高中数学第三册(选修Ⅱ)第3章导数函数的单调性练习题

第三章 §1 第1课时 导数与函数的单调性一、选择题1．函数y ＝x ln x ＋m 的单调递增区间是( )A ．(1e，＋∞) B ．(0，e) C ．(0，1e) D ．(1e，e) 定义域为{x |x >0}，由y ′＝ln x ＋1>0，得x >1e. 2．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增f ′(x )＝2－cos x >0在(－∞，＋∞)上恒成立．3．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x(－∞，2) (2，＋∞) f ′(x )－ ＋ f (x ) 单调递减 单调递增，故选D.4．函数f (x )＝(x ＋3)e －x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)∵f (x )＝(x ＋3)e －x ，∴f ′(x )＝e －x －(x ＋3)e －x ＝e －x (－x －2)，由f ′(x )>0得x <－2，∴选A ． 二、填空题5．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是由条件知f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1. 把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令(x －11)(x ＋1)<0，解得－1<x <11.所以单调减区间为(－1,11)．7．函数f (x )＝x 3－mx 2＋m －2的单调递减区间为(0,3)，则m ＝____________.令f ′(x )＝3x 2－2mx ＝0，解得x ＝0或x ＝23m ，所以23m ＝3，m ＝92. 8．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________． 因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f (x )在R上只能递增，所以Δ＝4－12m ≤0，所以m ≥13. 三、解答题9．求函数y ＝2x 3－3x 的单调区间．由题意得y ′＝6x 2－3.令y ′＝6x 2－3>0，解得x <－22或x >22. 当x ∈(－∞，－22)时，函数为增函数；当x ∈(22，＋∞)时，函数也为增函数． 令y ′＝6x 2－3<0，解得－22<x <22，当x ∈(－22，22)时，函数为减函数． 故函数的递增区间为(－∞，－22)和(22，＋∞)，递减区间为(－22，22)． 10.若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a 的范围．解法一：(区间法)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0，所以x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当a －1>1，即a >2时，f (x )在(－∞，1)和(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a －1)且(6，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，所以4≤a －1≤6，即5≤a ≤7.解法二：(数形结合)如图所示，f ′(x )＝(x －1)．若在(1,4)内f ′(x )≤0，(6，＋∞)内f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0有一根为1，则另一根在上．所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′4≤0，f ′6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 35－a ≤0，57－a ≥0，所以5≤a ≤7.解法三：(转化为不等式的恒成立问题)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1.因为f (x )在(1,4)内单调递减，所以f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立．即a (x －1)≥x 2－1在(1,4)上恒成立，所以a ≥x ＋1，因为2<x ＋1<5，所以当a ≥5时，f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立，又因为f (x )在(6，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a ≤x ＋1，因为x ＋1>7，所以a ≤7时，f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立．由题意知5≤a ≤7. 本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想.一、选择题1．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )A ．(π2，3π2) B ．(π，2π) C ．(3π2，5π2) D ．(2π，3π)y ′＝－x sin x .当x ∈(π，2π)时，y ′>0，则函数y ＝x cos x －sin x 在区间(π，2π)内是增函数．2．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，则导函数y ＝f ′(x )在区间(－∞，0)上的函数值为正，排除A 、C ；原函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y ＝f ′(x )在区间(0，＋∞)上的函数值先正、再负、再正，排除B.故选D.3.设函数F (x )＝f x ex 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2012)>e 2012f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2012)>e 2012f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2012)<e 2012f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2012)<e 2012f (0)∵函数F (x )＝f x ex 的导数 F ′(x )＝f ′x e x －f x e x e x 2＝f ′x －f x e x<0， ∴函数F (x )＝f x ex 是定义在R 上的减函数， ∴F (2)<F (0)，即f 2e 2<f 0e0，故有f (2)<e 2f (0)． 同理可得f (2012)<e 2012f (0)．故选C ．4.当x ∈时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x3恒成立． 令1x＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1. ∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立． 令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2对称轴t ＝－818＝－49， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上减函数而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上成立．∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数，∴g (t )max ＝g (1)＝－6.当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x3恒成立 ∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12， 令g ′(t )＝0，∴t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数， ∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴－6≤a ≤－2.二、填空题5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． f (x )在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋b x ＋2≤0，∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤－1.6．下图为函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式x ·f ′(x )<0的解集为__________________．(－∞，－3)∪(0，3)由f (x )的图像知，f (x )在(－∞，－3)和(3，＋∞)上为增函数，在(－3，3)上为减函数，∴当x ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－3，3)时，f ′(x )<0.∴x ·f ′(x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3)．三、解答题7．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．(1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝x －2x －3x. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )的增区间为(0,2)，(3，＋∞)；当2<x <3时，f ′(x )<0， 故f (x )的减区间为(2,3)．8.已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．(1)由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．(3)证明：∵f(－1)＝a－2<a，∴f(x)的图像不可能总在直线y＝a的上方．。

第三章导数应用§1函数的单调性与极值1、1导数与函数的单调性双基达标限时20分钟1。

函数f(x）＝2x－sin x在（－∞,＋∞）上（)。

A。

增函数B。

减函数C。

有最大值D。

有最小值解析∵f′（x)＝2－cos x>0,∴f（x)是R上的增函数,无最值.答案A2。

若在区间（a,b)内有f′（x)＞0，且f(a)≥0,则在(a,b)内有A。

f（x)＞0 B.f(x）＜0C.f（x)＝0 D。

不能确定解析∵f′（x)＞0，∴f（x)在(a，b)内单调递增.∴f（x）＞f（a)≥0,即f(x)＞0、答案A3.已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示（其中f′（x)是函数f（x）的导函数），下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是( ).解析当0〈x〈1时，xf′(x)〈0，所以f′(x）<0，故y＝f（x)在(0，1）上为减函数.当1<x〈2时，xf′（x)〉0，所以f′（x)〉0,故y＝f(x）在(1，2）上为增函数,因此否定A、B、D、答案C4。

函数f（x)＝x ln x（x>0）的单调递增区间是________.解析由f′(x）＝ln x＋x·错误!＝ln x＋1>0,解得x>错误!、故f(x)的单调增区间是错误!、答案错误!5。

命题甲：对任意x∈(a,b),有f′(x)>0；命题乙:f（x）在（a，b)内是单调递增的，则甲是乙的________条件。

解析f(x）＝x3在（－1，1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件。

答案充分不必要6。

已知函数f(x)＝ln（2－x)＋ax在区间（0，1）上是增函数，求实数a的取值范围。

解f′(x)＝a－错误!,∵f′（x）≥0在(0，1）上恒成立，∴a≥错误!、又∵0＜x＜1,1＜2－x＜2,∴错误!＜错误!＜1、∴a≥1、综合提高限时25分钟7。

高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()A．b2－4ac0 B．b0，c0C．b＝0，c D．b2－3ac0[答案] D[解析]∵a0，f(x)为增函数，f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立，＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0.2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋)[答案] D[解析]考查导数的简单应用．f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k ＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋) B．(－，2]C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋)[答案] B[解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]．4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()[答案] C[解析]当01时xf(x)0f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是()A.－，－2和0，2B.－2，0和0，2C.－，－2，D.－2，0和[答案] A[解析]y＝xcosx，当－x2时，cosx0，y＝xcosx0，当02时，cosx0，y＝xcosx0.6．下列命题成立的是()A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0B．若在(a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在D．若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数[答案] B[解析]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．7．(2019福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()A．f(x)0，g(x) B．f(x)0，g(x)0C．f(x)0，g(x) D．f(x)0，g(x)0[答案] B[解析]f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0时，f(x)0，g(x)0. 8．f(x)是定义在(0，＋)上的非负可导函数，且满足xf(x)＋f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有()A．af(a)f(b) B．bf(b)f(a)C．af(b)bf(a) D．bf(a)af(b)[答案] C[解析]∵xf(x)＋f(x)0，且x0，f(x)0，f(x)－f(x)x，即f(x)在(0，＋)上是减函数，又0＜a＜b，af(b)bf(a)．9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f(x)0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1) B．f(0)＋f(2)2f(1)C．f(0)＋f(2)2f(1) D．f(0)＋f(2)2f(1)[答案] C[解析]由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单调递增，在(－，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)2f(1)．故应选C.10．(2019江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S(t)的图像大致为[答案] A[解析]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．[答案]b－1或b2[解析]若y＝x2＋2bx＋b＋20恒成立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，由题意b＜－1或b＞2.12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋)内恒成立，实数a的取值范围为________．[答案]a1[解析]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒成立．设g(x)＝1＋lnxx，则g(x)＝－lnxx2＜0(x＞1)，g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋)内单调递减，g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，1＋lnxx＜1在区间(1，＋)内恒成立，a1.13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案](－，－1)[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f(x)＝2x－10，得x12，函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－，－1)．14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．[答案][3，＋)[解析]y＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax0在区间(0,2)内恒成立，即a32x在区间(0,2)上恒成立，a3.三、解答题15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)求导得f(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f(1)＝－12，即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f(x)0，解得x－1或x3；又令f(x)0，解得－13.所以当x(－，－1)时，f(x)是增函数；当x(3，＋)时，f(x)也是增函数；当x(－1,3)时，f(x)是减函数．16．求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.[证明]设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，则f(x)＝1－12cosx＞0，f(x)在(－，＋)上是单调递增函数．而当x＝0时，f(x)＝0，方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0.17．已知函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．[分析]可先由函数y＝ax与y＝－bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．[解析]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a ＜0，b＜0.由y＝ax3＋bx2＋5得y＝3ax2＋2bx.令y＞0，得3ax2＋2bx＞0，－2b3a＜x＜0.当x－2b3a，0时，函数为增函数．令y＜0，即3ax2＋2bx＜0，x＜－2b3a，或x＞0.在－，－2b3a，(0，＋)上时，函数为减函数．18．(2019新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围．[解析](1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，f(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x(－，－1)时，f(x)0；当x(－1,0)时，f(x)0；当x(0，＋)时，f(x)0.故f(x)在(－，－1]，[0，＋)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．令g(x)＝ex－1－ax，则g(x)＝ex－a.“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

[A 组 基础巩固]1．函数y ＝f (x )在定义域(－32，3)内可导，其图像如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( ) A ．[－13，1]∪[2,3) B ．[－1，12]∪[43，83] C ．(－32，－13]∪[1,2)D ．(－32，－1]∪[12，43]∪[83，3)解析：f ′(x )≤0的解集等价于函数f (x )的递减区间所对应的集合． 答案：A2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：∵y ＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x ，由y ′≤0，解得－1≤x ≤1， 又x >0，∴0<x ≤1，故选B. 答案：B3．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是增加的，且在区间(0,2)上是减少的，则常数a 的值为( ) A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，令6x 2＋2ax <0.若a >0，解得－a3<x <0，不合题意；若a <0，解得0<x <－a3.由f (x )在(0,2)上是减少的知a ＝－6.答案：C4．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2]解析：根据条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)． 答案：A5．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)＜f (e)＜f (3) B ．f (e)＜f (2)＜f (3) C ．f (3)＜f (e)＜f (2) D ．f (e)＜f (3)＜f (2)解析：因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x＋1x ＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)＜f (e)＜f (3)． 答案：A6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________． 解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0，则cos x ＜12. 又x ∈(0，π)，解得π3＜x ＜π，所以函数在(0，π)上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π7．y ＝x ＋sin x 在[0，π)上是________(填“增函数”或“减函数”)． 解析：∵y ′＝1＋cos x ≥0恒成立， ∴y ＝x ＋sin x 在[0，π)上是增函数． 答案：增函数8．若函数f (x )＝13ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝ax 2＋1，若a ≥0，f ′(x )>0恒成立，不符合题意．若a <0，由f ′(x )>0得－－1a <x <－1a ，由f ′(x )<0得x <－ －1a 或x >－1a ，即a <0时函数f (x )在(－ －1a ，－1a )上为增函数，在(－∞， －－1a )及(－1a ，＋∞)上为减函数．答案：a <09．确定下列函数的单调区间： (1)y ＝x 3－9x 2＋24x ； (2)f (x )＝1x ln x (x >0且x ≠1)．解析：(1)y ′＝3x 2－18x ＋24＝3(x －2)(x －4)， 由y ′>0得x <2或x >4；由y ′<0得2<x <4. ∴函数的递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)； 递减区间为(2,4)． (2)f ′(x )＝－ln x ＋1x 2ln 2x ，若f ′(x )＝0，则x ＝1e，列表如下：∴f (x )在(0，1e )内是增加的； 在(1e ，1)，(1，＋∞)内是减少的． 10．求下列函数的单调区间： (1)y ＝x 3－2x 2＋x ； (2)y ＝x2＋cos x ；(3)y ＝ln(2x －1)．解析：(1)y ′＝3x 2－4x ＋1，令3x 2－4x ＋1>0得x >1或x <13，因此y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递增区间为(－∞，13)和(1，＋∞)．再令y ′<0得13<x <1，即y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递减区间为(13，1)．(2)f ′(x )＝12－sin x ，令12－sin x <0，得2k π＋π6<x <2k π＋5π6(k ∈Z)．令y ′＝12－sin x >0，得2k π－7π6<x <2k π＋π6(k ∈Z)．因此f (x )在(2k π＋π6，2k π＋5π6)(k ∈Z)上为减函数，在(2k π－7π6，2k π＋π6)(k ∈Z)上为增函数． (3)y ′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1，且其定义域为x ∈(12，＋∞)．当x >12时，y ′＝22x －1>0，所以，函数在定义域(12，＋∞)上为增函数．[B 组 能力提升]1．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为()A．{x|－1<x<1} B．{x|x<－1} C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x>1}解析：构造函数g(x)＝f(x)－x2－12.则g′(x)＝f′(x)－1 2.又∵f′(x)<12，∴g′(x)<0.说明g(x)在R上是减少的．又g(1)＝f(1)－1＝0，∴g(x)过点(1,0)且是减少的．∴g(x)<0的解集为{x|x>1}．答案：D2．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：由题意易知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)在(0，＋∞)上是增函数，由于偶函数关于y 轴对称，奇函数关于原点对称，所以当x<0时，f(x)为增函数，g(x)为减函数，故在x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.答案：B3．已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在(－2，＋∞)内是递减的，则实数a的取值范围为________． 解析：因为f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2，且函数f (x )在(－2，＋∞)上是递减的，所以f ′(x )≤0在(－2，＋∞)上恒成立． 所以a ≤12.当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去． 所以a ＜12. 答案：a ＜124．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的范围为________．解析：由已知a ＞1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立． 设g (x )＝1＋ln xx ，所以g ′(x )＝－ln xx 2＜0(x ＞1)，所以g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内递减． 所以g (x )＜g (1)．因为g (1)＝1，所以1＋ln xx ＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， 所以a ≥1. 答案：[1，＋∞)5．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．解析：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1) ＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ， 则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . 若f (x )在(－1,1)上是增函数， 则在区间(－1,1)上恒有f ′(x )≥0， 即t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立，考察函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图像是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5. 而当t ≥5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0， 即f (x )在(－1,1)上是增函数． 故t 的取值范围是t ≥5.6．讨论函数y ＝bxx 2－1(－1<x <1，b ≠0)的单调区间．解析：f (x )的定义域为(－1,1)． ∵函数f (x )是奇函数，∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性． f ′(x )＝b ·x ′(x 2－1)－x (x 2－1)′(x 2－1)2＝－b (x 2＋1)(x 2－1)2. 当0<x <1时，x 2＋1>0，(x 2－1)2>0， ∴－x 2＋1(x 2－1)2<0.若b >0，则f ′(x )<0，∴函数f (x )在(0,1)上是减函数；若b<0，则f′(x)>0，∴函数f(x)在(0,1)上是增函数．又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图像关于原点对称，∴当b>0时，f(x)在(－1,1)上是减函数；当b<0时，f(x)在(－1,1)上是增函数．。

高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.函数f（x）＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．【答案】2【解析】因为，所以；令列表如下：x02+-+y所以函数f（x）＝x3－3x2＋1在x＝2处取得极小值.【考点】函数的性质及应用.2.已知(1)如果函数的单调递减区间为,求函数的解析式；(2)对一切的,恒成立,求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）三个二次间的关系，其实质是抓住二次函数的图像与横坐标的交点、二次不等式解集的端点值、二次方程的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决；（2）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到；（3）(3)对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）（2）试题解析：解:(1)由题意的解集是即的两根分别是．将或代入方程得．．……4分(2)由题意:在上恒成立即可得设,则令,得(舍)当时,;当时,当时,取得最大值, =-2．的取值范围是．【考点】(1)利用函数的单调性求函数解析式；（2）利用导数解决横成立的问题．3.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f ′（x）在（a，b）内的图象如下图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】函数在点处连续且，若在点附近左侧，右侧，则点为函数的极大值点，满足定义的点有2个.【考点】函数极值的定义.4.已知，设曲线在点处的切线为。

（1）求实数的值；（2）设函数，其中。

求证：当时，。

【答案】（1）；（2）见解析；【解析】（1）利用导数的几何意义可得在处的切线斜率为0及联立方程解得；（2）将代入得的解析式，解析式中含有参数，所以对进行分类讨论，再利用求导数来讨论函数的单调性，求出在的最小值和最大值即可；试题解析：解：（1）， 2分依题意，且。

3.1.1 导数与函数的单调性同步练习1．确定下列函数的单调区间(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 32.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间.3.求下列函数的单调区间(1)y =x x 2+ (2)y =92-x x (3)y =x +x4．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间.参考答案1．(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)( x －4)令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x +33)(x －33)令－3(x +33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33.∴y =x －x 3的单调增区间是(－33，33). 令－3(x +33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33. ∴y =x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞) 2．解：y ′=(ax 2+bx +c )′=2ax +b, 令2ax +b ＞0，解得x ＞－a b 2 ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调增区间是(－ab 2，+∞) 令2ax +b ＜0，解得x ＜－a b 2.∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调减区间是(－∞，－ab 2) 3．(1)解：y ′=(x x 2+)′=2222x x x x -=--∵当x ≠0时，－22x ＜0，∴y ′＜0. ∴y =xx 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x ≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y ′＜0. ∴y =92-x x 的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞). (3)解：y ′=(x +x )′12112121+=+=-xx . 当x ＞0时x 21+1＞0，∴y ′＞0. ∴y =x +x 的单调增区间是(0，+∞)4．解：y ′=(x +x1)′=1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x 1的单调增区间是(－∞，－1)和(1， +∞). 令2)1)(1(x x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x 1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)。

高中数学 3.1.1 导数与函数的单调性同步精练北师大版选修2-21.函数f(x)＝x·ln x在(0,6)上是( )．A．单调增函数B．在10,e⎛⎫⎪⎝⎭上是减少的，在1,6e⎛⎫⎪⎝⎭上是增加的C．单调减函数D．在10,e⎛⎫⎪⎝⎭上是增加的，在1,6e⎛⎫⎪⎝⎭上是减少的2．当x＞0时，f(x)＝x＋2x，则f(x)的单调递减区间是( )．A．(2，＋∞) B．(0,2) C．(2，＋∞) D．(0，2) 3．函数y＝x cos x－sin x在下面哪个区间内是增函数( )．A．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭B．(π，2π)C．35,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D．(2π，3π)4．下列命题成立的是( )．A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)＞0B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上是增函数C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有( )．A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a) C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )．A．f(0)＋f(2)＜2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)＞2f(1)7．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的范围为________．8．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为__________．9．求证：方程x－12sin x＝0只有一个根x＝0.10．设函数f(x)＝x(e x－1)－ax2：(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．参考答案1.答案：B 解析：f ′(x )＝(x ·ln x )′＝(x )′ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴当0＜x ＜1e 时，f ′(x )＜0；当1e＜x ＜6时，f ′(x )＞0， ∴f (x )＝x ln x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减少的，在1,6e⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增加的． 2.答案：D 解析：f ′(x )＝1－22x ，令f ′(x )＝1－22x＜0，得22x -<<且x ≠0，又x ＞0，∴0＜x ＜2，∴函数f (x )的单调递减区间为(0，2)．3.答案：B 解析：y ′＝－x sin x ，∵y ＝x cos x －sin x 是增函数，∴y ′＞0.∵x ＞0，∴sin x ＜0，而sin x 在(π，2π)内小于0，∴y ＝x cos x －sin x 在(π，2π)内是增函数．4.答案：B 解析：若f (x )在(a ，b )内是增函数，则f ′(x )≥0，故A 错；f (x )在(a ，b )内单调与f ′(x )是否存在无必然联系，故C 错；f (x )＝2在(a ，b )上的导数f ′(x )＝0存在，但f (x )无单调性，故D 错．5.答案：B 解析：∵xf ′(x )＋f (x )≤0且x ＞0，f (x )≥0， ∴f ′(x )≤()f x x-，即f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又0＜a ＜b ，∴af (b )≤bf (a )．6.答案：B 解析：由(x －1)f ′(x )≥0，得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减或恒为常数．故f (0)＋f (2)≥2f (1)．7.答案：a ≥1 解析：由已知a ＞1ln xx+在区间(1，＋∞)内恒成立． 设g (x )＝1ln xx +， ∴g ′(x )＝2ln xx -＜0(x ＞1)，∴g (x )＝1ln xx+在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g (x )＜g (1)． ∵g (1)＝1， ∴1ln xx+＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1.8.答案：(－∞，2] 解析：令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．9.答案：证明：设f(x)＝x－12sin x，x∈(－∞，＋∞)，则f′(x)＝1－12cos x＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．而当x＝0时，f(x)＝0，∴方程x－12s in x＝0有唯一的根x＝0.10.解：(1)a＝12时，f(x)＝x(e x－1)－12x2，f′(x)＝e x－1＋x e x－x＝(e x－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f(x)＝x(e x－1－ax)，令g(x)＝e x－1－ax，则g′(x)＝e x－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a＞1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时，g(x)＜0，即f(x)＜0.综上所述a的取值范围为(－∞，1]．。

答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋ ，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0 或 f ′(x )≤03．函数 f (x )＝x ＋ 的单调区间为________．－1)，令 f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得 x < ，7．已知 y ＝ x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3 在 R 上不是单调增函数，则 b 的范围为________．基础巩固题：1.函数 f(x)= ax + 1x + 2导数与函数的单调性在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数 a 的取值范围为（ ）1 1 1 <a< <-1 或 a> > >-22 2 21 - 2a 1答案：C 解析：∵f(x)=a+ 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即 a> .x + 2 22．已知函数 f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数 f (x )在(0,1)上单调，则实数 a 的取值范围是()A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0 或 a ≤－4D ．a >0 或 a <－4ax在(0,1)上恒成立，即 2x 2＋2x ＋a ≥0 或 2x 2＋2x ＋a ≤0 在(0,1)上恒成立， 所以 a ≥－(2x 2＋2x )或 a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记 g (x )＝－(2x 2＋2x ),0<x <1，可知－4<g (x )<0，∴a ≥0 或 a ≤－4，故选 C.9x答案：(－3,0)，(0,3)解析：f ′(x )＝1－x 2＝ x 29 x 2－9 ，令 f ′(x )<0，解得－3<x <0或 0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4 函数 y = x 2 - x 3 的单调增区间为，单调减区间为___________________2 答案： (0, ) ； (-∞,0),( 32 3 , +∞) 解析： y ' = -3x 2 + 2 x = 0, x = 0, 或x =23 5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令 3(x －2)(x －4)＞0，解得 x ＞4 或 x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令 3(x －2)(x －4)＜0，解得 2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1)令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3 的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得 x ＞1 或 x ＜－1.∴y =3x －x 3 的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 6．函数 y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1) [解析] 函数 y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，1 2∴函数 y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)13= x 2 x 2 [答案] b <－1 或 b >2[解析] 若 y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0 恒成立，则 Δ＝4b 2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意 b ＜－1 或 b ＞2.8.已知 x ∈R,求证：e x ≥x +1．证明:设 f （x ）=e x －x －1,则 f ′（x ）=e x －1．∴当 x =0 时，f ′（x ）=0,f （x ）=0．当 x ＞0 时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数．∴f （x ）＞f （0）=0． 当 x ＜0 时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0．9．已知函数 y =x + 1 x，试讨论出此函数的单调区间.1 x2 - 1 ( x + 1)( x - 1) ( x + 1)( x - 1)解：y ′=(x + )′=1－1·x －2= 令 ＞ 0. x x 21 ( x + 1)( x - 1)解得 x ＞1 或 x ＜－1.∴y =x + 的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令x x 21＜0，解得－1＜x ＜0 或 0＜x ＜1. ∴y =x + 的单调减区间是(－1，0)和(0，1)x10．已知函数的图象过点 P （0，2），且在点 M （－1，f （－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求 函数 y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数 y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由 f(x)的图象经过 P （0，2），知 d=2，所以由在 M(-1,f(-1))处的切线方程是， 知故所求的解析式是（Ⅱ）解得当 当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题 的能力．11.已知函数 f(x)=x 3-x 2+bx+c. (1)若 f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求 b 的取值范围; 解 （1）=3x 2-x+b,因 f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则≥0.即 3x 2-x+b≥0,∴b≥x -3x 2 在（-∞，+∞）恒成立.设 g(x)=x-3x 2. 当 x=时，g(x)max =,∴b≥. 12.已知函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数 a 的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴=3x 2-2(a+1)x+a 要使函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需=3x 2-2(a+1)x+a 在（2，+∞）上满足≥0 即可.的对称轴是 x=,∴a 的取值应满足：或解得:a≤.∴a 的取值范围是 a≤.∵=3x 2-2(a+1)x+a13．已知函数 f ( x ) = 4 x + ax 2- 2 3x 3( x ∈ R) 在区间 [-1,1]上是增函数，求实数 a 的取值范围．解： f ' ( x ) = 4 + 2ax - 2 x 2 ，因为 f (x )在区间 [-1,1]上是增函数，所以 f ' ( x ) ≥ 0 对x ∈[-1,1] 恒成立，即 x 2 - ax - 2 ≤ 0 对 x ∈[-1,1] 恒成立，解之得： -1 ≤ a ≤ 1(x －1)2 解析：f ′(x )＝ ＝(x －1)3 (x －1)3当 b －1＝1，即 b ＝2 时，f (x )＝ ，所以函数 f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，所以实数 a 的取值范围为 [-1,1]．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调 性关系：即“若函数单调递增，则 f ' ( x ) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f ' ( x ) ≤ 0 ”来求解，注 意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数 f ( x ) = x 3 + bx 2 + ax + d 的图象过点 P （0，2），且在点 M （－1， f (-1) ）处 的切线方程 6 x - y + 7 = 0 ，（1）求函数 y = f ( x ) 的解析式；（2）求函数 y = f ( x ) 的单调区间。

高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【解析】函数在上单调递增即在恒成立,则有在恒成立即,构造函数,,当时, ,当时, ,所以当时,因此,答案为.【考点】1.导数与函数的单调性;2.不等式的恒成立问题;3.函数的最值问题2. .定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，由于，所用在上是增函数，【考点】函数的单调性与导数的关系.3.已知函数f(x)= -ax(a∈R,e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a=1，函数g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在区间（0，+）上为增函数，求整数m 的最大值.【答案】(1)所以在为减函数，在为增函数;(2)最大值为1【解析】(1)利用函数的单调性与导数的关系；(2)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(3)第二问关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题.(4)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：解：（Ⅰ）定义域为，，当时，，所以在上为增函数； 2分当时，由得，且当时，，当时，所以在为减函数，在为增函数． 6分（Ⅱ）当时，，若在区间上为增函数，则在恒成立，即在恒成立 8分令，；，；令，可知，，又当时，所以函数在只有一个零点，设为，即，且； 9分由上可知当时，即；当时，即，所以，，有最小值， 10分把代入上式可得，又因为，所以，又恒成立，所以，又因为为整数，所以，所以整数的最大值为1． 12分【考点】（1）利用导数求函数的单调性；（2）利用导数求函数的最值问题.4.设函数(其中).（1）当时,求函数的单调区间;（2）当时,求函数在上的最大值.【答案】（1）函数的递减区间为,递增区间为,；（2）【解析】（1）由，利用导数的符号判断函数的单调性和求单调区间；（2）试题解析：解：（1）当时,,令,得,当变化时,的变化如下表:单调递增极大值单调递减极小值单调递增右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.（2）,令,得,, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以所以当时,;当时,；所以令，则，令，则在上递减，而所以存在使得，且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，所以在上恒成立，当且仅当时取得“=”.综上，函数在上的最大值.【考点】1、导数在研究函数性质中的综合应用；2、等价转化的思想.5.直线与函数的图像有三个相异的交点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】得列表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )++y画出大到图象可得：-2<a<2,故选A.【考点】函数的极值.6.函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a＜1C．a＜0D．a≤1【答案】【解析】当时,在上为减函数,成立;当时, 的导函数为,根据题意可知, 在上恒成立,所以且,可得.综上可知.【考点】导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立.7.已知f(x)=e x-ax-1．（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围.【答案】（1）若，的单调增区间为 , ,的单调增区间为；（2）.【解析】（1）对f(x)求导得，解可得单调增区间，解不等式过程中要对进行讨论；(2) 在R上单调递增，则在R上恒成立 ,即恒成立,即,求出的最小值即可.试题解析：解：（1） 1分若，则，此时的单调增区间为 2分若，令，得此时的单调增区间为 -6分（2）在R上单调递增，则在R上恒成立 -8分即恒成立即，因为当时，所以 -12分-0 +【考点】求导，函数的单调性与导数的关系.8.在区间内不是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选项中，时都有，所以在上为单调递增函数，所以在是增函数；选项在，而在上为增函数，所以在是增函数；选项，令得或，所以在为增函数，而，所以在上增函数；选项，令，得。

导数单调性练习题导数单调性练习题数学作为一门抽象而又精确的学科，常常被人们认为是一种枯燥乏味的学科。

然而，当我们深入探索数学的奥妙时，会发现其中蕴含着无限的魅力和趣味。

导数单调性就是数学中一个非常重要且有趣的概念。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用导数单调性。

练习题1：已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，求f(x)的单调区间。

解答：首先，我们需要求出f'(x)。

对于f(x)=x^3-3x^2+2x-1，我们可以使用求导法则来求导。

根据求导法则，我们有：f'(x)=3x^2-6x+2接下来，我们需要找到f'(x)的零点，即求方程3x^2-6x+2=0的解。

通过求解这个方程，我们可以得到两个解：x=1和x=2/3。

然后，我们可以选取这些零点将实数轴分成三个区间：(-∞，2/3)，(2/3，1)，(1，∞)。

接下来，我们需要确定每个区间上f(x)的单调性。

对于区间(-∞，2/3)，我们可以选择一个任意的数值c<2/3，计算f'(c)的值。

由于f'(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

因此，f'(x)在(-∞，2/3)上是单调递减的。

这意味着在这个区间上，f(x)是单调递增的。

对于区间(2/3，1)，我们可以选择一个任意的数值c∈(2/3，1)，计算f'(c)的值。

由于f'(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

因此，f'(x)在(2/3，1)上是单调递增的。

这意味着在这个区间上，f(x)是单调递减的。

对于区间(1，∞)，我们可以选择一个任意的数值c>1，计算f'(c)的值。

由于f'(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

因此，f'(x)在(1，∞)上是单调递增的。

这意味着在这个区间上，f(x)是单调递增的。

综上所述，函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的单调递增区间是(-∞，2/3)和(1，∞)，单调递减区间是(2/3，1)。