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第九章 刚体的平面运动§ 9-1刚体平面运动的概述和运动分解刚体的平面运动在工程中是常见的。
例如 （1）行星齿轮机构中动齿轮B 的运动（2） 曲柄连杆机构中连杆的运动； （3）车轮沿直线轨道滚动。
CV C*■(c)它们的共同运动特点是：在运动时，冈I 」体上的任意一点与某一固定平面 始终保持相等的距离。
刚体的这种运动称为平面运动。
根据刚体作平面运动的上述特点，可以将刚体的平面运动简化为平面图 形S 在其自身平面内的运动。
设刚体作平面运动，某一固定平面为 P o ，如图2所示，过刚体上M 点作 一个与固定平面P o 相平行的平面P ，在刚体上截出一个平面图形S ，平面图 形S 内各点的运动由平面运动的定义知，均在平面 P 内运动。
过M 点作与固 定平面P o 相垂直的直线段M i M 2，直线段MiM 2的运动为平移，其上各点的运 动均与M 点的运动相同。
因此刚体作平面运动时，只需研究平面图形S 在其自身平面P 内的运动即可。
如图3所示，在平面图形S 内建立平面直角坐标系oxy ，来确定平面图形S 的位置。
为(a) (b)图1确定平面图形S的位置只需确定其上任意直线段AB的位置，x线段AB 的位置可由点A 的坐标和线段AB 与x 轴或者与y 轴的夹角来确定。
即有X A f i （t ）旳A f 2（t ）f 3（t ）上式称为平面图形S 的运动方程，即刚体平面运动的运动方程。
点A 称为基点，一般选为已知点，若已知刚体的运动方程，冈H 体在任一瞬时的位置 和运动规律就可以确定了。
S 的运动。
平面图形在其自身平面内的位置，完全 O M 的位置来确定。
平面图形的运动，可以分解为随同基点的平动 （牵连速度）和绕基点的转 动（相对运动）。
即平面图形的运动可以看成是这两部分运动的合成。
应该注意的是，图形内基点的选取是任意的。
但是，选取不同的基点A或B,则平动的位移是不同的，从而，图形随A 点或B 点平动的速度和加速度 也不相同。
第9章
刚体的平面运动
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φ
φ
所示得知，选择不同的基点，转动部分的角位移是相同的，即
φ2
φ1
OM 连线上投影，如图9.7所示，得9.2 用基点法求平面图形内各点的速度
OM OM [][]M O v v (9.3)
上式表明，平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等，这称为速度投影定理。
利用速度投影定理求平面图形上任一点速度的方法称为速度投影法。
当平面图形上某一点速度的大小和方向均已知，另一点的速度方向已知，欲求该点速度大小时，应用速度投影法可以迅速得到结果。
ω
ω
用瞬心法求平面图形内各点的速度
ω
ω
用瞬心法求平面图形内各点的速度
二、速度瞬心的确定
瞬心法是求平面图形内任一点速度的一种较简便的方法，应用这种方法的关键在于确定速度瞬心的位置。
下面介绍几种确定速度瞬心的方法。
(1) 已知某图形上某瞬时A、B两点的速度方向，且互不平行。
分别作两点的速度矢量的垂线，两线的交点C即为此瞬时图形的速度瞬心，如图9.11所示。
(2) 已知某瞬时图形上A、B两点的速度方向互相平行且垂直于AB连线，并已知这两点的速度大小。
由速度分布规律可知，当两速度大小不等而方向相同时，AB连线与两速度矢端连线的延长线的交点C就是速度瞬心，如图9.12所示。
当两速度方向相反时，AB连线与两速度矢端连线的交点C就是速度瞬心，如图9.13所示。
用瞬心法求平面图形内各点的速度若两点的速度互相平行，但两点连线不与两点速度矢量垂直，如图
9.14(b)所示的四连杆机构的连杆AB 在图示位置就处于这种状态。
此时速度瞬心在无穷远处。
因此该瞬时图形的角速度等于零，图形内各点速度都相同，好像图形作平动一样，称为瞬时平动。
但应注意，一般来说在该瞬时各点加速度并不相同。
在该瞬时之后，各点速度也不再相同。
因此，瞬时平动与持续平动有本质的区别。
(3) 当平面图形在另一固定面上只滚动而不滑动时，由于固定面的速度为零，因此，图形上与固定面的接触点即为图形的速度瞬心，如图9.15所示。
最后还须说明的是，在研究某一物体系统的运动过程中，每一作平面运动的物体都有其自己的瞬心和角速度，不能把几个图形放在一起确定它们的瞬心和角速度。
用瞬心法求平面图形内各点的速度【例9.3】图9.16所示滚压机构的滚子沿水平方向作无滑动的滚动。
已知曲柄
OA长15cm，绕O轴的转速n = 60 r/min；滚子的半径R = 15 cm。
求当曲柄与水
平面的夹角为60°，且曲柄与连杆AB垂直时，滚子的角速度和滚子前进的速度。
解：此机构中，曲柄OA作定轴转动，连杆AB和滚子均作
平面运动。
根据已知条件可求得曲柄与连杆的连接点A的
速度v A的大小与方向。
滚子与AB杆通过B点连接，故欲求
滚子前进的速度，可通过分析AB杆的运动来求得。
由于B
点速度v B沿水平线OB，因此过A、B两点分别作v A、v B的
垂线，两垂线的交点C1就是连杆AB在图示位置时的速度
瞬心。
曲柄的角速度为
则A点的速度大小为而连杆AB的角速度
π60π
2π rad/s
3030
n
ω===
152π30π cm/s A
v OAω
=⋅=⨯=
1
A
AB
v
ω
AC
=
φ
a MOτ M a O a MO a M a MOn a O O α ω α
ωO
以速度瞬心的加速度也为零。
这种说法对吗？为什么？
ω1
ω
v
v
θ
O B
O A
O 1 ω ω O A
B C 30° 30° 1v v 2v v
ω
A
I
II
B
O
r1
O1
r2
γ
ωO1
β
O A
D
C
B
ω
E
30°
ω
ω0
θ
33
BC r
ω0
ω
的速度。
ω1
ω β
γ
O 1
图9.34 第14题图
图9.35 插齿机传动机构
ω0ω0
α0。
