2.2.1 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程导学案 九年级数学上

用配方法求解一元二次方程
一、教学目标
知识与技能目标:
1、 会用直接开平方法解形如：)0()(2≥=+n n m x 的一元二次方程.
2、理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
过程与方法目标:
1、经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,使学生体会转化的数学思想.
2、
在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解一元二次方程，培养学生用转化的数
学思想解决问题的能力.
情感与态度目标：启发学生学会观察、分析，寻找解题的途径，提高他们分析问
题、解决问题的能力.
二、教学重、难点
教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
教学难点:会用配方法解一元二次方程.
三、教学方法：
启发—探究式的教学方法。

四、教学准备：
多媒体、投影仪 教师活动 学生活动 教学说明
（一）1、创设情境，引入问题 要使一块长方形场地的长比宽多6m ，并且 面积为16m2,场地的长和宽应各是多少？ 解：设场地的宽xm ,则长为 ()m x 6+ ， 列方程得：()
166=+x x 即：01662=-+x x (二)回顾旧知,获取新知 1、平方根的意义，如 a x =2 那么a x ±=. 观看课件，并思考问题 在这一问题中如何解所得到的方程？
从实际问题出发,让学生感受到“数学无处不在”
学生在原有平方根的基础上能解方程
教师就一元二次方
程的有两个根进行说明
启发学生观察方程
的特点
体会解一元二次方程的降次思想。

第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．(重点)2．能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程．(难点)一、情境导入如图，在宽为20，长为32的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为50002，道路的宽为多少？二、合作探究探究点一：利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程：－错误!2＋错误!－错误!＝0解：方程两边同除以－错误!，得2－5＋错误!＝0移项，得2－5＝－错误!配方，得2－5＋(错误!)2＝－错误!＋(错误!)2，即(－错误!)2＝错误!所以－错误!＝错误!或－错误!＝－错误!所以1＝错误!，2＝错误!易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项：(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．探究点二：配方法的应用【类型一】利用配方法求代数式的值已知a2－3a＋b2－错误!＋错误!＝0，求a－4b的值．解：原等式可以写成：(a－错误!)2＋(b －错误!)2＝0∴a－错误!＝0，b－错误!＝0，解得：a＝错误!，b＝错误!∴a－4b＝错误!－4×错误!＝－错误!方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明：不论取何值，代数式2－5＋7的值恒为正．解：∵2－5＋7＝2－5＋(错误!)2＋7－(错误!)2＝(－错误!)2＋错误!，而(－错误!)2≥0， ∴(－错误!)2＋错误!≥错误! ∴代数式2－5＋7的值恒为正． 方法总结：对于代数式是一个关于的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方式是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式； (2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程．通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯．♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥。

用配方法求解一元二次方程教学目标：（一）知识与技能：1、理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程。

2、能利用配方法解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。

（二）过程与方法目标：1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n(n>0)的方程.（重点）2.理解配方法的基本思路.（难点）3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（重点）（三）情感,态度与价值观启发学生学会观察,分析,寻找解题的途径，提高学生分析问题,解决问题的能力。

教学过程：一复习旧知用直接开平方法解下列方程：（1）9x2=4 (2)( x+3)2=0总结：上节课我们学习了用直接开平方法解形如（x+m）2=n(n≥0)的方程。

二创设情境，设疑引新填一填：1.如果x2 = a,那么x= .2.若一个数的平方等于9,则这个数是;若一个数的平方等于7,则这个数是.3.完全平方式:式子a2 ±2ab +b2叫完全平方式,且a2 ±2ab +b2= .三讲授新课（一）用直接开平方法解一元二次方程例1：用直接开平方法解下面一元二次方程.（1）x2 = 5;（2）2x2 + 3 = 5 .解：（1）x1 = , x2= .（2）2x2 + 3 = 5 ,2x2 = 2 ,x2 = 1 .x1 = 1 , x2= -1 .（3）x2 + 2x + 1 = 5 （4）(x + 6)2 + 72 = 102解：（3）x2 + 2x + 1 = 5（x + 1）2 = 5x1= , x2 =（4）(x + 6)2 + 72 = 102(x + 6)2 = 102 - 72(x + 6)2 = 51x1= , x2 =（二）配方法的基本思路填一填：（1）x2 +12x + _____ = ( x + 6 )2;（2）x2 - 4x + _____ = ( x - ____ )2;（3）x2 + 8 x + ____ = ( x + ____ )2问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2+ax的式子，如何配成完全平方？x2+ax + ( )2 = ( x+ )2例1：解方程x2 + 8x - 9 = 0解：可以把常数项移到方程的右边,得x2 + 8x = 9 ,两边都加42（一次项系数8的一半的平方）,得x2 + 8x + 42 = 9 + 42 ,即（x+4）2 = 25 .两边开平方,得x + 4 = ±5 ,即x + 4 =5 或x + 4 = -5.所以x1 = 1 , x2= -9.例2：解决梯子底部滑动问题：x2 + 12x -15=0 .解：可以把常数项移到方程的右边,得x2 + 12x = 15 ,两边都加62（一次项系数6的一半的平方）,得x2 + 12x + 62 = 15 + 62 ,即（x+6）2 = 51 .两边开平方,得x + 6 = ,即x + 6 = 或x + 6 = .所以x1 = , x2= .（三）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程例3：用配方法解x2 + 2x -1 = 0.解：移项，得x2 + 2x =1 ,配方，得x2 + 2x + 1 =1 + 1,即（x + 1）2 = 2.开平方, 得x + 1 = .解得x1 = , x2=四、当堂练习1.方程x2 - 4 = 0 的解是（）A. x =2B. x = -2C. x =±2D. x =±42.用配方法解关于x的一元二次方程x2 - 2x - 3 = 0,配方后的方程可以是（）A. (x - 1) 2 = 4B. (x + 1) 2 = 4C. (x - 1) 2 = 16D. (x + 1) 2 = 163. 解方程：(x + 1 )(x -1) + 2(x + 3) = 8解：方程化简，得x2 + 2x + 5 = 8.移项，得x2 + 2x = 3,配方，得x2 + 2x + 1 =3 + 1 ,即（x + 1）2 = 4.开平方, 得x + 1 = ±2.解得x1 = 1 , x2= -3.五、课堂小结用配方法解一元二次方程：直接开平方法：形如（x + m）2 = n (n≥0)基本思路：将方程转化为（x + m）2 = n(n≥0)的形式，在用直接开平方法，直接求根.解二次项系数为1的一元二次方程步骤1、移项2、配方3、直接开平方求解六、布置作业。

第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．(重点)2．能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程．(难点)一、情境导入如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？二、合作探究探究点一：利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程：－12x 2＋52x －54＝0. 解：方程两边同除以－12，得x 2－5x ＋52＝0. 移项，得x 2－5x ＝－52. 配方，得x 2－5x ＋(52)2＝－52＋(52)2， 即(x －52)2＝154. 所以x －52＝152或x －52＝－152. 所以x 1＝5＋152，x 2＝5－152. 易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项：(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．探究点二：配方法的应用【类型一】 利用配方法求代数式的值已知a 2－3a ＋b 2－b2＋3716＝0，求a －4b 的值． 解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －14)2＝0. ∴a －32＝0，b －14＝0，解得：a ＝32，b ＝14. ∴a －4b ＝32－4×14＝－12. 方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明：不论x 取何值，代数式x －5x ＋7的值恒为正．解：∵x 2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(52)2＋7－(52)2 ＝(x －52)2＋34，而(x －52)2≥0， ∴(x －52)2＋34≥34. ∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正． 方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方式是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式；(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程．通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯．。