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一元二次方程及其解法

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一元二次方程及其解法

知识点一、一元二次方程的有关概念

1． 一元二次方程的概念：只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 (二次)的整式方程，叫做一元二次方程。

2． 一元二次方程的一般形式： )0(02acbxax，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中二次项是 ，二次项系数是 ；一次项是 ，一次项系数是 ；常数项是 。

能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解〔或根〕。

课堂练习

1．方程3(1)0xx的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .

2．关于x的一元二次方程03)1()1(1nxnxnn中，那么一次项系数是 .

3．以下方程中是一元二次方程的有〔 〕

①9 x2=7 x ②32y=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0 ⑤ 2( x2+1)=10 ⑥ 24x-x-1=0

A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤

4．方程05)1(22mxxm是关于x的一元二次方程，那么m满足的条件是〔 〕

A． m≠1 B. m≠0 C. ∣m∣≠1 D. m=±1

5．关于x的方程qpxnxxmmxxm232232( 其中 m≠ 0)，经过化简整理, 化成02cbxax的形式，其中a，b，c 分别是( )

A. a = m－n , b = p, c = q B. a＝m－n， b＝－p, c＝q

C．a ＝m－ n , b ＝ －p, c= －q D. a = m－n, b = p, c ＝ －q

6．以下方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是〔 〕

A. 02cbxax B. xxax221

C. 0)1()1(222xaxa D. 0312axx

7．一元二次方程(m＋2)x2＋3m2x＋m2－4＝0有一个根是0，那么2m2－4m＋3的值为 ；

8．如果6232xx的值为8，那么代数式2312xx的值为 ；

9．0136422yxyx，那么yx＝ ；

10．m是一元二次方程x2－2005x＋1＝0的一个不为零的根，那么代数式m2－2004m＋220051m的值为 ；

知识点二、一元二次方程的常用解法

1．直接开平方法：形如)0(2aax或)0()(2aabx的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.

2．配方法：用配方法解一元二次方程02aocbxax的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()xmn的形式，⑤如果是非负数，即0n，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，那么原方程无解.

3．公式法：一元二次方程20(0)axbxca的求根公式是221,24(40)2bbacxbaca.

4．因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

课堂练习

1．用直接开平方法解方程：

1、4x2＝3 2、02732x 3、(x+1)2＝3 4 、08)13(212x

5、4(x+3)2－16＝0 6、3－(2x－1)2＝0 7、(3x－1)2＝(x+1)2

2．配方法：

1、x2+4x+ =(x+ )2 2、x2－3x+ =(x－ )2

3、y2+ y+425=(y－ ) 2 4、x2＋23x＋〔 〕＝〔x＋ 〕2

用配方法解以下方程：

1、2530xx 2、2320xx 3、0422xx

3．公式法解一元二次方程：

〔1〕2320xx 〔2〕(24)58xxx

(3) 04722xx (4) 0)12(532xx

4．因式分解法解一元二次方程：

一．填空：

1、方程(x+3)2=0的根是 2、方程(y－1)(y+2)=0的根是y1= ，y2=

3、方程x2=2x的根是 4、方程(3x+2)(4－x)=0的根是

二．用因式分解法解以下方程：

1、 0222xxx 2、22(4)(52)xx 3、23520xx

4、0822xx 5、(1)3(1)0xxx 6、3〔x－5〕2＝2〔5－x〕

7、〔2x－1〕2－1＝0 8、22)1()32(xx 9、(3x+8)2－(2x－3)2=0

10、x2－3x－18=0 11、y(y－2)=3 12、(x－1)(x+2)=10

课后稳固训练

1、如果05)1(222mxmx是一个完全平方式，那么m=

。 2、当m= 时，方程05)3()28522xmxmmm（是一元二次方程。

3、一元二次方程的一个根为，那么．

4、假设实数、满足，那么的值为

。

5、y=x2-2x-3，当x= 时，y的值是-3。

6、1x是关于x的方程2220xaxa的一个根，那么a_______．

7、假设最简二次根式 xx42 与3x10 是同类二次根式，那么x的值是 。

8、以下方程中,常数项为零的是 ( )

A、x2+x=1 B、2x2-x-12=12 C、2(x2-1)=3(x-1) D、2(x2+1)=x+2

9、要使分式4452xxx的值为0，那么x应该等于〔 〕

〔A〕4或1 〔B〕4 〔C〕1 〔D〕4或1

10、三角形的三边满足bcacabcba222，那么这个三角形是 〔 〕

A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 无法判断

11．解以下方程

〔1〕9(x－2)2—121＝0 〔2〕20152xx〔用配方法〕

〔3〕〔3－x〕2＋x2＝9 〔4〕2〔x－3〕2＝x〔x－3〕

12．先用配方法说明：不管x取何值，代数x2－5x＋7的值总大于0.

再求出当x取何值时，代数式x2－5x＋7的值最小？最小值是多少？

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(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

1 一元二次方程解法及其经典练习题

方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）

平方根的定义：如果一个数 的平方等于a（ ），那么这个数 叫做a的平方根

即：如果 ax2 那么 ax 注意;x可以是多项式

一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。

1.0142x 2、2)3(2x 3、162812x 4．.25)1(412x

5．(2x＋1)2=(x－1)2． 6．(5－2x)2=9(x＋3)2． 7．.063)4(22x

方法二：配方法解一元二次方程

1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2）

（3） 4) (5)

二、用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662yy 2、xx4232 39642xx、

4、0542xx 5、01322xx 6、07232xx

2 方法三：公式法

1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法

2.公式的推导：用配方法解方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）

解：二次项系数化为1，得 ，

移项 ，得 ，

配方, 得 ，

一元二次方程解法及其配套练习

一元二次方程解法及其配套练习

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一元二次方程解法及其配套练习

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

解法一 ——直接开方法

适用范围：可解部分一元二次方程

例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2

例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．

例3． 如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

P

例4．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

归纳小结：

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”． 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解 2

配套练习题

一、选择题

1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．

A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2

2．方程3x2+9=0的根为（ ）．

一元二次方程的概念及其解法

一元二次方程的概念及其解法

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念

(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④0351xx，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122xx ②05222yxyx ③0172x ④022y中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是

，一次项系数是 ，常数项是 。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（ ）

小专题(一) 一元二次方程的解法

小专题(一) 一元二次方程的解法

专题(一) 一元二次方程的解法

1．用直接开平方法解下列方程：

(1)x2－16＝0； (2)3x2－27＝0；

(3)(x－2)2＝9； (4)(2y－3)2＝16.

2．用配方法解下列方程：

(1)x2－4x－1＝0；

(2)2x2－4x－8＝0；

(3)3x2－6x＋4＝0；

(4)2x2＋7x＋3＝0.

3．用公式法解下列方程：

(1)x2－23x＋3＝0；

(2)－3x2＋5x＋2＝0；

(3)4x2＋3x－2＝0；

(4)3x＝2(x＋1)(x－1)．

4．用因式分解法解下列方程：

(1)x2－3x＝0；

(2)(x－3)2－9＝0；

(3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0；

(4)2(t－1)2＋8t＝0；

(5)3x＋15＝－2x2－10x；

(6)x2－3x＝(2－x)(x－3)．

5．用合适的方法解下列方程：

(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

(2)5(x－3)2＝x2－9；

(3)t2－22t＋18＝0.

参考答案

1.(1)移项，得x2＝16，根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4.

(2)移项，得3x2＝27，两边同除以3，得x2＝9，根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3.

(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x1＝5，x2＝－1.

(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即y1＝72，y2＝－12.

2.(1)移项，得x2－4x＝1.配方，得x2－4x＋22＝1＋4，即(x－2)2＝5.直接开平方，得x－2＝±5，∴x1＝2＋5，x2＝2－5.

(2)移项，得2x2－4x＝8.两边都除以2，得x2－2x＝4.配方，得x2－2x＋1＝4＋1.∴(x－1)2＝5.∴x－1＝±5.∴x1＝1＋5，x2＝1－5.

(3)移项，得3x2－6x＝－4.二次项系数化为1，得x2－2x＝－43.配方，得x2－2x＋12＝－43＋12，即(x－1)2＝－13.∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根．