向量与向量的加减法

例析向量试题的小题小做作为高中数学必修内容的向量，在考试中也是不可避免的出题内容。

那么针对向量的题目来说，有哪些小题小做的技巧呢？本文将从向量的定义、向量的计算以及向量的应用几个方面进行例析和总结。

一、向量的定义1、向量的表示法：在平面直角坐标系中，向量$\vec{a}$可以表示成一个有向线段，线段的起点为原点，终点为点A，用$\overrightarrow{OA}$或$\vec{a}$表示，并且向量的模等于该有向线段的长度，即$|\vec{a}|=OA$。

2、向量的平行：向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$平行的充要条件是$\vec{a}=\lambda\vec{b}$，其中$\lambda$为实数。

3、向量的共面：向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$在同一平面内的充要条件是$\vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{c}=0$。

二、向量的计算1、向量的加减法：向量的加减法都是按照对应坐标分别相加或相减。

即$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$，$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2)$。

2、向量的数量积：向量的数量积可以表示为$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$。

具体来说，向量的数量积等于向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的投影长度乘以向量$\vec{b}$的模。

3、向量的向量积：向量的向量积可以表示为$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}i & j & k \\a_1 & a_2 & a_3 \\b_1 & b_2 & b_3 \\\end{pmatrix}$。

具体来说，向量的向量积等于向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$所确定的平行四边形的面积，并且结果是一个新的垂直于向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的向量。

向量的加法口诀： 首尾相连，首连尾，方向指向末向量。

以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的和向量。

二、向量的减法两向量做减法运算，图像如下图所示：向量的减法口诀： 首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。

以第一个向量的终点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的差向量。

向量的学习是高一数学必修四第二章的内容，要求同学们会向量的基本运算，其中就包括加法、减法、数乘。

要求大家能根据运算法则解决基本的向量运算，学会运用图像解决向量加减法，向量的数乘等问题。

向量的相关题目难度也不是很大，只要大家认真学习，认真做好笔记，认真做做题目，总结做题规律，那么当我们遇到类似题目时就会似曾相识，做起来也很顺手，再细心点的话，得满分也没有问题。

学习方法很多，重要的事找到适合自己的方法，当然适合自己方法就是最好的方法。

附一；三角形定则解决向量加减的方法将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

注:两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同;差向量的终点指向被减向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ 3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.。

向量的加减法3、向量的加法求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．法则：①三⾓形法则；②平⾏四边形法则．运算律：交换律＋＝＋，结合律(＋)＋＝＋(＋)．4、向量的减法向量的加法和减法互为逆运算．已知两个向量的和及其中⼀个向量，求另⼀个向量的运算叫做向量的减法．差向量：向量加上的相反向量，叫做与的差（向量）求差向量的⽅法：向量减法的三⾓形法则，即减向量的终点指向被减向量的终点．⼆、重难点知识剖析1、的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、⽅向、长度；既有⼤⼩⼜有⽅向的量，我们叫做向量，有⼆个要素：⼤⼩、⽅向.向量不能⽐较⼤⼩；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是⾃由向量，只有⼤⼩和⽅向两个要素；与起点⽆关：只要⼤⼩和⽅向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、⼤⼩和⽅向三个要素，起点不同，尽管⼤⼩和⽅向相同，也是不同的有向线段2、已知向量、在平⾯内任取⼀点，作，，则向量叫做与的和，记作，即3、向量减法的三⾓形法则：两个向量相减，则表⽰两个向量起点的字母必须相同(否则⽆法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.在平⾯内任取⼀点O，作，则向量．4、多边形法则：⼀般地，⼏个向量相加，可把这⼏个向量顺次⾸尾相接，那么它们的和向量是以第⼀个向量的起点为起点、最后⼀个向量的终点为终点的向量．只要你理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得⼼应⼿了，尤其遇到向量的式⼦运算题时，⼀般不⽤画图就可迅速求解，如下⾯例题：（1）化简－＋－＝（＋）－（＋）＝－＝（2）化简＋＋＋=.特殊情况：两向量平⾏对于零向量与任⼀向量，有三、例题讲解例1、化简下列各式：（1）；（2）.分析：利⽤向量加法、减法的运算律。

解：（1）原式= =；（2）原式==；点评：⼀般地，我们总有因此在涉及到向量的有关运算时，要注意围绕上述基本结论进⾏变形。

1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；2.理解向量的几表示，会用字母表示向量；3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力.5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；8．在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几证明；9．通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．学习容:向量这部分知识是新容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.向量的加法运算一、向量的概念向量:既有大小又有向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用| |表示，显然，既有向线段的起、终点决定向量的向，有向线段的长度决定向量的大小.注意:向量的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.长度相等且向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关.二、向量的加法1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD中，向量的和为.记作: .2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有: ，既在ΔADC中，，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.规定:零向量与向量的和等于.三、向量的减法向量与向量叫做相反向量.记作: .则，既用加法法则来解决减法问题.例题选讲第一阶梯[例1]判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量；②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量与是共线向量，则、、、必在同一直线上；④向量与向量平行，则与的向相同或相反；⑤四边形是平行四边形的充要条件是．分析：判断上述五个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目．解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确；③不正确．∵与共线，可以有与平行；④不正确．如果其中有一个是零向量，则其向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几中的命题：四边形是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．[例2]下列各量中是向量的有_______________.A、动能B、重量C、质量D、长度E、作用力与反作用力F、温度分析：用向量的两个基本要素作为判断的依据注意对物理量实际意义的认识.解:A，C，D，F只有大小，没有向，而B和F既有大小又有向，故为向量.[例3]命题“若，，则．”（）A．总成立B．当时成立C．当时成立D．当时成立分析：这里要作出正确选择，就是要探求题中命题成立的条件．∵零向量与其他任非零向量都平行，∴当两非零向量、不平行而时，有，，但这时命题不成立，故不能选择A，也不能选择B与D，故只能选择C．答案：C第二阶梯[例1]如图1所示，已知向量，试求作和向量．分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和．即先作，再作．解：如图2所示，首先在平面任取一点，作向量，再作向量，则得向量，然后作向量，则向量即为所求．[例2]化简下列各式(1)；(2)．分析：化简含有向量的关系式一般有两种法①是利用几法通过作图实现化简；②是利用代数法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．解：(1)原式=(2)原式=．[例3]用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．(需首先将命题改造为数学符号语言)已知：如图3，ABCD是四边形，对角线AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：由已知得，，且A，D，B，C不在同一直线上，故四边形ABCD是平行四边形．第三阶梯例1．下列命题:（1）单位向量都相等；（2）若，则；（3）若ABCD为平行四边形，则；（4）若，则.其中真命题的个数是（）A、0B、1C、2D、3解:（1）不正确.单位向量的长度相等，但向不一定相同；（2）不正确. 可能在同一条直线上；（3）不正确.平行四边形ABCD中，；（4）正确.满足等量的传递性.选B.例2．若O为正三角形ABC的中心，则向量是（）.A、有相同起点的向量B、平行向量C、模相等的向量D、相等的向量解:的起点不同，不平行也不相等.由正三角形的性质: .选C.例3．某人向东走3km，又向北走3km，求此人所走路程和位移.解:此人所走路程:|AB|+|BC|=6km.此人的位移:例4．求证对角线互相平分的平面四边形是平行四边形.已知: ，求证:ABCD为平行四边形.证明:由加法法则: ，∵，∴，即线段AB与DC平行且相等，∴ABCD为平行四边形.例5．非零向量中，试比较的大小.解:（1）共线时，①时，②时，.（2）不共线时，，，∵即，综上：∴课外练习:1．若两个向量不相等，则这两个向量（）.A、不共线B、长度不相等C、不可能均为单位向量D、不可能均为零向量2．四边形RSPQ为菱形，则下列可用一条有向线段表示的两个向量是（）.A、B、C、D、3．“两个向量共线”是“这两个向量相等”的（）.A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4．O是四边形ABCD对角线的交点，若，则四边形ABCD是（）.A、等腰梯形B、平行四边形C、菱形D、矩形5．若O是ΔABC一点，，则O是ΔABC的（）.A、心B、外心C、垂心D、重心6．ΔABC中，=（）.A、B、C、D、7．平行四边形ABCD中，E、F为AB，CD中点，图中7个向量中，与相等的向量是________；与相等的向量是______；与平行的向量是_______；与平行的向量是_____.8．已知:首尾相接的四个向量.求证: .S参考答案:1.D2.B3.B4.B5.D6.B7.8. 证明:∵，，∴.测试选择题1．已知向量a=(3,m)的长度是5，则m的值为（）.A、4B、-4C、±4D、162．下面有四个命题：（1）向量的长度与向量的长度相等.（2）任一个非零向量都可以平行移动.（3）所有的单位向量都相等.（4）两个有共同起点的相等向量，其终点必相同.其中真命题的个数是（）.A、4B、3C、2D、13．在下列命题中，正确的是（）.A、若| |>| |，则>B、| |=| |，则=C、若= ，则与共线D、若≠，则一定不与共线4．下列说法中错误的是（）.A、零向量是没有向的B、零向量的长度为0C、零向量与任一向量平行D、零向量的向是任意的5．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则和相等的向量的个数是（）.A、1个B、2个C、3个D、4个答案与解析答案：1、C2、B3、C4、A5、B解析：1．答案：C.因为|a| 所以2．答案：B. (1)对.因为与是指同一条线段，因此长度相等．(2)对．这是由相等向量推导出的结论．(3)错.因为单位向量只要求模长等于1，向不作要求，因此不一定相等．(4)对．因为相等向量可以经过平移至完全重合．解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识.3．答案：C. A错．因为向量有大小和向两个要素．无法比较大小．B错．相等向量不仅要模长相等，向也要相同．C对．相等向量向一定相同，因此共线．D错．因为向量不相等，可能仅由于模长不等，向仍可能是相同的，所以与有共线的可能．4．答案：A. 零向量是规定了模长为0的向量．零向量的向没有规定，是任意的，可以看作和任一向量共线．零向量绝不是没有向．5．答案：B. 根据向量相等的条件.向量重点难点了解向量可以根据需要自由平移的特点是今后运用向量法解决问题的前提条件之一，也因此，平行向量也叫共线向量．要根据向量的有关概念从图形中找出相等的向量和共线的向量．因此，要加强训练观察一些常见图形．以下三个问题上常出现错误：一是用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示向量时，一定注意搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如与是大小相同，向相反的两个向量，二是零向量的向是任意的，而不是没有向，因此有关零向量的向问题一般要注意规定，例如命题：与共线，与共线，与共线，是错误的，因为零向量的向是任意的，故与的向没有任关系，因此也无法判断是否共线，三是注意区别平行向量与平面几中直线平行的概念，前者相当于两直线位置关系中的平行和重合两种情况，例如错误地认为平行向量不可能是共线向量，其实这两个概念是同一个概念.典型题目例1下列说法中正确的是（）.A．向量与向量共线，向量与向量共线，则向量与向量共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C、向量与不共线，则与所在直线的夹角为锐角D、始点相同的两个非零向量不平行答案：A点评：向量共线即向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的．共线向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直线上.而相等向量是共线的，故B中四点可能在同一直线上，向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，而选项D中向量是否共线与始点位置无关．例2 “两个向量共线”是“这两个向量向相反”的()条件A.充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：B点评：向量共线即向量向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立．例3下面有四个命题：(1)向量的模是一个正实数．(2)两个向量平行是两个向量相等的必要条件．(3)若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等．(4)温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量，其中真命题的个数为()．A．0B．1C．2D．3答案：B点评：只有(2)是正确的，因为两个向量平行只是指这两个向量在向上是相同或相反的．向相反则不可能是相等向量．即使向相同，对于大小也没有要求，依然无法判定两个向量是否相等．而两个相等向量的向一定相同，必是平行向量．(1)错在向量的模是表示向量的有向线段的长度，零向量的模为零．因此向量的模是一个非负实数．(3)错在两个单位向量互相平行，向可能相同也可能相反，因此这两个向量不一定相等．(4)错在温度的零上零下也只是表示数量．向量既要有大小又要有向．常见的向量有力、速度、位移、加速度等．正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素人手区分其它有关概念．例4 一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变向向西偏北50°走了200公里到达C点，最后又改变向，向东行驶了100公里到达D点．(1)作出向量、(2) 求| |.答案：(1)见图.(2)由题意，易知向相反，故与共线，又，∴在四边形ABCD中，AB CD，四边形ABCD为平行四边形，∴，∴=200公里.点评：准确画出向量的法是先确定向量的起点，再确定向量的向，最后根据向量的大小确定向量的终点.例5 一个人从A点出发沿东北向走了100米到达B点．后改变向沿南偏东15°又走了100米到达C点，求此人从C点走回A点的位移．解：如图，根据题意知ΔABC为等边三角形，故∠a=15°，| |=100，∴此人从C点走回A点的位移，大小为100米，向为西偏北15°．检测题1.在下列各命题中，为真命题的有（）（1）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（2）温度有零上温度和零下温度．因此温度也是向量（3）向为南偏西60°的向量与向为北偏东60°的向量是共线向量（4）坐标平面上的x轴和y轴都是向量A．1个B．2个C．3个D．4个2.已知a、b、c是三个非零向量，则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要条件是（）A．a、b同向B．b、c同向C．a、c同向D．a、b、c同向3.下列命题中，正确的是（）A．B．C．D．4．下列各命题中假命题的个数为（）①向量的长度与向量的长度相等．②向量与向量平行，则与的向相同或相反．③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．④两个有共同终点的向量，一定是共线向量．⑤向量与向量是共线向量，则点、、、必在同一条直线上．⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段A．2 B．3 C．4 D．55．在下列各结论中，正确的结论为（）①两向量共线且模相等是这两个向量相等的必要不充分条件；②两向量平行且模相等是这两个向量相等的既不充分也不必要条件；③两向量向相同且模相等是这两个向量相等的充分条件；④两向量向相反且模不相等是这两个向量不相等的充分不必要条件．A．①、③B．②、④C．③、④D．①、③、④6．判断下列命题真假（1）平行向量一定向相同．（2）共线向量一定相等．（3）起点不同，但向相同且模相等的几个向量是相等的向量．（4）不相等的向量，则一定不平行．（5）非零向量的单位向量是．7.若三个向量a、b、c恰能首尾相接构成一个三角形，则＝。

向量的加减法与数量积的计算在线性代数中，向量是一个非常重要的概念。

它们不仅用于表示方向和大小，还广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

本文将介绍向量的加减法以及数量积的计算方法。

一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。

向量的加法满足交换律，即无论向量的顺序如何，结果都是相同的。

假设有两个向量 a 和 b，分别表示为：a = (a1, a2, a3)b = (b1, b2, b3)那么 a 和 b 的加法可以表示为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)例如，如果 a = (1, 2, 3) 和 b = (4, 5, 6)，那么它们的和为：a +b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。

向量的减法不满足交换律，即向量的顺序会影响最终结果。

假设有两个向量 a 和 b，分别表示为：a = (a1, a2, a3)b = (b1, b2, b3)那么 a 和 b 的减法可以表示为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)例如，如果 a = (1, 2, 3) 和 b = (4, 5, 6)，那么它们的差为：a -b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)三、数量积的计算数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种运算。

数量积的计算结果是一个标量，而不是一个向量。

假设有两个向量 a 和 b，分别表示为：a = (a1, a2, a3)b = (b1, b2, b3)那么 a 和 b 的数量积可以计算如下：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3例如，如果 a = (1, 2, 3) 和 b = (4, 5, 6)，那么它们的数量积为：a ·b = 1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 4 + 10 + 18 = 32数量积有许多应用，例如计算向量的夹角、判断向量是否垂直等。