5.7 已知三角函数值求角

第17课时【教学题目】§5.7.1已知正弦函数值求角【教学目标】1.会由已知角的正弦值，求出指定范围内的角；2.掌握已知正弦函数的值求角的解题步骤.【教学内容】1.由已知角的正弦值，求出指定某范围内的角；2.已知正弦函数的值求角的解题步骤.【教学重点】会由已知角的正弦值，求出指定范围内的角.【教学难点】会由已知角的正弦值，求出指定范围内的角.【教学过程】一、导课前几节课我们学习过已知角求三角函数值，随着我们对三角函数学习的逐步深入，我们还会遇到这样的问题：已知某角的某一个三角函数值，让我们求这个角.问题：已知1sin 2x =适合这个等式的角你能找到几个？在哪一个范围内一个值对应着一个角呢？ 答案：,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（学生观察正弦函数的图像自主得到答案） 二、新授已知正弦函数值，求指定范围内的角的主要步骤：（一）利用计算器求出0090~90⎡⎤-⎣⎦（或,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦）范围内的角； （二）利用诱导公式()0sin 180sin αα-=（或()sin sin παα-=）求出0090~270⎡⎤⎣⎦（或3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦）范围内的角； （三）利用诱导公式()0sin360sin k αα+⋅=（或()sin 2sin k απα+=）求出指定范围内的角.三、例题讲解例、已知sin x =，求在区间[]0,2π范围内的角x .解：（1）求0090~90⎡⎤-⎣⎦（或,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦）范围内的角：因为sin 2x =，所以13x π=. （2）求出0090~270⎡⎤⎣⎦（或3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦）范围内的角： 由诱导公式()0sin 180sin αα-=（或()sin sin παα-=）知：21233x x ππππ=-=-=.所以在区间[]0,2π范围内，使得sin 2x =的角x 为3π和23π. 四、学生练习 已知1sin 2x =，求在区间[]0,2π范围内的角x . 五、课堂小结 （一）由已知角的正弦值，求出某范围内的角；（二）已知正弦函数的值求角的解题步骤.六、作业布置（一）已知sin 2x =，求在区间[]0,2π范围内的角x ； （二）已知A ∠是三角形ABC ∆的内角，且1sin 2A =，求A ∠. 七、教学反思 学生通过学习已知正弦函数值求角，以及已知正弦函数值求角的步骤，基本上能够求出指定范围内的简单的角.但是学生对于应用诱导公式()0sin 180sin αα-=（或()sin sin παα-=）和诱导公式()0sin 360sin k αα+⋅=（或()sin 2sin k απα+=）还不熟练，须继续加强指导和训练.。

【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ． (3)写形式．根据 ±，2 - 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数 因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - ,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31 且10π＋π＝1011π∈［0，2π］ ∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。

《数学（基础模块）上册》习题答案第一部分 基础知识 第1章 集 合1.1 集合及其表示课堂练习1.1.11．（1）由于小河流没有具体标准，表述的对象是不确定的，因此不能组成一个集合； （2）天上所有的星星是确定的对象，可以组成一个集合；（3）大于5小于100的所有奇数是确定的对象，可以组成一个集合；（4）我国2008—2018年间发射的所有人造卫星是确定的对象，可以组成一个集合； （5）方程230x x -=的解为0和3，它们是确定的对象，可以组成一个集合． 2．（1）∉，∉，∉； （2）∈，∉，∈； （3）∈，∈，∈；（4）∈，∈，∈．鉴错小能手（1）不正确，{5}表示集合，5表示元素；（2）不正确，一棵树上所有的叶子是确定的，组成的集合是有限集； （3）不正确，地球上身高超过五米的人是不存在的，组成的集合是空集； （4）不正确，方程2(21)9x -+=在实数范围内无解，其解集为空集； （5）正确，方程2210x x -+=的解为1，其解集为有限集；（6）不正确，10x=无解，其解集为空集． 课堂练习1.1.2 1．列举法（1）{l o n e y}，，，，；（2）{33}-，．2．描述法1．（1）{|421}>=+∈Z x x x k k ，，；（2）{()|31}=-x y y x ，． 2．（1）{亚洲，欧洲，北美洲，南美洲，南极洲，非洲，大洋洲}； （2）{|170cm}>x x ； （3）{|5}θθ<︒； （4）{|10100}<<x x ；（5）{0123456789}，，，，，，，，，．小试牛刀1.1A 组1．（1）∈；（2）∉；（3）∈；（4）∉；（5）∈；（6）∉． 2．（1）空集；（2）有限集；（3）无限集；（4）有限集． 3．（1）{}一月，三月，五月，七月，八月，十月，十二月； （2）{}42024681012--，，，，，，，，； （3）{}3；（4）{}235711，，，，． 4．（1）{}|100x x x <∈N ，； （2）{}||6|x x x <∈R ，； （3）{}|33x x x -<<∈Z ，． B 组1．（1）{}01，；（2）{}54321-----，，，，． 2．（1）{}()00|x y x y <=，，； （2）{}51|x x k x k =+∈∈N N ，，*； （3）{}2|*=∈N ，x x k k ．1.2 集合之间的关系课堂练习1.2.1 1．子集（1）∉；（2）∈；（3）⊆；（4）⊇；（5）⊆．2．真子集子集：∅，{}1，{}2，{}5，{}12，，{}15，，{}25，，{}125，，；真子集：除了{}125，，外，其他子集都是真子集．课堂练习1.2.2由于集合A 与集合B 的元素完全相同，所以A B =．鉴错小能手（1）错误，由于小区没有80到85岁之间的老人，{小区内85岁以上老人}与{小区内80岁以上老人}的元素完全相同，{小区内90岁以上老人}是{小区内85岁以上老人}的真子集，因此可参与免费体检的共有8人；（2）正确；（3）错误，0属于{0}，0不属于∅，{0}与∅不相等．小试牛刀1.2A 组1．（1）；（2）=； （3）； （4）=； （5）∈；（6）；（7）；（8）∉． 2．（1）A B ； （2）A B ；（3）=A B ；（4）AB ；（5）AB ； （6）AB ．3．子集：∅，{}=红色M ，{}=黄色M ，{}=蓝色M ，{}=绿色M ，{}=红色，黄色M ，{}=红色，蓝色M ，{}=红色，绿色M ，{}=黄色，蓝色M ，{}=黄色，绿色M ，{}=蓝色，绿色M ，{}=红色，黄色，蓝色M ，{}=红色，黄色，绿色M ，{}=红色，蓝色，绿色M ，{}=黄色，蓝色，绿色M ，{}=红色，黄色，蓝色，绿色M ；真子集：除了{}=红色，黄色，蓝色，绿色M 外，其他子集都是真子集．B 组 （1）AB ； （2）A B ； （3）A B ．1.3 集合的运算课堂练习1.3.11．{04}=，A B ．2．{|2}=A B x x．3．{(24)}=-，AB ．课堂练习1.3.21．{014579}=，，，，，A B ． 2．{|1}=>AB x x ．课堂练习1.3.31．{359}=，，UA ；{4789}=，，，UB ．2．{|35}=或A x x x．鉴错小能手（1）不正确，此时需要用到的集合运算为补运算； （2）不正确，Q 与R 的交集为Q ；（3）不正确，一个元素不会同时存在于一个集合及其补集中．小试牛刀1.3A 组1．（1）{}数学，{}数学，英语，电路，机械制图，车工工艺； （2）{}|5>x x ，{}|4x x ；（3）∅． 2．{0}=A B ，{02}=，A B ． 3．{|23}=-<A B x x，{|34}=-<AB x x ．4．4355⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，AB ．5．{}|21=-<AB x x ，{}|3=>-A B x x ， {}|2=-A x x，{}|31B x xx =->或． 6．{}|5315=-<<-或UA x x x，{}|5425=-<-<或UB x x x，{}()()|5425=-<-<或U U A B x xx， {}()()|5315=-<<-或U U A B x x x．B 组{}B a d f =，，．本章复习检测百炼成钢A 组1．（1）123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，．（2）{}|5x x ．（3）{}|57x x-．（4）11，8．（5）2231717⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，．2．（1）B ． （2）C ． （3）B ． （4）A ． （5）B ． （6）C ．3．A B 的所有子集：∅，{}2，{}4，{}8，{}24，，{}28，，{}48，，{}248，，；真子集：除{}248，，外，其他子集均为其真子集． 4．2|53⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭AB x x，{}|2=<A B x x ．5．（1）{}42=-，A B ，{}54295=--，，，，A B ；（2）{}51011=-，，UA ，{}951011=，，，UB ．6．{}1517=，，A B ．B 组（1）{}|2=-A x x ，{}|35B x x x=<-或；（2）{}()()|5A B x x=，{}()()|32U U A B x x x=<--或；（3）{}()|32AB x x x =<--或，{}()|5A B x x =．巅峰对决1．2=a ，16=-或b ．2．{}2358=，，，A ，{}13467=，，，，B ．第2章 不等式2.1 不等式的基本性质课堂练习2.1.11．2357<． 2．22<ab a b ．课堂练习2.1.21．不等式的传递性．2．证明：0a b a b >⇒->，又0c >，所以()0->a b c ，于是0->ac bc ，即>ac bc ；0a b a b >⇒->，又0c <，所以()0-<a b c ，于是0-<ac bc ，即<ac bc ．3．（1）5； （2）<；（3）>；（4）>．4．不能，每斤售价至少应为1元．小试牛刀2.1A 组1．（1）<，<； （2）<，>； （3）>，>；（4）<，<，<，<，<，>．2．（1）135x >，应用了不等式的加法性质和乘法性质；（2）2113x -，应用了不等式的加法性质和乘法性质；（3）42x，应用了不等式的乘法性质和加法性质．3．35a =．4．每件至少44.5元。

【课题】5.7 已知三角函数值求角
【教学目标】
知识目标：
（1）掌握利用计算器求角度的方法；
（2）了解已知三角函数值，求指定范围内的角的方法．
能力目标：
（1）会利用计算器求角；
（2）已知三角函数值会求指定范围内的角；
（3）培养使用计算工具的技能．
【教学重点】
已知三角函数值，利用计算器求角；
利用诱导公式求出指定范围内的角．
【教学难点】
已知三角函数值，利用计算器求指定范围内的角．
【教学设计】
（1）精讲已知正弦值求角作为学习突破口；
（2）将余弦、正切的情况作类比让学生小组讨论，独立认知学习；
（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】。