学而思-六年级奥数-第七讲.行程问题(一).刘--用-教师版综述

六年级行程问题专讲第一部分：相遇问题知识概述：行程问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题，(涉及两个或两个以上物体运动的问题)指两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇，这类应用题叫做相遇问题。

数量关系:总路程＝(甲速+乙速)×相遇时间相遇时间=总路程÷（甲速＋乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度注:（1）在处理相遇问题时，一定要注意公式的使用时二者开始运动那一刻所处的状态；（2）在行程问题里所用的时间都是时间段，而不是时间点(非常重要)；（3）无论是在哪类行程问题里，只要是相遇，就与速度和有关。

解题秘诀:（1）必须弄清物体运动的具体情况,运动方向（相向),出发地点(两地)，出发时间(同时、先后),运动路径（封闭、不封闭),运动结果（相遇）等。

（2）要充分运用图示、列表等方法,正确反映出数量之间的关系,帮助我们理解题意,迅速的找到解题思路。

典型例题：例1.东西两地相距60千米,甲骑自行车,乙步行，同时从两地出发，相对而行，3小时后相遇。

已知甲每小时的速度比乙快１０千米,二人每小时的速度各是多少千米？习题:一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发,相向而行，汽车每小时行50千米，摩托车每小时行40千米,8小时两车相距多少千米?例２.甲港和乙港相距6６２千米，上午9点一艘“名士”号快艇从甲港开往乙港,中午12点另一艘“日立”号快艇从乙港开往甲港,到16点两艇相遇，“名士”号每小时行5４千米,“日立”号的速度比“名士”号快多少千米?习题：甲乙两地的路程是600千米，上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地。

货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地。

要使两车在全程的中点相遇,货车必须在上午几点出发？例３.甲骑摩托车,乙骑自行车,同时从相距１２6千米的A 、B 两城出发相向而行。

3小时后，在离两城中点处24千米的地方,甲、乙二人相遇。

六年级奥数——行程问题（一）一、知识要点行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。

其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。

行程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。

它大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和（2）相背而行：相背距离=速度和×时间。

（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。

追及时间=追及距离÷速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。

追及距离=速度差×时间。

解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。

二、精讲精练【例题1】两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。

甲车比乙车早到8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。

甲车行完全程用了多少小时？解答本题的关键是正确理解“已知甲车比乙车早刀8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米”。

这句话的实质就是：“乙48分钟行了24千米”。

可以先求乙的速度，然后根据路程求时间。

也可以先求出全程165千米是24千米的多少倍，再求甲行完全程要用多少小时。

解法一：乙车速度：24÷48×60=30（千米/小时）甲行完全程的时间：165÷30—4860=4.7（小时）解法二：48×（165÷24）—48=282（分钟）=4.7（小时）答：甲车行完全程用了4.7小时。

练习1：1、甲、乙两地之间的距离是420千米。

两辆汽车同时从甲地开往乙地。

第一辆每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米。

第一辆汽车到乙地立即返回。

两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？2、A、B两地相距900千米，甲车由A地到B地需15小时，乙车由B地到A地需10小时。

两车同时从两地开出，相遇时甲车距B地还有多少千米？3、甲、乙两辆汽车早上8点钟分别从A、B两城同时相向而行。

学习改变命运，思考成就(chéngjiù)未来！姓名(xìngmíng) _______________行程问题是我们在小学应用题中经常会遇到的，其中还包括水流问题以及一些特殊的行程问题我们在解决(jiějué)行程问题前，要牢记以下公式行程问题是研究(yánjiū)物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间路程一定，时间(shíjiān)和速度成反比速度一定，路程和时间成正比时间一定，路程和速度成正比关键问题：确定行程过程中的位置相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程相遇路程÷速度和=相遇时间相遇路程÷相遇时间= 速度和追及问题：追及时间＝路程差÷速度差速度差＝路程差÷追及时间追及时间×速度差＝路程差追及问题：（直线）：距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追击时间追及问题：（环形）：快的路程-慢的路程=曲线的周长流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间顺水速度=船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2水速=（顺水速度－逆水速度）÷21、甲乙两车同时从AB两地相对开出。

甲行驶了全程的5/11,如果甲每小时行驶4.5千米，乙行了5小时。

求AB两地相距多少千米 ?2、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。

货车的速度是客车的五分之四，货车行了全程的四分之一后，再行28千米与客车相遇。

甲乙两地相距多少千米？3、甲乙两人绕城而行，甲每小时行8千米，乙每小时行6千米。

现在两人同时从同一地点相背出发，乙遇到甲后，再行4小时回到原出发点。

求乙绕城一周所需要的时间？4、甲乙两人同时从A地步行走向B地，当甲走了全程的1\4时，乙离B地还有640米，当甲走余下的5\6时，乙走完全程的7\10，求AB两地距离是多少米？5、甲，乙两辆汽车同时从A，B两地相对(xiāngduì)开出,相向而行。

第一讲行程问题学习目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：发车问题（1）、一般间隔发车问题。

用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。

（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。

时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。

行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。

其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。

行 程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。

它大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和（2）相背而行：相背距离=速度和×时间。

（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。

追及时间=追及距离÷速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。

追及距离=速度差×时间。

解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。

两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。

甲车比乙车早到8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。

甲车行完全程用了多少小时？解答本题的关键是正确理解“已知甲车比乙车早到8分钟，当甲车到达时，乙例题专题简行程问题（一）车还距工地24千米”。

这句话的实质就是：“乙48分钟行了24千米”。

可以 先求乙的速度，然后根据路程求时间。

也可以先求出全程165千米是24千米的多少倍，再求甲行完全程要用多少小时。

解法一：乙车速度：24÷48×60=30（千米/小时）甲行完全程的时间：165÷30—4860=4.7（小时） 解法二：48×（165÷24）—48=282（分钟）=4.7（小时）答：甲车行完全程用了4.7小时。

1、甲、乙两地之间的距离是420千米。

两辆汽车同时从甲地开往乙地。

第一辆每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米。

第一辆汽车 到乙地立即返回。

两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？2、A 、B 两地相距900千米，甲车由A 地到B 地需15小时，乙车由B 地到A 地需10小时。

两车同时从两地开出，相遇时甲车距B 地还有多少千米？3、甲、乙两辆汽车早上8点钟分别从A 、B 两城同时相向而行。

行程问题需要用到的基本关系：路程=速度时间速度=路程时间时间=路程速度题型一、相遇问题与追及问题相遇问题当中：相遇路程=速度和相遇时间追及问题当中：追及路程=速度差追及时间*********画路程图时必须注意每一段路程对应的问题是相遇问题还是追及问题**********【例题1】甲、乙两人从A地到B地，丙从B地到A地。

他们同时出发，甲骑车每小时行8千米，丙骑车每小时行10千米，甲丙两人经过5小时相遇，再过1小时，乙、丙两人相遇。

求乙的速度？考点：多次相遇问题．分析：本题可先据甲丙两人速度和及相遇时间求出总路程，再根据乙丙两人的相遇时间求出乙丙两人的速度和之后就能求出乙的速度了．解答：解：（8+10）×5÷（5+1）-10=18×5÷6-10，=15-10，=5（千米）．答：乙每小时行5千米．点评：本题据相遇问题的基本关系式：速度和×相遇时间=路程，进行解答即可．【例题2】甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地40米处相遇，相遇之后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地30米处，求A、B两地相距多远？分析：两次相遇问题，其实两车一起走了3段两地距离，当然也用了3倍的一次相遇时间。

40×3－30=90km变式1、甲、乙两人同时从东西两地相向而行，第一次在离东地60米处相遇，相遇之后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离西侧20米处，求东西两地相距多远？60×3－20=160km【例题3】快车从甲站开往乙站需要6小时，慢车从乙站开往甲站需要9小时。

两车分别从两站同时开出，相向而行，在离中点18千米处相遇。

甲乙两站相距多少千米？分析：中点相遇问题，实际上是相遇问题和追及问题的综合。

第一步：相同的时间，快车比慢车多行18×2=36千米解：∵快车从甲站开往乙站需要6小时，慢车从乙站开往甲站需要9小时快车与慢车的时间比是 6 : 10∴快车与慢车的速度比是10：6=5：3∴相遇时，快车行了全程的：5/（5+3）=5/8全程是 225÷5/8=360（千米）变式1、快车每小时行48千米，慢车每小时行42千米。

学而思奥数模块之行程问题1、基本行程问题：基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间关键问题：确定行程过程中的位置2、简单的相遇、追及问题：相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程追击问题：追击时间＝路程差÷速度差简单的相遇与追及问题各自解题时的入手点及需要注意的地方1.相遇问题：与速度和、路程和有关⑴是否同时出发⑵是否有返回条件⑶是否和中点有关：判断相遇点位置⑷是否是多次返回：按倍数关系走。

⑸一般条件下，入手点从"和"入手，但当条件与"差"有关时，就从差入手，再分析出时间，由此再得所需结果2.追及问题：与速度差、路程差有关⑴速度差与路程差的本质含义⑵是否同时出发，是否同地出发。

⑶方向是否有改变⑷环形时：慢者落快者整一圈(1) 甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？(2) 两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇。

两个车站之间的铁路长多少千米？(3) 甲、乙两列火车同时从相距988千米的两地相向而行，经过5.2小时两车相遇。

甲列车每小时行93千米，乙列车每小时行多少千米？（1）师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小时以后还有70个零件没有加工？（2）甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖75米；乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天挖好，这条水渠一共长多少米？(3) 甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米。

已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？（4）一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。

行程问题（一）教学目标：1. 理解行程问题的基本概念和基本公式。

2. 掌握行程问题的解题方法和技巧。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 行程问题的基本概念：行程、速度、时间、路程。

2. 行程问题的基本公式：路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。

3. 行程问题的解题方法和技巧。

教学步骤：1. 引入行程问题的概念，让学生了解行程问题的基本元素：行程、速度、时间、路程。

2. 讲解行程问题的基本公式，让学生理解路程、时间、速度之间的关系。

3. 通过例题讲解行程问题的解题方法和技巧，让学生学会如何解决行程问题。

4. 练习题：让学生运用所学的知识和技巧解决实际问题。

教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对行程问题基本概念和公式的理解程度。

2. 练习题解答：评价学生对行程问题解题方法和技巧的掌握程度。

行程问题（二）教学目标：1. 理解行程问题的基本概念和基本公式。

2. 掌握行程问题的解题方法和技巧。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 行程问题的基本概念：行程、速度、时间、路程。

2. 行程问题的基本公式：路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。

3. 行程问题的解题方法和技巧。

教学步骤：1. 引入行程问题的概念，让学生了解行程问题的基本元素：行程、速度、时间、路程。

2. 讲解行程问题的基本公式，让学生理解路程、时间、速度之间的关系。

3. 通过例题讲解行程问题的解题方法和技巧，让学生学会如何解决行程问题。

4. 练习题：让学生运用所学的知识和技巧解决实际问题。

教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对行程问题基本概念和公式的理解程度。

2. 练习题解答：评价学生对行程问题解题方法和技巧的掌握程度。

行程问题（三）教学目标：1. 理解行程问题的基本概念和基本公式。

2. 掌握行程问题的解题方法和技巧。

行程问题中的几种数学模型，在具体情境中还可以表现为接送问题、发车间隔、电梯问题．我们透过具体情境，发现它仍然是行程问题中基本数学模型的变型．行程问题是研究速度、时间和路程三量之间关系的问题，它是小学数学应用题的难点，是升学试卷中常见的压轴题．行程问题常与分数、比例等知识结合在一起，综合性强，且运用形式多变，解答时应注意以下几点：⑴采用作线段图的方法，正确反映数量之间变化关系，帮助分析思考．⑵行程问题常结合分数应用题，解答时要巧妙地假设单位“l ”使问题简单化，有时还可以联系整数知识，把路程理解为若干份．⑶复杂行程问题经常运用到比例知识．速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比．⑷碰到综合性问题可先把综合问题分解成几个单一问题，然后逐个解决．【例 1】 A 、B 两地相距1100米，甲、乙两人同时从A 地出发，在A 、B 间往返锻炼．甲步行每分钟行60米，乙跑步每分钟行160米，40分钟后停止运动．甲、乙两人第几次相遇时距B 地最近？最近距离是多少米？【解析】 甲、乙的运行图如下，图中实线为甲，虚线为乙．BA图上每一格代表5分钟．由上图知，第2次相遇时距B 地最近．第2次相遇时两人共行两个来回，用()110046016020⨯÷+=分． 距B 地60201100100⨯-=米．专题回顾第 4讲行程问题(二)教学目标【例 2】 一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米．坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？【分析】 这个过程是火车错车，对于坐在快车上的人来讲，相当于他以快车的速度和慢车的车尾相遇，相遇路程和是慢车长；对于坐在慢车上的人来讲，相当于他以慢车的速度和快车的车尾相遇，相遇的路程变成了快车的长．相当于是同时进行的两个相遇过程，不同点在于路程和一个是慢车长，一个是快车长，相同点在于速度和都是快车速度加上慢车速度．所以可先求出两车的速度和：3851135÷=(米/秒)，然后再求另一过程的相遇时间280358÷=秒．【例 1】 有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆可乘坐一个班学生的汽车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时4公里，满载时车速每小时40公里，空载时车速为每小时50公里．问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生要步行全程的几分之几?BCD E A 【分析】 由于两个班的同学都是一段路步行、一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达少年宫，两个班的同学步行的路程一定一样长．如图所示，图中A 是学校，B 是少年宫，C 是第一班学生下车的地点，D 是第二班学生上车的地点．由上所述AD 和CB 一样长，设第一班同学下车时，第二班同学走到E 处．由于满载时车速为每小时40公里，而步行的速度为每小时4公里，是车速的110，因而AE 是AC 的110．在第一班学生下车后，汽车从C 处迎着第二班学生开，车速是每小时50公里，而第二班学生从E 处以每小时4公里的速度向前走，汽车和第二班学生在D 点相遇．这是普通的行程问题，不难算出ED 是EC 的454．由于EC 是AC 的1911010-=，可见ED 是AC 的491541015⨯=．这样AD 就是AC 的11110156+=．又AD CB =，AD 专题精讲接送问题就是AB 的1111667⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭，故第一班学生步行了全程的17．［拓展］ 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？［分析］ 不妨设乙班学生先步行，汽车将甲班学生送至A 地后返回，在B 处接到乙班学生，最后汽车与甲班学生同时到达公园，如图：公圆学校 根据条件有比例关系：:1:12V V =甲车，:1:16V V =乙车乙班从C 至B 时，汽车从C 经过A 到B ，则两者路程之比为1:16，不妨设1CB =，则从C 经过A 到达B 的路程为16，()11628.5CA =+÷=，则有:1:7.5CB BA =； 类似设1AD =，分析可得:1:5.5AD BA =，综合得::22:165:30CB BA AD =，说明甲乙两班步行 的距离之比是15:11，若假设甲班先步行，结果同上．［拓展］ 三个人同时前往相距30千米的甲地，已知三人行走的速度相同，都是5千米每小时；现在还有一辆自行车，但只能一个人骑，已知骑车的速度为10千米每小时．现先让其中一人先骑车，到中途某地后将车放下，继续前进；第二个人到达后骑上再行驶一段后又放下让最后那个人骑行，自己继续前进，这样三人同时到达甲地．问，三人花的时间为多少？［分析］ 由于每人的速度相同，所以每人行走的路程相同，骑车的路程也要相同，这样每人骑车的距离都是13，所以时间就是20510105÷+÷=小时．【例 2】 甲乙两人同时从学校出发去距离33千米外的公园，甲步行的速度是每小时4千米，乙步行的速度是每小时3千米．他们有一辆自行车，它的速度是每小时5千米，这辆车只能载一个人，所以先让其中一人先骑车到中途，然后把车放下之后继续前进，等另一个人赶到放车的位置后再骑车赶去，这样使两人同时到达公园．那么放车的位置距出发点多少千米？【分析】 根据两人到达公园所花时间相等这一等量关系可列出方程，设放车的位置距出发点x 千米，如果甲先骑车,方程为：33333545x x x x --+=+， 如果乙先骑车,方程为：33334535x x x x --+=+，两条方程分别解得9x =和24x =，所以有9千米和24千米两种答案．【例 3】 (2008年“数学解题能力展示”读者评选活动)A 、B 两地相距22.4千米．有一支游行队伍从A 出发，向B 匀速前进；当游行队伍队尾离开A 时，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发．乙向A步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B 地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B 地，那么此时乙距A 地还有多少千米？5.4km22.4km【分析】 设第一次追上队头与第二次追上队头时队伍所行的距离为x 千米，从队头到队尾时甲所行距离为y 千米．则有：2 5.6722.4x x y =⎧⎨+=⎩，解得 2.82.8x y ==． 所以有2.825+2.84 5.6v v ⨯⨯⨯乙甲＝，得到:7:1v v =乙甲， 因为()2.82+2.8271S ⨯⨯乙＝ 所以 2.4S =乙所以22.4 5.6 2.414.4--=(千米)［铺垫］海淀区劳动技术学校有100名学生到离学校33千米的郊区参加采摘活动，学校只有一辆限乘25人的中型面包车．为了让全体学生尽快地到达目的地，决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行的速度是每小时5千米，汽车行驶的速度是每小时55千米．请你设计一个方案，使全体学生都能到达目的地的最短时间是多少小时?［分析］ 要使全体学生都能到达目的地的时间最短，就要让全体学生同时出发，同时到达．把100名学生平均分成4组，每组25人．第一组的25名同学先乘车出发，其他同学也同时步行出发，行一段时间后，第一组的同学在途中某地下车，继续往前步行到达目的地．汽车再返回去接第二组的同学，第二组的同学在途中某地下车，继续往前步行到达目的地．汽车再返回去接第三组的同学，第三组的同学在途中某地下车，继续往前步行到达目的地．汽车再返回去接第四组的同学，直接开往目的地，这样使全体同学同时到达．根据这个方案和汽车速度是步行速度的1 l 倍，把全程平均分成9份，演示出汽车和同学所走的过程，这样问题就可以解决了．4321由于汽车的速度是步行速度的11倍，那么其中一组同学走一段的路程，汽车一来一回应走同样的11段路程．出发时，第一组乘车，其他三组同学步行．当汽车行到某处返回接第二组同学时，人和车应共走12段的路程．整体考虑，步行走了一段路程，即图中AB ，汽车走了11段路程(图中AG GB +)．人和车总是这样不停地行走，就会同时到达终点．根据这个方案，学校到采摘园的路程就被平均分成了9份，汽车共行了这样的39份路程，那么题目隐藏的条件也就出现了：一段路程×9=33．根据这个条件，可挖掘出等量关系：汽车速度×时间=汽车行39段的路程．3393955 2.6÷⨯÷=(小时).【例 4】 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？【分析】 因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，在这段时间中，电梯＂伸＂出的级数或＂缩＂进的级数是相等的，所以80-===可见级数“伸出”级数“缩进”级数可见级数-40 所以扶梯可见部分()8040260+÷=(级)．［拓展］商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男 孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内走 的扶梯级数是女孩的3倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，与行船问题类似的，自动扶梯的速度有以下两条关系式：顺行速度=正常行走速度+扶梯运行速度逆行速度=正常行走速度-扶梯运行速度与流水行船不同的是，自动扶梯上的行走速度有两种度量，一种是“单位时间运动了多少米”，一种是“单位时间走了多少级台阶”，这两种速度看似形同，实则不等，拿流水行程问题作比较，“单位时间运动了多少米”对应的是流水行程问题中的“船只顺(逆)水速度”，而“单位时间走了多少级台阶”对应的是“船只静水速度”，一般奥赛题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度，即“单位时间走了多少级台阶”，所以处理数量关系的时候要非常小心，理清了各种数量关系，自动扶梯上的行程问题会变得非常简单．电梯问题［分析］ 男孩与女孩走完电梯的时间比为：8040:2:331= 所以有 80=电梯可见部分级数＋2×电梯运行速度40=电梯可见部分级数－3×电梯运行速度解得 电梯运行速度=8(级)．所以 电梯可见部分级数为 802864-⨯=(级)．［点评］本题的关键是求出男孩和女孩走完电梯的时间比，另外结合二元一次方程比较容易理解 数量关系．请对比原例题，体会其中的数量关系．【例 5】 在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部．自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍．则该自动楼梯从底到顶的台阶数为______．【分析】 本题要知道向上与向下的时间之比(即是电梯运行时间的比)，可用量化思想．12090:60:902:321== 设该自动楼梯从底到顶的台阶数为x 级，自动楼梯的速度为y 级/单位时间．则有：2120390x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得1086x y =⎧⎨=⎩．［铺垫］在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台 阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从 站台到地面有_____级台阶．［分析］ 设20秒扶梯向上走x 级，则15秒走34x 级．由扶梯长度可得320304x x +=+，解得40x =，扶梯长204060+=(级)．本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过10秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？”【例 6】 甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层．当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了60级到达一层．如果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往下走80级．那么，自动扶梯不动时甲从下到上要走多少级？［分析］ 首先，由于第一种情况下甲走的总台阶数是第二种情况下的360804÷=，说明第一种情况下，甲乙相遇时甲的高度是两层之间高度的34．那么可知甲和自动扶梯的速度和与自动扶梯的速度之比是33:13:144⎛⎫-= ⎪⎝⎭，说明甲走动的速度是扶梯速度的2倍． 如果甲沿着扶梯向下走，那么整体的速度就和自动扶梯的速度一样，是整体向上走时速度的13，所用的时间就是向上走所用时间的3倍，那么甲所走的台阶数就是向上时所走台阶数的3倍．因此甲向上走时实际走了808033÷=级台阶．甲走803级台阶的同时自动扶梯向上移动了403级台阶，因此如果扶梯不动，甲从下到上要走80404033+=级台阶．【例 7】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行．甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？【分析】 可先讲解火车和行人相遇和追及的基本原理，即火车和行人相遇和追及的路程和与差都是一个火车长．教师最好用图解的方法来求解．这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度．甲与电车属于相遇问题，他们 的路程和即为相邻两车间距离，根据公式得()10min S V V =+⨯甲车，类似可得()10.25min S V V =+⨯乙车，那么()10.25()10V V V V +⨯=+⨯乙甲车车，即()()6010.258210V V +⨯=+⨯车车，解得820V =车米/分，代入上述公式可得9020S =米，有关公共汽车与行人的问题，主要涉及到这几个量：行人速度、汽车速度、前后相邻汽车间距、汽车发车时间间隔、相遇(追及)事件时间间隔．这些貌似不相关的数量之间隐含着很多数量关系：1. 我们首先分析一下公共汽车的发车过程：从一辆汽车发车到下一辆汽车发车，经过一个“汽车发车时间间隔”，所以当下一辆车发车的时候，前一辆车已经行驶了“一个汽车发车时间间隔”的时间，这个时间内前一辆车共行驶了“汽车发车时间间隔”乘以“汽车速度”，之后两辆车之间的距离保持不变，即距离保持为“相邻汽车间距”，所以我们得到第一条公式：⨯汽车间距=汽车速度汽车发车时间间隔2. 与公共汽车发车过程类似的，如果行人和汽车相向(反向)行驶，那么从行人遇到第一辆车到遇到第二辆车的过程可以看作一个相遇问题，所以有如下数量关系：=⨯汽车间距（汽车速度+行人速度)相遇事件时间间隔同样的如果行人和汽车同向行驶，则有关系式：=⨯汽车间距（汽车速度-行人速度)追及事件时间间隔发车问题因此发车间隔为902082011÷=分钟．【点评】 根据学生的理解能力，引入参照物和相对速度的概念：1. 参照物：观察或测量物体运动的平台．2. 相对速度：顾名思义一个物体相对于另一个物体运动的速度．乘客在火车车厢中行走(从车尾走向车头)的速度为1米/秒，这是乘客相对于车厢(或火车)的速度(其中车厢或火车为参照物)，但在火车以外的的人看来，他以21米/秒的速度运动(参照物为车厢以外的人或地面等)，这样即可得到火车行驶的速度(参照物为地面)为20米/秒．3. 我们通常所说的速度一般以地面为参照物.如果两个物体相对于地面的运动方向相同，那么其中一个物体相对于另一个物体的运动速度等于它们相对于地面运动速度之差(反向运动的物体可以视作运动速度为负数)．用参照物和相对速度的思想来理解发车问题比较容易一些，事实上在追及问题中，两个物体的速度差就是其中一个物体相对于另一个物体的相对速度，而相遇问题中，两个物体的速度和即是其中一个物体相对于另一个物体的相对速度.发车问题中将公交车群视作参照物，观察人以相对于公交车的速度运动，则可得到公式：公交车间隔距离=观察人(行人、自行车等)相对(公交车群)速度×相遇(或追及)间隔时间．教师在讲述以下各题时尽量提点参照物和相对速度的概念．【例 8】 在公路上骑车的速度是步行的3倍，行人发现每隔6分钟就有一辆公共汽车超过自己，而骑车人发现每隔10分钟有一辆公共汽车超过自己，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么车站每隔多少分钟有一辆公共汽车出发？【分析】 要求出汽车的发车时间间隔，要先求出相邻两汽车之间的距离和汽车的速度之比，但题目没有直接告诉我们这两个条件．由题可知：相邻两汽车之间的距离(以下简称间隔距离)是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离．对于骑车人可作同样的分析.因此，如果我们把汽车的速度记作V 汽，骑车人的速度为V 自，步行人的速度为V 人(单位都是米/分钟)，则：()6V V =-⨯人汽间隔距离，()10V V =-⨯汽自间隔距离，3V V =人自．综合上面的三个式子，可得：6V V =人汽，则：1656V V V ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭汽汽汽间隔距离(米)； 所以，汽车的发车时间间隔就等于：55V V V ÷=÷=汽汽汽间隔距离(分钟)．【例 9】 小峰骑自行车去小宝家聚会，在途中小峰注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超过自己，半路上自行车发生故障，小峰只好弃车打的前往小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，那么如果公交车的发车时间间隔和行驶速度固定的话，那么公交车的发车时间间隔为多少分钟？【分析】 由题目条件可以得到两条等量关系：()9=-⨯间隔距离公交速度骑车速度分钟；()9=-⨯间隔距离出租车速度公交速度分钟；所以，-=-公交速度骑车速度出租车速度公交速度；()()322++⨯===⨯骑车速度出租车速度骑车速度5骑车速度公交速度骑车速度； 由此可知，()9=-⨯间隔距离公交速度骑车速度分钟； 29=⨯⨯骑车速度分钟3=⨯⨯骑车速度6分钟⨯=公交速度6分钟所以公交车站每隔6分钟发一辆公交车．［拓展］甲城的车站总是以20分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有柏油路又有碎石路和水泥路，车辆(包括自行车)在碎石路和水泥路上的速度分别是柏油路上的80%和120%，有一名学生从乙城骑车去甲城，已知该学生的骑车速度是汽车速度的四分之一(相同路况)，那么该骑车学生在柏油路、碎石路、水泥路分别每隔多少分钟遇到一辆汽车？［分析］ 先看柏油路上的情况，汽车每分钟行驶汽车柏油路上汽车间隔的120，那么每分钟自行车在柏油路上行驶汽车柏油路上间隔的180，所以在柏油路上自行车与汽车每分钟合走汽车在柏油路上间隔的111208016+=，所以该学生每隔16分钟遇到一辆汽车，对于碎石路、水泥路的情况同样用这种方法考虑，三种情况中学生都是每隔16分钟遇到一辆汽车．［点评］在这道题中之所以碎石路、水泥路、柏油路速度改变的情况下遇到汽车的时间间隔都是16分钟， 是因为汽车与汽车之间的位置间隔随着汽车速度的改变也随之改变，在碎石路、水泥路上汽车与 汽车之间的位置间隔分别是柏油路上汽车位置间隔的80%、120%，在这道题中“甲乙两城之间既 有柏油路又有碎石路和水泥路，车辆(包括自行车)碎石路和水泥路的速度分别是柏油路上的80% 和120%，”实际上是一个多余条件．【例10】 (2008年日本算术奥林匹克初赛)A 城每隔30分钟有直达班车开往B 镇，速度为每小时60千米；小王骑车从A 城去B 镇，速度为每小时20千米．当小王出发30分钟时，正好有一趟班车(这是第一趟)追上并超过了他；当小王到达B 镇时，第三趟班车恰好与他同时到达．A ，B 间路程为＿＿＿千米．【分析】 班车与班车之间的间隔时间为30600.5÷=小时．班车与班车之间的间隔距离为0.56030⨯=千米，而自行车速度和班车的速度差为40千米/小时，所以小王与班车相遇的时间间隔为30400.75÷=小时.所以从小王遇到第一辆班车到遇到第三辆班车的时间差为1.5小时，小王骑车的总时间为0.5 1.52+=小时，所以A 、B 之间距离为20240⨯=千米．【例11】 某人乘坐观光游船沿河流方向从A 港前行。

学生课程讲义
行程问题是专门讲物体匀速运动的路程、时间、速度三者关系的应用题。

有的涉及一个物体的运动,有的涉及两个物体的运动。

运动的形式有相向(相遇)、同向(追及)、背向(相离)三种情况。

不管哪种情况,它们的数量关系是相同的,都可以归结为路程=速度×时间,只要知道三个量中的任何两个量就能求出第三个量要正确解答有关行程问题的应用题,必须弄清物体运动的具体情况:“相向”“背向”“同向”有着不同的数量关系：
1.相向而行:相遇时间=距离÷速度和
2.背向而行:相背距离=速度和×时间
3.同向而行:追及时间=追及距离÷速度差
如果上述的几种情况交织在一起,组成的应用题将会丰富多彩千变万化。

解答这些问题时,我们还要理清题中的已知条件和所求问题之间的关系,同时采用“转化”“假设”等方法,把复杂的数量关系转化为简单的数量关系,把一个复杂的问题转化为几个简单的问题,逐一进行解决。

【例1】甲乙两车同时从相距299千米的两地相向而行,甲车每小时行52千米,乙车每小时行40千米,几小时后,两车第一次相距69千米?再经过几小时两车第二次相距69千米? 【例2】甲乙两车同时从A、B两地相向而行,途中相遇,相遇时距离A地90千米。

相遇后,两车继续以原速度前进,到达目的地后,立即返回,在途中第二次相遇。

这时相遇地点距A地50千米。

已知从第一次相遇到第二次相遇所用的时间是4小时,求甲乙两车的速度。

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行程问题（一)【知识点讲解】基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.基本公式：路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间关键:确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间=路程差÷速度差（写出其他公式）主要方法:画线段图法基本题型：已知路程(相遇路程、追及路程)、时间（相遇时间、追及时间）、速度(速度和、速度差）中任意两个量,求第三个量.相遇问题：例1、甲乙两车同时从AB两地相对开出，第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对1。

已知甲车在第一方出发点后立即返回，第二次相遇时离B地的距离是AB全程的5次相遇时行了120千米。

AB两地相距多少千米？例2、甲、乙两车分别从A、B两城同时相对开出,经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点35千米，已知甲车比乙车每小时多行10千米。

问A、B两城相距多少千米？例3、甲、乙和丙同时由东、西两城出发，甲、乙两人由东城到西城，甲步行每小时走5千米,乙骑自行车每小时行15千米,丙也骑自行车每小时20千米，已知丙在途中遇到乙后,又经过1小时才遇到甲,求东、西城相距多少千米？例4、甲乙两站相距470千米,一列火车于中午1时从甲站出发，每小时行52千米，另一列火车下午2时30分从乙站开出,下午6时两车相遇，求乙站开出的那辆火车的速度是多少？例5、小李从A城到B城,速度是50千米/小时，小兰从B城到A城，速度是40千米/小时.两人同时出发，结果在距A、B两城中点10千米处相遇。

第一讲行程问题学习目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“ 1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：发车问题(1)、一般间隔发车问题。

用 3 个公式迅速作答；汽车间距=(汽车速度+行人速度)X相遇事件时间间隔汽车间距=(汽车速度-行人速度)X追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度X汽车发车时间间隔( 2)、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：画图一一尽可能多的列3个好使公式一一结合s全程=vXt-结合植树问题数数。

( 3 ) 当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴ 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵ 火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶ 火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度(来回不同) 、班级速度(不同班不同速) 、班数是否变化分类为四种常见题型：( 1)车速不变-班速不变- 班数2 个(最常见)(2)车速不变-班速不变-班数多个( 3)车速不变-班速变-班数 2 个( 4)车速变-班速不变- 班数2 个标准解法：画图＋列 3 个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+ 这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间= 班车同时出发后回来接它的时间。

时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上 2 人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是 2 个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。

六年级行程问题专讲第一部分：相遇问题知识概述：行程问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题，（涉及两个或两个以上物体运动的问题）指两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇，这类应用题叫做相遇问题。

数量关系：总路程=（甲速+乙速）×相遇时间相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度注：（1）在处理相遇问题时，一定要注意公式的使用时二者开始运动那一刻所处的状态；（2）在行程问题里所用的时间都是时间段，而不是时间点（非常重要）；（3）无论是在哪类行程问题里，只要是相遇，就与速度和有关。

解题秘诀：（1）必须弄清物体运动的具体情况，运动方向（相向），出发地点（两地），出发时间（同时、先后），运动路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇）等。

（2）要充分运用图示、列表等方法，正确反映出数量之间的关系，帮助我们理解题意，迅速的找到解题思路。

典型例题：例1.东西两地相距60千米，甲骑自行车，乙步行，同时从两地出发，相对而行，3小时后相遇。

已知甲每小时的速度比乙快10千米，二人每小时的速度各是多少千米？习题：一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，相向而行，汽车每小时行50千米，摩托车每小时行40千米，8小时两车相距多少千米？例2.甲港和乙港相距662千米，上午9点一艘“名士”号快艇从甲港开往乙港，中午12点另一艘“日立”号快艇从乙港开往甲港，到16点两艇相遇，“名士”号每小时行54千米，“日立”号的速度比“名士”号快多少千米？习题：甲乙两地的路程是600千米，上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地。

货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地。

要使两车在全程的中点相遇，货车必须在上午几点出发？例3.甲骑摩托车，乙骑自行车，同时从相距126千米的A 、B 两城出发相向而行。

3小时后，在离两城中点处24千米的地方，甲、乙二人相遇。

正比例和反比例的性质参考答案典题探究一、行程问题考点1）一般行程问题：基本公式：路程=速度×时间高级公式：（务必倒背如流，此两公式太重要了）相遇问题（速度和×相遇时间=路程和），追击问题（速度差×追击时间=路程差）2）流水问题：水速对追击和相遇时间无影响。

原因？四者中只要知2就可求另外2个量。

基本公式：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速高级公式：船速=（顺+逆）÷2，水速=（顺-逆）÷23）非环形跑道多次相遇问题：要注意“第一次相遇行的全程数”与“第二次相遇行的全程数”的关系。

环形跑道：每相遇一次，总路程多了一圈，不存在以上关系。

所以如果速度和不变，则每相遇一次所用时间相同。

二：行程问题主要方法：（1）列方程求解；（2）画图分析；（3）抓住原因分析求解；（4）比例（常用到设数的方法）例1小华在8点到9点之间开始解一道题，当时时针、分针正好成一直线，解完题时两针正好第一次重合.问：小明解这道题用了多长时间？分析这道题实际上是一个行程问题.开始时两针成一直线，最后两针第一次重合.因此，在我们所考察的这段时间内，两针的路程差为30分格，又因分格/分钟，所以，当它们第一次重合时，一定是分针从后面追上时针.这是一个追及问题，追及时间就是小明的解题时间。

例2甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米.甲从A 地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。

画图如下：分析结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，则因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等于（40＋60）×15=1500（米）。

又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50-40＝10（米/分），这样就可求出乙从B到C的时间为1500÷10＝150（分钟），也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。

学而思行程问题Prepared on 21 November 2021学习目标本讲主要通过例题加深对行程问题的三个基本数量关系的理解。

在历年小升初与各类小学竞赛试卷中，行程问题的试题占的比值是相当大的，所以学好行程问题不但对于应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足轻重的关键性作用，而且也为初中阶段的学习打下良好的基础。

我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.行程问题主要涉及时间(t)、速度(v)和路程(.s)这三个基本量，它们之间的关系如下：=路程=速度×时间可简记为：s vt速度=路程÷时间可简记为：/v s t=时间=路程÷速度可简记为：/=t s v路程一定，速度与时间成反比速度一定，路程与时间成正比时间一定，路程与速度成正比显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.【例1】一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1：2：3，某人走这三段路所用的时间之比是4：5：6，已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米，此人走完全程需多少时间？【例2】甲、乙两地相距60千米，自行车队8点整从甲地出发到乙地去，前一半时间每分钟行1千米，后一半时间每分钟行0.8千米。

自行车队到达乙地的时间是几点几分几秒？【例3】某人上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟，已知下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分钟，那么下山用多少时间？【例4】汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地，求该车的平均速度。

【例5】甲、乙两车往返于A、B两地之间，甲车去时的速度为60千米/时，返回时的速度为40千米/时，乙车往返的速度都是50千米/时，求甲、乙两车往返一次所用的时间比.【例6】从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的23，一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时，这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？【例7】一辆车从甲地行往乙地，如果把车速提高20%，那么可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速度行驶100千米后再将车速提高30%，那么也比原定时间提前1小时到达，求甲、乙两地的距离。

学而思小学数学“行程”问题中的特殊性及其类型发表时间：2017-07-11T14:01:05.380Z 来源：《中小学教育》2017年7月第283期作者：周晓红[导读] 在小学数学的知识体系中，行程问题是应用题中的一个重点和难点。

辽宁省抚顺市望花区海城小学113001 摘要：“s＝vt”是小学数学行程问题基本公式，要深刻理解“路程和（差）”、“速度和（差）”、“相遇（追及）时间”等核心概念，掌握行程问题中正、反比例的应用。

行程问题中的特殊性主要体现在三个方面：一是主体类型的特殊性，行程的主体可分为“质点”主体，以及火车、轮船、钟表等特殊主体；二是主体运动方向包括相向（面对面）、背向（背靠背）和同向三种；三是时间、速度和路程的特殊性。

时间的特殊性体现在“同时”和“不同时”两个方面；速度的特殊性体现在“变速”还是“不变速”、“何时变速”、“几个主体变速”等方面。

路程的特殊性表现在三个方面：一个是路程轨迹的特殊性，路程的轨迹分直线型与非直线型两种；一个是路程“中点”问题；一个是由于路程的周期性产生的“多次相遇”问题。

在小学数学的知识体系中，行程问题是应用题中的一个重点和难点。

行程问题因其变化因素多样，使其显得“花样多”，总有“乱花渐欲迷人眼”的感觉。

如何从总体上和逻辑上把握行程问题的特殊性及其类型，从而进行有效的教学，就是本文探讨的主要问题。

一、把握“不变”行程问题是围绕“路程、速度和时间”三个基本概念展开的，“s＝vt”这一基本公式是不变的。

由于多个主体参与，衍生出的“路程和（差）＝速度和（差）×相遇时间（追及时间）”两个公式是不变的。

其中，关于s＝vt的正比例、反比例关系以及路程和（差）、速度和（差）、相遇时间、追及时间是需要认真理解和体会的关键。

二、把握“特殊”不变的是本质，变的是形式。

行程问题之所以复杂，关键在于它有很多特殊性和变化量。

只有系统地理解和把握这些特殊性和变化量，才能做到心中有数且得心应手。