2.2.1 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程导学案 九年级数学上
- 格式:doc
- 大小:1.03 MB
- 文档页数:2
用配方法求解一元二次方程
一、教学目标
知识与技能目标:
1、 会用直接开平方法解形如:)0()(2≥=+n n m x 的一元二次方程.
2、理解配方法,会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
过程与方法目标:
1、经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,使学生体会转化的数学思想.
2、
在理解配方法的基础上,熟练应用配方法解一元二次方程,培养学生用转化的数
学思想解决问题的能力.
情感与态度目标:启发学生学会观察、分析,寻找解题的途径,提高他们分析问
题、解决问题的能力.
二、教学重、难点
教学重点:运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
教学难点:会用配方法解一元二次方程.
三、教学方法:
启发—探究式的教学方法。
四、教学准备:
多媒体、投影仪 教师活动 学生活动 教学说明
(一)1、创设情境,引入问题 要使一块长方形场地的长比宽多6m ,并且 面积为16m2,场地的长和宽应各是多少? 解:设场地的宽xm ,则长为 ()m x 6+ , 列方程得:()
166=+x x 即:01662=-+x x (二)回顾旧知,获取新知 1、平方根的意义,如 a x =2 那么a x ±=. 观看课件,并思考问题 在这一问题中如何解所得到的方程?
从实际问题出发,让学生感受到“数学无处不在”
学生在原有平方根的基础上能解方程
教师就一元二次方
程的有两个根进行说明
启发学生观察方程
的特点
体会解一元二次方程的降次思想。
第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1.利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.(重点)2.能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程.(难点)一、情境导入如图,在宽为20,长为32的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个部分作为耕地,要使得耕地的面积为50002,道路的宽为多少?二、合作探究探究点一:利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程:-错误!2+错误!-错误!=0解:方程两边同除以-错误!,得2-5+错误!=0移项,得2-5=-错误!配方,得2-5+(错误!)2=-错误!+(错误!)2,即(-错误!)2=错误!所以-错误!=错误!或-错误!=-错误!所以1=错误!,2=错误!易错提醒:用配方法解一元二次方程时,易出现以下错误:(1)方程一边忘记加常数项:(2)忘记将二次项系数化为1;(3)在二次项系数化为1时,常数项忘记除以二次项系数;(4)配方时,只在一边加上一次项系数一半的平方.探究点二:配方法的应用【类型一】利用配方法求代数式的值已知a2-3a+b2-错误!+错误!=0,求a-4b的值.解:原等式可以写成:(a-错误!)2+(b -错误!)2=0∴a-错误!=0,b-错误!=0,解得:a=错误!,b=错误!∴a-4b=错误!-4×错误!=-错误!方法总结:这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用,通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键.【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明:不论取何值,代数式2-5+7的值恒为正.解:∵2-5+7=2-5+(错误!)2+7-(错误!)2=(-错误!)2+错误!,而(-错误!)2≥0, ∴(-错误!)2+错误!≥错误! ∴代数式2-5+7的值恒为正. 方法总结:对于代数式是一个关于的二次式且含有一次项,在求它的最值时,常常采用配方法,将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式,根据一个数的平方式是一个非负数,从而就可以求出原代数式的最值.三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤:(1)把原方程化为一般形式; (2)二次项系数化为1,方程两边都除以二次项系数;(3)移项,把常数项移到右边,使方程左边只含二次项和一次项;(4)配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方;(5)用直接开平方法解方程.通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程,发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法,经历从简单到复杂的过程,对配方法全面认识.培养学生发现问题的能力,通过学生亲自解方程的感受与经验,总结成文,帮助学生养成系统整理知识的学习习惯.♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥。
用配方法求解一元二次方程教学目标:(一)知识与技能:1、理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程。
2、能利用配方法解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力。
(二)过程与方法目标:1.会用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n>0)的方程.(重点)2.理解配方法的基本思路.(难点)3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.(重点)(三)情感,态度与价值观启发学生学会观察,分析,寻找解题的途径,提高学生分析问题,解决问题的能力。
教学过程:一复习旧知用直接开平方法解下列方程:(1)9x2=4 (2)( x+3)2=0总结:上节课我们学习了用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。
二创设情境,设疑引新填一填:1.如果x2 = a,那么x= .2.若一个数的平方等于9,则这个数是;若一个数的平方等于7,则这个数是.3.完全平方式:式子a2 ±2ab +b2叫完全平方式,且a2 ±2ab +b2= .三讲授新课(一)用直接开平方法解一元二次方程例1:用直接开平方法解下面一元二次方程.(1)x2 = 5;(2)2x2 + 3 = 5 .解:(1)x1 = , x2= .(2)2x2 + 3 = 5 ,2x2 = 2 ,x2 = 1 .x1 = 1 , x2= -1 .(3)x2 + 2x + 1 = 5 (4)(x + 6)2 + 72 = 102解:(3)x2 + 2x + 1 = 5(x + 1)2 = 5x1= , x2 =(4)(x + 6)2 + 72 = 102(x + 6)2 = 102 - 72(x + 6)2 = 51x1= , x2 =(二)配方法的基本思路填一填:(1)x2 +12x + _____ = ( x + 6 )2;(2)x2 - 4x + _____ = ( x - ____ )2;(3)x2 + 8 x + ____ = ( x + ____ )2问题:上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系?对于形如x2+ax的式子,如何配成完全平方?x2+ax + ( )2 = ( x+ )2例1:解方程x2 + 8x - 9 = 0解:可以把常数项移到方程的右边,得x2 + 8x = 9 ,两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得x2 + 8x + 42 = 9 + 42 ,即(x+4)2 = 25 .两边开平方,得x + 4 = ±5 ,即x + 4 =5 或x + 4 = -5.所以x1 = 1 , x2= -9.例2:解决梯子底部滑动问题:x2 + 12x -15=0 .解:可以把常数项移到方程的右边,得x2 + 12x = 15 ,两边都加62(一次项系数6的一半的平方),得x2 + 12x + 62 = 15 + 62 ,即(x+6)2 = 51 .两边开平方,得x + 6 = ,即x + 6 = 或x + 6 = .所以x1 = , x2= .(三)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程例3:用配方法解x2 + 2x -1 = 0.解:移项,得x2 + 2x =1 ,配方,得x2 + 2x + 1 =1 + 1,即(x + 1)2 = 2.开平方, 得x + 1 = .解得x1 = , x2=四、当堂练习1.方程x2 - 4 = 0 的解是()A. x =2B. x = -2C. x =±2D. x =±42.用配方法解关于x的一元二次方程x2 - 2x - 3 = 0,配方后的方程可以是()A. (x - 1) 2 = 4B. (x + 1) 2 = 4C. (x - 1) 2 = 16D. (x + 1) 2 = 163. 解方程:(x + 1 )(x -1) + 2(x + 3) = 8解:方程化简,得x2 + 2x + 5 = 8.移项,得x2 + 2x = 3,配方,得x2 + 2x + 1 =3 + 1 ,即(x + 1)2 = 4.开平方, 得x + 1 = ±2.解得x1 = 1 , x2= -3.五、课堂小结用配方法解一元二次方程:直接开平方法:形如(x + m)2 = n (n≥0)基本思路:将方程转化为(x + m)2 = n(n≥0)的形式,在用直接开平方法,直接求根.解二次项系数为1的一元二次方程步骤1、移项2、配方3、直接开平方求解六、布置作业。
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1.利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.(重点)2.能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程.(难点)一、情境导入如图,在宽为20m ,长为32m 的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个部分作为耕地,要使得耕地的面积为5000m 2,道路的宽为多少?二、合作探究探究点一:利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程:-12x 2+52x -54=0. 解:方程两边同除以-12,得x 2-5x +52=0. 移项,得x 2-5x =-52. 配方,得x 2-5x +(52)2=-52+(52)2, 即(x -52)2=154. 所以x -52=152或x -52=-152. 所以x 1=5+152,x 2=5-152. 易错提醒:用配方法解一元二次方程时,易出现以下错误:(1)方程一边忘记加常数项:(2)忘记将二次项系数化为1;(3)在二次项系数化为1时,常数项忘记除以二次项系数;(4)配方时,只在一边加上一次项系数一半的平方.探究点二:配方法的应用【类型一】 利用配方法求代数式的值已知a 2-3a +b 2-b2+3716=0,求a -4b 的值. 解:原等式可以写成:(a -32)2+(b -14)2=0. ∴a -32=0,b -14=0,解得:a =32,b =14. ∴a -4b =32-4×14=-12. 方法总结:这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用,通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键.【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明:不论x 取何值,代数式x -5x +7的值恒为正.解:∵x 2-5x +7=x 2-5x +(52)2+7-(52)2 =(x -52)2+34,而(x -52)2≥0, ∴(x -52)2+34≥34. ∴代数式x 2-5x +7的值恒为正. 方法总结:对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项,在求它的最值时,常常采用配方法,将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式,根据一个数的平方式是一个非负数,从而就可以求出原代数式的最值.三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤:(1)把原方程化为一般形式;(2)二次项系数化为1,方程两边都除以二次项系数;(3)移项,把常数项移到右边,使方程左边只含二次项和一次项;(4)配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方;(5)用直接开平方法解方程.通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程,发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法,经历从简单到复杂的过程,对配方法全面认识.培养学生发现问题的能力,通过学生亲自解方程的感受与经验,总结成文,帮助学生养成系统整理知识的学习习惯.。
2.2 一元二次方程的解法
2.2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
【学习目标】1、知识与技能:能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程。
2、能力培养:进一步体会转化的数学思想方法来解决实际问题。
3、情感与态度:培养观察能力,运用所学旧知识解决新问题。
【学习重点】能够熟练地应用配方法解一元二次方程。
【学习过程】
一、前置准备:1、上节课我们学过的解一元二次方程的基本思路是什么?其关键是什么?
二、自学探究:熟练掌握解一元二次方程的两种方法。
1、解下列方程:
(1)(2-x )2=3 (2)(x-2)2=64 (3)2(x+1)2=2
9
2、用配方法解方程:
(1)x 2-6x-40=0 (2)x 2-6x+7=0 (3)x 2+4x+3=0
(4)x 2-8x+9=0 (5)x 2-3
7x=2
三、合作交流:1、当x 取何值时,代数式10-6x+x 2有最小值,是几?
2、配方法证明y 2-12y+42的值恒大于0。
四、归纳总结:通过本节课的学习你进一步熟练了哪些知识?与同学交流一下。
五、例题解析:
例1 解方程3x 2+8x-3=0
分析:如何将二次项系数化为1?这样你可得方程 。
试将解方程的解答过程写出。
六、当堂训练:
解下列方程:
1、2x 2+5x-3=0
2、3x 2-4x-7=0
3、5x 2-6x+1=0
4、x 2+6x=1
【学习笔记】通过本节课你认为学的比较好的内容是什么?不足又是什么?
【课下训练】
1、(1)x 2-4x+ =(x- )2;(2)x 2-
34x+ =(x- )2 2、方程x 2-12x=9964经配方后得(x- )2=
3、方程(x+m )2=n 的根是
4、当x=-1满足方程x 2-2(a+1)2x-9=0 时,a=
5、已知:方程(m+1)x 2m+1+(m-3)x-1=0,试问:
(1)m 取何值时,方程是关于x 的一元二次方程,求出此时方程的解;
(2)m 取何值时,方程是关于x 的一元一次方程?
6、方程y 2-4=2y 配方,得( )
A.(y+2)2=6
B. (y-1)2=5
C. (y-1)2=3
D. (y+1)2=-3.
7、已知m 2-13m+12=0,则m 的取值为( )
A.1
B.12
C.-1和-12
D.1和12
【链接中考】1、关于x 的一元二次方程(a+1)x 2+3x+a 2-3a-4=0的一个根为0,则a 的值为
( )
A 、-1
B 、4
C 、-1或 4
D 、1
2、不论x 、y 为什么实数,代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值( ) A 、总不小于2 B 、总不小于7 C 、 可为任何实数 D 、可能为负数。