初二数学勾股定理试题答案及解析
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初二数学勾股定理试题答案及解析
1. 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b，斜边长为c)和一个正方形(边长为c)．请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图；
(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理．
【答案】见解析
【解析】(1)(答案不唯一)如图．
(2)验证：∵大正方形的面积可表示为(a＋b)2，
又大正方形的面积也可表示为，
∴，
即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab．
∴a2＋b2＝c2．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
2. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( )
A．米
B．米
C．米
D．3米
【答案】C
【解析】树干垂直于地面，于是可构造一个直角三角形，运用勾股定理可以计算出(米)，所以树高为米．
3. 如图所示是一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长为________．
【答案】7米
【解析】(米)．利用平移，得至少需要地毯的长为AC＋BC＝4＋3＝7(米)．
4. 如图，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE的长为( )
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理得．
在Rt△ADC中，由勾股定理得．
在Rt△ADE中，由勾股定理得．
5. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是( )
A．3
B．4
C．5
D．9
【答案】A
【解析】在Rt△ABD中，由勾股定理得．又点D是∠ABC的平分线上的点，它到BA，BC边的距离相等，所以点D到BC的距离等于DA之长3．
6. 图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是________．
【答案】76
【解析】在题图乙的四个大直角三角形中，两直角边长分别为5，12，所以斜边长为13，
所以这个风车的外围周长为4×13＋4×6＝76．
7. (2014四川甘孜州)如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】由题意得△ABD≌△CBD，
所以∠ADB＝∠CDB，
而∠ADB＋∠CDB＝180°，
所以∠BDC＝90°，即BD⊥AC．
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝BC2－CD2＝52－32＝16，
所以．
8. (2013四川资阳)如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )
A．48
B．60
C．76
D．80
【答案】C
【解析】在Rt△ABE中，由勾股定理得，
所以阴影部分的面积为．
9. (2012吉林)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________．
【答案】2
【解析】∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴．∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，∴AD＝AC＝3，∴BD＝AB－AD＝5－3＝2．
10. [问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理)”带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
[定理表述]请你根据图(1)中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．
[尝试证明]以图(1)中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图(2))，请你利用图(2)验证勾股定理．
[知识拓展]利用图(2)中的直角梯形，我们可以证明．其证明步骤如下：
∵BC＝a＋b，AD＝________，
又∵在直角梯形ABCD中，有BC________AD(填大小关系)，即________，
∴．
【答案】见解析
【解析】[定理表述]如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
[尝试证明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC．
又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴∠AED＝90°．
∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，
∴，
整理，得a2＋b2＝c2．
[知识拓展]；＜；
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，∠C＝90°．
(1)若a＝6，b＝8，则c＝________；
(2)若a＝5，c＝13，则b＝________；
(3)若c＝34，a︰b＝8︰15，则a＝________，b＝________．
【答案】(1)10 (2)12 (3)16；30
【解析】(1)已知两直角边长a、b，由c2＝a2＋b2＝62＋82＝100，得c＝10．
(2)已知直角三角形的斜边长c和一条直角边长a，则由b2＝c2－a2＝132－52＝144，得b＝12． (3)因为a︰b＝8︰15，所以可设a＝8k，b＝15k(k＞0)，又因为∠C＝90°，c＝34，所以c2＝a2＋b2，即342＝(8k)2＋(15k)2．
所以k＝2．所以a＝16，b＝30．
12. （2013鞍山）△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，则BC的长为________．
【答案】
【解析】利用勾股定理即可求得BC的长．
∵∠C＝90°，
∴AB为斜边，
∴．
13. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，求DB的长．
【答案】在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝82＋62＝100，∴AB＝10．
由三角形的面积公式得，
∴．
在Rt△BCD中，DB2＝BC2－CD2，
∴DB2＝62－4.82＝12.96．
∴DB＝3.6．
所以DB的长为3.6．
【解析】用勾股定理求AB的长，再利用面积求CD，在Rt△BCD中，用勾股定理求DB．
14. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC与BD相交于点O，AB＝CD＝4，AO＝3，则BD的长为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．10
【答案】C
【解析】由题意知△ABO≌△DCO，∴OA＝OD．
在Rt△ABO中，，
∴BD＝BO＋OD＝5＋3＝8．故选C．
15. 如图，在锐角△ABC中，已知AB＝25cm，AC＝30cm，BC边上的高AD＝24cm，则△ABC的面积为________．
【答案】300cm2
【解析】在Rt△ABD中，．在Rt△ACD中，．所以BC＝BD＋DC＝7＋18＝25，所以．
16. （2013吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为________．
【答案】（4，0）
【解析】∵A（－6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∴AB＝10．∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，∴AC＝AB＝10，∴OC＝4，∴C（4，0）．
17. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B偏离50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求：该河的宽度AB为多少米？
【答案】根据题意可知BC＝50米，AC＝（AB＋10）米，设AB＝x米，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，即（x＋10）2＝x2＋502，解得x＝120．
即该河的宽度AB为120米．
【解析】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理可求出直角边AB的长度．
18. （2013资阳）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（ ）
A．48
B．60
C．76
D．80
【答案】C
【解析】利用勾股定理求出AB，然后用正方形的面积减去三角形的面积即可．
19. 在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是________．
【答案】或
连接EF，则
．
∵E为AB的中点，
∴．
【解析】先根据题意画出图形．此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长．
①如图所示：
连接CD，则
．
∵D为AB的中点， ∴．
②如图所示：
