2011年第二十一届全国初中应用物理竞赛复赛试卷参考答案与试题解析

2011年第二十一届全国初中应用物理竞赛试卷一、本题共10小题，每小题2分，共20分．以下各小题给出的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项前面的字母填在题后的括号内．1．（2分）目前，很多汽车的驾驶室里都有一个叫做GPS（全球卫星定位系统）接收器的装置。

GPS接收器通过接收卫星发射的导航信号，实现对车辆的精确定位并导航。

卫星向GPS接收器传送信息依靠的是（）A．红外线B．紫外线C．电磁波D．激光2．（2分）如图所示为工人师傅推车运送纯净水的图片，对于这两种方法中哪种比较省力的判断，下列说法正确的是（）A．图甲的方法比较省力B．图乙的方法比较省力C．图甲和图乙两种方法所用的力大小相等D．无法判断3．（2分）如图所示，教室里的天花板下面装有多档位吊扇，当吊扇正常工作时，关于吊扇对天花板的拉力与其重力大小的判断正确的是（）A．吊扇在高档位工作时，拉力等于重力B．吊扇在低档位工作时，拉力大于重力C．吊扇在任意档位工作时，拉力等于重力D．吊扇在任意档位工作时，拉力小于重力4．（2分）在学校的田径运动会上，小亮注意到发令台上有一块“板子”，如图所示。

关于这块板子的作用，他做了如下猜想，其中正确的是（）A．主要用来反射发令枪的枪声，所以必须正对着终点计时裁判的方向B．主要用来衬托发令枪冒出的白烟，所以应该是深色或黑色的C．主要用来减弱噪声，所以要把它放在看台和发令枪之间D．主要用来遮阳，所以要把它放在裁判员的头的上方5．（2分）随着我国航天员在轨道舱内停留时间的增加，在轨道舱内进行体育锻炼必将成为航天员需要完成的一项重要工作。

下列适合航天员在轨道舱中进行体育锻炼的运动项目是（）A．举哑铃B．跳绳C．踢毽子D．拉弹簧拉力器6．（2分）动车组列车进站前的减速过程分为两个阶段进行：第一阶段采用“再生刹车”技术，速度从250km/h减至90km/h，这期间停止动力供给，列车依靠惯性继续前行，并带动发电机发电；第二阶段采用机械刹车，速度从90km/h开始不断减小直至停止。

2011年第二十一届全国初中应用物理比赛试题注意事项：．请在密封线内填写所在地域、学校、姓名和考号。

．用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写。

．本试卷共有六个大题，满分100分。

．答卷时间：2011年3月27日（礼拜日）上午9:30～11:10。

题号一二三四五六七分数复核人得分评卷人一、此题共10小题，每题2分，共20分。

以下各小题给出的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项前方的字母填在题后的括号内。

1．日前，好多汽车的驾驶室里都有一个叫做GPS(全世界卫星定位系统）接收器的装置。

GPS接收器经过接收卫星发射的导航信号，实现对车辆的精准定位并导航。

卫星向GPS接收器传递信息依赖的是()A．红外线B．紫外线C．电磁波D．激光2．图l为工人师傅用手推车运送纯净水的图片，对于这两种方法中哪一种方法比较省力的判断，以下说法中正确的选项是()A．图甲的方法比较省力B．图乙的方法比较省力CD．没法判断E3．如图2所示，教室里的天花板下边装有多档位吊扇，当吊扇正常工作时，对于吊扇对天花板的拉力大小与其重力F大小的判断，以下说法中正确的选项是()G．吊扇在高档位工作时，拉力等于重力H．吊扇在低档位工作时，拉力大于重力IJ．风扇在随意档位工作时，拉力小于重力K4．在学校的田径运动会上，小亮注意到发令台上有一块“板子”，如图3所示。

对于这块板子的作用，他做了以下猜想，此中正确的L是()M．主要用来反射发令枪的枪声，所以一定正对着终点计时裁判的方向．主要用来烘托发令枪冒出的白烟，所以应当是深色或黑色的．主要用来遮阳，所以要把它放在评判员的头的上方．跟着我国航天员在轨道舱内逗留时间的增添，在轨道舱内进行体育锻炼势必成为航天员需要达成的一项重要工作。

以下合适航天员在轨道舱中进行体育锻炼的运动项目是()A．举哑铃C．踢毽子B．跳绳D．拉弹簧拉力器．动车组列车进站前的减速过程分为两个阶段进行：第一阶段采纳“重生刹车”技术，速度从250km/h减至90km/h，这时期停止动力供应，列车依赖惯性持续前行，并带动发电机发电；第二阶段采纳机械刹车，速度从90km/h 开始不停减小直至停止。

第二十一届全国初中应用物理竞赛试题（中考可能原题考到）2.图1为工人师傅用于推车运送纯净水的图片，对于这两种方法中哪种方法比较省力的判断，下列说法中与其重力大小的判断，下列说法中准确的是（D ）A.吊扇在高挡位工作时，拉力等于重力。

B.吊扇在低挡位工作时，拉力大于重力。

C.电扇在任意挡位工作时，拉力等于重力。

D.电扇在任意挡位工作时，拉力小于重力。

4.在学校的田径运动会上，小亮注意到发令台上有一块“板子”，如图3所示；关于这块板子的作用，他做了如下猜想，其中准确的是（B ）A.主要用来反射发令枪的枪声，所以必须正对着终点计时裁判的方向。

B.主要用来衬托发令枪冒岀的白烟，所以应该是深色或黑色的。

C.主要用来减弱噪声，所以要把它放在看台和发令枪之间。

D.主要用来遮阳，所以要把它放在裁判员的头的上方。

二、简答下列各题（每题5分，共30分）1.警用弓弩因其发射时无光、声音小等特点，被广泛应用于反恐，如图7甲所示。

图7乙和丙为两种配有不同瞄准装置的弩，它们可用来发射箭和钢珠，并配有手柄、肩托等辅助设备弩弦的拴绕使用了滑轮可有效地减小体积。

请观察它的结构，并分析它的使用过程，其中用到了哪些物理知识？准确的是（A）3.如图2所示，教室里的天花板下面装有多挡位吊扇，当吊扇正常工作时，对于吊扇对天花板的拉力大小L <5#>①爭柄上有花tt；大廉1»・②OfflKt诫小空FBI力.③弓餉或轉珠再幵腎弦启甌馳湖城小受力面籾囂大压薪®利用歸的弾力第粗甌将押性势能转化为动©fflfti媳大受力血稅・减小用强.光的・⑧光学畸准it也的折射扯的a at ft si, 儀箭时程力.放餉时2.很多轿车后窗玻璃的内壁上都平行地贴有若干条很窄的金属膜，如图8所示。

驾驶员能够通过开关对其实行控制，当通电时这些金属膜会发热。

请回答这些金属膜的主要作用是什么图邑I0斜氣靛脚越瓣内麵上的小水訊加小咪曲犹般仏删黠IW 斛緬咖細轍•俯硼财難帥联俪輛砒曲3.图9中的甲、乙两图是同一把平放在一张白纸上的透明刻度尺正放和反放的照片，图9丙是其沿刻度线方向的横截面图。

页眉内容本卷共七题，满分1 4 0分.一、(20分)薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判．对于均匀薄膜材料，在一定温度下，某种气体通过薄膜渗透过的气体分子数dPStkN ∆=，其中t 为渗透持续时间，S 为薄膜的面积，d 为薄膜的厚度，P ∆为薄膜两侧气体的压强差．k 称为该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数．透气系数愈小，材料的气密性能愈好．图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图．EFGI 为渗透室，U 形管左管上端与渗透室相通，右管上端封闭；U 形管内横截面积A ＝0.150cm 2．实验中，首先测得薄膜的厚度d =0.66mm ，再将薄膜固定于图中C C '处，从而把渗透室分为上下两部分，上面部分的容积30cm 00.25=V ，下面部分连同U 形管左管水面以上部分的总容积为V 1，薄膜能够透气的面积S =1.00cm 2．打开开关K 1、K 2与大气相通，大气的压强P 1＝1.00atm ，此时U 形管右管中气柱长度cm 00.20=H ，31cm 00.5=V ．关闭K 1、K 2后，打开开关K 3，对渗透室上部分迅速充气至气体压强atm 00.20=P ，关闭K 3并开始计时．两小时后， U 形管左管中的水面高度下降了cm 00.2=∆H ．实验过程中，始终保持温度为C 0 ．求该薄膜材料在C 0 时对空气的透气系数．（本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定，在压强差变化不太大的情况下，可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值P ∆来代替公式中的P ∆．普适气体常量R = 8.31Jmol -1K -1，1.00atm = 1.013×105Pa ）．二、(20分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期．已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R 的2倍，卫星通过近地点时的速度R GM 43=v ，式中M 为地球质量，G 为引力常量．卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角．试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离．（最后结果要求用测得量和地球半径R 表示）三、(15分)μ子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命s 100.260-⨯≈τ．宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批μ子，以v = 0.99c 的速度（c 为真空中的光速）向下运动并衰变．根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t = 0时刻的粒子数为N (0), t 时刻剩余的粒子数为N (t )，则有()()τt N t N -=e 0，式中τ为相对该惯性系粒子的平均寿命．若能到达地面的μ子数为原来的5％，试估算μ子产生处相对于地面的高度h ．不考虑重力和地磁场对μ子运动的影响．四、(20分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．如图，S 1、S 2、S 3 是等距离（h ）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为α =arctan ()41的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h 、半径为r =0.75 h 的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z 轴（以S 2第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷C F S为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S 2为 L = 12.0 h 处的P 点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．） 1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据．五、(20分)如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R ，在空腔内一直径上的P 1和P 2处，放置电量分别为q 1和q 2的点电荷，q 1＝q 2＝q ，两点电荷到球心的距离均为a ．由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q ．空腔内部的电场是由q 1、q 2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的．由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强．但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q 1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷1q '与q 1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q 2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷2q '与q 2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0．这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的．等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷1q '、2q '和q 1、q 2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强．1．试根据上述条件，确定假想等效电荷1q '、2q '的位置及电量． 2．求空腔内部任意点A 的电势U A ．已知A 点到球心O 的距离为r ，OA 与1OP 的夹角为θ ．六、(20分)如图所示，三个质量都是m 的刚性小球A 、B 、C 位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A 、B 之间，B 、C 之间分别用刚性轻杆相连，杆与A 、B 、C 的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB 与BC 的夹角为π-α ，α < π/2．DE 为固定在桌面上一块挡板，它与AB 连线方向垂直．现令A 、B 、C 一起以共同的速度v 沿平行于AB 连线方向向DE 运动，已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C 沿垂直于DE 方向的速度由v 变为0这一极短时间内挡板对C 的冲量的大小．七、（25分）如图所示，有二平行金属导轨，相距l ，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m 的两金属杆ab 和cd 放在导轨上，与导轨垂直．初始时刻， 金属杆ab 和cd 分别位于x = x 0和x = 0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L ．今对金属杆ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速0v ．设导轨足够长，0x 也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距0x ，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L 是恒定不变的．杆与导轨之间摩擦可不计．求任意时刻两杆的位置x ab 和x cd 以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i 三者各自随时间t 的变化关系．第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、开始时U 形管右管中空气的体积和压强分别为 V 2 = HA （1） P 2= P 1经过2小时，U 形管右管中空气的体积和压强分别为A H H V )(2∆-=' （2）2222V V P P '=' （3） 渗透室下部连同U 形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为 HAV V ∆+='11 （4）H g P P Δ221ρ+'='（5）式中ρ 为水的密度，g 为重力加速度．由理想气体状态方程nRT PV =可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数RTV P RT V P n 1111-''=∆ （6）在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数A nN N ∆=（7）式中N A 为阿伏伽德罗常量．渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了∆PV ΔnRTP =∆ （8）经过2小时渗透室上部分中空气的压强为P P P ∆-='00（9）测试过程的平均压强差[])(211010P P ()P P P '-'+-=∆ （10）根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数11111s m Pa 104.2---⨯=∆=tSP Nd k （11）评分标准：本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分．二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O 处，设待测量星体位于C 处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A 时，另一个卫星恰好到达远地点B 处，只要位于A 点的卫星用角度测量仪测出AO 和AC 的夹角α1，位于B 点的卫星用角度测量仪测出BO 和BC 的夹角α2，就可以计算出此时星体C 与地心的距离OC ．因卫星椭圆轨道长轴的长度远近＋r r AB =(1)式中r 近、与r 远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒远远近近＝r m r v mv (2)式中m 为卫星的质量．由机械能守恒远远近近－－r GMm m r GMm m 222121v v = (3) 已知R r 2＝近， RGM43＝近v得 R r 6=远(4) 所以R R R AB 862=+= (5)在△ABC 中用正弦定理()ABBC211πsin sin ααα--= (6)所以 ()AB BC 211sin sin ααα+=(7)地心与星体之间的距离为OC ，在△BOC 中用余弦定理2222cos 2αBC r BC r OC ⋅-+=远远(8)由式(4)、(5)、(7)得()()212121212sin cos sin 24sin sin 1692ααααααα+-++=R OC(9)评分标准：本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分．三、因μ子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命s 100.260-⨯≈τ根据时间膨胀效应，在地球上观测到的μ子平均寿命为τ，()21c v -=ττ (1)代入数据得 τ = 1.4×10－5s(2)相对地面，若μ子到达地面所需时间为t ，则在t 时刻剩余的μ子数为()()τt N t N -=e 0(3)根据题意有B()()%5e 0==-τt N t N (4)对上式等号两边取e 为底的对数得1005lnτ-=t (5)代入数据得s 1019.45-⨯=t(6)根据题意，可以把μ子的运动看作匀速直线运动，有t h v =(7)代入数据得m 1024.14⨯=h (8)评分标准：本题15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分．四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P 点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z 轴，三个光心O 1、O 2、O 3的连线平行于3个光源的连线，O 2位于z 轴上，如图1所示．图中M M '表示组合透镜的平面，1S '、2S '、3S '为三个光束中心光线与该平面的交点． 22O S ＝ u 就是物距．根据透镜成像公式 fu L u 111=-+ (1) 可解得]4[212fL L L u -±=因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P 点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2u tan α ≤h 即u ≤2h ．在上式中取“－”号，代入f 和L 的值，算得h u )236(-=≈1.757h (2)此解满足上面的条件．分别作3个点光源与P 点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P 点，3个透镜的光心O 1、O 2、O 3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有h h h L u L O O O O 854.0)24121(3221≈+=-==(3)即光心O 1的位置应在1S '之下与1S '的距离为 h O O h O S 146.02111=-=' 同理，O 3的位置应在3S '之上与3S '的距离为0.146h 处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h ，才能使S 1、S 2、S 3都能成像于P 点．2．现在讨论如何把三个透镜L 1、L 2、L 3加工组装成组合透镜． 因为三个透镜的半径r = 0.75h ，将它们的光心分别放置到O 1、h hO 2、O 3处时，由于21O O ＝32O O ＝0.854h <2r ，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．图2画出了L 1、L 2放在M M '平面内时相互交叠的情况（纸面为M M '平面）．图中C 1、C 2表示L 1、L 2的边缘，1S '、2S '为光束中心光线与透镜的交点，W 1、W 2分别为C 1、C 2与O 1O 2的交点． 1S '为圆心的圆1和以2S '（与O 2重合）为圆心的圆2分别是光源S 1和S 2投射到L 1和L 2时产生的光斑的边缘，其半径均为h u 439.0tan ==αρ (5)根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K 点（见图2）是否落在L 1上？由几何关系可知()h r h h S O K O 75.0585.0146.0439.0111=<=+='+=ρ (6) 故从S 1发出的光束能全部进入L 1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L 1和L 2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O 1和O 2之间作垂直于O 1O 2且分别与圆1和圆2相切的切线Q Q '和N N '．若沿位于Q Q '和N N '之间且与它们平行的任意直线T T '对透镜L 1和L 2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L 2的下半部和L 3进行切割，然后将L 2的下半部和L 3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S 1、S 2、S 3发出的全部光线都会聚到P 点．现在计算Q Q '和N N '的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L 1被切去部分沿O 1O 2方向的长度为x 1，透镜L 2被切去部分沿O 1O 2方向的长度为x 2，如图2所示，则对任意一条切割线T T '， x 1、x 2之和为h O O r x x d 646.022121=-=+=（7）由于T T '必须在Q Q '和N N '之间，从图2可看出，沿Q Q '切割时，x 1达最大值(x 1M )，x 2达最小值(x 2m )，ρ-'+=111O S r x M 代入r ，ρ 和11O S 的值，得h x M 457.01=(8)代入(7)式，得h x d x M m 189.012=-= (9)由图2可看出，沿N N '切割时，x 2达最大值(x 2M )，x 1达最小值(x 1m )，ρ-=r x M 2 代入r 和ρ 的值，得h x M 311.02= (10) h x d x M m 335.021=-= （11）由对称性，对L 3的加工与对L 1相同，对L 2下半部的加工与对上半部的加工相同．评分标准：本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O 1O 2=O 1O 2=0.854h ，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．五、1．解法Ⅰ：如图1所示，S 为原空腔内表面所在位置，1q '的位置应位于1OP 的延长线上的某点B 1处，2q '的位置应位于2OP的延长线上的某点B 2处．设A 1为S 面上的任意一点，根据题意有 0111111='+B A q kP A q k(1)0212212='+B A q kP A q k (2)怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中11A OP ∆与11B OA ∆的关系．若等效电荷1q '的位置B 1使下式成立，即211R OB OP ＝⋅(3) 即1111OB OA OA OP =(4)则1111B OA A OP ∽△△有RaOA OP B A P A ==111111 (5)由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷1q '11q aRq -=' (6)由 (3) 式知，等效电荷1q '的位置B 1到原球壳中心位置O 的距离aR OB 21=(7)同理，B 2的位置应使2112B OA A OP ∽△△，用类似的方法可求得等效电荷22q aRq -=' (8)等效电荷2q '的位置B 2到原球壳中心O 位置的距离 aR OB 22=(9)解法Ⅱ：在图1中，设111r P A =，111r B A '=，d OB =1．根据题意，1q 和1q '两者在A 1点产生的电势和为零．有01111=''+r q k r q k （1＇）式中21221)cos 2(θRa a R r -+=（2＇）B 2121221)cos 2(θRd d R r -+='（3＇）由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得)cos 2()cos 2(22212221θθRa a R q Rd d R q -+'=-+ （4＇）（4＇）式是以θcos 为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意θ均成立，等号两边的相应系数应相等，即)()(22212221a R q d R q +'=+ （5＇）a q d q 2121'= （6＇） 由（5＇）、（6＇）式得0)(2222=++-aR d R a ad （7＇） 解得aR a R a d 2)()(2222-±+=（8＇）由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得 aR d 2=（9＇）由（6＇）、（9＇）式有212221q aR q =' （10＇）考虑到（1＇）式，有11q aRq -=' （11＇）同理可求得aR OB 22=（12＇）22q aRq -=' （13＇）2．A 点的位置如图2所示．A 的电势由q 1、1q '、q 2、2q '共同产生，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=A B a R A P A B a R A P kq U A 22111111 (10)因221cos 2a ra r A P +-=θ22221cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R a R r r A B θ 222cos 2a ra r A P ++=θ22222cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a R a R r r A B θ 代入 (10) 式得⎝⎛+--+-=422222cos 2cos 21RraR r a Rara r kq U A θθ⎪⎪⎭⎫++-+++422222cos 2cos 21R raR r a Rara r θθ (11)评分标准：本题20分．第1问18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分．解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ． 第2问2分，即(11)式2分．六、令I 表示题述极短时间∆t 内挡板对C 冲量的大小，因为挡板对C 无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE ，如图所示；I '表示B 、C 间的杆对B 或C 冲量的大小，其方向沿杆方向，对B 和C 皆为推力；C v 表示∆t 末了时刻C 沿平行于DE 方向速度的大小，B v 表示∆t 末了时刻B 沿平行于DE 方向速度的大小，⊥B v 表示∆t 末了时刻B 沿垂直于DE 方向速度的大小．由动量定理， 对C 有C m I v ='αsin (1) v m I I ='-αcos(2) 对B 有B m I v ='αsin (3)对AB 有()⊥-='B m I v v 2cos α(4)因为B 、C 之间的杆不能伸、缩，因此B 、C 沿杆的方向的分速度必相等．故有αααsin cos sin B B C v v v -=⊥(5)由以上五式，可解得v m I αα22sin 31sin 3++= (6)评分标准：本题20分． (1)、(2)、(3)、(4)式各2分． (5)式7分，(6)式5分．七、解法Ⅰ：当金属杆ab 获得沿x 轴正方向的初速v 0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将图2阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab 的安培力将使ab 杆减速，作用于cd 杆的安培力使cd 杆运动．设在任意时刻t ，ab 杆和cd 杆的速度分别为v 1和v 2（相对地面参考系S ），当v 1、v 2为正时，表示速度沿x 轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势()21v v -=Bl E(1)当回路中的电流i 随时间的变化率为t i ∆∆时，回路中的自感电动势ti LL ∆∆-=E (2)根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有0=+L E E(3)金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为V C ，有 C mV m 20=v(4)得2v =C V (5)V C 方向与v 0相同，沿x 轴的正方向．现取一新的参考系S '，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O '，取坐标轴x O ''与x 轴平行．设相对S '系，金属杆ab 的速度为u ，cd 杆的速度为u '，则有 u V C +=1v (6)u V C '+=2v(7)因相对S '系，两杆的总动量为零，即有0='+u m mu (8)由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得ti LBlu ∆∆=2 (9)在S '系中，在t 时刻，金属杆ab 坐标为x '，在t ＋∆t 时刻，它的坐标为x x '∆+'，则由速度的定义tx u ∆'∆=(10)代入 (9) 式得i L x Bl ∆='∆2(11)若将x '视为i 的函数，由（11）式知i x ∆'∆为常数，所以x '与i 的关系可用一直线方程表示b i BlLx +='2 (12)式中b 为常数，其值待定．现已知在t ＝0⎫; ∇⊥Φab 在S '系中的坐标x '＝021x ，这时i = 0，故得0212x i Bl L x +=' (13)或⎪⎭⎫⎝⎛-'=0212x x L Bl i (14)021x 表示t ＝0⎫;∇⊥Φab 的位置．x '表示在任意时刻t ，杆ab 的位置，故⎪⎭⎫ ⎝⎛-'021x x 就是杆ab 在t 时刻相对初始位置的位移，用X 表示，021x x X -'= (15)当X >0时，ab 杆位于其初始位置的右侧；当X <0时，ab 杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得X LBli 2=(16)这时作用于ab 杆的安培力X Ll B iBl F 222-=-= (17)ab 杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab 杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab 的运动是简谐振动，振动的周期()Ll B mT 222π2=(18)在任意时刻t ， ab 杆离开其初始位置的位移⎪⎭⎫⎝⎛+=ϕt T A X π2cos(19)A 为简谐振动的振幅，ϕ : ⎭M ⎬/ 8∉ ⋂ℜ ⎪B ab 杆的振动速度⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕt T T A u π2sin π2 (20)(19)、(20)式分别表示任意时刻ab 杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在t ＝0时刻，ab 杆位于初始位置，即X = 0 速度00002121v v v v =-=-=C V u故有ϕcos 0A =ϕsin π220⎪⎭⎫⎝⎛-=T A v 解这两式，并注意到(18)式得2π3=ϕ(21)22400mLBlT A vv ==π (22)由此得ab 杆的位移t TmL Bl t TmL BlX π2sin 222π3π2cos 2200v v =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（23）由 (15) 式可求得ab 杆在S '系中的位置t TmL Bl x x π2sin 222100abv +=' (24)因相对质心，任意时刻ab 杆和cd 杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在S '系中，cd 杆的位置t TmL Bl x x π2sin 222100cdv --=' (25)相对地面参考系S ，质心以021v =C V 的速度向右运动，并注意到（18）式，得ab 杆在地面参考系中的位置t mL Bl mL Blt x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2sin 2221000ab v v (26)cd 杆在S 系中的位置t mL Bl mL Blt x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 222100cd v v （27）回路中的电流由 (16) 式得t mL Bl L m t T mL BlL Bl i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2sin 2π2sin 22200v v (28)解法Ⅱ：当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab 杆的速度改变，使cd 杆运动．设任意时刻t ，两杆的速度分别为v 1和v 2（相对地面参考系S ），若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为()21v v -=Bl E(1’)令u 表示ab 杆相对于cd 杆的速度，有Blu L =E(2’)当回路中的电流i 变化时，回路中有自感电动势E L ，其大小与电流的变化率成正比，即有ti LL ∆∆-=E (3’)根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有0=+L E E由式(2’)、(3’)两式得ti LBlu ∆∆= (4’)设在t 时刻，金属杆ab 相对于cd 杆的距离为x '，在t ＋∆t 时刻，ab 相对于cd 杆的距离为x '＋x '∆，则由速度的定义，有tx u ∆'∆=(5’)代入 (4') 式得i L x Bl ∆='∆ (6’)若将x '视为i 的函数，由(6’)式可知，i x ∆'∆为常量，所以x '与i 的关系可以用一直线方程表示，即b i BlLx +=' (7’)式中b 为常数，其值待定．现已知在t ＝0⎫; ∇⊥Φab 相对于cd 杆的距离为0x ，这时i = 0，故得0x i Bl Lx +='(8’) 或 ()0x x LBli -'=(9’) 0x 表示t ＝0⎫;∇⊥Φab 相对于cd 杆的位置．x '表示在任意时刻t 时ab 杆相对于cd 杆的位置，故()0x x -'就是杆ab 在t 时刻相对于cd 杆的相对位置相对于它们在t ＝0时刻的相对位置的位移，即从t ＝00t ＝t 时间内ab 杆相对于cd 杆的位移0x x X -'= (10')于是有X LBl i =(11’)任意时刻t ，ab 杆和cd 杆因受安培力作用而分别有加速度a ab 和a cd ，由牛顿定律有 ab ma iBl =- (12’)cd ma iBl =(13’)两式相减并注意到(9')式得()X Ll B iBl a a m 22cd ab22-=-=-(14’)式中()cd ab a a -为金属杆ab 相对于cd 杆的加速度，而X 是ab 杆相对cd 杆相对位置的位移．Ll B 222是常数，表明这个相对运动是简谐振动，它的振动的周期()Ll B mT 222π2=(15’)在任意时刻t ，ab 杆相对cd 杆相对位置相对它们初始位置的位移⎪⎭⎫⎝⎛+=ϕt T A X π2cos(16’)A 为简谐振动的振幅，ϕ : ⎭M ⎬/ 8∉ ⋂ℜ ⎪B X 随时间的变化率即速度⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕT T A V π2sin π2(17’)现已知在t ＝0时刻，杆位于初始位置，即X = 0，速度0v =V 故有ϕcos 0A =ϕsin π20⎪⎭⎫⎝⎛-=T A v解这两式，并注意到(15’) 式得2π3=ϕ2π200mLBlT A v v ==由此得t mL Bl mL Bl t TmL BlX ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin 22π3π2cos 200v v (18’)因t = 0时刻，cd 杆位于x = 0 处，ab 杆位于x = x 0 处，两者的相对位置由x 0表示；设t 时刻，cd 杆位于x = x cd 处，ab 杆位于x = x ab 处，两者的相对位置由x ab －x cd 表示，故两杆的相对位置的位移又可表示为 X = x ab －x cd －x 0 (19’) 所以t mL Bl mL Blx x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2sin 200cd ab v (20’)(12’)和(13’)式相加, ()0cd ab =+-=+iBl iBl a a m得()0cd ab =+a a由此可知，两杆速度之和为一常数即v 0，所以两杆的位置x ab 和x cd 之和应为x ab ＋x cd = x 0＋v 0t (21’)由(20’)和(21’)式相加和相减，注意到(15’)式，得t mL BlmL Bl t x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2sin 2221000ab v v （22’）t mL BlmL Blt x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 22210cd v v （23’）由(11’)、（19’）(22’)、(23’)式得回路中电流t mL Bl L m i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin 20v （24’）评分标准：本题25分．解法Ⅰ 求得(16)式8分，(17)、(18)、(19)三式各2分． (23)式4分，(24)、(25)二式各2分，(26)、(27)、(28)三式各1分．解法Ⅱ的评分可参照解法Ⅰ评分标准中的相应式子给分．。

第二十一届全国中学生物理竞赛复赛试题本卷共七题，满分140分.一、(20分)薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判．对于均匀薄膜材料，在一定温度下，某种气体通过薄膜渗透过的气体分子数dPStkN∆=，其中t 为渗透持续时间，S 为薄膜的面积，d 为薄膜的厚度，P ∆为薄膜两侧气体的压强差．k 称为该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数．透气系数愈小，材料的气密性能愈好．图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图．EFGI 为渗透室，U 形管左管上端与渗透室相通，右管上端封闭；U 形管内横截面积A ＝0.150cm 2．实验中，首先测得薄膜的厚度d =0.66mm ，再将薄膜固定于图中C C '处，从而把渗透室分为上下两部分，上面部分的容积30cm 00.25=V ，下面部分连同U 形管左管水面以上部分的总容积为V 1，薄膜能够透气的面积S =1.00cm 2．打开开关K 1、K 2与大气相通，大气的压强P 1＝1.00atm ，此时U 形管右管中气柱长度cm 00.20=H，31cm 00.5=V ．关闭K 1、K 2后，打开开关K 3，对渗透室上部分迅速充气至气体压强atm 00.20=P ，关闭K 3并开始计时．两小时后， U 形管左管中的水面高度下降了cm 00.2=∆H ．实验过程中，始终保持温度为C 0 ．求该薄膜材料在C 0时对空气的透气系数．（本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定，在压强差变化不太大的情况下，可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值P ∆来代替公式中的P ∆．普适气体常量R = 8.31Jmol -1K -1，1.00atm = 1.013×105Pa ）．二、(20分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期．已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R 的2倍，卫星通过近地点时的速度R GM 43=v ，式中M 为地球质量，G 为引力常量．卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角．试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离．（最后结果要求用测得量和地球半径R 表示）三、(15分)μ子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命s 100.260-⨯≈τ．宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批μ子，以v = 0.99c 的速度（c 为真空中的光速）向下运动并衰变．根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t = 0时刻的粒子数为N (0), t 时刻剩余的粒子数为N (t )，则有()()τt N t N -=e 0，式中τ为相对该惯性系粒子的平均寿命．若能到达地面的μ子数为原来的5％，试估算μ子产生处相对于地面的高度h ．不考虑重力和地磁场对μ子运动的影响．四、(20分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．如图，S 1、S 2、S 3 是等距离（h ）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为α =arctan()41的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h 、半径为r =0.75 h 的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z 轴（以S 2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S 2为 L = 12.0 h 处的P 点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．） 1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据．五、(20分)如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R ，在空腔内一直径上的P 1和P 2处，放置电量分别为q 1和q 2的点电荷，q 1＝q 2＝q ，两点电荷到球心的距离均为a ．由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q ．空腔内部的电场是由q 1、q 2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的．由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强．但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q 1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷1q '与q 1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q 2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷2q '与q 2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0．这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的．等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷1q '、2q '和q 1、q 2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强．1．试根据上述条件，确定假想等效电荷1q '、2q '的位置及电量． 2．求空腔内部任意点A 的电势U A ．已知A 点到球心O 的距离为r ，OA 与1OP 的夹角为θ ．六、(20分)如图所示，三个质量都是m 的刚性小球A 、B 、C 位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A 、B 之间，B 、C 之间分别用刚性轻杆相连，杆与A 、B 、C 的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB 与BC 的夹角为π-α ，α < π/2．DE 为固定在桌面上一块挡板，它与AB 连线方向垂直．现令A 、B 、C 一起以共同的速度v 沿平行于AB 连线方向向DE 运动，已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C 沿垂直于DE 方向的速度由v 变为0这一极短时间内挡板对C 的冲量的大小．七、（25分）如图所示，有二平行金属导轨，相距l ，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m 的两金属杆ab 和cd 放在导轨上，与导轨垂直．初始时刻， 金属杆ab 和cd 分别位于x = x 0和x = 0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L ．今对金属杆ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速0v ．设导轨足够长，0x 也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距0x ，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L 是恒定不变的．杆与导轨之间摩擦可不计．求任意时刻两杆的位置x ab 和x cd 以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i 三者各自随时间t 的变化关系．第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、开始时U 形管右管中空气的体积和压强分别为 V 2 = HA （1） p 2= p 1经过2小时，U 形管右管中空气的体积和压强分别为A H H V )(2∆-=' （2） 2222V V p p '=' （3） 渗透室下部连同U 形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为HAV V ∆+='11（4）H g p p Δ221ρ+'=（5）式中ρ 为水的密度，g 为重力加速度．由理想气体状态方程nRT pV =可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数RTV p RT V p n 1111-''=∆ （6）在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数：A nN N∆=（7）式中N A 为阿伏伽德罗常量．渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了：0V ΔnRTp =∆ （8） 经过2小时渗透室上部分中空气的压强为：p p p ∆-='00（9） 测试过程的平均压强差：[])(211010p p ()p p p '-'+-=∆ （10） 根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数11111s m Pa 104.2---⨯=∆=tSp Nd k （11）二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O 处，设待测量星体位于C 处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A 时，另一个卫星恰好到达远地点B 处，只要位于A 点的卫星用角度测量仪测出AO 和AC 的夹角α1，位于B 点的卫星用角度测量仪测出BO 和BC 的夹角α2，就可以计算出此时星体C 与地心的距离OC ．因卫星椭圆轨道长轴的长度远近＋r r AB = (1)式中r 近、与r 远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒 远远近近＝r m r v mv (2) 式中m 为卫星的质量．由机械能守恒远远近近－－r GMm m r GMm m 222121v v = (3) 已知R r 2＝近， RGM43＝近v 得R r 6=远 (4) 所以：R R R AB 862=+= (5)在△ABC 中用正弦定理B()ABBC211πsin sin ααα--=(6) 所以()AB BC 211sin sin ααα+=(7)地心与星体之间的距离为OC ，在△BOC 中用余弦定理2222cos 2αBC r BC r OC ⋅-+=远远 (8)由式(4)、(5)、(7)得：()()212121212sin cos sin 24sin sin 1692ααααααα+-++=R OC (9)三、因μ子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命 s 100.260-⨯≈τ根据时间膨胀效应，在地球上观测到的μ子平均寿命为τ，()21c v -=ττ (1)代入数据得 τ = 1.4×10－5s (2)相对地面，若μ子到达地面所需时间为t ，则在t 时刻剩余的μ子数为()()τt N t N -=e 0 (3) 根据题意有()()%5e 0==-τt N t N (4) 对上式等号两边取e 为底的对数得 1005lnτ-=t (5) 代入数据得 s 1019.45-⨯=t(6)根据题意，可以把μ子的运动看作匀速直线运动，有 t h v =(7)代入数据得 m 1024.14⨯=h (8)四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P 点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z 轴，三个光心O 1、O 2、O 3的连线平行于3个光源的连线，O 2位于z 轴上，如图1所示．图中M M '表示组合透镜的平面，1S '、2S '、3S '为三个光束中心光线与该平面的交点． 22O S ＝ u 就是物距．根据透镜成像公式f u L u 111=-+ (1) 可解得 ]4[212fL L L u -±= 因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P 点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2u tan α ≤h 即u ≤2h ．在上式中取“－”号，代入f 和L 的值，算得h u )236(-=≈1.757h(2)此解满足上面的条件．分别作3个点光源与P 点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P 点，3个透镜的光心O 1、O 2、O 3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有h h h L u L O O O O 854.0)24121(3221≈+=-== (3) 即光心O 1的位置应在1S '之下与1S '的距离为：h O O h O S 146.02111=-=' (4) 同理，O 3的位置应在3S '之上与3S '的距离为0.146h 处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h ，才能使S 1、S 2、S 3都能成像于P 点．2．现在讨论如何把三个透镜L 1、L 2、L 3加工组装成组合透镜．因为三个透镜的半径r = 0.75h ，将它们的光心分别放置到O 1、O 2、O 3处时，由于21O O ＝32O O ＝0.854h <2r ，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．图2画出了L 1、L 2放在M M '平面内时相互交叠的情况（纸面为M M '平面）．图中C 1、C 2表示L 1、L 2的边缘，1S '、2S '为光束中心光线与透镜的交点，W 1、W 2分别为C 1、C 2与O 1O 2的交点．1S '为圆心的圆1和以2S '（与O 2重合）为圆心的圆2分别是光源S 1和S 2投射到L 1和L 2时产生的光斑的边缘，其半径均为h u 439.0tan ==αρ (5)根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K 点（见图2）是否落在L 1上？由几何关系可知()h r h h S O K O 75.0585.0146.0439.0111=<=+='+=ρ故从S 1发出的光束能全部进入L 1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L 1和L 2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O 1和O 2之间作垂直于O 1O 2且分别与圆1和圆2相切的切线Q Q '和N N '．若沿位于Q Q '和N N '之间且与它们平行的任意直线T T '对透镜L 1和L 2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L 2的下半部和L 3进行切割，然后将L 2的下半部和L 3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S 1、S 2、S 3发出的全部光线都会聚到P 点．现在计算Q Q '和N N '的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L 1被切去部分沿O 1O 2方向的长度为x 1，透镜L 2被切去部分沿O 1O 2方向的长度为x 2，如图2所示，则对任意一条切割线T T '， x 1、x 2之和为：h O O r x x d646.022121=-=+= （7）由于T T '必须在Q Q '和N N '之间，从图2可看出，沿Q Q '切割时，x 1达最大值(x 1M )，x 2达最小值(x 2m )，ρ-'+=111O S r x M 代入r ，ρ 和11O S '的值，得h x M 457.01= (8) 代入(7)式，得：h x d x M m 189.012=-= (9)由图2可看出，沿N N '切割时，x 2达最大值(x 2M )，x 1达最小值(x 1m )， ρ-=r x M 2代入r 和ρ 的值，得：h x M 311.02= (10) h x d x M m 335.021=-=（11）由对称性，对L 3的加工与对L 1相同，对L 2下半部的加工与对上半部的加工相同．五、1．解法Ⅰ：如图1所示，S 为原空腔内表面所在位置，1q '的位置应位于1OP 的延长线上的某点B 1处，2q '的位置应位于2OP 的延长线上的某点B 2处．设A 1为S 面上的任意一点，根据题意有B图20111111='+B A q kP A q k(1)0212212='+B A q k P A q k (2)怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中11A OP ∆与11B OA ∆的关系．若等效电荷1q '的位置B 1使下式成立，即：211R OB OP ＝⋅ (3)即：1111OB OA OA OP =(4) 则1111B OA A OP ∽△△有 ：R aOA OP B A P A ==111111 (5) 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷 11q aR q -=' (6) 由 (3) 式知，等效电荷1q '的位置B 1到原球壳中心位置O 的距离：aR OB 21= (7)同理，B 2的位置应使2112B OA A OP ∽△△，用类似的方法可求得等效电荷22q aRq -=' (8) 等效电荷2q '的位置B 2到原球壳中心O 位置的距离：aR OB 22= (9)解法Ⅱ：在图1中，设111r P A =，111r B A '=，d OB =1．根据题意，1q 和1q '两者在A 1点产生的电势和为零．有：01111=''+r q k r q k（1＇） 式中：21221)cos 2(θRa a R r -+= （2＇）21221)cos 2(θRd d R r -+=' （3＇）由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得：)cos 2()cos 2(22212221θθRa a R q Rd d R q -+'=-+ （4＇）（4＇）式是以θcos 为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意θ均成立，等号两边的相应系数应相等，即：)()(22212221a R q d R q +'=+ （5＇）a q d q 2121'= （6＇）由（5＇）、（6＇）式得：0)(2222=++-aR d R a ad（7＇）解得：aR a R a d 2)()(2222-±+=（8＇）由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得：aR d 2= （9＇）由（6＇）、（9＇）式有：212221q aR q =' （10＇）考虑到（1＇）式，有11q aR q -=' （11＇） 同理可求得：a R OB 22= （12＇）22q aRq -=' （13＇）2．A 点的位置如图2所示．A 的电势由q 1、1q '、q 2、2q '共同产生，即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=A B a R A P A B a R A P kq U A 22111111 (10)因221cos 2a ra r A P +-=θ22221cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R aR r r A B θ 222cos 2a ra r A P ++=θ 22222cos 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a R aR r r A B θ 代入 (10) 式得⎝⎛+--+-=422222cos 2cos 21R raR r a Rara r kq U A θθ⎪⎪⎭⎫++-+++422222cos 2cos 21R raR r a Ra ra r θθ (11) 六、令I 表示题述极短时间∆t 内挡板对C 冲量的大小，因为挡板对C 无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE ，如图所示；I '表示B 、C 间的杆对B 或C 冲量的大小，其方向沿杆方向，对B 和C 皆为推力；C v 表示∆t 末了时刻C 沿平行于DE 方向速度的大小，B v 表示∆t 末了时刻B 沿平行于DE 方向速度的大小，⊥B v 表示∆t 末了时刻B 沿垂直于DE 方向速度的大小．由动量定理，对C 有：C m I v ='αsin (1) v m I I ='-αcos (2)对B 有：B m I v ='αsin (3) 对AB 有：()⊥-='B mI v v 2cos α(4)因为B 、C 之间的杆不能伸、缩，因此B 、C 沿杆的方向的分速度必相等．故有αααsin cos sin B B C v v v -=⊥(5)图2由以上五式，可解得：v m I αα22sin 31sin 3++=(6)七、解法Ⅰ：当金属杆ab 获得沿x 轴正方向的初速v 0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab 的安培力将使ab 杆减速，作用于cd 杆的安培力使cd 杆运动．设在任意时刻t ，ab 杆和cd 杆的速度分别为v 1和v 2（相对地面参考系S ），当v 1、v 2为正时，表示速度沿x 轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势：()21v v -=Bl E(1)当回路中的电流i 随时间的变化率为t i∆∆时，回路中的自感电动势：tiLL ∆∆-=E (2) 根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有0=+L E E (3)金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为V C ，有：C mV m 20=v (4)得 ：2v =CV (5) V C 方向与v 0相同，沿x 轴的正方向． 现取一新的参考系S '，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O '，取坐标轴x O ''与x 轴平行．设相对S '系，金属杆ab 的速度为u ，cd 杆的速度为u '，则有u V C +=1v (6) u V C '+=2v (7)因相对S '系，两杆的总动量为零，即有：0='+u m mu (8) 由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得：tiLBlu ∆∆=2 (9) 在S '系中，在t 时刻，金属杆ab 坐标为x '，在t ＋∆t 时刻，它的坐标为x x '∆+'，则由速度的定义tx u ∆'∆= (10) 代入 (9) 式得：i L x Bl ∆='∆2 (11)若将x '视为i 的函数，由（11）式知i x ∆'∆为常数，所以x '与i 的关系可用一直线方程表示b i BlLx +='2 (12) 式中b 为常数，其值待定．现已知在t ＝0时刻，金属杆ab 在S '系中的坐标x '＝021x ，这时i = 0，故得：0212x i Bl L x +=' (13) 或 ⎪⎭⎫⎝⎛-'=0212x x L Bl i (14) 021x 表示t ＝0时刻金属杆ab 的位置．x '表示在任意时刻t ，杆ab 的位置，故⎪⎭⎫ ⎝⎛-'021x x 就是杆ab在t 时刻相对初始位置的位移，用X 表示， 021x x X -'= (15) 当X >0时，ab 杆位于其初始位置的右侧；当X <0时，ab 杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得：X LBli 2= (16)这时作用于ab 杆的安培力：X L l B iBl F 222-=-= (17) ab 杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab 杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab 的运动是简谐振动，振动的周期()Ll B mT222π2= (18) 在任意时刻t ， ab 杆离开其初始位置的位移⎪⎭⎫⎝⎛+=ϕt T A X π2cos (19)A 为简谐振动的振幅，ϕ 为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得ab 杆的振动速度⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕt T T A u π2sin π2 (20)(19)、(20)式分别表示任意时刻ab 杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在t ＝0时刻，ab 杆位于初始位置，即：X = 0 速度：00002121v v v v =-=-=C V u故有：ϕcos 0A =；ϕsin π220⎪⎭⎫⎝⎛-=T A v 解这两式，并注意到(18)式得：2π3=ϕ(21)22400mLBlT A vv ==π (22) 由此得ab 杆的位移：t TmL Bl t TmL BlXπ2sin 222π3π2cos 2200v v =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（23） 由 (15) 式可求得ab 杆在S '系中的位置t TmL Bl x x π2sin 222100abv +=' (24) 因相对质心，任意时刻ab 杆和cd 杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在S '系中，cd 杆的位置t TmL Bl x x π2sin 222100cdv --=' (25) 相对地面参考系S ，质心以021v =CV 的速度向右运动，并注意到（18）式，得ab 杆在地面参考系中的位置t mL Bl mL Blt x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2sin 2221000ab v v (26)cd 杆在S 系中的位置t mL Bl mL Bl t x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 222100cd v v （27） 回路中的电流由 (16) 式得t mL Bl L m t T mL BlL Bl i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2sin 2π2sin 22200v v (28) 解法Ⅱ： 当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab 杆的速度改变，使cd 杆运动．设任意时刻t ，两杆的速度分别为v 1和v 2（相对地面参考系S ），若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为()21v v -=Bl E (1’) 令u 表示ab 杆相对于cd 杆的速度，有：Blu L =E (2’)当回路中的电流i 变化时，回路中有自感电动势E L ，其大小与电流的变化率成正比，即有ti LL ∆∆-=E (3’)根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有：0=+L E E 由式(2’)、(3’)两式得：t i L Blu ∆∆= (4’) 设在t 时刻，金属杆ab 相对于cd 杆的距离为x '，在t ＋∆t 时刻，ab 相对于cd 杆的距离为x '＋x '∆，则由速度的定义，有：tx u ∆'∆= (5’) 代入 (4') 式得：i L x Bl ∆='∆ (6’)若将x '视为i 的函数，由(6’)式可知，i x ∆'∆为常量，所以x '与i 的关系可以用一直线方程表示，即：b i BlL x +=' (7’) 式中b 为常数，其值待定．现已知在t ＝0时刻，金属杆ab 相对于cd 杆的距离为0x ，这时i = 0，故得：0x i Bl L x +=' (8’) 或 ()0x x LBl i -'= (9’) 0x 表示t ＝0时刻金属杆ab 相对于cd 杆的位置．x '表示在任意时刻t 时ab 杆相对于cd 杆的位置，故()0x x -'就是杆ab 在t 时刻相对于cd 杆的相对位置相对于它们在t ＝0时刻的相对位置的位移，即从t ＝0到t ＝t 时间内ab 杆相对于cd 杆的位移：0x x X -'= (10') 于是有：X LBl i = (11’) 任意时刻t ，ab 杆和cd 杆因受安培力作用而分别有加速度a ab 和a cd ，由牛顿定律有ab ma iBl =- (12’)； cd ma iBl = (13’)两式相减并注意到(9')式得：()X Ll B iBl a a m 22cd ab 22-=-=- (14’) 式中()cd ab a a -为金属杆ab 相对于cd 杆的加速度，而X 是ab 杆相对cd 杆相对位置的位移．L l B 222是常数，表明这个相对运动是简谐振动，它的振动的周期()L l B m T 222π2= (15’)在任意时刻t ，ab 杆相对cd 杆相对位置相对它们初始位置的位移⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕt T A X π2cos (16’)A 为简谐振动的振幅，ϕ 为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得X 随时间的变化率即速度：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕT T A V π2sin π2 (17’)现已知在t ＝0时刻，杆位于初始位置，即X = 0，速度0v =V故有：ϕcos 0A =； ϕsin π20⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T A v 解这两式，并注意到(15’) 式得：2π3=ϕ；2π200mL Bl T A v v == 由此得：t mL Bl mL Bl t T mL Bl X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin 22π3π2cos 20v v (18’) 因t = 0时刻，cd 杆位于x = 0 处，ab 杆位于x = x 0 处，两者的相对位置由x 0表示；设t 时刻，cd 杆位于x = x cd 处，ab 杆位于x = x ab 处，两者的相对位置由x ab －x cd 表示，故两杆的相对位置的位移又可表示为：X = x ab －x cd －x 0(19’) 所以 t mL Bl mL Bl x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2sin 200cd ab v (20’) (12’)和(13’)式相加, ()0cd ab =+-=+iBl iBl a a m 得()0cd ab =+a a由此可知，两杆速度之和为一常数即v 0，所以两杆的位置x ab 和x cd 之和应为 x ab ＋x cd = x 0＋v 0t(21’) 由(20’)和(21’)式相加和相减，注意到(15’)式，得t mL Bl mL Bl t x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2sin 2221000ab v v （22’） t mL Bl mL Bl t x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 222100cd v v （23’） 由(11’)、（19’）(22’)、(23’)式得回路中电流 t mL Bl L m i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin 20v （24’）。

第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷本卷共七题，满分140分.一、(20分)薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判．对于均匀薄膜材料，在一定温度下，某种气体通过薄膜渗透过的气体分子数dpStkN ∆=，其中t 为渗透持续时间，S 为薄膜的面积，d 为薄膜的厚度，p ∆为薄膜两侧气体的压强差．k 称为该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数．透气系数愈小，材料的气密性能愈好．图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图．EFGI 为渗透室，U 形管左管上端与渗透室相通，右管上端封闭；U 形管内横截面积A ＝0.150cm 2．实验中，首先测得薄膜的厚度d =0.66mm ，再将薄膜固定于图中C C '处，从而把渗透室分为上下两部分，上面部分的容积30cm 00.25=V ，下面部分连同U形管左管水面以上部分的总容积为V 1，薄膜能够透气的面积S=1.00cm 2．打开开关K 1、K 2与大气相通，大气的压强p 1＝1.00atm ，此时U 形管右管中气柱长度cm 00.20=H ，31cm 00.5=V ．关闭K 1、K 2后，打开开关K 3，对渗透室上部分迅速充气至气体压强atm 00.20=p ，关闭K 3并开始计时．两小时后， U 形管左管中的水面高度下降了cm 00.2=∆H ．实验过程中，始终保持温度为C 0 ．求该薄膜材料在C 0 时对空气的透气系数．（本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定，在压强差变化不太大的情况下，可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值p ∆来代替公式中的p ∆．普适气体常量R = 8.31Jmol -1K -1，1.00atm = 1.013×105Pa ）．CF二、(20分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期．已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R 的2倍，卫星通过近地点时的速度R GM 43=v ，式中M 为地球质量，G 为引力常量．卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角．试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离．（最后结果要求用测得量和地球半径R 表示）三、(15分)μ子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命s 100.260-⨯≈τ．宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批μ子，以v = 0.99c 的速度（c 为真空中的光速）向下运动并衰变．根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t = 0时刻的粒子数为N (0), t 时刻剩余的粒子数为N (t )，则有()()τt N t N -=e 0，式中τ为相对该惯性系粒子的平均寿命．若能到达地面的μ子数为原来的5％，试估算μ子产生处相对于地面的高度h ．不考虑重力和地磁场对μ子运动的影响．四、(20分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．如图，S 1、S 2、S 3 是等距离（h ）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为α =arctan ()41的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h 、半径为r =0.75 h 的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z 轴（以S 2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S 2为 L = 12.0 h 处的P 点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．）1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据．S五、(20分)如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R ，在空腔内一直径上的P 1和P 2处，放置电量分别为q 1和q 2的点电荷，q 1＝q 2＝q ，两点电荷到球心的距离均为a ．由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q ．空腔内部的电场是由q 1、q 2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的．由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强．但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q 1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷1q '与q 1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q 2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷2q '与q 2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0．这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的．等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷1q '、2q '和q 1、q 2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强． 1．试根据上述条件，确定假想等效电荷1q '、2q '的位置及电量． 2．求空腔内部任意点A 的电势U A ．已知A 点到球心O 的距离为r ，OA 与1OP 的夹角为θ ．六、(20分)如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB与BC的夹角为π-α，α < π/2．DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB 连线方向垂直．现令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB 连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为0这一极短时间内挡板对C的冲量的大小．七、（25分）如图所示，有二平行面内（图中纸面），处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直．初始时刻，金属杆ab和cd分别位于x = x和x = 0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨v．设构成的回路的自感系数为L．今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速0 x也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间导轨足够长，x，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变距的．杆与导轨之间摩擦可不计．求任意时刻两杆的位置x ab和x cd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t的变化关系。

2011年第二十一届全国初中应用物理竞赛试题注意事项：1．请在密封线内填写所在地区、学校、姓名和考号。

2．用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写。

3．本试卷共有六个大题，满分100分。

4．答卷时间：2011年3月27日（星期日）上午9:30—11:10一、本题共10小题，每小题2分，共20分。

以下各小题给出的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项前面的字母填在题后的括号内。

1．目前，很多汽车的驾驶室里都有一个叫做GPS(全球卫星定位系统)接收器的装置。

GPS接收器通过接收卫星发射的导航信号，实现对车辆的精确定位并导航。

卫星向GPS接收器传送信息依靠的是( )A．红外线B．紫外线C．电磁波D．激光2．图1为工人师傅用手推车运送纯净水的图片，对于这两种方法中哪种方法比较省力的判断，下列说法中正确的是( )A．图甲的方法比较省力B．图乙的方法比较省力C．图甲和图乙两种方法所用力的大小相等D．无法判断3．如图2所示，教室里的天花板下面装有多挡位吊扇，当吊扇正常工作时，对于吊扇对天花板的拉力大小与其重力大小的判断，下列说法中正确的是( )A．吊扇在高挡位工作时，拉力等于重力B．吊扇在低挡位工作时，拉力大于重力C．电扇在任意挡位工作时，拉力等于重力D．电扇在任意挡位工作时，拉力小于重力4．在学校的田径运动会上，小亮注意到发令台上有一块“板子”，如图3所示。

关于这块板子的作用，他做了如下猜想，其中正确的是( )A．主要用来反射发令枪的枪声，所以必须正对着终点计时裁判的方向B．主要用来衬托发令枪冒出的白烟，所以应该是深色或黑色的C．主要用来减弱噪声，所以要把它放在看台和发令枪之间D．主要用来遮阳，所以要把它放在裁判员的头的上方5．随着我国航天员在轨道舱内停留时间的增加，在轨道舱内进行体育锻炼必将成为航天员需要完成的一项重要工作。

下列适合航天员在轨道舱中进行体育锻炼的运动项目是( )A．举哑铃B．跳绳C．踢毽子D．拉弹簧拉力器6．动车组列车进站前的减速过程分为两个阶段进行：第一阶段采用“再生刹车”技术，速度从250km／h减至90km／h，这期间停止动力供给，列车依靠惯性继续前行，并带动发电机发电；第二阶段采用机械刹车，速度从90km／h开始不断减小直至停止。

2011年第二十一届全国初中应用物理竞赛试卷参考答案与试题解析1、分析：GPS接收器接收的是电磁波．解答：解：GPS接收器通过接收卫星发射的导航信号，实现对车辆的精确定位并导航．卫星向GPS接收器传送信息依靠的是电磁波．故选A．2、分析：分别对甲乙两种情况进行受力分析．两图最大的区别是一拉一推，导致小车对地面的压力不同，由此产生的小车与地面之间的摩擦力不同，当然摩擦力越小越省力．解答：解：拉车时，人对车的拉力一般是斜向上的，这样会减小车对地面的压力，从而减小了车与地面之间的摩擦力，所以较省力；而推车时，人用力方向一般是斜向下的，这样会增大车对地面的压力，从而增大了车与地面之间的摩擦力，所以推车较费力．故选A．3、分析：风扇静止，静止就是一种平衡状态，平衡状态时受到的就是一对平衡力，从而判断出重力G和拉力T的关系；电风扇转动时，风扇叶片就会对空气施加一个向下的力，由于物体间力的作用是相互的，所以风扇叶受到了一个空气施加的反作用力，此时风扇叶片虽然转动，但位置没有变化，此时风扇叶片依然受到的是平衡力，根据平衡力的知识分析．解答：解：电风扇静止时受到的重力和固定杆对它的拉力是一对平衡力，即拉力T1=重力；电风扇转动时，风扇叶对空气施加了一个向下的力，由于物体间力的作用是相互的，空气对风扇叶施加了一个向上的反作用力；此时风扇叶受到了三个力的作用，重力G、固定杆对扇叶的拉力T2、空气对扇叶施加的力T′，风扇在这三个力的作用下在竖直方向上静止，所以G=T2+T′，所以T2＜G．故选D．4、分析：由于光速远远大于声速，为了记录的成绩更加准确，所以在运动场上，终点计时员是看到发令枪冒出的白烟计时，而不是听枪声计时，由此入手，即可确定黑色板子的作用．解答：解：在赛场上终点计时员是看到发令枪冒出的白烟计时的，为了便于计时员清晰的看到发令枪冒出的白烟，所以选用深色的板子来衬托发令枪冒出的白烟．故选B．5、分析：在轨道舱内，物体处于完全失重状态．根据运动时是否受到重力的影响来分析解答此题．解答：解：在失重状态下，可以用很小的力举哑铃、跳绳、踢毽子，起不到锻炼身体的作用；在失重状态下，要拉开弹簧拉力器，与在正常的不失重状态下一样，需要航天员施加较大的拉力，航天员可以通过拉弹簧拉力器来锻炼身体．故选D．6、分析：物体由运动而具有的能叫动能，影响动能大小的因素：质量、速度．质量越大，速度越大，动能越大；发电机是将其他形式的能转化为电能的机器．解答：解：A、B、第一阶段减速过程中，由于速度变小，所以动能变小，由于继续行驶并带动发电机发电，故将一部分动能转化为电能．减小的动能有一部分转化为电能，即电能小于减小的动能；故A错误，B正确；C、D、第二阶段减小的动能有一部分转化为内能，有一部分转化成了电能，所以内能小于减小的动能，故C错误，D错误．故选B．7、分析：判断一个物体是运动还是静止，要看它与所选的参照物之间是否有位置变化，有位置变化则相对运动，无位置变化则相对静止．解答：解：北极星差不多正对着地轴，从地球北半球上看，它的位置几乎不变；北斗星在不同的季节和夜晚不同的时间，出现于天空不同的方位．所以天刚黑下来的时候，我们观察并记录一次北斗星与北极星相对于地面的位置；半夜的时候，我们再次观察并记录北斗星与北极星相对于地面的位置．比较这两次的记录结果，我们会发现北斗星相对于地面的位置发生了改变，而北极星相对于地面的位置没变，所以说北斗星是运动的，北极星是静止的．故选C．8、分析：由题干可以看出，炒花生或栗子，与炒其他食物的不同之处就是“要往锅里放一些沙子（或粗盐）”，要分析这样做的原因，就要分析放一些沙子（或粗盐）后在炒的过程中会有哪些变化，然后与题中的四个选项进行对比，便不难得出答案了．解答：解：A、放入沙子（或粗盐），对火焰的燃烧并没有影响，不能改变炒锅的温度，该选项错误．B、放入沙子（或粗盐）后，就会使被炒的食品与沙子（或粗盐）混合起来，使得花生或栗子受热均匀且避免与锅底直接接触时间过长，可以避免栗子变焦，该选项的说法是正确的．C、即便是不加沙子（或粗盐），花生或栗子中的水分在高温的环境下，同样会蒸发掉的，所以加不加沙子，并不是食品更加干酥脆的根本原因，该选项错误．D、加入沙子后，的确可以吸收部分热量，但是对于锅中被炒物体的温度来说，并没有影响，所以选项D的说法也是错误的．故选B．9、分析：哈哈镜由凸面镜和凹面镜组成．凸面镜对光线有发散作用，成缩小的虚像；凹面镜对光线有会聚作用，成放大的虚像．解答：解：哈哈镜中凸起的部分就相当于一个凸面镜，成缩小的像，所以人像变短；凹下去的部分相当于一个凹面镜，成放大的像，所以人像变长．故选B．10、分析：（1）由甲图可知，两电阻串联，根据题意可知有光照射时光敏电阻R1阻值的变化，根据欧姆定律可知电路中电流的变化和定值电阻两端的电压变化，根据串联电路的电压特点可知R1两端电压的变化；由图象知R1的电压U1=2V，根据串联电路电压的特点求出R2的电压，根据欧姆定律求出电路中的电流和求出R1的电阻．（2）R1无激光照时，R1与R2串联，由图象可得R1的电压U1′=4V，根据串联电路的电压特点求出R2两端的电压，根据欧姆定律求出电路中的电流和此时R1的电阻，即可得出有光照射和无光照射时保护电阻R2两端的电压之比和光敏电阻的阻值之比．（3）由图象可知：每经过0.6s，就有一个产品通过计数装置，可以求出平均每小时通过的产品个数．解答：解：（1）由甲图可知：R1、R2串联，由光敏电阻有光照射时阻值较小可知，当有光照射时，R1的阻值变小，电路的总电阻变小；根据I=可知，电路中的电流变大；根据U=IR可知，R2两端的电压变大；根据串联电路总电压等于各分电压之和可知，R1两端的电压变小，即R1两端的电压较低，由图象知R1的电压U1=2V，则U2=U﹣U1=6V﹣2V=4V，电路中的电流：I===0.01A，光敏电阻的阻值：R1===200Ω，故A不正确．（2）R1无激光照时，由图象可得U1′=4V，U2′=U﹣U1′=6V﹣4V=2V，所以，有光照射和无光照射时保护电阻R2两端的电压之比U2：U2′=4V：2V=2：1，故B不正确；I′===0.005A，此时电阻R1的阻值：R1′===800Ω，所以，光照射和无光照射时光敏电阻的阻值之比R1：R1′=200Ω：800Ω=1：4，故C不正确；（3）由图象可知：每经过0.6s，就有一个产品通过计数装置．n==6000个，故D正确．故选D．11、分析：（1）增大的压强方法：增大压力或减小受力面积；减小压强的方法：减小压力或增大受力面积．（2）减小摩擦的方法：增加物体间的正压力或增大接触面的粗糙程度；减小摩擦的方法：减小正压力或减小接触面的粗糙程度．（3）能量的转化：通过做功，能量可以由一种形式转化为另一种形式．（4）光的传播：在同一均匀介质中光沿直线传播；面镜可以使光发生反射，该改变光的传播方向；透镜可以使光发生折射，改变光的传播方向．（5）滑轮组的作用：可以改变力的大小或方向．解答：答：①手柄上的花纹增加了手柄的粗糙程度，可增大手柄与手之间的摩擦力．②箭身细长，减小了箭与空气的接触面积，从而减小空气阻力．③弓箭或钢球离开弩弦时获得一定的速度，由于惯性能继续向前运动．④箭头尖锐，箭头与物体接触时减小了受力面积，从而增大了压强．⑤利用弩的弹力发弓箭时，弩的弹性势能转化为箭的动能．⑥肩托的使用，增大了弓与人的接触面积，增大了拉弓时弓对人的压力的受力面积，使压强减小．⑦目标发出或反射的光沿直线传播，经瞄具进入人眼，准确锁定目标．⑧目标发出或反射的光沿直线传播，经光学瞄准镜折射后进入人眼，便于精确瞄准．⑨滑轮组可以使人拉弓的力变小，使放箭时更省力．12、分析：冬天，温度较低，空气中的水蒸气遇到冷的窗玻璃会液化成小水珠或凝华成小冰粒．当通电时这些金属膜会发热，小水滴受热汽化，小冰粒受热熔化成小水珠又汽化了．便于司机通过驾驶室上方的反光镜观察车后面的情况．解答：答：金属膜的主要作用：①在冬季，使附着在窗玻璃表面上的小水滴汽化或小冰粒熔化并汽化，使附着在玻璃窗外表面上和积雪熔化；②便于司机通过驾驶室上方的反光镜观察车后面的情况．13、分析：（1）刻度线喷在刻度尺背面，刻度尺薄的一侧；光透过透明刻度尺发生折射，数字与刻度线不透光在后面纸上形成阴影．（2）使用刻度尺测量物体长度时，刻度线要尽可能地靠近被测物体；利用刻度尺画线时，刻度尺越薄，线段长短的误差越小．解答：答：（1）刻度线喷在刻度尺背面，刻度尺薄的一侧，由图丙知C处为反面，且此处刻度尺较薄，则刻度线在C处；目的是让刻线靠近被测物体，减小测量误差；（2）刻度尺有刻度的一边做的较薄，是为了在使用刻度尺画线的时候笔尖贴近刻度尺，线更容易画直；同时由于笔尖贴近刻度线，更容易画出符合要求的线段．14、分析：（1）由小彩灯上标的“4V 0.2A”可知，小彩灯正常发光时的电压为4V，而家庭电路的电压为220V，所以小彩灯的连接方式应为串联，再根据串联电路的电压关系求灯的个数；（2）该灯丝烧断后，220V的电压会加在这个彩灯上，使细金属丝表面上的氧化铜被击穿，电路导通，其它小彩灯能发光．解答：解：（1）要使灯泡正常发光，应将灯泡串联，让小彩灯串联后的总电压为220V，由串联电路的特点知串联个数：n==55个；故答案为：55．（2）如图所示，当某个小彩灯L的灯丝烧毁时，AB间形成断路，220V电压就直接加到细金属丝与灯丝导电支架AB之间；氧化层被击穿，细金属丝与灯丝导电支架导通，此时烧坏的这个灯只相当于一段导线（如图），起到连接作用，这样220V的电压又重新分加在其它的未烧坏的彩灯上，使它们能继续工作．但是每个灯上的电压有一点儿升高，不过还不至于烧毁灯丝．当然，烧毁的小彩灯太多时，其余小彩灯也会因为电压过高而被烧毁．15、分析：（1）电路中开关控制用电器时，开关和用电器是串联的；光控开关和声控开关同时控制一盏灯，同时符合光暗到一定程度，而且有一定的声音时电灯才发光，两个开关和灯泡应该是串联的．（2）雷雨天，通过对开关S1、S2的操作，取消自动功能，灯始终不会被点亮，说明开关S1、S2中有一个起总开关的作用；则另一开关与声控开关和光控开关串联后并联．当正常天气时，可以闭合总开关，断开另一个开关，晚上同样起到拍拍手，灯就亮了，过一会自动熄灭．解答：解：（1）用导线将光控开关、声控开关、电灯以及电源依次连接即可如下图所示：（2）先将声控开关和光控开关串联，然后再与S1并联，并联后与灯泡、开关S2以及电源顺次连接，如图所示：16、分析：放大法：物理实验中常遇到一些微小物理量的测量．为提高测量精度，常需要采用合适的放大方法，选用相应的测量装置将被测量进行放大后再进行测量．解答：答：手捏玻璃瓶，玻璃瓶会发生形变，但形变太小，不能直接观察．但采用图中所示方法后，通过细玻璃管内水柱的上升间接知道了瓶子发生的形变，利用液柱变化放大了瓶子的形变，这就是微小现象放大法．除此以外，还有很多地方也用到了这种方法．如：①将正在发声的音叉靠近用细线悬吊着的乒乓球，通过乒乓球反复被弹开显示音叉在振动；②温度计的玻璃管做的很小，用液柱的长度变化显示液体的热胀冷缩；③金属盒压强计用指针的摆动显示金属盒的形变程度；④用托盘天平的指针是否指在分度盘的中央显示天平的横梁是否平衡．17、分析：（1）减小液体的蒸发表面积可有效减慢蒸发，这样也会使液体不会很快变凉，碗中的油层便起到了很好的减缓水的蒸发散热的作用．（2）从题可知，肉片必须至少在大于80℃的汤中保持2min，在这2min时间里，由于向外界散热整体温度将下降约2℃，从而可以计算出肉和汤混合后的温度．而把肉放进汤里，肉的温度升高，吸收热量，汤的温度降低，放出热量，根据热平衡方程Q吸=Q放便可以计算出汤的质量．解答：解：（1）碗中油由于其密度比水小且不易蒸发，漂浮在水的表面上，使水的蒸发面积减小，则减小了水的蒸发而带走热量，使汤的温度不易降低．（2）∵肉片必须至少在大于80℃的汤中保持2min，在这2min时间里，由于向外界散热整体温度将下降约2℃，∴肉和汤混合后的温度至少为：t=80℃+2℃=82℃，把肉放进汤里，肉的温度升高，吸收热量，汤的温度降低，放出热量，t0汤=97℃，c汤=4.2×103J/（kg•℃），m肉=0.2kg，t0肉=22℃，c肉=3.5×103J/（kg•℃），根据热平衡方程Q吸=Q放得：c肉m肉（t﹣t0肉）=c汤m汤（t0汤﹣t），即：3.5×103J/（kg•℃）×0.2kg×（82℃﹣22℃）=4.2×103J/（kg•℃）×m汤×（97℃﹣82℃）解得：m汤≈0.67kg．答：（1）碗中油层的作用是使水的蒸发面积减小，则减小了水的蒸发而带走热量，使汤的温度不易降低．（2）为实现上述的温度要求，碗中汤的质量至少为0.67kg．18、分析：（1）微波炉的效率等于水吸收的热量与微波炉消耗的电能之比；①已知发光二极管闪烁的次数，根据“3200imp/kW•h（它表示每消耗电能1kW•h，该电能表上面的发光二极管闪烁3200次）”可计算出在4min内微波炉消耗的电能；②已知水的体积，利用m=ρV可以计算出水的体积；③已知水的质量，水的初温、末温、利用Q=cm△t计算出水吸收的热量；（2）现在的微波炉是间断性工作的，通过调整工作与停止的时间比调整功率．解答：解：（1）①4min微波炉消耗的电能：W==×3.6×106J=2.88×105J；②水的质量：m=ρV=1.0×103kg/m3×10﹣3m3=1kg；③水吸收的热量：Q=cm（t﹣t0）=4.2×103J/（kg•℃）×1kg×（72℃﹣20℃）=2.18×105J；微波炉的效率：η=×100%=×100%=76%；（2）微波炉是间断性工作的：①当微波炉中的微波管在额定电压下以额定功率连续工作时，设定为高火档；②当微波炉中的微波管在额定电压下以额定功率间歇工作时，设定为非高火档；③并且工作时间与不工作时间的比值越小，微波炉的档位越低．答：（1）微波炉烧水时的效率为76%；（2）通过调整微波炉的工作与停止的时间比调整功率．19、分析：分两种情况分析：（1）压力传感开关受到竖直向下的拉力达到10N时闭合，通过控制水泵从进水口向桶内注水．由于压力传感开关受到竖直向下的拉力等于圆柱体重减去受到的浮力，可求圆柱体受到的浮力，利用阿基米德原理求圆柱体排开水的体积，进而求出圆柱体浸入水中深度为水面2与圆柱体下表面7之间的深度，此时桶内水面处于右图位置2处，桶内水的体积V3=40L，根据h3=得出水面2与桶底3之间的深度，可求圆柱体下表面7与桶底3之间的深度h7、圆柱体B露出水面深度为9与2之间的长度h9；（2）压力传感开关受到竖直向下的拉力达到4N时闭合，通过控制水泵从进水口向桶内注水．由于压力传感开关受到竖直向下的拉力等于圆柱体重减去受到的浮力，可求圆柱体受到的浮力，利用阿基米德原理求圆柱体排开水的体积，进而求出圆柱体浸入水中深度为水面2与圆柱体下表面7之间的深度、圆柱体露出水面深度为圆柱体顶端8与水面1之间的长度h5，圆柱体A浸入水中的深度为4到5间的深度h8，此时桶内水面处于如图的位置1处，桶内水的容积为V4=200L，根据h4=得出水面1与桶底3之间的深度，进而求出圆柱体下表面7与桶底3之间的深度h7、圆柱体B露出水面深度为9与2之间的长度h9，水面1到桶底6之间的长度h6，最后求出，圆柱体A顶端到桶底的距离就是拴在圆柱体A上绳子长度L1=h6﹣h5，也就是图中5与9之间的高度；圆柱体A、B之间的绳子长度L2=h4﹣h浸2﹣h7．解答：解：（1）压力传感开关受到竖直向下的拉力达到10N时闭合，通过控制水泵从进水口向桶内注水．由于压力传感开关受到竖直向下的拉力等于圆柱体重减去受到的浮力，圆柱体受到的浮力：F浮1=2G﹣F1=2×6N﹣10N=2N，圆柱体排开水的体积：V排1===2×10﹣4m3=200cm3，圆柱体浸入水中深度为水面2与圆柱体下表面7之间的深度：h浸1===0.05m=5cm，此时桶内水面处于右图位置2处，桶内水的体积V3=40L，根据h3===0.08m=8cm得出水面2与桶底3之间的深度为8cm，圆柱体下表面7与桶底3之间的深度h7=h3﹣h浸1=8cm﹣5cm=3cm，圆柱体B露出水面深度为9与2之间的长度h9=h2﹣h浸1=12cm﹣5cm=7cm；（2）压力传感开关受到竖直向下的拉力达到4N时闭合，通过控制水泵从进水口向桶内注水．由于压力传感开关受到竖直向下的拉力等于圆柱体重减去受到的浮力，圆柱体受到的浮力：F浮2=2G﹣F2=2×6N﹣4N=8N，圆柱体排开水的体积：V排2===8×10﹣4m3=800cm3，圆柱体浸入水中深度为水面2与圆柱体下表面7之间的深度：h浸2===20cm，圆柱体露出水面深度为圆柱体顶端8与水面1之间的长度h5=2h2﹣h浸2=2×12cm﹣20cm=4cm，圆柱体A浸入水中的深度为4到5间的深度h8=h2﹣h5=12cm﹣4cm=8cm，此时桶内水面处于如图的位置1处，桶内水的容积为V4=200L，根据h4===0.4m=40cm得出水面1与桶底3之间的深度为40cm，圆柱体下表面7与桶底3之间的深度h7=h3﹣h浸1=8cm﹣5cm=3cm，圆柱体B露出水面深度为9与2之间的长度h9=h2﹣h浸1=12cm﹣5cm=7cm；水面1到桶底6之间的长度h6=h1﹣h4=50cm﹣40cm=10cm，圆柱体A顶端到桶底的距离就是拴在圆柱体A上绳子长度：L1=h6﹣h5=10cm﹣4cm=6cm，也就是图中5与9之间的高度；圆柱体A、B之间的绳子长度：L2=h4﹣h浸2﹣h7=40cm﹣20cm﹣3cm=17cm．答：两段细线的长度分别为6cm、17cm．20、分析：（1）根据公式P=Fv先求出最大机械输出功率；再求出需要的电功率和垂直于太阳光的太阳能电池板得到的太阳辐射最大功率，最后求出车上的太阳能电池板能提供的最大功率；几个数据进行比较即可得出结论；（2）可以从车的重量、受到的阻力、机械损耗、车速等方面考虑．解答：解：（1）v=72km/h=20m/s；驱动电机需要达到的最大机械输出功率：P机=Fv=kmgv=0.02×750kg×10N/kg×20m/s=3000W；需要的电功率P电==≈3333W；P大==W=676W；P电池=η3P大S=15%×676×8W=811W＜3333W；以上数据为天气晴朗、太阳能电池板始终垂直于阳光时的数据，实际上汽车上的电池板很难做到始终于阳光垂直，其实际提供的电功率会小于P电池；不能满足驱动电机的需求．（2）减轻车体自身的重力、降低车辆行驶时的阻力、减小机械损耗、降低车辆设计最高时速、提高电机的效率、兼容其他能源动力、使用蓄电池供电、在车的顶部安装折叠式太阳能电池板、停车时将太阳能电池板转化的电能存入蓄电池、研发高效率太阳能电池板等．。