理论力学经典课件-第四章 刚体的平面运动

第6章 刚体的平面运动分析

6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度绕轴O转动，当运动开始时，角速度0= 0，转角0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。

解：cos)(rRxA （1）

sin)(rRyA （2）

为常数，当t = 0时，0=0= 0

221t

（3）

起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记OAP，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过

A

因动齿轮纯滚，故有CPCP0，即

rR

rR， rrRA （4）

将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：

222212sin)(2cos)(trrRtrRytrRxAAA

6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。

解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为

hvACvAPvAB2000coscos

6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度A与B有什么关系设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。

解：RvRvAA

RvRvBB22

BA2

6－4 直径为360mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s，＝30，＝60，BC＝270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。

§6.3* 平面运动刚体上点的加速度

由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点

的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加

速度合成定理求出。设已知某瞬时图形内A点的加速度aA，

图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。以A点为

基点，分析图形上任意一点B的加速度aB。因为牵连运动为

动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度ae=aA。相对运动是

点B绕基点A的转动，故相对加速度ar=aBA，其中aBA是点B

绕基点A的转动加速度。由式 (5.3.7)可得 图6-13 加速度分析的基点法

α (6.3.1) BAABαα+=

由于B点绕基点A转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a，故式(6.3.1)可写为 tBAanBA a (6.3.2) ntBABAABaaa++=

即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加

速度的矢量和。

当基点A和所求点B均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度

的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为

(6.3.3) ntntntBABAAABBaaaaaa+++=+

在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A和B连线方向垂直，相对法向加速度沿点A和B

连线方向从B指向A；仅当点A和B的运动轨迹已知时，才可以确定点A和B的切向加速度a

和及法向加速度和a。 tBAanBAatAtBanAanB在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要

素。因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面

直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。

例6.3-2：半径为R的车轮沿直线滚动，

某瞬时轮心O点的速度为vO，加速度为aO，

如图a所示。若轮作纯滚动，求图示瞬时车轮

上A、B、C三点的加速度。 解：轮作纯滚动，其瞬心为轮上与地面的

第6章 刚体的平面运动分析

6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度绕轴O转动，当运动开始时，角速度0= 0，转角0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。

解：cos)(rRxA （1）

sin)(rRyA （2）

为常数，当t = 0时，0=0= 0

221t

（3）

起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记OAP，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过

A

因动齿轮纯滚，故有CPCP0，即

rR

rR， rrRA （4）

将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：

222212sin)(2cos)(trrRtrRytrRxAAA

6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。

解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为

hvACvAPvAB2000coscos

6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度A与B有什么关系设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。

解：RvRvAA

习题6-1图

A B

C

v0 h

习题6－2图 P

AB

vC

A B

C

vo h

习题6－2解图

习题6-3解图 习题6-3图 vA = v vB = v RvRvBB22 BA2

6－4 直径为360mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s，＝30，＝60，BC＝270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。

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第6章

刚体的平面运动分析

6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度绕轴O转动，当运动开始时，角速度0= 0，转角0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。

解：cos)(rRxA （1）

sin)(rRyA （2）

为常数，当t = 0时，0=0= 0

221t （3）

起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记OAP，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过

A

因动齿轮纯滚，故有CPCP0，即

rR

rR， rrRA （4）

将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：

222212sin)(2cos)(trrRtrRytrRxAAA

6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。

解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为

6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度A与B有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。

解：RvRvAA

hvACvAPvAB2000coscos

习题6-1图

A B

C

v0 h 

习题6－2图 P

AB vC

A B

C

vo h 

习题6－2解图

习题6-3解图 习题6-3图 vA = v vB = v

A B

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RvRvBB22