高等物理光学空间频率和角谱

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中国科学院大学《高等物理光学》期末知识点总结

20 讲题目：平面波与球面波；空间频率；角谱：波的叠加；空间频率的丢失：卷积的物理意义；抽样定理；衍射与干涉；透过率函数；近场与远场衍射；“傅里叶变换与透镜”；対易：衍射的分析法：空品対易；全息；阿贝成像原理（4f 系统）；泽尼克相衬显微镜；CTF;OTF;非相干与相干成像系统；衍射的计算机实验；衍射的逆问题；叠层成像（Ptychography）；如何撰写科技文章面有限短距离 z 处得观察平面上，坐标是(0, b).求观察平面上的光强分布，并说明该光强分布与孔径是什么关系;若该孔径是两个矩形孔，求观察平面上的光强分布，并画出沿 y 轴方向的𝐴𝑘光强分布曲线。

解：孔径平面上透射波的光场分布为U(𝑥0 , 𝑦0 ) = exp(−𝑗𝑘𝑧) exp {−𝑗 [𝑥0 2 +𝑧抽样定理：利用梳状函数对连续函数𝑔(𝑥, 𝑦)抽样，得𝑔𝑠 (𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑔(𝑥, 𝑦)抽样U(x, y) =函数𝑔𝑠 ,由δ函数的阵列构成，各个空间脉冲在𝑥方向和y方向的间距分别为𝑋, 𝑌。

每个δ函数下的体积正比于该点 g 的函数值。

利用卷积定理，抽样函数𝑔𝑠 的频谱为空间域函数的抽样，导致函数频谱𝐺的周期性复𝑛 𝑚现，以频率平面上( , )点为中心重复𝐺见图。

1.5 光波场的空间频率和空间频率谱

ω ↔k T ↔λ
v↔ 1
λ
1. 空间频率空间频率，空间频率，即
f = 1
λ
(81)
它表示光波场沿波矢 k 方向每增加单位长度，光波方向每增加单位长度，场增加的周期数。场增加的周期数。
1. 空间频率光波的空间频率是观察方向的函数。例如，光波的空间频率是观察方向的函数。例如，对于图所空间频率是观察方向的函数示的、轴方向传播的平面光，在波传播方向（）示的、沿 z 轴方向传播的平面光，在波传播方向（z）上，波长是 λ ，空间频率是 f＝1 / λ。
2. 空间频率谱可以把一个平面上的单色光波场复振幅视为向空可以把一个平面上的单色光波场复振幅视为向空平面上间不同方向传播的单色平面光波的叠加，间不同方向传播的单色平面光波的叠加，每一个平面光波分量与一组空间频率（相对应。平面光波分量与一组空间频率（fx，fy）相对应。这样一来，就可以把对光波各种现象的分析，转这样一来，就可以把对光波各种现象的分析，变为考察该光波场的平面光波成分的组成变化，变为考察该光波场的平面光波成分的组成变化， % 也就是通过考察其空间频率谱 E(fx , f y )在各种过程中的变化，研究光波在传输、中的变化，研究光波在传输、衍射及成像等过程中的规律。中的规律。
(79)
1. 空间频率从平面光波场时、空相位关系的对称性来看，从平面光波场时、空相位关系的对称性来看，k 可空间圆频率，可称为光波场的空间周期空间周期, 称为空间圆频率称为空间圆频率，波长 λ 可称为光波场的空间周期相应波长的倒数可称为光波场在光传播方向上的空相应波长的倒数可称为光波场在光传播方向上的空间频率。间频率。
E = E0e−i(ωt −k⋅r +ϕ0 ) =E0e

第2章2_5平面波的角谱

∞
(6)
xy平面向（6）式表示：z=0平面上的光场，即透过xy平面向+z 式表示：z=0平面上的光场，透过xy平面向+z 平面上的光场方向传播的波，可以用不同方向的平面波展开。方向传播的波，可以用不同方向的平面波展开。
（5）式表示复振幅分布的空间频率正比于 α / λ或β / λ ，
中的低频分量对应于与z 在 ψ ( x, y ) 中的低频分量对应于与z轴夹角不大的平面波分量。而高频分量则对应于与z 面波分量。而高频分量则对应于与z轴夹角较大的平面波分量。这是一个重要的概念。平面波分量。这是一个重要的概念。
五、角谱的衍射
设在xy平面上有一个不透光的屏，屏上带一个透光的孔，孔的复透过率用光瞳函数p(x，y)来表示。这样一来，屏后面的透射场 ψ t 可用入射波的场 ψ i 表为： ψ t ( x, y ) = ψ i ( x, y ) p ( x, y ) （20）在频域中，上式变为：
At (α / λ , β / λ ) = Ai (α / λ , β / λ ) * P (α / λ , β / λ（21） )
其中 α 、β 和
γ 是
v 的方向余弦。 k 的方向余弦。
λ
(2)
ψ ( x, y,0) = ψ ( x, y ) = ∫ ∫ A(u, v) exp[−i 2π (ux + vy )]dudv
−∞
∞
(1)
引入二维矢量：引入二维矢量：
α = (α , β )
则在z=0的平面上则在z=0的平面上 z=0
不同方向的平面波的权函数 A(α / λ , β / λ ) 称为 ψ ( x, y )的它和空间频率的实质是相同的。角谱，它和空间频率的实质是相同的。

傅里叶光学金典试题及答案和重要知识点总结

因位置不同而引起的位相色散
x , y
z z
菲涅耳衍射可视为函数
U
0
(
x0
,
y0 ) exp[
j
k 2z
( x0 2
y
0
2
)]
的傅里叶变换在处的值
（3）频域（角谱）表达式： A(u,v) A0 (u,v)exp( jkz)exp[ jz(u2 v2 )]
A(u, v) A0 , • H , H(u,v) exp( jkz)exp[ jz(u2 v2 )] A(u, v) 衍射场角谱 A0 , 孔径后角谱
3、脉冲响应是孔径的傅里叶变换或夫朗和费衍射图样，中心在（-Mx0, -My0）点。 8. 衍射受限系统, 阿贝成像理论；
所谓衍射受限是指仅仅考虑系统的衍射限制，不考虑系统的几何像差。
在衍射受限系统中，光的衍射仅受到系统孔径光阑尺寸的限制，因此在考察衍射受限系统时，实际上主要考察
孔径光阑的衍射作用。如果入（出）射光瞳无限大，则光的衍射不受系统的限制，点物应该成理想的点像。然而，
δ 函数的性质：①偶函数性质：（- x) （x) ②坐标缩放性质： (ax) 1 (x)
a
③筛选性质： f (x) (x x0 )dx f (x0 )
④乘积性质： f x• x x0 f x0 • x x0
⑤卷积性质： f x x f x
f x x x0 f x x0
成像过程包含了两次衍射过程：由物面到后焦面，物体衍射光波分解为各种频率的角谱分量，即不同方向传播
的平面波分量，在后焦面上得到物体的频谱。这是一次傅里叶变换过程。由后焦面到像面，各角谱分量又合成为
像，这是一次傅里叶变换逆过程。
9. 相干成像系统的点扩展函数, 相干传递函数；相干照明系统中，脉冲响应是点物产生的衍射斑的振幅分布。

第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播

l
l

l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱：例
在x-y平面上, 光场复振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分布的频谱其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(

cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
l
l
l
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z

光学信息技术考试知识汇总(上海理工大学)

调制传递函数(MTF)与相位传递函数(PTF) 相干传递函数（CTF ）1、抽样定理：若函数g (x, y) 不包括高于Bx 和By 的频率分量,则此函数可以由一系列间隔(X, Y )等于或小于1/(2Bx)和1/(2By) 处的函数值完全决定.（ X, Y: 时/空域, 间隔; Bx , By :频域, 带宽）2、空间带宽积SW (SBP)= 16XYBxBy3、空间周期:相邻两条纹之间的距离 d4、空间频率：单位长度的条纹数5、角谱：如果对孔径面的光场复振幅分布做傅立叶变换，则得到它的空间频谱，此空间频谱即为复振幅分布的角谱。

6、透镜的点扩散函数：物平面上小面元的光振动为单位脉冲即δ函数时，通过透镜产生的像场分布函数称为点扩散函数或脉冲响应。

通常用表示。

7、在近轴成像条件下，透镜成像系统是空不变的。

透镜的脉冲响应等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样，其中心位于理想像点处。

透镜孔径的衍射作用,决定于孔径线度相对于波长和像距的比例。

8、点扩散函数的特征：它是 __透镜孔径函数____的傅里叶变换，变换的中心在输入脉冲的理想像点处_。

其表达式：所以对于单透镜系统，点扩散函数是空不变的9、衍射受限系统：是指不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的衍射限制。

10、孔径光栏：光学系统中对光波传播起最大限制作用的孔径或光栏 11、相干与非相干成像的比较：（1）截止频率相干：)2/(i c d D λρ= 是能传递的复振幅分布的最高空间频率。

非相干：)/(2i c d D λρ=，是能传递的强度分布的最高空间频率。

对于相干系统,截止频率指能够传递的复振幅呈周期变化的最高频率。

对于非相干系统，指能够传递的强度呈余弦变化的最高频率。

（3）传递作用相干成像系统是一个理想的带通滤波器，在与光瞳函数对应的通带内传递函数值为1。

在此通带外传递函数值为0非相干成像系统是一个有衰减的低通滤波器，其传递函数值在零频时恒为1，在其它频率处的值均小于1。

衍射

dx 空间周期 dy cos cos 空间频率 f x cos f y cos
高等光学
x,y方向单位长度内变化的周期数
标量衍射理论
光波的表示：
2
exp[ik r ] exp[ik (cosx cos y cosz)]
d d x0 x0 2 ) rect( 2) t ( x0 ) rect( a a x0 d d rect( ) * [ x0 x0 ] a 2 2
x0 d d F[t ( x0 )] F [rect( )] F [ x0 x0 ] a 2 2 a sin c(afx )[exp( jf x d ) exp( jf x d )]
标量衍射理论
Kirchhoff衍射理论：
将光波场函数带入到标量波动方程中，即可得到如下的Helmholtz方程：
（ k ) U ( P ) 0
2 2
U (P )是光场中任一观察点P的复振幅分布
高等光学
标量衍射理论
Kirchhoff衍射理论：
利用格林定理，在特定边界条件下导出Kirchhoff衍射公式
r0 z 0 ka 0 ka 1.22 f 爱里斑的半径：
0.61 r 0.61 r0 f 0 0' a f a
0.4
0.2
0.0 -10 -5 0 5 10
2r0
结论：衍射大小与圆孔半径成反比，而与光波波长成正比
高等光学
L1 S
a y
0
x
0
L2
y
P d 双缝衍射实验装置 x

空间频率

高等物理光学

⾼等物理光学⾼等物理光学总结1、场的概念、光场的概念答：场是带有某种物理量的空间光场是⼀定频率范围内的电磁波，（有光波存在的区域）2、什么是光⼦起伏及其对测量的影响答：经典理论认为电磁场不是量⼦化⽽是连续的，不考虑测量时的随机起伏。

任何检测仪器或记录介质，本⾝必然都有噪声，当被测光不太弱时，⽅可以认为噪声主要由检测装置造成的，⽽对于很弱的光强，光⼦起伏和检测仪器的起伏均须加以考虑。

在近代某些遥感或天⽂测量中，须考虑光⼦密度起伏。

3、电磁波的边界条件即：电场强度（磁场）⽮量切向分量连续，电位移⽮量法向连续4、以平⾯波为例分析电磁波的基本性质答：横波性，即电磁波传播⽅向与电场⽅向及磁场⽅向都垂直电⽮量与磁⽮量相互垂直E 和H 同相位，振幅⼤⼩成正⽐能量密度：平⾯电磁波的电场能量和磁场能量相等能流密度：在均匀⽆限⼤介质中，平⾯电磁波的能流密度⼤⼩为能流密度与相速度的乘积5、为什么把电场强度E 作为光⽮量答：光波中包含有电场⽮量和磁场⽮量，从波的传播特性来看，他们处于同等的地位，相互激励，不能分⽴；但从光与物质的相互作⽤来看，其作⽤不同，在⼀般情况下，磁场远⽐电场弱，甚⾄不起作⽤。

实验表明使胶⽚感光的是电场，引起⼈眼视觉作⽤的也是电场。

另外⼀⽅⾯，物质中的带电粒⼦受到电场⼒的作⽤⽽引起的运动远⽐受磁场的影响⼤，即使物体是静⽌状态下，电场也会产⽣作⽤。

因此通常把光波中的电场⽮量E 称为光⽮量，把电场E 的振动称为光振动。

1、对光场进⾏标量处理的前提条件答：衍射孔径⽐波长要⼤得多不要在太靠近孔径的地⽅观察衍射场2、为什么波动⽅程的解可以⽤复数表⽰答：依据⼀个定理即如果复值函数是是实系数线性微分⽅程的解，那么其实部也是该⽅程的解，所以我们可以在复数域内去寻找波动⽅程的解，当需要知道其解的实际物理意义时，取复数解的实部即可。

（注意：⼲涉波与波场之间的⾮线性运算时，必须把每个场先取实部然后进⾏运算）3、波前、波阵⾯、波失、波动等的概念，及它们之间的差异答：⼀个波⾃波源出发，在介质中向各个⽅向传播，某⼀时刻波动到达的各点所组成的⾯叫该时刻的波前，⼀般波前是指波场中任⼀所考察的平⾯。

光学成像系统的频率特性(精)

正薄透镜的成像
• 物面上 ( x0 , y0 ) 点的单位脉冲在透镜前表面上的光场分布为（近轴光线）
Ul 1 jk jk x y exp[ .( x0 2 y0 2 )].exp[ .( x 2 y 2 )].exp[ jk ( x0 y0 )] j d 0 2d0 2d0 d0 d0

3.2 透镜的傅里叶变换性质
物在透镜后
1 jk U ( x, y ) exp[ jk (q d 0 )]exp[ ( x 2 y 2 )] j (q d 0 ) 2(q d 0 ) 1 t ( x0 , y0 ).exp[ jk ( xx0 yy0 )]dx0 dy0 (q d 0 ) jk C exp[ ( x 2 y 2 )].F{t ( x0 , y0 )} 2(q d 0 ) f x x / (q d 0 ), f y y / (q d 0 )
x f
fx q f d0 fd0 x f
准傅里叶变换
d0处
2 q f d0
k 2f
k 2q
k f d0
x fd
0
2

y2
紧靠透镜

p
后焦面
q pf p f
x
x
2
y2
y
2
d0 =0
物在透镜前
f d0 jk U ( x, y ) C exp[ . ( x 2 y 2 )]. 2 q( f d 0 ) fd 0 f t ( x0 , y0 ).exp[ jk ( xx0 yy0 )]dx0 dy0 q( f d 0 ) fd 0 f d0 jk =C exp[ . ( x 2 y 2 )] F{t ( x0 , y0 )} 2 q( f d 0 ) fd 0 f x f y fx , fy [q( f d 0 ) fd 0 ] [q( f d 0 ) fd 0 ]

高等光学_第二章_部分习题答案

w 2π × 3 ×104 V= = = g k 2π × 3 ×10
2.5 Solved：
3 ×103
这题的题目应该出错了。如果不是出错的话，那么空间频率太大了，导致 z 分量会很大，计算会很麻烦。因此，应该将复振幅的公式改为：
3 × E ( x, y ) = exp i 2 10 π ( x + 1.5 y )
= λ
1 = fs
3 = 102 + 102 + 102 30
→
1
6.相位速度：相速度公式的推导可得：
常数对于等相面，我们有： wt − k r =
0 ，于是我们得出：两边取全微分，有： wdt − k d r =
→
Vp =
dr w = dt k
→
这里的 w 代表时间圆频率，k 代表总波数。故由题目可得：
2.13 Solved：
由于光波的群速度与 n，w，V p 都有关系，这里只要根据题目给出的已知，选取合适的公式以简化计算就行了。题目不止一种解法，而且选用的公式不同，得出的答案也会不同，都是正确的，但可能有的答案比较复杂。以下只给出最简单的答案。（1）对于给出折射率 n 的变化公式，由于题目说明是正常的色散介质，所以可使用简化的群速度公式：
c 出发，变形可得： n c n = k w
两边对 w 取一阶导数（k 与 w 有关）：
dn c c dk = −k 2 + dw w w dw
c dw V p = ，得出：利用 Vg = n dk 和
dn n c 1 = − + dw w w Vg
整理公式，最后可得：
Vg =
c n + w dn dw

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经过距离z的传播只是改变了各个角谱分量的相对相位，这是由于每个平面波分量在不同的方向上传播，它们到达给定的点所经过的距离不同引起的。引入相位延迟因子：

exp jkz 1 cos 2 cos 2

角谱的传播

U ( x, y, z)

A( f , f , z) exp[ j 2 ( f x f
f x 在X轴上单位周期内的所具有的震荡次数
平面波的空间频率
cos cos fy fx cos2 cos2 cos2 1
cos 1 cos cos
2 2
cos fz
U (x, y, z ) A exp[ j 2 (x f x yf y )]exp jkz 1 cos 2 cos 2
高等物理光学
2016年10月
目录
1
空间频率二维傅里叶变换平面波的角谱
2
3
空间频率
波的时间周期性波的空间周期性
周期：
频率：
T
空间周期：
空间频率：

1 f
1 T
角频率：
2 w 2 T
时空联系：
空间角频率：
2 k 2f
w v= T f k

U ( x, y, 0) exp[ j 2 ( xf
x
yf y )]d x d y
同时存在逆变换：

U ( x, y, 0)

cos cos cos cos cos cos , ) exp[ j 2 ( x y )]d d A0 (

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x y x
y
y )]d f x d f y
= A0 ( f x , f y ) exp jkz 1 cos 2 cos 2

exp[ j 2 ( f x x f y y )]d f x d f y
局域空间频率
一个函数的傅里叶成分的每个部分都是由特定空间频率的复指数构成的，而每个频率成分可以分布在整个（x，y）空间域中。空间频率和空间坐标没有必然联系。
cos cos cos 空间频率： f x 、 fy 、 fz
平面波的空间频率
在θ方向观察时，波的空间周期是 r，相应的空间频率为 1 cos fr =
r

显然，当＝ / 2 时，沿 x 方向的空间频率为零。

0
k z

平面波的空间频率
1 f x coa
U (x, y, z ) U (x, y, 0) exp jkz 1 cos 2 cos 2

平面波的二维傅里叶变换
设有一单色光波沿着z方向投射XY平面上，在z＝0处的光场为(x,y,0)，则函数U在XY平面上的二维傅里叶变换是：

A0 ( f x , f y )

cos cos A( , , z)

Z=0平面的角谱
Z=z平面的角谱
角谱的传播
• 复振幅U满足亥姆霍兹方程
2 2 k U 0

U ( x, y, z)
cos cos • A( , ，z) 所满足的波动方程为

A( f , f
x
y
, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]d f x d f y
角谱
对一随时间变化的信号作傅里叶变换，可求得该信号的频谱分布。同样，若对任一平面上的光场分布作空间坐标的二维博里叶变换，则可求得该光信号的“空间频谱”分布。由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量．可看作是沿不同方向传播的平面波，因此可称“空间频谱”为平面波的角谱。
角谱
U（x,y,0）可理解为不同空间频率的一系列基元函数exp[j2π(xfx+ yfy)] 之和，其叠加权重为A （fx, fy ）。基元函数就是空间频率为（fx, fy ）或者说方向余弦为cosα,cosβ的平面波。权重因子A（fx, fy ）为该方向的即该空间频率的平面波的复振幅。因此，单色光波在某一平面上的光场分别可以看做是不同传播方向的平面波的叠加，在叠加时各平面波有自己的振幅和相位，它们的值分别为角谱的模和幅角。
局域空间频率
一般的复指数函数 g ( x, y ) a ( x, y ) exp[ j ( x, y )]
定义g(x,y)的空间频率 ( flx , fly ) 为
1 1 flx ( x, y ), fly ( x, y ) 2 x 2 y
在g(x,y)=0的区域 f lx 0, f ly 0

•
由边界条件确定。在z=0处角谱是 A ( cos , cos ) ，因此

0
A(
cos cos , )

cos cos cos cos A( , ) A0 ( , )

角谱的传播
cos cos cos cos A( , , z ) A0 ( , ) exp jkz 1 cos 2 cos 2
然而，特定的空间频率或频段可以局限在（x，y）空间的某些确定区域内。
局域空间频率
具有单一空间频率 ( f x , f y )的基元复指数函数
g ( x, y ) a exp[ j 2 ( f x x f y y )]
其空间频率可以这样求得
1 1 fx [2 ( f x x f y y )], f y [2 ( f x x f y y )] 2 x 2 y

2 2 2 A k (1 cos cos )A 0 2 z
2
角谱的传播
• 解微分方程，得到方程的一个基本解是
cos cos cos cos A( , , z) A( , ) exp jkz 1 cos 2 cos 2

T

w k

平面波的空间频率
波矢量k表示光波的传播方向，其大小为： k
2
cos 、cos 、 cos 方向余弦为：
U x, y, z A exp jk r A exp jk x cos y cos z cos A exp[ j 2 ( f x x f y y f z z )]
局域空间频率
举例
x g ( x, y ) exp[ j 2 ( f x x f y y )]rect Lx
1 flx 2 1 fly 2
y rect L y

[2 ( f x x f y y )] f x x [2 ( f x x f y y )] f y y
角谱的传播
U (x, y, z ) U (x, y, 0) exp jkz 1 cos 2 cos 2

U ( x, y, z)

A( f
x
, f y , z) exp[ j 2 ( f x x f y y )]d f x d f y
角谱的传播
关系？
cos cos A0 ( , )