浅谈 “倒推”的思想在高中数学证明问题中的应用洪放一、引言一位科学家的实验室里,有一种奇怪的小虫。
科学家把它放在特殊的营养液里,由此小虫子的生长速度很快,从幼虫到成虫,每天都比原来长大1倍,用20天就能长到20厘米。
现在问：小虫在第19天时长到多长？相信大家都见过这道小学数学题。
而解题最方便的思路，便是从第20天倒退，既然第20天长到20厘米，第20天时小虫的长度是第19天时的2倍，那么第19天的长度即为10厘米。
常用的数学证明的方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法，本文不再一一赘述，本文重点介绍设计“倒推”思想的无穷递降法、反向归纳法以及数学归纳法的一些变形。
二、基本定理 （一）、第一、第二数学归纳法 定理1 第一数学归纳法:)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果（1）当1=n 时)(n P 成立；（2）假设m n =时命题)(n P 成立，那么可以推导出在1+=m n 时命题)(n P 也成立. 那么对任意*N n ∈,)(n P 成立 定理2 第二数学归纳法：:)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果（1）当1=n 时)(n P 成立；（2）假设m n ≤≤1时命题)(n P 成立，那么可以推导出在1+=m n 时命题)(n P 也成立. 以上两个定理来源于皮亚诺提出的归纳公理：公理 设*N S ⊆，且满足2个条件（i ）S ∈1；（ii ）如果S n ∈，那么S n ∈+1。
则S 是包含全体自然数的集合，即*N S =。
（二）、反向归纳法：定理3 设)(n P 表示一个与自然数n 有关的命题，若 （1）)(n P 对无数多个自然数n 都成立； （2）假设)1(+k P 成立，可推出)(k P 也成立； 则)(n P 对一切自然数n 都成立. 证明：用反证法处理. 假定)(m P 不成立，*N m ∈由（2）的逆否命题假设)(k P 不成立，可推出)1(+k P 也不成立 由第一数学归纳法:知对m n N n ≥∈∀,*，)(n P 不成立， 与（1）矛盾，假设错误，定理3 成立 （三）、无穷递降法：定理4 如果)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果对*0N n ∈∀，假设0n n =时命题)(n P 成立，那么可以推导出在01*1,n n N n ＜∈∃命题)(1n P 也成立.那么对*N n ∈∀,)(n P 不成立定理5如果)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果（1）对1,0*0＞n N n ∈∀，假设0n n =时命题)(n P 成立，那么可以推导出在01*1,n n N n ＜∈∃命题)(1n P 也成立;（2）1,*≥∈∃n N n ，)(n P 成立 那么)1(P 成立.以上两个定理来源于最小数原理：定理6 正整数集*N 的任意非空子集S 必有最小元素, 即∅≠⊆∀S N S ,*，S t ∈∃0，使得对S t ∈∀，0t t ≥.注：定理3常用于证明某一命题对*N n ∈∀成立，定理5常用于证明某一命题对*Nn ∈∀不成立（某一方程无解），而定理4常用于证明某一命题对某一特定正整数成立，定理4，5常用于数论问题.三、应用例1 求证A-G 平均不等式：①则nnn i a a a na a a n i a ⋅⋅≥++=>2121.,2,1,0证明：先考虑kn 2=的情形.().221222122.1122221222122221222212222122221222122211221111111也成立即①对则时①已成立，设当时结论显然++++++++++==⋅≥+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=+++==++++++k k k k k n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n k k k k k k k k k kk k k k k kk k k k k k我们已经证明①对无穷多个*N n ∈成立，下面我们证明若①对n+1成立，则对n 成立.()()成立，①对由定理变形即得，右式左式，则记有即成立，若①对*212111211n 2121121212111211213,,1,1,1,2,1,01N n a a a na a a n a a a a a a na a a A a a a n A a a n a a a A a a a n a a a n i a n n nnn n nn nnn n n n n n i ∈∀≥++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=++=⋅≥+++++=≥++++=>∀+++++++例2：求证Jensen 不等式:()[][]()()[]()()()()()()().3.111.21,,,,22,,,,,*211121*********成立，②对由定理成立，稍加变形即得②对我们也令成立，即若②对成立类似的方法可证②对证明：首先，用与例有求证：②有定义域为N n n nx x x x n x f x f x f x f n x x x x f n n n x f x f x f n x x x f b a x x x n f m f n m f b a n m b a x f nn n n n n k n n n ∈∀++=++++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=∀++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++∈∀+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈∀+++()()()(){}()()()()()()()).2110112121.122101122(.2,mod ,,1,,0,,,1.,0,,,.1!21,mod 1!21,11,212,14,4mod 1mod 1!11!21.21,2,1,1,2,121,21,121,mod 1!1..,,.1.,,,4mod 1,:.214322222*22121222*22*⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+----⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+--≤≡≡>===+=⋅≥N ∈∃⋅=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-N ∈∃-≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---≡-≡-≡-⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎭⎬⎫⎩⎨⎧---+------≡-∀+=⋅N ∈∃>+=∈∃≡∀--m m m m m m m mm m mv u m v y u x m p x p y y x m y x p m y x y x p m p m p p p p p p p p p p p p p p p p Wilson y x p m y x m m y x p N y x p p p p ，，，，，的剩余系可表示为为奇数，则模若，，，，，，的剩余系可表示为为偶数，则模若这是可以做到的，且要求，我们令若为素数矛盾与否则设必为正整数则本题已得证，因为若，即即，所以所以即而由于所以也可表示为，，的缩同余系既可表示为而模，有素数定理，由威尔逊这是易于构造的使得，首先，我们构造正整数证明：则若素数即个正整数的平方和的素数必能表示为平方和同余于任何模求证一个数论定理：例()()()()()()()py x y x y x p y x y x p m y x y x m m m y mvxuy x m vy ux m m p m m vx uy m vy ux m xy xy vx uy m y x vy ux p m m vx uy vy ux p m m y x v u m mm mv u m v u m m m v u m y x v u =+N ∈∃≠⋅=+N ∈∃⋅=+N ∈∃N ∈<∃=-=+<⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≡-≡-≡+≡+⋅⋅=-++⋅⋅=+⋅+<≤≤+≤N ∈⋅=++≡+22*''2'2'''1212111*111111222221222122221222*112222220.5,,,,mod 0mod 0,,22,2,,,,mod ，，所以，又易得，，，由定理，，，使得，则，记又所以又即所以，所以，得由设所以()()()()()()()()().,,.,,,,,,,,,1,,.,,1,,.1,,,,,2mod 0,1,2,2mod 1,0,2.,,.,,0.:42242*222222222221424424两两互素所以两两互素故矛盾则则则由①，，若因为是一组正整数解设的正整数解，有使得我们假设①有解，则必一奇一偶，其中③若或②若它们由下式给出：两两互素的正整数解有无穷多组使：方程引理证明：的解没有使①即方程无非零整数解方程求证例）（z y x z y x z y x p z p z p y x p z y x z y x z y x n m n m n m y x n m z m n y n m x y x n m z n m y m n x z y x z y x z y x z y x z y x z y x ===N ∈≡≡⎪⎩⎪⎨⎧+==-=≡≡⎪⎩⎪⎨⎧+=-===+≠⋅⋅=+=+。
