2015年高考模拟试题_山东省济南市部分学校高三上学期期中联考数学(理)卷

2014—2015学年度第一学段自主检测高三数学（科学）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。

3.答卷前将密封线内的项目填写清楚.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.函数y =的定义域是A.[]1,2B.[)1,2C.1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.下列函数中在区间()1,1-上既是奇函数又是增函数的为A.1y x =+B.sin y x =C.22x x y -=+D.ln y x = 3.22log sinlog cos 1212ππ+的值为 A.2- B.1- C.12 D.1 4.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为3π，则a b +等于 A.1D.2 5.若1210sin ,cos a xdx b xdx a b π==⎰⎰，则与的关系是 A.a b < B.a b > C.a b = D.0a b +=6.若变量,x y 满足1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，实数z 是2x 和4y -的等差中项，则z 的最大值等于A.1B.2C.3D.47.函数()sin x x y e e x -=-⋅的图象大致是8. 已知集合{}{}(]21561,M x x x N x a x M N b =++-≤=<<⋂=-，，且则b a -=A.3-B.3C.1-D.7 9.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），满足()()20PB PA PB PA PC -⋅+-=uu r uu r uu r uu r uu u r ，则△ABC 必定是A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形10.已知方程()sin 0x k x=+∞在，有两个不同的解()αβαβ<，，则下面结论正确的是 A.1tan 41πααα+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭ B.1tan 41πααα-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ C.1tan 41πβββ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭ D.1tan 41πβββ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.函数()1,02,0x x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则()()0f f 的值为12.已知幂函数()y f x =的图像经过点1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()()1215gf gf += 13.不等式4x x>的解集为 14.公差不为零的等差数列{}n a 中，237110a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且7712b a b b =g ，则…13b 等于15.对于下列命题：①若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则()0,1a ∈ ②已知函数()2log 1a x f x x-=+为奇函数，则实数a 的值为1； ③设201420142014sin ,cos ,tan 333a b c a b c πππ===<<，则；④△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若2,5,6a b A π===，则ABC ∆有两组解；其中正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量)()22,cos ,1,2cos m x x n x =+=，设函数(),.f x m n x R =⋅∈ （1）求()f x 的最小正周期与最大值；（2）在△ABC 中，,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()4,1,f A b ABC ==∆的面积为a 求的值.17.（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,04f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为3π. （1）若260sin 3125f πααπα⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，，求； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位得到()y g x =的图象，若函数()11036y g x k π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦在，上有零点，求实数k 的取值范围.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为112,22n n n S a a S +==+，且.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的各项均为正数，且n b 是2n n n n a a +与的等比中项，求n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）设函数()()f x x a x b =-+.（1）当2,3a b ==，求函数()y f x =的零点；（2）设2b =-，且对任意[]()1,1,0x f x ∈-<恒成立，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分13分）某种树苗栽种时高度为A （A 为常数）米，栽种n 年后的高度记为()f n .经研究发现()f n 近似地满足()2392n A f n t a bt-==+，其中，,a b 为常数，(),0.n N f A ∈=已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍.（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.21.（本小题满分14分）已知函数()()21,x axf x e xg x x e =--=. （1）求()f x 的最小值；（2）求()g x 的单调区间；（3）当1a =时，对于在()0,1中的任一个常数m ，是否存在正数0x 使得()()002m f x g x >成立？如果存在，求出符合条件的一个0x ；否则说明理由.。

高 三 年 级 考 试数 学 试 题（理科）2014.11一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}213A x x =-≤，集合(){}11B x y g x ==-，则A B ⋂等于A.()1,2B.[]1,2C.(]1,2D.[)1,2 2.如果命题“()p q ⌝∨”为真命题，则A.,p q 均为真命题B.,p q 均为假命题C.,p q 中至少有一个为真命题D.,p q 中一个为真命题，一个为假命题3.设sin31cos58,tan32a b c ===o o o ，，则A.a b c >>B.c b a >>C.c a b >>D.b c a >>4.若点()16,2在函数()log 01a y x a a =>≠且的图象上，则tan3a π的值为A. B.3-5.设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 6.给定函数①12y x =，②()12l o g1y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间()0,1上单调递减的函数序号是A.①②B.②③C.③④D.①④7.设α是第二象限角，(),4P x 为其终边上的一点，且1cos 5x α=，则tan 2α等于 A.247- B.127-C.127D.2478.在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若()21121024n n n n a a a n S n +---+=≥-，则等于A.2-B.0C.1D.29.若函数()()()01x x f x ka a a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是增函数，则函数()()log a g x x k =+的图象是10.已知函数()()()()2210ln 2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是A.(-∞B.⎛-∞ ⎝C.⎛⎝ D.⎛⎝二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11.已知31sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2α= ▲ .12.已知向量a b ，的夹角为45°，且1,2a a b b =-== ▲ .13.由曲线y =，直线2y x y =-及轴所围成的图形的面积为 ▲ .14.数列{}n a 的前n 项和()0.1log 1n S n =+，则101199a a a ++⋅⋅⋅+= ▲ .15.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且在[]()0,2f x =上()1,01s i n ,12x x x x x π⎧-≤≤⎪⎨<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭▲ . 三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点()()()1,42,321A B C --，，，.（I ）求AB AC AB AC ⋅+uuur uuu r uu u r uuu r 及；（II ）设实数t 满足()AB tOC OC -⊥uu u r uu u r uu u r ，求t 的值.17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知24sin 4sin sin 382A B A B AC -+==，，点D 在BC 边上，且12,cos 7BD ADB =∠=.求角C 的大小及边AB 的长.18.（本小题满分12分）已知)()()cos sin ,1,03,a x b x x R ωωω==-<<∈r r ，.函数()f x a b =⋅r r ，若将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，则得到()y g x =的图像，且函数()y g x =为偶函数. （I ）求函数()f x 的解析式及其单调增区间；（II ）若12,2263f απαπ⎛⎫⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin α的值.19.（本小题满分12分）某工厂为提高生产效益，决定对一条生产线进行升级改造，该生产线升级改造后的生产效益y 万元与升级改造的投入()10x x >万元之间满足函数关系：21101ln ln1010050y m x x x =-++（其中m 为常数） 若升级改造投入20万元，可得到生产效益为35.7万元.试求该生产线升级改造后获得的最大利润.（利润=生产效益-投入）（参考数据：ln 20.7,ln5 1.6==）20.（本小题满分13分）已知首项都是1的数列{}{}()*,0,n n n a b b n N ≠∈满足113n n n n na b b a b ++=+（I ）令n n na Cb =，求数列{}nc 的通项公式； （II ）若数列{}n b 为各项均为正数的等比数列，且23264b b b =⋅，求数列{}n a 的前n 项和n S .21.（本小题满分14分）已知函数()ln ,f x a x a R =∈.（I ）若曲线()y f x =与曲线()g x =a 的值；（II ）若对任意[]1,x e ∈，都有()()22f x x a x ≥-++恒成立，求a 的取值范围；（III ）在（I ）的条件下，求证：()112xxe xf x ->-.。

山东省济南市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•济南一模）已知全集∪=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，则A∩B2．（5分）（2013•济南一模）已知复数（i是虚数单位），它的实部和虚部的和是（）解：∵=3．（5分）（2013•济南一模）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均甲、乙和中位数y甲、y乙进行比较，下面结论正确的是（）．甲＞乙，y甲＞y乙．甲＜乙，y甲＜y乙．甲＜乙，y甲＞y乙甲＞乙，y甲＜y乙4．（5分）（2013•济南一模）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小得6．（5分）（2013•济宁一模）函数f（x）=ln（x﹣）的图象是（）．﹣）的定义域，可排除）＞，即＞）的定义域为7．（5分）（2013•济南一模）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）．．．的值，最后输出=故答案为：8．（5分）（2013•济南一模）二项式（﹣）8的展开式中常数项是（）﹣•••﹣•9．（5分）（2013•济南一模）已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（）．．．•，AOC=•=1=10．（5分）（2013•济南一模）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的向左平移向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的向左平移代入（﹣，2x+x+个单位长度，再把所得各11．（5分）（2013•济南一模）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）．．=12．（5分）（2013•济南一模）设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立．＜＜．＜＜．＜＜＜＜∵∴=ln2，∵，，∴，∴，∴∴∵，，∴∴∴∴．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13．（4分）（2013•济南一模）若点A（1，1）在直线mx+ny﹣2=0上，其中，mn＞0，则+的最小值为2．（×=，利∴（×=当且仅当14．（4分）（2013•济南一模）已知抛物线y2=4x的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点，且渐近线方程为y=x，则双曲线方程为x2﹣=1．b=双曲线﹣∴=﹣15．（4分）（2013•济南一模）函数y=sin（x+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB﹣2．T=AB==16．（4分）（2013•济南一模）f（x）=|2x﹣1|，f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n （x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f4（x）的零点个数为8．1|=或=或，，令其等于或，或；或，或，1|=，或；或，或，或；或；或或．三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2013•济南一模）已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，﹣y），且⊥．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．≤≤+）A+A=，由余弦定理可得S=2cosx+22cosx+2x+2=1+cos2x+2x+≤≤+﹣，﹣]））A+）A+=，解得A==18．（12分）（2013•济南一模）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，AB=2CD=2，E、F分别是AB、AP的中点．（1）求证：AC⊥EF；（2）求二面角F﹣OE﹣A的余弦值．AB=2CD=2OE=EA=EB=∴，∴）可知：．的法向量为，，得，令∴可取∴==因此，19．（12分）（2013•济南一模）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}满足b3=3，b5=9．（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设C n=（n∈N*），求证C n+1＜C n．）由∴．，则，解得）可得．∴=c∴．20．（12分）（2013•济南一模）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．[）C（）]，×；=C••=；=C••=﹣﹣=×+3×+4×+5×．21．（13分）（2013•济南一模）已知函数f（x）=xe x．（I）求f（x）的单调区间与极值；（II）是否存在实数a使得对于任意的x1，x2∈（a，+∞），且x1＜x2，恒有成立？若存在，求a的范围，若不存在，说明理由．﹣22．（13分）（2013•济南一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率=，可得，得到，解得椭圆的标准方程为．﹣﹣，∴联立．解得．∴=2时取等号．∴=4=高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801。

高三数学（理）2014.11第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合1{|21,},{|0}3x A x x k k Z B x x +==-∈=≤-，则A B =( ) A ．[]1,3- B ．{}1,3- C ．{}1,1- D ．{}1,1,3- 2、若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b aa b> 3、“直线2()x k k Z π=∈”是“函数()2sin()2f x x π=+图象的对称轴”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1371,6a a a =-+=-，当n S 取得最小值是，n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85、若函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的大致图象如右图所示，则函数()xg x a b =+的大致图象为（ ）6、ABC ∆中，90,2C CA CB ∠===，点M 在边AB 上，且满足3BM MB =，则CM CB ⋅=（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．137、已知函数()222020x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()21f a f a f --≤，则a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[]1,1-D ．[]2,2- 8、已知函数()2cos 2f x x x m =+-在[0,]2π上有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．[)1,2C ．(]1,2-D ．[]1,29、若实数,x y 满足不等式201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，且目标函数2z x y =-的最大值为1，则a =（ ）A ．13 B ．12C ．2D ．3 10、设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()54112012f x x x =- 22x +在()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．31(,)9-∞ B ．31[,5]9C ．(),3-∞D ．(),5-∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

绝密★启用前2015届山东省济南市高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：144分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、在中，是AB 中点，且对于边AB 上任一点P ，恒有，则有 A ．B ．C ．D ．2、下列图象中，可能是函数图象的是3、将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，的表达式可以是（） A ．B ．C ．D ．4、某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于A ．B ．C ．D ．5、在某项测量中，测量结果X 服从正态分布，若X 在（0，8）内取值的概率为0.6，则X 在（0，4）内取值的概率为 A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.66、如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．7、“”是“函数在区间上为减函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件8、已知集合，若，则等于A ．9B ．8C ．7D ．69、已知i 是虚数单位，m 是实数，若是纯虚数，则A ．B ．C ．2D ．10、点A 是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线的准线的距离为p ，则双曲线的离心率等于A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、已知命题：①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的2倍；②命题“”的否定是“”；③在中，若；④在正三棱锥内任取一点P，使得的概率是；⑤若对于任意的恒成立，则实数a的取值范围是.以上命题中正确的是__________（填写所有正确命题的序号）.12、已知圆C过点，且圆心在x轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线l平行的直线方程为________.13、若满足约束条件，若目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为_________.14、曲线和曲线围成的图形的面积是________.15、已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中含项的系数为________.三、解答题（题型注释）16、（本小题满分14分）已知关于x 的函数.（I ）求函数在点处的切线方程；（II ）求函数有极小值，试求a 的取值范围；（III ）若在区间上，函数不出现在直线的上方，试求a 的最大值.17、（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，且过点.（I ）求椭圆的标准方程；（II ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，设，满足.（i ）试证的值为定值，并求出此定值；（ii ）试求四边形ABCD 面积的最大值.18、（本小题满分12分）已知等比数列的前n 项和为，且满足.（I ）求p 的值及数列的通项公式；（II ）若数列满足，求数列的前n 项和.19、（本小题满分12分）在四棱锥，平面ABCD ，PA=2.（I ）设平面平面，求证：；（II ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所成角的正切值为，求的值.20、（本小题满分12分）为了参加市中学生运动会，某校从四支较强的班级篮球队A ，B ，C ，D 中选出12人组成校男子篮球队，队员来源如下表：（I ）从这12名队员中随机选出两名，求两人来自同一个队的概率；（II ）比赛结束后，学校要评选出3名优秀队员（每一个队员等可能被评为优秀队员），设其中来自A 队的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.21、（本小题满分12分）在中，角A ，B ，C 的对边分别为，且成等差数列. （I ）若的值； （II ）设，求t 的最大值.参考答案1、D2、A3、A4、C5、B6、C7、A8、C9、D10、C11、③④⑤12、13、14、15、1016、（Ⅰ）（Ⅱ）（III）的最大值为0．17、（Ⅰ）；（Ⅱ）(i)为定值0；(ii)最大值为4．18、（Ⅰ），；（Ⅱ）．19、（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列略，．21、（1）；（2）．【解析】1、设,,则,,由恒成立，得对于任意恒成立，则,即.考点：平面向量的运算.2、，所以排除选项C,D；在定义域上为增函数，所以选A.考点：函数的图像与性质.3、试题分析：将函数的图象向左平移个单位得考点：三角函数图像平移4、由程序框图，可知：结束循环，输出结果，即输出的值为.考点：程序框图.5、由正态分布，得,,所以X在（0，4）内取值的概率为. 考点：正态分布.6、由三视图可知，该几何体是由一个倒立的圆锥和一个半球组合而成，其中半球和圆锥的底面半径都为3，圆锥的母线长为5，则几何体的表面积为.考点：三视图与组合体的表面积.7、因为函数的对称轴方程为，且开口向上，所以“函数在区间上为减函数”的充要条件是，即，则“”是“函数在区间上为减函数”的的充分不必要条件. 考点：二次函数的单调性、充分条件与必要条件.8、，，若，则，则.考点：集合的运算.9、若为纯虚数，则且，即.考点：复数的概念与运算.10、设点是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，则，得，则则，即，则，即.考点：抛物线与双曲线的性质.11、,所以将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的4倍；故①错误；命题“”的否定是“”，故②错误；在中，若，则，由正弦定理,得,故③正确；在正三棱锥内任取一点P，使得，则,在与底面平行的中截面上，则中截面将正三棱锥的体积分成的两部分，所以所求概率是，即④正确；⑤若对于任意的恒成立，则，即，令，显然在上为减函数，且，即，即实数a的取值范围是，故⑤正确；所以选③④⑤.考点：命题的判定.12、设圆的方程为，因为圆C过点，且直线被该圆所截得的弦长为，所以，解得，即圆心坐标为，则所求直线为，即.考点：直线与圆的位置关系.13、作出可行域如图所示，将化成，当时，仅在点（1，0）处取得最小值，即目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，解得.考点：简单的线性规划.14、作出两曲线与围成的图形（如图所示），则图形的面积.考点：定积分的几何意义.15、令，得，解得；其展开式的通项为，令，得则二项展开式中含项的系数为.考点：二项式系数与各项系数.16、试题分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义进行求解；（Ⅱ）求导，讨论二次方程的二次项系数的符号与两根的大小进行求解；（III）构造函数，将问题转化为不等式恒成立，利用导数求最值即可.试题解析：（Ⅰ）又所以在点P（1,0）处的切线方程为. ４分（Ⅱ）５分令(i)时无解，无极小值；(ii) 时，，所以有两解，且；时，时，此时，无极小值. ７分(iii) 时, 因为,的对称轴为,要使函数有极小值,则即或此时有两解，不妨设设，则时，[来源:]时，此时，有极小值. ９分综上所述，. 10分（Ⅲ）由题意，即11分下证：记则时，时，即 12分(i) 时，(ii) 时，取，则与题意矛盾.故的最大值为0.考点：1.导数的几何意义；2.函数的极值与最值；3.分类讨论思想.17、试题分析：（Ⅰ）利用待定系数法进行求解；（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，整理成关于的一元二次方程，利用得出定值；利用弦长公式求弦长，即三角形的底边，再利用点到直线的距离公式求其高，进而得出面积，理基本不等式求其最值.试题解析：（Ⅰ）由题意，，又，2分解得,椭圆的标准方程为. 4分（Ⅱ）(i) 直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0）时不满足设直线AB的方程为，设联立，得(*)6分7分8分整理得所以为定值0. 10分(ii) 由(i),不妨取,则设原点到直线AB的距离为d，则11分12分当时(满足(*)式)取等号..即四边形ABCD的面积的最大值为4.考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18、试题分析：（Ⅰ）根据求出，再根据等比数列求值；（Ⅱ）先求出，再利用错位相减法进行求和.试题解析：（Ⅰ）由2分，由成等比得，４分（Ⅱ）由可得６分７分９分10分.考点：1.与的关系；2.等比数列；3.错位相减法.19、试题分析：（Ⅰ）利用线面平行的判定定理与性质进行证明；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面平面，因为平面PCD，平面PAB平面PCD=m4分（Ⅱ）设因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系设Q（x，y，z），直线QC与平面PAC所成角为θ.所以，所以即Q(2,0,-2+2) 6分所以7分平面的一个法向量为. 9分，解得∈ 11分所以 = .考点：1.线面平行的判定与性质；2.空间向量在立体几何中的应用.20、试题分析：（Ⅰ）利用组合知识得出随机事件数，利用古典概型概率公式进行求解；（Ⅱ）写出的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式求出每个变量的概率，列表得出分布列，再利用期望公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）从这12名队员中随机选出两名, 两人来自同一个队记作事件A，则 4分（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3．因为８分所以的分布列为：.考点：1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列与数学期望.21、试题分析：（1）利用等差中项和三角形的内角和定理得出角B，再利用余弦定理，得出关于的方程进行求解；（2）将化成的形式，再利用三角函数的图像与性质进行求解.试题解析：（Ⅰ）因为，，成等差数列，因为，所以. 2分∵5分6分（Ⅱ）∵10分∵，.所以当即时，有最大值.考点：1.等差数列；2.正弦定理；3.余弦定理；3.三角恒等变形；4.三角函数的图像与性质.。

页眉内容2015届高三数学模拟测试理 科 数 学第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为3π，则a b +=A.1 D.2 2.已知全集U=R ，集合{}{}2320,0U A x x x B x x a C B A =-+>=-≤⊆，若，则实数a 的取值范围是A.()1-∞，B.(]2-∞，C.[)1+∞，D.[)2+∞， 3.“=2πθ”是“曲线()sin y x θ=+关于y 轴对称”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 4.在等差数列{}()()135792354n a a a a a a ++++=中，，则此数列前10项的和10S =A.45B.60C.75D.905.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递增的是 A.1y x x=+ B.x x y e e -=- C.3y x x =- D.ln y x x = 6.函数()22x f x x =-零点的个数为A.1B.2C.3D.47.下列命题中的假命题是A.0,32x x x ∀>>B.()0,,1xx e x ∀∈+∞>+ C.()0000,,sin x x x ∃∈+∞<D.00,lg 0x R x ∃∈< 8.若实数11.ea dx x=⎰则函数()sin cos f x a x x =+的图象的一条对称轴方程为A.0x =B.34x π=-C.4π- D.54x π=- 9.已知函数()y xf x '=-的图象如图（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中，()y f x =的图象可能是10.直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切时，a=A.1-B.1C.2-D.2 11.对于函数()22cos sin 11212f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列选项中正确的是 A.()42f x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在，内是递增的 B.()f x 的图象关于原点对称C.()f x 的最小正周期为2πD.()f x 的最大值为1 12.定义全集U 的子集P 的特征函数()1,0,p U U x P f x C P x C P∈⎧=⎨∈⎩，这里表示集合P 在全集U的补集.已知,P U Q U ⊆⊆，给出下列命题：①若P Q ⊆，则对于任意()()P Q x U f x f x ∈≤，都有；②对于任意()(),1U p x U fC p x f x ∈=-都有；③对于任意()()(),P Q p Q x U f x f x f x ⋂∈=⋅都有；④对于任意()()(),P Q p Q x U f x f x f x ⋃∈=+都有.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④第II 卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.）13.已知,sin 2cos tan 22R αααα∈+==__________. 14.定义在R 上的函数()()()12,10f x f x f x x -=-≤≤满足若当时，()f x = ()1x x +；则当()01x f x ≤≤=时，______________________.15.正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()22210n n S n n S n n -+--+=，则数列{}n a 的通项公式n a =_________.16.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A,B 满足2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{},0,0,1p op OA OB λμλμλμ=+≥≥+≤所表示区域的面积为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设向量)(),sin ,cos ,sin ,0,2a x x b x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭其中. （I ）若//a b ，求x 的值；（II ）设函数()()(),f x a b b f x =+⋅求的最大值.18.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,,sin sin sin sin cos21,a b c A C B C C ++=且 10.a b +=（I ）求c 的值；（II ）若23B π=，求△ABC 的面积. 19.（本小题满分12分）某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是310041x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元. （I ）要使生产该产品1小时获得的利润不低于1200元，求x 的取值范围；（II ）要使生产120千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,.22n n n a a a n ++== （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设(){}**2,,n n n b n S n N M n b n N λ=-∈=≥∈，若集合恰有4个元素，求实数λ的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()2ln 1x f x a x x a a =+->，其中.（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若方程()0f x m -=在区间[]1,1-上有两个不相等实数根，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分14分）已知()03x a a f x x a->=+，函数. （I ）记()f x 在区间[]0,9上的最大值为()g a ，求()g a 的表达式；（II ）是否存在a ，使函数()y f x =在区间（0，9）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.。

2014-2015学年山东省实验中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）集合A={y∈R|y=2x}，B={﹣1，0，1}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={0，1}B．A∪B=（0，+∞）C．（∁R A）∪B=（﹣∞，0） D．（∁A）∩B={﹣1，0}R2．（5分）“2a＞2b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知α∈（0，π），且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．65．（5分）设函数f（x）=sinxcos2x图象的一个对称轴是（）A．B．x=0 C．D．6．（5分）若方程|x2+4x|=m有实数根，则所有实数根的和可能是（）A．﹣2、﹣4、﹣6 B．﹣4、﹣5、﹣6 C．﹣3、﹣4、﹣5 D．﹣4、﹣6、﹣8 7．（5分）要得到一个奇函数，只需将函数f（x）=sin2x﹣的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位8．（5分）定义在R上的偶函数满足f（+x）=f（﹣x）且f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）的值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣29．（5分）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含60°角的等腰三角形10．（5分）函数f（x）=+的性质：①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为[，+∞）；④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）A．①③B．③④C．②③D．②④二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上. 11．（5分）定积分（2x+e x）dx．12．（5分）如果f（tanx）=sin2x﹣5sinxcosx，那么f（2）=．13．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集为．14．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．15．（5分）设函数f（x）=lnx，有以下4个命题：①对任意的x1、x2∈（0，+∞），有f（）≤；②对任意的x1、x2∈（1，+∞），且x1＜x2，有f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1；③对任意的x1、x2∈（e，+∞），且x1＜x2，有x1f（x2）＜x2f（x1）；④对任意的0＜x1＜x2，总有x0∈（x1，x2），使得f（x0）≤．其中正确的是（填写序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知函数有f（x）=sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）．（1）求f（）及f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在闭区间[﹣，]的最值．17．（12分）设命题p：函数f（x）=x3﹣ax﹣1在区间[﹣1，1]上单调递减；命题q：函数y=ln（x2+ax+1）的值域是R．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．19．（12分）已知数列{a n}满足，a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*）．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（Ⅱ）当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n．20．（13分）已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象关于y轴对称，其图象过点A（0，﹣1），且在x=处有极大值．（1）求f（x）的解析式；（2）对任意的x∈R，不等式f（x）﹣tx2﹣t≤0恒成立，求t的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=在（﹣1，0）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2（1）求实数a的取值范围；（2）证明：f（x2）．2014-2015学年山东省实验中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）集合A={y∈R|y=2x}，B={﹣1，0，1}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={0，1}B．A∪B=（0，+∞）C．（∁R A）∪B=（﹣∞，0） D．（∁A）∩B={﹣1，0}R【解答】解：∵A={y∈R|y=2x}={y∈R|y＞0}，∴C R A={y∈R|y≤0}，又B={﹣1，0，1}，∴（C R A）∩B={﹣1，0}．故选：D．2．（5分）“2a＞2b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2a＞2b得a＞b，由lna＞lnb得a＞b＞0，即“2a＞2b”是“lna＞lnb”的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）已知α∈（0，π），且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，α∈（0，π），∴1+2sinαcosα=，∴sin2α=﹣，且sinα＞0，cosα＜0，∴cosα﹣sinα=﹣=﹣，∴cos2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=﹣．故选：C．4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．又函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2．故选：B．5．（5分）设函数f（x）=sinxcos2x图象的一个对称轴是（）A．B．x=0 C．D．【解答】解：∵f（x）=sinxcos2x，∴f（﹣）=sin（﹣）cos2×（﹣）=1≠f（0）=0，∴函数f（x）=sinxcos2x图象不关于x=﹣对称，排除A；∵f（﹣x）=sin（﹣x）cos2（﹣x）=﹣sinxcos2x=﹣f（x），∴f（x）=sinxcos2x为奇函数，不是偶函数，故不关于直线x=0对称，排除B；又f（）=sin cos（2×）=﹣1≠f（0）=0，故函数f（x）=sinxcos2x图象不关于x=对称，排除C；又f（π﹣x）=sin（π﹣x）cos2（π﹣x）=sinxcos2x=f（x）∴f（x）关于直线x=对称，故D正确．故选：D．6．（5分）若方程|x2+4x|=m有实数根，则所有实数根的和可能是（）A．﹣2、﹣4、﹣6 B．﹣4、﹣5、﹣6 C．﹣3、﹣4、﹣5 D．﹣4、﹣6、﹣8【解答】解：函数y=|x2+4x|由函数y=x2+4x的图象纵向对折变换所得：如下图所示：由图可得：函数y=|x2+4x|的图象关于直线x=﹣2对称，则方程|x2+4x|=m的实根也关于直线x=﹣2对称，当m＜0时，方程|x2+4x|=m无实根，当m=0或m＞4时，方程|x2+4x|=m有两个实根，它们的和为﹣4，当0＜m＜4时，方程|x2+4x|=m有四个实根，它们的和为﹣8，当m=4时，方程|x2+4x|=m有三个实根，它们的和为﹣6，故选：D．7．（5分）要得到一个奇函数，只需将函数f（x）=sin2x﹣的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），函数的图象向左平移t个单位得到：g（x）=2sin（2x+2t﹣），由于所得图象对应的函数为奇函数，令：2t﹣=kπ（k∈Z），解得：t=+，当k=0时，t的最小值为：，即向左平移个单位，故选：A．8．（5分）定义在R上的偶函数满足f（+x）=f（﹣x）且f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）的值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【解答】解：∵定义在R上的偶函数满足f（+x）=f（﹣x），∴函数f（x）是周期为3的函数；又∵f（﹣1）=1，∴f（1）=1；∴f（2）=f（﹣1）=1，f（3）=f（0）=﹣2；故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=671（f（1）+f（2）+f（3））+f（1）=671×（1+1﹣2）+1=1；故选：B．9．（5分）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含60°角的等腰三角形【解答】解：∵sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A﹣B）=1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB=1，∴sin（A+B）=1，∴A+B=90°，∴△ABC是直角三角形．故选：B．10．（5分）函数f（x）=+的性质：①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为[，+∞）；④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）A．①③B．③④C．②③D．②④【解答】解：①因为f（﹣x）=+≠﹣f（x），所以函数不是奇函数，所以图象关于原点不对称，所以错误．②因为f（3﹣x）=+=+，所以f （x）的图象关于x=对称，所以②正确．③由题意值f（x）≥f（），而f（）=+=，所以f（x）≥，即函数f（x）的值域为[，+∞），正确．④设f（x）=t，则方程f[f（x）]=1+，等价为f（t）=1+，即t=0，或t=3．因为函数f（x）≥，所以当t=0或t=3时，不成立，所以方程无解，所以④错误．故正确的说法为：②③故选：C．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上. 11．（5分）定积分（2x+e x）dx e．【解答】解：（2x+e x）dx=（x2+e x）=1+e﹣1=e．故答案为：e．12．（5分）如果f（tanx）=sin2x﹣5sinxcosx，那么f（2）=﹣．【解答】解：f（tanx）=sin2x﹣5sinxcosx==，令tanx=2，得f（2）==﹣．故答案为：﹣．13．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集为（，e）．【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式f（lnx）＜f（1）即为F|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故答案为：（，e）．14．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：1515．（5分）设函数f（x）=lnx，有以下4个命题：①对任意的x1、x2∈（0，+∞），有f（）≤；②对任意的x1、x2∈（1，+∞），且x1＜x2，有f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1；③对任意的x1、x2∈（e，+∞），且x1＜x2，有x1f（x2）＜x2f（x1）；④对任意的0＜x1＜x2，总有x0∈（x1，x2），使得f（x0）≤．其中正确的是②③（填写序号）．【解答】解：f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函数，对于①，由f（）=，=，∵，∴f（）≥，命题①错误；对于②，设函数g（x）=x﹣lnx（x＞1），，∴g（x）=x﹣lnx在（1，+∞）上为增函数，∵x1＜x2，则有x2﹣lnx2＞x1﹣lnx1，即f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1，命题②正确；对于③，令函数t（x）=（x＞e），＜0，∴t（x）为（e，+∞）上的减函数，由x2＞x1＞e，得，即x1f（x2）＜x2f（x1），命题③正确；对于④，令e=x1＜x2=e2，得==＜1，∵x0∈（x1，x2），∴f（x0）＞f（x1）=1，不满足f（x0）≤，命题④错误．故答案为②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知函数有f（x）=sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）．（1）求f（）及f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在闭区间[﹣，]的最值．【解答】解：f（x）=sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）===sin（2x+）．（1）．由，解得：．∴f（x）的单调递增区间为；（2）∵x∈[﹣，]，∴，则sin（2x+）∈．∴f（x）的最小值为﹣，最大值为1．17．（12分）设命题p：函数f（x）=x3﹣ax﹣1在区间[﹣1，1]上单调递减；命题q：函数y=ln（x2+ax+1）的值域是R．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．【解答】解：p为真命题⇔f'（x）=3x2﹣a≤0在[﹣1，1]上恒成立⇔a≥3x2在[﹣1，1]上恒成立⇔a≥3q为真命题⇔△=a2﹣4≥0恒成立⇔a≤﹣2或a≥2由题意P和q有且只有一个是真命题p真q假⇔⇔a∈ϕ，p假q真⇔⇔a≤﹣2或2≤a＜3综上所述：a∈（﹣∞，﹣2]∪[2，3）18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，，，，，求得此时当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积19．（12分）已知数列{a n}满足，a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*）．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（Ⅱ）当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）若数列{a n}是等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd．由a n+a n=4n﹣3，得（a1+nd）+[a1+（n﹣1）d]=4n﹣3，即2d=4，2a1﹣d=﹣3，+1解得，．…（7分）（2）①当n为奇数时，=a 1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n+a n）==…（11分）﹣1②当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+…+a n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）=1+9+…+（4n﹣7）=．（14分）20．（13分）已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象关于y轴对称，其图象过点A（0，﹣1），且在x=处有极大值．（1）求f（x）的解析式；（2）对任意的x∈R，不等式f（x）﹣tx2﹣t≤0恒成立，求t的取值范围．【解答】解：∵f（x）关于y轴对称，∴f（x）为偶函数，即f（x）=f（﹣x），∴a（﹣x）4+b（﹣x）3+c（﹣x）2+d（﹣x）+e=ax4+bx3+ax2+dx+e得b=d=0，图象过A（0，﹣1）得e=﹣1，∴f（x）=ax4+cx2﹣1又f（x）在x=处有极大值，∴且，解得a=﹣2，c=3，∴f（x）=﹣2x4+3x2﹣1；（2）∵f（x）≤t（x2+1），∴=∵，当且仅当即的取等号，∴t 的取值范围为[7﹣4，+∞）．21．（14分）已知函数f （x ）=在（﹣1，0）上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2（1）求实数a 的取值范围； （2）证明：f （x 2）．【解答】（1）解：∵f （x ）=，∴f′（x ）=2x 2+2x +a ，由题意知方程2x 2+2x +a=0在（﹣1，0）上有两不等实根， 设g （x ）=2x 2+2x +a ，其图象的对称轴为直线x=﹣，故有，解得0＜a ＜…（6分）（2）证明：由题意知x 2是方程2x 2+2x +a=0的大根，从而x 2∈（﹣，0）， 由于0＜a ＜，∴ax 2＞x 2，∴f （x 2）=x 23+x 22+ax 2+1＞x 23+x 22+x 2+1， 设h （x ）=x 3+x 2+x +1，x ∈（﹣，0）， h′（x ）==2（x +）2＞0∴h （x ）在（﹣，0）递增， ∴h （x ）＞h （﹣）=，即f （x 2）成立…（13分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

山东省临沂市2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＞0}，则∁U（A∪B）=（）A．{x|x≤2}B．{x|x≥1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=（x﹣1）2B．y=2﹣x C．y=|lnx| D．y=3．（5分）已知命题p：2≤2；q：是有理数，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）等于（）A．2x+1 B．2x﹣1 C．2x﹣3 D．2x+75．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，=，=，则=（）A．B．C．D．6．（5分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（5分）已知角α的终边经过点（3，﹣4），则tan=（）A．﹣B．﹣C．2 D．38．（5分）给出下列四个结论：①函数f（x）=|log2x|是偶函数；②若9a=9，log3x=a，则x=；③若∀x∈R，e x≥x+1，则￢p：∀x0∈R，e x≤x+1；④“x＞3”是“|x﹣2＞1|”的充分不必要条件，其中不正确的结论的个数是（）A．0 B．1 C．3 D．39．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=10．（5分）设f（x）=2x﹣2﹣x．若当时，恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2]∪现有以下四个函数：①f（x）=x2，x∈（0，+∞）；②f（x）=e x；③f（x）=lnx；④f（x）=cosx则具有性质P的为（把所有符合条件的函数编号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）﹣sin（2x﹣π）．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=，2cosC=sinB．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．18．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．19．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n=n2cos（n∈N*），其前n项和为S n．（1）求a3n﹣2+a3n﹣1及S3n的表达式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）根据统计资料，某工厂的日产量不超过20万件，每日次品率P与日产量x（万件）之间近似地满足关系式p=，已知每生产1件正品可盈利2元，而生产1件次品亏损1元，（该工厂的日利润y=日正品盈利额﹣日次品亏损额）．（1）将该过程日利润y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当该工厂日产量为多少万件时日利润最大？最大日利润是多少元？21．（14分）设函数f（x）=．（1）若函数f（x）在区间（t，t+）上存在极值，求实数t的取值范围；（2）若对任意的x1，x2，当x1＞x2≥e时，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数m，n（m＜n），当x∈时f（x）的值域为？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．山东省临沂市2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＞0}，则∁U（A∪B）=（）A．{x|x≤2}B．{x|x≥1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，根据全集U=R求出B的补集，找出A与B并集的补集的并集即可．解答：解：由B中不等式解得：x2﹣2x＞0，得到B={x|x＞2或x＜0}，∵全集U=R，∴A∪B={x|x＞1或x＜0}，∴∁U（A∪B）={x|0≤x≤1}故选：C．点评：此题考查了并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=（x﹣1）2B．y=2﹣x C．y=|lnx| D．y=考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的单调性特征，确定各个函数的单调区间，选出正确选项，得到本题结论．解答：解：选项A，y=（x﹣1）2在（﹣∞，1）上单调递减，在考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：容易判断出p为真命题，q为假命题，所以根据p∧q，￢p，￢q真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．解答：解：命题p是真命题，q是假命题；∴p∧q为假命题，￢q为真命题，p∧￢q为真命题，￢p为假命题，￢p∧q为假命题，￢p∧￢q为假命题；∴B正确．故选B．点评：考查对有理数集的认识，真假命题的概念，以及p∧q，￢p，￢q真假和p，q真假的关系．4．（5分）已知f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）等于（）A．2x+1 B．2x﹣1 C．2x﹣3 D．2x+7考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：先根据f（x）的解析式求出g（x+2）的解析式，再用x代替g（x+2）中的x+2，即可得到g（x）的解析式．解答：解：∵f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），∴g（x+2）=2x+3=2（x+2）﹣1，∴g（x）=2x+3=2x﹣1故选B点评：本题主要考查了由f（x）与一次函数的复合函数的解析式求f（x）的解析式，关键是在g（x+2）中凑出x+2，再用x代替x+2即可．5．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，=，=，则=（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：连结CD、OD，由圆的性质与等腰三角形的性质，证出CD∥AB且AC∥DO，得到四边形ACDO为平行四边形，再根据题设条件即可得到用表示向量的式子．解答：解：连结CD、OD，∵点C、D是半圆弧AB的两个三等分点，∴=，可得CD∥AB，∠CAD=∠DAB=×90°=30°，∵OA=OD∴∠ADO=∠DAO=30°，由此可得∠CAD=∠D AO=30°，∴AC∥DO．∴四边形ACDO为平行四边形，∴=+=+，故选：A点评：本题给出半圆弧的三等分点，求向量的线性表示式．着重考查了圆周角定理、平行四边形的判定与向量的线性运算等知识，属于中档题．6．（5分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先根据x与零的关系对解析式进行化简，并用分段函数表示，根据a的范围和指数函数的图形选出答案．解答：解：当x＞0时，y==a x，因为0＜a＜1，所以函数为减函数，当x＜0时，y==﹣a x，因为0＜a＜1，所以函数为增函数，只有D符合，故选：D点评：本题考查函数的图象，函数是高中数学的主干知识，是2015届高考的重点和热点，属于基础题．7．（5分）已知角α的终边经过点（3，﹣4），则tan=（）A．﹣B．﹣C．2 D．3考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用任意角的三角函数的定义先求出tanα，由二倍角的公式可求出tan的值．解答：解：角α的终边上的点P（3，﹣4），故为第2或第4象限角．由任意角的三角函数的定义得 tanα=．故有=，解得tan=﹣或2（舍去）故选：B．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，考查计算能力．8．（5分）给出下列四个结论：①函数f（x）=|log2x|是偶函数；②若9a=9，log3x=a，则x=；③若∀x∈R，e x≥x+1，则￢p：∀x0∈R，e x≤x+1；④“x＞3”是“|x﹣2＞1|”的充分不必要条件，其中不正确的结论的个数是（）A．0 B．1 C．3 D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：①，可求得函数f（x）=|log2x|的定义域，是否关于原点对称可判断①；②，依题意，可求得a=1，继而可求得x的值，从而可判断②；③，写出命题p的否定，可判断③；④，利用充分必要条件的概念可判断④．解答：解：①，∵函数f（x）=|log2x|的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是偶函数，故①错误；②，若9a=9，则a=1，∵log3x=a=1，则x=3≠，故②错误；③，若∀x∈R，e x≥x+1，则￢p：∀x0∈R，e x＜x+1，故③错误；④，若x＞3，则|x﹣2|=x﹣2＞1，充分性成立；反之，若|x﹣2|＞1，则x＞3或x＜1，即必要性不成立，∴“x＞3”是“|x﹣2|＞1”的充分不必要条件，故④正确．故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性及函数的求值，突出考查命题的否定及充分必要条件的概念，属于中档题．9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：利用f（x）dx=0求出φ值，然后找出使f（x）取得最值的x即可．解答：解：因为f（x）dx=0，即且sin（x﹣φ）dx=0，所以﹣cos（x﹣φ）|=﹣cos（﹣φ）+cosφ=0，所以sin（φ﹣）=0，解得φ=+kπ，k∈Z；所以f（x）=sin（x﹣﹣kπ），所以函数f（x）的图象的对称轴是x﹣﹣kπ=k′π±，所以其中一条对称轴为x=；故选A．点评：本题考查了定积分的计算以及三角函数的对称轴的求法，只要使三角函数取得最值的自变量的值，就是三角函数的一条对称轴．10．（5分）设f（x）=2x﹣2﹣x．若当时，恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2]∪又易知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，所以可化为f（）＞﹣f（m2﹣3）=f （3﹣m2），也即m﹣＞3﹣m2，即在当时恒成立，当时，cosθ∈考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先根据三角形的面积公式求出T和ω的值，进一步求出A的值，最后利用C（，0），求出φ的值，进一步确定函数的解析式．解答：解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图，B 为图象的最高点，C、D为图象与x轴的交点，△BCD为正三角形，且S△BCD=4，设等边三角形的边长为x，则：利用三角形的面积公式：，解得：x=4，所以：T=8，，B的纵坐标为函数的最大值：A=，当x=，故函数的解析式：．点评：本题考查的知识要点：利用函数的图象求函数的解析式，主要确定A，ω和φ的值．14．（5分）已知二次不等式ax2+2x+b＞0的解集{x|x}，且a＞b，则的最小值为2．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由二次不等式和二次方程的根的关系可得ab=1，而要求的式子可化为：（a﹣b）+，由基本不等式求最值可得结果．解答：解：∵二次不等式ax2+2x+b＞0的解集{x|x}，∴a＞0，且对应方程有两个相等的实根为由根与系数的故关系可得，即ab=1故==（a﹣b）+，∵a＞b，∴a﹣b＞0，由基本不等式可得（a﹣b）+≥2=2，当且仅当a﹣b=时取等号故的最小值为：2故答案为：2点评：本题为基本不等式求最小值，涉及不等式的解集跟对应方程根的关系，把要求的式子化简成可利用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．15．（5分）记函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足：（1）∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，＞0；（2）∀x∈D，f（x+2）﹣f（x+1）≥f（x+1）﹣f（x），则称函数f（x）具有性质P．现有以下四个函数：①f（x）=x2，x∈（0，+∞）；②f（x）=e x；③f（x）=lnx；④f（x）=cosx则具有性质P的为①②（把所有符合条件的函数编号都填上）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，在同一直角坐标系中，分别作出①f（x）=x2，x∈（0，+∞）；②f（x）=e x；③f（x）=lnx；④f（x）=cosx的图象，即可得到答案．解答：解：由（1）知函数f（x）为定义域D上的增函数；由（2）知，f（x+2）+f（x）≥2f（x+1），即≥f（x+1）；在同一直角坐标系中，分别作出①f（x）=x2，x∈（0，+∞）；②f（x）=e x；③f（x）=lnx；④f（x）=cosx的图象，由图可知，具有性质P的为①②．故答案为：①②．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查基本初等函数的单调性与凸性，作图是关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）﹣sin（2x﹣π）．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式化简解析式，再由正弦函数的增区间求出f（x）的增区间；（2）根据图象的平移法则求出g（x）的解析式，由x的范围求得，再由正弦函数得性质求出g（x）的最值．解答：解：（1）由题意得，f（x）=2sin（x+）cos（x+）﹣sin（2x﹣π）=sin2（x+）+sin2x==，由得，，所以f（x）的单调增区间是；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）==，由0≤x≤得，，当时，即x=0时，g（x）取最小值是，当时，即x=时，g（x）取最大值是2所以函数g（x）在区间上的最大值和最小值是2、．点评：本题考查二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质的综合应用，属于中档题．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=，2cosC=sinB．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）首先利用同角三角函数的值求出正弦和余弦的值，进一步求出正切值．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论结合正弦定理求出三角形的面积．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=，所以：sinA=，由于：2cosC=sinBsin（A+C），2cosC=sinAcosC+cosAsinC，解得：tanC=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：tanC=2，所以：sinC=，cosC=，由正弦定理得：，解得：c=，由于：2cosC=sinB，sinB=，×点评：本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等关系式，利用正弦定理求三角形的面积．18．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．考点：平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．点评：本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，19．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n=n2cos（n∈N*），其前n项和为S n．（1）求a3n﹣2+a3n﹣1及S3n的表达式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据题意和诱导公式分别求出a3n﹣2、a3n﹣1和a3n，再求出一个周期的和：a3n﹣2+a3n﹣1+a3n的值，利用分组求和法求出S3n的表达式；（2）由（1）和题意求出数列{b n}的通项公式，利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和．解答：解：（1）由题意得，a n=n2cos（n∈N*），所以a3n﹣2===，a3n﹣1==a3n==9n2，则a3n﹣2+a3n﹣1+a3n==，所以S3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）=（）+（）+…+（）=9（1+2+…+n）﹣==，（2）由（1）得，==，则T n=+①，T n=②，①﹣②得，T n=+===，所以T n=．点评：本题考查诱导公式的应用，等差、等比数列的前n项和公式，以及数列的前n项和的求法：错位相减法、分组求和法的合理运用，以及余弦函数周期性的应用．20．（13分）根据统计资料，某工厂的日产量不超过20万件，每日次品率P与日产量x（万件）之间近似地满足关系式p=，已知每生产1件正品可盈利2元，而生产1件次品亏损1元，（该工厂的日利润y=日正品盈利额﹣日次品亏损额）．（1）将该过程日利润y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当该工厂日产量为多少万件时日利润最大？最大日利润是多少元？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；分段函数的应用．专题：导数的综合应用．分析：本题（1）根据题中的数量关系构造日利润y（万元）表示为日产量x（万件）的分段函数，得到本题结论；（2）利用导函数得到原函数的单调区间，从而研究函数的最值，得到本题结论．解答：解：（1）由题意知：当0＜x≤12时，y=2x（1﹣p）﹣px，∴=，当12＜x≤20时，y=2x（1﹣p）﹣px，=2x（1﹣）﹣=．∴．（2）①当0＜x≤12时，，当0＜x＜10时，y′＞0，当10＜x≤12时，y′＜0．当x=10时，y′=0，∴当x=10时，y取极大值．②当12＜x≤20时，y=≤10，∴当x=20时，y取最大值10．∵，∴由①②知：当x=10时，y取最大值．∴该工厂日产量为10万件时，该最大日利润是万元．点评：本题考查了实际问题的数学建模，还考查了用导函数研究函数的最值，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度适中，属于中档题．21．（14分）设函数f（x）=．（1）若函数f（x）在区间（t，t+）上存在极值，求实数t的取值范围；（2）若对任意的x1，x2，当x1＞x2≥e时，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数m，n（m＜n），当x∈时f（x）的值域为？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可得函数f（x）在区间（t，t+）上存在极值，即f′（x）=0在（t，t+）上有实数解，利用导数解得即可；（2）由（1）可得f（x）在时f（x）的值域为．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，综合性、逻辑性强，属于难题．。

山东师大附中2015届高三第一次模拟考试试题数学（理工农医类）2014.9【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，试题图文并茂，文字阐述清晰，图形设计简明，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.设全集{}1,2,3,4,0U =----，集合{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，则()U C A B ⋂=A.{}0B.{}3,4--C.{}1,2--D. φ【知识点】集合.A1【答案解析】B 解析：解：因为{}(){}3,43,4U U C A C A B =--∴⋂=--所以B 为正确选项.【思路点拨】根据交集的概念可以直接求出交集.【题文】2.已知()2,f x x i =是虚数单位，则在复平面中复数()13f i i++对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【知识点】复数的基本概念与运算.L4 【答案解析】A 解析：解：由题可知()()()222211231222613333331055f i i i i i i ii i i i i i i ++-+++======+++++-，所以复数表示的点为13,55⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限，所以A 正确. 【思路点拨】根据复数的概念进行运算，分母实数化，然后找到对应点.【题文】3.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<= A.12p + B.1p - C.12p - D.12p - 【知识点】正态分布.I3【答案解析】D 解析：解：由正太分布的概念可知，当()1P p ξ>=时，()1012P p ξ<<=-，而正太分布的图像关于y 轴对称，所以()()110012P P p ξξ-<<=<<=-，所以D 为正确选项.【思路点拨】根据正态分布的对称关系可直接求解. 【题文】4.设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件；必要条件.A2【题文】5.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则；③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2D.3【知识点】直线与平面的位置关系.G4,G5【答案解析】D 解析：解：由直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系可知，①②③ 正确，④不正确.【思路点拨】由空间中的位置关系及判定定理，性质定理可直接得到. 【题文】6.要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向右平移4π个单位长度【知识点】三角函数的图像与性质.C3【答案解析】C 解析：解：因为()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移4π个单位可得，sin 2sin 2cos 2443323g x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以C 选项正确.【思路点拨】由三角函数的图像与性质可对三角函数进行移动.【题文】7.已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是A.⎡⎢⎣B.⎢⎣ C .⎛ ⎝D.(【知识点】直线与双曲线.H8【答案解析】A 解析：解： 由题可知满足条件的直线即过右焦点且斜率在两条渐近线之间的直线，由条件可知渐近线为b y x x a =±=，再分析可得，与右支只有一个交点的直线斜率应该在⎡⎢⎣范围内，所以A 正确.【思路点拨】由双曲线的渐近线及图像可知只有一个交点的情况.【题文】8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 A.360 B.520 C.600 D.720 【知识点】排列组合.J2【答案解析】C 解析：解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C 21•C 53•A 44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C 22•C 52•A 44=240种情况，其中甲乙相邻的有C 22•C 52•A 33•A 22=120种情况； 则不同的发言顺序种数480+240-120=600种， 故选C ．【思路点拨】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【题文】9.设函数()2,0,2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若()()()40,22f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为A.4B.3C.2D.1【知识点】分段函数；方程根的个数.B1,B9【答案解析】B 解析：解：因为 ()()()40,22f f f -=-=-所以2y x bx c =++的对称轴为242bx b a=-=-∴=，()22f -=-2c ∴=，()()242,01,2,22,0x x x f x f x x x x x x ⎧++≤∴=∴=⇒=-=-=⎨>⎩所以方程有3个根，所以B 正确.【思路点拨】根据条件求出函数，然后求方程的根.【题文】10.已知向量OA OB uu r uu u r与的夹角为()2,1,,1,OA OB OP tOA OQ t OB PQ θ====-uu r uu u r uu u r uu r uuu r uu u r uu u r ， 0t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为 A.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B.,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D.20,3π⎛⎫⎪⎝⎭【知识点】向量.F2,F3【答案解析】C 解析：解：由题意得()21cos 2cos ,1OA OB PQ OQ OP t OB tOAθθ⋅=⨯⨯==-=--()()222222121PQ PQ t OB t OA t t OA OB ∴==----⋅ =（1-t ）2+4t 2-4t（1-t ）cos θ=（5+4cos θ）t 2+（-2-4cos θ）t+1 由二次函数知当上式取最小值时，012cos 54cos t θθ+=+，由题意可得12cos 1054cos 5θθ+<<+解得1cos 02θ-<<223ππθ∴<<，所以C 正确.【思路点拨】根据向量的概念及运算可转化为二次函数问题，再根据三角函数值求角.第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分..【题文】11.若13x x k ++->对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围为_________. 【知识点】绝对值不等式.E2【答案解析】(),4-∞ 解析：解： 由绝对值不等式可知131344x x x x k ++-=++-≥∴<时，不等式对于任意实数恒成立.【思路点拨】绝对值不等式的解法. 【题文】12.如图给出的是计算11112462014+++⋅⋅⋅+的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_______.【知识点】程序框图.L112014++；111462014++++比较即【题文】13.已知圆C过点()1,0-，且圆心在x轴的负半轴上，直线:1l y x=+被该圆所截得的弦长为C的标准方程为________________.］【知识点】圆的标准方程.H3【答案解析】()2234x y++=解析：解：设圆心(),0C x，则圆的半径1r BC x==+，所以圆心到直线的距离CD=AB=，则1r x==+整理得：x=2（不合题意，舍去）或x=-3，∴圆心C（-3，0），半径为2，则圆C方程为()2234x y++=．故答案为：()2234x y++=【思路点拨】根据题意设圆心C坐标为（x，0），根据圆C过（-1，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆C的标准方程即可．【题文】14.定义：{},min,,a a ba bb a b≤⎧=⎨>⎩，在区域026xy≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(){}22,min2,42p x y x y x x y x y x x y++++=++，则、满足的概率为__________. 【知识点】概率.E1的事件A={（x ，y ）|0≤x ≤2，0≤y ≤6，x 2+x+2y ≤x+y+4}，即A={（x ，y ）|0≤x ≤2，0≤y ≤6，y ≤4-x 2}，()232211644|0033A S x dx x x ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭⎰,所以由几何概型公式得到1643269P ==⨯【思路点拨】由题意可作图计算出概率的值. 【题文】15.已知2280,02y x x y m m x y>>+>+，若恒成立，则实数m 的取值范围是_______.【知识点】基本不等式.E1【答案解析】-4＜m ＜280,0xy>>，288y x x y +≥=即2y x +282xm m y+>+恒成立，必有m 2+2m ＜8恒成立，m 2+2m ＜8⇔m 2+2m-8＜0， 解可得，-4＜m ＜2，故答案为-4＜m ＜2． 三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且22212a cb ac +-=..（I ）求2sin cos 22A CB ++的值； （II ）若2b =∆，求ABC 面积的最大值. 【知识点】解三角形.C8 【答案解析】(I) 21sincos 224A C B +∴+=-(II) 315解析：解：(I)在ABC 中，由余弦定理可知，2222cos a c b ac B +-=，由题意知22212a c b ac +-=1cos 4B ∴=，又在 ABC 中A B C π++=2222cos 1sin cos 2sin cos 2cos cos 22cos 22222A CB B B B B B B π+-+=+=+=+-又1cos 4B =21sin cos 224A CB +∴+=- （Ⅱ）∵b =2 ，∴由ac b c a 21222=-+可知，ac c a 21422=-+， 即4221-≥ac ac ，∴38≤ac ，……………………8分 ∵41cos =B ，∴415sin =B ………………10分∴3154153821sin 21=⋅⋅≤⋅=∆B ac S ABC . ∴△ABC 面积的最大值为315．…………………………12 【思路点拨】由余弦定理可求出角B 的值，再计算所求的值，再由公式求出面积. 【题文】17.（本小题满分12分）如图，在七面体ABCDMN 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且21.MD NB MB ND P ==，，与交于点 （I ）在棱AB 上找一点Q ，使QP//平面AMD ，并给出证明； （II ）求平面BNC 与平面MNC 所成锐二面角的余弦值. 【知识点】直线与平面的位置关系；二面角.G3,G10 【答案解析】(I)略(II) 121242cos 323n n n n θ⋅===⨯⋅解析：解：证明：∵MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，∴MD//NB ，…………2分 ∴12BP NB PM MD ==，又12QB QA =，∴QB NB QA MD=，…………4分 ∴在MAB 中，OP//AM ，又OP ⊄面AMD ，AM ⊂面AMD ，∴OP // 面AMD.…………６分（Ⅱ）解：以DA 、DC 、DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0,0,0），B （2,2,0），C （0,2,0），M （0,0,2）N （2,2,1），∴CM =（0,-2,2），CN =（2,0,1），DC =（0,2,0），………………7分设平面CMN 的法向量为1n =（x,y,z ）则1100n CM n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22020y x x z -+=⎧⎨+=⎩，∴1n =（1,-2,-2）.………………9分又NB ⊥平面ABCD ，∴NB ⊥DC ，BC ⊥DC ，∴DC ⊥平面BNC ，∴平面BNC 的法向量为2n =DC =（0,2,0），………………11分 设所求锐二面角为θ，则121242cos 323n n n n θ⋅===⨯⋅.………………12分 【思路点拨】由已知条件可证明直线与平面的位置关系；再利用向量法求出二面角的余弦值. 【题文】18.（本小题满分12分） 某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432555、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。

1. 设集合{}1|(),|12x M y y N y y ⎧⎫===≥⎨⎬⎩⎭，则集合M ，N 的关系为A.M N =B.M N ⊆C.N M ≠⊂ D.N M ≠⊃2.下列各式中错误的是 A ． 330.80.7> B ． 0..50..5log 0.4log 0.6> C ． 0.10.10.750.75-< D ． lg1.6lg1.4>3.已知向量a =(1,2)-，b =(,2)x ，若a ⊥b ，则||b =A B ．C ．5D ．204.若点),4(a 在21x y =的图像上，则π6tan a的值为A. 0B.33C. 1D. 3 5."6"πα=是"212cos "=α的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.函数()xx x f 2log 12-=定义域为 A. ()+∞,0 B. ()+∞,1 C. ()1,0 D. ()()+∞,11,07. 在△ABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边长为（ ） A ．46 B ．322 C ．362 D ． 42 8. 命题“∈∃x R ，0123=+-x x ”的否定是 A ．,x R ∃∈0123≠+-x x B ．不存在,x R ∈0123≠+-x x C ．,x R ∀∈ 0123=+-x xD ．,x R ∀∈ 0123≠+-x x9.要得到函数的图像，只需将函数的图像A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位10. 函数的一个零点落在下列哪个区;间A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)11. 等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，使得0n a >的最小正整数n 为A ．7B ．8C ．9D ．1012.函数⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 4cos 4sin 2ππ图象的一条对称轴是A ．8π=x B. 4π=x C. 2π=x D. π=x13. 已知{}n a 等比数列，2512,,4a a ==则12231n n a a a a a a ++++=A ．()1614n --B ．()1612n -- C ．()32143n -- D ．()32123n -- 14.若实数,a b 满足2,a b +=则33a b +的最小值是A. 18B.6C.15. 在数列{}n a 中，13a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．3ln n +B ．3(1)ln n n +-C ．3ln n n +D ．1ln n n ++18. 已知函数(1)f x +是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数1x 、2x ，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则不等式(1)0f x -<的解集为（ ） A ．()1,+∞ B ．(),0-∞ C ．()0,+∞ D ．(),1-∞ 二、填空题(54)⨯分19. ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么A 等于20. 已知sin π 0()(-1)+1 >0x x f x f x x ≤⎧=⎨⎩，则5()6f 的值为21. 若曲线x y ln =的一条切线与直线y x =-垂直，则该切线方程为 22.1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-+三、解答题23. (12)分 已知向量()()2sin ,cos m x x π=--，3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎭，函数()1f x m n =-⋅．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；24. (14)分 已知数列{}n a ，当2≥n 时满足n n n a a S -=--11，（1）求该数列的通项公式；（2）令n n a n b )1(+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．25. (14)分设函数,)(x xe x f =.)(2x ax x g +=(I) 若)(x f 与)(x g 具有完全相同的单调区间，求a 的值； (II)若当0≥x 时恒有),()(x g x f ≥求a 的取值范围.高三数学试题（理科）答案一、选择题DCBDA DCDDB BBCBA DCB 二、填空题 3π 12 10x y --= 31n n + 三、解答题24. 解：（1）当2≥n 时，n n n a a S -=--11，则111n n n S a a ++-=-，作差得：1112n n n n a a a a +-+=-+，112n n a a -∴=. 又212121211112S a a a a a a a -=---=-⇒=即，知0n a ≠，112n n a a -∴=， ∴{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列， 1111222n n n a -∴=⋅=（）.（2）由（1）得：12n n n b +=，1231234122222n n n n n T -+∴=+++++，234112*********n n n n n T ++∴=++++++ 23411111111222222n n n n T ++∴=+++++-， 111111334221122212n n n n n ++-⋅++=+-=--， 332n n n T +∴=-.25. 解：（I ）()(1)x x x f x e xe x e '=+=+， 当1-<x 时，()0,f x '<)(x f 在)1,(--∞内单调递减；当1->x 时，,0)(/>x f)(x f 在),1(+∞-内单调递增.又,12)(/+=ax x g 由012)1(/=+-=-a g 得21=a . 此时21)1(2121)(22-+=+=x x x x g ， 显然)(x g 在)1,(--∞内单调递减，在),1(+∞-内单调递增，故21=a . (II)由)()(x g x f ≥，得0)1()()(≥--=-ax e x x g x f x . 令1)(--=ax e x F x ，则a e x F x -=)(/.0≥x ，()1x F x e a a '∴=-≥-.若1≤a ，则当)0(∞+∈x 时，0)(/>x F ，)(x F 为增函数，而0)0(=F ， 从而当0)(,0≥≥x F x ，即)()(x g x f ≥；若1>a ，则当)ln ,0(a x ∈时，0)(/<x F ，)(x F 为减函数，而0)0(=F ， 从而当)ln ,0(a x ∈时0)(<x F ，即)()(x g x f <，则)()(x g x f ≥不成立. 综上，a 的取值范围为]1,(-∞.。