第四专题 拉丁方设计及其统计分析

拉丁方试验设计

1 / 8 拉丁方试验设计

拉丁方试验设计在统计上控制两个不相互作用的外部变量并且操纵自变量。每个外部变量或分区变量被划分为一个相等数目的区组或级别，自变量也同样被分为相同数目的级别。它是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。

拉丁方—— 以n个拉丁字母A，B，C……，为元素，作一个n阶方阵，若这n个拉丁方字母在这n阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n阶方阵为n×n阶拉丁方。第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。

拉丁方设计一般用于5~8个处理的试验，设计的基本要求：必须是三个因素的试验，且三个因素的水平数相等；三因素间是相互独立的，均无交互作用；各行、列、字母所得实验数据的方差齐（F检验）。

试验设计的步骤：根据主要处理因素的水平数，确定基本型拉丁方，并从专业角度使另外两个次要因素的水平数与之相同；先将基本型拉丁方随机化，然后按随机化后的拉丁方阵安排实验。可通过对拉丁方的任两列交换位置或任两行交换位置实现随机化；规定拉丁方试验设计

2 / 8 行、列、字母所代表的因素与水平，通常用字母表示主要处理因素。

数据处理的相关理论：拉丁方设计实验结果的分析，是将两个单位组因素与试验因素一起，按三因素试验单独观测值的方差分析法进行。将横行单位组因素记为A，直列单位组因素记为B，处理因素记为C，横行单位组数、直列单位组数与处理数记为r，对拉丁方试验结果进行方差分析的数学模型为：

),,2,1()()(rkjixkijkjikij

式中:μ为总平均数；i为第i横行单位组效应；j为第j直列单位组效应，）（k为第k处理效应。单位组效应i、j通常是随机的，处理效应）（k通常是固定的，且有01rkk；)(kij为随机误差，相互独立，且都服从），（20N。

单因素拉丁方试验资料的统计分析

如果将一个因素的t个水平(即t个处理)安排在一个t×t拉丁方中，就得到一个单因素t×t拉丁试验资料。在这类试验资料中，各观察值的数学模型为：

)()(kijkjikijx ( i＝1，2，…，t；j＝1，2，…，t；k＝1，2，…，t)

其中i为第i横行区组的效应值，j为第j直行区组的效应值，k为第k处理的效应值。)(kijx和)(kij中下标k外面加个括号，是为了表明下标k与下标i和j之间有重叠现象。方差分析表如表8.29所示，其中总变异被分解为横行区组间变异、直行区组间变异、处理间变异和试验误差。

表8.29 单因素拉丁方试验的方差分析

变异来源 自由度 平方和 均 方 F值

横行间 dfR＝t－1 SSR MSR

直行间 dfC＝t－1 SSC MSC

处理间 dft＝t－1 SSt MSt MSt／MS误 差 dfe＝dfT－dfR－dfC－dft＝(t－1)(t－2) SSe MSe

总变异 dfT＝t2－1 SST

从方差分析表可知，为了让dfe＝(t－1)(t－2)≥12，t应大于4。在这个方差分析表中，我们是按田间试验在试验地上的排列来阐述的。但事实上，在非田间试验的场合下，也可以利用拉丁方设计来提高试验的精确度。下面举一个5×5拉丁方设计的例子，以说明其具体应用和分析过程。

例8.6

为了比较5种测验水稻叶片含水量的方法(A、B、C、D、E)之间是否有显著差异，取5株水稻的5片连续排列的叶片进行测定。这里，可以视植株编号为横行号，视叶片生长的顺序号为直行号，测定方法为处理号。试验结果如表8.30所示，其中圆括号内标出的是处理号。试比较这5种测定方法之间是否有显著差异。

很明显，在这个试验中，植株编号和叶片生长的序号不是我们研究的目的。只有测定方法才是我们分析的目的，而且它是固定效应。这个试验应该属拉丁方试验设计。其具体分析过程如下。

例子：一家广告公司专门制作儿童用品的商业广告。该公司想设计一项研究以调查儿童对同一产品的三种广告创意（分别为A,B,C）的接受程度，衡量指标为儿童注视该广告的时间。研究者考虑到儿童的年龄和在研究中广告的呈现次序是影响实验结果的重要因素，决定通过实验设计对这两个因素进行控制。研究者设计了三个年龄段的儿童各15个，分别为5-6岁，7-8岁和9-10岁，三组儿童观看广告类型的次序安排如下：

呈现顺序 儿童年龄段

5-6岁 7-8岁 9-10岁

1 A B C

2 B C A

3 C A B

第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排 列的拉丁方，叫标准型拉丁方。3X3阶标准型 拉丁方只冇上向介绍的1种，4X4阶标准型拉 丁方冇4种，5X5阶标准型拉丁方冇56种。若 变换标准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。

在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁 方中随机选择一种；或选择一种标准型，随机 列顺序后再使用。

（二）常用拉丁方

在实验中，最常用的有3X3, 4X4, 5X5, 6X6阶拉丁方。下IIU列出部分标准型拉 丁方，供进行拉丁方设计时选用。 亠

5x5

6*6

（三）设计步骤

设实验是为了比较n种处理或处理因素A的 Ji个水平，引入一区组因素冇n个水半，引入另 一区组因素也有n个水平，实验单元有n个。■第一步，确定拉丁方的阶数，一般因素的 水平数定为5, 6, 7比较合适；

■第一步，在锁定的阶数拉丁方格中任取一 个简单的标准拉丁方并将其随机化；

■第三步，将ri个处理或处理因素的ri个水平 分配给n个拉丁字母，并视行为区组因素， 而视列为另一个区组囚索。

在选定拉丁方之后，若是非标准型，则可 直接由拉丁方中的字母获得实验设计。若是标 准型拉丁方，还应按下列要求对直列、横行和 实验处理的顺序进行随机排列。 5X5标准型拉丁方：先随机选择4个标准 型拉丁方中的一个；然后将所有的直列、横行 及处理都随机排列。

下面对选定的5X5标准型拉丁方进行随机

排列。先从随机数字表第X行、第Y列开始，向 右连续抄录3个5位数，抄录时舍去aQ\ “6 以上的数”和重复出现的数，抄录的3个五位数 窖为，13542, 41523, 34521。然后将上面选 朮的5X5拉丁方的讥列、横行及处理按这3个 五位数的顺序重新随机排列。

r 直列随机 将拉丁方的各玄列顺序按 13542顺序重排。

2、横行随机再将宜列重排后的拉丁方的 各横行按41523顺序重排。

3、把5种不同处理按第三个5位数34521顺

序排列