高中数学《等差数列(1)》教案
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数学（必修5）导学案
2.2等差数列（一） 第1课时
教学内容 等差数列通项公式（一）
编制人 审核人
执教教师
学习
目标 知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
学情分析
教学措施
重点难
点分析 教学重点：
等差数列的概念，等差数列的通项公式
教学难点：
等差数列的性质
教学过程
一、自主预习 教学思路（二次备课）
任务1：知识梳理
1．等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
2．等差中项的概念
若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝a＋b2.
3．等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.
4．等差数列的单调性
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．
练习：1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
答案 C
练习：2．下列数列是等差数列的有________．
(1)9, 7, 5, 3, …，－2n＋11, …；
(2)－1, 11, 23, 35, …， 12n－13, …；
(3)1, 2, 1, 2, …；
(4)1, 2, 4, 6, 8, 10, …；
(5)a，a，a，a，…，a….
答案 (1)，(2)，(5)
任务3：等差中项公式的应用
结论: 若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝a＋b2.
练习：2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
答案 B
解析 因为A、B、C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.
二、合作探究 归纳展示
任务1：等差数列的概念
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。
课本P41页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{na},若na－1na=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
任务2：等差数列通项公式的推导
等差数列的通项公式：
dnaan)1(1 【或nadmnam)(】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列na的首项是1a，公差是d，则据其定义可得：
daa12即：daa12
daa23即：dadaa2123
daa34即：dadaa3134
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
dnaan)1(1
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a和公差d，便可求得其通项na。
由上述关系还可得：dmaam)1(1
即：
dmaam)1(1
nadna)1(1=dmnadndmamm)()1()1(
即等差数列的第二通项公式
nadmnam)( ∴d=nmaanm
任务3：等差数列通项公式的应用
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由35285,81da n=20，
得
49)3()120(820a
⑵由4)5(9,51da
得数列通项公式为：)1(45nan
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得)1(45401n成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
例2 (1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
解 (1)设{an}的公差为d.
由题意知 a15＝a1＋14d＝8，a60＝a1＋59d＝20，解得 a1＝6415，d＝415.
所以a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.
(2)依题意得 a1＋a2＋a3＝18，a1·a2·a3＝66，
∴ 3a1＋3d＝18，a1·a1＋d·a1＋2d＝66，
解得 a1＝11，d＝－5，或 a1＝1，d＝5.∵数列{an}是递减等差数列，
∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
三、讨论交流点拨提升
（1）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解：根据题意可得：1a=2,d=9－2=7. ∴此数列通项公式为：na=2+（n－1）×7=7n－5.
令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.
（2）－20是不是等差数列0，－321，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解：由题意可知：1a=0,d=－321 ∴此数列的通项公式为：na=－27n+27,
令－27n+27=－20,解得n=747 因为－27n+27=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
四、学能展示课堂闯关
1、基础知识：
1．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是( )
A．b－a B.b－a2 C.b－a3 D.b－a4
答案 C
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0，则数列的通项an等于( )
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
答案 D
2、拓展提升
要点一 等差数列的概念
例1 若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，试说明数列{an}为等差数列．
解 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，所以an＋1－an＝[10＋(n＋
1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)．
跟踪演练3 已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为a,2a－1,3－a.
解 (1) 设首项为a1，公差为d，则
a3＝a1＋2d＝5，a7＝a1＋6d＝13，解得 a1＝1，d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由等差中项公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝54，
∴首项为a＝54，公差为2a－1－a＝a－1＝54－1＝14，
∴an＝54＋(n－1)×14＝n4＋1.
所以数列{an}为等差数列．
3、考点链接
4．等差数列{an}中，已知a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值．
解 ∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4，
∴d＝23.∴an＝a1＋(n－1)×23＝23n－13.
由an＝23n－13＝33，解得n＝50.
4.课堂小结
过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：na－1na=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：dnaan)1(1，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：nadmnam)(和na=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
4.课堂小结
1．判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
教学反思
