2020年江苏中考数学压轴题精选精练6(含解析)

江苏省中考数学押题试卷（满分：150分考试时间：120分钟）友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卷上作答，在本卷中作答无效。

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上）1．下列各式结果是负数的是A．-(-3) B．3--C．23-D．2(3)-2．下列函数中，自变量x的取值范围是3x>的是A．3y x=-B．13yx=-C．3y x=-D．3yx=-3. 已知反比例函数3yx=-，下列结论不正确．．．的是A．图象必经过点(－1，3) B．若x＞1，则－3﹤y﹤0C．图象在第二、四象限内D．y随x的增大而增大4．下列事件中最适合使用普查方式收集数据的是A．了解某班同学的身高情况B．了解全市每天丢弃的废旧电池数C．了解50发炮弹的杀伤半径D．了解我省农民的年人均收入情况5．下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是A B C D6．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是−1，则顶点A坐标是A．（2，1）B．（1，−2）2，-1）7．已知一次函数y kx b=+的图象如图所示，则关于x的不等式(4)20k x b-->的解集为OABCyx(第5题)3yxOy = kx +b（第15题）G FO AEC42°BCDA（第16题）A ．2x >-B ．2x <-C ．2x >D ．3x < 8．在△ABC 中， AB ＝3，AC ＝ 3. 当∠B 最大时，BC 的长是A ．32B ．32C ． 6D ．2 3二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应．．位置．．上） 9. 3的倒数为 ▲ ．10. 南海资源丰富，其面积约为350万平方千米，相当于我国渤海、黄海和东海总面积的3倍．其中350万用科学记数法表示为 ▲ ．11. 如果实数x 、y 满足方程组221,4,x y x y -=⎧⎨+=⎩ 那么22x y -= ▲ ．12．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 ▲ ．13. 口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 ▲ . 14．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 ▲ ．15．如图，⊙O 的半径是4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，过圆心O 分别作AB 、BC 、AC 的垂线，垂足为E 、F 、G ，连接EF ．若OG ﹦1，则EF = ▲ ．16. 在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ＝CB ，若∠ACD ＝42°，则∠BAC = ▲ °.17．如图，一段抛物线y ＝－x (x －3)（0≤x ≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；……如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P （37，m ）在此“波浪线”上，则m 的值为 ▲ ．18. 如图，矩形ABCD 被分成四部分，其中△ABE 、△ECF 、△ADF 的面积分别为2、3、4，则跳绳数/个100.595.590.585.580.5△AEF 的面积为 ▲ ．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）（1212cos30()12-+--；（2）解不等式：122123x x -+-≥．20.（本题满分8分）先化简再求值： 232(1)121x x x x x ---÷--+，其中x 是方程22x x =的根．21.（本题满分8分）某中学初三（1）班共有40名同学，在一次30秒跳绳测试中他们的成绩统计如下表：将这些数据按组距5（个）分组，绘制成如图的频数分布直方图（不完整）． （1）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图；（2）这个班同学这次跳绳成绩的众数是 ▲ 个，中位数是 ▲ 个；（3）若跳满90个可得满分，学校初三年级共有720人，试估计该中学初三年级还有多少人跳绳不能得满分．22.（本题满分8分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．23.（本题满分10分）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，分别连接BE 、DF 、BD ．（1）求证：△AEB ≌△CFD ；（2）若四边形EBFD 是菱形，求∠ABD 的度数．24.（本题满分10分）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．25.（本题满分10分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm ）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）26.（本题满分10分）如图，点E 是边长为1的正方形ABCD 的边AB 上任意一点（不含A 、B ），ABCDFE过B 、C 、E 三点的圆与BD 相交于点F ，与CD 相交于点G ，与∠ABC 的外角平分线相交于点H ．（1）求证：四边形EFCH 是正方形；（2）设BE ＝x ，△CFG 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并求y 的最大值．27．（本题满分12分）已知：点E 为AB 边上的一个动点.（1）如图1，若△ABC 是等边三角形，以CE 为边在BC 的同侧作等边△DEC ，连结AD .试比较∠DAC 与∠B 的大小，并说明理由；（2）如图2，若△ABC 中，AB=AC ，以CE 为底边在BC 的同侧作等腰△DEC ，且△DEC ∽△ABC ，连结AD .试判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由；（3）如图3，若四边形ABCD 是边长为2的正方形，以CE 为边在BC 的同侧作正方形ECGF .①试说明点G 一定在AD 的延长线上；②当点E 在AB 边上由点B 运动至点A 时，点F28.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线42++=bx ax y 经过A （－3,0）、B（图1）（图2）（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A 出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.丁丙乙甲参考答案及评分建议说明：如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神酌情给分． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）9．310．63.510⨯ 11．2 12．20%13．0.3 14．915 16．32 17．2 18．7三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．(1)原式41)=- …………………………………………4分 5=(此步错误扣1分) …………………………………………4分 (2) 去分母得：36624x x --≥+ ……………………………………………………2分移项、合并同类项得：87x -≥ …………………………………………………3分化系数为1得：78x ≤-……………………………………………………4分 20．原式2242121x x x x x --=÷--+ ……………………………………………………2分 2(2)(2)(1)12x x x x x +--=-⋅-- ……………………………………………………4分22x x =--+ ……………………………………………………5分解22x x =得：120,2(x x ==使分式无意义，舍去） ……………………7分当0x =时，原式2= ……………………………………………………8分 21．（1）5 8 图略 …………………………………………………3分 （2）95（1分） 95 （2分） …………………………………………………6分 （3）54 …………………8分 22. ⑴画树状图（或列表如下）： ……………………………4分∴ 共有12个等可能的结果，其中恰好是甲乙的占2个，∴ P(甲乙)=21126=……… 8分 23．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，AD ＝BC ，AB ＝CD ．… 2分∵点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴AE ＝12AD ，FC ＝12BC ．∴AE ＝CF ． ……………………3分∴△AEB ≌△CFD ． ……………………5分（2）解：∵四边形EBFD 是菱形，∴BE ＝DE ．∴∠EBD ＝∠EDB ． ……………7分∵AE ＝DE ，∴BE ＝AE ．∴∠A ＝∠ABE ． ……………………8分 ∵∠EBD ＋∠EDB ＋∠A ＋∠ABE ＝180°，∴∠ABD ＝∠ABE ＋∠EBD ＝12×180°＝90°． ………………10分24．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品. ……1分 依题意得 105.112001200+=x x . ………………………………5分解得40=x . …………………………7分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………… 8分 ∴ 605.1=x .答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品． ………………10分 25．解：作BE l ⊥于点E ，DF l ⊥于点F ．18018090909036.DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=-∠=-=∠+∠=︒∴∠==︒Q °°°°，，根据题意，得BE =24mm ，DF =48mm. 在Rt ABE △中，sin BEABα=， 2440sin 360.60BE AB ∴===°mm ………………………………………4分在Rt ADF △中，cos DFADF AD∠=，4860cos360.80DF AD ∴===°mm ． ………………………………………8分∴矩形ABCD 的周长=2（40+60）=200mm ． ………………………………10分26．（1）证明：∵B 、H 、C 、F 、E 在同一圆上，且∠EBC ＝90° ∴∠EFC ＝90°，∠EHC ＝90° ………………2分 又∠FBC ＝∠HBC ＝45°，∴CF ＝CH ………………3分 ∵∠HBF ＋∠HCF ＝180°，∴∠HCF ＝90° ………………4分∴四边形EFCH 是正方形 ………………5分 （2）∵∠BFG ＋∠BCG ＝180°，∴∠BFG ＝90° 由（1）知∠EFC ＝90°，∴∠CFG ＋∠BFC ＝∠BFE ＋∠BFC ∴∠CFG ＝∠BFE ，∴CG ＝BE ＝x ………………7分 ∴DG ＝DC －CG ＝1－x易知△DFG 是等腰直角三角形∴△CFG 中CG 边上的高为 1 2DG ＝12(1－x)……………8分∴y ＝1 2 x ·1 2 ( 1－x )＝－ 1 4 ( x － 1 2 )2＋116………………9分∴当x ＝12时，y 有最大值116………………10分27．解：(1) ∠DAC =∠B 理由如下： ……………1分 ∵△ABC 和△DEC 都是等边三角形 ∴∠DCE=∠ACB=60° ∴∠BCE=∠ACD ∵BC=AC CE=CD ∴△BCE ≌△ACD ……………2分 ∴∠B=∠DAC ……………3分 （2）AD ∥BC 理由如下： ……………4分∵△ABC 和△DEC 都是等腰三角形，且△DEC ∽△ABC ∴DC ACCE BC=∵∠DCE=∠ACB ∴∠DCA=∠ECB ∴△DCA ∽△ECB ……………6分 ∴∠DAC=∠EBC=∠AC B ∴AD ∥BC ……………7分 （3）①连结DG ,∵四边形ABCD 和FECG 都是正方形∴BC=CD CE=CG ∠BCD=∠ECG=90°∴∠BCE=∠DCG ∴△BCE ≌△DCG ……………8分 ∴∠B=∠CDG=90°∵∠ADC=90°∴∠ADC+∠CDG=180°∴点G 一定在AD 的延长线上. ……………9分 ②作FH ⊥AG 于点H ，易证：△FHG ≌△GDC ≌△EBC ∴FH=BE=DG HG=BC∴AH=AG-GH=AD+DG-GH= BC+DG-BC=DG=FH ∴△AFH 是等腰直角三角形 ∴∠F AG=45° ……………11分28．解：（1）∵抛物线42++=bx ax y 经过A （－3,0），B （4,0）两点，∴⎩⎨⎧=++=+-.04416,0439b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.31,31b a ∴所求抛物线的解析式为431312++-=x x y . ……………………………3分（2）如图，依题意知AP ＝t ，连接DQ ，由A （－3,0），B （4,0），C （0,4）， 可得AC ＝5，BC ＝24，AB ＝7. ∵BD ＝BC ，∴247-=-=BD AB AD . 4分 ∵CD 垂直平分PQ ，∴QD ＝DP ，∠∵BD ＝BC ，∴∠DCB = ∠CDB .∴∠CDQ = ∠DCB .∴DQ ∥BC . …………………………6分 ∴△ADQ ∽△ABC .∴BCDQ AB AD =.∴BC DP AB AD =. ∴247247DP=-.解得 73224-=DP . …………………7分 ∴717=+=DP AD AP . …………………………8分 ∴线段PQ 被CD 垂直平分时，t 的值为717.（3）设抛物线431312++-=x x y 的对称轴21=x 与x 轴交于点E .点A 、B 关于对称轴21=x 对称，连接BQ 交该对称轴于点M .则MB MQ MA MQ +=+，即BQ MA MQ =+. …………9分当BQ ⊥AC 时，BQ 最小. ………………10分 此时，∠EBM = ∠ACO .∴43tan tan =∠=∠ACO EBM .∴43=BE ME .∴4327=ME ，解得821=ME . ………………11分xy D CBA OP Qxy x =12MQE CB A O精品资料∴M （21，821）. ………………………12分 即在抛物线431312++-=x x y 的对称轴上存在一点M （21，821），使得MQ ＋MA 的值最小.。

江苏省扬州市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析江苏省扬州市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020江阴.八下期中) 已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=，AE ⊥BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB的对称点，连接AF ，BF ．（1）求AE 和BE 的长；（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值；（3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD 交于点P ．与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．~~第2题~~(2020宝应.中考模拟) 如图（1），矩形ABCD 的一边BC 在直角坐标系中x 轴上，折叠边AD,使点D 落在x 轴上点F 处，折痕为AE ，已知AB=8，AD=10，并设点B 坐标为（m,0），其中m ＞0.（1） 求点E 、F 的坐标（用含m 的式子表示）；（2） 连接OA ，若△OAF 是等腰三角形，求m 的值；（3） 如图（2），设抛物线y=a(x －m －6)+h 经过A 、E 两点，其顶点为M ，连接AM ，若∠OAM=90°，求a 、h 、m 的值.~~第3题~~(2020扬州.中考真卷) 如图，已知点、 ，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数 的图像经过点P.小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大.”2当时AB(2020广陵.中考模拟) 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形我们定义：把叫做函数的伴随函数比如：就是的伴随函数合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图像上，则点（，）也在其图像上，即从数的角度可以知道它的图像关于轴对称.解答下列问题：（1）的图像关于轴对称；）①直接写出函数的伴随函数的表达式②在如图①所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图像；若直线与的伴随函数图像交于、两点（点的上方），连接、，12，求的值；若直线（不平行于轴）与（的常数）的伴随函数图像交于、两点（点、分别在第一、四象限），且，试问、两点的纵坐标的积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请如图，已知二次函数的图象与的半径为，（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）当P点运动到（-1，-2）时，判断PB与⊙C的位置关系，并说出理由；（3）是否存在点P，使得△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=.~~第7题~~(2020高邮.中考模拟) 如图1，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，连接BD，点F是BD 的中点，连接EF，CF.（1） EF和CF的数量关系为________；（2）如图2，若△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的数量关系________；（3）若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？写出你的猜想，并给予证明.~~第8题~~(2020扬州.中考模拟) 如图，在中，∠ACB=90°，点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB.（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；（2）设PA=m，PC=n，试用m、n的代数式表示的周长和面积；（3）设CP与AB交于点D，试探索当边AC、BC的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由.~~第9题~~(2020高邮.中考模拟) 在中， .（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转得到线段BD连接AD则的面积；（2） 如图2，点P 为CA 延长线上一个动点，连接BP,以P 为直角项点，BP为直角边作等腰直角连接AQ ，求证：；（3） 如图3，点E,F 为线段BC 上两点，且点M 是线段AF 上一个动点，点N 是线段AC上一个动点，是否存在点M,N 使 的值最小，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.~~第10题~~(2020扬州.中考模拟) 如图，抛物线y ＝﹣x +bx+c 与两轴分别交于A 、B 、C 三点，已知点A （﹣3，0），B （1，0）．点P 在第二象限内的抛物线上运动，作PD ⊥x 轴于点D ，交直线AC 于点E ．（1） b ＝；c ＝；（2） 求线段PE 取最大值时点P 的坐标，这个最大值是多少；（3） 连接AP ，并以AP 为边作等腰直角△APQ ，当顶点Q 恰好落在抛物线的对称轴上时，直接写出对应的P 点坐标．江苏省扬州市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：2解析：答案：解析：答案：解析：答案：解析：~~第5题~~答案：解析：~~第6题~~答案：解析：答案：解析：答案：解析：~~第9题~~答案：解析：答案：解析：。

中考数学压轴题分类试题（2020江苏版）专题1新定义材料阅读类创新题【真题再现】1．（2019年南京第27题）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平⾏的，因此，往往不能沿直线⾏⾛到达⽬的地，只能按直⾓拐弯的⽅式⾏⾛．可以按照街道的垂直和平⾏⽅向建⽴平⾯直⾓坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），⽤以下⽅式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所⽰，B是图象上⼀点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y=4x（x＞0）的图象如图②所⽰．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所⽰，D是图象上⼀点，求d（O，D）的最⼩值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建⼀条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN⽅向到某处，再在该处拐⼀次直⾓弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建⽴适当的平⾯直⾓坐标系，画出⽰意图并简要说明理由）2．（2019年南通第28题）定义：若实数x，y满⾜x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直⾓坐标系xOy中，点P（m，n）．（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点是“线点”；（2）若点P是“线点”，⽤含t的代数式表⽰mn，并求t的取值范围；（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．3．（2019年常州第26题）【阅读】数学中，常对同⼀个量（图形的⾯积、点的个数、三⾓形的内⾓和等）⽤两种不同的⽅法计算，从⽽建⽴相等关系，我们把这⼀思想称为“算两次”．“算两次”也称做富⽐尼原理，是⼀种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直⾓三⾓形和⼀个两条直⾓边都是c的直⾓三⾓形拼成⼀个梯形．⽤两种不同的⽅法计算梯形的⾯积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n⾏n列的棋⼦排成⼀个正⽅形，⽤两种不同的⽅法计算棋⼦的个数，可得等式：n2＝；【运⽤】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若⼲个三⾓形，设最多可以剪得y个这样的三⾓形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三⾓形，所以y＝7．①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝；当n＝5，m＝时，y＝9；②对于⼀般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝（⽤含m、n的代数式表⽰）．请对同⼀个量⽤算两次的⽅法说明你的猜想成⽴．4．（2019年镇江第26题）【材料阅读】地球是⼀个球体，任意两条相对的⼦午线都组成⼀个经线圈（如图1中的⊙O）．⼈们在北半球可观测到北极星，我国古⼈在观测北极星的过程中发明了如图2所⽰的⼯具尺（古⼈称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，⾓顶系有⼀段棉线，棉线末端系⼀个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当⼯具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹⾓α的⼤⼩是变化的．【实际应⽤】观测点A在图1所⽰的⊙O上，现在利⽤这个⼯具尺在点A处测得α为31°，在点A所在⼦午线往北的另⼀个观测点B，⽤同样的⼯具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．（1）求∠POB的度数；（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上AB的长．（π取 3.1）5．（2018年南京第27题）结果如此巧合!下⾯是⼩颖对⼀道题⽬的解答．题⽬：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的⾯积．解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2．整理，得x2+7x＝12．所以S△ABC=12AC?BC=12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）＝12．⼩颖发现12恰好就是3×4，即△ABC 的⾯积等于AD 与BD 的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下⾯的探索．已知：△ABC 的内切圆与AB 相切于点D ，AD ＝m ，BD ＝n ．可以⼀般化吗？（1）若∠C ＝90°，求证：△ABC 的⾯积等于mn ．倒过来思考呢？（2）若AC ?BC ＝2mn ，求证∠C ＝90°．改变⼀下条件……（3）若∠C ＝60°，⽤m 、n 表⽰△ABC 的⾯积．6．（2018年南通第28题）【定义】如图1，A ，B 为直线l 同侧的两点，过点A 作直线1的对称点A ′，连接A ′B交直线l 于点P ，连接AP ，则称点P 为点A ，B 关于直线l 的“等⾓点”．【运⽤】如图2，在平⾯直坐标系xOy 中，已知A （2，√3），B （﹣2，?√3）两点．（1）C （4，√32），D （4，√22），E （4，12）三点中，点是点A ，B 关于直线x ＝4的等⾓点；（2）若直线l 垂直于x 轴，点P （m ，n ）是点A ，B 关于直线l 的等⾓点，其中m ＞2，∠APB ＝α，求证：tan α2=n 2；（3）若点P 是点A ，B 关于直线y ＝ax +b （a ≠0）的等⾓点，且点P 位于直线AB 的右下⽅，当∠APB ＝60°时，求b 的取值范围（直接写出结果）．【专项突破】【题组⼀】1．（2019?⿎楼区⼀模）把⼀个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另⼀个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．例如：如图，将y＝x的图象经过倒数变换后可得到y=1x的图象．特别地，因为y＝x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y=1x的图象上也没有纵坐标为0的点．（1）请在下⾯的平⾯直⾓坐标系中画出y＝﹣x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可．②说理：请简要解释你其中⼀个猜想．（3）请画出函数y=1x2+c（c为常数）的⼤致图象．2．（2019?⿎楼区⼆模）提出问题：⽤⼀张等边三⾓形纸⽚剪⼀个直⾓边长分别为2cm和3cm的直⾓三⾓形纸⽚，等边三⾓形纸⽚的边最⼩值是多少？探究思考：⼏位同学画出了以下情况，其中∠C＝90°，BC＝2cm，△ADE为等边三⾓形．（1）同学们对图1，图2中的等边三⾓形展开了讨论：①图⼀中AD的长度图②中AD的长度（填“＞”，“＜”或“＝”）②等边三⾓形ADE经过图形变化．AD可以更⼩．请描述图形变化的过程．（2）有同学画出了图3，但⽼师指出这种情况不存在，请说明理由．（3）在图4中画出边长最⼩的等边三⾓形，并写出它的边长．经验运⽤：（4）⽤⼀张等边三⾓形纸⽚剪⼀个直⾓边长为1cm和3cm的直⾓三⾓形纸⽚，等边三⾓形纸⽚的边长最⼩是多少？画出⽰意图并写出这个最⼩值．3．（2019?建邺区⼀模）我们定义：有⼀组对⾓相等的四边形叫做“等对⾓四边形”．（1）如图①，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，且AE＝AD．证明：四边形ABCE是“等对⾓四边形”．（2）如图②，在“等对⾓四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝53°，∠B＝90°，AB＝17，BC＝18，求CD的长．（sin53°≈45，cos53°≈343）（3）如图③，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，CD＝4，若四边形ABCD是“等对⾓边形”，且∠B＝∠D，则BD 的最⼤值是．（直接写出结果）4．（2020?河南⼀模）【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC ＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】⼩聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利⽤轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利⽤α＝90°，β＝30°以及等边三⾓形等相关知识便可解决这个问题．请结合⼩聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三⾓形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应⽤】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为【题组⼆】5．（2019?溧⽔区⼀模）（1）发现：如图1，点A为线段BC外⼀动点，且BC＝a，AB＝b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最⼤值，且最⼤值为（⽤含a，b的式⼦表⽰）（2）应⽤：点A为线段BC外⼀动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所⽰，分别以AB，AC为边，作等边三⾓形ABD和等边三⾓形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最⼤值．（3）拓展：如图3，在平⾯直⾓坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），点P为线段AB外⼀动点，且P A ＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最⼤值及此时点P的坐标．6．（2019?淮阴区⼀模）在解决数学问题时，我们常常从特殊⼊⼿，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与⽅法．【问题提出】求证：如果⼀个定圆的内接四边形的对⾓线互相垂直，那么这个四边形的对边的平⽅和是⼀个定值．【从特殊⼊⼿】我们不妨设定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助所画图形探究问题的结论．【问题解决】已知：如图②，定圆O 的半径是R ，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC ⊥BD ．求证：．证明：7．（2018?秦淮区⼀模）【数学概念】若四边形ABCD 的四条边满⾜AB ?CD ＝AD ?BC ，则称四边形ABCD 是和谐四边形．【特例辨别】（1）下列四边形：①平⾏四边形，②矩形，③菱形，④正⽅形．其中⼀定是和谐四边形的是．（2）如图①，过⊙O 外⼀点P 引圆的两条切线PS 、PT ，切点分别为A 、C ，过点P 作⼀条射线PM ，分别交⊙O 于点B 、D ，连接AB 、BC 、CD 、DA ．求证：四边形ABCD 是和谐四边形．【知识应⽤】（3）如图②，CD 是⊙O 的直径，和谐四边形ABCD 内接于⊙O ，且BC ＝AD ．请直接写出AB 与CD 的关系．8．（2020?丰台区模拟）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，对于两个点P ，Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点M ，N （M ，N 可以重合）使得PM ＝QN ，那么称点P 与点Q 是图形W 的⼀对平衡点．（1）如图1，已知点A （0，3），B （2，3）．①设点O 与线段AB 上⼀点的距离为d ，则d 的最⼩值是，最⼤值是；②在P 1（32，0），P 2（1，4），P 3（﹣3，0）这三个点中，与点O 是线段AB 的⼀对平衡点的是（2）如图2，已知圆O的半径为1，点D的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第⼀象限，且点D与点E是圆O 的⼀对平衡点，求x的取值范围．（3）如图3，已知点H（﹣3，0），以点O为圆⼼，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K，点C（a，b）（其中b≥0）是坐标平⾯内⼀个动点，且OC＝5，圆C是以点C为圆⼼，半径为2的圆，若弧HK上的任意两个点都是圆C的⼀对平衡点，直接写出b 的取值范围．【题组三】9．（2019?邗江区⼀模）【操作体验】如图①，已知线段AB和直线l，⽤直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°，如图②，⼩明的作图⽅法如下：第⼀步：分别以点A，B为圆⼼，AB长为半径作弧，两弧在AB上⽅交于点O；第⼆步：连接OA，OB；第三步：以O为圆⼼，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；所以图中P1，P2即为所求的点．（1）在图②中，连接P1A，P1B，说明∠AP1B＝30°；【⽅法迁移】（2）如图③，⽤直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°，（不写做法，保留作图痕迹）．【深⼊探究】（3）已知矩形ABCD，BC＝2．AB＝m，P为AD边上的点，若满⾜∠BPC＝45°的点P恰有两个，则m的取值范围为．（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P为矩形ABCD内⼀点，且∠BPC＝135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最⼩值为．10．（2019?如皋市⼀模）定义：把函数y=m|x|（m＞0）的图象叫做正值双曲线．把函数y=m|x|（m＜0）的图象叫做负值双曲线．（1）请写出正值双曲线的两条性质；（2）如图，直线l经过点A（﹣1，0），与负值双曲线y=m|x|（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1）．P是射线AB上的⼀点，过点P作x轴的平⾏线分别交该负值双曲线于M，N两点（点M在点N的左边）．①求直线l的解析式和m的值；②是否存在点P，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满⾜条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019?通州区⼀模）平⾯直⾓坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何⼀条边均与某条坐标轴平⾏，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在⾯积最⼩的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，⾯积为；②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的⾯积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”⾯积的最⼩值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正⽅形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”⾯积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．12．（2019?顺义区⼀模）在平⾯直⾓坐标系xOy中，A、B为平⾯内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q 是线段AB的“似中点”．（1）已知A（1，0），B（3，2），在点C（1，3）、D（2，1）、E（4，﹣2）、F（3，0）中，线段AB的“似中点”是点；（2）直线y=√3x+√3与x轴交于点M，与y轴交于点N．①若点H是线段MN的“似中点”，且在坐标轴上，求H点的坐标；②若⊙P的半径为2，圆⼼P为（t，0），若⊙P上存在线段MN的“似中点”，请直接写出t的取值范围．【题组四】13．（2019?海门市⼀模）定义：在平⾯直⾓坐标系xOy中，对于点P和图形M，如果线段OP与图形M有公共点时，就称点P 为关于图形M的“亲近点”．已知平⾯直⾓坐标系xOy中，点A（1，√3），B（5，√3），连接AB．（1）在P1（1，2），P2（3，2），P3（5，2）这三个点中，关于线段AB的“亲近点”是；（2）若线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，点C（t，2√3t?3√3）、D（t+6，2√3t?3√3），求实数t的取值范围；（3）若⊙A与y轴相切，直线l：y=?√3x+b过点B，点E是直线l上的动点，⊙E半径为2，当⊙E上所有点都是关于⊙A的“亲近点”时，直接写出点E横坐标n的取值范围．14．（2019?海门市⼆模）如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（2，1），B（2，4），连结AB．若对于平⾯内⼀点P，线段AB上只要存在点Q，使得PQ≤13AB，则称点P是线段AB的“卫星点”．（1）在点C（4，2），D（2，?16），E（43，2）中，线段AB的“卫星点”是点；（2）若点P1，P2是线段AB的“卫星点”（点P1在点P2的左侧），且P1P2＝1，P1P2∥x轴，点F坐标为（0，2）．①若将△P1P2F的⾯积记为S，当S最⼤时，求点P1的坐标；②直线FP1的解析式y＝mx+2（m≠0），直线FP2的解析式y＝nx+2（n≠0），求mn的取值范围．15．（2019?朝阳区⼀模）在平⾯直⾓坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），称d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P1、P2两点的直⾓距离．（1）已知：点A（1，2），直接写出d（O，A）＝；（2）已知：B是直线y=?34x+3上的⼀个动点．①如图1，求d（O，B）的最⼩值；②如图2，C是以原点O为圆⼼，1为半径的圆上的⼀个动点，求d（B，C）的最⼩值．16．（2019?建湖县⼆模）【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．①AC与BD之间的数量关系为；②∠AMB的度数为；【类⽐探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算ACBD的值及∠AMB的度数；【实际应⽤】如图（3），是⼀个由两个都含有30°⾓的⼤⼩不同的直⾓三⾓板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE ＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同⼀直线上，CE＝1，BC=√21，求点A、D之间的距离．【题组五】17．（2018?咸宁）定义：我们知道，四边形的⼀条对⾓线把这个四边形分成了两个三⾓形，如果这两个三⾓形相似（不全等），我们就把这条对⾓线叫做这个四边形的“相似对⾓线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正⽅形⽹格中，请你只⽤⽆刻度的直尺在⽹格中找到⼀点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对⾓线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对⾓线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对⾓线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对⾓线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG，若△EFG的⾯积为2√3，求FH的长．18．（2019?梁溪区⼀模）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝5．请⽤尺规作图画出符合要求的图形，并标注必要的字母及结论（保留作图痕迹，不要求写作法）．（1）在图1的矩形ABCD中画出⼀个⾯积最⼤的菱形．（2）我们通常把长与宽之⽐为√2：1的矩形称为标准矩形，请你在图2的矩形ABCD中画出⼀个⾯积最⼤的标准矩形．19．（2019?东城区⼀模）在平⾯直⾓坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最⼤值等于点Q到x、y轴的距离中的最⼤值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是；②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在⼀点M，线段CD上存在⼀点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．20．（2018?南通三模）从三⾓形⼀个顶点引出⼀条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三⾓形分割成两个⼩三⾓形，如果分得的两个⼩三⾓形中⼀个为等腰三⾓形，另⼀个与原三⾓形相似，我们把这条线段叫做这个三⾓形的优美线．（1）如图，在△ABC中，AD为⾓平分线，∠B＝50°，∠C＝30°，求证：AD为△ABC的优美线．（2）在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的优美线，且△ABD是以AB为腰的等腰三⾓形，求∠BAC的度数．（3）在△ABC 中，AB＝4，AC＝2，AD是△ABC的优美线，且△ABD是等腰三⾓形，求优美线AD的长．【题组六】21．（2019?常州⼆模）⼩韦同学⼗分崇拜科学家，⽴志成为有所发现、有所创造的⼈，他组建了三⼈探究⼩组，探究⼩组对以下问题有了发现：如图b，已知⼀次函数y＝x+1的图象分别与x轴和y轴相交于点E、F．过⼀次函数y＝x+1的图象上的动点P作PB⊥x轴，垂⾜是B，直线BP交反⽐例函数y=?12x的图象于点Q．过点Q作QC⊥y轴，垂⾜是C，直线QC交⼀次函数y＝x+1的图象于点A．当点P与点E重合时（如图a），∠POA的度数是⼀个确定的值．请你加⼊该⼩组，继续探究：（1）当点P与点E重合时，∠POA＝°；（2）当点P不与点E重合时，（1）中的结论还成⽴吗？如果成⽴说明理由；如果不成⽴，说明理由并求出∠POA 的度数．22．（2018?溧⽔区⼀模）我们知道，平⾯内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平⾯直⾓坐标系，如果两条数轴不垂直，⽽是相交成任意的⾓ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平⾯斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平⾯内⼀点P作坐标轴的平⾏线PM 和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的⼀边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA＝2，OC＝l．①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C．②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满⾜的关系为．③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满⾜的关系为．（2）若ω＝120°，O为坐标原点．①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝4√3，求圆M的半径及圆⼼M的斜坐标．②如图4，圆M的圆⼼斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是．23．（2019?常州⼀模）我们定义：有⼀组对⾓为直⾓的四边形叫做“对直⾓四边形”．如图1，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“对直⾓四边形”．（1）“对⾓线相等的对直⾓四边形是矩形”是命题；（填“真”或“假”）（2）如图2，在对直⾓四边形ABCD中，∠DAB＜90°，AD+CD＝AB+BC．试说明△ADC的⾯积与△ABC的⾯积相等；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，过AB的中点D作射线DP∥AC，交BC于点O，∠BDP与∠ADP的⾓平分线分别交BC，AC于点E、F．①图中是“对直⾓四边形”的是；②当OP的长是时，四边形DEPF为对直⾓四边形．24．（2019?常州模拟）阅读理解：给定⼀个矩形，如果存在另⼀个矩形，它的周长和⾯积分别是已知矩形的周长和⾯积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形．解决问题：（1）当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．（2）边长为a的正⽅形存在“加倍”正⽅形吗？请做出判断，并说明理由专题02 ⼆次函数与⾯积的最值定值问题【真题再现】1．（2019年常州27题）如图，⼆次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在第⼀象限，过点P作PH⊥x轴，垂⾜为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标⼩于3，过点P作PQ⊥BD，垂⾜为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．2．（2018年徐州27题）如图，在平⾯直⾓坐标系中，⼆次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，其顶点为P，连接P A、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．（1）求点P，C的坐标；（2）直线l 上是否存在点Q ，使△PBQ 的⾯积等于△P AC 的⾯积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019年淮安26题）如图，已知⼆次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为（5，0），点D 的坐标为（1，3）．（1）求该⼆次函数的表达式；（2）点E 是线段BD 上的⼀点，过点E 作x 轴的垂线，垂⾜为F ，且ED ＝EF ，求点E 的坐标．（3）试问在该⼆次函数图象上是否存在点G ，使得△ADG 的⾯积是△BDG 的⾯积的35？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2019年⽆锡27题）已知⼆次函数y ＝ax 2+bx ﹣4（a ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，（A 在B 左侧，且OA＜OB ），与y 轴交于点C ．（1）求C 点坐标，并判断b 的正负性；（2）设这个⼆次函数的图象的对称轴与直线AC 相交于点D ，已知DC ：CA ＝1：2，直线BD 与y 轴交于点E ，连接BC ．①若△BCE 的⾯积为8，求⼆次函数的解析式；②若△BCD 为锐⾓三⾓形，请直接写出OA 的取值范围．。

2020-2022江苏省中考精选题（含答案解析）一．选择题（共24小题）1．（3分）（2020•无锡）反比例函数y＝的图象上有一点A（3，2），将直线OA绕点A顺时针旋转90°，交双曲线于点B，则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（1，6）C．（）D．（，2）2．（3分）（2020•无锡）▱ABCD中，若AB＝4，AD＝m，∠A＝60°，将▱ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点重合，若折痕与直线AD交于点E，DE＝1，则m的值为（）A．+1或﹣1B．﹣1或+1C．﹣1或﹣1D．+1或+13．（3分）（2020•镇江）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n 的最大值等于（）A．B．4C．﹣D．﹣4．（3分）（2020•镇江）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP ＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E（9，2），则cos B的值等于（）A．B．C．D．5．（3分）（2020•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（）A．B．C．D．6．（3分）（2020•南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．B．2C．2D．37．（3分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式﹣的值为（）A．﹣B．C．﹣D．8．（3分）（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH ⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．69．（3分）（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是∠ADB＝135°，S△ABD（）A．2B．4C．3D．610．（3分）（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（）A．B．C．D．11．（3分）（2020•苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（）A．（4，）B．（，3）C．（5，）D．（，）12．（3分）（2020•无锡）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝，则线段DE的长度（）A．B．C．D．13．（3分）（2020•无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为；④四边形PCDQ周长的最小值为3+．其中，正确结论的序号为（）A．①④B．②④C．①③D．②③14．（3分）（2021•无锡）如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE、BC的延长线交于点F，AE的垂直平分线分别交AE、BC于点H、G，连接EG，则与△FEC相似的三角形个数为（）A．1B．2C．3D．415．（3分）（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（a，2）是反比例函数的图象上的点，连接AO并延长与反比例函数图象交于另一点B，将直线AB向下平移，与反比例函数的图象交于C、D两点．若△ABC的面积为5，则向下平移的距离是（）A．3B．5C．4D．16．（3分）（2021•无锡）在锐角△ABC中，∠A＝60°，BD，CE为高，F是BC的中点，连接DE，DF，EF．有下列结论：①AD：AB＝AE：AC；②△DEF是等边三角形；③BE+CD＝BC；④△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．417．（3分）（2021•无锡）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条内角平分线的交点C．点P是△ABC三条高的交点D．点P是△ABC三条中线的交点18．（3分）（2021•宿迁）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB ＝8，AD＝4，则MN的长是（）A．B．2C．D．419．（3分）（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．420．（3分）（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（）A．+B．3C．2+D．+21．（3分）（2021•扬州）如图，点P是函数y＝（k1＞0，x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y＝（k2＞0，x＞0）的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1＞k2．下列结论：①CD∥AB；②S△OCD＝；③S△DCP＝，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①22．（3分）（2021•连云港）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．23．（3分）（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24B．C．D．﹣424．（3分）（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．B．2C．2D．4二．填空题（共35小题）25．（3分）（2020•无锡）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点A、B、C、D均为格点，给出下列四个命题：①点B到点C的最短距离为；②点A到直线CD的距离为；③直线AB、CD所交的锐角为45°；④四边形ABCD的面积为11．其中，所有正确命题的序号为．（填序号）26．（3分）（2020•无锡）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N （1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为．27．（3分）（2020•镇江）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于．28．（3分）（2020•宿迁）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为．29．（3分）（2020•宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为．30．（3分）（2020•南通）将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝．31．（3分）（2020•盐城）如图，已知点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1）．直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值为．32．（3分）（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为．33．（3分）（2020•常州）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF 与直线DG互相垂直，则BG的长为．34．（3分）（2020•淮安）如图，等腰△ABC的两个顶点A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1）在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AC＝BC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动3个单位长度，到达反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，则k2＝．35．（3分）（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为．36．（3分）（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．37．（3分）（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．38．（3分）（2020•泰州）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为．39．（3分）（2020•泰州）如图，点P在反比例函数y＝的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y＝（k＜0）的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为．40．（3分）（2020•苏州）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA ＝10，DE＝12，则sin∠MON＝．41．（3分）（2020•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC 上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为．42．（3分）（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y＝x2，OACB 为矩形，A，B在抛物线上，当A，B运动时，点C也在另一个二次函数图象上运动，设C（x，y），则y关于x的函数表达式为．43．（3分）（2021•无锡）如图，在△ABC中，AD是高，E是AB上一点，CE交AD于点F，且AD：BD：CD：FD＝12：5：3：4，则sin∠BEC的值是．44．（3分）（2021•镇江）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为．45．（3分）（2021•淮安）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是．46．（3分）（2021•泰州）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是．47．（3分）（2021•常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB 上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是．48．（3分）（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝．49．（3分）（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为：．50．（3分）（2021•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．51．（3分）（2021•南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC＝（用含α的代数式表示）．52．（3分）（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为．53．（3分）（2021•宿迁）如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝．54．（3分）（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．55．（3分）（2021•苏州）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为.（结果保留根号）56．（3分）（2021•苏州）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d＝．57．（3分）（2022•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则的值是．58．（3分）（2022•南通）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG ＝，则△OEM的周长为．59．（3分）（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．三．解答题（共1小题，满分13分，每小题13分）60．（13分）（2020•宿迁）【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°，求证：＝．【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且＝，连接BG交CD于点H．求证：BH＝GH．【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC＝180°，且＝，过E作EF交AD于点F，若∠EFA＝∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG＝CG．2020-2022江苏省中考精选题参考答案与试题解析一．选择题（共24小题，满分72分，每小题3分）1．（3分）（2020•无锡）反比例函数y＝的图象上有一点A（3，2），将直线OA绕点A顺时针旋转90°，交双曲线于点B，则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（1，6）C．（）D．（，2）【解答】解：设O点旋转后的对应点为C,如图，作AD⊥y轴于D,CE⊥AD与E,∵反比例函数y＝的图象上有一点A（3，2），∴k＝3×2＝6,∴反比例函数为y＝,∵将直线OA绕点A顺时针旋转90°，∴∠DAO+∠EAC＝90°,∵∠AOD+∠DAO＝90°,∴∠AOD＝∠EAC,在△AOD和△CAE中,∴△AOD≌△CAE(AAS),∴AE＝OD＝2,BE＝AD＝3,∴DE＝3﹣2＝1,∴C(1,5),设直线AC的解析式为y＝kx+b,把A(3,2),C(1,5)代入得,解得,∴直线AC的解析式为y＝﹣x+,解得或,∴点B的坐标为(,),故选：C．2．（3分）（2020•无锡）▱ABCD中，若AB＝4，AD＝m，∠A＝60°，将▱ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点重合，若折痕与直线AD交于点E，DE＝1，则m的值为（）A．+1或﹣1B．﹣1或+1C．﹣1或﹣1D．+1或+1【解答】解：如图1中，当点E在线段AD上时，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，AB∥CD，∴∠FDH＝∠BAD＝60°，∴DF＝CF＝CD＝2，∴DH＝DF•cos60°＝1，FH＝DF•sin60°＝，∵DE＝1，∴EH＝DE+DH＝2，∴AE＝EF＝＝＝，∴m＝AD＝AE+DE＝+1．如图2中，当点E在线段AD的延长线上时，同法可得DH＝1，此时点E与H重合，AE＝FH＝，AD＝AE﹣DE＝﹣1．综上所述，满足条件的AD的值为+1或﹣1．故选：A．3．（3分）（2020•镇江）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n 的最大值等于（）A．B．4C．﹣D．﹣【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，∴a＝0，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，故选：C．4．（3分）（2020•镇江）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP ＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E（9，2），则cos B的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方Q'处，且BQ'＝x＝9时，y＝2，如图①所示，∴BD＝BQ'﹣Q'D＝x﹣y＝7，∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，∴cos B＝＝＝，故选：D．5．（3分）（2020•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM＝∠PQ′N在△PQM和△Q′PN中，∴△PQM≌△Q′PN（AAS），∴PN＝QM，Q′N＝PM，设Q（m，﹣），∴PM＝|m﹣1|，QM＝|﹣m+2|，∴ON＝|3﹣m|，∴Q′（3﹣m，1﹣m），∴OQ′2＝（3﹣m）2+（1﹣m）2＝m2﹣5m+10＝（m﹣2）2+5，当m＝2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，故选：B．6．（3分）（2020•南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．B．2C．2D．3【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝＝＝，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为．故选：A．7．（3分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式﹣的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：法一：由题意得，，解得，或（舍去），∴点P（，），即：a＝，b＝，∴﹣＝﹣＝﹣；法二：由题意得，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），∴ab＝4，b＝a﹣1，∴﹣＝＝；故选：C．8．（3分）（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH ⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．9．（3分）（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是∠ADB＝135°，S△ABD（）A．2B．4C．3D．6【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD＝，＝＝2，BD＝，∵S△ABD∴AE＝2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∴D的纵坐标为3，设A（m，），则D（m﹣2，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k＝m＝（m﹣2）×3，解得m＝3，∴k＝m＝6．故选：D．10．（3分）（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接AC、BC．∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC．在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，∴sin∠ABC＝＝，∴sin∠ADC＝．故选：A．11．（3分）（2020•苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（）A．（4，）B．（，3）C．（5，）D．（，）【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），∴2＝，∴k＝6，∴反比例函数y＝，∵OB经过原点O，∴设OB的解析式为y＝mx，∵OB经过点D（3，2），则2＝3m，∴m＝，∴OB的解析式为y＝x，∵反比例函数y＝经过点C，∴设C（a，），且a＞0，∵四边形OABC是平行四边形，＝2S△OBC，∴BC∥OA，S平行四边形OABC∴点B的纵坐标为，∵OB的解析式为y＝x，∴B（，），∴BC＝﹣a，＝××（﹣a），∴S△OBC∴2×××（﹣a）＝，解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），∴B（，3），故选：B．解法2：∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），∴2＝，∴k＝6，∴反比例函数y＝，同上得：B（，），∴BC＝﹣a，∵平行四边形OABC的面积是，∴（﹣a）×＝，解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），∴B（，3），故选：B．12．（3分）（2020•无锡）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝，则线段DE的长度（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：如图，延长ED交AC于点M，过点M作MN⊥AE于点N，设MN＝x，∵tan∠AED＝，∴＝，∴NE＝2x，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2，由翻折可知：∠EAC＝30°，∴AM＝2MN＝2x，∴AN＝MN＝3x，∵AE＝AB＝3，∴5x＝3，∴x＝，∴AN＝，MN＝，AM＝，∵AC＝2，∴CM＝AC﹣AM＝，∵MN＝，NE＝2x＝，∴EM＝＝，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴CD∥AB，∴∠DCA＝30°，由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，∴∠ECD＝30°，∴CD是∠ECM的角平分线，∴＝＝，∴＝，解得，ED＝．方法二：如图，过点D作DM⊥CE，由折叠可知：∠AEC＝∠B＝90°，∴AE∥DM，∴∠AED＝∠EDM，∴tan∠AED＝tan∠EDM＝，∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，设EM＝m，由折叠性质可知，EC＝CB＝，∴CM＝﹣m，由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，∴∠ECD＝30°，∴tan∠ECD＝＝，∴DM＝（﹣m）×＝1﹣m，∴tan∠EDM＝＝，即＝解得，m＝，∴DM＝，EM＝，在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，解得，DE＝．故选：B．13．（3分）（2020•无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为；④四边形PCDQ周长的最小值为3+．其中，正确结论的序号为（）A．①④B．②④C．①③D．②③【解答】解：①利用图象法可知PC＞DQ，或通过计算可知DQ的最大值为，PC的最小值为，所以PC＞DQ，故①错误．②设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x﹣＝﹣x，∵∠A＝∠B＝60°，∴当＝或＝时，△ADQ与△BPC相似，即或＝，解得x＝1或或，∴当AQ＝1或或时，两三角形相似，故②正确③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP＝×32﹣×x××﹣×3×（3﹣x﹣）×＝+x，∵x的最大值为3﹣＝，∴x＝时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，故③正确，如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，此时四边形P′CDQ′的周长最小．过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．由题意，DD′＝2AD•sin60°＝，HJ＝DD′＝，CJ＝，FH＝﹣﹣＝，∴CH＝CJ+HJ＝，∴CF＝＝＝，∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3+，故④错误，故选：D．14．（3分）（2021•无锡）如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE、BC的延长线交于点F，AE的垂直平分线分别交AE、BC于点H、G，连接EG，则与△FEC相似的三角形个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴EC∥AB，∠D＝∠DCB＝∠DCF＝90°，∴△FEC∽△FAB，∵DE＝EC，∠AED＝∠FEC，∴△ECF≌EDA（ASA），∵GH⊥AF，∴∠FCE＝∠FHG，∵∠F＝∠F，∴△ECF∽△FHG，故选：C．15．（3分）（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（a，2）是反比例函数的图象上的点，连接AO并延长与反比例函数图象交于另一点B，将直线AB向下平移，与反比例函数的图象交于C、D两点．若△ABC的面积为5，则向下平移的距离是（）A．3B．5C．4D．【解答】解：∵点A（a，2）是反比例函数的图象上的点，∴2a＝﹣2，∴a＝﹣1，∴A（﹣1，2），∵AB过原点，∴B（1，﹣2），∴AB＝＝2，直线AB为y＝﹣2x，过C点作CD⊥AB于D，CE∥x轴交AB于E，＝CD•AB＝5，∵S△ABC∴CD＝＝＝，设直线AB向左平移m个单位，∴得y＝﹣2（x+m）＝﹣2x﹣2m（m＞0），∴CE＝m，CD＝CE•sin∠CED，作AH⊥y轴于H，∵CE∥AH，∴∠CED＝∠OAH，∵sin∠OAH＝＝＝，∴CD＝m•＝，解得m＝，∴﹣2m＝﹣5，∴向下平移的距离是5，故选：B．16．（3分）（2021•无锡）在锐角△ABC中，∠A＝60°，BD，CE为高，F是BC的中点，连接DE，DF，EF．有下列结论：①AD：AB＝AE：AC；②△DEF是等边三角形；③BE+CD＝BC；④△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴＝，故①正确；∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∴∠BEF+∠BFE+∠CFD+∠CDF＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝240°，∵∠BEC＝∠BDC＝90°，F是BC的中点，∴EF＝BF＝BC，DF＝CF＝BC，∴EF＝DF＝BF＝CF，∴∠BEF＝∠BFE，∠CFD＝∠CDF，∴∠BFE+∠CFD＝120°，∴∠EFD＝180°﹣（∠BFE+∠CFD）＝60°，∴△DEF是等边三角形，故②正确；在Rt△BEC中，BE＝BC•cos∠ABC，在Rt△BDC中，CD＝BC•cos∠ACB，∴BE+CD＝BC•cos∠ABC+BC•cos∠ACB＝BC（cos∠ABC+cos∠ACB）≠BC，故③不正确；∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝30°，∴AD＝AB，∵＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3，故④正确，所以，上列结论正确的个数是3，故选：C．17．（3分）（2021•无锡）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条内角平分线的交点C．点P是△ABC三条高的交点D．点P是△ABC三条中线的交点【解答】解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC 于N，如图：∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，∴四边形AEPD是矩形，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，Rt△CDP中，CP2＝（8﹣x）2+y2，Rt△BEP中，BP2＝x2+（6﹣y）2，∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（8﹣x）2+y2+x2+（6﹣y）2＝3x2﹣16x+3y2﹣12y+100＝3（x﹣）2+3（y﹣2）2+，∴x＝，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，此时AD＝PE＝，AE＝PD＝2，∵∠A＝90°，PD⊥AC，∴PD∥AB，∴＝，即＝，∴AM＝3，∴AM＝AB，即M是AB的中点，同理可得AN＝AC，N为AC中点，∴P是△ABC三条中线的交点，故选：D．18．（3分）（2021•宿迁）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB ＝8，AD＝4，则MN的长是（）A．B．2C．D．4【解答】解：如图，连接BD，BN，∵折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，∴BM＝MD，BN＝DN，∠DMN＝∠BMN，∵AB∥CD，∴∠BMN＝∠DNM，∴∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN，∴DN＝DM＝BM＝BN，∴四边形BMDN是菱形，∵AD2+AM2＝DM2，∴16+AM2＝（8﹣AM）2，∴AM＝3，∴DM＝BM＝5，∵AB＝8，AD＝4，∴BD＝＝＝4，＝×BD×MN＝BM×AD，∵S菱形BMDN∴4×MN＝2×5×4，∴MN＝2，故选：B．19．（3分）（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，∴4a+b＝1，故正确；④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；故选：C．20．（3分）（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（）A．+B．3C．2+D．+【解答】解：∵一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣，则A（﹣，0），B（0，），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∴AB＝＝2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD＝∠OAB＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，∴AC＝＝x，由旋转的性质可知∠ABC＝30°，∴BC＝2CD＝2x，∴BD＝＝x，又BD＝AB+AD＝2+x，∴2+x＝x，解得：x＝+1，∴AC＝x＝（+1）＝，故选：A．21．（3分）（2021•扬州）如图，点P是函数y＝（k1＞0，x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y＝（k2＞0，x＞0）的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1＞k2．下列结论：①CD∥AB；②S△OCD＝；③S△DCP＝，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①【解答】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，设P（m，），则C（m，），A（m，0），B（0，），令，则，即D（，），∴PC＝，PD＝，∵＝＝，＝＝，即，又∠DPC＝∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC＝∠PBA，∴CD∥AB，故①正确；△PDC的面积＝＝，故③正确；S△OCD＝S四边形OAPB﹣S△OCA﹣S△OBD﹣S△DPC＝＝，故②错误；故选：B．22．（3分）（2021•连云港）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，则∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，∴△ABD∽△CED，∴＝＝，∵AD＝AC，∴＝，∴＝＝＝，则CE＝，∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE＝CE＝，∴BD＝BE＝，＝•BD•CE＝×＝．∴S△BCD故选：A．23．（3分）（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24B．C．D．﹣4【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2＝5m2+5n2﹣12mn＝5（mn+2）﹣12mn＝10﹣7mn，∵m2+n2＝2+mn，∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），∴mn≥﹣，∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），∴mn≤2，∴﹣≤mn≤2，∴﹣14≤﹣7mn≤，∴﹣4≤10﹣7mn≤，即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为，故选：B．方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，∴mn+2+2mn＝k2，∴mn＝k2﹣，∴原式＝10﹣7mn＝﹣k2+≤，故选：B．24．（3分）（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．B．2C．2D．4【解答】解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，故选：C．二．填空题（共35小题，满分105分，每小题3分）25．（3分）（2020•无锡）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点A、B、C、D均为格点，给出下列四个命题：①点B到点C的最短距离为；②点A到直线CD的距离为；③直线AB、CD所交的锐角为45°；④四边形ABCD的面积为11．其中，所有正确命题的序号为①③．（填序号）【解答】解：由图可得，点B到点C的最短距离为＝，故①正确．如图取格点E，连接DE，AE，则C，D，F，E共线，过点A作AH⊥CD于H．＝×2×2＝×EF×AH，∵S△AEF∴AH＝＝，故②错误．取格点J，连接AJ，JB，则AJ∥CD，△AJB是等腰直角三角形，∴∠BAJ＝45°，∴直线AB、CD所交的锐角为45°，故③正确，S四边形ABCD＝4×5﹣×1×3﹣×3×2﹣2﹣×1×2﹣×1×5＝10，故④错误．故答案为：①③．26．（3分）（2020•无锡）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N （1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2．【解答】解：由题意，可大致画出函数图象如下，则直线y＝kx+b关于y轴对称的直线为y＝﹣kx+b，根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点C、D，则点C、D的横坐标分别为﹣1，2，观察函数图象ax2+c＞﹣kx+b的解集为﹣1＜x＜2，即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2，故答案为：﹣1＜x＜2．27．（3分）（2020•镇江）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于．【解答】解：取A1B1的中点N，连接NQ，PN，∵将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，∴B1C1＝BC＝3，PN＝5，∵点P、Q分别是AB、A1C1的中点，∴NQ＝B1C1＝，∴5﹣≤PQ≤5+，即≤PQ≤，∴PQ的最小值等于，故答案为：．28．（3分）（2020•宿迁）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为6．【解答】解：过点A作AD⊥y轴于D，则△ADC∽△BOC，∴，∵＝，△AOB的面积为6，∴＝2，∴＝1，∴△AOD的面积＝3，根据反比例函数k的几何意义得，，∴|k|＝6，∵k＞0，∴k＝6．故答案为：6．29．（3分）（2020•宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为．【解答】解：∵当点P从点A运动到点D时，PQ＝PA，∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，∵矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝∠Q＝90°．∴∠ADB＝∠DBC＝∠ODB＝∠OBQ＝30°，∴∠ABQ＝120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，S△ABD＝S△BQD，∴S阴影部分＝S四边形ABQD﹣S扇形ABQ＝2S△ABD﹣S扇形ABQ，＝S矩形ABCD﹣S扇形ABQ＝1×﹣．故答案为：﹣．30．（3分）（2020•南通）将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝﹣3．【解答】解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y ＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标为（a﹣1，），（，b+2），∴a﹣1＝﹣，∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3．故答案为：﹣3．31．（3分）（2020•盐城）如图，已知点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1）．直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值为﹣6或﹣4．【解答】解：∵点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1），直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜，△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，∴A′（2m﹣5，2），B′（2m﹣5，4），C′（2m﹣8，1），∵A′、B′的横坐标相同，∴在函数y＝（k≠0）的图象上的两点为，A′、C′或B′、C′，当A′、C′在函数y＝（k≠0）的图象上时，则k＝2（2m﹣5）＝2m﹣8，解得m＝1，∴k＝﹣6；当B′、C′在函数y＝（k≠0）的图象上时，则k＝4（2m﹣5）＝2m﹣8，解得m＝2，∴k＝﹣4，综上，k的值为﹣6或﹣4，故答案为﹣6或﹣4．32．（3分）（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为9+9．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM＝AB＝＝3，∴OA＝＝3，∴CM＝OC+OM＝3+3，＝AB•CM＝×6×（3+3）＝9+9．∴S△ABC故答案为：9+9．33．（3分）（2020•常州）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF 与直线DG互相垂直，则BG的长为4或2．。

中考数学压轴题优选精练一、选择题（ 6 题）1．如图，点 A 是射线y═（ x≥ 0）上一点，过点 A 作AB⊥ x 轴于点B，以AB 为边在其右边作正方形ABCD ，过点 A 的双曲线y＝交CD 边于点E，则的值为（）A．B．C．D．12．如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ 4，BC＝ 2，点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴上，当点A 在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最大距离是（）A．6B．C．D．3.如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ 3， BC＝ 4，点 D 是 AB 的中点，点 P 是直线BC 上一点，将△BDP 沿 DP 所在的直线翻折后，点 B 落在B1处，若 B1D ⊥BC，则点 P 与点 B 之间的距离为（）A ． 1B ．5C．1或 3 D．5或5 4 44．已知直线 y＝﹣ x+7a+1 与直线 y＝ 2x﹣2a+4 同时经过点 P，点 Q 是以 M（ 0，﹣ 1）为圆心， MO 为半径的圆上的一个动点，则线段PQ 的最小值为（）A．10B．16C．8D．18 3 3 5 55．如图，平行四边形ABCD 的极点 A 的坐标为（﹣，0），极点 D 在双曲线 y＝（x＞ 0）上， AD 交 y 轴于点 E（ 0， 2），且四边形BCDE 的面积是△ ABE 面积的 3 倍，则 k 的值为（）A ．4B ．6 C． 7 D． 86．如图，已知矩形ABCD ， AB＝ 4， BC＝ 6，点M 为矩形内一点，点 E 为BC 边上随意一点，则MA +MD +ME 的最小值为（）A ．3+2B ．4+3 C． 2+2 D． 10二、填空题（ 6 题）1．如图，矩形ABCD ＝ 2，△ AEQ 沿 EQ 中， AB＝ 4， BC＝ 8， P， Q 分别是直线BC， AB 上的两个动点，翻折形成△ FEQ ，连结 PF ， PD，则 PF+PD 的最小值是AE．2．如图，在四边形ABCD 中， AB∥ CD ， AB＝ BC＝BD ＝2， AD＝ 1，则 AC＝．3．如图，四边形ABCD 的极点都在座标轴上，若AB∥ CD ，△ AOB 与△ COD 面积分别为8和 18，若双曲线y k恰巧经过BC 的中点E，则k 的值为．x第 3 题第 4 题4．如图，在边长为 1 的菱形ABCD 中，∠ABC＝ 60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A'B'D '，分别连结A'C， A'D ， B'C，则A'C+B'C 的最小值为．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（ 0， 1）， B（ 0， 1+m），C（ 0，1﹣ m）（ m＞ 0），点 P在以D（﹣ 4，﹣ 2）为圆心，为半径的圆上运动，且一直知足∠BPC＝ 90°，则m 的取值范围是．第3题第4题6．如图，在矩形ABCD 中， AB＝ 15，AD ＝ 10，点 P 是连结 PD ，以线段 PD 为直角边作等腰直角△DPQ（点连结 BQ，则 BQ 的最小值为．三、解答题（ 6 题）1．如图，正方形 ABCD 的边长为2，点 E、F 分别是边CF 的延伸线交BA 的延伸线于点G，GE 的延伸线交AB 边上随意一点（不与 A 点重合），Q 在直线 PD 右边），∠ DPQ ＝90°，AB、AD 上的动点，且∠ ECF ＝45°，DA 的延伸线于点H ，连结 AE、CF．（1）求证：△ AEF 的周长为定值；（2）求 AG?AH 的值；（ 3）当△ CGH 是等腰三角形时，求AF 的值．2．如图，抛物线2与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0），与 y 轴交于点 C，顶y＝ ax +bx﹣ 3点为 D．（1）求抛物线的分析式及点 D 的坐标．（2）在线段 BC 下方的抛物线上，能否存在异于点 D 的点 E，使 S△BCE＝ S△BCD？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）点 M在抛物线上，点P 为 y 轴上一动点，求MP+PC 的最小值．3 ．如图①，一次函数y 1 x 2 的图象交x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，二次函数1 2y x2 bx c 的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．2（ 1）求二次函数的关系式及点 C 的坐标；（ 2）如图②，若点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点，过点P作PD∥ x轴交AB于点D，PE∥ y 轴交 AB 于点 E，求 PD+PE 的最大值；（ 3）如图③，若点 M 在抛物线的对称轴上，且∠AMB ＝∠ ACB，求出全部知足条件的点 M 的坐标．4．如图，矩形ABCD 中， AB＝ 6， AD＝8．动点 E， F 同时分别从点 A， B 出发，分别沿着射线AD 和射线 BD 的方向均以每秒 1 个单位的速度运动，连结 EF，以 EF 为直径作⊙O 交射线BD 于点 M，设运动的时间为 t．（1）当点 E 在线段 AD 上时，用对于 t 的代数式表示 DE， DM ．（2）在整个运动过程中，①连结 CM ，当 t 为什么值时，△ CDM 为等腰三角形．②圆心 O 处在矩形ABCD 内（包含界限）时，求t 的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长．5．如图 1，矩形 ABCD 中， AB＝ 6，动点 P 从点 A 出发，沿 A→ B→ C 的方向在AB 和 BC 上挪动，记 PA＝ x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，y 对于 x 的函数图象由C1、C2两段构成，如图 2 所示．（ 1）求 AD 的长；（ 2）求图 2 中 C2段图象的函数分析式；（ 3）当△ APD 为等腰三角形时，求 y 的值．6．如图，极点为A 的抛物线 y＝ a（ x+2）2﹣ 4 交 x 轴于点 B（1， 0），连结 AB ，过原点 O 作射线 OM ∥AB ，过点 A 作 AD∥ x 轴交 OM 于点 D，点 C 为抛物线与 x 轴的另一个交点，连结 CD．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若动点P 从点O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线OM 运动，设点P 运动的时间为t 秒，问：当t 为什么值时，OB＝ AP；（ 3）若动点P 从点O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OD 向点 D 运动，同时动点Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段CO 向点O 运动，当此中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t 秒，连结PQ．问：当t 为何值时，四边形CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长．【答案与分析】一、选择题1．【剖析】设点 A 的横坐标为 m（m＞ 0），则点 B 的坐标为（ m， 0），把 x＝ m 代入 y＝x 获得点 A 的坐标，联合正方形的性质，获得点 C，点 D 和点 E 的横坐标，把点 A 的坐标代入反比率函数 y＝，获得对于 m 的 k 的值，把点 E 的横坐标代入反比率函数的分析式，获得点 E 的纵坐标，求出线段 DE 和线段 EC 的长度，即可获得答案．【解答】解：设点 A 的横坐标为 m （m＞ 0），则点 B 的坐标为（ m， 0），把 x＝ m 代入 y＝ x 得： y＝ m，则点 A 的坐标为：（ m，m），线段AB 的长度为m，点 D 的纵坐标为m，∵点 A 在反比率函数y＝上，∴ k＝m2，即反比率函数的分析式为：y＝，∵四边形ABCD 为正方形，∴四边形的边长为m，点 C，点 D 和点 E 的横坐标为m+ m＝m，把 x＝m 代入 y＝得：y＝m，即点 E 的纵坐标为则 EC＝m， DE＝m，m﹣m＝m，＝，应选： A．2．【剖析】点 A，C 分别在 x 轴、 y 轴上，当点 A 在 x 轴运动时，点在运动过程中，点O 在到 AC 的中点的距离不变．本题可经过设出据 B、 D 、O 在一条直线上时，点 B 到原点 O 的最大可得出答案．【解答】解：作 AC 的中点 D，连结 OD 、 DB，∵ OB≤ OD+BD，∴当 O、 D、 B 三点共线时OB 获得最大值，∵D 是 AC 中点，C 随之在 y 轴上运动，AC 的中点坐标，根∴ OD ＝ AC ＝ 2，∵ BD ＝＝2 ，OD ＝ AC ＝2，∴点 B 到原点O 的最大距离为2+2，应选： D ．3．【剖析】 分点 B 在 BC 左边，点 B 在 BC 右边两种状况议论，由勾股定理可AB ＝ 5，由11平行线分线段成比率可得 ，可求 BE ，DE 的长，由勾股定理可求PB 的长．【解答】 解：如图，若点 B 1 在 BC 左边，∵∠ C ＝ 90°， AC ＝ 3， BC ＝ 4，∴AB ＝＝5∵点 D 是 AB 的中点，∴ BD ＝ BA ＝∵ B 1D ⊥ BC ，∠ C ＝ 90° ∴B 1D ∥AC∴∴ BE ＝ EC ＝ BC ＝ 2， DE ＝ AC ＝∵折叠∴ B 1D ＝ BD ＝ ， B 1P ＝ BP∴ B 1E ＝ B 1D ﹣ DE ＝ 1∴在 Rt △ B 1PE 中， B 1P 2＝ B 1E 2+PE 2，∴ BP 2＝ 1+（ 2﹣ BP ） 2，∴ BP ＝如图，若点 B 1 在 BC 右边，∵ B 1E ＝ DE+B 1D ＝ + ，∴ B 1E ＝ 4 在 Rt △EB 112＝B 122，P 中，BPE +EP∴ BP 2＝ 16+（BP ﹣2） 2， ∴BP ＝5故答案为：或5 应选：D ．4．【剖析】 先解方程组得 P 点坐标为（ 3a ﹣ 1，4a+2），则可确立点 P 为直线 y＝ x+上一动点，设直线y ＝ x+与坐标的交点为 A 、 B ，如图，则 A （﹣， 0），B （ 0， ），利用勾股定理计算出 AB ＝，过 M 点作 MP ⊥直线 AB 于 P ，交 ⊙ M 于 Q ，此时线段 PQ 的值最小，证Rt △ MBP ∽ Rt △ ABO ，利用相像比计算出MP ＝，则 PQ＝ ，即线段 PQ 的最小值为．【解答】 解：解方程组得，∴ P 点坐标为（ 3a ﹣ 1，4a+2），设 x ＝ 3a ﹣ 1， y ＝ 4a+2，∴ y ＝ x+ ，即点 P 为直线 y ＝ x+上一动点，设直线 y ＝ x+ 与坐标的交点为 A 、B ，如图，则 A （﹣， 0），B （ 0， ），∴ AB ＝＝，过 M 点作 MP ⊥直线 AB 于 P ，交 ⊙ M 于 Q ，此时线段 PQ 的值最小，∵∠ MBP ＝∠ ABO ， ∴ Rt △ MBP ∽ Rt △ ABO ，∴MP ：OA ＝BM ：AB ，即 MP ：＝：，∴MP ＝ ，∴PQ＝﹣1＝，即线段 PQ 的最小值为．应选： C．5．【剖析】连结 BD ，由四边形EBCD 的面积是△ ABE 面积的 3 倍得平行四边形ABCD 的面积是△ ABE 面积的 4 倍，依据平行四边形的性质得S△ABD＝ 2S△ABE，则AD＝2AE，即点E 为AD 的中点， E 点坐标为（0， 2）， A 点坐标为（﹣， 0），利用线段中点坐标公式k 的值．得 D 点坐标为，再利用反比率函数图象上点的坐标特点得【解答】解：如图，连结BD，∵四边形EBCD 的面积是△ ABE 面积的 3 倍，∴平行四边形ABCD 的面积是△ ABE 面积的 4 倍，∴ S△ABD＝ 2S△ABE，∴ AD＝ 2AE，即点 E 为 AD 的中点，∵ E 点坐标为（0， 2），A 点坐标为（﹣， 0），∴ D 点坐标为（， 4），∵极点 D 在双曲线y＝（x＞0）上，∴ k＝× 4＝6，应选：B．6．【剖析】将△ AMD 绕点 A 逆时针旋转60°获得△ AM’D’，MD ＝ M’D ’，易获得△ADD ’和△ AMM ’均为等边三角形，推出 AM＝MM ’可得 MA +MD +ME＝ D’ M+MM ’+ME ，共线时最短；因为点 E 也为动点，可适当 D’E⊥BC 时最短，此时易求得 D ’E ＝ DG+GE 的值；【解答】解：将△ AMD 绕点 A 逆时针旋转60°获得△ AM’ D ’，MD ＝ M’D ’，易获得△ADD ’和△ AMM ’均为等边三角形，∴ AM ＝MM ’，∴ MA +MD +ME＝D ’ M+MM ’ +ME，∴ D′ M、 MM ′、 ME 共线时最短，因为点 E 也为动点，∴当 D’ E⊥ BC 时最短，此时易求得D’ E＝DG +GE＝ 4+3 ，∴ MA +MD +ME 的最小值为4+3．应选：B．二、填空题．【剖析】如图作点D 对于 BC 的对称点 D′，连结 PD ′，ED′．由 DP ＝PD ′，推出 PD +PF ＝ PD′ +PF ，又 EF ＝ EA＝ 2 是定值，即可推出当 E、 F、P、D′共线时， PF+PD′定值最小，最小值＝ ED′﹣ EF．【解答】解：如图作点 D 对于 BC 的对称点 D ′，连结PD′， ED ′．在 Rt△EDD ′中，∵ DE ＝ 6，DD ′＝ 8，∴ ED′＝＝10，∵DP＝ PD′，∴PD+PF＝ PD′+PF，∵ EF＝ EA＝ 2 是定值，∴当 E、 F 、P、 D′共线时， PF+PD′定值最小，最小值＝ 10﹣ 2＝ 8，∴PF+PD 的最小值为 8，故答案为8．2．【剖析】不可以用全等、相像的判断和性质求得AC 的状况下，考虑结构直角三角形用勾股定理来求，故过点 C 作 AB 垂线 CF．因为△ ABD 三边确立，可用勾股定理列方程求得AB 边上的高 DE 的长．依据平行线间距离到处相等，即有 CF ＝DE ，从而求得 BF 和 AF，再在Rt△ ACF 顶用勾股定理求 AC．【解答】解：过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E，过点 C 作 CF ⊥AB 交 AB 延伸线于点 F ∴∠AED＝∠ BED＝∠ F＝90°设 AE＝ x，∵AB＝BC＝BD＝2，AD＝1∴BE＝ AB﹣ AE＝ 2﹣ x2 22 2 2＝BD 2∵在 Rt △ ADE 中， AE +DE＝ AD ，在 Rt △ BDE 中， BE +DE∴ DE 2＝ AD 2﹣AE 2＝BD 2﹣ BE 2得： 12﹣x 2＝ 22﹣（ 2﹣ x ）2解得： x ＝∴ DE 2＝ AD 2﹣AE 2＝12﹣（ ） 2＝∵ AB ∥ CD ∴ CF ＝ DE∴在 Rt △ BCF 中， BF ＝∴ AF ＝ AB+BF ＝ 2+ ＝∴在 Rt △ ACF 中， AC ＝3．【剖析】 由平行线的性质得∠ OAB ＝∠ OCD ，∠ OBA ＝∠ ODC ，两个对应角相等证明△OAB ∽△ OCD ，其性质得，再依据三角形的面积公式，等式的性质求出m ＝，线段的中点，反比率函数的性质求出k 的值为6．【解答】 解：如下图：∵ AB ∥ CD ，∴∠ OAB ＝∠ OCD ，∠ OBA ＝∠ ODC ， ∴△ OAB ∽△ OCD ，∴，若＝ m ，由 OB ＝ m?OD ，OA ＝ m?OC ，又∵ ， ，∴＝，又∵ S△OAB＝ 8， S△OCD＝ 18，∴，解得： m＝或m＝（舍去），设点A、 B 的坐标分别为（0， a），（ 0， b），∵，∴点 C 的坐标为（0，﹣a），又∵点 E 是线段BC 的中点，∴点 E 的坐标为（），又∵点 E 在反比率函数上，∴＝﹣＝，故答案为6．4．【剖析】依据菱形的性质获得AB＝ 1，∠ ABD＝ 30°，依据平移的性质获得A′ B′＝ AB ＝ 1，A′ B′∥ AB，推出四边形 A′ B′CD 是平行四边形，获得 A′ D＝ B′C，于是获得A'C+B'C 的最小值＝ A′ C+A′D 的最小值，依据平移的性质获得点 A′在过点 A 且平行于 BD 的定直线上，作点 D 对于定直线的对称点E，连结 CE 交定直线于A′，则 CE 的长度即为A'C+B'C 的最小值，求得 DE ＝CD，获得∠ E＝∠ DCE＝ 30°，于是获得结论．【解答】解：∵在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ ABC＝ 60°，∴ AB＝ CD ＝ 1，∠ ABD＝ 30°，∵将△ ABD 沿射线 BD 的方向平移获得△A'B'D '，∴ A′ B′＝ AB＝1， A′B′∥ AB，∵四边形ABCD 是菱形，∴ AB＝ CD ，AB ∥ CD，∴∠ BAD＝ 120°，∴ A′ B′＝ CD， A′B′∥ CD ，∴四边形A′B′ CD 是平行四边形，∴A′D＝B′ C，∴ A'C+B'C 的最小值＝ A′ C+A′D 的最小值，∵点 A′在过点 A 且平行于BD 的定直线上，∴作点 D 对于定直线的对称点 E，连结 CE 交定直线于 A′，则 CE的长度即为 A'C+B'C 的最小值，∵∠ A′ AD＝∠ ADB ＝ 30°， AD＝ 1，∴∠ ADE＝ 60°， DH ＝ EH＝AD ＝，∴DE＝ 1，∴DE＝ CD，∵∠ CDE＝∠ EDB′ +∠ CDB＝ 90° +30°＝ 120°，∴∠ E＝∠ DCE＝ 30°，∴CE＝ 2×CD＝．故答案为：．5．【剖析】由题意 PA＝ AB＝ AC＝m，求出 PA 的最大值和最小值即可解决问题；【解答】解：∵ A（ 0， 1）， B（ 0， 1+m）， C（ 0， 1﹣ m）（ m＞0），∴AB＝ AC＝ m，∵∠ BPC＝ 90°，∴PA＝ AB＝ AC，∵D（﹣ 4，﹣ 2）， A（ 0， 1），∴ AD＝＝5，∵点 P 在⊙D 上运动，∴ PA 的最小值为5﹣，PA的最大值为5+，∴知足条件的m 的取值范围为：5﹣≤ m≤ 5+故答案为5﹣≤ m≤ 5+．6．【剖析】过 Q 作 QE⊥AB 于 E，在 EP 上截取 EF＝EQ ，连结 QF，依照全等三角形的性质，即可获得AF ＝ PE＝10（定值），依照△ EFQ 是等腰直角三角形，可得FQ 与 FB 的夹角一直为45°，从而获得当BQ⊥ FQ 时， BQ 的长最小，依据△BQF 是等腰直角三角形，即可获得BQ 的长度．【解答】解：如下图，过Q 作 QE⊥ AB 于 E，在 EP 上截取 EF ＝EQ，连结 QF，∵△ DPQ 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是矩形，∴DP＝ PQ，∠ A＝∠ PEQ ，∠ ADP ＝∠EPQ，∴△ ADP≌△ EPQ（ AAS），∴AP＝ QE＝ FE， AD＝PE ＝10，∴AF＝ PE＝ 10（定值），又∵△ EFQ 是等腰直角三角形，∴∠ QFE＝ 45°，即 FQ 与 FB 的夹角一直为45°，如图，当BQ⊥ FQ 时， BQ 的长最小，此时，△ BQF 是等腰直角三角形，又∵ QE⊥BF，∴BE＝ EF ＝ QE＝ AP，又∵ PE ＝ 10，∴ BE ＝ AP ＝＝ ，∴ BF ＝ 5，∴ BQ ＝ cos45°× BF ＝，即BQ的最小值为，故答案为：．三、解答题1．【剖析】（ 1）先结构出△ CDN ≌△ CBE （ SAS ），得出 CN ＝ CE ，∠ DCN ＝∠ BCE ，从而判断出△ FCN ≌△ FCE ，即可得出结论；（ 2）利用等式的性质得出∠ AHC ＝∠ ACG ，从而判断出△ ACH ∽△ AGC ，即可得出结论；（ 3）分三种状况， ① 当 HC ＝HG 时，判断出△ HCD ≌△ GHA （AAS ），得出 AH ＝ CD ＝ 2， HD ＝ AG ＝ 4，再判断出△ AFG ∽△ BCG ，即可得出结论；② 当 GC ＝GH 时，判断出△ GBC ≌△ HAG （ AAS ），得出 AG ＝ BC ＝ 2＝ AB ，从而判断出 AF 是三角形 BCG 的中位线，即可得出结论；③ 当 CG ＝ CH 时，先判断出△ CAG ≌△ CAH （SAS ），得出∠ DCF ＝∠ ACF ＝°，在 CD 上取点 M 使 DM ＝DF ＝ m ，得出 MF ＝ CM ＝ m ，再判断出 CM ＝ MF ，得出m+m＝ 2，即可得出结论．【解答】（ 1）证明：如图，延伸 AD 至 N ，使 DN ＝ BE ， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ CDN ＝∠ B ＝ 90°， CD ＝ CB ， ∴△ CDN ≌△ CBE （ SAS ），∴ CN ＝ CE ，∠ DCN ＝∠ BCE ， ∵∠ ECF ＝ 45°， ∴∠ DCF +∠ BCE ＝45°， ∴∠ DCF +DCN ＝ 45°＝∠ FCN ， ∴∠ FCN ＝∠ FCE ， ∵ CF ＝ CF ， ∴△ FCN ≌△ FCE ，∴ FN ＝ EF ，∴ △ AEF 的 周 长 为 AE+AF +EF ＝ AB ﹣ BE+AF+FN ＝ AB ﹣ BE +AF+DF +DN ＝ AB ﹣BE+AF+DF +BE ＝AB+AD ＝ 2AB ＝ 4 是定值；（ 2）∵ AC 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠ CAD ＝∠ CAB ＝ 45°， ∴∠ CAH ＝∠ CAG ＝ 135°，又∵∠ DAC ＝∠ AHC +∠ ACH ＝ 45°，∠ ECF ＝∠ ACF +∠ ACH ＝ 45°， ∴∠ AHC ＝∠ ACG ，∴△ ACH ∽△ AGC ，∴，∴ AC 2＝ AG?AH ，∵正方形ABCD 的边长为2，∴AC＝ 2，∴AG?AH ＝ 8；（3）① 当 HC＝HG 时，∴∠ HGC ＝∠ HCG ＝45°，∴∠ CHG ＝ 90°，∴∠ CHD +∠ AHG ＝ 90°，∴∠ CHD +∠ DCH ＝ 90°，∴∠ DCH ＝∠ AHG ，∵∠CDH ＝∠ HAG ＝ 90°∴△HCD ≌△ GHA （ AAS）∴ AH＝ CD＝2， HD ＝AG＝4，∵ AF∥ BC，∴△ AFG∽△ BCG，∴，∴，∴ AF＝，②当 GC＝GH 时，∴∠ CHG ＝∠ HCG ＝ 45°，∴∠ CGH ＝ 90°，∴∠ BGC+∠ AGH ＝ 90°，∵∠ BGC+∠ BCG＝ 90°，∴∠ BCG＝∠ AGH，∵∠ CBG＝∠ GAH＝ 90°，∴△ GBC≌△ HAG（ AAS），∴AG＝ BC＝ 2＝AB，∵ AF∥ BC，∴ CF＝ GF，∴ AF ＝BC＝ 1；③当 CG＝CH 时，∴∠ CGH ＝∠ CHG ，∵AC 是正方形 ABCD 的对角线，∴∠ DAC＝∠ BAC＝ 45°，∴∠CAG＝∠ CAH＝ 135°，∵CA＝ CA，∴△ CAG≌△ CAH（ SAS），∴∠ DCF ＝∠ ACF＝°如备用图，在CD 上取点 M 使 DM ＝ DF ＝m，连结 MF ，∴MF ＝CM ＝ m，∠ DFM ＝ 45°＝∠ CFM +∠ DCF ＝∠°，∴∠ CFM ＝°＝∠ DCF ，∴ CM ＝ MF ，∴m+m＝2∴ m＝2﹣2，∴AF＝ AD ﹣ DF ＝4﹣ 2综上所述：当△CGH 是等腰三角形时，AF 的值为或1或4﹣2．2．【剖析】（ 1）依据点 A ， B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的分析式，再利用配方法可求出极点 D 的坐标；（ 2）利用二次函数图象上点的坐标特点可求出点 B 的坐标， 过点 D 作 DE ∥ BC ，交抛物线于点 E ，则 S △BCE ＝S △BCD ，由点 B ， C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BC 的解 析式，由 BC ∥DE 联合点 D 的坐标可得出直线 DE 的分析式，再连结直线 DE 和抛物线的分析式成方程组，经过解方程组可求出点E 的坐标；（ 3）利用二次函数图象上点的坐标特点可求出点 M 的坐标，过点 M 作 MF ⊥直线 BC 于点 F ，交 y 轴于点 P ，过点 B 作 BN ⊥直线 BC ，交 y 轴于点 N ，由 OC ＝ OB 联合 BN ⊥直线 BC 可得出点 N 的坐标，由点 B ，N 的坐标， 利用待定系数法可求出直线 BN 的分析式，由 MF ∥BN 联合点 M 的坐标可得出直线 MF 的分析式，联立直线MF 和直线 BC 的分析式成方程组， 经过解方程组可求出点 F 的坐标，从而可求出 MF 的长度，由∠ PCF ＝45°， ∠ PFC ＝90°可得出△ PCF 为等腰直角三角形，从而可得出 PF ＝ PC ，联合点到直线之间垂直线段最短可得出当MF ⊥ BC 时，MP+ PC 获得最小值， 最小值为 MF 的长度，本题得解．2【解答】 解：（ 1）将 A （﹣ 1， 0）， B （3， 0）代入 y ＝ ax +bx ﹣3，得：，解得： ，2∴抛物线的分析式为y ＝ x ﹣2x ﹣ 3．∴极点 D 的坐标为（ 1，﹣ 4）．（ 2）当 x ＝ 0 时， y ＝ x 2﹣ 2x ﹣3＝﹣ 3，∴点 C 的坐标为（ 0，﹣ 3）． 过点 D 作 DE ∥ BC ，交抛物线于点 E ，则 S △ BCE ＝ S △ BCD ，如图 1 所示．设直线 BC 的分析式为y ＝ kx+c （ k ≠0），将 B （ 3， 0），C （ 0，﹣ 3）代入 y ＝ kx+c ，得：，解得：，∴直线 BC 的分析式为 y ＝ x ﹣ 3．∵ BC ∥ DE ，∴设直线 DE 的分析式为 y ＝ x+d ，将 D （ 1，﹣ 4）代入 y ＝ x+d ，得：﹣ 4＝ 1+d ，解得： d ＝﹣ 5， ∴直线 DE 的分析式为y ＝ x ﹣ 5．连结直线 DE 和抛物线的分析式成方程组，得：，解得：， ，∴在线段 BC 下方的抛物线上，存在异于点D 的点E ，使 S △ BCE ＝ S △ BCD ，点 E 的坐标为（ 2，﹣ 3）．（ 3）当 x ＝﹣ 时， y ＝x 2﹣ 2x ﹣ 3＝ ，∴点 M 的坐标为（﹣，）．过点 M 作 MF ⊥直线 BC 于点 F ，交 y 轴于点 P ，过点 B 作 BN ⊥直线 BC ，交 y 轴于点 N ，如图2 所示．∵ OB ＝ OC ， ∴∠ BCO ＝ 45°， ∴∠ BNC ＝ 45°＝∠ BCO ，∴ON ＝OC ＝3，∴点 N 的坐标为（ 0， 3）．设直线 BN 的分析式为 y ＝ nx+t （ n ≠0），将 B （ 3， 0），N （ 0，3）代入 y ＝ nx+t ，得：，解得：，∴直线 BN 的分析式为 y ＝﹣ x+3． 设直线 MF 的分析式为 y ＝﹣ x+q ，将 M （﹣， ）代入 y ＝﹣ x+q ，得： +q ＝ ，解得： q ＝，∴直线 MF 的分析式为y ＝﹣ x+ ．联立直线 MF 和直线 BC 的分析式成方程组，得：，解得：，∴点 F 的坐标为（，﹣），∴MF ＝ ＝ ．∵∠ PCF ＝ 45°，∠ PFC ＝ 90°， ∴△ PCF 为等腰直角三角形，∴ PF ＝PC ，∴当 MF ⊥ BC 时， MP+PC ＝ MP +PF ＝ MF 最小，最小值为 ．3．【剖析】（ 1）先依据一次函数分析式确立A （ 4， 0），B （ 0，﹣ 2），再利用待定系数法求抛物线分析式；而后解方程﹣x 2+ x ﹣ 2＝ 0 得 C 点坐标；（ 2）如图 2，先证明△ PDE ∽△ OAB ．利用相像比获得PD ＝2PE ．设 P （ m ，﹣ m 2+ m﹣ 2），则 E （ m ，m ﹣ 2）．再利用 m 表示出 PD+PE 获得 PD +PE ＝ 3× [﹣ m 2+ m ﹣ 2 ﹣（ m ﹣ 2） ]，而后依据二次函数的性质解决问题；（ 3）议论：当点 M 在直线 AB 上方时，依据圆周角定理可判断点 M 在△ ABC 的外接圆上，如图 1，因为抛物线的对称轴垂直均分 AC ，则△ ABC 的外接圆 O 1 的圆心在对称轴上，设圆心 O 1 的坐标为（，﹣ t ），依据半径相等获得（22﹣4）） +（﹣ t+2 ） ＝（ 2+t 2，解方程求出 t 获得圆心 O 1 的坐标为 （ ，﹣ 2），而后确立 ⊙O 1 的半径半径为 ．从而获得此时 M 点坐标；当点 M 在在直线 AB 下方时，作 O 1 对于 AB 的对称点 O 2，如图 2，经过证明∠ O AB ＝∠ OAB 可判断 O 在 x 轴上，则点 O 的坐标为 （ ，0），而后计12 2 算出 DM 即可获得此时 M 点坐标．【解答】 解：（ 1）令 y ＝＝ 0，解得 x ＝ 4，则 A （ 4，0）．令 x ＝ 0，得 y ＝﹣ 2，则 B （ 0，﹣ 2）；∵二次函数 y ＝的图象经过 A 、 B 两点，∴，解得∴二次函数的关系式为y ＝﹣ x 2+ x ﹣ 2；当 y ＝ 0 时，﹣x 2+ x ﹣ 2＝ 0，解得 x 1＝ 1， x 2＝ 4，则 C （ 1， 0）；（ 2）如图 2，∵ PD ∥ x 轴， PE ∥ y 轴， ∴∠ PDE ＝∠ OAB ，∠ PED ＝∠ OBA ． ∴△ PDE ∽△ OAB ．∴＝＝ ＝2，∴ PD ＝ 2PE ．设 P （ m ，﹣ m 2+ m ﹣2），则 E （ m ， m ﹣2）．∴ PD+PE ＝ 3PE ＝ 3× [ ﹣ m 2+ m ﹣2﹣（m ﹣ 2） ]＝﹣ m 2+6m ＝﹣（ m ﹣ 2） 2+6 ；∵ 0＜m ＜ 4，∴当 m ＝ 2 时， PD+PE 有最大值 6； （ 3）当点 M 在直线 AB 上方时，则点M 在△ ABC 的外接圆上，如图1．∵△ ABC 的外接圆 O 1 的圆心在对称轴上，设圆心O 1 的坐标为（，﹣ t ），∵ O 1B ＝ O 1A ，∴（） 2+（﹣ t+2） 2＝（ ﹣ 4）2+t 2，解得 t ＝ 2．∴圆心 O 1 的坐标为（ ，﹣ 2）．∴ O 1A ＝＝ ，即 ⊙ O 1 的半径半径为 ．此时 M 点坐标为（， ）；当点 M 在在直线 AB 下方时，作 O 1 对于 AB 的对称点 O 2，如图 2．∵ AO 1＝ O 1B ＝ ，∴∠ O 1AB ＝∠ O 1BA ． ∵ O 1B ∥ x 轴， ∴∠ O 1BA ＝∠ OAB ．∴∠ O 1AB ＝∠ OAB ， O 2 在 x 轴上，∴点 O 2 的坐标为（， 0）．∴ O 2D ＝1，∴ DM ＝＝ ．此时点 M 的坐标为（ ，）．综上所述，点 M 的坐标为（ ， ）或（ ，）．4．【剖析】（ 1）在 Rt△ABD 中，依照勾股定理可求得BD 的长，而后依照MD ＝ ED?cos∠MDE ， cos∠ MDE ＝ cos∠ADB ＝，由此即可解决问题．（ 2）① 可分为点 E 在 AD 上，点 E 在 AD 的延伸线上画出图形，而后再依照MC ＝ MD ，CM ＝CD、 DM ＝DC 三种状况求解即可；②当 t＝ 0 时，圆心 O 在 AB 边上．当圆心 O 在 CD 边上时，过点 E 作 EH∥ CD 交 BD 的延伸线与点H．先求得DH 的长，而后依照平行线分线段成比率定理可获得DF ＝ DH ，而后依照DF ＝ DH 列出对于t 的方程，从而可求得t 的值，故此可获得t 的取值范围．【解答】解：（ 1）如图 1 所示：连结ME ．∵AE＝ t， AD＝ 8，∴ED＝ AD﹣AE ＝8﹣ t．∵ EF 为⊙O 的直径，∴∠ EMF ＝90°．∴∠ EMD ＝90°．∴ MD ＝ ED?cos∠ MDE ＝．（ 2）① a、如图 2 所示：连结MC ．当 DM ＝ CD ＝ 6 时，＝6，解得t＝；b、如图 3 所示：当MC ＝MD 时，连结MC，过点 M 作 MN ⊥ CD，垂足为N．∵MC＝ MD ， MN⊥CD，∴DN＝NC．∵MN⊥ CD， BC⊥CD ，∴ BC∥ MN．∴M 为 BD 的中点．∴ MD ＝ 5，即＝5，解得t＝；c、如图 4 所示： CM ＝ CD 时，过点 C 作 CG⊥DM ．∵CM＝ CD， CG⊥ MD ，∴GD＝MD＝．∵＝，∴DG＝ CD＝．∴＝．解得： t＝﹣ 1（舍去）．d、如图 5 所示：当CD＝ DM 时，连结EM．∵AE＝ t， AD＝ 8，∴ DE＝ t﹣ 8．∵EF 为⊙O 的直径，∴EM ⊥DM ．∴ DM ＝ ED?cos∠ EDM ＝．∴＝ 6，解得：t＝．综上所述，当t＝或 t＝或 t＝时，△ DCM 为等腰三角形．② 当如图t＝ 0 时，圆心6 所示：当圆心O在AB边上．O 在 CD 边上时，过点 E 作EH∥ CD 交BD 的延伸线与点H．∵HE∥ CD，OF ＝OE，∴DF＝ DH．∵ DH ＝＝，DF＝10﹣t，∴＝ 10﹣ t．解得：t＝．综上所述，在整个运动过程中圆心O 处在矩形ABCD 内（包含界限）时，t 的取值范围为 0≤ t≤．5．【剖析】（ 1）由图 1 和图 2 直接确立出AD ；（2）先利用互余即可得出∠ BAP＝∠ DGA ，从而判断出△ ABP∽△ DGA 即可确立出函数关系式；（ 3）分三种状况利用等腰三角形的性质和勾股定理求出x 的值，即可求出y 的值．【解答】解：（ 1）如图，当点 P 在 AB 上挪动时，点P 到 PA 的距离不变，当点P 从 B 点向 C 点挪动时，点 D 到PA 的距离在变化，由图 2 知， AD＝ 10，（2）∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ ABP＝∠ BAD ＝ 90°，∵DG ⊥AP，∴∠ AGD＝ 90°，∴∠ ABP＝∠ DGA ，∵∠ BAP+∠ GAD ＝90°，∠ CAG+∠ADG ＝ 90°，∴∠ BAP＝∠ DGA ，∴△ ABP∽△ DGA ，∴，∵AB＝ 6， AP＝x，DG ＝ y， AD＝ 10，∴，∴ y＝（6＜x≤ 2）；即：图 2 中 C2段图象的函数分析式y＝（6＜x≤2）；（ 3）∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝ AB＝ 6， BC＝ AD＝ 10，∠ ABC＝∠ DCB ＝ 90°，当 AD＝AP 时，∵ AD＝10，∴ x＝ AP＝ 10，∴ y＝＝6，当 AD＝DP 时，∴ DP＝10，在 Rt△DCP 中， CD ＝ AB＝ 6， DP ＝10，∴ CP＝ 8，∴ BP＝ BC﹣ CP＝ 2，在 Rt△ABP 中，依据勾股定理得，x＝ AP＝＝＝2，∴ y＝＝＝3，当 AP＝ DP 时，点 P 是线段 AD 的垂直均分线，∴点 P 是 BC 的中点，∴BP＝ BC＝ AD ＝5，在 Rt△ABP 中，依据勾股定理得，x＝ AP＝＝＝，∴ y＝＝＝．6．【剖析】（ 1）将点 B 的坐标代入到抛物线的分析式中即可求得 a 值，从而求得其分析式；（ 2）利用两点坐标求得线段AB 的长，而后利用平行四边形的对边相等求得t＝ 5 时，四边形 ABOP 为平行四边形；若四边形ABOP 为等腰梯形，连结AP，过点 P 作 PG⊥AB ，过点 O 作 OH⊥ AB，垂足分别为G、H，依据△ APG≌△ BOH 求得线段OP＝GH ＝ AB﹣2BH ＝．（ 3）第一判断四边形ABOD是平行四边形， 而后确立S △DOC ＝× 5× 4＝10．过点P 作 PN ⊥ BC ，垂足为N ，利用△OPN ∽△ BOH获得 PN ＝t ，而后表示出四边形CDPQ的面积 S ＝S △ DOC ﹣S △OPQ ＝ 10﹣×（ 5﹣ 2t）×t ＝t 2﹣ 2 t+10 ，从而获得当 t ＝时，四边形 CDPQ 的面积 S 最小． 而后获得点 P 的坐标是 （﹣ 0），利用两点坐标公式确立 PQ 的长即可．【解答】 解：（ 1）把（ 1，0）代入 y ＝ a （ x+2） 2﹣ 4，得 a ＝．，﹣ 1），点 Q的坐标是 （﹣，∴ y ＝ （ x+2 ）2﹣ 4，即 y ＝ x 2+ x ﹣；（ 2）由题意得 OP ＝ t ，AB ＝ ＝ 5，若 OB ∥ AP ，即四边形 ABOP 为平行四边形时， OB ＝ AP ，且 OP ＝ AB ＝ 5，即当 t ＝5 时， OB ＝ AP ，若 OB 不平行于 AP ，即四边形 ABOP 为等腰梯形时， OB ＝AP ，连结 AP ，过点 P 作 PG⊥ AB ，过点 O 作 OH ⊥ AB ，垂足分别为 G 、 H ，∴△ APG ≌△ BOH ，在 Rt △OBM 中，∵ OM ＝ ，OB ＝1，∴BM ＝，∴OH ＝ ，∴ BH ＝ ，∴ OP ＝ GH ＝ AB ﹣ 2BH ＝，即当 t ＝时， OB ＝AP ；（ 3）将 y ＝ 0 代入 y ＝x 2+x ﹣ ，得x 2+x ﹣＝ 0，解得 x ＝1 或﹣ 5．∴ C （﹣ 5， 0）．∴ OC ＝5，∵ OM ∥ AB ， AD ∥ x 轴， ∴四边形 ABOD 是平行四边形， ∴ AD ＝ OB ＝ 1，∴点 D 的坐标是（﹣ 3，﹣ 4），∴S△DOC＝× 5× 4＝10，过点 P 作 PN⊥ BC，垂足为N．易证△ OPN∽△ BOH ，∴＝，即＝，∴ PN＝ t，∴四边形 CDPQ 的面积 S＝ S△DOC﹣ S△OPQ＝ 10﹣×（ 5﹣ 2t）×t＝t 2﹣ 2t+10 ，∴当 t＝时，四边形 CDPQ 的面积 S 最小，此时，点P 的坐标是（﹣，﹣ 1），点 Q 的坐标是（﹣， 0），∴ PQ＝＝．。

2020年中考数学压轴题精选精练6一、选择题（共6题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O 与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．82．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角EDF 绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的个数有（）①AE＝CF；②EC+CF＝AD；③DE＝DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值．A．1个B．2个C．3个D．4个3．若二次函数y＝ax2+（a+2）x+4a的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜1＜x2，则a的取值范围是（）A．﹣＜a＜﹣B．﹣＜a＜0 C．0＜a＜D．＜a＜4．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，以AP为一边作等边三角形APB（顺时针），取线段AB的中点H，当点P从点O运动到点N时，点H运动的路径长是（）A．B．2 C．1 D．5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，点E在AC上，连接DE，过D作DF⊥DE交BC于F．若AE＝6cm，BF＝2cm，则ED的长为（）A．3cm B．2cm C．3cm D．2cm第5题第6题6．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（）A．B．13 C．D．18二、填空题（共6题）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将△ADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM，BM，当△BCM为等腰三角形时，BP 的长为．第1题第2题2．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是．3．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是厘米．4．如图，直线AC的解析式为y＝x+2，A点的坐标为（0，2），AC＝4，点P在x轴正半轴上运动，当点P的坐标为时，∠APC最大．5．如图所示，矩形OABC，当点A在y＝时，点C恰好在y＝上，且，则k的值是．第5题第6题6．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，P是BC边上的动点（不与B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是__________．三、解答题（共6题）1．如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB 的度数为，线段AE、BE、CE之间的数量关系是；（2）拓展探究如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE．请判断∠CEB的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝2，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A 旋转的过程中，当DE⊥BD时，请直接写出EC的长．2．如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．3．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF ⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m 的值；（4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．5．如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点D位BC中点，连接AD，AD＝4，AN是△ABC 外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由．（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A′D′C′E′与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围．6．已知：在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是某函数图象上任意两点（x1＜x2），将函数图象中x＜x1的部分沿直y＝y1作轴对称，x＞x2的部分沿直线y＝y2作轴对称，与原函数图象中x1≤x≤x2的部分组成了一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于点A、B的“双对称函数”．例如：如图①，点A（－2，－1）、B（1，2）是一次函数y＝x＋1图象上的两个点，则函数y＝x＋1关于点A、B的“双对称函数”的图象如图②所示．（1）点A（t，y1）、B（t＋3，y2）是函数y＝3x图象上的两点，y＝3x关于点A、B的“双对称函数”的图象记作G，若G是中心对称图形，直接写出t的值．（2）点P（12，y1），Q（12＋t，y2）是二次函数y＝（x－t）2＋2t图象上的两点，该二次函数关于点P、Q的“双对称函数”记作f．①求P、Q两点的坐标（用含t的代数式表示）．②当t＝－2时，求出函数f的解析式；③若－1≤x≤1时，函数f的最小值为y min，求－2≤y min≤－1时，t的取值范围．【答案与解析】一、选择题1．【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝+1＝，由此不难解决问题．【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5∵∠OPB＝90°，∴OP∥AC∵点O是AB的三等分点，∴OB＝×5＝，＝＝，∴OP＝，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴OD∥BC，∴＝＝，∴OD＝1，∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值＝+1＝，∴MN长的最大值与最小值的和是6．故选：B．2．【分析】①如果连接CD，可证△ADE≌△CDF，得出AE＝CF；②由①知，EC+CF＝EC+AE＝AC，而AC为等腰直角△ABC的直角边，由于斜边AB＝8，由勾股定理可求出AC＝BC＝4；③由①知DE＝DF；④△ECF的面积＝×CE×CF，如果这是一个定值，则CE•CF是一个定值，又EC+CF＝4，从而可唯一确定EC与EF的值，由勾股定理知EF的长也是一个定值．【解答】解：①连接CD．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，在△ADE与△CDF中，∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF．说法正确；②∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝8，∴AC＝BC＝4．由①知AE＝CF，∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝4．说法正确；③由①知△ADE≌△CDF，∴DE＝DF．说法正确；④∵△ECF的面积＝×CE×CF，如果这是一个定值，则CE•CF是一个定值，又∵EC+CF＝4，∴可唯一确定EC与EF的值，再由勾股定理知EF的长也是一个定值，说法正确．故选：D．3．【分析】由根的判别式大于0和（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，求出a的范围即可；【解答】解：由已知得：a≠0且△＝（a+2）2﹣16a2＞0解得：，且a≠0，∵x1＜1＜x2，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，∴，解得：，综合以上可得，．故选：B．4．【分析】根据已知条件得到B1B2的运动轨迹也为直线，根据等边三角形的性质得到∠1＝∠3，根据全等三角形的性质得到B1B2＝ON，求得M（，0），N（，﹣），求得ON＝2＝B1B2，根据三角形的中位线的性质得到结论．【解答】解：由上图可知，当P在O点时，△AOB1为正三角形，当P在N点时，△ANB2为正三角形，H1，H2分别为AB1与AB2的中点，∵P在直线ON上运动，∴B1B2的运动轨迹也为直线，∵△OAB1为正三角形，∴∠OAB1＝∠1+∠2＝60°，同理∠NAB2＝∠2+∠3＝60°，∴∠1＝∠3，在△OAN与△B1AB2中，，∴△OAN≌△B1AB2，∴B1B2＝ON，∴点A横坐标为，∵AN⊥x轴，∴M（，0），∵直线ON的解析式为：y＝﹣x，∴∠MON＝45°，∴N（，﹣），∴ON＝2＝B1B2，∵H1，H2分别为AB1与AB2的中点，∴H1H2＝B1B2＝1，故选：C．5．【分析】连接CD，根据已知得出CD＝AD＝BD，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，CD⊥AB，求出∠EDC＝∠BDF，证△EDC≌△FDB，求出CE＝BF＝2cm，DE＝DF，同理AE＝CF＝6cm，在Rt△ECF中，由勾股定理求出EF，在Rt△EDF中解直角三角形求出DE即可．【解答】解：连接CD，∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∴CD＝AD＝BD，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDC＝∠BDF＝90°﹣∠CDF，在△EDC和△FDB中，，∴△EDC≌△FDB（ASA），∴CE＝BF＝2cm，DE＝DF，同理AE＝CF＝6cm，在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF＝＝＝2，在Rt△EDF中，DE＝DF，EF＝2，∴DE＝×2＝2（cm），故选：D．6．【分析】过A作AH⊥OB于H，连接AD，根据MN垂直平分AB，即可得到AD＝BD，当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，根据勾股定理求得AC的长，即可得到△BCD周长的最小值为13+5＝18．【解答】解：如图，过A作AH⊥OB于H，连接AD，∵点A坐标为（10，12），AO＝AB，∴OH＝BH＝10，AH＝12，又∵OC＝3BC，∴BC＝5，CO＝15，∴CH＝15﹣10＝5，∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴BD+CD＝AD+CD，∴当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，此时，Rt△ACH中，AC＝＝＝13，∴△BCD周长的最小值＝13+5＝18，故选：D．二、填空题1．【分析】①当BC＝CM时，△BCM为等腰三角形，当BM＝CM时，当△BCM为等腰三角形时，③当BC＝BM＝3时，由折叠的性质得，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：①如图1，当BC＝CM时，△BCM为等腰三角形，∴点M落在CD边上，如图1，DN＝AD＝3，∴四边形APMD是正方形，∴AP＝3，∵AB＝CD＝6，∴BP＝3；②如图2，当BM＝CM时，当△BCM为等腰三角形时，∴点M落在BC的垂直平分线上，如图2，过M作BC的垂直平分线交AD于H交BC于G，∴AH＝DH＝AD，∵将△ADP沿DP折叠，点A落在点M处，∴AD＝DM，∴DH＝DM，∴∠ADM＝60°，∴∠ADP＝∠PDM＝30°，∴AP＝AD＝，∴PB＝6﹣；③当BC＝BM＝3时，由折叠的性质得，DM＝AD＝3，∴DM+BM＝6，而BD＝＝3，∴DM+BM＜BD，故这种情况不存在，综上所述，BP的长为3或6﹣，故答案为：3或6﹣．2．【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD ⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD＝PQ，由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD＝PQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD＝BC•AC÷AB＝4.8．【解答】解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴PQ是⊙F的直径，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB．∴FC+FD＝PQ，∴CF+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值∴CD＝BC•AC÷AB＝4.8．故答案为4.8．3．【分析】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：如图所示：作BE⊥AE于点E，由题意可得，BC＝6cm，CF＝DC＝8cm，故BF＝＝＝10（cm），可得：∠CFB＝∠BAE，∠C＝∠AEB，故△BFC∽△BAE，∴＝，∴＝，解得：BE＝9.6．故答案为：9.6．4．【分析】由勾股定理求出C（4，6），再求出AC的垂直平分线为y＝﹣x+6；过点P作x 轴的垂线与AC的垂直平分线交于点O'，以O'为圆心，O'A为半径做圆，当圆O'与x轴想切时，∠APC最大；设P（x，0），半径为r，O'（x，r），B（6，0），得到r＝6﹣x，再由r2＝（2）2+（x﹣2）2+（r﹣4）2，求出x＝﹣2±即可求解．【解答】解：设C（m，m+2），∵A（0，2），AC＝4，∴m2+m2＝32，∴m＝±4，由题可知，m＝4，∴当m＝4时，C（4，6），则AC的中点为（2，4），∴AC的垂直平分线为y＝﹣x+6，过点P作x轴的垂线与AC的垂直平分线交于点O'，以O'为圆心，O'A为半径做圆，当圆O'与x轴想切时，∠APC最大；设P（x，0），半径为r，O'（x，r），∵y＝﹣x+6与x轴的交点为B（6，0），∴r＝6﹣x，∴r2＝（2）2+（x﹣2）2+（r﹣4）2，∴x＝﹣2±，∵点P在x轴正半轴上运动，∴P（﹣2+，0），故答案为（﹣2+，0）．5．【分析】作AE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，易证△AOE∽△COF，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，以及反比例函数的比例系数k的几何意义即可求得．【解答】解：作AE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F．则∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOC＝90°，即∠AOE+∠COF＝90°，又∵直角△AOE中，∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠COF＝∠OAE，∴△AOE∽△COF，∴＝（）2＝，又∵S△AOE＝×4＝2，S△COF＝|k|＝﹣k，∴＝，解得：k＝﹣9．故答案是：﹣9．6．连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，如图所示．∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，∴AM＝AP＝AN，∠MAB＝∠P AB，∠NAC＝∠P AC，∴△MAN等腰直角三角形，∴∠AMD＝45°，∴AD＝MD＝22AM，MN＝2AM．∵AB＝4，∠B＝60°，∴23≤AP＜4，∵AM＝AP，∴26≤MN＜42．故答案为：26≤MN＜42．三、解答题1．【分析】（1）证明△ACE≌△ABD，得出CE＝AD，∠AEC＝∠ADB，即可得出结论；（2）证明△ACE∽△ABD，得出∠AEC＝∠ADB，BD＝CE，即可得出结论；（3）先判断出BD＝CE，再求出AB＝2，①当点E在点D上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE＝2，再根据勾股定理求出，BP＝6，得出BD＝4；②当点E在点D下方时，同①的方法得，AP＝DP＝AE＝1，BP＝4，进而得出BD＝BP+DP＝8，即可得出结论．【解答】解：（1）在△ABC为等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝60°，同理：AE＝AD，∠AED＝∠ADE＝∠EAD＝60°，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝AD，∠AEC＝∠ADB，∵点B、D、E在同一直线上，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠CEB＝∠AEC﹣∠AEB＝60°，∵DE＝AE，∴BE＝DE+BD＝AE+CE，故答案为60°，BE＝AE+CE；（2）在等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AB＝AC，∠CAB＝45°，同理，AD＝AE，∠AED＝90°，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴，∠DAE＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE∽△ABD，∴，∴∠AEC＝∠ADB，BD＝CE，∵点B、D、E在同一条直线上，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠AEC＝135°，∴∠EBC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，∵DE＝AE，∴BE＝DE+BD＝AE+CE；（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，∴BD＝CE，在Rt△ABC中，AC＝2，∴AB＝AC＝2，①当点E在点D上方时，如图③，过点A作AP⊥BD交BD的延长线于P，∵DE⊥BD，∴∠PDE＝∠AED＝∠APD，∴四边形APDE是矩形，∵AE＝DE，∴矩形APDE是正方形，∴AP＝DP＝AE＝2，在Rt△APB中，根据勾股定理得，BP＝＝6，∴BD＝BP﹣AP＝4，∴CE＝BD＝2；②当点E在点D下方时，如图④同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝4，∴BD＝BP+DP＝8，∴CE＝BD＝4，即：CE的长为2或4．2．【分析】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB＝30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB 最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB＝∠ACB＝×60°＝30°．∴使∠APB＝30°的点P有无数个．故答案为：无数．（2）①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA＝1，OB＝5．∴AB＝4．∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝2．∴OG＝OA+AG＝3．∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝4．∴CG＝＝＝2．∴点C的坐标为（3，2）．过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，∵点C的坐标为（3，2），∴CD＝3，OD＝2．∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B＝∠AP2B＝30°．∵CP2＝CA＝4，CD＝3，∴DP2＝＝．∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D＝P2D＝．∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）．综上所述：满足条件的点P的坐标有：（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．理由：可证：∠APB＝∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH＝得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°．∴四边形OPEH是矩形．∴OP＝EH，PE＝OH＝3．∴EA＝3．∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，∴EH＝＝＝∴OP＝∴P（0，）．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0，﹣）．理由：①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是△AMN的外角，∴∠ANB＞∠AMB．∵∠APB＝∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB＞∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此时点P的坐标为（0，）和（0，﹣）．3．【分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD＝90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG＝45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG＝∠B＝90°、∠ECG＝45°，据此可得＝、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；（3）证△AHG∽△CHA得＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，知AC＝a，由＝得AH＝a、DH＝a、CH＝a，由＝可得a的值．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．4．【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式；（2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出MN的长，再利用二次函数的最值可求得MN的最大值；（3）由题意可得当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时则有MN＝MC，且MC⊥MN，则可求表示出M点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值；（4）由条件可得出MN＝OC，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：（1）∵抛物线过A、C两点，∴代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0可得，﹣x2+2x+3＝0，解x1＝﹣1，x2＝3，∵B点在A点右侧，∴B点坐标为（3，0），设直线BC解析式为y＝kx+s，把B、C坐标代入可得，解得，∴直线BC解析式为y＝﹣x+3；（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），∵P在线段OB上运动，∴M点在N点上方，∴MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，MN有最大值，MN的最大值为；（3）∵PM⊥x轴，∴当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，∴M点纵坐标为3，∴﹣m2+2m+3＝3，解得m＝0或m＝2，当m＝0时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，∴m＝2；（4）∵PM⊥x轴，∴MN∥OC，当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC＝MN，当点P在线段OB上时，则有MN＝﹣m2+3m，∴﹣m2+3m＝3，此方程无实数根，当点P不在线段OB上时，则有MN＝﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m，∴m2﹣3m＝3，解得m＝或m＝，综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或．5．解：（1）∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又∵AE平分∠CAM，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝12×180°＝90°，∴∠AEC＝∠DAE＝∠ADC＝90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）平移过程中有两种不同情况：①当0≤t＜3时，重叠部分为五边形，设C′E′与AC交于点P，A′D′与AB交于点Q，∴E′P＝43AE′＝43（3－t）A′Q＝43A′A＝43t，∴S＝S矩形A′D′CE′－S△AA′Q－S△AE′P＝3×4－12AA′•A′Q－12AE′•E′P＝12－12t•43t－12（3－t）•43(3－t)＝－43t2＋4t＋6；②当3≤t≤6时，重叠部分为三角形，设AB与C′E′交于点R，∵C′E′∥AD，∴△BC′R∽△BDA，∴''C R ADBC DB=＝43∵BC′＝6－t，∴C′R＝43（6－t），∴S＝S△BC′R＝12BC′•C′R＝12（6－t）•43（6－t）＝23（6－t）2，∴S＝()()()2244606326363t t tt t⎧-++≤<⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩.6．解：（1）如图1，设点A（t，3t），B（t＋3，33t+），∵G是中心对称图形，由反比例函数图象的中心对称性质可知：A与B关于原点成中心对称，∴t＋t＋3＝0，解得：t＝－32；（2）①y1＝(12－t)2＋2t＝t2＋t＋14，y2＝(12＋t－t)2＋2t＝2t＋14∴P（12，t2＋t＋14），Q（12＋t，2t＋14），②当t＝－2时，y＝（x＋2）2－4，P（12，94），Q（－32，－154），根据“双对称函数”定义可知：新图象f由x＜－32时抛物线y＝（x＋2）2－4沿直线y＝－154翻折所得图象、x＞12时抛物线y＝（x＋2）2－4沿直线y＝94翻折所得图象及－32≤x≤12时抛物线y＝（x＋2）2－4三个部分组成，∴当t＝－2时，函数f的解析式为：y＝()()()22273222312422171222x xx xx x⎧⎛⎫-+-<-⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+--≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-++>⎪ ⎪⎝⎭⎩；③∵当－1≤x≤1时，函数f的最小值为y min，且－2≤y min≤－1，若t＜0，该二次函数关于点P、Q的“双对称函数”为：y＝()()()2222112221122211222x t t x tx t t t xx t t t⎧⎛⎫--++<+⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-++≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--++>⎪ ⎪⎝⎭⎩，当t≤－1时，点Q始终是“双对称函数”在－1≤x≤1的最低点，由－2≤2t＋14≤－1，∴－98≤t≤－58，故－98≤t≤－1.当－1＜t＜0时，将x＝－1代入得y＝－（－1－t）2＋2t＋12＝－t2－12，由－2≤－t2－12≤－1t≤－2，∴－1≤t≤－2当t≥0时，由－2≤－（－1－t）2＋2t2＋12≤－1t综上所述，t的取值范围为：－98≤t≤t。

2020年江苏省中考数学压轴题精选精析1（2020江苏常州28题）（答案暂缺）如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.(1) 求点A 的坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围.2（2020江苏淮安28题）（答案暂缺）28．(本小题14分)如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标；(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标；(3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E(0，b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．(第28题）ly x-1-2-4-3-1-2-4-312435123（第24题图）3（2020江苏连云港24题）（本小题满分14分）如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的AOB △，COD △处，直角边OB OD ，在x 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至PEF △处时，设PE PF ，与OC 分别交于点M N ，，与x 轴分别交于点G H ，．（1）求直线AC 所对应的函数关系式；（2）当点P 是线段AC （端点除外）上的动点时，试探究：①点M 到x 轴的距离h 与线段BH 的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S 取最大值时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2020江苏连云港24题解析）解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2， 知A C ，两点的坐标分别为(12)(21)，，，． 设直线AC 所对应的函数关系式为y kx b =+． ················ 2分有221k b k b +=⎧⎨+=⎩，．解得13k b =-⎧⎨=⎩，．所以，直线AC 所对应的函数关系式为3y x =-+． ·············· 4分 （2）①点M 到x 轴距离h 与线段BH 的长总相等． 因为点C 的坐标为(21)，，所以，直线OC 所对应的函数关系式为12y x =． 又因为点P 在直线AC 上，所以可设点P 的坐标为(3)a a -，． 过点M 作x 轴的垂线，设垂足为点K ，则有MK h =．因为点M 在直线OC 上，所以有(2)M h h ，． ······ 6分 因为纸板为平行移动，故有EF OB ∥，即EF GH ∥．又EF PF ⊥，所以PH GH ⊥．法一：故Rt Rt Rt MKG PHG PFE △∽△∽△，（第24题答图）从而有12GK GH EF MK PH PF ===． 得1122GK MK h ==，11(3)22GH PH a ==-．所以13222OG OK GK h h h =-=-=．又有13(3)(1)22OG OH GH a a a =-=--=-． ··············· 8分所以33(1)22h a =-，得1h a =-，而1BH OH OB a =-=-，从而总有h BH =． ··························· 10分法二：故Rt Rt PHG PFE △∽△，可得12GH EF PH PF =-．故11(3)22GH PH a ==-．所以13(3)(1)22OG OH GH a a a =-=--=-．故G 点坐标为3(1)02a ⎛⎫-⎪⎝⎭，． 设直线PG 所对应的函数关系式为y cx d =+，则有330(1)2a ca d c a d -=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，．解得233c d a =⎧⎨=-⎩ 所以，直线PG 所对的函数关系式为2(33)y x a =+-． ············ 8分 将点M 的坐标代入，可得4(33)h h a =+-．解得1h a =-．而1BH OH OB a --=-，从而总有h BH =． ··············· 10分 ②由①知，点M 的坐标为(221)a a --，，点N 的坐标为12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ONH ONG S S S =-△△1111133(1)222222a NH OH OG h a a a -=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯- 22133133224228a a a ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭． ·················· 12分当32a =时，S 有最大值，最大值为38． S 取最大值时点P 的坐标为3322⎛⎫⎪⎝⎭，．···················· 14分4（2020江苏南京28题）（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究： 信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； 图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？（2020江苏南京28题解析）28．（本题10分） 解：（1）900； ······························· 1分 （2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇． ······· 2分 （3）由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ， 所以慢车的速度为90075(km /h)12=； ···················· 3分 当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km /h)4=，所以快车的速度为150km/h ． ··············· 4分 （4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶9006(h)150=到达乙地，此时两车之间的距离为675450(km)⨯=，所以点C 的坐标为(6450)，．设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，把(40)，，(6450)，代入得044506.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得225900.k b =⎧⎨=-⎩，所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-． ······ 6分 自变量x 的取值范围是46x ≤≤． ····················· 7分 （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ． 把 4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =．此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km ，所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)÷=，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h ． ······ 10分（第28题）y5（2020江苏南通28题）（14分）已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线ky x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．（2020江苏南通28题解析）解：（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入14y x =中，得y =－2． ∴B 点坐标为（－8，－2）．而A 、B 两点关于原点对称，∴A （8，2）．从而8216k =⨯=．……………………………………………………………………3分 （2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上，∴mn k =，B （－2m ，－2n），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）． ……………4分 S 矩形DCNO 22mn k ==，S △DBO =1122mn k =，S △OEN =1122mn k =， ………………7分∴S 四边形OBCE = S 矩形DCNO －S △DBO － S △OEN =k ．∴4k =． …………………………8分由直线14y x =及双曲线4y x=，得A （4，1），B （－4，－1）， ∴C （－4，－2），M （2，2）．………………………………………………………9分 设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得 42,2 2.a b a b -+=-⎧⎨+=⎩ 解得23a b ==． ∴直线CM 的解析式是2233y x =+．………………………………………………11分 （3）如图，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1、M 1．（第28题）设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ．于是 111A M MA a mp MP M O m-===． 同理MB m aq MQ m+==，……………………………13分 ∴2a m m ap q m m-+-=-=-．……………………14分6(08江苏苏州28题)(答案暂缺)28．(本题9分) 课堂上，老师将图①中△AOB 绕O 点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化当△AOB 旋转90°时，得到△A 1OB 1．已知A(4，2)、B(3，0)．（1）△A 1OB 1的面积是 ；A 1点的坐标为（ ， ；B 1点的坐标为( ， )； （2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB 绕AO 的中点C(2，1)逆时针旋转90°得到△A′O ′B ′，设O ′B ′交OA 于D ，O ′A ′交x 轴于E ．此时A ′、O ′和B ′的坐标分别为(1，3)、(3，－1)和(3，2)，且O ′B ′ 经过B 点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB 重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD 的面积)最小，求四边形CFBD 的面积；（3）在（2)的条件一下，△AOB 外接圆的半径等于 ．7（2020江苏宿迁27题）（本题满分12分）如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动．(1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切； (2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；(3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．（第28题）第27题（2020江苏宿迁27题解析）解：(1) ∵四边形ABCD 为正方形 ∴CD AD ⊥ ∵A 、O 、D 在同一条直线上 ∴︒=∠90ODC ∴直线CD 与⊙O 相切； (2)直线CD 与⊙O 相切分两种情况:①如图1, 设1D 点在第二象限时,过1D 作x E D ⊥11轴于点1E ,设此时的正方形的边长为a ,则2225)1(=+-a a ,解得4=a 或3-=a (舍去)．由BOA Rt ∆∽11OE D Rt ∆ 得OBOD BA E D OA OE 1111== ∴54,53111==E D OE ∴)54,53(1-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 34-=；②如图2, 设2D 点在第四象限时,过2D 作x E D ⊥22轴于点2E ,设此时的正方形的边长为b ,则2225)1(=++b b ,解得3=b 或4-=b (舍去)．由BOA Rt ∆∽22OE D Rt ∆得OBOD BA E D OA OE 2222== ∴53,54222==E D OE ∴)53,54(2-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 43-=. (3)设),(0y x D ,则201x y -±=,由)0,5(B 得x x x DB 1026)1()5(22-=-+-=∴x x BD S 513)1026(21212-=-==∵11≤≤-x∴851318513=-==+=最小值最大值，SS .第27题图1第27题图28（2020江苏泰州29题）已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，23-）。

2020年江苏中考数学填空压轴题专题一．填空题1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP 相似，则所有满足此条件的点P的坐标是．2．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为．4．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为．5．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=．6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为．7．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=．8．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．9．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C 逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是度，阴影部分的面积为．11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为．12．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH ⊥AP交AP与H，AB=2，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=．13．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为cm2．14．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B 顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=．15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．16．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．17．如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为．18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是．19．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为cm．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为．21．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是．22．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE 沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为．23．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．24．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．25．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为．26．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE 折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE 的长为．27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D 是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为．28．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC 沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为．29．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是．31．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为．32．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．33．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．34．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF 的取值范围为．35．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积．36．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=．37．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E在边BC上，且BE=2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕与边AD交于点F，当点B、C′、D′恰好在同一直线上时，AF的长为．38．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是．三．解答题39．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y 轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求直线AB和OB的解析式．（2）求抛物线的解析式．（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．问△BOD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值并写出此时点D的坐标；若不存在说明理由．参考答案与试题解析一．填空题（共38小题）1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP 相似，则所有满足此条件的点P的坐标是P（5，2），P（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．【解答】解：∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，∴直线L的解析式为；y=2x﹣8，∠BAO+∠PAC=90°，∵PC⊥x轴，∴∠PAC+∠APC=90°，∴∠BAO=∠APC，∵∠AOB=∠ACP，∴△AOB∽△PCA，∴=，∴==，设AC=m，则PC=2m，∵△PCA≌△PDA，∴AC=AD，PC=PD，∴==，如图1：当△PAD∽△PBA时，则=，则==，∵AB==2，∴AP=4，∴m2+（2m）2=（4）2，∴m=±4，当m=4时，PC=8，OC=8，P点的坐标为（8，8），当m=﹣4时，如图2，PC=8，OC=0，P点的坐标为（0，﹣8），如图3，若△PAD∽△BPA，则==，PA=AB=×2=，则m2+（2m）2=（）2，∴m=±1，当m=1时，PC=2，OC=5，P点的坐标为（5，2），当m=﹣1时，如图4，PC=2，OC=3，P点的坐标为（3，﹣2）；则所有满足此条件的点P的坐标是：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．故答案为：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．2．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是3＜x＜7．【解答】解：如图所示：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为：（7，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是：3＜x＜7．故答案为：3＜x＜7．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为和．【解答】解：∵∠ABC=90°，AC=10，BC=8，∴AB==6，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD，在△ABD与△AED中，，∴△ABD≌△AED，∴∠AED=∠B=90°，BD=DE，如图1，过M作MP⊥DE于P，∵EM平分∠PEC，∴∠PEM=45°，∴PE=PM，∵△EC′M是△ECM沿EM折叠得到的，∴EC′=EC=AC﹣AE=4，设PE=PM=x，则PC′=4﹣x，∵tanC=tanC′=，∴，解得：x=，∴EM=PM=；如图2，∵tanC=，∴DE=BD=3，∴CD=C′D=5，∴C′E=2，∵tanC′=tanC=，∴EM=，∴DM===．综上所述：折痕的长度为：和．故答案为：和．4．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为或或．【解答】解：（1）当BD=BQ，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，∵D为AB的中点，∴DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=BC=2，∴BQ=BD=，QM=﹣2=，∴∠3=90°﹣∠B，而∠2+∠3=90°，∴∠2=∠B，又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A=90°﹣∠B，而∠1+∠EDF+∠2=90°，∴∠1=∠B，即∠1=∠2，∴△DQM∽△DPN，∴PN：QM=DN：DM，即PN：=2：，∴PN=，∴AP=+=；（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，DA=DC=，而Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A，∴△CPD∽△CDA，∴CP：CD=CD：CA，即CP：=：3，∴CP=，∴AP=3﹣=；（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，∴Rt△APD∽Rt△ABC，∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=：3，∴AP=．故答案为或或．5．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=．【解答】解：∵AB=4，AD=3，∴BD=5，∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′E，∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3，∵当点C落在矩形ABCD的对角线上，∴D，C′，B三点共线，∴C′D=2，∠DC′E=90°，∵DE=4﹣CE，∵DE2=DC′2+C′E2，即（4﹣CE）2=22+CE2，∴CE=．故答案为：．6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为2或5或18．【解答】解：由题意可知，AF⊥BE，∴∠BAF+∠ABE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=90°，∴∠BAF+∠DAM=90°，∴∠DAM=∠ABE，∴△ABE∽△DAM，∴=，∴=，∴DM=8，AM===10，①当MN=MD时，AN=AM﹣DM=10﹣8=2或AN=AM+DM=10+8=18，②当ND=NM时，易知点N是AM中点，所以AN=AM=5，综上所述，当AN=2或5或18时，△DMN是等腰三角形．7．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=．【解答】解：∵将纸片的一角沿过点B的直线折叠，A落在MN上，落点记为A′，∴A′B=AB=1，∵AB∥MN，M是AD边上距D点最近的n等分点，∴MD=NC=，∴BN=BC﹣NC=1﹣=，在Rt△A′BN中，根据勾股定理得，A′N2=A′B2﹣BN2=12﹣（）2=，所以，A′N==．故答案为：．8．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为或．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．9．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．【解答】解：连接AE，∵四边形ABCD、APEF是正方形，∴A、E、C共线，①当CD=CE=时，AE=AC﹣EC=2﹣，∴AP=AE=﹣1②当ED=EC时，∠DEC=90°，∠EDC=∠ECD=45°，EC=CD=1，∴AE=AC﹣EC=1，∴AP=AE=．∴当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．故答案为﹣1或．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C 逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是60度，阴影部分的面积为．【解答】解：∵AC=A′C，且∠A=60°，∴△ACA′是等边三角形．∴∠ACA′=60°，∴∠A′CB=90°﹣60°=30°，∵∠CA′D=∠A=60°，∴∠CDA′=90°，∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°﹣30°=60°，∴∠CB′D=30°，∴CD=CB′=CB=×2=1，∴B′D==，=×CD×DB′=×1×=，∴S△CDB′S扇形B′CB==，则阴影部分的面积为：﹣，故答案为：﹣．11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为．【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，故答案为：．12．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH ⊥AP交AP与H，AB=2，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=4﹣2、2或2．【解答】解：①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，如图1所示．∵HD=HC，∴点E为CD的中点，∵EF∥AD，∴FH为△ABP的中位线，∴AH=HP．∵DH⊥AP，∴△DAP为等腰三角形，∴AD=DP．设BP=a，则CP=4﹣a，由勾股定理得：DP2=CD2+CP2，即16=8+（4﹣a）2，解得：a=4﹣2，或a=﹣4﹣2（舍去）；②当DH=DC时，如图2所示．∵DC=AB=2，∴DH=2．在Rt△AHD中，AD=4，DH=2，∴AH==2，∴AH=DH，∴∠DAH=∠ADH=45°．∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAH=45°，∵∠B=90°，∴△ABP为等腰直角三角形，∴BP=AB=2；③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，如图3所示．∵CH=CD，CE⊥DH，∴DE=HE=DH．∵DH⊥CF，DH⊥AP，∴CF∥AP，∵AF∥CP，∴四边形AFCP为平行四边形，∴AF=CP．∵EF∥AH，DE=HE，∴DF=AF=AD=2，∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2．综上所述：BP的长度为4﹣2、2或2．故答案为：4﹣2、2或2．13．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为2或cm2．【解答】解：如图1，等腰三角形面积为：×2×2=2，如图2，等腰三角形的高为：=，则其面积为：×2×=．故答案为：2或．14．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B 顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=或1．【解答】解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，设BP=BP'=a，AP=CP'=b，则PP'=a，在RT△PP'C中，∵PP'2+P'C2=PC2，且PC=3，∴CP'==，∵BP的长a为整数，∴满足上式的a为1或2，当a=1时，AP=CP'=，当a=2时，AP=CP'=1，故答案为：或1．15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是或4．【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，=，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=BF，所以=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，=，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=CF，BF=B′F，又BF+FC=8，即2BF=8，解得BF=4．故BF的长度是或4．故答案为：或4．16．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．【解答】解：如图所示，设PF⊥CD，∵BP=FP，由翻折变换的性质可得BP=B′P，∴FP=B′P，∴FP⊥CD，∴B′，F，P三点构不成三角形，∴F，B′重合分别延长AE，CD相交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠AGD，∵∠BAG=∠B′AG，∴∠AGD=∠B′AG，∴GB′=AB′=AB=5，∵PB′（PF）⊥CD，∴PB′∥AC，∴△ACG∽△PB′G，∵Rt△ACB′中，AB′=AB=5，AC=3，∴B′C==4，∴CB′=5﹣4=1，CG=CB′+B′G=4+5=9，∴△ACG与△PB′G的相似比为9：5，∴AC：PB′=9：5，∵AC=3，∴PB′=．故答案为：．17．如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为2或2﹣2．【解答】解：Rt△ABC中，BC=AC=2，∴AB=2，∠B=∠A′CB=45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD=x，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，∵∠B=45°，∴A′C⊥AB，∴BH=BC=，DH=A′D=x，∴x+=2，∴x=2﹣2，∴AD=2﹣2；②如图2，当A′D∥AC，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，∵∠A′DC=∠ACD，∴∠A′DC=∠A′CD，∴A′D=A′C，∴AD=AC=2，综上所述：AD的长为：2或2﹣2．18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是（2014，2016）．【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，∴CO=OB1cos30°=，∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，∵点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，AO=2，∴直线AA1的解析式为：y=x+2，∴y=×+2=3，∴A1（，3），同理可得出：A2的横坐标为：2，∴y=×2+2=4，∴A2（2，4），∴A3（3，5），…A2014（2014，2016）．故答案为：（2014，2016）．19．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为2πcm．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，∴AC=3cm，设⊙I的半径为x，∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，∴AE=3﹣x，BF=4﹣x，故3﹣x+4﹣x=5，解得：x=1，故⊙I的周长为2πcm．故答案为：2π．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为或﹣1．【解答】解：∵等腰Rt△ABC中，AB=AC=2，∴BC=2，分两种情况：①当AF=CF时，∠FAC=∠C=45°，∴∠AFC=90°，∴AF⊥BC，∴BF=CF=BC=，∵直线l垂直平分BF，∴BD=BF=；②当CF=CA=2时，BF=BC﹣CF=2﹣2，∵直线l垂直平分BF，∴BD=BF=﹣1；故答案为：或﹣121．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是6﹣π．【解答】解：连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=100°，∴S扇形AEF==π，S△ABC=AD•BC=×2×6=6，∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=6﹣π．故答案为：6﹣π．22．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE 沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为或．【解答】解：∵AD=BC=4，DF=CD=AB=6，∴AD＜DF，故分两种情况：①如图所示，当FA=FD时，过F作GH⊥AD与G，交BC于H，则HG⊥BC，DG=AD=2，∴Rt△DFG中，GF==4，∴FH=6﹣4，∵DG∥PH，∴△DGF∽△PHF，∴=，即=，解得PF=﹣6，∴DP=DF+PF=6+﹣6=；②如图所示，当AF=AD=4时，过F作FH⊥BC于H，交DA的延长线于G，则Rt△AFG中，AG2+FG2=AF2，即AG2+FG2=16；Rt△DFG中，DG2+FG2=DF2，即（AG+4）2+FG2=36；联立两式，解得FG=，∴FH=6﹣，∵∠G=∠FHP=90°，∠DFG=∠PFH，∴△DFG∽△PFH，∴=，即=，解得PF=﹣6，∴DP=DF+PF=6+﹣6=，故答案为：或．23．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是直径，即CD=10，∵C（0，5），∴OC=5，∴OD==5，∵∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC=cos∠ODC===．故答案为：．24．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．25．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为或．【解答】解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x，则BP=4﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=，∴AP=；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴，∴AP===．故答案为：或．26．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE 折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE 的长为或．【解答】解：①：CD'=BD'时，如图，由折叠性质，得AD=AD′，∠DAE=∠D′AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，∵△BCD′为等腰三角形，∴D′B=D′C，∠D′BC=∠D′CB，∴∠DCD′=∠ABD′，在△DD′C和△AD′B中，，∴△DD′C≌△AD′B，∴DD′=AD′，∴DD′=AD′=AD，∴△ADD′是等边三角形，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴DE=AE，设DE=x，则AE=2x，（2x）2﹣x2=42，解得：x=，即DE=．②：当CD'=CB时，如图，连接AC，由于AD'=4，CD'=4，而AC==＞4+4；故这种情况不存在．③当BD'=BC时，如图过D'作AB的垂线，垂足为F，延长D'F交CD于G，由于AD'=BD'，D'F=D'F；易知AF=BF，从而由勾股定理求得D'F===，又易证△AD'F∽△D'EG，设DE=x，D'E=x，∴，即；解得x=综上，故答案为：或．27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D 是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2）．【解答】解：连接EC．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=EC．∠ABD=∠ACE=45°，∵∠ACB=45°，∴∠ECD=90°，∴点E在过点C垂直x轴的直线上，且EC=DB，①当DB=DA时，点D与O重合，BD=OB=2，此时E（2，2）．②当AB=AD时，BD=CE=4，此时E（2，4）．③当BD=AB=2时，E（2，2）或（2，﹣2），故答案为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2）．28．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC 沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为7或．【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时，∵△ACB是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，∴∠BMD=∠NDC，∴△BMD∽△CDN．∴得==，∵DN=AN，∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8，设AN=x，则CN=10﹣x，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得x=7，∴AN=7；②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN．∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=，CD=，设AN=x，则CN=x﹣10，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得：x=，∴AN=．故答案为：7或．29．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为2或1．【解答】解：连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，又由折叠的性质知AB=AB′=5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2=AB′2﹣B′M2即（7﹣x）2=25﹣x2，解得x=3或x=4，则点B′到BC的距离为2或1．故答案为：2或1．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是2．【解答】解：过点CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，在y=2x+4中，令x=0，解得：y=4，即B的坐标是（0，4）．令y=0，解得：x=﹣2，即A的坐标是（﹣2，0）．则OB=4，OA=2．∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，∴∠DAF=∠OBA，在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF=OB=EC=4，DF=OA=BE=2，∴D的坐标是（﹣6，2），C的坐标是（﹣4，6）．将点D代入y=得：k=﹣12，则函数的解析式是：y=﹣．∴OE=6，则C的纵坐标是6，把y=6代入y=﹣得：x=﹣2．即G的坐标是（﹣2，6），∴CG=4﹣2=2．∴a=2．故答案为：2．31．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为或．【解答】解：分两种情况：①如图所示，当∠DFE=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°，∴∠CDF=∠EFN，由折叠可得，EF=EB，∴∠EFN=∠EBN，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴=，即=，∴CF=，∴FN==，∴CN=CF+NF=+=；②如图所示，当∠EDF=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CDB=∠CDF+∠CBD=90°，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴=，即=，∴CF=，∴NF==，∴CN=NF﹣CF=﹣=，综上所述，CN的长为或．故答案为：或．32．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=4，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为：2或2或2．33．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE 交于点H，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，∵DG=1，∴MG=x+1，∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=AF=0.7，FH=AF•sin∠A=1.4×=，∵CD=BC，∠C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G是CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．34．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF 的取值范围为≤CF≤3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，当点D与F重合时，CF最大=3，如图1所示：当B与E重合时，CF最小，如图2所示：在Rt△ABG中，∵BG=BC=5，AB=3，∴AG==4，∴DG=AD﹣AG=1，设CF=FG=x，在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，∴（3﹣x）2+12=x2，∴x=，∴≤CF≤3．故答案为≤CF≤3．35．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积．【解答】解：如图1，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．∵∠B=60°，∴CK=BC•sin60°=4×=2 ，∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∴点E到CD的距离是2 ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCE=∠GCF，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（ASA）；∴CE=CF，∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE•sin60°=2m×=m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6﹣2m，∵BC=4，∴PC=4﹣m，在Rt△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（﹣m）2=（6﹣2m）2，解得m=，∴EC=6﹣2m=6﹣2×=，∴CF=EC=，=××2 =，∴S△CEF故答案为．36．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=．【解答】解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，∵DE=EC，AB=CD=8，∴DE=CD=4，在RT△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴（4）2+x2=（10﹣x）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4，∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴=，∴=，∴EN=，。

江苏省连云港市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析江苏省连云港市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020连云港.中考真卷)（1）如图1，点P为矩形对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F.若，，的面积为，的面积为，则 ________；（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点.设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）；（3）如图3，点为内一点（点不在上）过点作，，与各边分别相交于点、、、 .设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）；（4）如图4，点、、、把四等分.请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为 .根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）.~~第2题~~(2020灌南.中考模拟) 如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.②推断：的值为，则样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a，AC=b，AB=c.c=4 时，AD=3 ，AD，BC∥AD，EDG.相似时，的值是（1）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由.（2）问题探究：在“问题情境”的基础上，如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F.求∠AEF的度数；（3）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处.若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值.（4）问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F.分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H.若AG＝，请直接写出FH的长.~~第6题~~(2019灌南.中考模拟) 正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°（1）当OM经过点A时，①请直接填空：ON（可能，不可能）过D点：（图1仅供分析）②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形；③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON 上取点E （E 点在正方形ABCD 外部），过E 点作EF 垂直于直线BC ，垂足为点F ，作EH ⊥CD 于H ，若四边形EFCH 为正方形，那么OE 与OA 是否相等？请说明理由；（2） 当点O 在射线BC 上且OM 不过点A 时，设OM 交边AB 于G ，且OG=2．在ON 上存在点P ，过P 点作PK 垂直于直线B C ，垂足为点K ，使得S △= S ，连接GP ，则当BO 为何值时，四边形PKBG 的面积最大？最大面积为多少？~~第7题~~(2019海州.中考模拟) 如图，D 为直角△ABC 中斜边AC 上一点，且AB ＝AD ，以AB 为直径的⊙O 交AD 于点F ，交BD 于点E ，连接BF ，BF.（1） 求证：BE ＝FE ；（2） 求证：∠AFE ＝∠BDC ；（3） 已知：sin ∠BAE ＝ ，AB ＝6，求BC 的长.~~第8题~~(2018连云港.中考真卷) 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动，△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AC 上一点，小亮以BE 为边向BE 的右侧作等边三角形BEF ，连接CF ．（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，EF 、BC 相交于点D ，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；（2） 当点E 在线段AC 上运动时，点F 也随着运动，若四边形ABFC 的面积为 ，求AE 的长；（3） 如图2，当点E 在AC的延长线上运动时，CF 、BE 相交于点D ，请你探求△ECD 的面积S 与△DBF 的面积S 之间的数量关系，并说明理由；（4） 如图2，当△ECD 的面积S ＝时，求AE 的长．~~第9题~~(2018灌云.中考模拟) 如图（1） 如图 ，正方形AEGH 的顶点E 、H 在正方形ABCD 的边上，直接写出HD ：GC ：EB 的结果；（2）将图中的正方形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图，求HD：GC ：EB ；（3） 把图 中的正方形都换成矩形，如图 ，且已知DA ： ： ，求此时HD ：GC ：EB 的值 简要写出过程 ．~~第10题~~PKO △OBG 121(2018灌南.中考模拟) △ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，矩形DEFG中，EF＝4，FG＞12．（1）如图①，点A是FG的中点，FG∥BC，将矩形DEFG向下平移，直到DE与BC重合为止．要研究矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积，就要进行分类讨论，你认为如何进行分类，写出你的分类方法（无需求重叠部分的面积）．（2）如图②，点B与F重合，E、B、C在同一直线上，将矩形DEFG向右平移，直到点E与C重合为止．设矩形DEFG 与△ABC重叠部分的面积为y，平移的距离为x．①求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②在给定的平面直角坐标系中画出y与x的大致图象，并在图象上标注出关键点坐标．江苏省连云港市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：解析：~~第2题~~答案：解析：答案：解析：答案：解析：答案：解析：答案：解析：答案：解析：~~第8题~~答案：解析：~~第9题~~答案：解析：答案：解析：。

2020年江苏省中考数学试题汇编之压轴题精选（学生版）初中数学1〔08江苏常州28题〕如图,抛物线24y x x =+与x 轴分不相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它通过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.(1) 求点A 的坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分不直截了当写出这些专门四边形的顶点P 的坐标;(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范畴.2〔08江苏淮安28题〕28．(本小题14分)如下图，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标；(2)连结AP ，假如△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标；(3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E(0，b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，依照不同情形，分不用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情形给出解答过程，其它情形直截了当写出结果；判定当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．(第28题）ly x-1-2-4-3-1-2-4-312435123〔第24题图〕3〔08江苏连云港24题〕〔本小题总分值14分〕如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分不为1和2．将它们分不放置于平面直角坐标系中的AOB △，COD △处，直角边OB OD ，在x 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至PEF △处时，设PE PF ，与OC 分不交于点M N ，，与x 轴分不交于点G H ，．〔1〕求直线AC 所对应的函数关系式；〔2〕当点P 是线段AC 〔端点除外〕上的动点时，试探究：①点M 到x 轴的距离h 与线段BH 的长是否总相等？请讲明理由；②两块纸板重叠部分〔图中的阴影部分〕的面积S 是否存在最大值？假设存在，求出那个最大值及S 取最大值时点P 的坐标；假设不存在，请讲明理由．4〔08江苏南京28题〕〔10分〕一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时动身，设慢车行驶的时刻为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 依照图象进行以下探究： 信息读取〔1〕甲、乙两地之间的距离为 km ； 〔2〕请讲明图中点B 的实际意义； 图象明白得〔3〕求慢车和快车的速度；〔4〕求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范畴；咨询题解决〔5〕假设第二列快车也从甲地动身驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚动身多少小时？〔第28题〕y5〔08江苏南通28题〕〔14分〕双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M 〔m ，n 〕〔在A 点左侧〕是双曲线ky x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N 〔0，－n 〕作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C ． 〔1〕假设点D 坐标是〔－8，0〕，求A 、B 两点坐标及k 的值．〔2〕假设B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．〔3〕设直线AM 、BM 分不与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．6(08江苏苏州28题)28．(此题9分) 课堂上，老师将图①中△AOB 绕O 点逆时针旋转，在旋转中发觉图形的形状和大小不变，但位置发生了变化当△AOB 旋转90°时，得到△A 1OB 1．A(4，2)、B(3，0)． 〔1〕△A 1OB 1的面积是 ；A 1点的坐标为〔 ， ；B 1点的坐标为( ， )；〔2〕课后，小玲和小惠对该咨询题连续进行探究，将图②中△AOB 绕AO 的中点C(2，1)逆时针旋转90°得到△A′O ′B ′，设O ′B ′交OA 于D ，O ′A ′交x 轴于E ．现在A ′、O ′和B ′的坐标分不为(1，3)、(3，－1)和(3，2)，且O ′B ′ 通过B 点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发觉旋转中的三角形与△AOB 重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD 的面积)最小，求四边形CFBD 的面积；〔3〕在〔2)的条件一下，△AOB 外接圆的半径等于 ．〔第28题〕如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动．(1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切； (2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；(3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．8〔08江苏泰州29题〕二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图象通过三点〔1，0〕，〔-3，0〕，〔0，23-〕。