2020-2021学年辽宁省联合校高二上学期9月月考数学试题及答案

辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知X 的分布列为：设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（ ） A ．16-B ．23C ．1D ．2936【答案】B 【分析】根据分布列的性质，求得13a =，得到()16E X =-，再由21Y X =+，即可求得随机变量Y 的期望. 【详解】由题意，根据分布列的性质，可得11126a ++=，解得13a =，所以随机变量X 的期望为()11111012636E X =-⨯+⨯+⨯=-， 又由21Y X =+，所以随机变量Y 的期望为()()12212()163E Y E X =+=⨯-+= 故选：B. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及期望的计算及性质的应用，其中解答中熟记分布列的性质和期望的公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2．某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ） A ．3p B ．()31p p -C ．3341C p pD ．334C p【答案】C 【分析】本题可通过n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率的求法得出结果. 【详解】因为次品率为p ，从中任意取出4件， 所以恰好含有3件次品的概率为3341C p p ， 故选：C.3．若n 是正奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋅⋅⋅+被9除的余数为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】C 【分析】由题意可得，此题求得是(91)1n--被9除的余数，利用二项式定理展开，可得结论【详解】解：因为n 是正奇数，则1122177771n n n n nn n n n C C C C ---+++⋅⋅⋅++-(71)1(91)1n n =+-=--1122199991n n n n nn n n n C C C C ---=-++⋅⋅⋅+--，所以它被9除的余数为12nn C --=-，即它被9除的余数为7，故选：C4．设随机变量()25,X N σ~，若()100.4P X a >-=，则()P X a >=A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】A 【详解】因为随机变量()25,X N σ~，所以(5)(5)P X P X >=<,因为(10)0.4P X a >-=，所以()0.6P X a >=,故选A.5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为( )A ．BCD ．【答案】C 【分析】首先求出向量OA OB λ+的坐标，及向量OA OB λ+的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为()1,?00A ，，()0,1,1B -， 所以()1,?00(0OA OB ，λλ+=+，1-，1)(1=，λ-，)λ， 1OA OB λ+=+2OB =()2OA OB OB λλ+⋅=，所以cos 112022==-，所以0λ<， 且4λ= 解得λ=，故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．23B ．35C ．12D ．25【答案】D 【分析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B，其概率为14361 ()5CP ABC==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2 (|)1()5215P ABP B AP A===.故选：D.【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84B．54C．42D．18【答案】C【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A AA=种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C AA=种.综上所述，共有182442+=种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．8．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222+x y a b =+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF的周长p 与面积S 满足p = ）A B C ．2D ．3【答案】C 【分析】由双曲线的定义知122AF AF a -=，结合四边形的周长知122pAF AF +=，得到1AF ，2AF 的长度，从而得到矩形21AF BF 的面积，再利用p =助勾股定理2221212AF AF F F +=得到,a c 关系，即可求得离心率.【详解】由双曲线的定义可知122AF AF a -=，又OA OB =，12OF OF =，可知四边形21AF BF 是平行四边形，所以122pAF AF +=联立解得14p AF a =+，24pAF a =-， 又线段12F F 为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形21AF BF 为矩形，所以四边形21AF BF 的面积221216p S AF AF a =⋅=-，又p =232p S =，即2223216p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2232p a =，由2221212AF AF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即2e =. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．二、多选题9．在()821x -的展开式中，下列说法正确的有（ ） A ．展开式中所有项的系数和为82 B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448- 【答案】BCD 【分析】由二项展开式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A ，令1x =，可知展开式中所有项的系数和为1，错误；对于B ，展开式中奇数项的二项式系数和为821282=，B 正确；对于C ，易知展开式中二项式系数的最大项为第五项，C 正确；对于D ，展开式中含3x 的项为()()35538C 21448x x -=-，D 正确.故选：BCD . 【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于基础题. 10．下列命题中，正确的命题是( )A ．已知随机变量服从(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则23p = B ．已知()()0.34,0.71P BA P B ==，则()0.37P BA =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为()~10,0.8X X B ，，则当8X =时概率最大【答案】BCD 【分析】选项A ：利用二项分布期望、方差公式计算判断； 选项B ：由互斥事件概率的加法公式计算判断； 选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出x k =，10k ≤，k ∈N 时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断. 【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，选项A 错误； 对于选项B ：A A +为必然事件，所以()B B A A BA B A =+=+，而BA 与B A 互斥，()()()()()()0.710.340.37P B P BA P BA P BA P B P BA ∴=+⇒=-=-=，选项B正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，()()110012P P p ξξ-<<=<<=-，选项C 正确；对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ， 当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP X k C -==⋅0.8⋅，所以当1k时，()()()10101110(1)104110.80.210.80.2kk kk k k P X k k C P X k C k-----=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P X k k P X k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤， 因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，又()()01P X P X =<=， 即8k时，概率()8P X =最大，故选项D 正确．故选：BCD 【点睛】二项分布的概率公式()(1)(,)k k n kn P X k C p p k N k n -==⋅-∈≤，可用作商法确定其中的最大值或最小值．11．已知曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（ ）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y = C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D ．存在实数k 使得曲线C 【答案】AB 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，对于A 总，当4k =时，曲线C 的方程为222x y +=，此时曲线C 表示圆心在原点，的圆，所以是正确的；对于B 中，当0k =时，曲线C 的方程为22162y x -=，可得a b ==曲线C 渐近线方程为y =，所以是正确的；对于C 中，当曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--表示焦点在x 轴上的双曲线时，则满足2060k k ->⎧⎨-<⎩，解得6k >，所以 “4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；对于D 中，当曲线C 的方程为22126x y k k+=--时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时26k k -=-，解得4k =，此时方程表示圆，所以不正确. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.12．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是A ．()1112DA A A B A BC =-+B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于2ACC ．异面直线AD 与1BCD ．若点E 到平面11ACC A EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以122a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，122a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即22202a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b a =．因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于1BB =．选项B 正确．对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，122a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,，因为2111cos ,6||||aBC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成C 正确． 对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1EF 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A EB ，即有12E F EB =，又因为在1CE F ∆中，112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.三、填空题13．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有________． 【答案】150【分析】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2，利用平均分堆方法计算分组个数，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内，利用排列知识及分步计算原理得解． 【详解】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2.这种分组方法一共有231455252C N C C =+⨯=，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内共有336A =种不同的分法.所以某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组的安排方法共有33256150M N A =⨯=⨯=种． 【点睛】本题主要考查了平均分堆方法，还考查了分类思想及排列计算，属于中档题． 14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“01-三角”在“01-三角”中，从第1行起，设第()n n N +∈次出现全行为1时，1的个数为n a ，则3a 等于_______．【答案】8 【分析】分析第6、7行各数，将所有的奇数全部转化为1，确定第三次出现全为1的情形所出现的行数，进而可求得3a 的值. 【详解】第1行和第3行全是1，已经出现2次，依题意，第6行原来的数是()606,rC r r N ≤≤∈，166C =为偶数，不合题意；第7行原来的数是()707rC r ≤≤，即1、7、21、35、35、21、7、1，一共有8个，全部转化为1，这是第三次出现全为1的情形，所以，38a =. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：求解有关杨辉三角型数阵的推理，一般要观察行之间数据的特点，进而利用归纳推理求解.15．将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配的方法总数为a ，则二项式53x a⎛ ⎝的展开式中含x 项的系数为__________．(用数字作答)【答案】52- 【分析】根据排列、组合的定义，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：2123126a C C A =⋅⋅=，所以553=2x x a⎛⎛ ⎝⎝，二项式52x ⎛ ⎝的通项公式为：455531551()(()(1)22r r r r r r rr x T C C x ---+=⋅⋅=⋅⋅-⋅，令45133r r -=⇒=，所以x 项的系数为3533515()(1)22C -⋅⋅-=-， 故答案为：52-16．已知M ，N 为抛物线28y x =上两点，O 为坐标原点，且90MON ∠=︒，则MN的最小值为______. 【答案】16 【分析】先设出直线MN 的方程，联立抛物线方程，利用判别式大于0来确定,M N 的存在性，设()11,M x y ，()22,N x y ，将90MON ∠=︒转化为向量相乘为0，利用根与系数的关系建立关系式，即可求出.【详解】设直线:MN x ty m =+，代入28y x =， 得2880y ty m --=，264320t m ∴∆=+>，即220t m +>，设()11,M x y ，()22,N x y ，128y y m ∴=-，90MON ∠=︒，12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，221212064y y y y ∴+=，280m m ∴-=，故8m =，12MN y y ∴=-==16≥，当且仅当20t =时等号成立，∴MN 的最小值为16.故答案为：16. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，这类综合应用题的特点是：计算过程特别复杂、繁琐，所以对计算能力要求较高.四、解答题17．（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占25%，二厂生产的占35%，三厂生产的占40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%,4%,2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 【答案】（1）0.75；（2）0.0345． 【分析】（1）利用条件概率的计算公式算出即可；（2）设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，任何利用()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++算出即可. 【详解】()1设A 表示“某天的空气质量为优良”，设B 表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得()()()()()0.8,0.6,0.75P BA P A P BA P B A P A ====所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是0.75()2设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，123,,A A A 两两互斥，且123A A A =Ω，由全概率公式得()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++因为()()()1230.25,0.35,0.4P A P A P A ===()()()1230.05,0.04,0.02P B A P B A P B A ===故()()()()()()()112233|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.050.350.040.40.02=⨯+⨯+⨯0.0345=所以从这批产品中任取一件是次品的概率是0.034518．（1）直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点()2,1P 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点()3,2P -，求圆的方程．【答案】（1）0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）()()22148x y -++=． 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合斜率存在情况，进行分类讨论，求得直线方程. （2）两种方法，方法一：设圆的标准方程，分别满足题干中条件，求得参数即可；方法二：由过圆心及切点的直线与切线垂直，从而求得圆心坐标，两点间距离求得半径，从而求得圆的方程. 【详解】（1）①当所求直线经过坐标原点且斜率不存在时，方程为0x =，符合题意 ②当所求直线经过坐标原点且斜率存在时，设其方程为y kx =，由点到直线的距离公式可得2=解得34k =-故所求直线的方程为34y x =-当直线不经过坐标原点且斜率存在时，依题意设所求直线为y x b =-+ 即0x y b +-=2=解得3b =±故所求直线的方程为3y x =-+±综上可知，所求直线的方程0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）法一：设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=则有()()222432b a a b r r ⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨=解得1,4,a b r ==-=所求圆的方程为()()22148x y -++=法二：过切点()3,2P -且与10x y +-=垂直的直线23y x +=-由423y x y x =-⎧⎨+=-⎩，得14x y =⎧⎨=-⎩所以圆心为()1,4-所以半径r ==所以所求圆的方程为()()22148x y -++= 【点睛】关键点点睛：（1）对斜率的存在情况分类讨论求解；（2）利用圆与切线的关系求得圆中参数.19．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X ，Y ，由于~(6,3,4)X H ，2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，分别写出分布列，再求期望值均为2；（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：~(6,3,4)X H ，∴1223461(1)5C C P X C ⋅===，4212363(2)5C C P X C ⋅===，3042361(3)5C C P X C ⋅===， ∴X 的分布列为：∴1232555EX =⨯+⨯+⨯=．2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴0303211(0)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132162(1)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 212321124(2)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333218(3)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴Y 的分布列为：∴01232279927EY =⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）2221312(12)(22)(32)5555DX =⨯-+-⨯+-⨯=，2121333(3)DY np p =-=⨯⨯=，∵DX DY <，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.20．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2）1130【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的中点.二面角P AC E--.（1）求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值； （2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）3；（2）3. 【分析】（1）建立空间坐标系，根据二面角大小计算PC ，得出平面EAC 的法向量m ，计算PA 与m 的夹角得出线面角的正弦值；（2）计算CD 与平面ACE 的夹角正弦值，再计算D 到平面ACE 的距离. 【详解】（1）取AB 的中点F ，连接CF ，//CD AB ，12CD AB AF ==，AB AD ⊥，AD CD =， ∴四边形ADCF 是正方形，CF AB ∴⊥，CF CD ∴⊥，以C 为原点，以CD ，CF ，CP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系C xyz -， 设PC h =，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，11,,222h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,0,P h ，∴()1,1,0CA =，11,,222h CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()1,1,AP h =--，设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m CA m CE ⎧=⎨=⎩，即0110222x y hx y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令1x =可得21,1,m h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面PAC 的一个法向量为(),,n a b c =，则·0·0n CA n AP ⎧=⎨=⎩，即00a b a b hc +=⎧⎨--+=⎩，则0b ac =-⎧⎨=⎩，令1a =，则()1,1,0n =-，·cos ,2m n m n m n∴<>==⨯，二面角P AC E --的余弦值为3，∴3=，解得2h =，∴()1,1,2AP =--，()1,1,1m =-，·cos 36,AP m AP m AP m∴<>=== ∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3；（2）由（1）可得()1,0,0CD =，则·1cos 1,CD m CD m CD m<>===⨯ 设直线CD 与平面EAC 所成角为α，则sin α=， D ∴到平面EAC 的距离为·sin CD α=.【点睛】本题主要考查求线面角的正弦值，考查求点到面的距离，利用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是e ，定义直线eby =±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±，长轴长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点（点E ，F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）5656⎡-⎢⎣⎦. 【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得216a =，212b =，24c =，则椭圆方程可求；（2）分直线l x ⊥轴与直线l 不垂直于x 轴两种情况讨论，当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立直线方程与椭圆方程，消元由0∆>，得到2216120k t -+>，再列出韦达定理，由AE AF ⊥则0AE AF ⋅=，解得47k t =-，再由2OP OE OF =+，求出P 的坐标，则178AP k k k=+，再利用基本不等式求出取值范围；【详解】解：（1）由题意得：e b ab c==28a =，又222a b c =+， 联立以上可得：216a =，212b =，24c =，∴椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）得()4,0A ，当直线l x ⊥轴时，又AE AF ⊥，联立224,1,1612y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2732160x x -+=， 解得47x =或4x =，所以47E F x x ==，此时4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0. 当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠）， 联立223448y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()2223484480k x ktx t +++-=， 依题意()()2222644344480k t k t ∆=-+->，即2216120k t -+>（*）且122834kt x x k +=-+，212244834t x x k-⋅=+. 又AE AF ⊥，()()()()()()121212124444AE AF x x y y x x kx t kx t ∴⋅=-⋅-+⋅=-⋅-+++()()222212122732161(4)16034t kt k k x x kt x x t k ++=+⋅+-+++==+， 22732160t kt k ∴++=，即()()7440t k t k ++=，47k t ∴=-且t 满足（*）， ()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫∴=+=++=- ⎪++⎝⎭，2243,3434kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭， 故直线AP 的斜率2222331344716412874834AP t t k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++， 当0k <时，7788k k k k ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭当且仅当78k k -=-，即4k =-时取等号，此时056AP k -≤<；当0k >时，78k k +≥=78k k =，即4k =时取等号，此时0AP k <≤；综上，直线AP 的斜率的取值范围为5656⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.。

2022－2023学年度上学期辽西联合校高三期中考试数学试题一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B = （）A.{}|12x x -<≤ B.{}|01x x ≤<C.{}|01x x ≤≤ D.{}|02x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】根据交集的知识确定正确选项.【详解】依题意A B = {}|01x x ≤<.故选：B2.命题“x ∃∈R ，2330x x -+<”的否定是（）A.x ∀∈R ，2330x x -+>B.x ∀∈R ，2330x x -+≥C.x ∃∈R ，2330x x -+>D.x ∃∈R ，2330x x -+≥【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.【详解】由特称命题的否定的概念知，“x ∃∈R ，2330x x -+<”的否定为：x ∀∈R ，2330x x -+≥．故选：B ．3.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据命题的充分必要性直接判断.【详解】对于不等式11a <，可解得1a >或a<0，所以1a >可以推出11a <，而11a<不可以推出1a >，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件．故选：A.4.已知函数()2f x x =，则()()()11limx f x f x∆→+∆-=∆A.4 B.2C.1D.0【答案】B 【解析】【分析】根据极限的定义计算即可.【详解】()()()()2200011112lim limlim lim 22x x x x f x f x x xx xxx∆→∆→∆→∆→+∆-+∆-∆+∆===∆+=∆∆∆；故选：B.5.已知角θ的终边经过点(1,2)P ，则sin()sin cos πθθθ-=+（）A.13-B.13C.23-D.23【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的定义得tan θ，再由诱导公式和弦化切公式可得选项.【详解】角∵θ的终边经过点(1,2)P ，则2tan 21θ==，∴sin()sin tan 2sin cos sin cos tan 13πθθθθθθθθ-===+++，故选：D ．6.若0.12a =，0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.1c =，则（）A.b a c >> B.b c a>> C.a b c>> D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可.【详解】0.20.20.112202b a -⎛⎫==>=> ⎪⎝⎭，由对数函数的性质可得2log 0.10c =<，故b a c >>.故选：A【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题.7.已知奇函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()20f -=，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A .（－∞，－2）∪（0，2）B.（－2，0）∪（2，＋∞）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－2，0）∪（0，2）【答案】C 【解析】【分析】首先根据题意得到函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，再结合单调性解不等式即可.【详解】因为奇函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()20f -=，所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，所以当(),2x ∈-∞-，0x <，()0f x >，满足()0xf x <，当()2,0x ∈-，0x <，()0f x <，不满足()0xf x <，当()0,2x ∈，0x >，()0f x >，不满足()0xf x <，当()2,x ∈+∞，0x >，()0f x ，满足()0xf x <，综上：()0xf x <的解集为()(),22,∞∞--⋃+.故选：C8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()e 1xf x x =+，则下列结论中错误的是（）A.当0x >时，()()e 1xf x x -=--B.函数()f x 有3个零点C.()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D.12,R x x ∀∈，都有()()122f x f x -<【答案】A 【解析】【分析】由奇函数求出0x >的解析式即可判断A 选项；解方程求出零点即可判断B 选项；解分段函数不等式即可判断C 选项；求导确定单调性得出函数图象，即可判断D 选项.【详解】对于A ，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，()()()e 1x f x x f x --=-+=-，则()()()e 1e 1x x f x x x --=--+=-，A 错误；对于B ，易得()00f =，当0x <时，()()e10xf x x =+=，可得=1x -；当0x >时，()()e 10xf x x -=-=，可得1x =，则函数()f x 有3个零点，B 正确；对于C ，由()()()e 1,00,0e 1,0x x x x f x x x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，当0x <时，由()()e 10xf x x =+<得1x <-；当0x >时，由()()e10xf x x -=-<得01x <<，则()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 正确；对于D ，当0x <时，()()e 1xf x x =+，()()e 2x f x x '=+，当<2x -时，()0f x '<，()f x 单减，此时()0f x <；当20x -<<时，()0f x ¢>，()f x 单增，()10f -=，0x →时，()1f x →；2x =-时，()f x 有极小值()212e f -=-；结合函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()f x的图象，结合图象知，()f x 的值域为()1,1-，则12,R x x ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 正确.故选：A.二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知平面向量()()2,1,4,8a b =-=，则（）A.//a bB.a b⊥ C.()2,9a b +=D.()6,7a b -=--【答案】BCD 【解析】【分析】应用向量数量积的坐标运算可得0a b ⋅= ，由向量坐标的线性运算求a b + 、a b - ，即可得答案.【详解】由题设，()()2,14,824180a b ⋅=-⋅=-⨯+⨯= ，故a b ⊥ ，A 错误，B 正确；()()2,14,8(2,9)a b +=-+=，C 正确；()()2,14,8(6,7)a b -=--=--，D 正确.故选：BCD10.设集合{}{}27120,10A x x x B x ax =-+==-=，若A B A ⋃=，则实数a 的值可以为（）A.14B.0C.3D.13【答案】ABD 【解析】【分析】解方程可得集合A ，再结合集合间运算结果分情况讨论.【详解】由A B A ⋃=，得B ⊆又{}{}271203,4A x x x =-+==，当B =∅时，即0a =，B A ⊆成立；当B ≠∅时，{}3B =，13a =，或{}4B =，14a =，故选：ABD.11.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称B.函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称C.函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减D.该图象向右平移π6个单位可得2sin 2y x =的图象【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的图象，可求出()f x 的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.【详解】由函数的图象可得2A =，周期ππ4π312T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2π2π2πT ω===，当π12x =时，函数取得最大值，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ22π122k ϕ⨯+=+()k ∈Z ，则π2π3k ϕ=+，又π2ϕ<，得π3ϕ=，故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A ，当π6x =-时，πππ2sin 22sin 00663f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心，故A 正确；对于B ，当5π12x =-时，5π5πππ2sin 22sin 2121232f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即直线5π12x =-是函数()f x 的一条对称轴，故B 正确；对于C ，令ππ3π+2π2+2π232k x k ≤+≤()k ∈Z ，解得π7π+π+π1212k x k ≤≤，则函数()f x 的单调递减区间为π7π+π,+π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，故C 错误；对于D ，将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到ππ2sin 222sin 263y x x ⎛⎫=-⨯+=⎪⎝⎭的图象，即D 正确.故选：ABD.【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查推理能力与计算求解能力，属中档题.12.已知函数()()2,01|ln 1,1x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-⎪⎩，若方程()2f x kx =-有两个不相等的实数根，则实数k 的取值可以是（）A.12B. C.3D.4【答案】CD 【解析】【分析】作出函数()()2,01|ln 1,1x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-⎪⎩的大致图象，将方程()2f x kx =-有两个不相等的实数根，转化为2y kx =-与()y f x =图象有2个交点的问题，数形结合，求出参数的范围，可得答案【详解】如图，作出函数()()2,01|ln 1,1x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-⎪⎩的大致图象，当2x ≥时，1()ln(1),()1f x x f x x '=-=-，故()f x 在点(2,0)处的切线斜率为1121=-，直线2y kx =-过定点(0,2)-，当01k <≤时，2y kx =-与()y f x =图象有一个交点；直线2y kx =-过点(1,1)时，3k =，此时2y kx =-与()y f x =图象有2个交点；当13k <<时，2y kx =-与()y f x =图象有一个交点；当3k >时，2y kx =-与()y f x =图象有2个交点；综上，当3k ≥时，2y kx =-与()f x 图象有2个交点，故方程()2f x kx =-有两个不相等的实数根，则实数k 的取值可以是3，4，故选：CD三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.若()1,2a = ，(),3b x x =- ，a b ∥ ，则x 的值为______．【答案】1【解析】【分析】根据向量平行的充要条件即可求得.【详解】解：a b∥ ∴123x x=-，解得1x =．故答案为：114.一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为____________度．【答案】120【解析】【分析】设扇形的半径为r ，圆心角为n ︒，根据弧长与扇形面积公式得到方程组，解得即可.【详解】解：设扇形的半径为r ，圆心角为n ︒，依题意可得2618027360n rn r ππππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得9120r n =⎧⎨=⎩；故答案为：12015.设2a = ，3b = ，36a b -= ，则向量a 与b的夹角的余弦值为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用向量的夹角公式直接求得．【详解】因为2a =，3b = ，36a b -= ，所以22239636a b a a b b -=-⋅+= ，即946936a b ⨯-⋅+=，所以32a b ⋅= ，即323cos ,2a b ⨯⨯= ，所以1cos ,4a b = ．因为[],0,πa b ∈，所以向量夹角的余弦值为14．故答案为：14．16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为8311,1,11n S a a S +=-=-，则n nS 的最大值为_____.【答案】54【解析】【分析】先求出等差数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ，再利用导数求n nS 的最大值即可.【详解】解：因为{}n a 是等差数列，且有34111,11a a S +=-=-，所以11291115511a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得141a d =⎧⎨=-⎩，所以5n a n =-，(9)2n n n S -==2922n n-+，令329()22n n n f n nS ==-+，所以2'33(6)()922n n n f n n --=-+=，因为*N n ∈，所以当16n ≤≤时，'()0f n ≥，()f n 单调递增；当7n ≥时，'()0f n <，()f n 单调递减；所以max ()(6)54f n f ==，故答案为：54.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17.已知等差数列{}n a 满足32a =，前4项和47S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，415b a =，数列{}n b 的通项公式．【答案】（1）1122n a n =+（2）12n n b -=或()12n n b -=--【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件列关于1a 和d 的方程组，解方程求得1a 和d 的值，即可求解；（2）等比数列{}n b 的公比为q ，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得1b 和q 的值，即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+【小问2详解】设等比数列{}n b 首项为1b ，公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩解得：24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos ,cos m A B = ，(),2n a c b =- ，且//m n ．（1）求角A 的大小；（2）若4a b ==，，求ABC 面积．【答案】（1）3π（【解析】【分析】（1）由已知利用平面向量平行的运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sin C 不为0，求出cos A 的值，即可求出A 的度数；（2）由a ,b 与A 的值，利用正弦定理列出关系式，求出B 值进而得C 角，再由三角形ABC 面积公式即可求值．【详解】解：（1）由//m n 得，(2)cos cos 0c b A a B --=，由正弦定理可得，(2sin sin )cos sin cos 0C B A A B --=，可得：2sin cos sin()0C A A B -+=，即：2sin cos sin 0C A C -=，由sin 0C ≠，可得：1cos 2A =，又(0,)A π∈，可得：3A π=．（2）由已知及正弦定理得sin sin a b A B =即43sin sin 3B π=可得1sin 2B =a b > A B ∴>即B=6π故C=2πABC ∆的面积114383sin 4=2233S ba C ==⨯⨯．【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基本题．19.设函数3()1f x ax bx =++在1x =处取得极值-1.（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）1,3a b ==-（2）()f x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调递减区间为()1,1-.【解析】【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出1,3a b ==-；（2）结合第一问得到单调区间.【小问1详解】2()3f x ax b '=+，由题意得：30f a b '+=，(1)11f a b =++=-，解得：1,3a b ==-，此时()()2()33311f x x x x '=-=+-，当11x -<<时，()0f x '<，当1x <-或1x >时，()0f x '>，故1x =为极值点，满足题意，所以1,3a b ==-.【小问2详解】由（1）可知：当11x -<<时，()0f x '<，当1x <-或1x >时，()0f x '>，故()f x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调递减区间为()1,1-20.已知函数()cos cos 2,f x x x x x =-∈R ．（1）求函数()f x 在()0,π上的单调区间；（2）在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若12A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3a =，求ABC 的周长的取值范围．【答案】（1）单调增区间是50,,36πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，单调减区间是536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）(]6,9【解析】【分析】（1）根据题意得()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，进而求得函数的单调区间，再结合()0,x π∈求解即可；（2）根据题意求得3A π=，进而结合余弦定理得2()39b c bc +-=，再根据基本不等式求解即可.【小问1详解】解：()cos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，由222Z 262k x k k πππππ-≤-≤+∈，得Z 63k x k k ππππ-≤≤+∈，3222Z 262k x k k πππππ+≤-≤+∈，，得65Z 3k x k k ππππ+≤≤+∈，因为()0,x π∈，所以，当1k =时得单调递增区间为5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；当0k =时得单调递增区间为3π⎛⎤ ⎥⎝⎦0，，单调递减区间为536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.所以函数()f x 在()0,π上的单调增区间是50,,36πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，单调减区间是536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【小问2详解】解：由（1）有，2sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为A 为锐角，,663A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以66A ππ-=，即3A π=，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，所以2292cos3b c bc π=+-⋅，所以229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，又22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()223()94b c b c ++-≤，得6b c +≤，当且仅当3==b c 时取等号，又3b c a +>=，所以(]6,9a b c ++∈，所以，ABC 周长的取值范围是(]6,921.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设216n n n c a a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，是否存在正整数k ，使得23n T k k <-对于*n ∈N 恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2n a n=（2）存在，k 的最小值为4【解析】【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得n T ，求得n T 的取值范围，结合二次函数的性质求得k 的最小值.【小问1详解】依题意2n S n n =+，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，当1n =时上式也符合，所以2n a n =.【小问2详解】()()21616411222222n n n c a a n n n n n n +⎛⎫==== ⎪⋅+++⎝⎭，1111111112132435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111213221212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，n T 为单调递增数列，111432233T ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则433n T <≤，所以2233,330k k k k -≥--≥，函数()233f x x x =--的对称轴为32x =，()()11335,24635f f =--=-=--=-，()()39933,4161231f f =--=-=--=当32x ≥时，()f x 递增.所以使2330k k --≥成立的正整数k 的最小值为4.22.已知函数()324f x x ax =-+-，其中a 为实常数．（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若存在()00,x ∈+∞，使得不等式()00f x >成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）35y x =-（2）答案详见解析（3）()3,+∞【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（3）结合（2），对a 进行分类讨论，结合()f x 的单调区间、最值，求得a 的取值范围.【小问1详解】()()32'234,36f x x x f x x x =-+-=-+，所以()()'12,13f f =-=，所以切线方程为()()231,35y x y x --=-=-.【小问2详解】()f x 的定义域为R ,()'223233f x x ax x x a ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当a<0时，()f x 在区间()()()'2,,0,,0,3a f x f x ⎛⎫-∞+∞< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'2,0,0,3a f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.当0a =时，()'0f x ≤，()f x 在R 上递减.当0a >时，()f x 在区间()()()'2,0,,,0,3a f x f x ⎛⎫-∞+∞< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'20,,0,3a f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.【小问3详解】由（2）知：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上递减，()()040f x f <=-<，不符合题意.当0a >时，在区间()0,∞+上，)3max 244327a x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，依题意可知344027a ->，解得3a >.综上所述，a 的取值范围是()3,+∞.第17页/共17页。

辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一上学期期末考试试题数学【含答案】第Ⅰ卷（选择题60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分） 1. 已知向量()1,2a =，()6,b k =-，若//a b ，则k =（ ） A. -12B. 12C. 3D. -32. 疫情期间，各地教育部门及学校为了让学生在家中学习之外可以更好地参与活动，同时也可以增进与家人之间的情感交流，鼓励学生在家多做家务运动，因为中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑.经调查，某校学生有70%的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，30%的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响.现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（ ） A. 30B. 70C. 80D. 1003. 从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）A. “至少一个白球”和“都是红球”B. “至少一个白球”和“至少一个红球”C. “恰有一个白球”和“恰有一个红球”D. “恰有一个白球”和“都是红球” 4. 在同一直角坐标系中，函数()()0af x xx =≥，()log a g x x =的图像可能是（ ）A. B. C. D.5. 函数()2()ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,eD. ()3,46. 已知0.13a =，()30.9b =，2log 0.2c =，则（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. c b a <<D. c a b <<7. 某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003……899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（ ）05 26 93 70 60 22 35 85 58 51 51 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48 A. 680B. 585C. 467D. 1598. 区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性（防伪）和生成下一个区块.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ）（参考数据lg 20.3010≈，lg30.477≈） A. 734.510⨯秒B. 654.510⨯秒C. 74.510⨯秒D. 28秒二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）9. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）A. 成绩在[)70,80的考生人数最多B. 不及格的考生人数为500C. 考生竞赛成绩的众数为75分D. 考生竞赛成绩的中位数约为75分 10. 下列有关向量命题，不正确的是（ ）A. 若{},a b 是平面向量的一组基底，则{}2,2a b a b --+也是平面向量的一组基底 B. a ，b ，c 均为非零向量，若//a b ，//b c ，则//a c C. 若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ= D. 若1a =，6b =，则a b +的取值范围[]5,711. 已知函数2()4xf x x a =++，下列命题正确的有（ ） A. 对于任意实数a ，()f x 为偶函数 B. 对于任意实数a ，()0f x >C. 存在实数a ，()f x 在(),1-∞-上单调递减D. 存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞12. 直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，（0m >，0n >），则下列结论正确的是（ ）A.12m n+为常数B. 2m n +的最小值为3C. m n +的最小值为169 D. m 、n 的值可以为：12m =，2n = 第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4个小题.每小题5分，共20分）13. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为_________.14. 已知()y f x =是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，若()0x f x ⋅≥，则x 的取值范围是________. 15. 求值：23lg121812log lg(21)427100-⎛⎫-++= ⎪⎝⎭________. 16. 已知函数21221(0)()log (0)x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则a 的最小值是________，()41223416x x x x x ⋅++⋅的最大值是__________. 四、解答题：本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7，记事件A ：甲破译密码，事件B ：乙破译密码. （Ⅰ）求甲、乙二人都破译密码的概率； （Ⅱ）求恰有一人破译密码的概率；（Ⅲ）某同学在解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”所以随机事件“密码被破译”可以表示为A B +，所以()()()0.80.7 1.5P A B P A P B +=+=+=请指出该同学错误的原因？并给出正确解答过程.18. 已知集合1284x A x⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，{}22210B x x mx m =-+-<，{}2C x x m =-<. （Ⅰ）若2m =，求集合AB ；（Ⅱ）在B ，C 两个集合中任选一个，补充在下面问题中，命题p ：x A ∈，命题q ：x ∈________，求使p 是q 的必要非充分条件的m 的取值范围.19. 工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了36件产品，并得到如表统计表，该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见表.质量指标Y[)9.8,10.2[)10.2,10.6[]10.6,11.0频数 6 18 12 年内所需维护次数21（Ⅰ）每组数据取区间的中点值，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）； （Ⅱ）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标至少有一个在[)10.2,10.6内的概率；（Ⅲ）已知该厂产品的维护费用为200元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加50元，该产品即可一年内免费维修一次，将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用，假设这36件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？ 20. 如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足13AP AB =，Q 是OB 中点.（Ⅰ）若()0,0O ，()1,3A ，8,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且13ON OA =，求NQ 的坐标和模？ （Ⅱ）若AQ 与OP 的交点为M ，又OM tOP =，求实数t 的值.21. 已知函数()33()log 3log 9axf x x =⋅（常数a R ∈）. （Ⅰ）当0a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（Ⅱ）当1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值.22. 已知函数()()2()log 0f x x a a =+>.当点(),M x y 在函数()y g x =图象上运动时，对应的点()3,2N x y 在函数()y f x =图象上运动，则称函数()y g x =是函数()y f x =的相关函数.（Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x <；（Ⅱ）对任意的()0,1x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的下方，求a 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x g x =-，()0,1x ∈.当1a =时，求()F x 的最大值.答案一、【单项选择题】 1-5：ABDDB 6-8：CAB【详细解答】1、由题意，因为()1,2a =，()6,b k =-，且//a b ，所以12k =-，故选A ；2、因为在总体中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学有70%，所以在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学应抽取10070%70⨯=人， 故选B ；3、A 选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，也是对立事件；B 选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件；C 选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”同样有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件；D 选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都是白球”事件，故不是对立事件；可知只有D 正确； 4、函数()0ay xx =≥与()log 0a y x x =>，选项A 中没有幂函数图像； 选项B 中()0ay x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合； 选项C 中()0ay x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合；选项D 中()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D ；5、考察零点的存在性定理，由于2()ln(1)f x x x=+-，可知()f x 在()0,+∞单调递增， 依次带入数值：()1ln220f =-<，()2ln310f =->，可知存在()01,2x ∈，使得()00f x =. 故选B ；6、0.10331a =>=，30(0.9)1<<，22log 0.2log 10c =<=，所以c b a <<，故选C.7、由已知，从第一行的第5个数开始，即从数字“9”开始，每次选取三位数进行抽取：937（超范围，剔除），060（保留），223（保留），585（保留），585（重复，剔除），151（保留），035（保留），159（保留），775（保留），956（超范围，剔除），780（保留） 故留下的8个编号为：060，223，585，151，035，159，775，780， 按从小到大的顺序进行排序为：035，060，151，159，223，585，775，780， 因为数据的个数为8，而且875%6⨯=，所以样本编号的75%分位数为5857756802+=，故选A 8、设这台机器破译密码所需时间大约为x 秒，则112562.5102x ⨯⨯=，两边同时取以10为底的对数可得：()11256lg 2.510lg 2x ⨯⨯=，即lg 12lg 211256lg 2lg 258lg 21265.658x x +-+=⇒=-≈， 可得65.658650.658101010x ≈=⨯，又9lg 4.5lg 2lg 3lg 20.6532==-≈， 所以0.65810可以近似表示为4.5，故654.510x ≈⨯，故选B二、【多项选择题】9、AC 10、AC 11、ACD 12、ABD 【详细解答】9、由频率分布直方图可知，成绩在[]70,80的频率最大，因此成绩分布在此的考生人数最多，故A 正确；成绩在[]40,60的频率为0.005100.015100.2⨯+⨯=，故不及格的人数为20000.2400⨯=，故B 不正确；成绩在[]70,80的频率最大，故众数为75，故C 正确；成绩在[]40,70的频率和为0.4，所以中位数为0.1701073.330.3+⨯≈，故D 错误；故选AC 10、由基底向量的概念，()22a b a b -=--，两向量平行，不能做基底，故A 错误；由于a ，b ，c 均为非零向量，所以//a b ，//b c ，则a 一定平行于c ，B 正确；若//a b ，使得a b λ=，要强调0b ≠，C 错误；由定义可知，D 选项正确. 故选不正确的为AC.11、函数2()4x f x x a =++，①对于选项A ：由于x R ∈，且()()f x f x -=，故函数()f x 为偶函数.故选项A 正确.②对于选项B ：当0x =时2a =-时，()0f x <，故选项B 错误.③对于选项C ：由于函数()f x 的图象关于y 轴对称，在0x >时，函数为单调递增函数，在0x <时，函数为单调递减函数，故()f x 在(),1-∞-上单调递减，故选项C 正确.④对于选项D ：由于函数的图象关于y 轴对称，且在0x >时，函数为单调递增函数，在0x <时，函数为单调递减函数，故存在实数0a =时， 使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞，故选项D 正确. 故选ACD.12、P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，则1233AP AB AC =+， 若AM mAB =，AN nAC =，则1233AP AM AN m n =+，又由M 、P 、N 三点共线，则12133m n+=， 可得123m n +=；故12m n+为常数，故A 正确； 对于B ，1121222(2)533m n m n m n m n n m ⎛⎫⎡⎤+=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1225233m n n m ⎡⎤≥+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当22m nn m=，即1m n ==时等号成立，则2m n +的最小值为3，故B 正确； 对于C ，11212()333m n m n m n m n n m ⎛⎫⎡⎤+=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦122232133m n n m ⎡⎤≥+⨯⨯=+⎢⎥⎣⎦， 当且仅当2n m =时等号成立，故C错误；对于D ，当12m =，2n =，满足123m n +=，此时M 为AB 的中点，C 为AN 的中点，符合题意，故D 正确；故选ABD.三、【填空题】13、13 14、(][),22,-∞-+∞【写成2x ≤-或2x ≥或集合也给满分】15、-3 16、1；4【第一空2分，第二空3分】 【详细解答】13、由题意可得79788280858694968688x x ++++++++=⇒=81808352yy ++=⇒=，所以13x y +=.14、由题意画图，当2x ≥时，()0f x ≥，故()0x f x ⋅≥成立； 当02x <<时，()0f x <，故()0x f x ⋅<不成立； 当20x -<<时，()0f x >，故()0x f x ⋅<不成立； 当2x ≤-时，()0f x ≤，故()0x f x ⋅≥成立； 综上，x 的取值范围是：2x ≤-或2x ≥. 15、23lg121812log lg(21)427100-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭1921344=--+=-. 故答案为-3.16、画出21221(0)()log (0)x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩的图像有：因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，故()f x 的图像与y a =有四个不同的交点，又由图，()01f =，()12f -=，故a 的取值范围是[)1,2，故a 的最小值是1.又由图可知，1212122x x x x =-⇒+=-+，0.530.54log log x x =， 故0.530.540.534log log log 0x x x x =-⇒=，故341x x =， 故()4124234416162x x x x x x x ⋅++=-⋅+. 又当1a =时，0.544log 12x x -=⇒=.当2a =时，0.544log 24x x -=⇒=， 故[)42,4x ∈.又44162y x x +=-在[)42,4x ∈时为减函数，故当42x =时，44162y x x +=-取最大值162242y +=-⨯=. 四、【解答题】【详细答案】 17、【解析】（Ⅰ）由题意可知()0.8P A =，()0.7P B =，且事件A ，B 相互独立， 事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB ， 所以()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=；（Ⅱ）事件“恰有一人破译密码”可表示为AB AB +，且AB ，AB 互斥， 所以()()()P AB AB P AB P AB +=+()()()()P A P B P A P B =+0.20.70.80.30.38=⨯+⨯=.（Ⅲ）错误原因：事件A ，B 不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式. 正确解答过程如下：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”， 可以表示为AB AB AB ++，且AB ，AB ，AB 两两互斥，所以()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB ++=++()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.20.70.80.30.80.70.94=⨯+⨯+⨯=.【※注意※】记C =“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以()()()()1110.20.30.94P C P AB P A P B =-=-⋅=-⨯=. 18、【解析】（Ⅰ）由已知，将2m =代入22210x mx m -+-<，可得2430x x -+< ，解得13x <<，即{|13}B x x =<<. 又{}231282224x x A x A x -⎧⎫=<≤⇒=<≤⎨⎬⎩⎭{}23A x x ⇒=-<≤， 所以{}13AB x x =<<.（Ⅱ）若选B ：由22210x mx m -+-<，得[][](1)(1)0x m x m ---+<， ∴11m x m -<<+，∴{}|11B x m x m =-<<+， 由p 是q 的必要非充分条件，得集合B 是集合A 的真子集， ∴1213m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤，若选C ：由2x m -<，得22m x m -<<+， ∴{}|22C x m x m =-<<+，由p 是q 的必要非充分条件，得集合C 是集合A 的真子集，∴2223m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01m ≤≤. 19、【解析】解：（Ⅰ）指标Y 的平均值为：10610.41810.812376.810.473636Y ⨯+⨯+⨯==≈.（Ⅱ）由分层抽样方法知：先抽取的6件产品中，指标Y 在[)9.8,10.2的有1件，记为A ，在[)10.2,10.6的有3件，记为1B ，2B ，3B ，在[]10.6,11.0的有2件，记为1C ，2C ， 从6件中随机抽取2件，共有15个基本事件分别为：()1,A B ，()2,A B ，()3,A B ，()1,A C ，()2,A C ，()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()23,B B ，()21,B C ，()22,B C ，()31,B C ，()32,B C ，()12,C C ，其中满足条件的基本事件有12个，分别为：()1,A B ，()2,A B ，()3,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()23,B B ，()21,B C ，()22,B C ，()31,B C ，()32,B C ，所以这2件产品的指标至少有一个在[)10.2,10.6内的概率为：124155P ==. （Ⅲ）设每件产品的售价为x 元，假设这36件产品每件都不购买服务，则平均每件产品的消费费用为：1400(36640012200)363s x x =+⨯+⨯=+（元）， 假设这36件产品每件都购买该服务，则平均每件产品的消费费用为：[]125040036(50)62003633s x x x =++⨯=+<+， 所以该服务值得消费者购买. ………12分 20、【解析】解：（Ⅰ）根据题意，Q 是OB 中点，即12OQ OB =，又13ON OA =，且()1,3A ，,03B 8⎛⎫⎪⎝⎭， 可知4,03OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,11,13ON NQ OQ ON ⎛⎫=⇒=-=- ⎪⎝⎭， 且()22112NQ =+-=.（Ⅱ）如图因为13AP AB =， 所以()13OP OA OB OA -=-，可以化简为：2133OP OA OB =+，又OM tOP =，所以2123333t tOM tOP t OA OB OA OB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭①不妨再设AM AQ μ=，即()()1OM OA OQ OA OM OA OQ μμμ-=-⇒=-+，由Q 是OB 的中点，所以12OQ OB =， 即()12OM OA OB μμ=-+②由①②，可得213t μ-=，3234t t μ=⇒=. 【※注意※】若学生在处理21222333333t t t tOM tOP t OA OB OA OB OA OQ ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭， 直接由A ，M ，Q 三点共线，即2231334t t t +=⇒=，扣除2分，若能证明共线的条件，则不扣分. 21、【解析】解：（Ⅰ）当0a =时，()33()log log 2f x x x =⋅-，由()0f x ≤得()33()log log 2f x x x =⋅-，即：33330log 2log 1log log 9x x ≤≤⇒≤≤，解得：19x ≤≤， 所以()0f x ≤的解集为{}19x x ≤≤.（2）()()()333333()log 3log log 3log log log 99aa xf x x x x =⋅=+⋅- ()()33log log 2x a x =+⋅-()233log (2)log 2x a x a =+-⋅-.令3log u x =，因为1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]2,3u ∈-， 若求()f x 在1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值， 即求函数2()(2)2g u u a u a =+-⋅-在[]2,3u ∈-上的最小值，222(2)()24a a g u u -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭时，[]2,3u ∈-，对称轴为22a x -=. ①当232ax -=≥时，即4a ≤-时， 函数()g u 在[]2,3-为减函数，所以min ()(3)3g u g a ==+；②当2232a--<<时，即46a -<<时， 函数()g u 在32,2a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，在3,32a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，所以 2min2(2)()24a a g u g -+⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ③当222ax -=≤-，即6a ≥时， 函数()g u 在[]2,3-为增函数，min ()(2)84g u g a =-=-.综上，当4a ≤-时，()f x 的最小值为3a +；当46a -<<时，()f x 的最小值为()224a +-；当6a ≥时，()f x 的最小值为84a -.22、【解析】 解：（Ⅰ）依题意，20log ()1x a x a +>⎧⎨+<⎩，则02x a x a +>⎧⎨+<⎩，解得2a x a -<<-，所求不等式的解集为(),2a a --.（Ⅱ）由题意，()22log 3y x a =+，即()f x 的相关函数为()21()log 32g x x a =+， 由已知，对任意的()0,1x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的下方， 所以当()0,1x ∈时，221()()log ()log (3)02f xg x x a x a -=+-+<恒成立， 由0x a +>，30x a +>，0a >得3a x >-， 在此条件下，即()0,1x ∈时，222log ()log (3)x a x a +<+恒成立，即()23x a x a +<+，即()22230x a x a a +-+-<在()0,1上恒成立，所以2201230a a a a a ⎧-≤⎨+-+-≤⎩，解得01a <≤， 故实数a 的取值范围为(]0,1.（Ⅲ）当1a =时，由（Ⅱ）知在区间()0,1上，()()f x g x <， 所以()22131()()()()()log 21x F x f x g x g x f x x +=-=-=+， 令231(1)x t x +=+，(0,1)x ∈，则21(1)31x t x +=+， 令31(1,4)x μ=+∈，则13x μ-=，所以221141483424999t μμμμμμ+⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==++≥⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当13x =时取等号， 所以()F x 的最大值为22193log log 3282=-.。

联合校第一次月考题高二物理命题人:凌海市三高中物理组考试时间:90分钟试卷满分:100分第I卷（选择题，共48分）一、选择题（本题共12道小题，每小题4分，共48分. 1—8题只有一个选项正确，9—12题多个选项正确，全部选对的得4，选对但不全的得2分，有选错的得0分）1.处在磁场中的一闭合线圈，若没有产生感应电流，则可以判定（）A. 线圈没有在磁场中运动B. 线圈没有做切割磁感线运动C. 磁场没有发生变化D. 穿过线圈的磁通量没有发生变化2.下列说法，正确的是（）A．电阻率是表征材料导电性能好坏的物理量，电阻率越大，其导电性能越好B．各种材料的电阻率都与温度有关，金属的电阻率随温度的升高而减小C．电动势在数值上等于电源将单位正电荷从负极移送到正极时非静电力所做的功D．电源的电动势与外电路有关，外电路电阻越大，电动势就越大3.有一个电流表G，内阻Rg=10Ω满偏电流Ig=3mA．要把它改装成量程0～3V的电压表则（）A. 要串联一个阻值为990Ω的电阻B. 要并联一个阻值为990Ω的电阻C. 要串联一个阻值为0.10Ω的电阻D. 要并联一个阻值为0.10Ω的电阻4.关于电源电动势的说法错误的是（）A．电源电动势等于内外电路电势降落之和 B．电源电动势等于外电路的路端电压 C．电源电动势等于电源没有接入电路时两极间的电压D．电源电动势表征电源把其它形式的能转化为电能的本领5.如图所示，一个内阻不可忽略的电源，R1为定值电阻，L1和L2是小灯泡，R为滑动变阻器，P为滑片。

若将滑片向下滑动，则在滑动过的亮度及R1消耗的电功率分别（）程中，灯泡L2A. 变亮，一直减小B. 变亮，先增大后减小C. 变暗，无法确定D. 变暗，一直增大6.在匀强磁场中固定一根与磁场方向垂直的通电直导线，其中通有向纸面外的恒定电流，匀强磁场的磁感应强度为1T，以直导线为中心作一个圆，圆周上a处的磁感应强度恰好为零，则下述说法对的是：A. b处磁感应强度为2T，方向水平向右B. c处磁感应强度也为零C. d处磁感应强度为，方向与匀强磁场方向成450角D. c处磁感应强度为2T，方向水平向左7.在如图所示的电路中，灯泡L的电阻大于电源的内阻r，闭合电键S，将滑动变阻器滑片P向左移动一段距离后，（电压表和电流表均视为理想）下列结论正确的是（）A. 灯泡L变亮B. 电源的输出功率变小C. 电流表读数变大D. 电容器C上电荷量减小8.如图所示，在滑动变阻器的滑片向右滑动的过程中，理想电压表、电流表的示数将发生变化，电压表V1、V2示数变化量的绝对值分别为△U1、△U2，已知电阻R大于电源内阻r，则（）A．电流表A的示数增大B．电压表V1的示数增大C．电压表V2的示数减小D．△U1大于△U29.（多选）如图所示，图线1表示的导体的电阻为R1，图线2表示的导体的电阻为R 2，则下列说法正确的是（）A．R1：R2=1：3B．R1：R2=3：1C．将R1与R2串联后接于电源上，则电流比I1：I2=1：3D．将R1与R2并联后接于电源上，则电流比I1：I2=3：110.（多选）如图所示，甲、乙为两个独立电源的路端电压与通过它们的电流I的关系图线，下列说法中正确的是（）A．路端电压都为U0时，它们的外电阻相等B．电流都是I0时，两电源的内电压相等C．电源甲的电动势大于电源乙的电动势D．电源甲的内阻小于电源乙的内阻11.（多选）如图所示，直线A为电源a的路端电压与电流的关系图象，直线B为电源b的路端电压与电流的关系图象，直线C为一个电阻R的两端电压与电流的关系图象．将这个电阻R分别接到a、b两电源上，那么（）A．R接到a电源上，电源的效率较高B．R接到b电源上，电源的效率较高C．R接到a电源上，电源的输出功率较大D．R接到b电源上，电源的输出功率较大12.（多选）在如图甲所示的电路中，电源电动势为3V，内阻不计，L1、L2位相同规格的小灯泡，这种小灯泡的伏安特性曲线如图乙所示，R为定值电阻，阻值为10Ω．当开关S闭合后（）A．L 1的电阻为1.2ΩB．L1消耗的电功率为0.75WC．L2的电阻为5ΩD．L2消耗的电功率为0.1W第II卷（非选择题，共52分）二、实验题（本题共2道小题,每空2分,共18分）13.利用电流表和电压表测定一节干电池的电动势和内电阻要求尽量减小实验误差．应该选择的实验电路是图中的______选填“甲”或“乙”．现有开关和导线若干，以及以下器材：A.电压表B.电压表C.滑动变阻器D.滑动变阻器E.电流表F、电流表实验中电压表应选用______；滑动变阻器应选用______选填相应器材前的字母采用甲电路测量，误差情况是___；采用乙电路测量，误差情况是______选填“”、“”或“”14.某同学要测量一均匀新材料制成的圆柱体的电阻率，步骤如下：用20分度的游标卡尺测量其长度如图1，由图可知其长度为______mm；用螺旋测微器测量其直径如图2，由图可知其直径为______mm；该同学先用欧姆表粗测该圆柱体的阻值，选择欧姆档倍率“”后测得的阻值如图3表盘所示，测得的阻值约为______，导线的直径为d，长度为L，电压表示数为U，电流表示数为I，则电阻率的表达式______。

2020-2021学年辽宁省六校协作体高二上学期期初考试数学试题一、单选题1．cos 4260=（ ）A ．12B C ．12-D ． 【答案】A【解析】先利用诱导公式化为cos 4260cos300=，在将300表示为36060-，利用诱导公式并结合特殊角的三角函数值可得出结果． 【详解】1cos 4260cos(36011300)cos300cos(36060)cos602=⨯+==-==，故选A ． 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，利用诱导公式求值是，首先利用诱导公式将角化为0~360内的角，然后考查变化后所在的象限，利用诱导公式转化为锐角三角函数值求解，考查运算求解能力，属于基础题．2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A ．12i + B ．2i -+C ．12i -D ．2i --【答案】B【解析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．设非零向量,a b 满足a b a b +=-，则（ ） A ．a b ⊥B ．a b =C ．//a bD ．a b >【答案】A【解析】化简条件a b a b +=-，两边平方可得选项. 【详解】解法一：∵a b a b +=-， ∴22a b a b +=-.∴222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+. ∴0a b ⋅=.∴a b ⊥. 故选:A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设,AB a AD b ==， 由a b a b +=-知AC DB =，从而可知四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a b ⊥. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，利用向量的模长关系得出相应的结论，主要的求解策略是“见模长，就平方”，侧重考查数学运算的核心素养.4．从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】首先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：基本事件总数为246C =（种），这名女生被选中的有11133C C =（种）故概率3162P == 故选：B【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.5．函数()11()()142xxf x =-+在[]1,2-的最小值是（ ）A ．1B ．1316C ．34D ．3【答案】C【解析】设1()2xt =，得到11()[,2]24=∈xt ，进而得到()213()24f t t =-+，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()21111()()1()()14222xxxx f x =-+=-+， 设1()2xt =，因为[]1,2x ∈-，则11()[,2]24=∈xt ，则函数()22131()24f t t t t =-+=-+， 当12t =时，取得最小值()min 34f t =.故选：C. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.6．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知60C =︒，b =c =sin A =（ ）A ．B ．4C ．2D ．12【答案】A【解析】首先根据正弦定理求角B ，再根据()sin sin A B C =+求值. 【详解】根据正弦定理可知sin sin sin sin 2b c b C B B C c =⇒==，因为b c <，所以4B π=，()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+21232622224+=⨯+⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查正弦定理，以及三角恒等变形，重点考查计算能力，属于基础题型.7．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为()A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMNC ．AC BD = D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45【答案】C【解析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，将AC 、BD 平移到正方形内，即可利用平面图形知识作出判断．【详解】因为截面PQMN 是正方形，所以PQ ∥MN 、QM ∥PN ， 则PQ ∥平面ACD 、QM ∥平面BDA ， 所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确； 由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确； 综上C 是错误的． 故选C ． 【点睛】本题主要考查线面平行的性质与判定，考查了异面直线所成角的定义及求法，属于基础题．8．设偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，则不等式()()f x f x x+->的解集为（ ） A ．()()1,01,-⋃+∞ B ．()(),10,1-∞-⋃ C ．()(),11,-∞-+∞ D ．()()1,00,1-【答案】A【解析】首先可根据函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，得出函数()f x 在()0,∞+上的函数值的正负情况，然后根据函数()f x 是偶函数，得出函数()f x 在(),0-∞上的函数值的正负值情况，最后将()()0f x f x x+->转化为()20f xx>，结合函数值的大小即可得出结果. 【详解】因为函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()10f =， 所以当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <， 因为函数()f x 是偶函数，所以当1x <-时，()0f x >，当10x -<<时，()0f x <，()()0f x f x x +->，即()20f x x >，x 与()f x 的符号相同，故不等式()()0f x f x x+->的解集为()()1,01,-⋃+∞，故选：A. 【点睛】本题考查抽象不等式的求解，利用函数的单调性和奇偶性是解题的关键，考查推理能力，是基础题.二、多选题9．已知向量()1,2a =-，()2,4b =-，则（ ）A ．//a bB ．()5a b a +⋅=-C ．()b a b ⊥-D ．2a b =【答案】ABD【解析】根据向量的坐标分别计算数量积和向量的模，以及根据平行和垂直的坐标表示，判断选项. 【详解】A.()()14220⨯--⨯-=，所以//a b ，故A 正确；B.()1,2a b +=-，()()11225a b a +⋅=-⨯+⨯-=-，故B 正确；C.()3,6a b -=-，()()2346300b a b ⋅-=-⨯+⨯-=-≠，所以C 不正确； D.5a =，()222425b =-+=，所以2a b =，故D 正确；故选：ABD 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型. 10．如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ(0>ω，π02ϕ<<)的部分图象，将函数()f x 的图象向右平移π8个单位长度得到函数()y g x =的图象，则下列命题正确的是（ ）A ．()y g x =是奇函数B ．函数()g x 的图象的对称轴是直线ππ4x k =+()k Z ∈ C ．函数()g x 的图象的对称中心是π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈ D ．函数()g x 的单调递减区间为π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 【答案】AD【解析】根据图像求解出函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式，然后向右平移π8个单位后得到()y g x =的解析式，根据其性质得到其奇偶性、对称性、单调区间. 【详解】 由图可知:2A =，()4884T πππ=--=,即2T ππω==,解得2ω=，又当8x π=时，2y =，解得4πϕ=，所以()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π8个单位长度得到函数2sin 2g x x ，则函数2sin 2g x x 是奇函数，对称轴是直线ππ24k x =+()k Z ∈，对称中心是π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈，单调递减区间为π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； 故选：AD 【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解三角函数解析式和三角函数的性质，属于中档题目，解题中需要根据图像准确计算出周期的大小，进而计算出ω，再利用代入法求解出ϕ的大小，注意代入的点应该是最值点，零点代入要慎重.11．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若2PB PE =，则//EF 平面PACB ．若2PB PE =，则四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C ．三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACE 【答案】AD【解析】利用中位线的性质即可判断选项A ；先求得四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥E ABCD -的体积的关系,再由四棱锥E ABCD -的体积与三棱锥E ABC -的关系进而判断选项B ；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C ；先证明AC ⊥平面BCP ,进而证明平面BCP ⊥平面ACE ,即可判断选项D. 【详解】对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点, 因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,因为PA ⊂平面PAC ,EF ⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确； 对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=, 因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===, 所以梯形ABCD 的面积为()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,1121122ABCS AB AD =⋅=⨯⨯=,所以32E ABCD E ABC V V --=,所以3P ABCD E ABC V V --=,故B 错误；对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC ,PCD 为直角三角形,又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,则ACD △为直角三角形, 所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+, 则222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形, 故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误； 对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,在Rt ACD △中,AC =,在直角梯形ABCD 中,BC ==,所以222AC BC AB +=,则AC BC ⊥, 因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP , 所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确, 故选:AD 【点睛】本题考查线面平行的判定,考查面面垂直的判断,考查棱锥的体积,考查空间想象能力与推理论证能力.12．给出下列命题，其中正确命题的有：（ ）A ．若α，β是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；B ．不存在实数α，使得3sin cos 2αα+=； C ．函数πsin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π5π,824⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减； D ．函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形.【答案】BCD【解析】A.举例说明不成立；B.利用辅助角公式求函数sin cos y αα=+的最大值，判断选项；C.求24x π-的范围，利用复合函数的单调性判断选项；D.代入3x π=，计算y值，再判断选项. 【详解】A.当4πα=，136βπ=时，tan 1α=，13tan tan 63πβ==，tan tan αβ>，故A 不正确；B.sin cos 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭32<，不不存在实数α，使得3sin cos 2αα+=成立，故B 正确； C.sin 2sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,,42622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，根据复合函数单调性可知，函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π5π,824⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 正确； D.当3x π=时，sin 2033y ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，所以函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查三角函数的性质的综合应用，属于基础题型.三、填空题13．在平行四边形ABCD 中1AB e =，2AC e =，14NC AC =，12BM MC =，则MN = .（用12,e e 表示）【答案】1225312e e -+ 【解析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由12BM MC =得23MC BC =，利用向量的三角形法则得BC ＝AC －AB ，又14NC AC =，MN ＝CN －CM ，最后将AC 和AB 两个向量都用1e 和2e 表示即可求得结果.【详解】 如图：MN ＝CN －CM＝CN ＋2BM ＝CN ＋23BC ＝－14AC ＋23(AC －AB )＝－214e ＋212()3e e - ＝1225312e e -+. 故本题答案为1225312e e -+. 【点睛】本题是一道关于向量运算的题目，考查平面向量的基本定理，解答本题的关键是熟练掌握向量的加法与减法的运算法则，属基础题.14．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，D 为11A C 的中点，则直线AD 与平面1B DC 所成角的正弦值为__________【答案】45. 【解析】先证出B 1D ⊥平面AC 1，过A 点作AG ⊥CD ，证AG ⊥平面B 1DC ，可知∠ADG 即为直线AD 与平面B 1DC 所成角，求其正弦即可． 【详解】如图，连接B 1D ，因为三角形111A B C 为正三角形，则111B DA C ， 又平面111ABC ⊥平面AC 1，交线为11A C ，B 1D ⊂平面111A B C ，则B 1D ⊥平面AC 1， 过A 点作AG ⊥CD ，则由B 1D ⊥平面AC 1，得AG ⊥B 1D ，由线面垂直的判定定理得AG ⊥平面B 1DC ， 于是∠ADG 即为直线AD 与平面B 1DC 所成角， 由已知，不妨令棱长为2，则可得AD 5==CD ，由等面积法算得AG 1455AC AA CD ⨯==所以直线AD 与面DCB 1的正弦值为=AG AD45；故答案为45． 【点睛】考查正棱柱的性质以及线面角的求法．考查空间想象能力以及点线面的位置关系，线面角的一般求解方法：法一作出角直接求解，法二；利用等积转化求解15．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”，q 为“实”．即若ABC 的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则2222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.已知点D 是ABC 边AB 上一点，3AC =，2BC =，45︒∠=ACD ，tan BCD ∠=，则ABC 的面积为________．. 【解析】利用正切的和角公式求得tan ACB ∠,再求得cos ACB ∠,利用余弦定理求得AB ,代入“三斜求积术”公式即可求得答案. 【详解】tan tantan tan()1tan tan ACD BCDACB ACD BCD ACD BCD∠+∠∠=∠+∠==-∠∠1cos 4ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得22222221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以S =. 【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.四、双空题16．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】2 4【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．五、解答题 17．（1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()cos αβ-的值.【答案】(1) 3±(2)0 【解析】(1)抓住角的关系:5()12212πππα=--,利用诱导公式求出cos(12πα- ) ,再根据同角公式即可求得答案;(2)根据已知求出,αβ的正余弦值后,代入两角差的余弦公式即可得到答案. 【详解】 解：（1）由5πππ1sin πsin cos 12212123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得πsin 123α⎛⎫-===±⎪⎝⎭． （2）因为角α的终边过点()43P ,-，所以3sin 5α=，4cos 5α=-， 因为β为第三象限角，且4tan 3β=，所以4sin 5β=-，3cos 5β=-所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了诱导公式,同角公式,三角函数的定义,两角差的余弦公式,抓住角的关系是解题关键,本题属于基础题. 18．已知()1,2a =，()3,2b =-.（1）当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直？（2）当k 为何值时，ka b +与3a b -平行？平行时，它们是同向还是反向？ 【答案】（1）19k =；（2）当13k =-平行，反向.【解析】（1）当()()30ka b a b +⋅-=时，利用数量积的坐标表示求k ；（2）由条件可知，假设存在实数λ，使()3ka b a b λ+=-，列式求λ和k ，并根据λ的正负，判断两向量同向还是反向. 【详解】（1）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+，()()()31,233,210,4a b -=--=-.当()()30ka b a b +⋅-=时，这两个向量垂直. 由()()3,2210,40k k -+⋅-=， 得()()()1032240k k -++⋅-=.解得19k =，即当19k =时，ka b +与3a b -垂直.（2）.当ka b +与3a b -平行时，存在实数λ，使()3ka b a b λ+=-， 由()()3,2210,4k k λ-+=-，得310,224,k k λλ-=⎧⎨+=-⎩解得1,31,3k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即当13k =-时，ka b +与3a b -平行，∴当ka b +与3a b -平行时，13ka b a b +=-+，∵103λ=-<， ∴13a b -+与3a b -反向. 【点睛】本题考查根据向量垂直和平行求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，2AB =，1BC =，2PC PD ==，E 为PB 中点．（1）求证：//PD 平面ACE ； （2）求三棱锥P AEC -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）16． 【解析】（1）根据题意，连接BD 交AC 于点F ，连接EF ，由中位线定理可得//EF PD ，故而//PD 平面ACE（2）根据题意，E 为PB 中点，所以三棱锥P AEC -的体积等于三棱锥E ABC -的体积，即为三棱锥P ABC -的一半，通过证明PD ⊥平面PBC ，PD 即为三棱锥P ABC -的高，则通过计算12E ABC P ABC V V --=得出结果。

黑龙江省哈尔滨市延寿县第二中学2020-2021学年高二数学9月月考试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1．下面对算法描述正确的一项是（)A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一个问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同2．图示程序的功能是()错误!A．求1×2×3×4×…×10 000的值B．求2×4×6×8×…×10 000的值C．求3×5×7×9×…×10 001的值D．求满足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整数n3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图,若输入的a,b分别为14，18，则输出的a＝(）A．0 B．2C．4 D．144．用秦九韶算法求多项式f（x）＝208＋9x2＋6x4＋x6当x ＝－4时的值时，v2的值为()A．－4 B．1C．17 D．225．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i＝i＋1 B．i＝i＋2C．i＝i＋3 D．i＝i＋46．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本7．2012年6月16日“神舟”九号载人飞船顺利发射升空，某校开展了“观‘神九’飞天燃爱国激情”系列主题教育活动．该学校高一年级有学生300人,高二年级有学生300人，高三年级有学生400人，通过分层抽样从中抽取40人调查“神舟”九号载人飞船的发射对自己学习态度的影响，则高三年级抽取的人数比高一年级抽取的人数多(）A．5 B．4C．3 D．28．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001，002，…，800,利用随机数表法抽取样本，从第7行第1个数8开始,依次向右，再到下一行，继续从左到右．请问选出的第七袋牛奶的标号是()(为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行）1622779439495443548217379323788735209643 84263491648442175331572455068877047447672176335025 8392120676630163783916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342 99660279545760863244094727965449174609629052847727 0802734328A．425 B．506C．704 D．7449。

2021-2022学年度联合校高二上学期期末模拟试卷物理第I 卷（选择题 共46分）一、选择题（共10小题共46分。

1-7题是单选题，每小题4分；8-10题是多选题，每小题6分，每小题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得3分，有选错的或不答的得0分.）1．简谐运动是下列哪一种运动（ ） A ．匀变速运动 B ．匀速直线运动 C ．非匀变速运动D ．匀加速直线运动2．如图所示电路中，电源电动势为E ，内阻为r ，电动机内阻为R 1。

当开关闭合，电动机正常工作时，滑动变阻器接入电路中的电阻为R 2，电动机两端的电压为U ，通过电动机的电流为I 。

电动机输出的机械功率P 等于（ ）A ．UIB ．21I RC ．2EI I r -D ．21UI I R -3．有一个电流表G ，内阻R g=10Ω，满偏电流I g=3mA 。

把它改装成量程为3V 的电压表，则应（ ）A ．串联一个990Ω的电阻B ．并联一个990Ω的电阻C ．串联一个0.01Ω的电阻D ．并联一个0.01Ω的电阻4．如图所示，两根非常靠近且互相垂直并互相绝缘的长直导线，当通以如图所示方向的电流时，电流所产生的磁场在导线所在平面内的哪个区域内方向是一致且向外的（ ）A．区域ⅠB．区域ⅡC．区域ⅢD．区域Ⅳ5．穿过闭合回路的磁通量Φ与时间t关系的图象分别如图所示，闭合回路中不能产生感应电流的是（）A．B．C．D．6．在用水波槽做衍射实验时，若打击水面的振子振动频率是6Hz，水波在水槽中的传播速度为0.6m/s，为观察到明显的衍射现象，小孔的直径d应为（）A．d<10cm B．50cm C．d>10cm D．10cm7．如图所示电路中，电源的电动势为3.0V。

闭合开关后，电压表示数为2.4V，电流表示数为0.60A。

将电压表和电流表视为理想电表，则电源的内阻r为（）A．0.50ΩB．1.0ΩC．1.5ΩD．2.0Ω8．如图，两质量分别为m1=1 kg和m2=4 kg小球在光滑水平面上相向而行，速度分别为v1=4 m/s和v2=6 m/s，发生碰撞后，系统不可能损失的机械能为（）A．25J B．35J C．45J D．55J9．一束光从介质1进入介质2，方向如图所示，下列对于1、2两种介质的光学属性的判断正确的是（）A．介质1的折射率小B ．介质1的折射率大C ．光在介质1中的传播速度大D ．光在介质2中的传播速度大10．一质量为m 物体，放在光滑的水平面上，处于静止状态。

2020——2021学年度（上）省六校协作体高二期中联考数学试题命题学校：凤城一中 命题人： 校对人：一．选择题（1-8题为单选题，每题5分）1. 已知椭圆方程为12422=+y x ，则椭圆的焦点坐标为（ ）A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22,0,2221F FB .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21,0,2121F FC .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0,21,021F FD .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,0,22,021F F 2. 已知平面α上三点()()()1,2,4,0,2,1,1,2,3---C B A ,则平面α的一个法向量为（ ）A ．()16,9,4--B ．()16,9,4-C ．()4,9,16--D ．()4,9,16- 3. 若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或44. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( )A. (x －1)2＋(y ＋2)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝55. 已知四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E,F,G 分别是棱AB,AD,DC 的中点，则→→⋅GF GE 等于( )A ．1B ．1-C ．4D ．4-6. 已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为( )A ．1B ．2C .5D ．2 57. 已知椭圆159:22=+y x C 的右焦点F ，P 是椭圆上任意一点，点()32,0A ,则APF ∆的周长最大值为（ ）A.219+B.5327++C.14D.315+8. 《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面是矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥。

2020-2021学年辽宁省本溪十二中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数是无理数的是（）A．﹣2B．C．D．2．（3分）如图，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图改变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图不变，左视图不变3．（3分）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．B．C．﹣（﹣a）4÷a2＝a2D．5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x2+2，﹣3）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（）A．中位数是3，众数是2B．众数是1，平均数是2C．中位数是2，众数是2D．中位数是3，平均数是2.57．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形8．（3分）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．+＝130D．﹣130＝9．（3分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长10．（3分）如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）一个铁原子的质量是0.000000000000000000000000093kg，将这个数据用科学记数法表示为kg．12．（3分）把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是．13．（3分）点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y 轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．14．（3分）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．15．（3分）某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：3：5的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是分．16．（3分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为．（用含a，b的代数式表示）17．（3分）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y，则当y＝，x的值为．18．（3分）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA 为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2+2a﹣15＝0．20．（12分）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．（1）本次接受调查的学生有名；（2）补全条形统计图；（3）根据调查结果，若本校有3900名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21．（12分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．22．（12分）如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．（1）求证：AE＝C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB＝2，求BF的长．五、解答题（本题12分）23．（12分）小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t （分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象；图2中线段AB表示小华和商店的距离y1（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：（1）填空：妈妈骑车的速度是米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是分钟，点M的坐标是．（2）直接写出妈妈和商店的距离y2（米）与时间t（分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；（3）求t为何值时，两人相距360米．六、解答题（本题12分）24．（12分）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？七、解答题（本题12分）25．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．（1）如图1，当α＝45°时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．（2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）当α＝360°时，若AB＝4，请直接写出点O经过的路径长．八、解答题（本题12分）26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与x轴、y轴分别相交于点A、B，直线l2与直线y＝﹣x平行，且与直线l1相交于点B，与x轴交于点C．（1）求点C坐标；（2）若点P是y轴右侧直线l1上一动点，点Q是直线l2上一动点，点D（﹣2，6），求当S△PBC＝S四边形AOBD时，点P的坐标，并求出此时，PQ+DQ的最小值；（3）将△AOB沿着直线l2平移，平移后记为△A1O1B1，直线O1B1交l1于点M，直线A1B1交x轴于点N，当△B1MN是等腰三角形时，求点A1的横坐标．2020-2021学年辽宁省本溪十二中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数是无理数的是（）A．﹣2B．C．D．【解答】解：＝3，则由无理数的定义可知，属于无理数的是．故选：D．2．（3分）如图，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图改变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图不变，左视图不变【解答】解：观察图形可知，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体主视图不变，左视图和俯视图都改变．故选：C．3．（3分）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：解不等式x+2≥0，得：x≥﹣2，又x＜1，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选：A．4．（3分）下列计算正确的是（）A．B．C．﹣（﹣a）4÷a2＝a2D．【解答】解：A、2+3＝（2+3）＝5；故A错误；B、（+1）（1﹣）＝1﹣2＝﹣1；故B错误；C、﹣（﹣a）4÷a2＝﹣a4÷a2＝﹣a2；故C错误；D、（xy）﹣1（xy）2＝（xy）﹣1+2＝xy；故D正确；故选：D．5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x2+2，﹣3）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵x2+2＞0，∴点P（x2+2，﹣3）所在的象限是第四象限．故选：D．6．（3分）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（）A．中位数是3，众数是2B．众数是1，平均数是2C．中位数是2，众数是2D．中位数是3，平均数是2.5【解答】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2；平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15＝2；众数为2；故选：C．7．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．8．（3分）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．+＝130D．﹣130＝【解答】解：设甲每天做x个零件，根据题意得：，故选：A．9．（3分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．10．（3分）如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据球形容器形状可知，函数y的变化趋势呈现出，当0＜x＜R时，y增量越来越大，当R＜x＜2R时，y增量越来越小，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故y关于x的函数图象是先凹后凸．故选：A．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）一个铁原子的质量是0.000000000000000000000000093kg，将这个数据用科学记数法表示为9.3×10﹣26kg．【解答】解：0.000000000000000000000000093＝9.3×10﹣26，故答案为：9.3×10﹣26．12．（3分）把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是n（m+3）2．【解答】解：原式＝n（m2+6m+9）＝n（m+3）2．故答案为：n（m+3）2．13．（3分）点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y 轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．【解答】解：解方程组得，∴直线y＝﹣x+5与直线y＝x的交点坐标为（3，2），如图，画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的点为（1，2），（1，3），（2，3），（3，2），所以点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率＝＝．故答案为．14．（3分）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝48°．【解答】解：设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝＝120°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4＝＝108°，∴∠B4B3D＝180°﹣108°＝72°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA3＝∠B4B3D＝72°，∴α＝∠A2ED＝360°﹣∠A1A2A3﹣∠A2A3A4﹣∠EDA3＝360°﹣120°﹣120°﹣72°＝48°，故答案为：48．15．（3分）某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：3：5的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是85分．【解答】解：90×+90×+80×＝85（分），故答案为：85．16．（3分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（a+b）．（用含a，b的代数式表示）【解答】解：如图，连接DK，DN，∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），∴S△DKM＝S△DNT，∴S四边形DMNT＝S△DKN＝a，∴正方形ABCD的面积＝4×a+b＝a+b．故答案为（a+b）．17．（3分）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y，则当y＝，x的值为或2+．【解答】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，∵y＝，∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，∴OA•2＝1.5，∴OA＝，∴AM＝1+＝；如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，∴2.5＝×2×2﹣1﹣×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2+，综上所述，满足条件的AM的值为或2+，故答案为或2+．18．（3分）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA 为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标（2×32020﹣1，32020）．【解答】解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2（17，9），同理可得B3（53，27），B4（161，81），…由上可知，B n（2×3n﹣1，3n），∴当n＝2020时，B n（2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2+2a﹣15＝0．【解答】解：（﹣）÷＝[+]•＝（+）•＝•＝＝，∵a2+2a﹣15＝0，∴a2+2a＝15，当a2+2a＝15时，原式＝．20．（12分）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．（1）本次接受调查的学生有60名；（2）补全条形统计图；（3）根据调查结果，若本校有3900名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？【解答】解：（1）本次接受调查的学生有：9÷15%＝60（名）；故答案为：60；（2）选择C学习方式的人数有：60﹣9﹣30﹣6＝15（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：3900×＝1850（名），答：估计有1850名学生参与任课教师在线辅导．四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21．（12分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，解得，m＝2，则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，该直角三角形的面积为＝；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的面积为＝；综上，该直角三角形的面积为或．22．（12分）如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．（1）求证：AE＝C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB＝2，求BF的长．【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC＝2AB，∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠BAC＝60°，由旋转可得：AB′＝AB，∠B′AC′＝∠BAC＝60°，∴∠EAC′＝∠AC′B′＝30°，∴AE＝C′E；（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，∴∠AB′B＝60°，即∠BB'F＝∠AB'B+∠AB'F＝150°，∵BB'＝B'F，∴∠FBB′＝∠B'FB＝15°；（3）法1：解：由AB＝2，得到B′B＝B′F＝2，∠B′BF＝15°，过B作B′H⊥BF，在Rt△BB′H中，cos15°＝，∵cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝×+×＝，∴BH＝2×＝，∴BF＝2BH＝+．法2：连接AF，过A作AM⊥BF，由（2）可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，∴∠AFB′＝45°，∴∠AFM＝30°，∠ABF＝45°，在Rt△ABM中，AM＝BM＝AB•cos∠ABM＝2×＝，在Rt△AMF中，MF＝＝＝，则BF＝+．五、解答题（本题12分）23．（12分）小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t （分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象；图2中线段AB表示小华和商店的距离y1（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：（1）填空：妈妈骑车的速度是120米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是5分钟，点M的坐标是（20，1200）．（2）直接写出妈妈和商店的距离y2（米）与时间t（分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；（3）求t为何值时，两人相距360米．【解答】解：（1）妈妈骑车的速度为120米/分钟，妈妈在家装载货物时间为5分钟，点M的坐标为（20，1200）．故答案为：120，5，（20，1200）．（2）y2＝，其图象如图所示，（3）由题意可知：小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，①相遇前，依题意有60t+120t+360＝1800，解得t＝8分钟，②相遇后，依题意有，60t+120t﹣360＝1800，解得t＝12分钟．③依题意，当t＝20分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华，此时小华距商店为1800﹣20×60＝600米，只需10分钟，即t＝30分钟，小华到达商店．而此时妈妈距离商店为1800﹣10×120＝600米＞360米，∴120（t﹣5）+360＝1800×2，解得t＝32分钟，∴t＝8，12或32分钟时，两人相距360米六、解答题（本题12分）24．（12分）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？【解答】解：（1）设月平均增长率为x，依题意，得：1440（1+x）2＝2250，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：月平均增长率是25%．（2）设售价应降低y元，则每天可售出200+＝（200+50y）千克，依题意，得：（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，整理，得：y2﹣4y+3＝0，解得：y1＝1，y2＝3．∵要尽量减少库存，∴y＝3．答：售价应降低3元．七、解答题（本题12分）25．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．（1）如图1，当α＝45°时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．（2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）当α＝360°时，若AB＝4，请直接写出点O经过的路径长．【解答】解：（1）OE＝OD，OE⊥OD；理由如下：由旋转的性质得：AF＝AC，∠AFE＝∠ACB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD＝∠F AC＝45°，∴∠ACF＝∠AFC＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DCF＝∠EFC＝22.5°，∵∠FEC＝90°，O为CF的中点，∴OE＝CF＝OC＝OF，同理：OD＝CF，∴OE＝OD＝OC＝OF，∴∠EOC＝2∠EFO＝45°，∠DOF＝2∠DCO＝45°，∴∠DOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴OE⊥OD；（2）当45°＜α＜90°时，（1）中的结论成立，理由如下：连接CE，DF，如图所示：在正方形ABCD中，AB＝AD∴AD＝AE∵O为CF的中点，∴OC＝OF∵AF＝AC∴∠ACF＝∠AFC∵∠DAC＝∠EAF∴∠DAC﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE∴∠EAC＝∠DAF在△ACE和△AFD中，，∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，∠ECA＝∠DF A又∵∠ACF＝∠AFC∴∠ACF﹣∠ECA＝∠AFC﹣∠DF A，∴∠ECO＝∠DFO，在△EOC和△DOF中，，∵EC＝DF，∠ECO＝∠DFO，CO＝FO∴△EOC≌△DOF（SAS）∴OE＝OD．连接AO，则AO⊥CF，∴∠AOC＝∠ADC＝90°，∴A、C、O、D四点共圆，∴∠AOD＝∠ACD＝45°，同理A、E、O、F四点共圆，∴∠AOE＝∠AFE＝45°，∴∠DOE＝45°+45°＝90°，∴OD⊥OE．（3）连接AO，如图3所示：∵AC＝AF，CO＝OF，∴AO⊥CF，∴∠AOC＝90°，∴点O在以AC为直径的圆上运动，∵α＝360°，∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，∵AC＝AB＝×4＝8，∴点O经过的路径长为：πd＝8π．八、解答题（本题12分）26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与x轴、y轴分别相交于点A、B，直线l2与直线y＝﹣x平行，且与直线l1相交于点B，与x轴交于点C．（1）求点C坐标；（2）若点P是y轴右侧直线l1上一动点，点Q是直线l2上一动点，点D（﹣2，6），求当S△PBC＝S四边形AOBD时，点P的坐标，并求出此时，PQ+DQ的最小值；（3）将△AOB沿着直线l2平移，平移后记为△A1O1B1，直线O1B1交l1于点M，直线A1B1交x轴于点N，当△B1MN是等腰三角形时，求点A1的横坐标．【解答】解：（1）直线l1：y＝x+与x轴、y轴分别相交于点A、B，则点A、B的坐标分别为：（﹣，0）、（0，），直线l2与直线y＝﹣x平行，且过点B，则直线l2的表达式为：y＝﹣x+，令y＝0，则x＝3，故点C（3，0）；（2）过点D分别作x、y轴的垂线交于点M、N，设点P（m，m+），S四边形AOBD＝S矩形MDNO﹣（S△BND﹣S△AMD）＝26﹣[2×（6﹣）+6×（2﹣）]＝8，S△PBC＝2×2m＝8，解得：m＝2，故点P（2，3），作点P关于直线l2的对称点P′，连接DP′交l2于点Q，则点Q为所求点，PQ+DQ的最小值为DP′，则点P′、P关于点B对称，由中点公式得：点P′（﹣2，﹣），而D（﹣2，6），故：DP′＝7，故PQ+DQ的最小值为7；（3）设三角形OAB向左平移3m个单位，则向上平移了m个单位，则点B1的坐标（﹣3m，m+），点M（﹣3m，﹣3m+），则A1的横坐标为：﹣﹣3m，设直线A1B1的表达式为：y＝x+b，将点B1的坐标代入上式并解得：直线A1B1的表达式为：y＝x+4m+，令y＝0，则点N（﹣4m﹣，0），则B1M2＝（4m）2＝48m2，NB12＝（m+）2+（m+）2，MN2＝（m+）2+（﹣3m）2，当B1M＝B1N时，48m2＝（m+）2+（m+）2，解得：m＝；当B1M＝MN时，同理可得：m＝﹣4或﹣；当B1N＝MN时，解得：m＝0或﹣4（舍去0）；综上A1的横坐标为：或或﹣或﹣4或﹣．。

辽宁省大石桥市2021-2020学年高二化学9月月考试题第I卷一、选择题（本题包括10小题，每小题2分，共20分；每小题只有一个选项符合题意）1．下列关于电解质分类的组合中,完全正确的是( )A B C D强电解质NaCl H2SO4HClO HNO3弱电解质HF BaSO4CaCO3CH3COOH非电解质Cl2CS2C2H5OH SO22．25℃时，水的电离达到平衡：H2O⇌H++OH﹣；△H＞0，下列叙述正确的是（）A．向平衡体系中加入水，平衡正向移动，c（OH﹣）增大B．将水加热，K w增大，pH不变C．向水中加入少量稀硫酸，c （H+）增大，K w不变D．向水中加入少量NaOH固体，平衡正向移动，c（H+）降低3．在密闭容器中进行如下反应：X2（g）+Y2（g）⇌2Z（g），已知X2、Y2、Z的起始浓度分别为0.1 mol/L、0.3 mol/L、0.2 mol/L，在肯定条件下，当反应达到平衡时，各物质的浓度有可能是（）A．Z为0.3mol/L B．Y2为0.4mol/LC．X2为0.2mol/L D．Z为0.4mol/L4．对可逆反应4NH3（g）+5O2（g）⇌4NO（g）+6H2O（g），下列叙述中正确的是（）A．化学反应速率的关系是2v逆（NH3）=3v正（H2O）B．若单位时间内生成x mol NO的同时，消耗x mol NH3，则反应达到平衡状态C．达到化学平衡时，若增大容器的体积，则正反应速率减小，逆反应速率增大D．达到化学平衡时4v正（O2）=5v逆（NO）5．《本草纲目》中记载“（火药）乃焰消（KNO3）、硫磺、杉木炭所合，以为烽燧铳机诸药者”。

火药燃烧爆炸时发生的反应为：S(s)＋2KNO3(s)＋3C(s)＝K2S(s)＋N2(g)＋3CO2(g) ΔH＝x kJ·mol－1。

已知：①碳的燃烧热ΔH1＝a kJ·mol－1②S(s)＋2K(s)＝K2S(s) ΔH2＝b kJ·mol－1③2K(s)＋N2(g)＋3O2(g)＝2KNO3(s) ΔH3＝c kJ·mol－1则x为（）A．c－3a－b B．3a＋b－c C．a－b－c D．c－a－b 6. 高铁电池是一种新型可充电电池，与一般高能电池相比，该电池能长时间保持稳定的放电电压。

2023-2024学年度上学期辽西联合校高二期中考试题（数学参考答案，提示及评分细则）故选：B ．6．A【详解】对于①，若向量,a b 共线，则向量对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系面，但是显然,,x y z 轴不共面，故③错误；对于④，若,a b 共线时，显然,,a b c 共面，于是则不一定成立，故④错误.于是四个选项都是错的.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为则(),1,P a a ，()10,1,1C ，(1,1,0B 所以()1,0,1C P a a =- ，(11,1,D B = 由A 选项正确：可知(11,1,D B = ∴直线C P 与平面AC D 所成角的正弦值为：A-时，b当直线经过点(0,1)当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得观察图象，得当直线y x=+故答案为：(1,1]{2}--17．(1)10因为4OA =，3OB =，4OP =，且则(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,3,0)D -故(0,3,4)PB =- ，(2,3,2)BM =--得222220x mx m ++-=，......................................................................................................6122x x m ∴+=-，21222x x m =-，2125142AB k x x ∴=+-=⨯2525m =⋅-=， (10)平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ；.........................................................................2）底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OD ................................................................................................................................................3)()()1,0,0,0,1,0,0,0,1D P ......................................................................................................4的法向量()1,0,0m = ，，()1,0,1,PC PD =- 设平面PCD 的法向量(),,n x y z = ，则n PC n PD ⎧⋅⎨⋅⎩设二面角C PD A --夹角为θ，1m n θ⋅== ，则211sin θ⎛⎫=-=43）)00,x y ，且在x 轴的上方时，AB ⊥，不妨取31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足曲线45NFB ∠=︒，又90MFB ∠=︒综上：2∠=∠得证.......................................................................................12分MFB NFB。