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第七讲环形跑道问题【尖子班学案1】成才小学有一条200米长的环形跑道，包包昊昊同时从起跑线起跑包包每秒钟跑6米，昊昊每秒钟跑4米，问包包第一次追上昊昊时两人各跑了多少米？第一次追上昊昊时两人各跑了多少圈？分析：1、包包和昊昊同时从起跑线起跑2、包包追上昊昊多跑一周200米，需用时200÷（6-4）=100（秒）因此，追上昊昊时包包跑了6×100=600米，600÷200=3（圈），昊昊跑了4×100=400米，400÷200=2（圈）.【尖子班学案2】分析：已知1、湖的周长300米，黑猫速度5米/秒，白猫速度7米/秒2、俩猫同时同地背向而行（相遇问题）3、距离和=300米，速度和=5+7=12（米）因此，俩猫第一次相遇的时间=300÷12=25（秒）2分钟=120秒，120秒内相遇次数为：120÷25=4（次） (20)【尖子班学案3】分析：已知1、跑道周长=400米，周长上A（右）、B（左）两点100米2、涛涛在A 点，昊昊在B 点，俩人同时相背而行，可知相遇时俩人的距离和为 400-100=300米3、相遇后涛涛继续前行，而昊昊转身回返（即与涛涛同向），当 涛涛回到原地A 点时，昊昊也同时到原地B 点。
由此可知，昊昊来、回走的距 离相同，那么涛涛从A 点出发到与昊昊相遇和相遇后回到A 点所走的距离也相同。
4、涛涛两次共走了一周（400米），则每次走半周200米，而昊昊每次走300-200=100米。
因此，涛涛走的速度是昊昊的2倍5、涛涛再次追上昊昊时，比昊昊多走300米，那么涛涛走了300×2=600米 因此一共走了400+600=1000（米）【尖子班学案4】分析：1、已知a 、b 、c 三人同时从A 点出发，a 、b 同向逆时而行，c 顺时而行。
a 的速度为80米/分b 的速度为65米/分，他们的速度为80-65=15（米/分）2、20分钟后c 与a 在C 点相遇，而b 刚走到B 点，此时a 、b 俩人B ADCa bc的距离差=BC=15×20=300（米）3、又过2分钟，c与b在D点相遇，在2分钟时间b、c俩人相遇的距离和为BC的长度=300米，则可知c与b相遇的速度和=300÷2=150（米/分）。
1、 掌握如下两个关系：（1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次（2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。
是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。
一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间×速度和路程差=追及时间×速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
环线型同一出发点直径两端 同向：路程差nS nS + 相对(反向)：路程和nS模块一、常规的环形跑道问题【例 1】 一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2星 【题型】解答【解析】 黄莺和麻雀每分钟共行6659125+=（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即500(6659)5001254÷+=÷=（分钟）．【答案】4分钟【巩固】 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。
已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。
在他们第10次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,1试【解析】 几分钟相遇一次：480÷（55＋65）=4（分钟）知识精讲 教学目标环形跑道问题10次相遇共用：4×10=40（分钟）王老师40分钟行了：55×40=2200（米）2200÷480=4（圈）……280（米）所以正好走了4圈还多280米，480－280=200（米）答：再走200米回到出发点。
环形跑道（上）佳佳和海海在周长为400 米的环形跑道上进行万米长跑。
佳佳的速度是40 米 /分，海海的速度是 60 米 /分。
⑴佳佳和海海同时从同一地点出发反向跑步，两人几分钟后第一次相遇？再过几分钟后两人第二次相遇？⑵佳佳和海海同时从同一地点出发，同一方向跑步，海海跑几分钟能第一次追上佳佳？再过几分钟能第二次追上佳佳？一、基础环形跑道(★★★ )巍巍、铮铮两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。
这条公路长2400 米，巍巍骑一圈需要 10 分钟。
如果第一次相遇时巍巍骑了1440 米。
请问：⑴巍巍的速度是多少米/分？⑵出发到第一次相遇用时多少分钟？⑶铮铮骑一圈需要多少分钟？⑷再过多久他们第二次相遇？(★★★ )在周长为 220 米的圆形跑道的一条直径的两端，海海、佳佳二人骑自行车分别以 6 米 / 秒和 5 米/ 秒的速度同时相向出发 (即一个顺时针一个逆时针 )，沿跑道行驶，则 210 秒内海海佳佳相遇几次？(★★★ )佳佳和海海在操场上比赛跑步，海海每分钟跑26 米，佳佳每分钟跑21 米，一圈跑道长50米，他们同时从起跑点出发，那么海海第四次超过佳佳需要多少分钟？(★★★★ )在 400 米的环形跑道上，佳佳、海海两人分别从A、B 两地同时出发，同向而行。
4 分钟后，海海第一次追上佳佳，又经过10 分钟海海第二次追上佳佳。
已知海海的速度是每分钟180米，那么佳佳的速度是多少？A、 B 两地相距多少米？(★★★★ )海海、佳佳在湖的周围环形道上练习长跑，海海每分钟跑250 米，佳佳每分钟跑200 米，两人同时同地同向出发，经过 45 分钟海海追上佳佳；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？二、多次相遇【你还记得吗？】(中环杯试题改编)如图 (详见视频 )，A、 B 是一条道路的两端点，甲在 A 点，乙在 B 点，两人同时出发，相向而行。
他们在离 A 点 100 米的 C 点第一次相遇。
第七讲环形跑道问题一．知识点总结基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题（相向）：相遇时间=路程和÷速度和追及问题（同向）：追及时间＝路程差÷速度差注：不只是追及问题中我们用路程差÷速度差=追及时间，实际在很多两人同时行进一段时间，不同的速度必然会造成路程不同，我们都可以用这个公式：路程差÷速度差=所行时间。
环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈。
这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
二．做题方法：（1）审题：看题目有几个人或物参与；看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时看地点是指是同地还是两地甚至更多。
看方向是同向、背向还是相向看事件指的是结果是相遇还是追及相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断。
追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差。
比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差。
这个是追击问题经常用到的，同过路程差求速度差（2）简单题利用公式（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来。
相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差三．例题解析1. 直接利用公式型竞赛班例题1（尖子班例题1）：在300米的环形跑道上，如果同向而跑快者2分30秒追上慢者，如果背向而跑两者半分钟相遇，求两人的速度。
高新杰解析：注意如果题目没有第几次追上或相遇，都默认为是第一次追上或相遇。
“第几次追上就多跑几圈”，快者第一次追上慢者，就是比慢者多跑一圈，即用2分30秒比慢者多跑300米，那么快比慢1秒钟多跑（速度差）：300÷150=2米“第几次相遇就合跑几圈”，第一次相遇就合跑一圈，即用半分钟合跑300米，1秒钟两人合跑（速度和）：300÷30=10米慢者：（10-2）÷2=4米／秒快者：4+2=6米／秒“和差算法”：小的数=（和-差）÷2 大的数=（和+差）÷2竞赛班学案1：在环形跑道上，两人背靠背跑，每隔4分钟相遇一次：同向跑每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道周长1600米，求两人的速度？解析：两人速度差1600÷20=80米／分两人速度和1600÷4=400米／分慢者：（400-80）÷2=160米／分快者：160+80=240米／分竞赛班例题3：幸福村小学有一条长200米的环形跑道，铮铮和包包同时从起跑线起跑，铮铮每秒钟跑6米，包包每秒钟跑4米，问铮铮第一次追上包包时两人各跑多少米，第2次追上包包时两人各跑多少圈？解析：（1）铮铮第一次追上包包，总共比包包多跑一圈，而1秒钟铮铮比包包多跑6-4=2米，那么得有多少秒能多跑一圈200你呢？200÷（6-4）=100秒注：熟了之后直接用公式路程差÷速度差=所行时间铮铮：6×100=600米包包：4×100=400米或600-200=400米（2）笨方法：铮铮第二次追上包包，总共比包包多跑二圈，而1秒钟铮铮比包包多跑6-4=2米，那么得有多少秒能多跑二圈400你呢？400÷（6-4）=200秒。
本讲将之前所接触过的环形跑道、火车过桥以及流水行船这几类行程问题与相遇追及结合起来。
一、环形跑道中的相遇追及在周长为600米的圆形场地的一条直径的两端，艾迪从A 点，薇儿从B 点同时骑车出发，相向而行，两人第二次恰于A 点相遇，求两人第一次相遇的地点。
【详解】两人先从AB 同时出发相向而行，第一次相遇在AB 之间某一点，第二次相遇则在A 点，我们跳出来看，相遇两次，两人所用时间是相同的，而艾迪共行了1圈，薇儿共行了0.5圈，由此可知道艾迪的速度是薇儿速度的2倍。
所以在第一次相遇时，艾迪所行路程是薇儿的2倍，即行了：600232200÷÷⨯=米，因而第一次相遇地点距离A 点200米。
二、火车过桥（其实主要是过人）中的相遇与追及小白沿着铁轨旁的小路散步，迎面而来一列长98米的火车，若小白速度为1米/秒，火车从车头到车尾经过他身边共用了7秒，求火车速度。
【详解】火车过人的相遇追及中，路程和、路程差均是车长，此处是一个相遇问题，那么路程和就是98米，又知道经过身边用7秒，那么我们马上可以求出速度和： 98714m s ÷= 从而求出火车的速度：14113m s -=练习2 练习1相遇与追及综合三、流水行船中的相遇与追迹在流水行船中，水速不会改变相遇与追及的时间，改变的是地点。
某河上下两港相距80千米，每天定时有甲乙两艘船速相等的客轮从两港相向而行，甲船顺水每小时行12千米，乙船逆水每小时行8千米，这天甲船在出发时，从船上掉下一物，此物顺水漂流而下，当甲乙两船相遇时，此物距相遇地点有多远？【详解】题目所说两船速度相等，顺逆水的速度均有，于是可以先求出船速：()128210km h +÷=，顺便可以求出水速：12102km h -=出发的同时掉下一物顺水而下，甲乙相遇用时，也就是该物漂流用时，因而可求出甲乙相遇用时：()801284h ÷+= 物体漂流距离：248km h ⨯= 甲相遇时共行：12448km h ⨯= 两者之差：48840km h -=练习3。
第七讲 环形跑道问题一、行程问题三要素环形跑道问题属于行程问题的一类。
对于行程问题，同学们一定要马上反应出路程（S）、速度(V)、时间(t)三个要素之间的关系——S=V·tV=S÷t t=S÷V ……公式变形即，在行程问题中，只有知道S、V、t中的其中两个要素，一定能求出第三个！二、行程问题基本型1、相遇问题关键词：同时、反向公式： S和 = V和 ·t遇2、追及问题关键词：同时、同向公式： S差 = V差 ·t追注：我们判断是相遇还是追及主要就是看方向，但要注意的是不管是相遇还是追及，其过程一定是二人同时进行的，所以抓住“同时”也很重要。
当题目中不是同时发生的，要学会如何转化为“同时”。
三、环形跑道问题环形跑道问题不过是把“行程”的过程搬到了环形跑道上进行，它仍然符合行程问题的公式。
但要注意S与跑道有关系。
做题时，我们要注意1、确定方向：（1）反向即为相遇问题，就有S和 = V和 ·t遇（2）同向即为追及问题，就有S差 = V差 ·t追2、确定起始点（1）同地：周期现象反向（相遇）， 第1次相遇，共合跑1圈第2次相遇，共合跑2圈……第n次相遇，共合跑n圈同向（追及）， 第1次追上，共多跑1圈第2次追上，共多跑2圈……第n次追上，共多跑n圈（2）异地：第1次特殊，从第2次开始即为周期现象四、例题解析课前回顾 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步，小王的速度是200米/分，（1）小张和小王同时从同一地点出发反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？解析：（1）同时同地反向，是相遇问题。
S和 = V和 ·t遇500米 1分钟第一次相遇，即合跑一圈，即合跑500米，S和、t遇都知道，那么就可求速度和，得500÷1=500（米/分）小张的速度： 500-200=300（米/分）（2）同时同地同向，是追及问题。
S差 = V差 ·t追500米 300-200第一次追上，即小张比小王多跑一圈，即S差是500米，速度差也可算出来，那么可求追及时间：500÷（300-200）=5（分）小张共跑了多少米：300×5=1500（米）小张跑了多少圈：1500÷500=3（圈）例1 在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？解析： 同时同地同向——追及问题，S差 = V差 ·t追300米 2分30秒同时同地反向——相遇问题。
S和 = V和 ·t遇300米 半分钟根据分析，根据追及过程可求出速度差，根据相遇过程可求出速度和，接着再用和差问题即可求出两人的速度了。
只是注意单位要统一，时间单位我们统一为秒。
速度差：300÷150=2（米/秒）速度和：300÷30=10（米/秒）快的速度：（10+2）÷2=6（米/秒）慢的速度：（10-2）÷2=4（米/秒） 或 6-2=4（米/秒）例2 巍巍、铮铮两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。
这条公路长2400米，巍巍骑一圈需要10分钟，如果第一次相遇时巍巍骑了1440米。
请问：（1）巍巍的速度是多少米/分？（2）从出发到第一次相遇用时多少分钟？（3）铮铮骑一圈需要多少分钟？（4）再过多久他们第二次相遇？解析：我们做行程问题要敏感，任何一个行程过程，只要知道三要素的两个，一定要反应出马上能求出第三个。
（1）“公路长2400米，巍巍骑一圈需要10分钟”，可知巍巍的速度：2400÷10=240（米/分）（2）“第一次相遇时巍巍骑了1440米”，那么可知巍巍用时1440÷240=6（分），这个也是他BA们第一次相遇时共同的用时。
（3）根据第一次相遇 S 和 = V 和 ·t 遇2400米 6分钟可求出速度和：2400÷6=400（米/分）铮铮的速度：400-240=160（米/分）铮铮骑一圈用时：2400÷160=15（分）（4）第一次相遇即合骑一圈，用了6分钟，第二次相遇即再合骑一圈，还是要用6分钟。
（尖子）学案2 黑白两只小猫在周长为300米的湖边赛跑，黑猫速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米，若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行（1）多少秒后两只小猫第一次相遇？（2）如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共相遇多少次？解析： 同时同地背向——相遇问题 S 和 = V 和 ·t 遇（1）第一次相遇 300米 5+7可求出相遇时间：300÷（5+7）=25（秒）（2）同地出发，每次相遇就是一种周期现象2×60=120（秒）120÷25=4（次）……20（秒）说明2分钟内共相遇4次。
（还多跑了20秒，但这20秒还没有相遇）练 在周长为220米的圆形跑道的一条直径的两端，涛涛、昊昊二人骑自行车分别以6米/秒和5米/秒的速度同时、相向出发（即一个顺时针，一个逆时针），沿跑道行驶，则210秒内涛涛昊昊相遇几次？ 解析：同时相向，肯定是相遇问题，但是起始地不是同地，所以要注意第一次很特殊。
S 和 = V 和 ·t 遇第一次相遇 110米 6+5 相遇时间：110÷（5+6）=10（秒）以后的每次相遇 220 6+5 相遇时间：220÷（5+6）=20（秒） 第一次相遇后又相遇：（210-10）÷20=10（次）共相遇： 10+1=11（次）例3 昊昊和涛涛在操场上比赛跑步，昊昊每分钟跑250米，涛涛每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么昊昊第一次超过涛涛需要多少分钟？昊昊第二次超过涛涛需要多少分钟？昊昊第三次超过涛涛需要多少分钟？有什么规律呢？解析： 同时、同地、同向——追及问题S 差 = V 差 ·t 追第一次超过 800米 250-210 追及时间：800÷（250-210）=20（分） 第二次超过 2×800米 250-210 追及时间：2×800÷（250-210）=40（分） 第三次超过 3×800米 250-210 追及时间：3×800÷（250-210）=60（分） 规律：每超过一次就是多跑一圈，每次的单次追及时间都是一样的，都是20分钟。
例4 甲乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后6分钟甲第一次超过乙，22分钟后甲第二次超过乙，假设两人速度保持不变，出发时，甲在乙后面多少米？解析：同时同向 ——追及问题S 差 = V 差 ·t 追第一次 6分 暂时只知道时间，无法求其他要素，那就先看其他过程第二次 400米 22-6 可以求出速度差注意第一次超过后，单看第二次的过程。
从第一次超过到第二次超过，甲比乙多走了1圈，用时22-6=16（分钟）速度差：400÷16=25（米/分）针对第一次的过程，可知原来甲与乙相差路程：25×6=150（米）例5 巍巍、铮铮两人在400米的环形跑道上跑步，巍巍以300米/分钟的速度从起点跑出，1分钟后，铮铮从起点同向跑出，又过了5分钟，巍巍追上铮铮。
请问：铮铮每分钟跑多少米？如果他们的速度保持不变，巍巍需要再过多少分钟才能第二次追上铮铮？解析： 注意两人不是同时开始，那么我们一定要转化到“同时”的时候。
巍巍先跑1分钟，他已经跑了300米，这时他和铮铮“同时”跑，5分钟后巍巍追上铮铮！那么我们知道是巍巍跑得快，他们第一次的路程差是400-300=100（米）根据 S 差 = V 差 ·t 追100米 5分速度差：100÷5=20（米/分）铮铮的速度：300-20=280（米/分）从第一次追上到第二次追上，巍巍比铮铮还要多跑一圈。
S 差 = V 差 ·t 追400米 20追及时间：400÷20=20（分）例6 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点同时 出发反向行走，他们在C 点第一次相遇，C 离A 点80米；在D 点第二次相遇，D 点离B 点60米，求这个圆的周长？ 解析： 首先判断，这是相遇问题S 和 = V 和 ·t 遇第一次相遇 合走半圈 假设用1份时间 第二次相遇 又合走一圈 用2份时间合计 共合走一圈半 共用3份时间第一次相遇时，小张从A 走到C，走了80米（即他在1份时间里走80米），那么到第二次相遇时，从A 到D（共用了3份时间），他一共走了80×3=240（米）。
半圈：240-60=180(米)，圆的周长：180×2=360（米）注：通过这个题，我们要掌握“倍比”的思想。
即 S = V ·t速度不变时，（1）时间增倍，那么所走的路程一定也增倍。
（2）路程增倍，所花的时间一定也增倍。
铮铮巍巍A B。
