2.2.1综合法与分析法 (5)

选修2-2 第二章 2.2 2.2.11．(2013·江西理，3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24 [答案] A[解析] 由等比中项公式(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0.∴x ＝－1(舍去) x ＝－3.∴数列为－3，－6，－12，－24.故选A.2．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a 2＋b 2＋c 2≥2B ．(a ＋b ＋c )2≥3C ．1a ＋1b ＋1c≥23 D ．abc (a ＋b ＋c )≤13[答案] B[解析] ∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3.3．已知a 、b 是不等正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1<a ＋b <43. [证明] ∵a 3－b 3＝a 2－b 2且a ≠b ，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2得(a ＋b )2>a ＋b ，又a ＋b >0，∴a ＋b >1，要证a ＋b <43，即证3(a ＋b )<4， ∵a ＋b >0，∴只需证明3(a ＋b )2<4(a ＋b )，又a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2，即证：3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)，也就是证明(a －b )2>0.因为a 、b 是不等正数，故(a －b )2>0成立．故a ＋b <43成立． 综上，得1<a ＋b <43.4．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2. 求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.[证明] 欲证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22， 只需证12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>sinx 1＋x 22cos x 1＋x 22， 即证12×sin (x 1＋x 2)cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)2cos 2⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 ＝sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2). 因为x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以x 1＋x 2∈(0，π)， 所以sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，cos x 1cos x 2>0，所以只需证1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.因为x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2， 所以cos(x 1－x 2)<1显然成立，所以原不等式成立．[点评] (1)本题主要考查了三角函数与不等式证明的综合应用，题目中的条件与结论之间的关系不明显，因此可以用分析法挖掘题目中的隐含条件，在证明过程中注意分析法的格式与步骤．对于与三角函数有关的证明题，在证明过程中注意角的取值范围及三角恒等变形公式的灵活应用．(2)本题的几何意义是见而易见的，如图A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)，AB 的中点，C x 1＋x 22，tan x 1＋tan x 22，D ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22，则有tan x 1＋tan x 22>tan x 1＋x 22，其中x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2.。

2．2.1 综合法和分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论)知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b 2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件类型一 综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 (1)已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列．求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .证明 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 因为左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc) ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2 ＝b ＋b 2＝32b ＝右边，所以a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论： ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 命题角度2 用综合法证明等式例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)． 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β， 所以原等式成立．反思与感悟 证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． (2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理． (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式． 跟踪训练2 在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C . 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C .类型二 分析法例3 (1)已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2；(2)已知△ABC 三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：B 为锐角． 证明 (1)要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．(2)要证B 为锐角，根据余弦定理， 只需证明cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >0，即证a 2＋c 2－b 2>0. 由于a 2＋c 2－b 2≥2ac －b 2， 要证a 2＋c 2－b 2>0， 只需证2ac －b 2>0.∵a ，b ，c 的倒数成等差数列， ∴1a ＋1c ＝2b ，即2ac ＝b (a ＋c )． 要证2ac －b 2>0，只需证b (a ＋c )－b 2>0，即b (a ＋c －b )>0， 上述不等式显然成立，∴B 为锐角．反思与感悟分析法的应用范围及方法跟踪训练3(1)求证：a－a－1<a－2－a－3 (a≥3)；(2)在锐角△ABC中，求证：tan A tan B>1.证明(1)方法一要证a－a－1<a－2－a－3，只需证a＋a－3<a－2＋a－1，只需证(a＋a－3)2<(a－2＋a－1)2，只需证2a－3＋2a2－3a<2a－3＋2a2－3a＋2，只需证a2－3a<a2－3a＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，∴a－a－1<a－2－a－3(a≥3)．方法二∵a＋a－1>a－2＋a－3，∴1a＋a－1<1a－2＋a－3，∴a－a－1<a－2－a－3.(2)要证tan A tan B>1，只需证sin A sin Bcos A cos B>1，∵A、B均为锐角，∴cos A>0，cos B>0.即证sin A sin B>cos A cos B，即cos A cos B－sin A sin B<0，只需证cos(A＋B)<0.∵△ABC为锐角三角形，∴90°<A＋B<180°，∴cos(A＋B)<0，因此tan A tan B>1.1．设a＝lg2＋lg5，b＝e x (x<0)，则a与b的大小关系为() A．a>b B．a＝bC．a<b D．无法确定答案 A解析 ∵a ＝lg2＋lg5＝lg10＝1， b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是( )A ．cB ．bC ．aD ．随x 取值不同而不同答案 A解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0，∴c >b >a . 3．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)2 答案 C解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3， 即证(2＋7)2<(3＋6)2.4.3－2________2－1.(填“>”或“<”) 答案 <5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.证明 方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝4＋2(y x ＋xy )＋1≥5＋4＝9＝右边，原不等式得证． 方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立，∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ， 只需证明(1＋1x )(1＋11－x)≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2， 即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立． ∴原不等式成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．课时作业一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( ) A ．x >0，y >0 B ．x <0，y <0 C ．x >0，y <0 D ．x <0，y >0答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，xy >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0.2．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是( ) A ．b 2＋c 2≥a 2 B ．b 2＋c 2>a 2 C ．b 2＋c 2≤a 2 D ．b 2＋c 2<a 2答案 D解析 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵A 为钝角，∴cos A <0，则b 2＋c 2<a 2.3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)，则P 与Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定 答案 C解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ， Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， ∴P 2<Q 2，即P <Q .4．若A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.5．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析要证b2－ac<3a，只需证b2－ac<3a2，只需证b2－ac－3a2<0.∵a＋b＋c＝0，∴a＋c＝－b，∴只需证(a＋c)2－ac－3a2<0，即(a－c)(2a＋c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.6．下列不等式不成立的是()A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋b>a＋b(a>0，b>0)C.a＋a＋5<a＋2＋a＋3(a≥0)D.2＋10>2 6答案 D解析对A选项，要证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，只需证2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≥0，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，显然成立，故A正确．对B选项，要证a＋b>a＋b(a>0，b>0)，只需证(a＋b)2>a＋b，只需证2ab>0，显然成立，故B正确．对C选项，要证a＋a＋5<a＋2＋a＋3，只需证(a＋a＋5)2<(a＋2＋a＋3)2，只需证2a ＋5＋2a (a ＋5)<2a ＋5＋2a 2＋5a ＋6， 只需证a (a ＋5)<a 2＋5a ＋6， 显然a 2＋5a <a 2＋5a ＋6， 故C 正确． 二、填空题7．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a >b >0解析 由a a >b b ，得a 3>b 3， 则a ，b 需满足a >b >0.8．已知函数f (x )＝2x ，a ，b ∈(0，＋∞)．A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b )，且a ≠b ，则A ，B ，C 从小到大排列为______________． 答案 C <B <A解析 ∵a ＋b 2>ab >2aba ＋b，又∵f (x )＝2x 在R 上为增函数，∴A >B >C .9．比较大小：设a >0，b >0，则lg(1＋ab )____________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案 ≤解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝2ab －(a ＋b )≤0， ∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， 则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )， 即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．10．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋bc ＋a ＝________.答案 1解析 由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，①a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2， ② 将①式代入②式，得a b ＋c ＋b a ＋c＝1.11．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案 对角线互相垂直(答案不唯一) 解析 要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1， 因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1， 故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可． 三、解答题12．已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2. 证明 要证a ＋12＋b ＋12≤2， 只需证a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4，又a ＋b ＝1， 即只需证明(a ＋12)(b ＋12)≤1.而(a ＋12)(b ＋12)≤(a ＋12)＋(b ＋12)2＝1＋12＋122＝1成立，所以a ＋12＋b ＋12≤2成立． 13．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ① 由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角， ② 由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3， 所以△ABC 为等边三角形．四、探究与拓展14.对于30个互异的实数，可以排成m 行n 列的矩形数阵，如图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．将30个互异的实数排成m 行n 列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为a 1，a 2，…，a m ，并设其中最小的数为a ；把每列中最小的数选出，记为b 1，b 2，…，b n ，并设其中最大的数为b ，两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：①a 和b 必相等；②a 和b 可能相等； ③a 可能大于b; ④b 可能大于a .以上四个结论中，正确结论的序号是________．(请写出所有正确结论的序号)答案 ②③解析 由题知，a ＝min{a 1，a 2，…，a m }＝a i (1≤i ≤m )，b ＝max{b 1，b 2，…，b n }＝b j (1≤j ≤n )，显然a i ≥b j ，当且仅当a i ，b j 在同一行同一列时，有a i ＝b j ，所以②③正确．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74. (1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2， 解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， ①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，② ①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n n＝n ，即a n ＝n 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(3)证明 因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n(n ≥2)， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2 ＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。

数学：2.2.1《综合法和分析法》教案教学目标：<一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

<二）过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；<三）情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

第一课时 2.2.1 综合法和分析法<一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知“若，且，则”，试请此结论推广猜想.<答案：若，且，则）2. 已知，，求证：.先完成证明→ 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2> + b(c2 + a2> + c(a2 + b2> > 6abc.tFAx82mkCG分析：运用什么知识来解决？<基本不等式）→ 板演证明过程<注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.tFAx82mkCG框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.tFAx82mkCG分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程→ 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件<内角和）2. 练习：①为锐角，且，求证：. <提示：算）② 已知求证：3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.tFAx82mkCG三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，. <教材P100 练习 1题）<两人板演→ 订正→ 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. 的三个内角成等差数列，求证：.3. 作业：教材P102 A组 2、3题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法<二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式.<讨论→ 板演→ 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证.讨论：能用综合法证明吗？→ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程 <注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件<已知条件、定理、定义、公理等）为止.tFAx82mkCG框图表示：要点：逆推证法；执果索因.③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.先讨论方法→ 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例2：见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？<从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例3：见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？<从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面<指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.tFAx82mkCG提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .tFAx82mkCG3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析>，从“已知”推“可知”<综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. <框图示意）tFAx82mkCG三、巩固练习：1. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.略证：正弦、余弦定理代入得：，即证：，即：，即证：<成立）.2. 作业：教材P100 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？<原因：偶次）2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？tFAx82mkCG3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，即O是l与m的交点。