}n a 的通项公式是(1)(32)n a n =-⋅-,则1210a a a ++⋅⋅⋅+=A ．15B ．12C ．－12D ．－15二、填空题4．（2015新课标1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = ．7．（2014新课标2）数列{}n a 满足111n na a +=-，2a =2，则1a =_________． 8．（2013新课标1）若数列{n a }的前n 项和为n S ＝2133n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______．10．（2012新课标）数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a 的前60项和为． 14．设（2017新课标Ⅲ）数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}21n a n +的前n 项和． 15．（2016全国I 卷）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =， 11n n n n a b b nb +++=．（I ）求{}n a 的通项公式 （II ）求{}n b 的前n 项和．16．（2016年全国II 卷）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=．(Ⅰ)求{n a }的通项公式；(Ⅱ)设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．。

第十七课 递推数列与数列求和 全国卷文数真题汇总（含答案）一、选择题1．（2013大纲）已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于 A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+2．（2012新课标）数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为A ．3690B ．3660C ．1845D ．18303．（2011安徽）若数列{}n a 的通项公式是(1)(32)n a n =-⋅-,则1210a a a ++⋅⋅⋅+= A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 二、填空题4．（2015新课标1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = ．5．（2015安徽）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a (2n ≥)，则数列}{n a 的前9项和等于______．6．（2015江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 前10项的和为 ．7．（2014新课标2）数列{}n a 满足111n na a +=-，2a =2，则1a =_________． 8．（2013新课标1）若数列{n a }的前n 项和为n S ＝2133n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______．9．（2013湖南）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________．10．（2012新课标）数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ，则}{n a 的前60项和为．11．（2012福建）数列{}n a 的通项公式cos12n n a n π=+，前n 项和为n S ，则2012S =___．12．（2011浙江）若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =____________． 三、解答题13．（2018天津）设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S (*n ∈N )；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为n T (*n ∈N )．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+．(1)求n S 和n T ；(2)若12()4n n n n S T T T a b +++⋅⋅⋅+=+，求正整数n 的值．14．设（2017新课标Ⅲ）数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=错误！未找到引用源。

一．【学习目标】1．熟练掌握等差、等比数列前n项和公式．2．熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等．二．【知识要点】求数列前n项和的基本方法(1)公式法数列{a n}为等差或等比数列时直接运用其前n项和公式求和．若{a n}为等差数列，则S n＝（a1＋a n）n2＝____________________．若{a n}为等比数列，其公比为q，则当q＝1时，S n＝_________({a n}为常数列)；当q≠1时，S n＝______________＝_________(2)裂项相消求和法数列{a n}满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和．(3)倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项的和公式就是用此法推导的．(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和．形如a n ＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 三．【方法总结】1.常用基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征，联想相应的求和方法既是根本，又是关键.2.数列求和实质就是求数列{S n }的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.练习3. 已知函数，则的值为 _____． 【答案】2.裂项求和例2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若，则5S 等于（ ）16 56 130【答案】【解析】选练习1.数列的前项的和为（ ）11【答案】 【解析】故数列的前10项的和为选练习6.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有，则等于（ ）20162017 4032201720172018 40342018【答案】D练习7.设数列{}n a 满足，且，若[]x表示不超过x 的最大整数，则( )【答案】 【解析】构造，则，由题意可得，故数列{}n b 是为首项为公差的等差数列， 故，故以上个式子相加可得，解得，∴，∴，∴20172018则．故答案为：．练习8. 已知幂函数()af x x =的图象过点()4,2，令（*n N ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2018S =（ ）1 11 1【答案】故选：.练习9. 已知数列{}n a 的首项为9，且，若，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________．【答案】2119101n --练习10.设数列{}n a 的前项为n S ，点,n S n n⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()*n N ∈均在函数32y x =-的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式。

专题六数列第十七讲递推数列与数列乞降2019年1.（2019 天津理 19 ）设 a n 是 等差数列， b na 1 4,b 1 ，6b 2 2a 2 2b,3 2a.3 4（Ⅰ）求a n 和b n 的通项公式；（Ⅱ）设数列c n 知足c 11,c n 1, 2kn 2k1,此中k N *.b k ,n2k,（i ）求数列 a 2n c 2n 1 的通项公式；2nnN *.（ii ）求a i c ii 12010-2018年一、选择题1．（2013纲领）已知数列a n 知足3a n1a n 0,a 2 4 ，则a n 的前10 项和等于 3 1A ．6(1310) B ． (1 310) C ．3(1 310) D ．3(1 310)9 2．(2012上海)设a n 1sin n，S n a 1 a 2 a n ，在S 1,S 2, ,S 100中，正数的个 n 25数是A ．25B ．50 C ．75D ．100 二、填空题 3．(2018全国卷Ⅰ)记Sn 为数列{an}的前n 项和，若Sn2an 1，则S6 _____．4．（2017新课标Ⅱ）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3 3，S 4 10 n 1 ，则 ．k 1Sk5．（2015新课标Ⅱ）设S n 是数列{a n }的前 n 项和，且a 1 1,a n 1 S n Sn1 ， 则S n =__．6．（2015江苏）数列{a n }知足a 11，且a n1 a n n1（n N *），则数列{1}前10an 项的和为．7．（2013新课标Ⅰ）若数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n 1，则数列{a n }的通项公式是 3 3a n =______.8．（ 2013湖南）设S n 为数列a n 的前n 项和，S n ( 1)n a n 1,n N,则 2n（1）a 3 _____；（2）S 1 S 2 S100 ___________．．（ 2012 新课标）数列{a n } 知足a n1 ( 1)na n 2n 1 ，则{ a n }的前 60 项和为．910．（2012福建）数列a n 的通项公式a n n 1 ，前n 项和为S n ，则ncos 2S 2012=___________．三、解答题 11．（2018浙江）已知等比数列{a 1}的公比q 1，且a 3 a 4 a 528，a 4 2是a 3，a 5的等差中项．数列 {b n }知足b 1 1，数列{(b n1b n )a n }的前n 项和为2n 2n ． (1)求q 的值； (2)求数列{b n }的通项公式．12． (2018天津)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n N)，{b n }是等差数列．已知a 11 ，a 3 a 22 ，a 4 b 3 b 5，a 5 b 4 2b 6． (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n N)， (i)求T n ；n(T k b k2)b k 2n2N)．(ii)证明 1)(k2) 2(n k1(k n213．（2017江苏）关于给定的正整数k ，若数列{a n }知足 ank ank1an1 an1ank1ank2kan对随意正整数n(nk)总建立，则称数列{a n }是“P(k)数列”．1）证明：等差数列{a n }是“P(3)数列”；2）若数列{a n }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n }是等差数列．14．（2016年全国II ）Sn 为等差数列a n 的前 n 项和，且a 1 1，S 7 28．记bnlgan ， 此中x 表示不超出x 的最大整数，如0，lg99 1． （Ⅰ）求b1，b11，b101； （Ⅱ）求数列b n 的前1000项和．15．（2015新课标Ⅰ） S n 为数列 {a n } 的前n 项和，已知 a n 0 ， an 2 n n 2a 4S3 （Ⅰ）求{a n }的通项公式： （Ⅱ）设b n 1 ，求数列{b n }的前n 项和．a n an116．（2015广东）数列{a n }知足：a2a na4 n 2 ，n N *． 12 n 2n11）求a 3的值；（ 2）求数列{a n }的前n 项和T n ；（3）令b 1 a 1，b n T n1 1 1 1n (1 3 )a n (n≥2)2 n证明：数列{b n }的前n 项和S n 知足S n 22lnn ． 17．（2014广东）设各项均为正数的数列a n 的前n 项和为 n ，且 n 知足S S S n 2n 2n3S n 3n 2n0,nN ．（Ⅰ）求a 1的值；（Ⅱ）求数列a n 的通项公式；（Ⅲ）证明：对全部正整数n ，有 1 1 1 1 1.a 1a 11a 2a 2 a n a n 13 18．（2013湖南）设S n 为数列{a n }的前项和，已知a 1 0，2a n a 1 S 1S n ，nN (Ⅰ)求a 1，a 2，并求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)求数列｛nan｝的前n项和．19．（2011广东）设b 0，数列a n知足a1nban1(n2)．b，an2na n12（1）求数列an的通项公式；（2）证明：关于全部正整数n，a n bn11. 2n1。