八年级初二数学勾股定理测试试题及解析

八年级初二数学勾股定理测试试题及解析

一、选择题

1．已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

2．如图，AB＝AC，∠CAB＝90°，∠ADC=45°，AD＝1，CD＝3，则BD的长为（ ）

A．3 B．11

C．23 D．4

3．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（ ）

A．813 B．28 C．20 D．122

4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．如图，ABC中，90ACB，2AC，3BC．设AB长是m，下列关于m的四种说法：①m是无理数；②m可以用数轴上的一个点来表示；③m是13的算术平方根；④23m．其中所有正确说法的序号是（ ）

A．①② B．①③

C．①②③ D．②③④

6．已知x，y为正数，且224(3)0xy，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）

A．5 B．25 C．7 D．15

7．如图，已知ABAC，则数轴上C点所表示的数为( )

A．3 B．5 C．13 D．15

8．如图，BD为ABCD的对角线，45,DBCDEBC于点E，BF⊥DC于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①12CEBE ；②ABHE；③AB=BH;④BHDBDG;⑤222BHBGAG；其中正确的结论有（ ）

A．①②③ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④

9．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是( )

A．5 B．4 C．34 D．4或34

10．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( )

A．6，8，10 B．5，12，13 C．3，5，6 D．2，3，5

二、填空题

11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．

12．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD＝32，则AB的长为__________．

13．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________

14．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是_____．

15．已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_____．

16．已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=7，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，DE=DF，若BF=4，则EF=_______

17．如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________

18．如图，在等边△ABC中，AB＝6，AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，则BM+MN的最小值是_____．

19．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为1S，2S，3S，若12315SSS，则2S的值是__________．

20．在RtABC中，90A，其中一个锐角为60，23BC，点P在直线AC上（不与A，C两点重合），当30ABP时，CP的长为__________．

三、解答题

21．（1）计算：1312248233；

（2）已知a、b、c满足2|23|32(30)0abc．判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．

22．阅读与理解：

折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC中，ABAC（如图），怎样证明CB呢？

分析：把AC沿A的角平分线AD翻折，因为ABAC，所以，点C落在AB上的点C处，即ACAC，据以上操作，易证明ACDACD△△≌，所以ACDC，又因为ACDB，所以CB．

感悟与应用：

（1）如图（a），在ABC中，90ACB，30B，CD平分ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分BAD，16AC，8AD，12DCBC，

①求证：180BD；

②求AB的长．

23．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，ADDEDF．

（1）若30AED，则ADB∠______．

（2）求证：BEDCDF△≌△．

（3）试说明点D在BC边上从点B至点C的运动过程中，BED的周长l是否发生变化？若不变，请求出l的值，若变，请求出l的取值范围．

24．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°

（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF

①求证：△AED≌△AFD；

②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；

（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．

25．已知ABC中，如果过项点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，RtABC中，90A，20C，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若20DBC，显然直线BD是ABC的关于点B的二分割线．

（1）在图2的ABC中，20C，110ABC．请在图2中画出ABC关于点B的二分割线，且DBC角度是

；

（2）已知20C，在图3中画出不同于图1，图2的ABC，所画ABC同时满足:①C为最小角；②存在关于点B的二分割线．BAC的度数是 ；

（3）已知C，ABC同时满足：①C为最小角；②存在关于点B的二分割线．请求出BAC的度数（用表示）．

26．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“广益值”就等于22AOBO的值，可记为22ABACOABO

（1）在ABC中，若90ACB，81ABAC，求AC的值．

（2）如图2，在ABC中，12ABAC，120BAC，求ABAC，BABC的值．

（3）如图3，在ABC中，AO是BC边上的中线，24ABCS，8AC，64ABAC，求BC和AB的长．

27．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a，b，c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：

（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；

（2）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数；

（3）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．

①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；

②请证明△ABC为“类勾股三角形”．

28．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A

运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），

①若△DMN的边与BC平行，求t的值；

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

图1 图2 备用图

29．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止．

（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；

（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

30．阅读下列材料，并解答其后的问题：

我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()4abcabcacbbca．

（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为 ；

（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22ab，即可得到三角形的形状.