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1. 3 函数的基本性质1. 3.1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性【课标要求】1.理解并掌握函数单调性及其几何意义.2.掌握用定义判断函数单调性的一般方法. 【核心扫描】1.判断、证明函数的单调性.（重点、难点）2.求函数的单调区间.（重点）.d KEQIANTANJIUXUEXI01》课前探究学习自学导弓I 1.增函数与减函数的概念设函数斤兀）的定义域为/:①y/Ui)IfM| 1 a0上1 x2先一②挑战自我i点点落实v(l)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值M，兀2，当兀1。
2时，都有」")<%),那么就说函数沧)在区间D上是增函数，如图①所示.(2)如果对于定义域/内某个区间o上的任意两个自变量的值兀1，吃，当X1<X2时，都有曲>仏2),那么就说函数几朗在区间D上是减函数，如图②所示.2.函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数^=蚣)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.想一想：如图所示函数介兀)的图象，则函数几兀)的单调增区间是(一8, 0] U(0, +8)吗？3.判断（证明）函数的单调性判断（证明）函数单调性的步骤名师点睛1.对函数单调性概念的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的心、兀2有以下几个特征：一是任意性，即“任意取无1，兀2”，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定兀1心2；三是属于同一个单调区间.(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由九)是增(减)函数且沧1)今＞2)0兀15(兀1＞兀2).(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性.若函数出现两个或两个以上的单调区间时，两单调区间不能用连接呦！而用“和”或J ”连接.2・判断函数单调性的常用方法(1)定义法：这是证明或判定函数单调性的常用方法.这种判断函数单调性的最基本的方法在高考中常有考查，一定要引起重视.(2)图象法：根据函数图象的升、降情况进行判断.(3)依据已知函数的单调性判断：如根据已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况.拓展在解答选择或填空题时，也可用到以下结论: ⑴函数y=/（兀）与y = 一/⑴单调性相反；⑵若函数沧）恒正或恒负时，函数y=^与y=fM单调性相反;（3）在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=增函数；减函数+减函数=减函数，减函数一增函数=减函数.KETANGJIANGLIANHUDONG》课堂讲练互动循循善诱i触类旁通题型一证明或判断函数的单调性【例1】利用定义判断尢)=$在区间(0, +®)上的单调性.［思路探索］函数解析式和区间已给出，只需利用单调性的定义判断即可.•g)= 上在区间(0, +oo)上是增函数.证明任取X” ％2丘(0，+°°)且刃＜^2,2(" —X 2)(X I + 2)(X 2+2)*V%I <X 2 且 %2丘(°，+°°)，/.%1—%2<0^ %i + 2>0, x 2+2>0,->2)<0,r则 f(X l) — f(X 2)= 刃 _ 兀2 %i +2 X2+2 %!(%2+2)—X 2(^I +2)(%I + 2)(X 2+2)规律方法判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作.利用定义法判断（或运用）函数的单调性的步骤为：（1）取值（注意刃、兀2的任意性）；（2）作差变形（目的是便于判断符号）；（3）判断差的符号；（4）写出结论.【变式11证明函数兀¥）=% + 1在（0，1）上是减函数.A题型二求函数的单调区间【例2］画岀函数y—F+2|X|+3的图象，并指岀函数的单调区间.［思路探索］I化简函数解析式|-|画出函数图象确定单调区间函数图象如图所示.函数在（一8, -1］, ［0,1］±是增函数， 函数在［—1,0］, ［1, +8］上是减函数.•I 函数的单调增区间是（一8, 一 1］和［0,1］, 单调减区间是［—1,0］和［1, + °°）.规律方法(1)由函数图象确定函数单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可以利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求.(2)—个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“U”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接，如函数y=k其定义域为(一°°, 0)U(0, +°°),不能说函数在(一8, 0)U(0, +OO)上单调递减，而只能说函数在(―°°, 0)和(0, +°°)上递减・【变式2】求下列函数的单调区间. (1^) = 3W；(2)/(x) = lx2+2x-3L(2)令f(x) =X2+2X—3 = (x+1)2—4.先作出几劝的图象，保留其在X轴及X轴上方部分，把它在X 轴下方的图象翻到X轴上方就得到y=k2+2x-3l的图象，如图所示.由图象易得：函数的递增区间是(一3, -1), (1, +®)；函数的递减区间是(一8, -3], [-1,1]・题型三函数单调性的应用【例3】（12分）已知函数乐）的定义域为[—2,2],且尢）在区间[ — 2,2]上是增函数，求实数加的取值范围.审题指导利用单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去/符号，转化为关于加的一元一次不等式，解出m 的范围.［规范解答］・・7W在区间［一2,2］上单调递增，・•・一201502时，总有血）*2）成立.反之也成立，即若f （Xi）<f（X2）,则一2£兀1<¥2壬2.（4 分）V/（l——2WmW2•匚—2<1—m<2, （8 分）1 —m<m解得*v加W2.（10分）・•・所求加的取值范围是2.（12分）【题后反思】单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要的作用，具体体现在：（1）利用单调性比较大小，利用函数的单调性，可以把比较函数值的大小问题转化为比较自变量的大小的问题；（2）利用单调性求函数的值域或最值；（3）已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向思维问题.这类问题能够加深对概念、性质的理解.【变式3］已知函数f(x)=x2-\-2(a 是—l)x+2 在区间(―oo, 4]±减函数，求实数a的取值范围.误区警示因对“单调区间”和“区间上单调”两个概念混淆而出错【示例】若函数=x2+2(a — 1 )x+4的单调递减区间是(一°°, 4］,则实数。
习题课一函数的基本性质
学习目标
1.会根据函数的单调性、奇偶性求最值
2 •能运用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式等问题★重点难点
1•重点是利用奇偶性、单调性求最值
2.雄点是单调性、奇偶性的灵活运用
学法指导
1.系统总结函数的甫要性质，结合例题明确性质间的相互联
1系及在解决问题中的作用
i 2.进一步提升分析间题、解决间题的能力
I
【典例1】⑴(2016•武汉高一检测)函数
f(x)是定义在
••“课堂合作探究…・
类型一：利用奇偶性、单调性比较大小
温*提示 女果您木乐件的辻 雄中出字他象・册旻 同幷右幻灯片・fitll# 可lEtO ・ R 上的偶函数, 当x$0时，f(x)单调递减•则下列各式 成立的是( A. f (l)<f(-3) C. f (-2) >f (3) )
B. f(3)>f(2)
D. f(2)>f(0)
⑵(2016•长春高一检测)f (x) = (m-1) x2+2mx+3是偶函数，贝!|fH), f(- ), f()的大小关系为()
72 73
A.f( )>f (- )>f(-l)
B. f( )<f (- )<f(-l)
C・f (不)<f(^)<f(-l) D. f(4) <f(佚f (-)
A/2 A/3 A/3 A/2
【解题指南】(1)根据f(x)是偶函数,所以将f(・3) f f(- 2)化为f⑶,f(2),再由单调性判断大小.
⑵先由f(x) = (m-：l)x2+2mx+3是偶函数,确定m的
值f从而得出f(x)的解析式f再根据f(x)的单调性判断
值的大小.
【解析】⑴选C・函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-3)=f⑶,f(-2)=f(2),当x“时，f(x)单调递减, 所以
f⑵>f(3),所以f(・2)>f⑶.
⑵选B•因为f(x) = (m・l)x2+2rnx+3是偶函数f所以有f(-x)=f(x) f即(m-l)(-x)2+2m(-x) + 3=(ml)x2+2mx+3 f
所以4mx=0恒成立f所以m=0 f因jtbf(x) = -x2+3 f
又f(x) = M+3在(・8 f 0］上为増函数f故
f(・ f(- ^<f(-l) , Xf()誘(・几所以B正确.
【规律总结】利用奇偶性和单调性比较大小的三个步骤(1)判断：判断所给函数的奇偶性以及给定区间内的单调性.
(2)转化：根据奇偶性将自变量的值转化到同一个单调区间内.
(3)确定：根据函数的单调性，比较函数值的大小.
【巩固训练】1. (2016•郑州高一检测)若对于任意实 数X 总有f (-X )=f (x),且f(x)在区间(-8, -1］上是增 函数，则()
< <f(2)
C ・f ⑵〈f 碍,
D.f(2)< 〈那二鸟
2
3
f(--) 2A. <f(-l)<f(2)
B .
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z —lx ・
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)J I K l5>(x )J H
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【生
議】
2•若函数f (x)是R上的偶函数，且在［0, +8)上是减函数，则满足f (兀)〈f(a)的实数a的取值范围是
【解析】若竝0 . f(x)在［0 , +8)上是减函数,且和血) <f(a),得0<a<Tr.
若avO ,因为f(ir)二f(-ir),则由f(x)在［0 , +8)上是减函数,得知f(x)在(・8,0］上是増函数•由于f(F)
<f(a),得到a>-IT ,即-itvavO•由上述两种情况知aW (-IT , it)・
答案：(-TT , TT)
类型二：利用奇偶性、单调性求最值
【典例2】(1)设f(x)在［-2, -1］±为减函数，最小值为3,且f(x)为偶函数，则f(x)在［1, 2］上()
A.为减函数，最大值为3
B.为减函数，最小值为-3
C.为增函数，最大值为-3
D.为增函数，最小值为3
⑵若(P (x), g (x)都是奇函数，f (x) =a(P (x) +bg (x) +2 在(0, +8)上有最大值5,则f(x)在(-8, 0)上有( A.最小值-5
B.最大值-5
C.最小值T
D.最大值-3
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M -x 喘施z r (8+・
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B
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【解析】⑴选D・因为f(x)在卜2 , -1］±为减函数,最
小值为3 ,所Wf(-1) = 3 ,又因为f(x)为偶函数, 所以f(x)在［—2］上为増函数,且最小值为f(：L)二f(-l) = 3.
(2)
俳
c ・田CU 査追m w x m (o 、+8)、
f(x)Ha£(x)+bg(x)
+2
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・a m w x m (—
g (x )8p ?rlIO SH 凰博・a f
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x ) + b g s +2IA 5
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w (x )cr g (x )+
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(1)利用在对称区间上单调性与奇偶性的关系，由一侧
区间上的最值求另一侧区间上的最值.
(2)利用奇偶性，在不同区间上对解析式作互相转化,
从而由一个区间上的最值求另一个区间上的最值.
【规律总结】
【巩固训练】若奇函数f(x)当10W4时的关系式是
f (x) =x2-4x+5,则当-4WxW-l时，f(x)的最大值是A.5 B.—5 C. —2 D. -1
【解析】选D•当-4WxW-1时，1W-xW4 f因为
1W X W4
时f f (x)=x2-4x+5.所以f (-x)=x?+4x+5 f又f (x)为奇函数f所以f (-x)二-f (x) •所以f (x)二-x2-4x-5二- (x+2) 2-1.
当x=-2时f取最大值-1・
类型三：利用奇偶性和单调性解不等式
【典例3】(2016•岳阳高一检测)若定义域为R的偶函数玖幻在［0, +8)上是增函数，且f⑴=0,求不等式
f(x)M0的解集.
【解题指南】由f(X)为偶函数■且在［0 ■ +8)上是増函数,可得f (-X)二f (x) ■且f (x)在(-8,0］上是减函
数,即可利用单调性解不等式.
【解析】若定义域为R的偶函数f（X）在［0 ■ +8）上是増
函数,则f（X）在（-8,0］上是减函数,且f （-X）=f （x）,
因为f (1)=0 ■所以f(-l)=f ⑴=0 ■综上当x^-lsKx^l
时,f(X)^0 ,即f (x) M0的解集为{x|xWT .或xMl}・
【延伸探究】
1.(变换条件)若本例中的“偶函数”改为“奇函数”，“f(l)=O〃改为“f(l-m)<f(m)〃，求m的取值范围.
2.(改变问法)典例中条件不变，求x・f(x)WO的解集.
【解析】因为f(x)为吐的偶函数,所Wf(-l)=f(l)=O , 又f(x)在[0 , +8)上是増函数,所以f(x)在(・8,0]±
为减函数・x • f(x) V 0o r x<09 所以x .前J卿( [x>0, 找術阳耨为{x|x—
或0<x<l}.x>0, f(x)<0,
x<0,
x
【规律总结】利用奇偶性与单调性解抽象不等式的四个步骤
⑴转化：利用奇偶性转化成f (M) >f (N)的形式.
(2)确定：确定函数的单调性.
⑶去“ f” ：去掉“ f”,转化为M>N或M〈N的形式.
(4)求解：解不等式(组).
醒：在利用单调性解不等式时，要注意定义域的限制，以保证转化的等价性.
【巩固训练】已知函数f(x)是定义在［-1, 1］上的奇函数，且单调递减，若8满足f(l+a)+f(2+3a)<0,求实数a的取值范
【解析】因为定义域为卜「1],所以尸51+泊1,
-1W 2+3a W1, 解得-2<a<gj_i<a<_ . 1 ①
因为£廛寄函数,且a满足f(d+a)+f(2+3a)v0 ,所以
f(l+a)<-f(2+3a)=f(-2-3a).
因为f(x)在定义域上单调递减. 所以l+a>-2-3a ,即a兰
②
4
由①②得-va・・]
4 3
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• •••
题
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