[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷128.doc

考研数学三（线性代数）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于( )．A．A＋BB．A－1＋B－1C．A(A＋B)－1BD．(A＋B)－1正确答案：C解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选(C)．知识模块：线性代数2．设则m，n可取( )．A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝5C．m＝2，n＝3D．m＝2，n＝2正确答案：B解析：P1mAP2n＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选(B)．知识模块：线性代数3．设A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm ≠0，则( )．A．m＞nB．m＝nC．存在m阶可逆阵P，使得AP＝D．若AB＝O，则B＝O正确答案：D解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX＝0只有零解，故若AB＝O，则B＝O，选(D)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，则( )．A．两个向量组等价B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．C．若向量组α1，α1…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价D．两向量组构成的矩阵等价正确答案：C解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βαr，线性表示，若β1，β2，…，βr，不可由α1，α2，…，αr，线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)．知识模块：线性代数5．设A为m×n阶矩阵，则方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是( )．A．r(A)＝mB．r(A)＝nC．A为可逆矩阵D．r(A)＝n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D解析：方程组AX＝b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)＝n，选(D)．知识模块：线性代数6．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A＝，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如A＝，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能化为；因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P －1AP＝，于是r(A)＝，故选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)*｜＝______．正确答案：kn(n－1)an－1解析：因为(kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1．知识模块：线性代数8．设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r(B)＝______．正确答案：1解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)＝1．知识模块：线性代数9．设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝，λ3＝其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(2α3,－3α1，－α2)，则P－1(A－1＋2E)P＝______．正确答案：解析：P－1(A－1＋2E)P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝知识模块：线性代数10．设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．正确答案：0解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A 有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(14年)行列式【】A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．b2c2－a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于D＝＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数2．(89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有【】A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B．AB＝BAC．｜AB｜＝｜BA｜D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1正确答案：C 涉及知识点：线性代数3．(94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则【】A．r＞r1．B．r＜r1．C．r＝r1．D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)．知识模块：线性代数4．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则【】A．(A*)*＝｜A｜n-1AB．(A*)*＝｜A｜n+1AC．(A*)*＝｜A｜n-2AD．(A*)*＝｜A｜n+2A正确答案：C解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确．知识模块：线性代数5．(97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则【】A．AB＝BA．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝B．C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝B．D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝B．正确答案：D解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝B．于是知D正确．知识模块：线性代数6．(98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为【】A．1B．C．－1D．正确答案：B解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A 的左上角的n－1阶子式等于，可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确．知识模块：线性代数7．(01年) 其中A可逆，则B-1等于【】A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1．知识模块：线性代数8．(03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有【】A．a＝b或a＋2b＝0．B．a＝b或a＋2b≠0．C．a≠b且a＋2b＝0．D．a≠b且a＋2b≠0．正确答案：C 涉及知识点：线性代数9．(04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有【】A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．正确答案：D解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数10．(05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为【】A．B．3C．D．正确答案：A解析：由题设条件A*＝AT，即其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有再从AT＝A*两端取行列式，得｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有知识模块：线性代数11．(06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝p-1AP．B．C＝PAP-1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：线性代数填空题12．(88年)＝_______．正确答案：－3解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数13．(16年)行列式＝_______．正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4解析：按第1列展开，得行列式为知识模块：线性代数14．(88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．正确答案：解析：利用初等行变换法：故A-1＝A．知识模块：线性代数15．(91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．正确答案：解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得知识模块：线性代数16．(92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C ＝，则｜C｜＝_______．正确答案：(－1)mnab解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有知识模块：线性代数17．(93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．正确答案：0解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（线性代数）模拟试卷108(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（）A．A+B是对称矩阵B．AB是对称矩阵C．A*+B*是对称矩阵D．A一2B是对称矩阵正确答案：B解析：由题设条件，则（A+B）T=AT+BT=A+B（kB）T=kBT=kB，所以有（A一2B）T=AT一（2BT）=A一2B，从而选项A、D是正确的。

首先来证明（A*）T=（AT）*，即只需证明等式两边（i，j）位置元素相等。

（A*）T在位置（i，j）的元素等于A*在（j，i）位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。

而矩阵（AT）*在（i，j）位置的元素等于AT的（j，i）位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。

从而（A*）T=（AT）*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。

结合选项A可知选项C是正确的。

因为（AB）T=BTAT=BA，从而选项B不正确。

注意：当A、B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。

所以应选B。

知识模块：线性代数2．A．P1P3AB．P2P3AC．AP3P2D．AP1P3正确答案：B解析：矩阵A作两次初等行变换可得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩阵A作列变换，故应排除。

该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。

而P2P3，A正是后者，所以应选B。

知识模块：线性代数3．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（）A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关正确答案：A解析：记B=（α1，α2，…，αs），则（Aα1，Aα2，…，Aαs）=AB。

2023数三考研真题试卷数三考研真题试卷是针对中国高等教育中数学三科目的模拟考试材料，通常包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计等部分。

以下是一份模拟的2023年数三考研真题试卷内容：一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值出现在哪个点？A. \( x = 0 \)B. \( x = 2 \)C. \( x = 4 \)D. \( x = -2 \)2. 已知矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵\( A \)的行列式。

A. 2B. 4C. -2D. -43. 设随机变量\( X \)服从正态分布\( N(0, 1) \)，求\( P(X > 1) \)。

A. 0.1587B. 0.3173C. 0.8413D. 0.6827...（此处省略其他选择题）二、填空题（每题4分，共20分）1. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \)等于______。

2. 设\( A \)为\( n \times n \)的正交矩阵，证明\( \det(A) \)等于______。

...（此处省略其他填空题）三、解答题（每题15分，共40分）1. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \)。

2. 给定函数\( f(x) = \ln(1 + x) \)，求其在区间\( [0, 1] \)上的最大值和最小值。

...（此处省略其他解答题）四、综合题（每题20分，共20分）1. 某工厂生产一种产品，其生产成本\( C(x) \)与生产量\( x \)之间的关系为\( C(x) = 10x + 30 \)，产品售价为\( p = 50 \)。

考研数学三（线性代数）模拟试卷128(总分74, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．SSS_SINGLE_SELA存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1 AP1，P2-1 BP2为对角矩阵B存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1T AQ1，Q2T BQ2为对角矩阵C存在可逆矩阵P，使得P -1 (A+B)P为对角矩阵D 存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B分值: 2答案:D解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B；选(D)．2.n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．SSS_SINGLE_SELA A无负特征值B A是满秩矩阵C A的每个特征值都是单值DA -1是正定矩阵分值: 2答案:D解析：正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件．3.下列说法正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA 任一个二次型的标准形是唯一的B 若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C 若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D 二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的分值: 2答案:D解析：(A)不对，如f=x1 x2，令则f=y12一y22；若令则f=y12一9y22； (B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同； (C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．4.设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X T AX与X T A -1 X( )．SSS_SINGLE_SELA 规范形与标准形都不一定相同B 规范形相同但标准形不一定相同C 标准形相同但规范形不一定相同D 规范形和标准形都相同分值: 2答案:B解析：因为A与A -1合同，所以X T AX与X T A -1 X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)．5.设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．SSS_SINGLE_SELA 可逆矩阵B 实对称矩阵C 正定矩阵D 正交矩阵分值: 2答案:B解析：因为A与对角阵A合同，所以存在可逆矩阵P，使得P T AP=A，从而A=(P T ) -1 AP -1 =(P -1 ) T AP -1，A T =[(P -1 ) T AP -1 ] T =(P -1 ) T AP -1 =A，选(B)．6.设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．SSS_SINGLE_SELA A，B合同B A，B相似C 方程组AX=0与BX=0同解D r(A)=r(B)分值: 2答案:D解析：因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选(D)．7.设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．SSS_SINGLE_SELA r(A)=r(B)B |A|=|B|C A～BD A，B与同一个实对称矩阵合同分值: 2答案:D解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B合同，则A，B的正负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D)．8.设则A与B( )．SSS_SINGLE_SELA 相似且合同B 相似不合同C 合同不相似D 不合同也不相似分值: 2答案:C解析：由|λE—A|=0得A的特征值为1，3，一5，由|λE—B|=0得B的特征值为1，1，一1，所以A与B合同但不相似，选(C)．9.设A，B为三阶矩阵，且特征值均为一2，1，1，以下命题： (1)A～B；(2)A，B合同； (3)A，B等价； (4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )．SSS_SINGLE_SELA 1B 2C 3D 4分值: 2答案:B解析：因为A，B的特征值为一2，1，1，所以|A|=|B|=一2，又因为r(A)=r(B)=3，所以A，B等价，但A，B不一定相似或合同，选(B)．2. 填空题1.二次型f(x1，x2，x3)=(x1一2x2) 2 +4x2x3的矩阵为_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：因为f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 一4x 1 x 2 +4x 2 x 3，所以2.设 则α 1 ，α 2 ，α 3 经过施密特正交规范化后的向量组为___________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：令 β 3 =α 3 ， 正交规范化的向量组为3.设二次型2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +ax 2 x 3 的秩为2，则a=___________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：该二次型的矩阵为因为该二次型的秩为2，所以|A|=0，解得 4.设5x 1 2 +x 2 2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一2x 1 x 3 一2x 2 x 3 为正定二次型，则t 的取值范围是__________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：二次型的矩阵为因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，|A|＞0，解得t ＞2．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三线性代数（向量）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，一l，5)T，(0，4，一2)T，(1，3，0)T；②(a，l，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f,0，3)T；③(a，l，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T；④(1，0，3，1)T，(一1，3，0，一2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T。

则下列结论正确的是( ) A．线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③。

B．线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①②。

C．线性相关的向量组为①②；线性无关的向量组为③④。

D．线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为②。

正确答案：D解析：向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除B。

由于(1，0，0)T，(0，2，0)T，(0，0，3)T线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关。

所以应排除C。

向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是α1，α2，α4线性相关，那么添加α3后，向量组③必线性相关。

应排除A。

由排除法，本题应选D。

知识模块：向量2．设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( )A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关。

B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0。

C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s。

D．α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。

正确答案：B解析：对于选项A，因为齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，A选项正确。

考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自由变量可取为(1)x4，x5 (2)x3，x5 (3)x1，x5 (4)x2，x3那么正确的共有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，有n-r(A)=5-3=2，故应当有2个自由变量．由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量．同理，x4，x5不能是自由变量．而x1，x5与x2，x3均可以是自由变量，因为行列式都不为0．所以应选B．知识模块：线性方程组2．已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么下列向量α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3中能导出方程组Ax=0解的向量共有( )A．4个．B．3个．C．2个．D．1个．正确答案：A解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，A(α1+α2-2α3)=Aα1+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，A(α1-3α2+2α3)=Aα1-3Aα2+2Aα3=b-3b+2b=0，那么，α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解．所以应选A．知识模块：线性方程组3．已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是( )A．(1，-1，3)TB．(2，1，-3)TC．(2，2，-5)TD．(2，-2，6)T正确答案：B解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解．因此选项A、D均不是Ax=0的解．由于α1，α2是Ax=0的基础解系，那么α1，α2可表示Ax=0的任何一个解η，亦即方程组x，α1+x2α2=η必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，-5)T不能由α1，α2线性表示．所以应选B．知识模块：线性方程组4．设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是( )A．r=nB．r≥n．C．r＜n．D．r＞n．正确答案：C解析：将矩阵A按列分块，A=(α1，α2，…，αn)，则Ax=0的向量形式为x1a1+x2a2+…+xnan=0，而Ax=0有非零解甘α1，α2，…，αn线性相关r(α1，α2，…，αn)＜nr(A)＜n．所以应选C．知识模块：线性方程组5．已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：由α1+2α2-α3=β知即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解，那么η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T，η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，有r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构，所以应选B．知识模块：线性方程组6．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b 的通解是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确．对于选项D，虽然(β1-β2)是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B．事实上，对于选项B，由于α1，(α1-α2)与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，(α1-α2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知，是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确. 知识模块：线性方程组7．三元一次方程组，所代表的三个平面的位置关系为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：设方程组的系数矩阵为A，对增广矩阵A作初等行变换，有因为r(A)=2，而r(A)=3，方程组无解，即三个平面没有公共交点．又因平面的法向量n1=(1，2，1)，n2=(2，3，1)，n3=(1，-1，-2)互不平行．所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱．所以应选C．知识模块：线性方程组8．设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．正确答案：D解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A：b)，所以选项A、B均不正确．而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A：b)＜b．根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解．所以应选D．知识模块：线性方程组填空题9．设A为3×3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量，则r(A)=_____正确答案：1解析：由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为3×3阶，因此r(A)=n-r=3-2=1．知识模块：线性方程组10．设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=_______正确答案：0解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解．因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，因此有n-r(A)≥2，即r(A)≤3．又因为A是五阶矩阵，而r(A)≤3，因此｜A｜4阶子式一定全部为0，因此代数余子式Aij恒为零，即A*=O，所以r(A*)=0．知识模块：线性方程组11．设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______正确答案：k(1，1，…，1)T，k是任意常数．解析：由题干可知r(A)=n-1，则线性方程组Ax=0的基础解系由1个解向量组成，即任意的一个非零解都可以成为基础解系．又已知矩阵每行的元素之和都为0，因此有Ai1+Ai2+…+Ain=1×Ai1+1×Ai2+…+1×Ain=0，故(1，1，…，1)T满足每一个方程，是Ax=0的解，所以通解为k(1，1，…，1)T，k 是任意常数．知识模块：线性方程组12．方程组有非零解，则k=_______正确答案：-1解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12(K+1)=0，因此得k=-1．知识模块：线性方程组13．设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是_____正确答案：k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T解析：A是一个3阶矩阵，由已知得｜A｜=0，且r(A)=2，因此r(A*)=1，那么可知n-r(A*)=3-1=2，因此A*x=0有两个基础解系，其通解形式为k1η1+k2η2．又因为A*A=｜A｜E=0，因此矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T 知识模块：线性方程组14．已知方程组总有解，则λ应满足的条件是______正确答案：解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩为3，即｜A｜≠0，由可知λ≠1且λ≠知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（线性代数）模拟试卷99(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是n阶非零矩阵，E是n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E一A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E一A可逆，E+A不可逆正确答案：C 涉及知识点：线性代数2．A是4阶实对称矩阵，A2+2A=0，r(A)=3，则A相似于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：用排除法由于A2+2A=0，A的特征值满足λ2+2λ=0，因此只可能是0或一2．于是和它相似的矩阵的特征值也只可能是0或一2．AB中的矩阵的特征值中都有2因此不可能相似于A，都可排除．又r(A)=3，和它相似的矩阵的秩也应该是3，C中矩阵的秩为2，也可排除．知识模块：线性代数填空题3．设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．如果｜2A｜=一48，则λ=________．正确答案：一1解析：｜2A｜=8｜A｜，得｜A｜=一6．又｜A｜=2×3×λ．得λ=一1．知识模块：线性代数4．A是3阶矩阵，特征值为1，2，2．则｜4A-1一E｜=__________．正确答案：3解析：A一1的特征值为1，1／2，1／2．4A一1一E的特征值为3，1，1，｜4A一1一E｜=3 知识模块：线性代数5．A是3阶矩阵，它的特征值互不相等，并且｜A｜=0，则r(A)=________．正确答案：2解析：A的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元素就是A的特征值，为3个互不相等数．其中有一个为0(因为｜A=0)，则r(A)=2．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6．已知3阶矩阵A满足｜A+E｜=｜A—E｜=｜4E一2A｜=0，求｜A3一5A2｜．正确答案：条件说明一1，1，2是A的特征值．得出A3－5A2的3个特征值：记f(x)=x3－5x2，则A3－5A2的3个特征值为f(一1) =一6，f(1)=一4，f(2)=一12．｜A3－5A2｜=(一4)×(一6)×(一12)=一288．涉及知识点：线性代数7．设α=(1，2，一1)T，β=(一2，1，一2)T，A=E一αβT．求｜A2－2A+2E｜．正确答案：用特征值计算．βTα=2，于是αβT的特征值为0，0，2，从而A的特征值为1，1，一1，A2－2A+2E的特征值为1，1，5．于是｜A2-2A+2E｜=1×1×5=5．涉及知识点：线性代数8．设α=(1，0，一1)T，A=ααT，求｜aE—An｜．正确答案：利用特征值计算．ααT的特征值为0，0，2．An的特征值为0，0，2n．aE—An的特征值为g，g，a一2n．｜aE—An｜=a2(a—2n)．涉及知识点：线性代数9．计算正确答案：记矩阵则所求为｜A｜．A=B+cE，而于是B的特征值为0,0，0，ab+a2b2+a3b3+a4b4从而A的特征值为c，c，c，a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c．则｜A｜=c3(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c) 涉及知识点：线性代数10．已知n阶矩阵A满足A3=E．(1)证明A2—2A一3E可逆．(2)证明A2+A+2E可逆．正确答案：通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是0不是它的特征值．由于A3=E，A的特征值都满足λ3=1．(1)A2一2A一3E=(A一3E)(A+E)，3和一1都不满足λ3=1，因此都不是A的特征值．于是(A一3E)和(A+E)都可逆，从而A2一2A一3E可逆．(2)设A的全体特征值为λ1，λ2，…，λn，则A2+A+2E 的特征值λi2+λi+2，i=1，2，…．n．由于λi3=1，λi或者为1，或者满足λi2+λi+1=0．于是λi2+λi+2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A2+A+2E 可逆．涉及知识点：线性代数11．设n阶矩阵A满足A4+2A3一5A2+2A+5E=0．证明A一2E可逆．正确答案：由定理5．1的推论的①，A一2E可逆2不是A的特征值．因为A4+2A3一5A2+2A+5E=0，所以A的特征值都是方程λ4+2λ3一5λ2+2λ+5=0．的根．显然2不是这个方程的根，从而不是A的特征值．涉及知识点：线性代数12．设B=U一1A*U．求B+2E的特征值和特征向量．正确答案：本题可先求出B+2E(先求A*，再求B，再求B+2E)，然后求它的特征值与特征向量，这样做计算量大．一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算．①求特征值．A=C+E，其中则c的特征值为0，0，6，从而A 的特征值为1，1，7．｜A｜=1×｜×7=7．根据定理5．5的②，A*的特征值为7，7，1．B～A*，从而B和A*特征值完全一样，也是7，7，1．用定理5．5的①，B+2E的特征值为9，9，3．②求特征向量．A*与A的对应特征值(指1与7，7与1)的特征向量一样，B+2E与B对应特征值(指7与9，1与3)的特征向量也一样，根据定理5．8的④，A*η=λη298λU一1η=λU一1η．于是可以由A的特征向量来得到B+2E的特征向量A的属于1的特征向量就是A*的属于7的特征向量，用U-1左乘后就是B的属于7的特征向量，也就是B+2E 的属于9的特征向量．A的属于1的特征向量，即(A—E)X=0的非零解．求得(A —E)X=0的基础解系η1=(1，一1，0)T，η2=(1，0，一1)T．于是A的属于1的特征向量的为c2η1+c2η2，c2，c2不全为0．求出ξ=U一1η1=(一1，1，0)T，ξ2=U一1η2=(1，1，一1)T，则B+2E的属于9的特征向量为c1ξ1+c2ξ2，c2，c2不全为0．同理，A的属于7的特征向量用U一1左乘后就是B+2E 的属于3的特征向量．求出A的属于7的特征向量(即(A一7E)X=0的非零解)为cη，c不为0，其中η=(1，1，1)T，记ξ=U一1η=(0，1，1)T，则B+2E的属于9的特征向量为cξ，c≠0．涉及知识点：线性代数13．设A和B都是可相似对角化的n阶矩阵，证明A和B相似A和B的特征值完全相同．正确答案：“→”是相似的重要性质．“←”设A和B的特征值完全相同．记全部特征值为λ1，λ2，…，λn，构造对角矩阵A，使得其对角线是的元素依次λ1，λ2，…，λn．由于A和B都是可相似对角化，有A一A，和B～A，再从相似关系的传递性，得到A—B．涉及知识点：线性代数14．已知3阶矩阵有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．正确答案：(1)求a．A的特征多项式为要使得它有二重根，有两种可能的情况：①2是二重根，即2是λ2一8λ+18+3a的根，即4一16+1 8+3a=0，求出a=一2，此时三个特征值为2，2，6．②2是一重根，则λ2一8λ+18+3a有二重根，λ2一8λ+18+3a=(x一4)2，求出a=一2／3．此时三个特征值为2，4，4．(2)讨论A是否相似于对角化矩阵．①当a=一2时，对二重特征值2，考察3一r(A 一2E)是否为2 7即r(A一2E)是否为1②当a=一2／3时，对二二重特征值4，考察3一r(A一4E)是否为2?即r(A一4E)是否为1 涉及知识点：线性代数设A为3阶矩阵，α1,α2,α3是线性的无关3维列向量组，满足Aα1=α1+2α2+2α3，Aα2=2α1+α2+2α3，Aα3=2α1+2α2+α3．15．求A的特征值．正确答案：用矩阵分解：A(α1，α2，α3)=(α1+2α2+2α3，2α1+α2+2α3，2α1+2α2+α3)=(α1，α2，α3)B，这里从α1,α2,α3线性无关的条件知道，(α1,α2,α3)是可逆矩阵．于是A相似于B．的秩为1，其特征值为0，0，6．得B的征值为一1，一1，5．则A的征值也为一1，一1，5．涉及知识点：线性代数16．判断A是否相似于对角矩阵?正确答案：B是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A也相似于对角矩阵．涉及知识点：线性代数17．求A的特征值．判断a，b取什么值时A相似于对角矩阵?正确答案：A的特征值0，5，b．①如果b≠0和5，则A的特征值两两不同，A相似于对角矩阵．②如果b=0，则A的特征值0，0，5．此时A相似于对角矩阵特征值0的重数2=3一r(A)r(A)=1a=0．于是a=0且b=0时A相似于对角矩阵；a≠0且b=0时A不相似于对角矩阵；③如果b=5，则A的特征值0，5，5．此时而r(A一5E)=2，特征值5的重数2＞3一r(A一5E)，A不相似于对角矩阵．涉及知识点：线性代数已知18．求x，y正确答案：A与B相似，从而有相同的特征值2，2，y．2是二重特征值，于是A与B相似从而tr(A)=tr(B)，于是1+4+5=2+2+y．得y=6．涉及知识点：线性代数19．求作可逆矩阵U，使得U一1A U=B．正确答案：求属于2的两个线性无关的特征向量：即求(A一2E)X=0的基础解系：得(A一2E)X=0的同解方程组x1=一x2+x3，得基础解系η1=(1，一1，0)T，η2=(1，0，1)T．求属于6的一个特征向量：即求(A一6E)X=0的一个非零解：得(A一6E)X=0的同解方程组得解η3=(1，一2，3)T．令U=(η1，η2，η3)，则涉及知识点：线性代数20．问k为何值时A可相似对角化?正确答案：求A的特征值：于是A的特征值为1(一重)和一1(二重)．要使A可对角化，只需看特征值一1．要满足3一r(a+E)=2，即r(A+E)=1，得k=0，涉及知识点：线性代数21．此时作可逆矩阵U，使得U一1A U是对角矩阵．正确答案：求属于一1的两个线性无关的特征向量，即求(A+E)X=0的基础解系：得(A+E)X=0的同解方程组2x1+x2一x3=0得基础解系η1=(1，0，2)T，η2=(0，1，1)T．求属于1的一个特征向量，即求(A—E)X=0的一个非零解：得(A—E)X=0的同解方程组得解η3=(1，0，1)T．令U=(η1，η2，η3)，则涉及知识点：线性代数已知a是一个实数．22．求作可逆矩阵U，使得U一1AU是对角矩阵．正确答案：先求A的特征值．A的特征值为a+1(二重)和a—2(一重)．求属于a+1的两个线性无关的特征向量，即求[A一(a+1)E]X=0的基础解系：得[A一(a+1)E]X=0的同解方程组x1=x2+x3，得基础解系η1=(1，1，0)T，η2=(1，0，1)T．求属于a一2的一个特征向量，即求[A一(a一2)E]X=0的一个非零解：得[A一(a一2)E]X=0的同解方程组得解η3=(一1，1，1)T．令U=(η1，η2，η3)，则涉及知识点：线性代数23．计算｜A—E｜．正确答案：A—E的特征值为a(二重)和a一3，于是｜A—E｜=a(a—3)．涉及知识点：线性代数24．设α，β都是n维非零列向量，A=αβT．证明：A相似于对角矩阵βTα≠0．正确答案：A的特征值为0，0，…，0，βTα．由相似对角化的判别法则二，只用对重数大于1的特征值0，检查其重数是否等于n—r(A—0E)=n一r(A)=n—1．当βTα=0时，0的重数是n，A不能相似对角化．当βTα≠0时，0的重数是n—1，A可相似对角化．涉及知识点：线性代数设A为3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．25．求作矩阵B，使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B．正确答案：已经用矩阵分解求出涉及知识点：线性代数26．求A的特征值．正确答案：由于α1,α2,α3线性无关，(α1,α2,α3)是可逆矩阵，并且(α1,α2,α3)一1A(α1,α2,α3)=B，因此A和B相似，特征值相同．B的特征值为1，1，4．A的特征值也为1，1，4 涉及知识点：线性代数27．求作可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵．正确答案：先把B对角化．求出B的属于1的两个无关的特征向量(1，一1，0)T，(0，2，一1)T；求出B的属于4的一个特征向量(0，1，1)T．构造矩阵令P=(α1，α2，α3)D=(α1一α2，2α2一α3，α2+α3)，则涉及知识点：线性代数28．已知n阶矩阵A满足(A—aE)(A一bE)=0，其中a≠b，证明A可对角化．正确答案：首先证明A的特征值只能是a或b．设A是A的特征值，则(λ—a)(λ一b)=0，即λ=a或λ=b．如果6不是A的特征值，则A一6E可逆，于是由(A一aE)(A一bE)=0推出A—aE=0，即A=aE是对角矩阵．如果b是A的特征值，则｜A一bE｜=0．设η1，η2，…，ηt是齐次方程组(A一6E)X=0的一个基础解系(这里t=n一r(A一bE))，它们都是属于b的特征向量．取A一bE 的列向量组的一个最大无关组γ1，γ2，…，γk，这里k=r(A一6E)．则γ1，γ2，…，γk是属于a的一组特征向量．则有A的k+t=n个线性无关的特征向量组γ1，γ2，…，γk；η1，η2，…，ηt，因此A可对角化．涉及知识点：线性代数29．A是n阶矩阵，数a≠b．证明下面3个断言互相等价：(1)(A一aE)(A 一6E)=0．(2)r(A—aE)+r(A一bE)=n．(3)A相似于对角矩阵，并且特征值满足(λ一a)(λ一b)=0．正确答案：不妨设a和b都是A的特征值．(因为如果a不是A的特征值，则3个断言都推出A=bE．如果b不是A的特征值，则3个断言都推出A=aE)(1)→(2)用关于矩阵的秩的性质，由(A一aE)(A一bE)=0．得到：r(A一aE)+r(A一bE)≤n，r(A一aE)+r(A一bE)≥r((A一aE)一(A一bE))=r((b一a)E)=n，从而r(A 一aE)+r(A一bE)=n．(2)→(3)记ka，kb分别是a，b的重数，则有ka≥n—r(A 一aE)①kb≥n一r(A一bk)②两式相加得n≥ka+kb≥n—r(A一aE)+n—r(A一bE)=n，于是其中“≥”都为”=”，从而①和②都是等式，并且ka+kb=n．ka+kb=n，说明A的特征值只有a和b，它们都满足(λ一a)(λ一b)=0．①和②都是等式，说明A相似于对角矩阵．(3)→(1)4的特征值满足(λ一a)(λ一b)=0，说明A的特征值只有cz和6．设B是和A相似的对角矩阵，则它的对角线上的元素都是a或b，于是(B一aE)(B一bE)=0．而(A一aE)(A一bE)相似于(B一aE)(B一bE)，因此(A—aE)(A一bE)=0．涉及知识点：线性代数30．构造正交矩阵Q．使得QTAQ是对角矩阵正确答案：(1)先求特征值A的特征值为0，2，6．再求单位正交特征向量组属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，1，一1)T，单位化得属于2的特征向量是齐次方程组(A一2E)X=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，一1，0)T，单位化得属于6的特征向量是齐次方程组(A一6E)X=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，1，2)T，单位化得作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)，则QTAQ=Q一1AQ=(2)先求特征值A的特征值为1，1，10．再求单位正交特征向量组属于1的特征向量是齐次方程组(A—E)X=0的非零解，得(A—E)X=0的同解方程组x1+2x2—2x4=0，显然α1=(0，1，1)T是一个解．第2个解取为α2=(c，一1，1)T(保证了与α1的正交性!)，代入方程求出c=4，即α2=(4，一1，1)T．再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A一10E)X=0的非零解(1，2，一2)T，令γ3=α3／‖α3‖=(1，2，一2)T／3．作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)．则涉及知识点：线性代数设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．31．求A的特征值和特征向量．正确答案：条件说明A(1，1，1)T=(3，3，3)T，即α0(1，1，1)T是A的特征向量，特征值为3．又α1，α2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量，特征值为0．由于α1，α2线性无关，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为3，0，0．属于3的特征向量：cα0，c≠0．属于0的特征向量：c1α1+c2α2 c1，c2不都为0．涉及知识点：线性代数32．求作正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．正确答案：将α0单位化，得对α1，α2作施密特正交化，得作Q=(η0，η1，η2)，则Q是正交矩阵，并且涉及知识点：线性代数33．求A及[A一(3／2)E]6．正确答案：建立矩阵方程A(α0，α1，α2)=(3α0，0，0)，用初等变换法求解：得由得于是[A一(3／2)E]6=(3／2)6E．涉及知识点：线性代数34．正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵，并且Q的第1列为(1，2，1)T．求a和Q．正确答案：Q-1AQ=QTAQ是对角矩阵，说明Q的列向量都是A的特征向量，于是(1，2，1)T也是A的特征向量．(1，2，1)T和(2，5+a，4+2a)T相关，得a=一1，并且(1，2，1)T的特征值为2．A的特征值为2，5，一4．下面来求它们的单位特征向量．是属于2的单位特征向量．则(1，一1，1)T是属于5的特征向量，单位化得则(1，0，一1)T是属于一4的特征向量，单位化得则Q=(α1，α2，α3)，(不是唯一解，例如(α1，α3，α2)，(α1，一α2，一α3)，(α1，一α3，一α2)等也都适合要求．) 涉及知识点：线性代数35．设3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，3，η1=(一1，一1，1)T和η2=(1，一2，一1)T分别是属于1和2的特征向量，求属于3的特征向量，并且求A．正确答案：属于3的特征向量和η1，η2都正交，从而是齐次方程组的非零解．解此方程组，得η4=(1，0，1)T构成它的一个基础解系．于是属于3的特征向量应为(k，0，k)T．k≠0．建立矩阵方程A(η1，η2，η3)=(η1，2η2，3η3)，用初等变换法解得涉及知识点：线性代数3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量．记B=A5一4A3+E．36．求B的特征值和特征向量．正确答案：记f(x)=x5一4x3+1，则B的特征值为f(1)=一2，f(2)=1，f(一2)=1．α1=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量，则它也是B的特征向量，特征值一2．B的属于一2的特征向量为cα1，c≠0．B也是实对称矩阵，因此B的属于特征值1的特征向量是与α1正交的非零向量，即是x1一x2+x3=0的非零解．求出此方程的基础解系α2=(1，1，0)T，α3=(0，1，1)T，B的属于特征值1的特征向量为c1α2+c2α3，c1，c2不全为0．涉及知识点：线性代数37．求B．正确答案：B(α1，α2，α3)=(一2α1，α2，α3)．解此矩阵方程得涉及知识点：线性代数。

考研数学三（线性代数）模拟试卷80(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列矩阵中，正定矩阵是A．B．C．D．正确答案：C解析：正定的必要条件aii＞0，可排除(A)、(D)．(B)中△2=0与顺序主子式全大于0相矛盾，排除(B)．故应选(C)．知识模块：线性代数2．矩阵合同于A．B．C．D．正确答案：B解析：由矩阵A的特征多项式知矩阵A的特征值为1，3，一2．即二次型正惯性指数p=2，负惯性指数q=1．故应选(B)．知识模块：线性代数3．设则A与BA．合同且相似．B．合同但不相似．C．不合同但相似．D．不合同也不相似．正确答案：A解析：由｜λE—A｜=λ3一3λ2，知矩阵A的特征值为3，0，0．又因A 是实对称矩阵，A必能相似对角化，所以A～B．因为A，B有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以A≌B．故应选(A)．知识模块：线性代数4．设A，B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是A．A，B有相同的特征值．B．A，B有相同的秩．C．A，B有相同的行列式．D．A，B有相同的正负惯性指数．正确答案：D解析：(A)是充分条件．特征值一样→有相同的正、负惯性指数→合同．但不是必要条件．例如，特征值不同，但A≌B．(B)是必要条件．由CTAC=B，C可逆→r(A)=r(B)，但不是充分条件．例如虽r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同．故A与曰不合同．(C)既不必要也不充分．例如行列式不同但合同，又如虽行列式相同但不合同．故应选(D)．知识模块：线性代数5．二次型xTAx正定的充要条件是A．负惯性指数为零．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP=E．C．A的特征值全大于零．D．存在n阶矩阵C，使A=CTC．正确答案：C解析：(A)是正定的必要条件．若f(x1，x2，x3)=x12+5x32，虽q=0，但f 不正定．(B)是充分条件．正定并不要求特征值全为1．虽不和单位矩阵E相似，但二次型xTAx正定．(D)中没有矩阵C可逆的条件，也就推导不出A与E合同，例如，则xTAx不正定．故应选(C)．知识模块：线性代数填空题6．二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩阵是__________．正确答案：解析：f(x1，x2，x3) =a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵知识模块：线性代数7．二次型f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3的负惯性指数q=__________．正确答案：q=1解析：令故(I)是坐标变换，那么经此变换二次型化为f=y22+2(y1+y3)(y1一y3)=2y12+y22一2y32．所以负惯性指数q=1．知识模块：线性代数8．若二次型2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3的秩为2，则t=__________．正确答案：解析：r(f)=2，即r(A)=2．因｜A｜中有2阶子式，由知识模块：线性代数9．已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3经正交变换化为标准形y12+2y32，则a=_______。

考研数学三线性代数（向量组的线性关系与秩）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．AB=0，A，B是两个非零矩阵，则A．A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关．B．A的列向量组线性相关．B的列向量组线性相关．C．A的行向量组线性相关．B的行向量组线性相关．D．A的行向量组线性相关．B的列向量组线性相关．正确答案：A解析：用秩．矩阵的行(列)向量组线性相关，即矩阵的秩小于行(列)数．设A是m×N矩阵，b是N×s矩阵，则由AB=0得到r(A)+r(B)≤n．由于A，B都不是零矩阵，r(A)＞0，r(B)＞0．于是r(A)＜n，r(B)＜n．n是A的列数，B的行数，因此A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关．知识模块：线性代数2．设α1，α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是( )．A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2,…，Aαs线性相关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A解析：本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明(A)的正确性，做法如下：因为α1，α2，…，αs线性相关，所以存在不全为0的数c1，c2，…，cs使得c1α1+c1α2+…+csαs=0，用A左乘等式两边，得c1Aα1+c1A α2+…+csAαs=0，于是Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．但是用秩来解此题，则更加简单透彻．只要应用两个基本性质，它们是：1．α1，α2，…，αs线性无关r(α1，α2，…，αs)=s．2．r(AB)≤r(B)．矩阵(Aα1，Aα2,…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，因此r(Aα1，Aα2，…，Aαs)≤r(α1，α2，…，αs)．于是，若α1，α2，…，αs线性相关，有r(α1，α2，…，αs)＜s，从而r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s，Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．知识模块：线性代数3．α1，α2，α3，β线性无关，而α1，α2，α3，γ线性相关，则A．α1，α2，α3，cβ+γ线性相关．B．α1，α2，α3，cβ+γ线性无关．C．α1，α2，α3，β+cγ线性相关．D．α1，α2，α3，β+cγ线性无关．正确答案：D解析：由于α1，α2，α3，β线性无关，α1，α2，α3是线性无关的．α1，α2，α3，cβ+γ(或β+cγ)线性相关与否取决于cβ+γ(或β+cγ)可否用α1，α2，α3线性表示．条件说明β不能由α1，α2，α3线性表示，而γ可用α1，α2，α3线性表示．cβ+γ可否用α1，α2，α3线性表示取决于c，当c=0时cβ+γ=γ可用α1，α2，α3线性表示；c≠0时cβ+γ不可用α1，α2，α3线性表示．c不确定，(A)，(B)都不能选．而β+cγ总是不可用α1，α2，α3线性表示的，因此(C)不对，(D)对．知识模块：线性代数4．设α1，α2，α3线性无关，则( )线性无关：A．α1+α2，α2+α3，α3一α1．B．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3．C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．D．α1+α2+α3，2α1一3α2+22α3，3α1+5α2—5α3．正确答案：C解析：容易看出(A)中的向量组的第2个减去第1个等于第3个，所以相关．(B)组的前两个之和等于第3个，也相关．于是(A)和(B)都可排除．现在只用判断(C)组是否相关(若相关，选(D)，若无关，选(C)．) α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1对α1，α2，α3的表示矩阵为C可逆，于是r(α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1)=r(C)=3，因而(C)组向量线性无关．知识模块：线性代数填空题5．设A为3阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是1，又设β=(1，0，0)T，则方程组AX=β的解为_______．正确答案：(1，0，0)T．解析：设A=(α1，α2，α3)．A为正交矩阵，列向量是单位向量．于是α1是(1，0，0)T．则β=α1=A(1，0，0)T，解为(1，0，0)T 知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（线性代数）模拟试卷10(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．一48正确答案：D解析：，选D．知识模块：线性代数2．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．A．0B．54C．一2D．一24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值一1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选B．知识模块：线性代数填空题3．设f(x)=，则x2项的系数为__________．正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数4．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a一2，a一1，则a=________．正确答案：1解析：由(a+1)+2(a一2)+3(a一1)=0得a=1．知识模块：线性代数5．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且｜A｜=a，｜B｜=b，则=__________．正确答案：(—1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则知识模块：线性代数6．设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜α1+2α2，α2一3α3，α3+2α1｜=__________．正确答案：—33解析：｜α1+2α2，α2一3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2—3α3，α3+2α1｜+｜2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2—3α3，α3｜+2｜α2，一3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，2α1｜=｜α1，α2，α3｜—6｜α2，α3，α3+ 2α1｜=｜α1，α2，α3｜—6｜α2，α3，2α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α2，α3，α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α1，α2，α3｜=一33 知识模块：线性代数7．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A一2B｜=_________．正确答案：63解析：由5A一2B=(5α，5γ1，5γ2)一(2β，2γ1，2γ2)=(5α一2β，3γ1，3γ2)，得｜5A一2B｜=｜5α一2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α一2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜一2｜β，γ1，γ2｜)=63 知识模块：线性代数8．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]—1=__________(用A*表示)．正确答案：解析：由A*=｜A｜A—1得(A*)*=｜A*｜．(A*)—1=｜A｜n—1．(｜A｜A—1)—1=｜A｜n—2A，故[(A*)*]—1= 知识模块：线性代数9．设α=(1，一1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=__________．正确答案：解析：βTα=3，A2=αβT．αβT=3αβT=3A，则An=3n—1A=3n—1 知识模块：线性代数10．A=，且n≥2，则An一2An—1=__________．正确答案：O解析：由A2=2A得An=2n—1，An—1=2n—2A，所以An一2An—1=0．知识模块：线性代数11．设A=，则(A+3E)—1(A2一9E)=__________．正确答案：解析：(a+3E)—1(A2一9E)=(A+3E)—1(A+3E)(A一3E)=A一3E= 知识模块：线性代数12．A2一B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是__________．正确答案：AB=BA解析：A2一B2=(A+B)(A—B)一A2+BA—AB—B2的充分必要条件是AB=BA．知识模块：线性代数13．设A为三阶矩阵，且｜A｜=4，则=__________．正确答案：2解析：=｜2A—1｜=23｜A｜=2 知识模块：线性代数14．设A为三阶矩阵，且｜A｜=4，则=__________．正确答案：解析：由A*=｜A｜A—1=4A—1得．知识模块：线性代数15．设A为四阶矩阵，｜A*｜=8，则=__________．正确答案：8解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2．又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A—1，故知识模块：线性代数16．设A为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜(一2A)*｜=__________．正确答案：576解析：因为(一2A)*=(一2)2A*=4A*．所以｜(—2A)*｜=｜4A*｜=43｜A｜2=64×9=576．知识模块：线性代数17．设A=，则A—1=__________．正确答案：解析：知识模块：线性代数18．设A=，则A—1=__________．正确答案：解析：知识模块：线性代数19．设A=，则(A*)—1=__________．正确答案：解析：｜A｜=10，因为A*=｜A｜A—1，所以A*=10A—1，故知识模块：线性代数20．设A=，则(A一2E)—1=__________．正确答案：解析：知识模块：线性代数21．设n阶矩阵A满足A2+A=3E，则(A一3E)—1=__________．正确答案：解析：由A2+A=3E，得A2+A一3E=0，(A一3E)(A+4E)=一9E，知识模块：线性代数22．设正确答案：解析：令A=(α1，α2，α3)，因为｜A｜=2，所以A*A=｜A｜E=2E，知识模块：线性代数23．设n维列向量α=(α，0，…，0，α)T，其中a＜0，又A=E一ααT，B=E+ααT，且B为A的逆矩阵，则a=_______．正确答案：—1解析：知识模块：线性代数24．设三阶矩阵A，B满足关系A—1BA=6A+BA，且A=，则B=__________．正确答案：解析：由A—1BA=6A+BA，得A—1B=6E+B，于是(A—1一E)B=6E，B=6(A —1一E)—1= 知识模块：线性代数25．设A是4×3矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=__________．正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：线性代数26．设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则r(A)=__________．正确答案：2解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数27．=__________．正确答案：解析：知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三线性代数（行列式）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=( )A．0。

B．a2。

C．一a2。

D．na2。

正确答案：A解析：按这一列展开，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有n个为a，n个为一a，从而行列式的值为零，故选A。

知识模块：行列式2．四阶行列式的值等于( )A．a1a2a3a4一b1b2b3b4。

B．a1a2a3a4+b1b2b3b4。

C．(a1a2一b1b2)(a3a4一b3b4)。

D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)。

正确答案：D解析：方法一：将此行列式按第一行展开，原式=a1=(a1a4—b1b4)(a2a3一b2b3)，故选D。

方法二：交换该行列式的第二行与第四行，再将第二列与第四列交换，即原式=由拉普拉斯展开可知，原式=(a1a4一b1b4)(a2a4一b2b3)，故选D。

知识模块：行列式3．设A=，且|A|=m，则|B|=( )A．m。

B．一8m。

C．2m。

D．一2m。

正确答案：D解析：方法一：故选D。

方法二：将行列式|A|的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式|B|。

由行列式的性质知|B|=一2|A|=一2m，故选D。

知识模块：行列式4．α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=( )A．9。

B．6。

C．3。

D．1。

正确答案：B解析：方法一：由矩阵加法公式，得A+B=(α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2)，结合行列式的性质有|A+B|=|α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =|2(α1+α2+α3)，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =2 |α1+α2+α3，α2+α1,α3+α2，β1+β2| =2 |α1+α2+α3，α3，一α1,β1+β2|=2|α2，－α3，α1,β1+β2|=2|α1，α2，α3，β1+β2|=2(|A|+|B|)=6。

考研数学三（线性代数）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．函数f(x)在点x＝a处可导，则函数｜f(x)｜在点x＝a处不可导的充分条件是________．A．f(a)＝0且fˊ(a)＝0B．f(a)＝0且fˊ(a)≠0C．f(a)＞0且fˊ(a)＞0D．f(a)＜0且fˊ(a)＜0正确答案：B 涉及知识点：线性代数2．设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则________．A．λE－A＝λE－BB．A与B有相同的特征值和特征向量C．A与B都相似于一个对角矩阵D．对任意常数t，tE－A与tE－B相似正确答案：D 涉及知识点：线性代数3．向量组α1，α2，…,αm线性无关的充分必要条件是________．A．向量组α1，α2，…,αm，β线性无关B．存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0C．向量组α1，α2，…,αm的维数大于其个数D．向量组α1，α2，…,αm的任意一个部分向量组线性无关正确答案：D 涉及知识点：线性代数4．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：线性代数5．二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+3x32-4x1x2+2x1x3+8x2x3的秩等于________。

A．0B．1C．2D．3正确答案：D 涉及知识点：线性代数6．设向量β可由向量组α1，α2，...,αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...,αm-1,线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，...,αm-1，β，则A．αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B．αm不能由(I)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．C．αm可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．D．αm可由(I)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示．正确答案：B解析：因为β可由α1，α2，...,αm线性表示，故可设β=k1α1，k2α2，...,km αm．由于β不能由α1，α2，...,αm-1线性表示，故上述表达式中必有km≠0．因此αm=1/km(β-k1α1-k2α2-…-km-1αm-1)．即αm可由(Ⅱ)线性表示，可排除(A)、(D)．若αm可由(I)线性表示，设αm=l1α1+…+lm-1αm-1，则β=(k1+kml1)α1+(k2+kml2)α2+…+(km-1+kmlm-1)αm-1．与题设矛盾，故应选(B)．知识模块：线性代数7．设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则A．(A*)*=丨A丨n-1A．B．(A*)*=丨A丨n+1A．C．(A*)*=丨A丨n-2A．D．(A*)*=丨A丨n+2A．正确答案：C解析：伴随矩阵的基本关系式为AA*=A*A=丨A丨E．现将A*视为关系式中的矩阵A，则有A*(A*)*=丨A*丨E．那么，由丨A*丨=丨A丨n-1及(A*)-1=A/丨A丨，可得(A*)*-丨A*丨（A*-1）=丨A丨n-1A/丨A丨=丨A丨n-2A．知识模块：线性代数8．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=A．kA*．B．kn-1A*．C．knA*．D．k-1A*.正确答案：B解析：对任何n阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的n阶矩阵自然也要成立．那么,A可逆时，A*=丨A丨A-1有(kA)*=丨kA丨(kA)-1=kn丨A丨1/kA-1=kn-1A．选(B)．知识模块：线性代数9．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0则A．E-A不可逆，E+A不可逆．B．E-A不可逆，E+A可逆．C．E-A可逆，E+A可逆．D．E-A可逆，E+A不可逆．正确答案：C解析：因为(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E，(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E．所以，由定义知E-A，E+A均可逆．故选(C)．知识模块：线性代数10．设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵则(A-1+B-1)-1等于A．A-1+B-1．B．A+B．C．A(A+B)-1B．D．(A+B)-1．正确答案：C解析：因为A，B，A+B均可逆，则有(A-1+B-1)-1=(EA-1+B-1E)-1=(B-1BA-1+B-1AA-1)-1=[B-1(B+A)A-1]-1=(A-1)-1(B +A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B．故应选(C)．注意，一般情况下(A+B)-1≠A-1+B-1，不要与转置的性质相混淆．知识模块：线性代数填空题11．若x→0时，(1－ax2)1/4－1与xsinx的等价无穷小，则a＝________．正确答案：-4 涉及知识点：线性代数12．已知fˊ(lnx)＝1＋x，则f(x)＝_________．正确答案：x+ex+C 涉及知识点：线性代数13．若四阶矩阵A与B为相似矩阵，A的特征值为1／2、1／3、1／4、1／5，则行列式｜B-1－E｜＝_______．正确答案：24解析：由已知A与B相似，则A与B的特征值相同，即B的特征值也为1／2、1／3、1／4、1／5，从而B-1－E的特征值为1，2，3，4，因此｜B-1－E｜＝1.2.3.4＝24．知识模块：线性代数14．已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_______．正确答案：2 涉及知识点：线性代数15．设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为1，A的各行元素之和为3，则f 在正交变换x=Qy下的标准形为_________．正确答案：3y12 涉及知识点：线性代数16．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2。

考研数学三（线性代数）模拟试卷100(总分82, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设二次型f(x1，x2，x3)=X T AX，已知r(A)=2，并且A满足A 2一2A=0．则下列各标准二次型 (1)2y12 +2y22． (2)2y12． (3)2y12 +2y32． (4)2y22 +2y32．中可用正交变换化为f的是( )．SSS_SINGLE_SELA (1)B (3)，(4)C (1)，(3)，(4)D (2)2.设SSS_SINGLE_SELA A与B既合同又相似B A与B合同但不相似．C A与B不合同但相似．D A与B既不合同又不相似．3.则( )中矩阵在实数域上与A合同．SSS_SINGLE_SELABCD3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.设α是一个n维非零实列向量．构造n阶实对称矩阵A，使得它的秩=1，并且α是A的特征向量，特征值为非零实数λ．SSS_TEXT_QUSTI2.设B是3阶实对称矩阵，特征值为1，1，一2，并且α=(1，一1，1) T是B 的特征向量，特征值为一2．求B．SSS_TEXT_QUSTI3.已知实对称矩阵A满足A 3 +A 2 +A一3E=0，证明A=E．SSS_TEXT_QUSTI4.设A为实矩阵，证明A T A的特征值都是非负实数．SSS_TEXT_QUSTI设A为反对称矩阵，则SSS_TEXT_QUSTI5.若k是A的特征值，一k一定也是A的特征值．SSS_TEXT_QUSTI6.如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则η Tη=0．SSS_TEXT_QUSTI7.如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．用配方法化下列二次型为标准型SSS_TEXT_QUSTI8.f(x1，x2，x3)=x12 2x22 +2x1x2—2x1x3+2x2x3．SSS_TEXT_QUSTI9.f(x1，x2，x3) =x1x2+x1x3+x2x3．已知二次型2x12 +3x22 +3x32 +2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22 +5y32，求a和所作正交变换．SSS_TEXT_QUSTI设二次型 f(x1，x2，x3)=x T Ax=ax12 +2x12一2x32 +2bx1x3，(b＞0) 其中A的特征值之和为1，特征值之积为一12．SSS_TEXT_QUSTI11.求a，b．SSS_TEXT_QUSTI12.用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12 +(1一a)x22 +2x32 +2(1+a)x1 x2的秩为2．SSS_TEXT_QUSTI13.求a．SSS_TEXT_QUSTI 14.求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．SSS_TEXT_QUSTI 15.求方程f(x1，x2，x3)=0的解．16.二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12一4y22一4y32，Q的第1列为(1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．SSS_TEXT_QUSTI求作一个3阶可逆矩阵P，使得P T AP是对角矩阵．SSS_TEXT_QUSTI18.二次型f(x1，x2，x3)=x12 +x22 +x32 +2x1x2+2x1x3+2x2x3的正惯性指数为2，a应满足什么条件?SSS_TEXT_QUSTI设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型SSS_TEXT_QUSTI19.用矩阵乘积的形式写出此二次型．SSS_TEXT_QUSTI20.f(x1，x2，…，xn)的规范形和X T AX的规范形是否相同?为什么?21.判断A与B是否合同，其中SSS_TEXT_QUSTI 22.二次型f(x1，x2，x3)=ax12 +ax22 +(a－1)x32 +2x1x3—2x2x3．①求f(x1，x2，x3)的矩阵的特征值．②如果f(x1，x2，x3)的规范形为y12 +y22，求a．SSS_TEXT_QUSTI23.a为什么数时二次型x12 +3x22 +2x32 +2ax2x3用可逆线性变量替换化为2y12一3y22 +5y32 ?SSS_TEXT_QUSTI24.已知A是正定矩阵，证明｜A+E｜＞1．SSS_TEXT_QUSTI 25.已知二次型f(x1，x2，x3)=x12 +4x22 +4x32+2λx1x2—2x1x3+4x2 x3．当λ满足什么条件时f(x1，x2，x3)正定?SSS_TEXT_QUSTI26.已知二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2) 2 +(x2+a2x3) 2+…+(xn +anx1) 2．a1，a2，…，an满足什么条件时f(x1，x2，…，xn)正定?SSS_TEXT_QUSTI27.设(1)求作对角矩阵D，使得B一D．(2)实数k满足什么条件时B正定?SSS_TEXT_QUSTI28.设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A+B)=n，证明A T A+B T B正定．SSS_TEXT_QUSTI29.设A是m阶正定矩阵，B是m×n实矩阵，证明：B T AB正定r(B)=n．SSS_TEXT_QUSTI设A是3阶实对称矩阵，满足A 2 +2A=0，并且r(A)=2．SSS_TEXT_QUSTI30.求A的特征值．SSS_TEXT_QUSTI31.当实数k满足什么条件时A+kE正定?设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：SSS_TEXT_QUSTI32.存在可逆矩阵P，使得P T AP，P T BP都是对角矩阵；SSS_TEXT_QUSTI33.当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．34.设其中A，B分别是m，n阶矩阵．证明c正定A，B都正定．SSS_TEXT_QUSTI设是正定矩阵，其中A，B分别是m，n阶矩阵．记SSS_TEXT_QUSTI35.求P T DP．SSS_TEXT_QUSTI36.证明B—C T A -1 C正定．37.二次型f(x1，x2，x3)=X T AX在正交变换X=QY下化为y12 +y22，Q的第3列为①求A．②证明A+E是正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI1。

考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设β1，β2为非齐次方程组的解向量，α1，α2为对应齐次方程绀的解，则( )A．β1+β2+2α1为该非齐次方程组的解．B．β1+α1+α2为该非齐次方程组的解．C．β1+β2为该非齐次方程组的解．D．β1-β2+α1为该非齐次方程组的解．正确答案：B解析：本题考查线性方程组的解的性质，将四个选项分别代入非齐次方程组，因此选B．知识模块：线性方程组2．n元线性方程组Ax=B有两个解a、c，则下列方程的解是a-c的是( ) A．2Ax=BB．Ax=0C．Ax=aD．Ax=c正确答案：B解析：A(a-c)=Aa-Ac=0，所以a-c是Ax=0的解．知识模块：线性方程组3．非齐次线性方程组Ax=B中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A是4×6矩阵，则( )A．无法确定方程组是否有解．B．方程组有无穷多解．C．方程组有惟一解．D．方程组无解．正确答案：B解析：由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是6，而系数矩阵的秩为4，因此方程组有无穷多解，故选B．知识模块：线性方程组4．对于齐次线性方程组而言，它的解的情况是( )A．有两组解．B．无解．C．只有零解．D．无穷多解．正确答案：C解析：这是一个齐次线性方程组，只需求出系数矩阵的秩就可以判断解的情况．对系数矩阵A=，因此r(A)=3，系数矩阵的秩等于未知数个数，因此方程组只有零解，故选C．知识模块：线性方程组5．齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O，使得AB=O，则( )A．λ=-2且｜B｜=0B．λ=-2且｜B｜≠0C．λ=1且｜B｜=0D．λ=1且｜B｜≠0正确答案：C解析：将矩阵B按列分块，则由题设条件有AB=A(β1，β2，β3)=(A β1，Aβ2，Aβ3)=O 即ABi=0(j=l，2，3)，这说明矩阵B的列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解．又由B≠O，知齐次线性方程组Ax=0存在非零解，从而r(A)＜3，且A为3阶方阵，故有即λ=1，排除选项A、B．若｜B｜≠0，则矩阵曰可逆．以B-1右乘AB=O，得ABB-1=OB-1，即A=O．这与A为非零矩阵矛盾，选项D不正确，故选C．知识模块：线性方程组6．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩=秩(A)，则线性方程组( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：由于选项C、D为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中必有一个正确也仅有一个正确，因而排除A、B．又齐次线性方程组有n+1个变量，而由题设条件知，秩=r(A)≤n，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T解析：由于r(A)=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系共有4-r(A)=4-3=1个向量，又因为(α1+α2+α3)-(3α1+α2)=2(α3-α1)=(0，-4，-6，-8)T是Ax=0的解，因此其基础解系可以为(0，2，3，4)t，由A(α1+α2+α3)=Aα1+A α2+2Aα3=4b，可知(α1+α2+α3)是方程组Ax=b的一个解，因此根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T 知识模块：线性方程组10．线性方程组有解，则未知量a_______正确答案：-3解析：非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，对该方程组的增广矩阵作初等变换可知a=-3时，r(A)=r(A，b)，此时方程组有解．知识模块：线性方程组11．设A=(aij)是三阶正交矩阵，其中a33=-1，b=(0，0，5)T，则线性方程组Ax=b必有一个解是______正确答案：(0，0，-5)T解析：由正交矩阵定义，首先AAT=ATA=E，由此可知A的列向量和行向量都是单位向量，因此可设A=，则线性方程组Ax=b必有一个解是(0，0，-5)T．知识模块：线性方程组12．非齐次方程组的通解是_______正确答案：解析：对该非齐次线性方程组的增广矩阵作初等变换知识模块：线性方程组13．已知齐次线性方程组有通解k1(2，-1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T，则方程组的通解是_____正确答案：k(13，-3，1，5)T(k为任意常数)解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，令(1)的通解为满足(2)的第三个方程，得(2k1+3k2)-2(-k1+2k2)+0k2+k1=0，得到5k1=k2，将其代入(1)的通解中，得5k2(2，-1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T=k2(13，-3，1，5)T，是方程组(2)的通解．知识模块：线性方程组14．已知方程组(Ⅰ)(Ⅱ)x1+5x3=0，那么(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解是_____正确答案：k(-5，3，1)T(k为任意常数)解析：将方程组(I)和方程(Ⅱ)联立，得到方程组(Ⅲ)(Ⅲ)的解就是两者的公共解．对(Ⅲ)的系数矩阵做初等行变换可得由于A的秩为2，因此自由变量有1个，令自由变量x3=1，代入可得x2=3，x1=-5，所以(Ⅲ)的基础解系为η=(-5，3，1)T 因此(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解为k(-5，3，1)T(k为任意常数)．知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三线性代数（行列式）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知α1，α2，β1，β2，γ都是3维列向量，且行列式｜α1，β1，γ｜=｜α1，β2，γ｜=｜α2，β1，γ｜=｜α2，β2，γ｜=3，那么｜-2γ，α1+α2，β1+2β2｜=( )A．-18B．-36C．64D．-96正确答案：B解析：本题考查行列式的性质．利用性质｜α1，α2，β1+β2｜=｜α1，α2，β1｜+｜α1，α2，β2｜和｜kα1，α2，α3｜=k｜α1，α2，α3｜则有｜-2γ，α+α，β+2β｜=｜-2γ，α，β+2β｜+｜-2γ，α，β+2β｜=｜-2γ，α1，β1｜+｜-2γ，α1，2β2｜+｜-2γ，α2，β1｜+｜-2γ，α2，2β2｜=-2｜α1，β1，γ｜-4｜α1，β2，γ｜-2｜,α2，β1，γ｜-4｜α2，β2，γ｜=(-2-4-2-4)×3=-12×3=-36．所以应选B．知识模块：行列式2．设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=( )A．0B．a2C．-a2D．na2正确答案：A解析：按这一列展开，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有n个为a，n个为-a，从而行列式的值为零．所以应选A．知识模块：行列式3．设A是3阶矩阵，其中a11≠0，Aij=aij，(i=1，2，3，j=1，2，3)，则｜2AT｜=( )A．0B．2C．4D．8正确答案：D解析：=23｜AT｜=8｜A｜，且由已知故A*=AT 又由AA*=AAT=｜A｜E，两边取行列式，得｜AA｜T=｜A｜2=｜｜A｜E｜=｜A｜3 得｜A｜2(｜A｜-1)=0 又a11≠0，则｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13= 故｜A｜=1，从而｜2AT｜=8，所以应选D．知识模块：行列式4．4阶行列式的值等于( )A．a1a2a3a4-b1b2b3b2B．a1a2a3a4+b1b2b3b4C．(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D．(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)．正确答案：D解析：根据行列式的按k行(列)展开法则，将此行列式第2、3行(列)展开，得=(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)，所以应选D．知识模块：行列式5．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )A．当m＞n，必有行列式｜AB｜≠0．B．当m＞n，必有行列式｜AB｜=0．C．当n＞m，必有行列式｜AB｜≠0．D．当n＞m，必有行列式｜AB｜=0．正确答案：B解析：因为AB是m阶方阵，且r(AB)≤rain{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以当m＞n时，必有r(AB)＜m，从而｜AB｜=0，所以应选B．知识模块：行列式6．设α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜α1，α2，α3，β1｜=m，｜α1，α2，β2，α3｜=n，则4阶行列式｜α3，α2，α1，β1+β2｜等于( )A．m+nB．-(m+n)C．n-mD．m-n正确答案：C解析：由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号，得｜α3，α2，α1，(β1+β2)｜=｜α3，α2，α1，β1｜+｜α3，α2，α1，β2｜=-｜α1，α2，α3，β1｜+｜α1，α2，β2，α3｜=n-m所以应选C．知识模块：行列式7．设A=n，且｜A｜=m，则｜B｜=( )A．mB．-8mC．2mD．-2m正确答案：D解析：方法一：方法二：将行列式｜A｜的第一列加到第二列上，再将二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式｜B｜．由行列式的性质知｜B｜=-2｜A｜=-2m．知识模块：行列式8．α1，α2，α3，β1，β2均为4维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且｜A｜=1，｜B｜=2，则｜A+B｜=( ) A．9B．6C．3D．1正确答案：B解析：方法一：由矩阵加法公式，得A+B=(α1+α3，α1+α3，α3+α2，β1+β2)，结合行列式的性质有｜A+B｜=｜α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2｜=｜2(α1+α2+α3)，α2+α1，α3+α2，β1+β2｜=2｜α1+α2+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2｜=2｜α1+α2+α3，-α3，-α1，β1+β2｜=2｜α2，-α3，-α1，β1+β2｜=2｜α1，α2，α3，β1+β2｜=2(｜A｜+｜B｜)=6 方法二：｜A+B｜=｜α+α，α+α，α+α，β+β｜==｜α，α，α，β+β｜= 知识模块：行列式填空题9．设3阶行列式D3的第2行元素分别为1、-2、3，对应的代数余子式分别为-3、2、1，则D3=_______正确答案：-4解析：根据行列式的求解方法，行列式的值等于它的任一行(列)的元素与其相应的代数余子式乘积之和，故D3=a21A21+a22A22+a23A23=1×(-3)+(-2)×2+3×1=-4 知识模块：行列式10．如果的代数余子式A12=-1，则代数余子式A21=______正确答案：2解析：根据代数余子式的定义可知A12=(-1)1+2==-(5x-4)=-1，因此可得x=1．所以A21=(-1)2+1 知识模块：行列式11．如果A=(4，5，6)，则｜A｜=______正确答案：0解析：方法一：令M=，N=(4，5，6)．因为r(MN)≤r(M)≤1，即r(A)≤1，又A≠O，则r(A)≥1，所以r(A)=1，因此｜A｜=0．方法二：采用矩阵相乘的方法，A中任意两行成比例，因此该行列式值为0．知识模块：行列式12．行列式的结果是_______正确答案：-2(x3+y3)解析：将后两列加到第一列上知识模块：行列式13．设A=，则｜ATB｜=______正确答案：140解析：因为A是一个对称矩阵，所以AT=A=，因此所以可得｜ATB｜=140．知识模块：行列式14．已知3阶行列式=______正确答案：解析：结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即知识模块：行列式15．四阶行列式的值是______正确答案：-15解析：利用行列式的性质：把行列式某一行(列)的各元素乘以同一数后，然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变；上(下)三角形行列式的运算．对已知行列式作变换，则知识模块：行列式16．设n阶矩阵A=，则｜A｜=_________正确答案：-2(n-2)!解析：运用行列式的性质．把第2行所有元素乘以一1加到其他各行所对应的元素上，再将第1行所有元素乘以2加到第2行相应的元素上，可得知识模块：行列式17．行列式D==______正确答案：120解析：利用行列式的性质和范德蒙德公式．将行列式第四行加到第一行上后，就可以提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即原式知识模块：行列式18．已知A，B，C都是行列式值为2的3阶矩阵，则D==____正确答案：解析：根据行列式按行(列)展开法则，得知识模块：行列式19．设f(x)=，则f(x+1)-f(x)=_____正确答案：6x2解析：f(x+1)-f(x)= 知识模块：行列式20．方程｜A｜==0的根是______正确答案：α1，α2，α3，-(α1+α2+α3)解析：由观察可知，x1=a1时，1、2行对应元素相等，｜A｜=0；x2=a2时，2、3行对应元素相等，｜A｜=0；3=a3时，3、4行对应元素相等，｜A｜=0 又由行列式的每行元素和为x+a1+a2+a3，将2、3、4列各元素加到第1列相应元素上去，且提取公因式，得｜A｜=(x+a1+a2+a3)=0，故有x=-(a1+a2+a3)．所以方程是一元四次方程，四个根依次是a1，a2，a3，-(a1+a2+a3)．知识模块：行列式21．在xOy平面上，平面曲线方程y=，则平面曲线与x轴的交点的坐标是______正确答案：(2，0)，(3，0)解析：曲线y=与x轴(即y=0)的交点为方程组的解，行列式为范德蒙德行列式，即有y==(3-2)(x-2)(x-3)=0，解得x=2，x=3，故曲线与x轴的交点坐标为(2，0)，(3，0)．知识模块：行列式22．已知3阶矩阵A的特征值为1，2,3，则行列式｜A3-5A2+7A｜=______正确答案：18解析：令λ为矩阵A的特征值，则(λ3-5λ2+7λ)为(A3-5A4+7A)的特征值多项式．令φ(λ)=λ3-5λ2+7λ，由于1，2，3是A的特征值，则φ(1)=3，φ(2)=2，φ(3)=3是φ(A)的特征值，故有｜A3-5A2+7A｜=｜φ(A)｜=φ(1)φ(2)φ(3)=3×2×3=18．知识模块：行列式解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（线性代数）模拟试卷129(总分54,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 设α1，α2，α3，β1，β2都是四维列向量，且｜A｜=｜α1，α2，α3，β1｜=m，｜B｜=｜α1，α2，β2，α3｜=n，则｜α3，α2，α1，β1+β2｜为( )．A. m+nB. m－nC. －(m+n)D. n－m2. 设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于( )．A. kA*B. knA*C. kn－1A*D. kn(n－1)A*3. 设Q为三阶非零矩阵，且PQ=O，则( )．A. 当t=6时，r(Q)=1B. 当t=6时，r(Q)=2C. 当t≠6时，r(Q)=1D. 当t≠6时，r(Q)=24. 向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是( )．A. α1，α2，…，αm中任意两个向量不成比例B. α1，α2，…，αm是两两正交的非零向量组C. 设A=(α1，α2，…，αm)，方程组AX=0只有零解D. α1，α2，…，αm中向量的个数小于向量的维数5. 设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是( )．A. r(A)=sB. rA)=mC. r(B)=sD. r(B)=n6. 设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．A. 若A2=E，则－1一定是矩阵A的特征值B. 若r(E+A)＜n，则－1一定是矩阵A的特征值C. 若矩阵A的各行元素之和为－1，则－1一定是矩阵A的特征值D. 若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则－1一定是A的特征值2. 填空题1. 设则A31+A32+A33=______．2. 设B为三阶矩阵，r(B*)=1且AB=O，则t=______．3. 设则α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组为______，其余的向量用极大线性无关组表示为______．4. 设A为三阶实对称矩阵，α1=(a，－a，1)T是方程组AX=0的解，α2=(a，1，1－a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=______．5. f(x1，x2，x3，x4)=XTAX的正惯性指数是2，且A2－2A=0，该二次型的规范形为______．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。