天津市南开区2017届高三毕业班联考数学(文)试题Word版含答案

南开区2016— 2017学年度第二学期高三年级总复习质量检测 （一）数学试卷（文史类）第I 卷一、选择题（本大题共 8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）1、 若复数z 满足（-3 4i ）z =25i ，其中i 为虚数单位，则 z = A . 4 -3i B . 3 4i C . -5 3i D . 4 3i2、 口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球 45个，从中袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为 A . 0.45 B . 0.32 C . 0.64 D . 0.673、已知p,q 是简单命题，那么“ p q 是真命题”是“ —p 是真命题”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 2 24、已知双曲线才計的右焦点与抛物线2y =12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A .、、5B . 3C . 5D . 4、25、我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损术的算法思路与右图类似，记R（a b）为a除以b所得的余数，执行程序，若输入a,b分别为266,63 , 则输出的b的值为A . 1B . 3C . 7D . 216、已知函数f x AT nx2-x，则关于的不等式f(丄厂：2(1 n丄-1)的解集为m 2A. (0, 1) B . ^1,0^J(0,1) C . (0,2) D . (-2,0)U(0,2)2 2 2—I T T T T T 17、在ABC 中，AB =AC =1, AM =MB,BN = NC,CM AN ，则ABC =45■: 12Jl Tt —D .-4 6最小值是/输乜b /a且f (x 2^ f x 对任意的x • R 恒成立，若函数g x 二f x ］；「m(x • 1)在区间［「1,5］内有6个 零点，则实数m 的取值范围 _________ .三、解答题：本大题共 5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、(本小题满分13分)»oo o3T在匚ABC 中，角A, B,C 所对的边为a,b,c ，已知c = a b —4bccosC ，且A —C .2(1 )求cosC 的值；n(2 )求 cos(B)的值•316、(本小题满分13分)某厂拟输出甲乙两种适销产品，每件销售收入分别为A . 8B . 9C . 11D . 12二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答△«u13、 圆心在直线2x-y=0上的圆C 与x 轴的正半轴相切，圆 C 截y 轴所得的弦的长为 2. 3 , 则圆C 的标准方程为14、已知定义域为 R 的函数f x 满足：当(-1,1］时,，一1 ：：x 02-x-2,0 ：： x_13000元、2000元，甲乙产品都需要在 A 、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工一件甲所工时分别为1h,2h，加工一件乙设备所需工时分别为2h,1h ,A,B两种设备每月效使用台数分别为400h和500h，分别用x,y表示计划每月生产甲乙产品的件数•（1 ）用x, y累成满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲乙两种产品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入17、（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA = PB,PA _ PB, F为CE 上的点，且BF _平面PAC .（1）求证：平面PAB _平面ABCD ；（2）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值；（3）在棱PD上是否存在一点G，使GF //平面PAB，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由•18、（本小题满分13分）等比数列祐鳥的各项均为正数，成等差数列，且满足a^4a f.（1）求数列Ca n 1的通项公式；（2）设b n色口，n，N ，求数列匕』的前n项和S n.（1—a n）（1 ~a n 十）21、（本小题满分14分）2 2已知过点（0, -2.3），斜率为3的直线l过椭圆C:令匕-1（a b 0）的焦点，椭圆C的中心a b22关于直线l 的对称点在直线X 二’上.2(1)求椭圆C 的方程;点)，求直线m 的方程.20、(本小题满分14分)已知函数 f (x )=仮卜-a,a^ R, g(x) = 16x 3 +mx 2 _15x - 2，且 g(2)=0. (1) 求函数g x 的极值； (2)若函数f x 为单调函数，求实数 a 的取值范围；(3) 设a • 0 ,若存在实数t(t 0)，当x • ［0, t ］时函数f x 的值域为［0,丄］， 求实数a 的取值范围(2)过点E(2,0)的直线m 交椭圆于点M,N ，且满足ta n. MON =(O 为坐标原3OM ON南开区2016〜2017学年度第二学期离三年级总复习质量检测（一）9(13) (X -1)2+(^2)M ；(14) [j, j)三.解答题：（其他正礎解法请比照给分）（15） H ： （I ） •••c 2=o 2+y-46ccosG 由余弦定理可得"2G：•由正弦定理得siiU=2sinC.又 T A-C- £ ■ sinX =sin (C+—) =cosC ・ -2 2/•2sinC=cosC» X V sin 2C+cos 2C=l,解得cosC=座5(D)由(I )知sinC*y,/.sin2C=2sinCcosC= j, cos2C=2cos J C-l=-, •*.cos(B+i) =co S (—-2O， 68=005cos2C+sin —sin2C6 6J 迺丄丄红上迈2 5 2 510 -•** •7 ‘2 • •扣(9) {x|-2©<7}；(10)尸4x-3訂(11) V3： (12) [-2, 4]； 13分b+”500, =+2ys400, "0, 丿20, 该二元一次不等式畅赫的区域为右图中的阴形部分；・•・・•・•・・・・・6分（U ）设毎月收入为z千元.则目标函数为"3x+2y. 考虔z=3x+幼 将它变形为『〜討峙.这是斜 率为弓・随z 变化的一族平行直线.彳为直线在丁 轴上的截距，当彳取得量大值时，z 的值最大.又 因为工，y 满足约束条件，所以由右图可知，z=3x+却在点M 处取得最大值.2x +y = 500> />得点M 坐标为（200, 100）-x+2y = 400>所以 ^=600+200=800.答：生产甲产品200件，乙产品100件，可便收入量大，且最大收入为80万元............ ・・13分(17) M ： (I) TBF 丄平面 PAC. ：^BFLPA.又 VE41PB- •••比丄平面FBG•••£4 丄 BC.又・••底面M3是正方形,•VXB 丄 BG・・・BC 丄平面如， ・・•平面"BCD 丄平面£4B ・5）作PE±M?垂足为'电警;+案CXJ 脚却真如頁八烏开区高斗复习咖E:（⑹斛⑴由己知&曲”11分”12分由（I）知.PEJL平面XBCD■•・.直线PC与平面XBCD所成角即为ZPCE・• ........................... 6分•:吩PB. B4丄PB, AB^2,:・PE=l, PB二逅,・••在R1APBC中，由勾股定OPC=V6,.•曲“EC中，5=胃.即貢銭PC与平而肋CD所成角的正號值为嬰・、 (9)■(IH)作FG//CD，交PD 于G・. .■:・；• … • •・••:FG7/CP. AB//CD,:.FG//AB.又VFGcr平面⑷，Mu平面RL8・■:.FG〃平面E4B. •/•・•・ ........... 11 分7BF1平面刃C.\BFLPC.由（II）知，在R1MBC中，PF=卷,・3从而,PG=¥即棱PD上存在一点G,使GF〃平面刃B,且PG的长为半. .............. 13分（18）解，（I）设等比数列口｝的公比为仆TUJ KS*"S 2o<—2u5r4a^t.................. *............ I 分■•山4=舸+汝乳........ .................... 2分•・q>0，•“>0,且2^+^lM),庖开区高三总复习电检利（-）（以知M3X（共70解探尸*奏旷-匕(會》・J4・・.. .1 y 于所以数列｛心｝的通项公式为a 产□由⑴卄心忒石ED,1 - 1_莎二1_2”匸1・(19) Mt (I )依题意.宜线7：尸街X-2VL:•直线/过捕B8焦点，二该焦点坐标为(2, 0),即c=2. •・•过原点垂直于I 的直线方程为y~旦, ......3•••橢圆中心0(0, 0)关于直钱/的对称点在宜线“工卜2上4-2x r x•••/%从而，护=2.审口吋* 一如3粘(如*页希必乜故«0C 的方程为4+v = 1-o Z(U)由题设知直线加的斜杯为零，故SS 线加的方程为尸X' 代入捕圆C 的方程并整理得(F+3)FN"-2=0, 则知*島・wy 萨焉, ・•」側=J1 + F 1比》|71+卩7以f )2-伽》□分••6分_2R(1+F)，7tanZW^=-^Z ： _ .30M ON•sinZWN _ 4^6 */cosZMON '3\OM\^\ON\W3£MON，・•・［亦|・|页|sinZMON=还，3即.…3- ............................... . ...._ ••276-71+7 2^6••- —=—■.F + 3 3解得e±V5或E).泗护(1)%⑵T6・2%・2匚15・2-27 Am=-24,• i •• :. ■・・・g(r) =16?_24?-15辽令glx) M&?-48x-15=0. «得工—1 54*少变化时，g'S和g(x)的变化倩况如下表：X (-C0, -丄)443 4}~5~4r__________G，+«>)4+0■0,+/ w / 极大值\极小值/A/U) •*«=/(—)=0» /(x)«x«=/(^)=-27.当aWO 时，fix)*= 7x (x-a), /z(r) = -x^--or 1 ^0,2 2・J&)在[0, +«>)上单调递增，符合题意；业 a ■fVxffl —x)>OMxVa纸>0时，/(x)=：W °[Vx(x-a)> x>a,此时，XWZ为心)的零点.显然不单调；此实数a的取值范围是go.5)瓯当x>a时・/(x)单调递增・•W,护5当询訂嘗<。

绝密★启用前【试题点评】2017年天津高考数学试题考点变化不大,题型结构与2016年相同,从知识结构角度看,试题考查内容覆盖面广,与往年基本一致。

与此同时,试题命题中出现地综合与创新,体现了能力立意地命题思路与稳中求变地命题特点。

整卷难度分布正确,具有较好地区分度,整体难度与去年相比稍有降低。

纵观整篇试题,命题严格按照《考试说明》与课程标准,双基内容占了相当大地比例,体现了命题人回归教材，突出主干地思路,重视对考生基本数学素养地考查。

对于此部分题目,只要考生熟练掌握基本概念和定理,就可以轻松得分。

试题在知识点选择上与去年相比略有改变,考验学生基础知识掌握地全面性。

试题命题风格稳定,试题布局正确,利于考生发挥自身真实水平,具有较好地信度和效度。

每年天津高考命题都会给予应用问题一定地关注,对中学数学教学重视数学应用有很好地导向作用,第16题以大家熟悉地电视剧与广告以及收视人次为命题背景,选材正确,将线性规划与实际问题相结合,考查学生地理解能力以及应用数学知识解决实际问题地能力,体现了数学地应用价值与人文特色。

知识难度不大,审清题后可较容易地得到结果,体现了新课标地教育理念。

在注重基础和应用地同时,今年天津高考试题也加强了综合性与创新性地考查,以提高试题区分度,如第8题,主要考查基本初等函数地图象和性质,设问综合了分段函数单调性，函数零点以及图象变换等典型考点,充分考查了考生地数形结合思想与转化化归思想,考验学生地知识理解深度与思路问题解决问题地能力。

第19题设问较为新颖,命题具有一定地抽象性与综合性,需要学生基于三次函数单调性与极值最值地关系进行探索思路,考查函数与方程，分类讨论，转化等数学思想,问题思路环环相扣,逻辑严密,难度较大,充分考验学生地心理素质,具有较好地区分度,体现了高考地选拔性,另外也给优秀学生提供了展示自身能力地平台,也引导我们数学教学工作需注重数学能力与创新意识地培养。

第20题总地来说需要考生熟练掌握思路几何中常见几何图形性质地代数表达并正确选择参数简化运算,对考生地运算和解题技巧要求较高。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =（ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==，故选B ． （2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，故选B ．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：25C ，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：14C ；42105P ==，故选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N 的值为19，则输出的N 的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出3N =，故选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） （A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）所以2OF =，60AOF ∠=︒，所以直线OA 方程为3y x =，所以渐近线方程by x a=±其中一条为3y x =，所以，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，故选D ． （6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，所以c b a <<，故选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，所以如图所示：若函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不满足最小正周期大于2π，所以函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，所以25382ππϕ⨯+=，所以12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]- 【答案】A【解析】函数()f x 的图象如下图（左），若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则不妨设()2x g x a =+，“()2xf x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图 象与()yg x =图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a 的取值范围在2-与2之间，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ．【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，所以20a +=，2a =-． 解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，所以2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ．【答案】1【解析】函数()f x 的导函数1'()f x a x=-，所以(1),'(1)1f a f a ==-，切点(1,)a ，斜率为1a -，所以代入切线点斜式：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：0,1x y ==，所以答案为1．（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．【答案】92π 【解析】球的表面积公式2618S a ==，所以棱长3a =，计算得：233R a ==，32R =，34932V R ππ==． （12）【2017年天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ．【答案】22(1)(3)1x y ++-=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，所以可设(1,)C b -，OA b =，120FAC ∠=︒，所以60AFH ∠=︒，在直角三角形OAF 中，1OF =，所以3OA =，所以圆的圆心(1,3)-， 半径等于1，所以圆22:(1)(3)1C x y ++-=．（13）【2017年天津，文13，5分】若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】4422414144a b a b abab ab ab+++≥≥=（0ab >），当且仅当“444a b =”、“2241a b =”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2a b --==．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC =，AE AC AB λ=- ()R λ∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ． 【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+，则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2017年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值．解：（1）sin 4sin a A b B =可化为224a b =，解得：2a b =，余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=25bc=5=-． （2）根据5cos A =-，解得25sin A =，所以5sin B =，25cos B =，4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos22cos 15B B =-=，sin(2)B A -45325sin 2cos cos2sin ()55B A B A =-=⨯--⨯10525--==． （16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视 剧的次数．（1）用,x y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：（1）分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩．（2）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z为直线在y 轴上的截距， 当25z 取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经 过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为()6,3．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =． （1）求异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：（1）因为AD ∥BC ，所以PAD ∠等于异面直线AP 与BC 所成的角，AD ⊥平面PDC ，所以90PDA ∠=︒，5PA =，5cos 5AD PAD AP ∠==． （2）因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥，又因为AD ∥BC ，所以PD BC ⊥，PD PB ⊥，且PB BC B =，所以PD ⊥平面PBC ．（3）取BC 上三分点，3BE BC =，//BE AD ，1AD BE ==，PD ⊥平面PBC ，所以DEP ∠等于直线AB 与平面PBC 所成角90DPE ∠=︒，25AB =，25DE =，4PE =，25sin 525PD DEP DE ∠===．（18）【2017年天津，文18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S *()n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．解：（1）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，所以1(1)n a a n d =+-，1112n n n b b q q --==，22212q q +=，解之得：2,3q q ==-（舍），118311(5)1116a da d =-+⎧⎨+=⨯⎩，解之得：11,3a d ==所以31n a n =-，2n n b =．（2）2(62)2n n n a b n =-⨯，不妨设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，2142632212n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++，123142102162(68)2(62)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯① 2n T =231142102(614)2(68)2(62)2n n n n n n -+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ②①-②得：123142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，整理得：216(34)2n n T n +=+-⨯．（19）【2017年天津，文19，14分】设,a b R ∈，1a ≤，已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和函数x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线．（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．解：（1）32'()()'6()'3(4)'f x x x a a x =---，2'()3123(4)f x x x a a =---，2'()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=-+-，因为1a ≤，所以4a a <-，ABCDP E所以，()f x 的单调增区间(,),(4,)a a -∞-+∞，()f x 的单调减区间[,4]a a -．（2）（i ）()()x g x e f x =与x y e =在公共点00(,)x y 处有相同的切线，首先，00()x g x e =；其次，00'()x g x e =，0()1f x =，00()'()1f x f x +=，所以0'()0f x =．（ii ）()x g x e ≤等价于()1f x ≤，0'()0f x =，0()1f x =，所以0x a =极大值点，若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于()1f x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于max ()1f x ≤，00[1,1]x x x ∈-+，当0x a =，()f x 在[1,]a a -递增，在[,1]a a +递减，()f a 为最大值， ()1f a =，32261a a b -++≤，32261b a a ≤-+，令32()261h x x x =-+，2'()6126(2)h x x x x x =-=-，()h x 在[1,0]-递增，在[0,1]递减，所以7()1h x -≤≤，71b -≤≤．（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c ； （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．解：（1）12AEF S AF OE ∆=⨯⨯21()22b a c c =+⨯=，因为222b a c =-，所以c a c =-，故2a c =，12c e a ==．（2）（i ）45EFO ∠=︒，设1EQ EA λλ=+(01)λ<<，所以(1)FQ FE FA λλ=-+，2FE c =，3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍）代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ii ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组：2224333412y x c x y c=-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），所以3(,)2c P c ，因为69(,)510c c FQ =，所以9(,)510c cQ ， 即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，所以直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（i ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c cQN FQ =⨯=⨯=， MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c =，所以2332c c =，解之得2c =，所以4,23a b ==，所以2211612x y +=．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =（ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==，故选B ． （2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，故选B ．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：25C ，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：14C ；42105P ==，故选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N 的值为19，则输出的N 的值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出3N =，故选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）所以2OF =，60AOF ∠=︒，所以直线OA 方程为3y x =，所以渐近线方程by x a=±其中一条为3y x =，所以，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，故选D ． （6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =， 则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，所以c b a <<，故选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，所以如图所示： 若函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不满足最小正周期大于2π，所以函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，所以25382ππϕ⨯+=，所以12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]- 【答案】A【解析】函数()f x 的图象如下图（左），若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成 立，则不妨设()2x g x a =+，“()2xf x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图 象与()yg x =图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得 232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a的取值范围在2-与2之间，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，所以20a +=，2a =-． 解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，所以2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ．【答案】1【解析】函数()f x 的导函数1'()f x a x=-，所以(1),'(1)1f a f a ==-，切点(1,)a ，斜率为1a -，所以代入切线点斜式：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：0,1x y ==，所以答案为1．（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】92π【解析】球的表面积公式2618S a ==，所以棱长3a =，计算得：233R a ==，32R =，34932V R ππ==．（12）【2017年天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ． 【答案】22(1)(3)1x y ++-=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，所以可设(1,)C b -，OA b =，120FAC ∠=︒，所以60AFH ∠=︒，在直角三角形OAF 中，1OF =，所以3OA =，所以圆的圆心(1,3)-，半径等于1，所以圆22:(1)(3)1C x y ++-=．（13）【2017年天津，文13，5分】若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】4422414144a b a b abab ab ab+++≥≥=（0ab >），当且仅当“444a b =”、“2241a b =”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2a b --==．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC =，AE AC AB λ=-()R λ∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+，则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2017年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．解：（1）sin 4sin a A b B =可化为224a b =，解得：2a b =，余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=25ac bc -=55=-． （2）根据5cos 5A =-，解得25sin 5A =，所以5sin 5B =，25cos 5B =，4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos22cos 15B B =-=，sin(2)B A -45325sin 2cos cos2sin ()5555B A B A =-=⨯--⨯10525255--==． （16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视 剧的次数．（1）用,x y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：（1）分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩．（2）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为()6,3．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（1）求异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1）因为AD ∥BC ，所以PAD ∠等于异面直线AP 与BC 所成的角，AD ⊥平面PDC ，所以90PDA ∠=︒，PAcos AD PAD AP ∠==． （2）因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥，又因为AD ∥BC ，所以PD BC ⊥，PD PB ⊥，且PBBC B =，所以PD ⊥平面PBC ．（3）取BC 上三分点，3BE BC =，//BE AD ，1AD BE ==，PD ⊥平面PBC ，所以DEP ∠等于直线AB 与平面PBC 所成角90DPE ∠=︒，AB =DE =4PE =，sin PD DEP DE ∠==． （18）【2017年天津，文18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S *()n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}2n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．解：（1）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，所以1(1)n a a n d =+-，1112n n n b b q q --==，22212q q +=，解之得：2,3q q ==-（舍），118311(5)1116a da d =-+⎧⎨+=⨯⎩，解之得：11,3a d ==所以31n a n =-，2n n b =．（2）2(62)2n n n a b n =-⨯，不妨设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，2142632212n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++，123142102162(68)2(62)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯①2n T =231142102(614)2(68)2(62)2n n n n n n -+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ②①-②得：123142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，整理得：216(34)2n n T n +=+-⨯．（19）【2017年天津，文19，14分】设,a b R ∈，1a ≤，已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和函数xy e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线．（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()xg x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．解：（1）32'()()'6()'3(4)'f x x x a a x =---，2'()3123(4)f x x x a a =---，2'()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=-+-，因为1a ≤，所以4a a <-，所以，()f x 的单调增区间(,),(4,)a a -∞-+∞，()f x 的单调减区间[,4]a a -．（2）（i ）()()x g x e f x =与xy e =在公共点00(,)x y 处有相同的切线，首先，00()x g x e =；其次，00'()x g x e =，0()1f x =，00()'()1f x f x +=，所以0'()0f x =．（ii ）()xg x e ≤等价于()1f x ≤，0'()0f x =，0()1f x =，所以0x a =极大值点，若关于x 的不等式()x g x e ≤ 在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于()1f x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于max ()1f x ≤，00[1,1]x x x ∈-+，当0x a =，()f x 在[1,]a a -递增，在[,1]a a +递减，()f a 为最大值， ()1f a =，32261a a b -++≤，32261b a a ≤-+，令32()261h x x x =-+，ABCDPE2'()6126(2)h x x x x x =-=-，()h x 在[1,0]-递增，在[0,1]递减，所以7()1h x -≤≤，71b -≤≤．（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c ； （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．解：（1）12AEFS AF OE ∆=⨯⨯21()22b a c c =+⨯=，因为222b a c =-，所以c a c =-，故2a c =，12c e a ==．（2）（i ）45EFO ∠=︒，设1EQ EA λλ=+(01)λ<<，所以(1)FQ FE FA λλ=-+，2FE c =，3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍） 代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ii ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组：2224333412y x c x y c=-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），所以3(,)2c P c ，因为69(,)510c cFQ =，所以9(,)510c cQ ， 即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，所以直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（i ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c c QN FQ =⨯=⨯=， MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c =，所以2332c c =，解之得2c =，所以4,23a b ==，所以2211612x y+=．。

天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数 学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的）1．i 是虚数单位，复数=++-ii 4321（ ）A. i 5251+ B. i 5251+- C. i 21-D. i 21--2．设变量y x ,满足约束条件30301x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则目标函数3z x y =+的最小值是( )A.3B.4C.5D.63．已知命题0:>∀x p ，总有1ln )1(>+x x ，则p ⌝为（ ） A.0000,(1)ln 1x x x ∃≤+≤使得 B.0000,(1)ln 1x x x ∃>+≤使得C.0000,(1)ln 1x x x ∃>+≤总有D.0000,(1)ln 1x x x ∃≤+≤总有4．已知31)43(=a ，31log 43=b ，43log 3=c ，则（ ） A.a b c >> B.a c b >> C.b a c >> D.c a b >>5．将sin(2)4y x π=-的图像上所有点向左平移4π后得到)(x f y =的图像，则)(x f y =在[-2π，0]上的最小值为（ ）A. 1-B. 22- C.0D. 23-6. 已知抛物线x y 42=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线交于点M （M 异于原点），且点M 到抛物线焦点的距离等于3，则双曲线的离心率是（ ） A ．25B ．26 C ．2D.37．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)+∞,0上单调递增，若ba ,均为不等于1的正实数，则ba >是0)(log )2log 1(21>+b f f a 成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，2==AD AB ，1CD =，P 为线段BC 上一个动点，设BC BP λ=，则当PD PA ⋅取得最小值时λ的值是（ ）A. 21 B.54 C. 0D.1第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∈=15xN x S ，{}6,4,2=T ，则集合T S 中元素个数为________.10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．11. 执行如图所示的程序框图,则输出的S 的值是________. 12. 已知ba ,均为正实数，圆)1(2222=-+-+b a ax y x 与圆012222=-+-+b a y y x 外切，则ab 的最小值为________.13. 如图AB 是圆O 的直径，过B 作圆O 的切线交弦AD 的延长线于点P ，M 为AD 上一点，且6==PMPB ，4=PD ，连接BM 并延长交圆O 于点C ，连接OC 交AD 于点N ，则CN =________.11题图10题图13题图正视图俯视图侧视图14. 已知函数⎩⎨⎧>≤-+=)0(,ln )0(,513)(x x x x x f ，若函数2)(+-=kx x f y 恰有3个零点，则实数k 的取值范围为________.三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：年龄（岁）[)30,15[)45,30[)60,45[)75,60人数 1213 87 赞成人数5 7x3（Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为45.0，则x 的值为；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在[)60,45，[)75,60两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[)75,60年龄段为事件M ，求事件M 的概率.16．（本小题满分13分） 在ABC∆中，内角C B A ,,所对边分别为cb a ,,,已知B cC a sin 2sin =,2b =,41cos -=A .（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求cos(2)3A π-.17.(本小题满分13分）如图四边形PDCE 是正方形，四边形ABCD为直角梯形，DCAB //，090=∠ADC ，且平面PDCE ^平面ABCD .（Ⅰ）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ；（Ⅱ）求证：直线⊥PC 平面ADE ；（Ⅲ）若正方形PDCE 边长为a 2，a AD AB ==，求直线BE 与平面PDCE 所成角的余弦.ABCDMPE18.（本小题满分13分）己知数列{}n a 前n 项的和为n S ，且满足n S 2(2)n n a -=-()n N *∈. （Ⅰ）证明数列}{1n a -为等比数列.（Ⅱ）若n n b a =⋅2log (1)n a - ,求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，其左顶点到上顶点的距离为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 是过椭圆右焦点F 且斜率为k 的直线，已知直线l 交椭圆于,M N 两点，若椭圆上存在一点P ,满足OM ON OP λ+=,求当2OP k =时,k 的值.20．（本小题满分14分）已知函数R x a ax x x f ∈>-=),0(23)(23（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知)('x f 是)(x f 的导函数，若[]1,0,21∈∃x x ，使得a x x f x f 23)(')(221-+≤，求实数a 的取值范围.天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（文科） 评分标准二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．2； 10．320； 11．217 ； 12．21 ； 13．25；14．{}e k k k =≤<-或03|三、解答题：本大题共6小题，共80分．15. 某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：年龄（岁）[)30,15[)45,30[)60,45[)75,60频数 1213 87 赞成人数5 7x3（Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为45.0，则x 的值为；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在[)60,45，[)75,60两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[)75,60年龄段为事件M，求事件M的概率.解答：（1）经过该路段人员中赞成的人数为3+x+75+----------------2分-----------------3分解得3=x-----------------4分（2）设年龄在[]60,45的3位被调查者为C,,年龄在A,B[65,75]的3位被调查cb,，a,---------------5分则从6位调查者中抽出2人包括：)aBAa(Cb,a，aca(),((,),),,,(,),c，),(),Acc,,(CBABA共15个基,(),CB,(C(),C(),,,(),),(),,AbbB(Cbb，),(),本事件，且每个基本事件等可能。

天津市南开区2017届高三下学期毕业班联考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1. 已知复数z 满足11z i=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i - D ． 1i +2. 已知直线l ：y kx b =+，曲线C ：22(1)1x y +-=，则“1b =”是“直线l 与曲线C 有公共点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 若ππ23sinlog ,3log ,552.0===c b a ，则（ ） A ．b c a >> B.b a c >> C.a b c >> D ．c a b >>4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为8，则判断条件是（ ）A ．2k <B ．4<kC ．3<kD ．3≤k 5. 点P 为ABC ∆边AB 上任一点，则使ABC PBC S S ∆∆≤31的概率是（ ） A.31 B.32 C.95D.946. 函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．56π B ．3π C ．4π D ．6π7. 已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于,A B 两点,若22::4:3:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A ． B ．C ．2 D8. 在平行四边形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，0120=∠ABC ，平面ABCD 内有一点P ，满足5=AP ，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ，则μλ+2的最大值为（ ）A ．35 BC ．453D ．615二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9. 某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取 人进行该项调查.10. 甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如下图所示，甲、乙几何体的体积分别为1V 、2V ，则12:V V 等于 .11.ABC ∆是o 的内接三角形，PA 是o 的切线，PB 交AC 于点E ，交o 于点D .若PA PE =，060ABC ∠=，1PD =，9PB =，则EC = .12. 函数212log (43)y x x =-+-的单调增区间为 .13.已知数列{}n a ，11a =,23a =,21n n n a a a ++=-,则2016a = .14. 若函数22()26f x x a x a =++-的图像与x 轴有三个不同的交点，函数()()g x f x b =-有4个零点，则实数b 的取值范围是 ．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数)sin 3(cos cos )(x x x x f +=. （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若1)(=C f 且4,7=+=b a c ，求ABC S ∆.第10题16.（本小题满分13分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B 若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过并且B 最大，最大收益是多少?17.（本小题满分13的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中//AB CD ，AB BC ⊥，112CD BC AB ===，AE DF O = ,M 为EC 的中点.（Ⅰ）证明： //OM 平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D AB E --的正切值；（Ⅲ）求BF 与平面ADEF 所成角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>.（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）设椭圆E 的焦距为，直线l 与椭圆E 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，求证：直线l 恒与圆2234x y +=相切.19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()22log 22nn na n n nb n n a ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T .20.（本小题满分14分）已知函数x ax x f ln 1)(--=.（R a ∈） （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若函数)(x f 在x=2处的切线斜率为12，不等式2)(-≥bx x f 对任意),0(+∞∈x 恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明对于任意n ∈N ，n≥2有：222222222ln 2ln3ln 4ln 212342(1)n n n n n --++++<+ .天津市南开区2017届高三下学期毕业班联考数学（文）试题评分标准9．31； 10．1:3； 11．4； 12．()2,3； 13． 2-； 14． ()6,0- 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15. 解：（Ⅰ）2()cos (cos )cos cos f x x x x x x x ==……………….1分1cos 2222x x +=+ …………….3分 1sin(2)26x π=++ ……………….5分 当sin(2)16x π+=-时，()f x 取最小值为21-. ……………….6分（Ⅱ）1)62sin(21)(=++=πC C f ，∴ 1sin(2)62C π+= ………………. 7分()0,C π∈ ， 132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭………………. .8分 ,3C π∴=………………. 9分又2222cos c a b ab C =+-， ………………. 10分2()37a b ab +-= ………………. 11分∴3=ab ………………. 12分 ∴433sin 21==∆C ab S ABC . …………….13分16．解：设搭载A 产品x 件，B 产品y 件，则预计收益z=1000x+1200y ……….2分则有2 1.5151.512200,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ …………….6分……….9分上述不等式组表示的平面区域如图，阴影部分（含边界）即为可行域． 作直线l ：1000x+1200y=0，即直线x+1.2y=0．把直线l 向右上方平移 到l 1的位置，直线l 1经过可行域上的点B ，此时z=1000x+1200y取得最大值． ……….10分由解得点M 的坐标为（3，6）． ……….11分∴当x=3，y=6时，z max =3×1000+6×1200=10200（百元）．……….12分答：所以搭载A 产品3件，B 产品6件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为10200百元. ……….13分17 .解：（Ⅰ）,O M 分别为EA ，EC 的中点//OM AC ∴ ……………….2分 OM ⊄ 平面ABCD AC ⊂平面ABCD ………………….3分OM ∴||平面ABCD ………………….4分（Ⅱ）取AB 中点H ，连接,DH EHDA DB = ,DH AB ∴⊥ ………………………….5分又EA EB = EH AB ∴⊥ …………………………….6分 EHD ∴∠为二面角D AB E --的平面角 …………………………….7分H又1DH = tan EDEHD DH∴∠==…………………………….8分 （Ⅲ）∠=∠==t ,1R BCD BC DC 2=∴BD2,2==AB AD DA BD ⊥∴ …………………………….9分ABCD BD AD ABCD ADEF ABCD ADEF 平面,平面平面,平面平面⊂=⊥ ADEF BD 平面⊥∴ …………………………….10分 的余弦值即为所求BFD ∠∴ ……………………………11分在6,2,t ,中t ==∠=∠∆BF DF R BDF BDF R3662cos ===∠∴BF DF BFD …………………………….12分 36所成角的余弦值为与平面ADEF BF ∴ …………………………….13分 18 .解（1）依题意得：322=ba ，又222cb a +=， ………………….2分36==∴a c e …………………………….3分 （2）222，36==c a c1,322==∴b a ∴椭圆E 的方程为2213x y +=， …………………………….5分（Ⅰ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+,联立方程得()()()22222136310,12130k x kmx m k m +++-=∆=+->，……….6分设()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理，得()2121222316,1313m kmx x x x k k--+=⋅=++，….7分 所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=+⋅+=+++， ……………….9分结合韦达定理，得()2212122431013m k OP OQ x x y y k-+⋅=⋅+⋅==+ ，所以()22431m k =+，又原点O 到直线l的距离2d ==== ∴当直线l 的斜率存在时，l 恒与圆2234x y +=相切. …………………………….11分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，OPQ ∆是以PQ 为斜边的等腰直角三角形，,P Q 的坐标满足方程y x =，结合椭圆方程，得x =，从而原点O 到直线l的距离d =， ∴当直线l 的斜率不存在时，l 与圆2234x y +=相切. …………………………….12分 综上，直线l 恒与圆2234x y +=相切. …………………………….13分 19 . 解（1） 2n ≥,1122n n S a --=- ………………….2分 1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -= ………………….3分又1n = ,1122S a =- 12a = ………………….4分∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列2n n a ∴= ………………….5分（2）由（1）知()()2211log 222222n n n n nn n n n n n b b nn n n -⎧⎧⎪⎪++⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数……………….7分所以21232n n T b b b b =++++ =1111111213352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭ 135212462222n n -⎡⎤+++++⎢⎥⎣⎦ ………………….9分 21n n =+135212462222n n -⎡⎤+++++⎢⎥⎣⎦设135212462222n nA -=++++ ， 则23572124622222n n A -+=++++ ， ………………….10分两式相减得3572121322221422222n n nA -+=++++- ， ………………….12分整理得211668992n n A -+=-⨯， ………………….13分 所以221166899221n n n n T n -+=-+⨯+． …………………14.分20．解：（1） 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xax x a x f 11)(-=-=' ………………1分 当0≤a 时，01<-ax ，从而0)(<'x f ，故函数)(x f 在),0(+∞上单调递减 …………2分 当0>a 时，若ax 10<<，则01<-ax ，从而0)(<'x f ， …………3分 若ax 1>，则01>-ax ，从而0)(>'x f ， …………4分 故函数)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在),1(+∞a上单调递增； …………5分（Ⅱ）求导数：1()f x a x'=-， ∴11(2)22f a '=-=，解得a=1． …………6分 所以2)(-≥bx x f ，即2ln 1-≥--bx x x ，由于0>x ，即xx x b ln 11-+≤. …………7分 令x x x x g ln 11)(-+=，则2222ln ln 11)(xx x x x x g -=---=' 当20e x <<时，0)(<'x g ；当2e x >时，0)(>'x g∴)(x g 在),0(2e 上单调递减，在),(2+∞e 上单调递增； …………9分故22min 11)()(ee g x g -==，所以实数b 的取值范围为]11,(2e --∞ …………10分 （3）证明：由当1a = ，1x > 时，11()10x f x x x-'=-=> ，()f x 为增函数， (1)0f = ()1ln 0f x x x ∴=--> 即ln 1x x <- …………11分 ∴当2n ≥时，221lnn n ＜﹣， …………12分2222ln 111111(1)1n n n n n n n n -∴<<-=-+++ …………13分 22222222ln 2ln 3ln 4ln 111111(1)(1)(1)23423341n n n n ++++<-++-+++-++211211212(1)n n n n n --=--+=++ ∴222222222ln 2ln 3ln 4ln 212342(1)n n n n n --++++<+ （*2n N n ∈≥， ）． …………14分。

2017年一般高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． （1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，那么()A B C =（ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==，应选B ． （2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，那么“20x -≥”是“11x -≤”的（ ）（A ）充分没必要要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也没必要要条件 【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，应选B ．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无不同），颜色别离为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，那么掏出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”大体事件总个数：25C ，而事件“掏出的2支彩笔中含有红色彩笔”包括大体事件个数：14C ；42105P ==，应选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，假设输入的N 的值为19，那么输出的N 的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行进程如下：第一初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不知足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不知足3N ≤；第三次循环：23NN ==，知足3N ≤；现在跳出循环体，输出3N =，应选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左核心为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），那么双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）因此2OF =，60AOF ∠=︒，因此直线OA 方程为3y x =，因此渐近线方程by x a=±其中一条为3y x =，因此，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，应选D ． （6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，假设21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =， 则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，因此有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，因此c b a <<，应选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，假设511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，那么（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，因此如下图：假设函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不知足最小正周期大于2π，因此函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，因此25382ππϕ⨯+=，因此12πϕ=，应选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，假设关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，那么a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]- 【答案】A【解析】函数()f x 的图象如以下图（左），假设关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，那么不妨设()2x g x a =+，“()2xf x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图象与()y g x =图象应如以下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a 的取值范围在2-与2之间，应选A ．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，假设i2ia -+为实数，那么a 的值为 ．【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，因此20a +=，2a =-． 解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，因此2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，那么l在y 轴上的截距为 ． 【答案】1【解析】函数()f x 的导函数1'()f x a x=-，因此(1),'(1)1f a f a ==-，切点(1,)a ，斜率为1a -，因此代入切线点斜式：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：0,1x y ==，因此答案为1．（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有极点在一个球面上，假设那个正方体的表面积为18，那么那个球的体积为 ．【答案】92π【解析】球的表面积公式2618S a ==，因此棱长3a =，计算得：233R a ==，32R =，34932V R ππ==． （12）【2017年天津，文12】设抛物线24y x =的核心为F ，准线为l ，已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，假设120FAC ∠=︒，那么圆的方程为 ．【答案】22(1)(3)1x y ++-=【解析】抛物线24y x =的核心为(1,0)F ，准线为:1l x =-，因此可设(1,)C b -，OA b =，120FAC ∠=︒，因此60AFH ∠=︒，在直角三角形OAF 中，1OF =，因此3OA =，因此圆的圆心(1,3)-， 半径等于1，因此圆22:(1)(3)1C x y ++-=．（13）【2017年天津，文13，5分】若,a b R ∈，0ab >，那么4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】4422414144a b a b abab ab ab+++≥≥=（0ab >），当且仅当“444a b =”、“2241a b =”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2a b --==．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，假设2BD DC =，AE AC AB λ=- ()R λ∈，且4AD AE ⋅=-，那么λ的值为 ． 【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+，则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤． （15）【2017年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边别离为,,a b c ．已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值．解：（1）sin 4sin a A b B =可化为224a b =，解得：2a b =，余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=25bc=5=-． （2）依照5cos A =-，解得25sin A =，因此5sin B =，25cos B =，4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos22cos 15B B =-=，sin(2)B A -45325sin 2cos cos2sin ()55B A B A =-=⨯--⨯10525--==． （16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套持续剧，每次播放持续剧时，需要播放广告，已知连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25分钟， 且甲持续剧播放的次数不多于乙持续剧播放次数的2倍，别离用,x y 表示每周打算播出的甲、乙两套电视 剧的次数．（1）用,x y 列出知足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问电视台每周播出甲、乙两套持续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：（1）别离用,x y 表示每周打算播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩．（2）设总收视人次为z 万，那么目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 转变的一族平行直线．25z为直线在y 轴上的截距， 当25z 取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 知足约束条件，因此由图2可知，当直线6025z x y =+经 过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为()6,3．因此，电视台每周播出甲持续剧6次、乙持续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =． （1）求异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：（1）因为AD ∥BC ，因此PAD ∠等于异面直线AP 与BC 所成的角，AD ⊥平面PDC ，因此90PDA ∠=︒，5PA =，5cos 5AD PAD AP ∠==． （2）因为AD ⊥平面PDC ，因此AD PD ⊥，又因为AD ∥BC ，因此PD BC ⊥，PD PB ⊥，且PB BC B =，因此PD ⊥平面PBC ． （3）取BC 上三分点，3BE BC =，//BE AD ，1AD BE ==，PD ⊥平面PBC ，因此DEP ∠等于直线AB 与平面PBC 所成角90DPE ∠=︒，25AB =，25DE =，4PE =，25sin 525PD DEP DE ∠===．（18）【2017年天津，文18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S *()n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．解：（1）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，因此1(1)n a a n d =+-，1112n n n b b q q --==，22212q q +=，解之得：2,3q q ==-（舍），118311(5)1116a da d =-+⎧⎨+=⨯⎩，解之得：11,3a d ==因此31n a n =-，2n n b =．（2）2(62)2n n n a b n =-⨯，不妨设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，2142632212n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++，123142102162(68)2(62)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯① 2n T =231142102(614)2(68)2(62)2n n n n n n -+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ②①-②得：123142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，整理得：216(34)2n n T n +=+-⨯．（19）【2017年天津，文19，14分】设,a b R ∈，1a ≤，已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和函数x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线．（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）假设关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．解：（1）32'()()'6()'3(4)'f x x x a a x =---，2'()3123(4)f x x x a a =---，2'()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=-+-，因为1a ≤，因此4a a <-，ABC DP E因此，()f x 的单调增区间(,),(4,)a a -∞-+∞，()f x 的单调减区间[,4]a a -．（2）（i ）()()x g x e f x =与x y e =在公共点00(,)x y 处有相同的切线，第一，00()x g x e =；第二，00'()x g x e =，0()1f x =，00()'()1f x f x +=，因此0'()0f x =．（ii ）()x g x e ≤等价于()1f x ≤，0'()0f x =，0()1f x =，因此0x a =极大值点，假设关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于()1f x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于max ()1f x ≤，00[1,1]x x x ∈-+，当0x a =，()f x 在[1,]a a -递增，在[,1]a a +递减，()f a 为最大值， ()1f a =，32261a a b -++≤，32261b a a ≤-+，令32()261h x x x =-+，2'()6126(2)h x x x x x =-=-，()h x 在[1,0]-递增，在[0,1]递减，因此7()1h x -≤≤，71b -≤≤．（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左核心为(,0)F c -，右极点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b ．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c ； （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．解：（1）12AEF S AF OE ∆=⨯⨯21()22b a c c =+⨯=，因为222b a c =-，因此c a c =-，故2a c =，12c e a ==．（2）（i ）45EFO ∠=︒，设1EQ EA λλ=+(01)λ<<，因此(1)FQ FE FA λλ=-+，2FE c =， 3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍）代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ii ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组：2224333412y x c x y c =-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），因此3(,)2c P c ，因为69(,)510c c FQ =，因此9(,)510c cQ ， 即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，因此直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（i ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c cQN FQ =⨯=⨯=， MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c =，因此2332c c =，解之得2c =，因此4,23a b ==，因此2211612x y+=．。

2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

参考公式：∙锥体的体积公式Sh V31=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．设集合{}{}|02,|13A x x B x N x =≤≤=∈≤≤，则A B = （ ）． A ．{}1,2 B ．{}1,2,3 C ．{}|12x x ≤≤ D ．{}|03x x ≤≤2．若从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个去旅游，那么恰好选1个海滨城市的概率是（ ）A ．31 B ．32 C ．41 D ．21 3．如图，是某算法的程序框图，当输出29T ＞时，正整数n 的最小值是（A ．2B ．3C ．4D ．5 4．已知下列说法：①命题“若0x =或0y =则0=xy ”的否命题为“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”② “2a =”是“直线410ax y ++=与直线30ax y --=③命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”；④函数x e x f x +=)(的零点在区间)0,1(-内． 其中正确说法的个数是 （ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5 ．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆22:650C x y x +-+=相切,则该双曲线离心率等于（ ）A B C ．32D6．已知函数53()52f x x x x =---+，若2()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围（ ）A ．(),1-∞B ．(),3-∞C ．(2,1)-D ．(1,2)- 7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F .若2=AB ，AD =，45BAD ∠=︒，则=⋅（ ）A ．12 B ．1 C ．1- D ．12- 8．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ02πϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且函数()g x 的最大负零点在区间,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是( )A ． ,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,612ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ． ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． ,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．已知复数z 满足()i z i 1323=+，则z 所对应的点位于复平面的第 象限．10．函数21()xx f x e -=在1=x 处的切线的斜率为 ． 11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的OFADCBE三视图，则这个几何体的体积为 ．12．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y －6＝0截直线0x y a ++=所 得弦的长度为4，则实数a 的值是 ． 13．已知,x y 为正实数，则22x x yx y x+++的最小值为 ．14．已知函数21,0()2lg(1),0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩，且方程2()|()|1f x t f x -=-有四个不等的实根，则实数t 的取值范围为 ．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若87cos =A ，2=-a c ，3=b ． （I ）求a 和B sin ； （II ）求)32sin(π+A ．16．（本小题满分13分）某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A 原料6吨、B 原料4吨、C 原料4吨，乙种产品每吨消耗A 原料3吨、B 原料12吨、C 原料6吨．已知每天原料的使用限额为A 原料240吨、B 原料400吨、C 原料240吨．生产甲种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用,x y 表示每天生产甲、乙两种产品的吨数． (Ⅰ)用,x y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)每天分别生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大利润．17.(本小题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，//,AF BE ,2AB BE AB BE ⊥==, 1AF =．（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ； （Ⅱ） 求证：平面BDE ⊥平面DEF ； （Ⅲ）求直线BF 和平面DEF 所成角的正弦值．18. (本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且2031=+a a ，82=a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设nn a n b =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，不等式a n S nn n ⋅->++)1(21对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，椭圆C 与y 轴交于,A B 两点，且2AB =．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线,PA PB 与直线4x =交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于,E F 两点，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．20．（本小题满分14分）已知函数32()(,)f x ax x bx a b R =-+∈，'()f x 为其导函数，且3x =时()f x 有极小值9-.（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若()'()(68)4g x f x m x =+-+，()h x mx =，当0m >时，对于任意x ，()g x 和()h x 的值至少有一个是正数，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若不等式'()(ln 1)34f x k x x x >---（k 为正整数）对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值.（注：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61≈≈≈）2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一） 数学试卷（文科） 评分标准一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．一 ； 10．1e ； 11．2； 12．±； 13．52 ； 14．52,2⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题：本大题共6小题，共80分．15. 解：（I ）∵A bc c b a cos 2222-+=，2=-a c --------------------1分 ∴)2(421)2(922+-++=a a a ∴2214214490--++=a a ，∴2=a ， --------------------3分 ∵87cos =A ，π<<A 0，∴815cos 1sin 2=-=A A ，------------------5分 ∵B b A a sin sin =，∴B sin 31582=⨯，∴16153sin =B ．--------------------7分 （II ）∵32157cos sin 22sin ==A A A ， --------------------9分24036=+y x 400124=+y x 24064=+y x xy 23-=MO yxH3217sin cos 2cos 22=-=A A A ， --------------------11分 ∴643171572cos 232sin 2132sin(+=+=+A A A π．--------------------13分16．解：（Ⅰ）由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+002406440012424036y x y x y x y x ，--------------------4分 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分． ------------------7分（Ⅱ）解：设利润为z 万元，则目标函数y x z 600900+=，所以60023z x y +-=，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为600z的一族平行直线. --------------------9分 当600z取最大值时，z 的值最大，又因为y x ,满足约束条件，所以由图可知，当直线y x z 600900+=经过可行域中的点M 时，截距600z的值最大，即z 的值最大. ---------11分 解方程组⎩⎨⎧=+=+2406424036y x y x ，得点M 的坐标为)20,30(M ，所以max 900306002039000z =⨯+⨯=．答：每天生产甲种产品30吨，乙种产品20吨时利润最大，且最大利润为39000元． --------------------13分 17. （Ⅰ）取的中点，连结， 因为四边形为正方形，所以为中点．则，且．由已知，且，则且OG AF =，所以四边形为平行四边形，所以，即． --------------------3分 因为平面，平面，所以平面．--------------------4分（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，且，所以平面.因为平面，所以．-------------------6分又因为四边形为正方形，所以．因为，所以平面．--------------------7分由（Ⅰ）可知，，所以⊥FG 平面BDE ， 因为⊂FG 平面，所以平面⊥BDE 平面，--------------------8分（Ⅲ）作DE BH ⊥，垂足为H ，连结FH ， 因为平面⊥BDE 平面，平面⋂BDE 平面DE =，所以BH ⊥平面DEF所以BF 在平面上的射影为FH ，所以BFH ∠是直线BF 和平面DEF 所成的角．--------------------10分BDE Rt ∆中， 3222=+=BD BE DE ，362322==⋅=DE BD BE BH ， ABF Rt ∆中，522=+=AF AB BF ， BFH Rt ∆中，sin BH BFH BF ∠===， 故直线BF 和平面DEF 所成角的正弦值为15302．--------------------13分 18. （Ⅰ）解：由已知得⎩⎨⎧==+820)1(121q a q a 错误！未找到引用源。

天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数 学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的）1．i 是虚数单位，复数=++-ii 4321（ ）A. i 5251+ B. i 5251+- C. i 21-D. i 21--2．设变量y x ,满足约束条件30301x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则目标函数3z x y =+的最小值是( )A.3B.4C.5D.63．已知命题0:>∀x p ，总有1ln )1(>+x x ，则p ⌝为（ ） A.0000,(1)ln 1x x x ∃≤+≤使得 B.0000,(1)ln 1x x x ∃>+≤使得C.0000,(1)ln 1x x x ∃>+≤总有D.0000,(1)ln 1x x x ∃≤+≤总有4．已知31)43(=a ，31log 43=b ，43log 3=c ，则（ ） A.a b c >> B.a c b >> C.b a c >> D.c a b >>5．将sin(2)4y x π=-的图像上所有点向左平移4π后得到)(x f y =的图像，则)(x f y =在[-2π，0]上的最小值为（ ）A. 1-B. 22- C.0D. 23-6. 已知抛物线x y 42=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线交于点M （M 异于原点），且点M 到抛物线焦点的距离等于3，则双曲线的离心率是（ ） A ．25B ．26 C ．2D.37．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)+∞,0上单调递增，若ba ,均为不等于1的正实数，则ba >是0)(log )2log 1(21>+b f f a 成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，2==AD AB ，1CD =，P 为线段BC 上一个动点，设BC BP λ=，则当PD PA ⋅取得最小值时λ的值是（ ）A. 21 B.54 C. 0D.1第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∈=15xN x S ，{}6,4,2=T ，则集合T S 中元素个数为________.10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．11. 执行如图所示的程序框图,则输出的S 的值是________. 12. 已知ba ,均为正实数，圆)1(2222=-+-+b a ax y x 与圆012222=-+-+b a y y x 外切，则ab 的最小值为________.13. 如图AB 是圆O 的直径，过B 作圆O 的切线交弦AD 的延长线于点P ，M 为AD 上一点，且6==PMPB ，4=PD ，连接BM 并延长交圆O 于点C ，连接OC 交AD 于点N ，则CN =________.11题图10题图13题图正视图俯视图侧视图14. 已知函数⎩⎨⎧>≤-+=)0(,ln )0(,513)(x x x x x f ，若函数2)(+-=kx x f y 恰有3个零点，则实数k 的取值范围为________.三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：年龄（岁）[)30,15[)45,30[)60,45[)75,60人数 1213 87 赞成人数5 7x3（Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为45.0，则x 的值为；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在[)60,45，[)75,60两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[)75,60年龄段为事件M ，求事件M 的概率.16．（本小题满分13分） 在ABC∆中，内角C B A ,,所对边分别为cb a ,,,已知B cC a sin 2sin =,2b =,41cos -=A .（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求cos(2)3A π-.17.(本小题满分13分）如图四边形PDCE 是正方形，四边形ABCD为直角梯形，DCAB //，090=∠ADC ，且平面PDCE ^平面ABCD .（Ⅰ）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ；（Ⅱ）求证：直线⊥PC 平面ADE ；（Ⅲ）若正方形PDCE 边长为a 2，a AD AB ==，求直线BE 与平面PDCE 所成角的余弦.ABCDMPE18.（本小题满分13分）己知数列{}n a 前n 项的和为n S ，且满足n S 2(2)n n a -=-()n N *∈. （Ⅰ）证明数列}{1n a -为等比数列.（Ⅱ）若n n b a =⋅2log (1)n a - ,求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，其左顶点到上顶点的距离为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 是过椭圆右焦点F 且斜率为k 的直线，已知直线l 交椭圆于,M N 两点，若椭圆上存在一点P ,满足OM ON OP λ+=,求当2OP k =时,k 的值.20．（本小题满分14分）已知函数R x a ax x x f ∈>-=),0(23)(23（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知)('x f 是)(x f 的导函数，若[]1,0,21∈∃x x ，使得a x x f x f 23)(')(221-+≤，求实数a 的取值范围.天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（文科） 评分标准二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．2； 10．320； 11．217 ； 12．21 ； 13．25；14．{}e k k k =≤<-或03|三、解答题：本大题共6小题，共80分．15. 某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：年龄（岁）[)30,15[)45,30[)60,45[)75,60频数 1213 87 赞成人数5 7x3（Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为45.0，则x 的值为；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在[)60,45，[)75,60两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[)75,60年龄段为事件M，求事件M的概率.解答：（1）经过该路段人员中赞成的人数为3+x+75+----------------2分-----------------3分解得3=x-----------------4分（2）设年龄在[]60,45的3位被调查者为C,,年龄在A,B[65,75]的3位被调查cb,，a,---------------5分则从6位调查者中抽出2人包括：)aBAa(Cb,a，aca(),((,),),,,(,),c，),(),Acc,,(CBABA共15个基,(),CB,(C(),C(),,,(),),(),,AbbB(Cbb，),(),本事件，且每个基本事件等可能。

天津市南开中学2017届高三第五次月考数学试题（文史类）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数z 满足：()(2)5z i i --=，则z =A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i + 2、函数()21log f x x x=-+的一个零点所在区间为 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 3、若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4、若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为 A ．23 B ．1 C ．12 D ．345、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为6、如图，12,F F 是椭圆2214:1x C y a+=与双曲线2C 的公共点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是A ．32 D7、设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b ==+=11x y+ 最大值为A ．2B ．32 C ．1 D ．128、设()32log (f x x x =+，则对任意实数,,0a b a b +≥是()()0f a f b +≥的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、已知全集,{|21},{|12}x U R A y y B x x ===+=-<，则()U C A B = 10、下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是11、设函数()y f x =在区间[]0,1上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算由曲线()y f x =及直线0,1,0x x y ===所围成部分的面积S ，现产生两组（每组N 个）区间[]0,1上均匀随机数12,,,N x x x 和12,,,N y y y ，由此得到N 个点(,)(1,2,3,,)i i x y i N = ，再数出其中满足()(1,2,,)i i y f x i N ≤= 的点数N 1，那么由随机模拟方法可得S 的 近似值为12、已知{}m a 是首项为的对边数列，n S 是它的前n 项和，且369S S =，则数列1{}na 的前5项的和为13、如图，在四边形ABCD 中，,3,4,AB BC AB BC ACD ⊥==∆是等边三角形，则AC BD ⋅的值为14、已知函数()2ln xf x a x x a =+-，对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式12()()1f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若()2,1,22Af b c ===，求a 的值.18、（本小题满分13分）某家具厂有方木料903m ，五合板6002m ，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.13m ，五合板22m ；生产每个书橱需要方木料0.23m 、五合板12m ，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产科获所得利润最大？最大利润为多少？17、（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11,2AC BC AA D ==是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥. （1）证明：1DC BC ⊥；（2）求二面角11A BD C --的大小.18、（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点2F ，离心率12e =，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为8.（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相较于点Q ，试探究：在坐标平面内是否在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.已知数列{}n a 的前n 项和11()2(2n n n S a n -=--+为正整数）.（1）令2n n n b a =，证明数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++ ，是否存在最小的正整数m ，使得对于n N +∈都有24n T m <-恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20、已知函数()2ln ()f x x x ax a R =+-∈. （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1(0,1]x ∈，证明：123()()ln 24f x f x -≥-+.。

2016-2017学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,5S =，{}3,6T =，则)(U S T ð等于（ ）．A ．∅B ．{}4C ．{}2,4D ．{}2,4,6【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：∵{}1,3,5S =，{}3,6T =， ∴{}1,3,5,6S T = ， 则{}2,()4U S T = ð， 故选C ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据补集，并集的定义是解决本题的关键．2．复数31i 1i --（i 是虚数单位）的虚部是（ ）．A ．iB ．1C ．i -D ．1-【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵321i 1i (1i)2ii 1i 1i (1i)(1i)2-++====---+， ∴复数31i 1i--的虚部是1．故选B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．如果命题“)p q ⌝∧(”为假命题，则（ ）． A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 至少有一个为真命题D ．p 、q 至多有一个为真命题【答案】A【考点】复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出． 【解答】解：∵命题“)p q ⌝∧(”为假命题， ∴命题“p q ∧”为真命题，∴命题p 、q 均为真命题． 故选A ．【点评】本题考查了“或”“且”“非”命题的真假判断方法，属于基础题．4．在等差数列{}n a 中，若前10项的和1060S =，且77a =，则4a =（ ）．A ．4B ．4-C ．5D ．5-【答案】C【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得到首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{}n a 中， ∵1060S =，77a =，∴1110456067a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1323a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴41233353a a d =+=+⨯=．故选C ．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，是基础的计算题．5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A ．36πcm 5B ．33πcmC ．32πcm 3D ．37πcm 3【答案】D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，此几何体为底面半径为1cm 、高为3cm 的圆柱上部去掉一个半径为1cm 的半球，据此可计算出体积．【解答】解：由三视图可知，此几何体为底面半径为1cm 、高为3cm 的圆柱上部去掉一个半径为1cm 的半球，所以其体积为233227ππ3πππ(cm )333V r h r =-=-=．故选D ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．6．从抛物线24y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则MPF △的面积为（ ）．A ．5B ．10C ．20D【答案】B【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设处P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P 点横坐标，代入抛物线方程求得P 的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案． 【解答】解：设00)(,P x y ， 依题意可知抛物线准线1x =-， ∴0514x =-=，∴0||4y ，∴MPF △的面积为154102⨯⨯=，故选B ．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．7．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）．M C BADA ．43B ．53C ．158D ．2【答案】B【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出12AM AB AD =+ ，BD AD AB =-，带入AC AM BD λμ=+ 并进行向量的数乘运算便可得出()2AC AB AD λλμμ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，而AC AB AD =+ ，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λμ+的值．【解答】解：AC AB AD =+ ，12AM AB BM AB AD =+=+ ，BD AD AB =-；∴AC AM BD λμ=+1()2AB AD AD AB λμ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()2AB AD λλμμ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭；∴由平面向量基本定理得：112λμλμ-=⎧⎪⎨+=⎪⎩；解得43λ=，13μ=； ∴53λμ+=．故选B ． 【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．8．已知函数()f x 的定义域为R ，且222,[0,1]()2,(1,0)x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，(1)(1)f x f x +=-，则方程21()x f x x +=在区间[]3,3-上的所有实根之和为（ ）．A ．0B ．2-C ．8-D ．8【答案】A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】可判断函数()f x 的周期为2，从而化简可得1()2f x x -=，作函数()2f x -与1y x=在[]3,3-上的图象，从而结合图象解得．【解答】解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的周期为2，∵21()x f x x +=， ∴1()2f x x -=，∵222,[0,1]()2,(1,0)x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩， ∴22,[0,1]()2,(1,0)x x f x x x ⎧∈⎪-=⎨-∈-⎪⎩，作函数()2y f x =-与1y x=在[]3,3-上的图象如下，易知点A 与点C 关于原点对称， 故方程21()x f x x+=在区间[]3,3-上的所有实根之和为0， 故选：A ．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及方程与函数的关系应用．二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.9．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13,14)；第二组[14,15)， ，第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是__________．频率【答案】27【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．⨯+⨯，这是频率，【分析】根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在[14,16)内的人数为500.16500.38频数和样本容量之间的关系．【解答】解：由频率分布直方图知，成绩在[14,16)内的⨯+⨯=（人）人数为500.16500.3827∴该班成绩良好的人数为27人．故答案为：27．【点评】解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算．10．阅读下列程序框图，该程序输出的结果是__________．【答案】729【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出999S =⨯⨯的值．【解答】解：分析框图可得该程序的作用是计算并输出999S =⨯⨯的值． ∵999729S =⨯⨯=， 故答案为：729．【点评】要判断程序的运行结果，我们要先根据已知判断程序的功能，构造出相应的数学模型，转化为一个数学问题．11．定义在R 上的奇函数()f x ，当(0,)x ∈+∞时，2()log f x x =，则不等式()1f x <-的解集是__________．【答案】1(,2)0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇函数．【分析】设0x <，则0x ->，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出0x <时的解析式，再对x 分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起． 【解答】解：设0x <，则0x ->， ∵当(0,)x ∈+∞时，2()log f x x =， ∴2()lo (g )f x x --=， ∵()f x 是奇函数，∴2()()log )(f x f x x =----=，①当(0,)x ∈+∞时，()1f x <-，即1222log 1log x <-=，解得102x <<， ②当(,0)x ∈-∞时，()1f x <-，即2log )(1x --<-， 则222log )1log (x >=-，解得2x <-， 综上，不等式的解集是1(,2)0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ ．故答案为：1(,2)0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点评】本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x 就设在该区间内，再利用负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义()f x ，再求出不等式的解集．12．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为__________． 【答案】43y x =-【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程． 【解答】解：求导函数，可得3ln 4y x '=+， 当1x =时，4y '=，∴曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为14(1)y x -=-，即43y x =-． 故答案为：43y x =-．【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．13．已知圆22:680C x y x -++=，若直线y kx =与圆C 相切，且切点在第四象限，则k =__________．【答案】 【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆心C 的坐标和圆的半径，根据直线与圆相切，1=，解得k = 【解答】解：∵圆22:680C x y x -++=的圆心为(3,0)，半径1r =， ∴当直线y kx =与圆C 相切时，点(3,0)C 到直线的距离等于1，1=，解之得k =， ∵切点在第四象限，∴当直线的斜率k =直线的斜率k =时，切点在第四象限．因此，k =故答案为：． 【点评】本题给出直线与圆相切，在切点在第四象限的情况下求直线的斜率k ，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．14．设函数ππ()sin()0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，给出以下四个论断：①它的周期为π；②它的图象关于直线π12x =对称； ③它的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称；④在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题，条件__________结论__________．（注：填上你认为正确的一种答案即可） 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若①()f x 的周期为π，则 函数()sin(2)f x x ϕ=+，若再由②，可得π3ϕ=，π()sin 23f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然能推出③④成立．【解答】解：若①()f x 的周期为π，则2ω=，函数()sin(2)f x x ϕ=+． 若再由②()f x 的图象关于直线π12x =对称，则πsin 212ϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭取最值， 又∵ππ22ϕ-<<，∴ππ2122ϕ⨯+=， ∴π3ϕ=．此时，π()sin 23f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，③④成立，故由①②可以推出 ③④成立．故答案为：①②，③④．另：①③⇒②④也正确．【点评】本题考查正弦函数的对称性，三角函数的周期性与求法，确定出函数的解析式，是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或验算过程．15．（13分）（2012•集美区校级模拟）在ABC △中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a cb aa b c+-=+， （Ⅰ）求角B 的大小．（Ⅱ）若ABC △sin 2sin C A =，求最小边长． 【答案】见解析【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）把题设中的等式整理得即222ac c b a +=-，进而代入余弦定理求得cos B 的值，进而求得B ．（Ⅱ）根据B 为钝角可推断出b 为最长边，根据sin 2sin C A =，利用正弦定理可知2c a =，进而推断a为最小边，进而利用余弦定理求得a ．【解答】解：（Ⅰ）由a c b aa b c+-=+， 整理得()()()a c c b a a b +=-+， 即222ac c b a +=-，∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-==-=-， ∵0πB <<，∴2π3B =． （Ⅱ）∵2π3B =， ∴最长边为b ， ∵sin 2sinC A =， ∴2c a =，∴a 2214222a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，解得21a =， ∴1a =，即最小边长为1．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理及其变形公式是解三角形问题中常用的公式，故应熟练记忆．16．（13分）（2016秋•南开区期末）电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80min ，广告时间为1min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min ，广告时间为1min ，收视观众为20万．已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min 广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟．问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？ 【答案】见解析【考点】简单线性规划的应用．【分析】先设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z ．写出约束条件与目标函数，欲求两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z 与直线截距的关系，进而求出最优解．【解答】解：将所给信息用下表表示．则目标函数为6020z x y =+，约束条件为804032060x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥，作出可行域如图．作平行直线系320z y x =-+，由图可知，当直线过点A 时纵截距20z最大． 解方程组80403206x y x y +=⎧⎨+=⎩，得点A 的坐标为(2,4)，max 6020200z x y =+=（万）．所以，电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率．【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z 与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．属于基础题．17．（13分）（2016秋•南开区期末）如图所示，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，1DD ⊥平面ABCD ，2AB AD =，11AD A B =，60BAD ∠=︒． （Ⅰ）证明：BD ⊥平面11ADD A ．（Ⅱ）证明：1CC ∥平面1A BD ．（Ⅲ）若1DD AD =，求直线1CC 与平面11ADD A 所成角的正弦值．CBADA 1B 1D 1C 1【答案】见解析【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理和已知条件求得BD 和AD 的关系，进而求得222AD BD AB +=，推断出AD BD ⊥，依据1DD ⊥平面ABCD ，可知1DD BD ⊥，进而根据线面垂直的判定定理证明出BD ⊥平面11ADD A ．（Ⅱ）连接AC ，11AC ，设A C B D E = ，连接1EA ，根据四边形ABCD 是平行四边形，推断出12EC AC =，由棱台定义及1122AB AD A B ==知11AC EC ∥，且11AC EC =，进而推断出四边形11A ECC 是平行四边形，因此11CC EA ∥，最后利用线面平行的判定定理推断出1CC ∥平面1A BD ． （Ⅲ）直线1EA 与平面11ADD A 所成角=直线1CC 与平面11ADD A 所成角．【解答】（Ⅰ）证明：∵2AB AD =，60BAD ∠=︒，在ABD △中，由余弦定理得 22222cos603BD AD AB AD AB AD =+⋅︒=-，∴222AD BD AB +=， ∴AD BD ⊥，∵1DD ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ． ∴1DD BD ⊥， 又1AD DD D = ， ∴BD ⊥平面11ADD A ．（Ⅱ）证明：连接AC ，11AC ，设AC BD E = ，连接1EA， ECBADA 1B 1D 1C 1∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴12EC AC =， 由棱台定义及1122AB AD A B ==知 11AC EC ∥，且11AC EC =，∴四边形11A ECC 是平行四边形，因此11CC EA ∥， 又∵1EA ⊂平面1A BD ，∴1CC ∥平面1A BD ．（Ⅲ）解：直线1EA 与平面11ADD A 所成角=直线1CC 与平面11ADD A 所成角， ∵BD ⊥平面11ADD A ，∴1A D 为1EA 在平面11ADD A 上的射影， ∴1EA D ∠是直线1EA 与平面11ADD A 所成角，∵1DD AD =，2AB AD =，1160AD A B M BAD =∠=︒，∴11A D AD =，DE，1A E ，∴1sin EA D ∠=， ∴直线1CC 与平面11ADD AC 1D 1B 1A 1DABC【点评】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定，考查线面角．考查了学生对立体几何基础知识的掌握．18．（13分）（2016秋•南开区期末）在等差数列{}n a 中，首项11a =，数列{}n b 满足12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且123164bb b =． （1）求数列{}n a 的通项公式． （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ． 【答案】见解析 【考点】数列的求和．【分析】（1）由11a =，12n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1231331231112264a a a a db b b +++⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可求得公差，即可求出n a ．（2）由（1）得12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2n n n n a b =，∴数列{}n n a b 的前n 项和n S 可用错位相减法求得． 【解答】解：（1）设等差数列数列{}n a 的公差为d ， ∵11a =，12n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1231331231112264a a a a db b b +++⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1336a d +=， ∴1d =，1(1)1n a n n =+-⨯=．（2）由（1）得12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2n n n n a b =，∴数列{}n n a b 的前n 项和n S231123122222n n n n nS --=+++++ ，234111*********n n n n n S +-=+++++ ， ∴231111111111221222222212n n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-=-- ， ∴2222n n nn S =--． 【点评】本题考查了等差数列的计算，及错位相减法求和，属于中档题．19．（14分）（2016秋•南开区期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>．（1）椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆上的一点，且点A 到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程．（2）求b 为何值时，过圆222x y t +=上一点M 处的切线交椭圆于1Q 、2Q 两点，且12OQ OQ ⊥． 【答案】见解析【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知得24c e a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，由此能求出椭圆的方程．（2）过圆222x y t +=上一点M处切线方程为260x -=，令111(,)Q x y ，222(,)Q x y，则22226022x x y b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，化为225243620x x b -+-=，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出b 的值．【解答】解：（1）∵椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆上的一点A 到两焦点的距离之和为4，∴24c e a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 解得2a =，b =∴椭圆的方程为22142x y +=． （2）过圆222x y t +=上一点M处切线方程为260x -=， 令111(,)Q x y ，222(,)Q x y ，则22226022x x y b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，化为225243620x x b -+-=，由0∆>，得b >， 12245x x +=，2123625b x x -=，212121218426(15)8b y y x x x x -=++=-， 由12OQ OQ ⊥，知12120x x y y +=， 解得29b =， 即3b =±，∵b >， ∴3b =．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．20．（14分）（2014•河北区一模）已知函数2()ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间．（Ⅱ）当函数()f x 在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当e](0,x ∈（e 是自然对数的底数时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）由2()l n f xx x x =+-，0x >，得(21)(1)()x x f x x -+'=，从而()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；（Ⅱ）由221()x ax f x x+-'=，当函数()f x 在[1,2]上是减函数时，得(1)210f a '=+-≤①，(2)0f '≤得a 范围是7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）∵2()ln f x x ax x =+-，求出函数的导数，讨论0a ≤，10e a <<，1e a≥的情况，从而得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）1a =时，2()ln f x x x x =+-，0x >，∴(21)(1)()x x f x x-+'=，令()0f x '>，解得：12x >，1x <-（舍），令()0f x '<，解得：102x <<，∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增．（Ⅱ）∵221()x ax f x x+-'=，当函数()f x 在[1,2]上是减函数时，得(1)210f a '=+-≤①，(2)8210f a '=+-≤②， 由①②得：72a -≤，∴a 的范围是7,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．（Ⅲ）∵2()ln f x x ax x =+-，∴2()()ln g x f x x ax x =-=-，e](0,x ∈． ∴11()(0e)ax g x a x x x-'=-=<<， ①当0a ≤时，()g x 在(0,e]上单调递减，min ()(e)e 13g x g a ==-=，解得4ea =（舍去）； ②当10e a <<时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ∴min 1()1ln 3g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得2e a =，满足条件；③当1e a ≥时，()g x 在(0,e]上单调递减，min ()(e)e 13g x g a ==-=，解得4e a =（舍去）；综上，存在实数2e a =，使得当e](0,x ∈时，()g x 有最小值3．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道综合题．。

2017天津文【试卷点评】2017年天津高考数学试卷考点变化不大，题型结构与2016年相同，从知识结构角度看，试卷考查内容覆盖面广，与往年基本一致．与此同时，试卷命题中出现的综合与创新，体现了能力立意的命题思路与稳中求变的命题特点．整卷难度分布合理，具有较好的区分度，整体难度与去年相比稍有降低．纵观整篇试卷，命题严格按照《考试说明》与课程标准，双基内容占了相当大的比例，体现了命题人回归教材、突出主干的思路，重视对考生基本数学素养的考查．对于此部分题目，只要考生熟练掌握基本概念和定理，就可以轻松得分．试卷在知识点选择上与去年相比略有改变，考验学生基础知识掌握的全面性．试卷命题风格稳定，试题布局合理，利于考生发挥自身真实水平，具有较好的信度和效度．每年天津高考命题都会给予应用问题一定的关注，对中学数学教学重视数学应用有很好的导向作用，第16题以大家熟悉的电视剧与广告以及收视人次为命题背景，选材合理，将线性规划与实际问题相结合，考查学生的理解能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学的应用价值与人文特色．知识难度不大，审清题后可较容易地得到答案，体现了新课标的教育理念． 在注重基础和应用的同时，今年天津高考试卷也加强了综合性与创新性的考查，以提高试卷区分度，如第8题，主要考查基本初等函数的图像和性质，设问综合了分段函数单调性、函数零点以及图像变换等典型考点，充分考查了考生的数形结合思想与转化化归思想，考验学生的知识理解深度与分析问题解决问题的能力．第19题设问较为新颖，命题具有一定的抽象性与综合性，需要学生基于三次函数单调性与极值最值的关系进行探索分析，考查函数与方程、分类讨论、转化等数学思想，问题思路环环相扣，逻辑严密，难度较大，充分考验学生的心理素质，具有较好的区分度，体现了高考的选拔性，另外也给优秀学生提供了展示自身能力的平台，也引导我们数学教学工作需注重数学能力与创新意识的培养．第20题总的来说需要考生熟练掌握解析几何中常见几何图形性质的代数表达并合理选择参数简化运算，对考生的运算和解题技巧要求较高．2016年天津理科数学试卷继续稳字当头，平凡问题考查真功夫，没有出现任何偏题怪题，有利于学生考出好成绩，也对中学数学教学回归教材、扎实基础有很好的导向作用．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{1，2，3，4}，则(A ∪B )∩C ＝A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，6}2．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】2－x ≥0，则x ≤2，|x －1|≤1，即－1≤x ≤1，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项．3．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( )A ．45B ．35C ．25D ．15【解析】选取两支彩笔的方法有C 25种，含有红色彩笔的选法为C 14种，由古典概型公式得，P ＝410＝25． 4．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始值为N ＝19，第一次循环结束：N ＝N －1＝18，不满足N ≤3；第二次循环结束：N＝13N ＝6，不满足N ≤3；第三次循环结束：N ＝13N ＝2，满足N ≤3；此时结束循环，输出N ＝3．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，ΔAFO 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：b a＝3，c ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得：a 2＝1，b 2＝3，双曲线方程为：x 2－y 23＝1，本题选择D 选项． 6．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20．8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b【解析】由题意得，a ＝－f (log 215)＝f (log 25)，且log 25＞log 24．1＞2，1＜20．8＜2，故log 25＞log 24．1＞20．8，结合函数的单调性得，f (log 25)＞f ()log 24.1＞f (20．8)，即a ＞b ＞c ，即c ＜b ＜a ． 7．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π．若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24【解析】因f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，故f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎫11π8－5π8＝3π，故ω＝2π3π＝23，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ．故2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z ，又|φ|<π，故取k ＝0，得φ＝π12． 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋2，x <1，x ＋2x ，x ≥1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥|x 2＋a |在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－23，2]C ．[－2，23]D ．[－23，23]【解析】作出f (x )的图像如图所示，当y ＝|x 2＋a |的图像经过点(0，2)时，可知a ＝±2．当y ＝x 2＋a 的图像与y ＝x ＋2x 的图像相切时，由x 2＋a ＝x ＋2x，得x 2－2ax ＋4＝0，由Δ＝0，并结合图像可得a ＝2．要使f (x )≥|x 2＋a |恒成立，只需f (0)≥|a |，当a ≤0时，需满足－a ≤2，即－2≤a ≤0；当a >0时，需满足a ≤2，故－2≤a ≤2．二． 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i为实数，则a 的值为__________． 【解析】a －i 2＋i ＝（a －i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝（2a －1）－（a ＋2）i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，则a ＋25＝0，a ＝－210．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图像在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．【解析】f (1)＝a ，切点为(1，a )．f ′(x )＝a －1x ，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1． 11．已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ______．【解析】设正方形的边长为a ，则6a 2＝18，故a 2＝3，故外接球直径2R ＝3a ，故V ＝43πR 3＝43π×(32)3＝92π． 12．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠F AC ＝120°，则圆的方程为________．【解析】由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )．又F (1，0)，故AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )．由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3．故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1．13．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________ 【解析】因a ，b ∈R ，ab ＞0，故a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号． 14．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE→＝－4，则λ的值为_____________．【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝(13AB →＋23AC →)·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311．. 法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，不妨设点C 在第一象限，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)．由BD ―→＝2DC ―→，得D ⎝⎛⎭⎫53，233，由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，则AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫53，233·(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 三． 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分) 在ΔABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．⑴．求cos A 的值；⑵．求sin (2B －A )的值．【解析】⑴．由a sin A ＝4b sin B及a sin A ＝b sin B 知，a ＝2b ，由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝55； ⑵．由⑴得，sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B 得，sin B ＝55．由⑴知，A 为钝角，故cos B ＝1－sin 2B ＝255．于是sin2B ＝2sin B cos B ＝45，cos2B ＝1－2sin 2 B ＝35，故sin (2B －A )＝sin2B cos A －cos2B sin A ＝45×(－55)－35×255＝－255． 16．(本小题满分13分)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)甲 70 5 60乙 60 5 25已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(I)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【解析】(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y ．考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z 25取得最大值时，z 的值最大．又x ，y 满足约束条件，故由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z 25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．故，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．17．(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P －ABCD中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2．(I)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(II)求证：PD⊥平面PBC；(Ⅲ)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解析】(Ⅰ)如图，由已知AD//BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，故AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得AP＝5，故cos∠DAP＝55．故异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5．(Ⅱ)证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD 平面PDC，故AD⊥PD．又因为BC//AD，故PD⊥BC，又PD⊥PB，故PD⊥平面PB C．(Ⅲ)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，故∠DFP为直线DF 和平面PBC所成的角．由于AD//BC，DF//AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC–BF＝2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF＝25，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝5 5．故直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5．18．(本小题满分13分)已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*)．解(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，故q2＋q－6＝0，又q＞0，解得q＝2，故b n＝2n．由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①，由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②，联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得a n＝3n－2．故{a n}的通项公式为a n＝3n－2，{b n}的通项公式为b n＝2n．(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，b n＝2n，有T n＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n，2T n＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，上述两式相减得，－T n＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1，＝12×（1－2n）1－2－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16．故T n＝(3n－4)2n＋2＋16．故数列{a2n b n}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16．19．(本小题满分14分)设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)＝e x f(x)．⑴．求f(x)的单调区间；⑵．已知函数y＝g(x)和y＝e x的图像在公共点(x0，y0)处有相同的切线，(i)求证：f (x )在x ＝x 0处的导数等于0；(ii)若关于x 的不等式g (x )≤e x 在区间[x 0－1，x 0＋1]上恒成立，求b 的取值范围．【解析】⑴．由f (x )＝x 3－6x 2－3a (a －4)x ＋b ，可得f ′(x )＝3(x －a )[x －(4－a )]，令f ′(x )＝0，解得x ＝a ，或x ＝4－a ．由|a |≤1，得a ＜4－a ．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，a ) (a ，4－a ) (4－a ，＋∞)f ′(x ) ＋ － ＋f (x ) ↗ ↘ ↗故f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(4－a ，＋∞)，单调递减区间为(a ，4－a )．⑵．(i)因为g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]，由题意知0000()e ()e x x x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，故0000000()e e e (()())ex x x x f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩．故f (x )在x ＝x 0处的导数等于0． (ii)因g (x )≤e x ，x ∈[x 0－1，x 0＋1]，由e x ＞0，可得f (x )≤1．又f (x 0)＝1，f ′(x 0)＝0，故x 0为f (x )的极大值点，由(I)知x 0＝a ．另一方面，由于|a |≤1，故a ＋1＜4－a ，由(I)知f (x )在(a －1，a )内单调递增，在(a ，a ＋1)内单调递减，故当x 0＝a 时，f (x )≤f (x )＝1在[a －1，a ＋1]上恒成立，从而g (x )≤e x 在[x 0－1，x 0＋1]上恒成立．由f (a )＝a 3－6a 2－3a (a －4)a ＋b ＝1，即b ＝2a 3－6a 2＋1，－1≤a ≤1，令t (x )＝2x 3－6x 2＋1，x ∈[－1，1]，则t ′(x )＝6x (x －2)，令t ′(x )＝0得，x ＝2(舍)，或x ＝0．因t (－1)＝－7，t (1)＝－3，t (0)＝1，故t (x )的值域为[－7，1]，故b 的取值范围为[－7，1]．20．(本小题满分14分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，ΔEF A 的面积为12b 2． ⑴．求椭圆的离心率；⑵．设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝32c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．(i)．求直线FP 的斜率；(ii)．求椭圆的方程．【解析】⑴．设椭圆的离心率为e ．由已知，可得12(c ＋a )c ＝12b 2．又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0．又0＜e ＜1，解得e ＝12．故椭圆的离心率为12． ⑵．(i)．依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m ＞0)，则直线FP 的斜率为1m，由⑴知，a ＝2c ，则直线AE 的方程为34(ii)解：由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c 2＝1．由(i)得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，代入椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c /7 (舍)，或x ＝c ．因此可得点P (c ，32c )，进而可得|FP |＝52c ，故|PQ |＝|FP |－|FQ |＝52c －32c ＝c ．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 与QN 都垂直于直线FP ．因为QN⊥FP ，故|QN |＝|FQ |tan ∠QFN ＝32c ×34＝98c ，故ΔFQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 2/32，同理ΔFPM 的面积等于75c 2/32，由四边形PQNM 的面积为3c ，得132(75c 2－27c 2)＝3c ，整理得c 2＝2c ，又由c ＞0，得c ＝2．故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1．。

2017 年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．（ 1）【 2017 年天津，文 1， 5 分】设会合 A1,2,6 ， B2,4 ，C 1,2,3,4 ，则 (AUB) I C （）（A ） 2 （B ） 1,2,4（ C ） 1,2,3,4（ D ） 1,2,3,4,6【答案】 B【分析】 AU B1,2,4,6， (AUB)I C {1,2,4,6} I {1,2,3,4} {1,2,4} ，应选 B ．（ 2）【 2017 年天津，文 2， 5 分】设 x R ，则 “2x 0 ”是 “x 1 1 ”的（）（ A ）充足不用要条件（ B ）必需不充足条件（ C ）充足必需条件（ D ）既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】 2 x 0 解得： x2 ； x 1 1解得： 0x 2 ， x 2 0 x 2 ，应选 B ．（ 3）【 2017 年天津，文 3， 5 分】有 5 支彩笔（除颜色外无差异） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5 支彩笔中任取 2 支不一样颜色的彩笔，则拿出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）4（B ）3（C ）2（D ）1【答案】 C 55 5 5【分析】 “从这 5 支彩笔中任取 2 支不一样颜色的彩笔 ”基本领件总个数：C 52 ，而事件 “拿出的 2 支彩笔中含有红色彩笔 ”包括基本领件个数： C 41； P4 2，应选 C ．（ 4）【 2017 年天津，文 4， 5 10 5N 的值分】阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，若输入的为 19，则输出的 N 的值为（ ）（A ）0（B ） 1 （C ） 2 （D ）3【答案】 C【分析】阅读流程图可得，程序履行过程以下：第一初始化数值为N 19 ，第一次循环：NN1 18 ，不知足 N 3 ；第二次循环： NN3 ；第三次循36 ，不知足 N环： NN 2，知足 N 3 ；此时跳出循环体，输出N 3 ，应选 C ．3x 2y 2（ 5）【 2017 年天津，文 5， 5 分】已知双曲线1(a 0,b 0) 的左焦点为 F ，点 A 在a 2b 2双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点），则双曲线的方程为 （ ）（ A ） x2y 2 1（ B ） x 2y 2 1（ C ） x2y 21（D ） x 2y21 【答案】 D 41212 433【分析】由于 OAF 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点）因此 OF2 ， AOF 60 ，所以直线 OA 方程为 y3x ，因此渐近线方程 ybx 此中一条为 y3x ，因此，ac 2，解之得： a 1,b3, c 2 ，应选 D ．b a3（ 6）【 2017 年天津，文 6，5 分】已知奇函数 f (x) 在 R 上是增函数， 若af (log 1 )4.1)2 5 ，2，cf (2 ) ，则 a,b,c 的大小关系为（b f (log）1【分析】由于 f (x) 在 R 上是奇函数，因此有f ( x)f (x) ，即 af (log 2 1) f (log 2 5) ；又由于 f ( x) 在 R 上2215是增函数，且log 2 4log 2log 2 5 ，因此 c b a ，应选 C ．（ 7）【 2017 年天津， 文 7，5 分】设函数 f ( x)2sin( x ), x R ，此中0,，若 f ( 5 ) 2, f (11) 0 ，且 f ( x) 的最小正周期大于 288，则（）（ A ） 2, 12（ B ）2, 11 （C ）1 , 11 （ D ）1, 7【答案】 A3312324324【分析】函数 f (x)2sin( x5) 2, f ( 11) 0 ，振幅为 2，因此以下图：), x R ， f (88若函数图象如图表 1 所示，3T11 5 ，解得 T ，不知足最小正周期大于 2 ，488因此函数图象如图表 2所示，T11 5 ，解得 T 3 ， 2，又由于f (5) 2 ，4 8 838因此2 5，因此，应选 A ． 38212x2, x 1（ 8）【 2017 年天津，文 8，5 分】已知函数 f (x)x2, x ，设 a R ，若对于 x 的不等1x式 f ( x)x a 在 R 上恒建立，则 a 的取值范围是（）2（A ）[ 2,2]（B ） [ 2 3,2]（C ） [ 2,2 3]（D ） [2 3, 2 3]【答案】 A【分析】函数 f (x) 的图象以下列图（左） ，若对于 x 的不等式 f (x)xa 在 R 上恒成2立，则不如设 g ( x ) x a ， “xa 在 R上恒建立 ”表示 y f ( x) 图2f (x) 2象与 y g (x) 图象应以下列图 （右）所示找到两个临界地点: ① f ( x) 与 g( x) 相切时， x1 ， f '(x) 1 21，解得 x 0 2 ， y 0 3 ，代入 g(2) 3 ，解得x222 a3 ， a2,a4 （舍）；② g( x) 过点 (0,2) ，代入 g(0) 2 ， a2 ，解得 a2,a 2 （舍），故 a2的取值范围在2 与 2 之间，应选 A ．二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分．（ 9）【 2017 年天津，文 9， 5 分】已知 a R ， i 为虚数单位，若 a i为实数，则 a 的值为．【答案】 22 i【分析】解法一： a i (a i)(2i) 2a 1 ( a2)i为实数，因此 a 20 ， a2 ．2 i (2 i)(2 i) 5解法二：a i为实数a i 与 2 i 成比率，比率为 1 ，因此 a 2 ．2 i10， 5 分】已知 a R ，设函数 f (x) ax ln x 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线为 l ，则 l 在（ 10）【 2017 年天津，文 y 轴上的截距为．【答案】 1【分析】函数 f (x) 的导函数 f '( x)a1，因此 f (1) a, f '(1) a 1 ，切点 (1,a) ，斜率为 a 1 ，因此代入切线点x（ 11）【 2017 年天津，文 11，5 分】已知一个正方体的全部极点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】9234 R 39【分析】球的表面积公式S 6a 218，因此棱长 a 3 ，计算得： 2R3a 3， R， V ．（ 12）【 2017 年天津，文 12】设抛物线 y 22 3 24x 的焦点为 F ，准线为 l ，已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点A ，若 FAC 120 ，则圆的方程为．2( y21【答案】 (x 1)3)【分析】抛物线 y2 4 x 的焦点为 F (1,0) ，准线为 l : x 1，因此可设 C( 1,b) ，OA b ， FAC120 ，因此在直角三角形 OAF 中， OF 1 ，因此 OA3 ，因此圆的圆心 ( 1, 3) ，AFH 60 ，半径等于 1，因此圆 C : ( x1)2 ( y 3) 2 1 ．441的最小值为（ 13）【 2017 年天津，文 13， 5 分】若 a,bR ， ab 0 ，则a4b．ab【答案】 44 4 2 2【分析】 a4b 14a b 1 4abababab13解之得： a 2 4 , b 2 4 ．（ 14）【 2017 年天津，文 14，5 分】在uuuv uuuv( R)，且 AD AE 4 ，则【答案】 3114 （ ab0），当且仅当 “a 4 4b 4 ”、 “4a 2b 21 ”同时建即刻，等号建立，ABC 中， A 60 ，AB 3，ACuuuv uuuv uuuvuuuv uuuv 2，若 BD 2DC ， AEAC AB的值为 ．uuur uuur3 2 cos60 0uuur 1 uuur2 uuur【分析】 AB AC3, ADABAC ，则 1 uuur 2 uuur 33uuur uuur uuur uuur 3 2 1 2 3 43．AD AE ( AB AC)( AC AB ) 3 493 11 3 3 3 3三、解答题：本大题共 6 题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（ 15）【 2017 年天津，文 15， 13 分】在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ．已知 asin A4sin B ，ac5( a 2b 2c 2 ) ．（ 1）求 cosA 的值； （ 2）求 sin(2 B A) 的值．222ac 5 ．解：（ 1） a sin A 4bsin B 可化为 a2 4b 2 ，解得： a 2b ，余弦定理： cos A b ca22bc5bc 5（ 2）依据 cos A5sin A2 552 52sin B cosB45 ，解得，因此 sin B， cos B5 ， sin 2B，555cos2B 2cos 2 B 1 3 ， sin(2B A) sin 2B cos A cos2 B sin A4 (5 ) 3 2 5 10 5 2 5 ．55 5 55 25 5（ 16）【 2017 年天津，文 16， 13 分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次以下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长 （分钟）收视人次（万）甲 70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间许多于 30 分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍，分别用 x, y 表示每周计划播出的甲、 乙两套电视 剧的次数．（ 1）用 x, y 列出知足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面地区；（ 2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？7 x 6 y 60x y 6．解：（ 1）分别用 x, y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数 2 yxx, y N（ 2）设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z 60x 25y ．考虑 z 60x25y ，将它变形为 y12 xz，这是斜率为12，随 z 变化的一族平行直线．z 为直线在 y 轴上的截距，525525当 z获得最大值时， z 的值最大． 又由于 x, y 知足拘束条件， 因此由图 2 可知，当直线 z 60x25 y 经25过可行域上的点 M 时，截距 z7 x 6 y 60最大，即 z 最大．解方程组 2 y ，得点 M 的坐标为25 x 0 因此，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多． （ 17）【2017 年天津，文 17，13 分】如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 PDC ，AD ∥BC ， PD PB ， AD 1， BC 3 ，CD 4 ， PD 2 ．（ 1）求异面直线 AP 与 BC 所成的角的余弦值；（ 2）求证： PD 平面 PBC ；（ 3）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值．解：（ 1）由于 AD ∥ BC ，因此 PAD 等于异面直线 AP 与 BC 所成的角， Q AD平面 PDC ，因此 PDA 90 ， PA 5 ， cos PAD AD 5 ．PAP 5（ 2）由于 AD 平面 PDC ，因此 AD PD ，又由于 AD ∥ BC ，因此 PDBC ，PD PB ，且 PBI BC B ，因此 PD 平面 PBC ．（ 3）取 BC 上三分点， 3BE BC ， AD//BE ， AD BE 1 ， PD 平面 PBC ，因此 DEP等于直线 AB 与平面 PBC 所成角 DPE 90 ，AB 2 5，DE 2 5， PE 4，PD 2 5 ．Dsin DEPDE 2 556,3 ．CE BA（ 18）【 2017 年天津，文 18， 13 分】已知 a n 为等差数列，前 n 项和为 S n (n N *) ， b n 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， b 2 b 3 12 ， b 3 a 4 2a 1 ， S 11 11b 4 ．（ 1）求 a n 和 b n 的通项公式；（ 2）求数列 a 2nbn的前 n 项和 (nN *) ．解：（ 1）已知 a n为等差数列， b n 是首项为 2 的等比数列，且公比大于0，因此 a n a 1 (n 1)d ，b n b 1 qn12qn 1，2q 2q 212 ，解之得： q 2, q3（舍），8a 1 3d11 16 ，解之得： a 1 1,d 311(a 1 5d )因此 a n 3n 1， b n 2n．（ 2） a 2 n b n (6n 2) 2n，不如设数列a 2nbn的前 n 项和为 T n ， T n a 2b 1a 4b 2 a 6b 3 La 2 n 2b n 1 a 2n b n ，T n4 21 10 2216 23L(6n 8) 2n 1(6n2) 2n①2T n 4 22 10 23 L (6n 14) 2n 1 (6n 8) 2n(6n 2) 2n 1②① -②得： T n 421 6 226 23 L6 2n (6 n2) 2n 1，整理得： T n16 (3n 4)2n 2 ．（ 19）【 2017 年天津， 文 19，14 分】设 a,b R ， a1 ，已知函数 f ( x) x 3 6x 23a( a 4)x b ， g(x)e xf ( x) ．（ 1）求 f (x) 的单一区间；（ 2）已知函数 yg( x) 和函数 y e x 的图象在公共点 (x 0 , y 0 ) 处有同样的切线．（ i ）求证： f ( x) 在 x x 0 处的导数等于 0；（ ii ）若对于 x 的不等式 ( xg x e 在区间 [ x 01,x 01]上恒建立，求 b的取值范围．)解：（ 1） f '(x)(x 3 )' 6(x 2 )' 3a(a 4) x '， f '(x) 3x212x 3a(a 4) ，f '(x) 3x 2 12x 3a(a 4) 3(x a)( xa 4) ，由于 a 1 ，因此 a 4 a ， 因此， f ( x) 的单一增区间 ( ,a),(4 a,) ， f (x) 的单一减区间 [a,4a] ．（ 2）（ i ） ()x( ) 与 xx 0x 0e f y e 在公共点 0 0 处有同样的切线，第一，g (x 0 ) e；其次， g '(x 0 )e ，g x x( x , y )f ( x 0 ) 1 ， f ( x 0 ) f '( x 0 ) 1，因此 f '(x 0 ) 0 ．（ i i ） g(x) 在区间x [x 02a 3 e x 等价于 f ( x) 1 ， f '( x 0 ) 0 ， f ( x 0 ) 1 ，因此 x 0a 极大值点， 若对于 x 的不等式 g( x) e x [ x 0 1,x 0 1] 上恒建立，等价于 f ( x)1 在区间 [x 01,x 0 1] 上恒建立，等价于 f max ( x) 1 ，1,x 0 1] ，当 x 0a ， f (x) 在 [a 1,a] 递加，在 [a,a 1] 递减， f (a) 为最大值，f (a) 1， 6a 2b 1 ， b 2a 3 6a 2 1 ，令 h( x) 2x 3 6x 2 1， h'(x) 6x 212x 6x(x2) ， h( x) 在[ 1,0] 递加，在 [0,1] 递减，因此7 h( x) 1 ， 7 b 1．2 2（ 20）【 2017 年天津，文 20， 14 分】已知椭圆x y 1(a b0) 的左焦点为 F ( c,0) ，右极点为 A ，点 E 的222ab坐标为 (0,c) ， EFA 的面积为b． 2（ 1）求椭圆的离心率；（2）设点 Q 在线段 AE 上， | FQ |3，延伸线段 PQ 与椭圆交于点 P ，点 M ，N 在轴上， PM ∥QN ，c2且直线 PM 与直线 QN 间的距离为，四边形 PQNM 的面积为 3c ；（ i ）求直线 FP 的斜率；（ ii ）求椭圆的方程．解：（ 1） S AEF1 AF OE1 (a c) c b2 ，由于 b 2a 2c 2 ，因此 c a c ，故 a2c ， ec 1 ．22 uuuv 2a 2 （ 2）（ i ） EFOuuuvuuuv (1uuuv uuuv2c ，45 ，设 EQ1EA (01) ，因此 FQ) FE FA ，FEuuuvFA3c，两边平方，解之得：933c ，由于 FQ， （舍）2uuuv102uuuv(1uuuv uuuv(6c , 9c) ，直线 FP 的斜率等于y3代入 FQ) FE FA ，得 FQ5 10x4（ii ）直线 4 y2 3x uuuv即 PQ FP 的方程： y 03( x c) ；为求点 P 的坐标，联立方程解方程组：43x 3cc, x 13c3c uuuv 6c9c c 9c 2 2 ，解之得： x（舍），因此 P(c, 2 ) ，由于 FQ ( , )，因此Q( , ) ， 4 y 12c 7 5 10 5 10c ，而 PM ∥ QN ，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c ，因此直线 PM与直线 QN 垂直于 PF ，由（ i ）直线 FP 的斜率等于3，可得 PM 3PF3 5c 15c ， QN 3 FQ3 3c 9c ，44 4 2 8 44 28S MNPQS FPMS FQN1(PM PF QNQF )3c 2 ，因此 3c 2 3c ，解之得 c 2 ，222 因此 a4,b2 3 ，因此x 2y 2 1 ．16 12。

天津市南开区2017届高三毕业班第一次联考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1. 已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,5,2,4A B ==，则()U C A B 为 A ．{}0,2,4 B ．{}4 C ．{}1,2,4 D ．{}0,2,3,42. 设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为A ．0B ．3C ．6D ．12 3. 如图所示的程序框图输出的所有点都在函数 A ．y ＝x ＋1的图象上 B ．y ＝2x 的图象上 C ．y ＝2x的图象上 D ．y ＝2x -1的图象上4. 下列说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．若 a b ∈R ，，则“0ab ≠”是“0a ≠”的充分不必要条件 C ．命题“∃x 0∈R，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R，x 2＋x ＋1>0” D ．若“q p 且”为假，则p ，q 全是假命题5. 已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>的离心率e =P 是抛物线24y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的距离与到直线1x =-，则该双曲线的方程为 A ．22123y x -= B ． 2214y x -= C ．2214x y -= D ．22132y x -=6. 在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若AB C ∆的面积为S ，且226c b a S -+=）（，则Ct an 等于A ．125B ．125-C ．125D ．125-7. 如图，PT 切O 于点T ，PA 交O 于,A B 两点，且与直径CT 交于点D ，3,CD =4,AD = 6BD =，则PB ＝A ．6B ．8C ．10D ．14 8.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()(24),(0)f x m x x m =-+->，若函数[]()4y f f x m =-恰有4个零点，则实数m 的取值范围A ．10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1550,,662⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1550,,442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. i 是虚数单位，复数21ii+=- ． 10. 在53⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数为 ． 11. 已知曲线1-=x y 与直线1,3,x x x ==轴围成的封闭区域为A ，直线1,3,0,1x x y y ====围成的封闭区域为B ，在区域B 内任取一点P ，该点P 落在区域A 的概率为 ．12. 一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内 切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为 ．13．直线l ：12x at y t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C：)4πρθ=+（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上至少有三个点到直线l 的距离恰为22，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-若集合}|{AQ AP x x M ⋅==，221,,13()a b N x x a b ab a b ⎧⎫++⎪⎪==>=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭.则M N ⋂= ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数)6(cos cos )(22π-+=x x x f ，R x ∈(Ⅰ)求()f x 最小正周期； (Ⅱ)求()f x 在区间]4,3[ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A 类题有4个不同的小题，B 类题有6个不同的小题, 某考生从中任抽取四道题解答.(Ⅰ)求该考生至少抽取到2道B 类题的概率；(Ⅱ)设所抽取的四道题中B 类题的个数为X,求随机变量X 的分布列与期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，//EF BC ,4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值；(Ⅲ) 若直线CA 与平面BEA 所成的角的正弦值为562, 求实数a 的值．B18．（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为41.(Ⅰ)求椭圆E 的离心率e ；(Ⅱ)PQ 是圆C :215)1()2(22=-++y x 的一条直径，若椭圆E 经过P ，Q 两点，求椭圆E 的方程．19．（本小题满分14分）已知非单调数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且114a =-，2416a a =，记5.1n n na b a =- (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意正整数n ，|1|3n m b -≥都成立，求实数m 的取值范围；(Ⅲ)设数列2{}n b ，21{}n b -的前n 项和分别为,n n S T ，证明：对任意的正整数n ，都有 223n n S T <+．20．（本小题满分14分）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (Ⅰ)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (Ⅲ)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，试比较12x x 与22e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.71.4）天津市南开区2017届高三毕业班第一次联考数学（理）试题参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.9．1322i + ； 10．90； 11．ln 32； 12．9278π+； 13．2,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 14．2⎤⎥⎣⎦三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数)6(cos cos )(22π-+=x x x f ，R x ∈(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间]4,3[ππ-上的最大值和最小值.解：22()cos cos ()6f x x x π=+-1cos(2)1cos 2322x x π+-+=+ ……2分 32cos 2144x x =++ ……3分)123x π=++ ……5分 1) 函数()f x 的最小正周期22T ππ== ……6分2) 函数()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，在,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减。