状态空间的分解

第２ｌ卷第２期　２０１４年４月　琼州学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｉｏｎｇｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．２１　Ｎｏ．２　Ａｐｒ．２０１４　

多元马氏模型状态空问的基本性质及其分解定理　

邢灵博　

（琼州学院理工学院，海南三亚５７２０２２）　

摘要：在多元马尔可夫理论模型下研究了状态空间的基本性质及其分解问题．基于高维马氏模型，结合传统马氏链状　态空间的定义法，给出了多元马氏模型状态空间的闭集和不可约等基本概念，并研究了在多元马氏模型下闭集与几步转移　概率、不可约与状态互通等之间的关系．同时，利用多元马氏模型的状态常返性，对其状态空间进行分解．　关键词：多元马氏模型；状态空间；分解定理　中图分类号：０２１１．６２　文献标志码：Ａ　文章编号：１００８—６７２２（２０１４）０２—００１５—０４　ＤＯＩ：１０．１３３０７／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８—６７２２．２０１４．０２．０４　

０引言　

传统高阶马氏链有个不足之处，即计算转移概率的过程比较复杂，涉及到的参数过多．事实上，若ｐ　

＝Ｐ｛　＋　＝　ｌ　＝ｉ｝为马氏链｛　，ｎ∈Ｔ，凡＞１｝的　阶转移概率，状态集，含有ｍ个元素，则ｐ　＝∑　，　

…∑　，　ＩＰｉｉ￣Ｐ　：…Ｐ　需要计算的参数多达（ｍ一１）ｍ　个．　

Ｒａｆｔｅｒｙ等　为了简化高阶马氏链的转移概率的计算过程，提出了一个新的高阶马氏模型：ｐ　＝　

Ｐ｛Ｘ　＋　＝　ＩＸ　＝　｝＝∑　：　Ａ　ｑｉｉ，，其中∑　：　Ａ　＝１，Ａ　＞１０和Ｑ＝（ｑｊｉ）　为非负定矩阵且满足列向量元素之　

和等于１．Ｃｈｉｎｇ等　则在此理论基础上，提出了更具一般化的多元马尔可夫链．多元马尔可夫链是最近兴　起的研究领域，是预测方法的重要理论工具之一，其理论成果已广泛应用到库存优化控制　Ｊ、天气预报　、　

风险管理　Ｊ、基因工程　等诸多领域．然而，近年来国内外学者对多元马氏链的研究成果主要体现在应用　

方面，对理论方面的研究很少涉及．为此，本文在多元马氏模型框架下，对其状态空间进行分解，并给出了　

考虑以下系统

uxX102101110221

xy001

对系统设计一个状态反馈控制器使得闭环阶跃响应的超调量小于5%，且在稳态值1%范围的调节时间小于4.6S。

○1主导二阶极点方法配置极点

分析：

超调量小于5%，即

%521e

算得69.0

稳态值1%范围的调节时间小于4.6S，即

6.46.4st

1

下面首先对系统的能控性进行判断，以编程方式实现

a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];

b=[2;0;1]; %输入a，b矩阵

q=[b a*b a^2*b]

rank(q)

计算结果为

511010042q

q的秩为3

因此该系统为完全能控型系统，在满足系统要求的前提下，理论上能任意配置期望极点

下面根据具体的求解思路进行编程求解反馈控制器k

g=poly(a); %求原系统的特征方程

a2=g(2);a1=g(3);a0=g(4);

w=[1 0 0;a2 1 0;a1 a2 1];

q1=[a^2*b a*b b];

p=q1*w; %求解转换矩阵

deta=1;

zeta=0.75;

wn=deta/zeta; %输入满足条件的ζ和δ

den=conv([1 4],[1 2*deta wn^2]); %输入期望极点（-4,-1±0.88i）

aa2=den(2);aa1=den(3);aa0=den(4);

k=[aa0-a0 aa1-a1 aa2-a2];

k1=k*(inv(p)) %输出配置矩阵k

装

订

线

实 验 报 告

实验名称 用MATLAB分析状态状态空间模型

系 专业 自动化 班

姓名

学号

授课老师

预定时间 实验时间 实验台号

一、目的要求

1、掌握线性定常系统的状态空间表达式。学会在MATLAB 中建立状态空间模型的方

法。

2、掌握传递函数与状态空间表达式之间相互转换的方法。学会用MATLAB 实现不同

模型之间的相互转换。

3、熟悉系统的连接。学会用MATLAB 确定整个系统的状态空间表达式和传递函数。

4、掌握状态空间表达式的相似变换。掌握将状态空间表达式转换为对角标准型、约当标准型、能控标准型和能观测标准型的方法。学会用MATLAB 进行线性变换。

二、原理简述

三、仪器设备

PC 计算机，MATLAB 软件

四、线路示图

装

订

线

2 五、内容步骤、数据处理

题1-1 已知系统的传递函数

（1）建立系统的TF 与ZPK 模型。

运行结果如下：

>> num=4; den=[1 5 7 3 0]; Gtf=tf(num,den);

>> Gtf

Transfer function:

4

-------------------------

s^4 + 5 s^3 + 7 s^2 + 3 s

z=[];p=[0 -1 -1 -3];k=4;G=zpk(z,p,k)

Zero/pole/gain:

4

---------------

s (s+1)^2 (s+3)

（2）将给定传递函数用函数ss( )转换为状态空间表达式。再将得到的状态空间表达式

用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。

（2）Gss=ss(G)

装

订

线

3 a =

x1 x2 x3 x4

考虑以下系统

uxX102101110221

xy001

对系统设计一个状态反馈控制器使得闭环阶跃响应的超调量小于5%，且在稳态值1%范围的调节时间小于4.6S。

○1主导二阶极点方法配置极点

分析：

超调量小于5%，即

%521e

算得69.0

稳态值1%范围的调节时间小于4.6S，即

6.46.4st

1

下面首先对系统的能控性进行判断，以编程方式实现

a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];

b=[2;0;1]; %输入a，b矩阵

q=[b a*b a^2*b]

rank(q)

计算结果为

511010042q

q的秩为3

因此该系统为完全能控型系统，在满足系统要求的前提下，理论上能任意配置期望极点

下面根据具体的求解思路进行编程求解反馈控制器k

g=poly(a); %求原系统的特征方程

a2=g(2);a1=g(3);a0=g(4);

w=[1 0 0;a2 1 0;a1 a2 1];

q1=[a^2*b a*b b];

p=q1*w; %求解转换矩阵

deta=1;

zeta=0.75;

wn=deta/zeta; %输入满足条件的ζ和δ

den=conv([1 4],[1 2*deta wn^2]); %输入期望极点（-4,-1±0.88i）

aa2=den(2);aa1=den(3);aa0=den(4);

k=[aa0-a0 aa1-a1 aa2-a2];

k1=k*(inv(p)) %输出配置矩阵k