《离散型随机变量的均值》ppt课件

X
P
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · ·
xn
p1
p2
pi
· · · pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是 随机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？
X P
x1
p1
p2
x2
· · · · · ·
所以E(X)＝0.99×100＋0.01×(100－a)＝100－0.01a＞0，
所以a＜10 000. 又a＞100，所以100＜a＜10 000. 即当a在100和10 000之间取值时保险公司可望获利．
2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射 击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击 次数的期望。(保留三个有效数字)
即X～B（n,p），则
EX np
基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球 次数的数学期望是
3
.
五、巩固应用
1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每 个选择题有4个选项，其中有且只有一个选 项是正确答案，每题选择正确答案得5分， 不作出选择或选错不得分，满分100分，学 生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一 个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的 成绩的期望。
二、互动探索
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1， 1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是 多少？
1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10
X P 14 10源自把环数看成随机变量的概率分布列：
2
3 10
3
2 10
4
1 10
权数
加 权 平 均
4 3 2 1 X 1 2 3 4 2 10 10 10 10
挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。
3.某商场的促销决策： 统计资料表明，每年国庆节商场内促销活 动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨 可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月 30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商 场应选择哪种促销方式？
4.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统 计，顾客采用的分期付款期数 的分布列为：

P
1 0.4
2 0.2
3 0.2
4 0.1
5 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200 元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5 期付款，其利润为300元， 表示经销一件该商品的 利润。
（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A)；
XE a
b
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
xn
X
P
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · ·
p1
p2
pi
· · · pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、数学期望的性质
E (aX X b)E a
b
三、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
二、数学期望的性质
E (aX X b)E a
b
三、如果随机变量X服从两点分布，
X 1 0
P
p
1－ p
则
EX p
四、如果随机变量X服从二项分布，即 X～B（n,p），则
EX np
证明：若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np
证明： P(ξ k) C p q
k n k n k
(k 0,1,2, , n)
【变式3】 据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概 率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参 加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，
保险公司赔偿a元(a＞100)．问a如何确定，可使保险公司期
望获利？ 解 设X表示保险公司在参加保险人身上的收益， 则X的取值为X＝100和X＝100－a，则P(X＝100)＝0.99. P(X＝100－a)＝0.01，
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X 1 0
P
p
1－ p
则
EX 1 p 0 (1 p) p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
高二数学 选修2-3
2.3.1离散型随机变 量的均值
江川一中——杨文俊
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列 X
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · · · · ·
P
p1
p2
pi
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
复习引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？ 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X P 18
3 6
24
2 6
36
1 6
1 1 1 X 18 24 36 23(元 / kg) 2 3 6
p q
C
n 1 n 1
p
n 1 0
q )
np( p q)
所以
n 1
np.
若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np．
（2）求 的分布列及期望E 。
练习：
1、若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元，为使保险 公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应 将最大赔偿金定为多少元？

P
1000 0.97
1000－a 0.03
E = 1000－0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。
pi
xi
· · · xn · · · pn
x2 x1 X Y ax1 b ax2 b p1 p2 P
· · · xi · · · xn · · · axi b · · · axn b · · · pi · · · pn
EY (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
ξ 1 3 5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ=
2.4
. 5.8 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2
Eξ=7.5,则a=
0.1 b=
0.4 .
四、例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？ 小结：
X P 0 1
3
2
2
3
0.3
C 0.7 0.3
1 3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 0.3 3 0.73
EX 2.1 3 0.7
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，

p
1 0.7
E =1.43
2
3
4
5 0.34
0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7
六、课堂小结
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
xn
X
P
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · ·
p1
p2
pi
· · · pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
0 n 1 1 n 1 Eξ 0 C 0 p q 1 C n np q k n k n n 0 kCk p q nC n np q
0 n 1 1 1 n 2 np(C0 p q C p n 1 n 1 q
C
k 1 k 1 ( n1)( k1) n 1
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
xn
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
P
则称
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · ·
p1
p2
pi
· · · pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。
2. 决策问题：
据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有 大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设 备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要 损失10000元。为保护设备，有以下种方案：