高等物理光学(chap2)_970908654

第2章光场的傅里叶分析
§2.1 傅里叶变换
§2.2 时间信号的傅里叶分析
§2.3 二维傅里叶变换和空间频率§2.4 平面波的角谱
§2.5 消逝波
§2.1 傅里叶变换Fourier Transform §2.1.1 Fourier 变换§2.1.2 Fourier 变换的性质§2.1.3 基本Fourier 变换对§2.1.4 卷积
法国数学家傅里叶
(Joseph Fourier)
(1768～1830)
§2.1.1 Fourier 变换
一、Fourier 变换定义
若函数在整个平面上绝对可积且满足狄里赫利条件
其傅里叶变换定义为
函数的傅里叶逆变换为
()()(),exp -2d d x y x y F f ,f f x y j f x f y x y π∞−∞⎡⎤=+⎣⎦
∫
∫()x y F f ,f (,)f x y ()()(),,exp 2d d x y x y x y f x y F f f j f x f y f f π∞
−∞⎡⎤=+⎣⎦
∫∫用一正交函数系中各函数的线性组合来表示某一函数
设：（1）线性（Linearity ）定理：
(){}()(){}()
,,,,x y x y F g x y G f f F h x y H f f ==()(){}()(),,,,x y x y F ag x y bh x y aG f f bH f f +=+§2.1.2 Fourier 变换性质和定理系统对同时作用的几个输入（或激励）所产生的输出（或响应）恒等于每个输入单独引起的输出之和。

谱分离：不同物体在空间的重叠不影响其F 频谱的独立性
图象叠加，谱分离，为图象处理提供可能。

极限情况δ
光学上
衍射孔径的伸展
导致衍射图样压缩
极限情况：
无衍射孔（空间域1）
一个点（频域δ函数）
（几何光学像）
衍射图样衍射孔衍射图样
ΣL 2L 1
[(,)]δ−F x a y 点光源位移a
(,)(,)
δ=g x y x y
f x x
（5）傅里叶积分定理：
在函数的各个连续点上有
对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；对函数相继进行两次正变换或两次逆变换，
得到原函数的
“倒立像”。

()y x g ,(){}(){}()
-1-1,,,F F g x y FF g x y g x y ==(){}(){}()
-1
-1
,,,FF g x y F F
g x y g x y ==−−
（1）常数c （2 ）脉冲函数( Function){}()1x F f δ=(){}1
F x δ=§2.1.3 基本Fourier 变换对(){}()
00exp 2x F x x j f x δπ−=−{}()
x F c c f δ
=用δ函数代表质点、点电荷、点光源
或者其他在某一坐标系中高度集中的物理量。

δ函数的频谱在整个频域内均匀
δ
无穷大半平面屏
位相板: 输出= 输入×exp(jπ
ν
∆()
2x a f π2
sin()ππx x
a f a
a f 1/a 2/a
f x
（9）梳状函数( Comb Function )
用来表示光栅、对其他普通函数作等间距抽样
()()
∑∞
−∞
=−=
n n x x δcomb (){}()
comb comb x F x f =-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
Comb(x)
（10）高斯函数（Gaussian Function ）
用于表示激光束光强分布
(
)
2
exp x
π−(){}()
2
2exp exp x
F x
f ππ−=−
基本Fourier变换对表
例：用宽度为a 的狭缝，对平面上光强分布
f (x )=2+cos(2πf 0x )
扫描，在狭缝后用光电探测器记录。

求输出光强分布。

引言：卷积概念的引入
§2.1.4 卷积(convolution)
f (ξ )
二、卷积运算过程
=
g x f x h x
()()*()
三、卷积的傅里叶变换
卷积定理：
空间域两函数的乘积（卷积）的傅里叶变换
对应着两者变换式的卷积（乘积）二维卷积定义为
()(){}()()
,,,,x y x y F g x y h x y G f f H f f ∗=⋅()(){}()()
,,,,x y x y F g x y h x y G f f H f f ⋅=∗()()()(),,,,d d g x y h x y g h x y ξηξηξη
∞
−∞
∗=−−∫
∫
卷积定理：
H
G h g F ⋅=∗][H
G h g F ∗=⋅][
卷积定理：
H
G h g F ⋅=∗][H
G h g F ∗=⋅][
卷积定理：
H
G h g F ⋅=∗][H
G h g F ∗=⋅][
1、交换律（Commutative Property ）
2、分配律（Distributive Property ）
3、结合律（Associative Property ）
()()()
x f x h x h x f *)(*=()()[]()()()()
x h x w x h x v x h x w x v **)(*+=+()()[]()()()[]
x h x w x v x h x w x v **)(**=卷积运算定理
7、卷积的光滑作用
卷积的过程，
是使函数平滑的过程原来函数尖锐的部分，
在卷积后变得平滑卷积后函数g(x)的宽度
等于两个被卷函数
宽度之和
脉冲响应函数h(x)
是对光学系统性能的定量评价
若h(x)为δ函数
（理想线性系统
无像差、无点扩散）
h(x)越宽
成像质量越差
8、重复卷积
)
()()()(21x f x f x f x g n ∗∗∗="
多个函数卷积
产生一个比任一被卷函数都光滑得多的函数当被卷函数越来越多时，卷积结果越来越象高斯函数
)
()()()(21x f x f x f x g n ∗∗∗="∞
→n 函数
Gauss x g →)(Gauss 函数最光滑？
∫
∫∫
∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
−=]
)(][)([)(ββααββd h d f d g 9、卷积下的面积
一个卷积下的面积等于被卷函数的面积之积
§2.2 时间信号的Fourier分析§2.2.1 无限长的单色光振动——单色光§2.2.2 持续时间有限的等幅光振动
§2.2.3 准单色光
§2.2.4 具有高斯振幅包络的准单色光
在空间任意位置上的波函数是频率
复振幅：
()()exp[(
=ΦU r A r j r ω
Im<U(r)>
Re<U(r)>
无限长的单色光振动所对应的频谱只含有单一的频率理想的单色波在时间上是无限
其频谱为没有宽度（无限窄）的单一频率
的Fourier 变换：
()()
00()()exp[2d ()νπνννδνν∞
−∞=−=−∫F U r j t U r (,)U r t 0
ν
ν
∆0()πνν−∆t
00()])νννν−∆−∆t t
00sin[()()πννπνν−−∆0()1νν−∆=±t 1
ν∆⋅∆≈t 1ν∆≈
∆t
v
v
F (v )。