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《勾股定理》练习题及答案测试 1 勾股定理 ( 一 )学习要求掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．课堂学习检测一、填空题1．如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么 ______＝ c 2；这一定理在我国被称为 ______．2．△ ABC 中，∠ C ＝ 90°， a 、 b 、c 分别是∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边．(1) 若 a ＝ 5，b ＝ 12，则 c ＝______； (2) 若 c ＝ 41， a ＝ 40，则 b ＝ ______；(3) 若∠ A ＝ 30°， a ＝ 1，则 c ＝______，b ＝ ______；(4) 若∠ A ＝ 45°， a ＝ 1，则 b ＝______，c ＝ ______． 3．如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为 ______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为 ______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．二、选择题222的值为 ( ) ．6．Rt △ ABC 中，斜边 BC ＝ 2，则 AB ＋ AC ＋BC7．如图，△ ABC中， AB＝ AC＝ 10， BD 是 AC 边上的高线， DC＝ 2，则BD等于 ( )．(A)4(B)6(C)8(D) 2 108．如图， Rt △ ABC中，∠ C＝ 90°，若 AB＝ 15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为 ( ) ．(A)150cm 2(B)200cm 2(C)225cm2(D) 无法计算三、解答题9．在 Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别为a、b、c．(1) 若 a∶ b＝ 3∶4，c＝ 75cm，求 a、b； (2)若a∶ c＝15∶17，b＝24，求△ ABC的面积；(3) 若 c－ a＝ 4，b＝ 16，求 a、c；(4)若∠ A＝30°，c＝24，求c 边上的高 h c；(5)若 a、 b、 c 为连续整数，求 a＋b＋ c．综合、运用、诊断一、选择题10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则 x 的值可能有 ( )．(A)1 个(B)2 个(C)3(D)4 个二、填空题11．如图，直线l 经过正方形 ABCD的顶点 B，点 A、 C 到直线 l 的距离分别是 1、 2，则正方形的边长是 ______．Word 格式12．在直线上依次摆着7 个正方形 ( 如图 ) ，已知倾斜放置的 3 个正方形的面积分别为 1， 2， 3，水平放置的 4 个正方形的面积是 S1，S2， S3，S4，则 S1＋ S2＋ S3＋ S4＝ ______．三、解答题13．如图， Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A＝ 30°， BD 是∠ ABC的平分线， AD＝ 20，求 BC的长．拓展、探究、思考14．如图，△ ABC中，∠ C＝ 90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S1＋ S2与 S3的关系；图①(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究 S1＋ S2与 S3的关系；(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆( 如图③ ) ，探究 S1＋ S2与 S3的关系．测试 2勾股定理(二)学习要求掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．若一个直角三角形的两边长分别为12 和 5，则此三角形的第三边长为______．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距 ______km．3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 ______m．二、选择题5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．(A)5m(B)7m(C)8m(D)10m6．如图，从台阶的下端点 B 到上端点 A 的直线距离为( )．(A) 12 2(B) 10 3(C) 6 5(D) 8 5三、解答题7．在一棵树的10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的 A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米?综合、运用、诊断一、填空题9．如图，一电线杆AB的高为 10 米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为______米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为 ______( 取 3)二、解答题：11．长为 4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为 60°角 ( 如图所示 ) ，则梯子的顶端沿墙面升高了 ______m．12．如图，在高为 3 米，斜坡长为 5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽 2 米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?9101112拓展、探究、思考13．如图，两个村庄A、B 在河 CD的同侧， A、 B 两村到河的距离分别为AC＝ 1 千米，BD＝ 3 千米，CD＝3 千米．现要在河边 CD上建造一水厂，向 A、 B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米 20000 元，请你在 CD上选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．测试 3勾股定理(三)学习要求熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．在△ ABC中，若∠ A＋∠ B＝ 90°， AC＝ 5， BC＝ 3，则 AB＝ ______，AB边上的高CE＝______．2．在△ ABC中，若 AB＝AC＝ 20，BC＝ 24，则 BC边上的高AD＝______，AC边上的高BE＝______．3．在△ ABC中，若 AC＝ BC，∠ ACB＝ 90°， AB＝10，则 AC＝ ______，AB边上的高CD＝______．4．在△ ABC中，若 AB＝ BC＝ CA＝ a，则△ ABC的面积为 ______．5．在△ ABC中，若∠ ACB＝ 120°， AC＝BC，AB边上的高 CD＝ 3，则 AC ＝______， AB＝ ______， BC边上的高 AE＝ ______．二、选择题( )．(A)1(B)3(C)1(D)14427．若等腰三角形两边长分别为 4 和 6，则底边上的高等于 ( ) ．(A)7(B)7 或 41(C)42(D) 4 2或7三、解答题8．如图，在Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°， D、 E 分别为 BC和 AC的中点，AD＝ 5，BE＝2 10求 AB的长．9．在数轴上画出表示10 及13 的点．综合、运用、诊断10．如图，△ ABC中，∠ A＝ 90°， AC＝ 20，AB＝ 10，延长AB到 D，使 CD＋ DB＝AC＋ AB，求 BD的长．11．如图，将矩形ABCD沿 EF 折叠，使点D 与点 B 重合，已知 AB＝ 3， AD＝ 9，求 BE的长．Word 格式12．如，折叠矩形的一AD，使点 D 落在 BC的点 F ，已知AB ＝8cm，BC＝ 10cm，求 EC的．13．已知：如，△ABC中，∠ C＝90°， D AB的中点， E、F 分在 AC、 BC上，且 DE⊥ DF．求： AE2＋ BF2＝EF2．拓展、探究、思考14．如，已知△ABC中，∠ ABC＝ 90°， AB＝ BC，三角形的点在相互平行的三条直 l 1， l 2， l 3上，且 l 1， l 2之的距离 2，l 2，l 3之的距离 3，求 AC的是多少 ?15．如，如果以正方形ABCD的角 AC作第二个正方形 ACEF，再以角 AE 作第三个正方形 AEGH，如此下去，⋯⋯已知正方形 ABCD的面 S1 1，按上专业资料Word 格式方形的面依次 S2，S3，⋯， S n(n 正整数 ) ，那么第 8 个正方形的面 S8＝ ______，第 n 个正方形的面 S n＝ ______．4勾股定理的逆定理学要求掌握勾股定理的逆定理及其用．理解原命与其逆命，原定理与其逆定理的概念及它之的关系．堂学一、填空1．如果三角形的三a、 b、 c 足 a2＋ b2＝c2，那么个三角形是______三角形，我把个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命中，如果第一个命的是第二个命的，而第一个命的是第二个命的，那么两个命叫做____________；如果把其中一个命叫做原命，那么另一个命叫做它的 ____________．3．分以下列四数一个三角形的：(1)6 、8、10，(2)5 、12、13 ， (3)8 、 15、 17， (4)4 、 5、 6，其中能构成直角三角形的有____________． ( 填序号 )4．在△ ABC中， a、 b、 c 分是∠ A、∠ B、∠ C 的，222②若 a2＋ b2＝c2，∠ c ____________；Word 格式③若 a2＋ b2＜c2，则∠ c 为 ____________．5．若△ ABC中， (b － a)(b ＋ a) ＝c2，则∠ B＝ ____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ ABC是______三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、 a、 8( 其中 a 为正整数 ) ，则以 a － 2、 a、 a＋ 2 为边的三角形的面积为______．8．△ ABC的两边a， b 分别为5， 12，另一边 c 为奇数，且a＋ b＋ c 是3 的倍数，则 c 应为 ______，此三角形为 ______．二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a ＝ 6 ， b ＝ 8 ， c ＝ 10 (B) a 1, b2, c3 (C)a 5, b 1, c3 44(D) a2, b 3, c610．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1 ∶1∶ 2 (B)1 ∶ 3∶ 4(C)9∶ 25∶26(D)25 ∶ 144 ∶169211．已知三角形的三边长为n、 n＋ 1、 m(其中 m＝2n＋ 1) ，则此三角形 ( )．(A) 一定是等边三角形(B) 一定是等腰三角形(C)一定是直角三角形(D) 形状无法确定综合、运用、诊断一、解答题Word 格式12．如图，在△ ABC中， D 为 BC边上的一点，已知AB＝13， AD＝ 12， AC＝ 15， BD＝5，求 CD的长．13．已知：如图，四边形ABCD中， AB⊥ BC，AB＝ 1，BC＝ 2， CD＝ 2， AD＝ 3，求四边形 ABCD的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD中， F 为 DC的中点，E 为 CB的四等分点且CE＝1CB，求证： AF⊥ FE．415．在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 海里的速度前进， 2 小时后，甲船到 M岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗 ?拓展、探究、思考16．已知△ ABC 中， a2＋ b2＋ c2＝ 10a＋24b＋ 26c－ 338，试判定△ ABC 的形状，并说明你的理由．Word 格式17．已知 a、b、c 是△ ABC的三，且a2c2－ b2c2＝ a4－ b4，判断三角形的形状．18．察下列各式：32＋ 42＝ 52， 82＋ 62＝ 102， 152＋ 82＝ 172， 242＋ 102＝262，⋯，你有没有其中的律 ?用含 n 的代数式表示此律并明，再根据律写出接下来的式子．参考答案第十八章勾股定理测试 1勾股定理 ( 一 )1．a2＋ b2，勾股定理．2．(1)13 ； (2)9；(3)2， 3 ；(4)1，2 ．3．2 5． 4．52，5． 5 ．132cm． 6 ．A． 7 ．B． 8 ．C．9．(1)a ＝ 45cm．b＝60cm； (2)540；(3)a＝ 30， c＝ 34；(4)63； (5)12．10． B． 11 ． 5. 12 ． 4． 13． 10 3.14． (1)S＋ S ＝ S ； (2)S1＋ S ＝ S ； (3)S1＋S ＝ S ．1232323测试 2勾股定理 ( 二 )1．13 或119.2． 5． 3 ． 2． 4 ． 10．5．C． 6 ． A． 7 ． 15 米． 8 ．3米．210310． 25． 11．12 ．7 米， 420 元．9．32 3 22.13． 10 万元．提示：作 A 点关于 CD的对称点 A′，连结 A′ B，与 CD 交点为 O．测试 3勾股定理 ( 三 )1．34 ,152． 16， 19.2 ． 3． 5 2 ，5．432.3434;．4a5．6，6 3 ， 3 3 ．6．C．7．D8．2 13.提示：设BD＝ DC＝ m， CE＝ EA＝ k，则2222 k＋ 4m＝40， 4k ＋ m＝ 25． AB＝4m24k 2 2 13. 9．101232 , 132232 , 图略．10． BD＝ 5．提示：设BD＝ x，则 CD＝ 30－ x．在 Rt △ACD中根据勾股定理列出 (30 － x) 2＝(x ＋ 10) 2＋ 202，解得 x＝5．11． BE＝ 5．提示：设BE＝x，则 DE＝ BE＝ x， AE＝ AD－ DE＝9－ x．在222222Rt △ ABE中， AB＋ AE＝ BE，∴ 3 ＋ (9 －x) ＝x ．解得 x＝ 5．＝ AF 2AB 26，CF＝4．在Rt△CEF中(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3．13．提示：延长 FD 到 M使 DM＝ DF，连结 AM， EM．14．提示：过 A，C 分别作 l 3的垂线，垂足分别为M，N，则易得△ AMB ≌△ BNC，则AB34, AC 2 17.15． 128， 2n－1．测试 4勾股定理的逆定理1．直角，逆定理． 2 ．互逆命题，逆命题．3． (1)(2)(3) ．4．①锐角；②直角；③钝角． 5 ． 90°． 6．直角．7．24．提示： 7＜a＜ 9，∴ a＝ 8． 8．13，直角三角形．提示： 7＜ c ＜ 17．9．D． 10 ． C． 11 ． C．12． CD＝ 9． 13 ．1 5.14．提示：连结 AE，设正方形的边长为4a，计算得出 AF， EF，AE 的长，由 AF2＋ EF2＝ AE2得结论．15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为(a － 5) 2＋(b － 12) 2＋ (c － 13) 2＝ 0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a 2－ b2)(a 2＋ b2－c2 ) ＝ 0．Word 格式18． 352＋ 122＝372， [(n ＋ 1) 2－ 1] 2＋ [2(n ＋ 1)] 2＝ [(n ＋1) 2＋1] 2． (n ≥ 1 且 n 为整数 )。
记：112= ，122= ，132= ，142= ，152= ，162= ，172= ，182= ，192= ，212= ，222= ，232= ，242= ，252= ，262= ，272= ，282= ，292= 。
勾股定理一、填空题1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝__ _ __；(2)若c＝41，a＝40，则b＝____ __；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝___ ___，b＝_____ _；若a=x, 则c＝___ ___，b＝_____ _.由此可知：在含有30°的直角三角形中，长直角边是短直角边的倍。
一定要记住这个结论。
(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝___ ___，c＝__ ____．若a=x, 则b＝___ ___，c＝__ ____．由此可知：等腰直角三角形中，斜边长是直角边的倍。
一定要记住这个结论。
3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为__ ____．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为___ ．6．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．（提示：找全等三角形）7．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．（提示：与第6题有关系）8.一个等边三角形的边长为10，这个等边三角形的面积是如果边长为a , 面积是（一定要熟练计算的方法）9.一个等腰直角三角形的斜边长为10，这个三角形的面积是，如果斜边长为a , 面积是10.正方形的边长为5，则对角线长；若对角线长28，则边长为。
第17章勾股定理专项训练专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．用计算法求平面中最短问题1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．(第1题)2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离．(参考数据21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)(第2题)用平移法求平面中最短问题3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B 点，至少需爬( )A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm(第3题)(第4题)4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．．用对称法求平面中最短问题5．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．(第5题)6．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．(第6题)。
勾股定理简单练习题
1. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
2. 一个直角三角形的斜边长为10cm，其中一条直角边长为6cm，求另
一条直角边的长度。
3. 计算一个直角三角形的面积，已知其两条直角边长分别为5cm和
12cm。
4. 如果一个直角三角形的斜边长为13cm，求当一条直角边长为5cm时，另一条直角边的长度。
5. 一个直角三角形的两条直角边长分别为8cm和15cm，求斜边的长度。
6. 已知直角三角形的斜边长为17cm，其中一条直角边长为9cm，求另
一条直角边的长度。
7. 计算一个直角三角形的周长，已知其两条直角边长分别为7cm和
24cm。
8. 一个直角三角形的斜边长为20cm，求当一条直角边长为4cm时，另一条直角边的长度。
9. 已知直角三角形的两条直角边长分别为9cm和12cm，求斜边的长度。
10. 计算一个直角三角形的面积，已知其两条直角边长分别为6cm和
8cm。
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勾股定理应用题题型一：已知两边求第三边1、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．2、已知直角三角形的两边长为5、12，则另一条边长是________________．3、作出长度为10的线段.4、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝,高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4。
6㎝，问吸管要做多长？针对练习1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．10,8,4C ．7,25，24D ．7，15，122、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A ．25B ．14C ．7D ．7或25 3、以面积为9 cm 2 的正方形对角线为边作正方形,其面积为( ）A ．9 cm 2B ．13 cm 2C ．18 cm 2D ．24 cm 2题型二：利用勾股定理测量长度 例1: 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？AB例2:如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0. 5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC。
例3:如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下,树顶落在离树根24m处。
大树在折断之前高多少？题型三：转化思想例:如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为________ cm。
专题训练(三) 垂径定理与勾股定理的综合应用►类型之一求半径1．如图3－ZT－1，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为________．图3－ZT－12．如图3－ZT－2，⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为________．图3－ZT－2►类型之二求圆心到弦的距离3．一条排水管的截面如图3－ZT－3所示，已知排水管的半径OB＝10 cm，水面宽AB＝16 cm，则截面圆的圆心O到水面的距离OC等于( )A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm图3－ZT－3 图3－ZT－44．如图3－ZT－4，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为________．5．xx·广元已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB＝12，CD＝16，则AB与CD之间的距离为________．6．如图3－ZT－5，已知AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC＝30°，ON∶AN＝2∶3，OM⊥CD，垂足为M，求OM的长．图3－ZT－5►类型之三求弦长7．xx·金华如图3－ZT－6，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )图3－ZT－6A．10 cm B．16 cmC．24 cm D．26 cm8．xx·宿迁如图3－ZT－7，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．图3－ZT－7►类型之四综合运用9．如图3－ZT－8，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB ⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．10．如图3－ZT－9所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在的⊙O的半径．图3－ZT－9详解详析1．[答案] 52[解析] 连接OC ，如图所示．∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴CE ＝12CD ＝2，∠OEC ＝90°.设OC ＝OA ＝x .∵AE ＝1，∴OE ＝x －1. 在Rt △COE 中，根据勾股定理，得CE 2＋OE 2＝OC 2， 即22＋(x －1)2＝x 2，解得x ＝52.2．[答案] 13[解析] 如图，过点O 作OD ⊥BC 于点D . ∵BC 是⊙O 的一条弦，且BC ＝6， ∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×6＝3，∴OD 垂直平分BC ，又AB ＝AC ，∴点A 在BC 的垂直平分线上，即A ，O ，D 三点共线． ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°，∴△ABD 也是等腰直角三角形，∴AD ＝BD ＝3. ∵OA ＝1，∴OD ＝AD －OA ＝3－1＝2. 在Rt △OBD 中，OB ＝BD 2＋OD 2＝32＋22＝13.3．[解析] C ∵OC ⊥AB ，OC 过圆心O ，∴BC ＝AC ＝12AB ＝12×16＝8(cm)．在Rt △OCB 中，由勾股定理，得OC ＝6 cm.故选C.4．[答案] 4[解析] ∵OD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝3.∵OB ＝12AB ＝5，∴OD ＝OB 2－BD 2＝4.5．[答案] 2或14[解析] (1)当AB 和CD 在圆心的同侧时，如图①所示．过点O 作OE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F .∵AB ∥CD ，∴OF ⊥AB ，即AB 与CD 之间的距离为EF 的长．由垂径定理知，DE ＝12CD ＝8，BF ＝12AB ＝6，∴OE ＝OD 2－DE 2＝102－82＝6，OF ＝OB 2－BF 2＝102－62＝8，∴EF ＝OF －OE ＝2.(2)当AB 和CD 在圆心的异侧时，如图②所示，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，延长EO 交AB 于点F .∵AB ∥CD ，∴OF ⊥AB .同理可得OE ＝6，OF ＝8， ∴EF ＝OE ＋OF ＝14.6．解：∵AB ＝10，∴OA ＝5. ∵ON ∶AN ＝2∶3，∴ON ＝2.∵∠ANC ＝30°，∴∠ONM ＝30°，∴在Rt △ONM 中，OM ＝12ON ＝1.7．[解析] C 如图，在Rt △OCB 中，OC ＝5 cm ，OB ＝13 cm ，根据勾股定理，得BC ＝OB 2－OC 2＝132－52＝12 (cm)．∵OC ⊥AB ，∴AB ＝2BC ＝24 cm.8．[答案] 2 3 [解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .在Rt △BCE 中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出BE ，再根据垂径定理可以求出BD .具体过程：如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .∠B ＝180°－∠BAC －∠ACB ＝180°－20°－130°＝30°.在Rt △BCE 中，∵∠CEB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝2，∴CE ＝12BC ＝1，∴BE ＝3.∵CE ⊥BD ，∴DE ＝BE ，∴BD ＝2BE ＝2 3.故答案为2 3. 9．[答案] 7 2[解析] 如图，连接OB ，OC ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，连接BC ，则BC 的长即为PA ＋PC 的最小值．根据垂径定理，得BE ＝12AB ＝4，CF ＝12CD ＝3，∴OE ＝OB 2－BE 2＝52－42＝3，OF＝OC2－CF2＝52－32＝4，∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.在Rt△BCH中，根据勾股定理，得BC＝7 2，则PA＋PC的最小值为7 2.10．解：由垂径定理，得BF＝12AB＝1.5 m，OE⊥AB.设⊙O的半径为x m，则OF＝(x－1)m.在Rt△OBF中，根据勾股定理，得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625，即⊙O的半径是1.625 m.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
勾股定理专题(附答案,全面、精选)勾股定理是初中数学中重要的定理之一，它可以用来求解直角三角形中的边长和面积。
在RT△中，勾股定理表明直角边的平方和等于斜边的平方。
因此，若已知两条直角边的长度，就可以求出斜边的长度。
例如，已知直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，则有以下关系式成立：c² = a² + b²。
在解题时，关键在于确定斜边或直角。
常见的勾股定理题型包括对勾股定理的理解、应用勾股定理求边长和面积、以及利用勾股定理进行计算。
在对勾股定理的理解方面，需要掌握各种关系式的成立条件。
例如，对于已知直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，若c² - a² = b²，则该关系式不成立。
在应用勾股定理求边长和面积时，需要根据已知条件列出方程，然后解方程求解。
例如，在直角三角形ABC中，若已知AB=10cm，BC=8cm，则可以用勾股定理求解AC的长度。
在利用勾股定理进行计算时，需要注意题目中给出的信息，然后根据勾股定理列出方程，最终求解出答案。
例如，在一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米的位置，可以用勾股定理求解旗杆的长度。
推导勾股定理的关键在于找面积相等，可以利用等积法或拼图法进行推导。
例如，可以用四个相同的直角三角形按照一定方式拼接，然后利用面积相等的关系式推导出勾股定理。
总之，勾股定理是初中数学中重要的定理之一，需要认真掌握和理解。
在做题时，需要注意题目中给出的信息，运用勾股定理进行计算，并且要注意验证答案的正确性。
13.两棵树之间的距离为8m，分别高为8m和2m。
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问至少要飞多少米？基础检测：1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求AC的长。
2.已知直角三角形ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，求△ABC的面积。
可编辑修改精选全文完整版第一章《勾股定理》练习题一、选择题（8×3′=24′） 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是（ ） A 、2ab<c 2 B 、2ab ≥c 2 C 、2ab>c 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
其中正确的是（ ） A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④5、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，则此△为（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定6、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ） A 、40 B 、80 C 、40或360 D 、80或3607、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且DA=DB=5，又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是（ ） A 、4 B 、3 C 、5 D 、4.58、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A 、2㎝ B 、3㎝ C 、4㎝ D 、5㎝ 二、填空题（12×3′=36′）9、在△ABC 中，点D 为BC 的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________。
垂径定理27.1.3一．选择题（共5小题）1．如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长是（）A．4B．6C．8D．52．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（）A．CE＝DE B．＝C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE 3．如图，⊙O的半径为10cm，弦AB的弦心距OC为6cm，则AB的长是（）A．16cm B．10cm C．8cm D．6cm 4．在⊙O中，弦AB垂直且平分一条半径，则劣弧的度数等于（）A．30°B．120°C．150°D．60°5．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共10小题）6．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是．7．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC＝6cm，则OD＝cm．8．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝5，BC＝8，则⊙O的半径为．10．如图，⊙O的直径CD与弦AB（非直径）交于点M，添加一个条件：，使得＝．11．AB是⊙O的弦，半径OA＝20cm，∠AOB＝120°，则△AOB的面积是cm2．12．如图，∠P AC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是cm．13．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，则∠AED＝．14．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10，AB＝16，则CD的长是．15．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为．三．解答题（共6小题）16．在圆O中，直径CD⊥弦AB于E，AB＝6，＝，求DE的长．17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝15cm，CB＝20cm，以CA为半径的⊙C交AB 于D，求AD的长．18．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，OC＝5cm，求DC的长．19．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，CD⊥AB于D，AB＝12，DB＝4，求CD的长．20．如图，⊙O的半径OA＝5cm，AB是弦，C是AB上一点，且OC⊥OA，OC＝BC （1）求∠A的度数．（2）求AB的长．21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．垂径定理27.1.3参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长是（）A．4B．6C．8D．5解：连接OA，如图所示：∵OC⊥AB，OC＝3，OA＝5，∴AB＝2AC，∵AC＝＝＝4，∴AB＝2AC＝8．故选：C．2．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（）A．CE＝DE B．＝C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE 解：根据垂径定理和等弧对等弦，得A、B、C正确，只有D错误．故选：2．D．3．如图，⊙O的半径为10cm，弦AB的弦心距OC为6cm，则AB的长是（）A．16cm B．10cm C．8cm D．6cm 解：连接OA，∵弦AB垂直OC，⊙O的半径为10cm，∴OA＝10cm，OC＝6cm，由勾股定理得：AC＝＝8cm，∴AB＝2AC＝16cm，故选：A．4．在⊙O中，弦AB垂直且平分一条半径，则劣弧的度数等于（）A．30°B．120°C．150°D．60°解：如图所示：连接OA，OB，∵AB垂直且平分OD，∴AB＝2AE，OA＝2EO，∴∠OAE＝30°，∴∠AOE＝60°，同理，∠BOE＝60°，∴∠AOB＝∠AOE+∠BOE＝120°．故选：4．B．5．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．3B．4C．5D．6解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，在Rt△OBC中，OC＝＝5．故选：C．二．填空题（共10小题）6．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是3≤OP≤5．解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OM⊥AB与M，∴AM＝BM，∵AB＝8，∴AM＝4，在Rt△AOM中，OM＝，OM的长即为OP的最小值，∴6．3≤OP≤5．7．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC＝6cm，则OD＝3cm．解：∵OD⊥AC于点D，∴AD＝CD，又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD＝BC，∵BC＝6cm，∴OD＝3cm．故答案为3．8．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是．解：∵OC⊥弦AB于点C，∴BC＝AC＝AB＝×4＝2，在Rt△OBC中，OC＝1，BC＝2，∴OB＝＝．故答案为9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝5，BC＝8，则⊙O的半径为．解：过A作AD⊥BC于D，连接BO，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，则AD必过圆心O，Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3∴AD＝3设⊙O的半径为x，Rt△OBD中，OB＝x，OD＝x﹣3根据勾股定理，得：OB2＝OD2+BD2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝．故答案是：．10．如图，⊙O的直径CD与弦AB（非直径）交于点M，添加一个条件：AB⊥CD，使得＝．解：∵CD为⊙O的直径，AB为弦（非直径），∴可添加AB⊥CD，或AB平分CD即可，故答案为AB⊥CD，或AB平分CD（答案不唯一）．11．AB是⊙O的弦，半径OA＝20cm，∠AOB＝120°，则△AOB的面积是100cm2．解：过O作OC⊥AB，交AB于点C，如图所示，则C为AB的中点，即AC＝BC，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，在Rt△AOC中，OA＝20cm，∠A＝30°，∴OC＝OA＝10cm，根据勾股定理得：AC＝＝10cm，∴AB＝2AC＝20cm，则S△AOB＝AB•OC＝×20×10＝100cm2．故答案为：10012．如图，∠P AC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是6cm．解：过O点作OH⊥EF于H，连OF，如图则EH＝FH，在Rt△AOH中，AO＝AD+OD＝3+5＝8，∠A＝30°，则OH＝OA＝4，在Rt△OHF中，OH＝4，OF＝5，则HF＝＝3，则EF＝2HF＝6cm．故答案为6．13．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，则∠AED＝30°．解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．∴DH＝CH＝CD（垂径定理）；∵CD＝4，∴DH＝2；又∵AE＝5，BE＝1，∴AB＝6，∴OA＝OD＝3（⊙O的半径）；∴OE＝2；∴在Rt△ODH中，OH＝＝1（勾股定理）；在Rt△OEH中，OH＝OE，∴∠OEH＝30°，即∠AED＝30°．故答案为：30°．14．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10，AB＝16，则CD的长是4．解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝×16＝8，在Rt△OAD中，OD＝＝6，∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4．故答案为4．15．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为16．解：如图，OA＝16，则OC＝8，根据勾股定理得，AC＝＝8，∴弦AB＝16．故答案为：16．三．解答题（共6小题）16．在圆O中，直径CD⊥弦AB于E，AB＝6，＝，求DE的长．16．解：∵＝，∴CE＝3DE，∴CD＝CE+DE＝4DE，∴OD＝CD＝2DE，∴OE＝OD﹣DE＝DE，∴OA＝OD＝2DE，∴OA＝2OE．∵CD垂直平分AB，∴AE＝AB＝×6＝3，∠AEO＝90°，∴∠OAE＝30°，∴OA＝＝＝2，∴DE＝OA＝×2＝．17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝15cm，CB＝20cm，以CA为半径的⊙C交AB 于D，求AD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB＝＝＝25．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，∵CM⊥AB，∴M为AD的中点，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CM，且AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴CM＝＝12，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即225＝AM2+144，解得：AM＝9，∴AD＝2AM＝18．18．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，OC＝5cm，求DC的长．18．解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD＝AB＝4，由勾股定理得，OD＝＝3，∴DC＝OC﹣OD＝2cm．19．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，CD⊥AB于D，AB＝12，DB＝4，求CD的长．19．解：连接OC．∵AB是半圆O的直径，∴OC＝OB＝AB＝×12＝6．∴OD＝OB﹣DB＝6﹣4＝2，∴在直角△OCD中，CD＝＝＝4．20．如图，⊙O的半径OA＝5cm，AB是弦，C是AB上一点，且OC⊥OA，OC＝BC （1）求∠A的度数．（2）求AB的长．解：（1）连接OB，∵AO＝OB，OC＝BC，∴∠A＝∠B＝∠BOC．∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°．∵∠A+∠B+∠BOC+∠AOC＝180°，∴3∠A+90°＝180°，∴∠A＝30°；（2）∵∠A＝30°，OA＝5cm，∴AC＝＝＝cm，BC＝OC＝AC＝cm，∴AB＝AC+BC＝+＝5（cm）．21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．解：如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，∴CE＝ED＝CD＝3．∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，∴OE＝＝，∴BE＝OB﹣OE＝4﹣．。
