二次根式第三课时(完整资料).doc

任务名称：二次根式第三课时教案一、引言二次根式是数学中的重要概念，它在代数学、几何学以及实际问题的解决中都发挥着关键作用。

本文将通过分析二次根式的性质、求解二次方程以及应用二次根式解决实际问题等方面，全面、详细、完整且深入地探讨任务主题。

二、二次根式的性质二次根式是由一个变量的平方根组成的表达式，一般形式为a√x。

其中，a为有理数，x为非负实数。

在讨论二次根式的性质时，我们需要重点关注以下几个方面。

2.1 二次根式的化简通过因式分解、提取公因子、有理化等方法，我们可以将二次根式进行化简，使其形式更加简洁，从而方便进一步的计算和分析。

2.2 二次根式的运算二次根式可以进行加、减、乘、除等基本运算。

对于加减运算，我们需要注意分别对二次根式的系数和根号内的数进行合并；对于乘除运算，我们需要利用二次根式的乘法公式和除法公式进行展开和化简。

2.3 二次根式的比较通过比较二次根式的大小，我们可以得出一些有意义的结论。

例如，当二次根式的系数相同时，根号内的数越大，二次根式的值越大；当根号内的数相同时，系数越大，二次根式的值越大。

三、求解二次方程二次根式在求解二次方程时起到了关键作用。

二次方程的一般形式为ax2+bx+ c=0，其中a≠0。

求解二次方程的一般步骤如下：3.1 判别式的求解通过求解二次方程的判别式D=b2−4ac，我们可以判断二次方程的根的情况。

当判别式大于0时，方程有两个不等实根；当判别式等于0时，方程有两个相等实根；当判别式小于0时，方程没有实根。

3.2 根的求解公式根据二次方程的根的求解公式，可以求解出方程的根。

一般形式的根的求解公式为x=−b±√D。

其中，D为判别式，x为方程的根。

2a3.3 实际问题的应用二次根式在实际问题中的应用也非常广泛。

例如，利用二次根式可以求解抛物线的顶点、求解物体自由落体运动的最高点以及求解三角函数的一些特殊值等。

四、应用二次根式解决实际问题二次根式在解决实际问题时发挥着重要作用。

(4)2 75 8 27
随堂练习
2.化简求值：(
1 ab
a ). b
ab，其中a=3，b=2，
解：( 1 a ) . ab ab b
1 . ab a . ab
ab
b
1 a
当a 3,b 2 时，
原式 1 3 2
中考链接
1.（2023·河北·统考中考真题）若
A．2
B．4 C．
，则 D．
63
66
66
还有其它 方法吗？
（4）( 24 1 ) 3 ( 46 16 ) 1 (2 6 6 ) 1 11 6 1 11 2
6
66 3
6 36
36
易错：6 3 2
探究新知
方法总结
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二 次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.
探究新知 探究活动二：
2
2
2
45 1 4 18. 22
E S2
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.
；
间接法--割补--割
解：如图，作CE // DA交AB于点E.
S梯形ABCD S平行四边形AECD SEBC
E
61 1 6 4 18
2
探究新知
先化 简再 求值
探究新知
方法总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先 化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
探究新知
探究活动三：
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中
梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.

16。

1 二次根式教案第一课时二次根式的概念教学目标知识与技能 1 理解二次根式的概念2，并利用a(a≥0)的意义求被开方数中字母的取值范围．过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐教学重难点关键1．重点:形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用a（a≥0)的意义求被开方数中字母的取值范围教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1:已知反比例函数y=3x,那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以333．问题2：由勾股定理得10问题3：由方差的概念得S=46二、探索新知很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．—1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a〈0，a有意义吗？老师点评：(略)a有意义的条件例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 x 、x（x〉0）、0、42、—2、1x y+、x y+（x≥0,y•≥0）．分析:二次根式应满足两个条件：第一,有二次根号“"；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x（x〉0）、0、—2、x y+（x≥0，y≥0）;不是二次根式的有：33、1x、42、1x y+．例2．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x—2≥0，2-x•才能有意义．解:由x-2≥0，得：x≥2当x≥2时，2-x在实数范围内有意义．三、巩固练习教材练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x是多少时,23x++11x+在实数范围内有意义?分析：要使23x++11x+在实数范围内有意义，必须同时满足23x+中的≥0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥—32由②得：x≠—1当x≥—32且x≠—1时，23x++11x+在实数范围内有意义．例4(1）已知y=2x-+2x-+5，求xy的值．（答案：2)(2)若1a++1b-=0,求a2004+b2004的值．(答案：25）五、归纳小结(学生活动，老师点评）1．形如a(a≥0）的式子叫做二次根式，“"称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业七板书设计第一课时作业设计一、选择题 1．下列式子中,是二次根式的是（ )A．-7 B．37 C．x D．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A．4 B．16 C．8 D．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B．5 C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0。

Page 7
计算下列各式，视察计算结果，能发现什么规律？
用你发现的规律填空，并用计算器
二次根式除法法则:
注意：a≥0 ，b＞0 ！ 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除的商作为
商的被开方数.
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【例题】
【例2】化简 【解析】
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【跟踪训练】
化简：
【解析】
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随堂练习
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立.
（ 2）＝ 4
（ 5）＝10
（ a－）1＝ a－1
3
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2.已知x+y=-4,xy=2.求
的值.
【解析】
原式=
把 x+y=-4,xy=2 代入上式，得原式=
Page 13
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.
7 二次根式
第3课时
Page 1
学习目标
1.经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单 的二次根式的乘法运算.
2.掌握二次根式的除法运算法则，并能够应用除法法则进行计算.
Page 2
温故知新
1.最简二次根式的定义 2. 3.
Page 3
知识讲授
计算下列各式， 视察计算结果，你发现什么规律？
1. 4 × = _6_
6
20
20
用你发现的规律填空，并用计算器验算：
＝
＝ 一般地，对于二次根式的乘法有：
(a≥0,b≥0)
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(a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 注意：a,b必须都是非负数！
Page 5
【例题】
【例1】计算: 【解析】

C.
D.
1.选择.
2.填空.
(3) 计算：
5
=
>
解： (1)
3.计算：
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
过点D作AB边的高DE，如图所示.
S梯形ABCD
E
根据勾股定理得CD= ,AB=
CD∥AB，CD与AB间的距离DE=
A. 4 B. ±2 C. 2 D.±4
(4)
化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
你还有其他方法吗？
化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
二次根式化简：
化简求值的方法：
教科书第48页习题2.11第1、2 、3题
解：
可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.
S梯形ABCD=S1+S2+S3
S1
S2
S3
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
S1
S2
E
F
通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，如图所示.
S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
7 二次根式
第3课时
(a≥0，b≥0)
二次根式的乘法法则
(a≥0，b>0)
二次根式的除法法则
梯形的上底是 ，下底 ，高是 ，面积是多少？
解： (2)
3.计算：
解：x22x3=(x3)(x+1)

16.1 二次根式（第3课时）使学生理解并掌握=,并能利用这一结论进行计算.通过对的化简，培养学生分类讨论的思想.解决了这一类问题的化简问题.利用=（≥0）进行计算当<0时，=-这一结论的推导和应用.课题16.1 二次根式问题1，2 结论：当（≥0）时=归纳小结例2.计算:活动一复习旧知识1.()22.()2=_______=_______；活动二探索填空_____==______；_____==______；_____==______；_____==______；_____==______；求的是22算术平方根，即求4的算术平方根是2；同理依次可得4，0.1，，0；因此，总结出当（≥0）时=.例1 化简:学生口答第（1）小题（2）小题学生考虑应考虑什么?怎样填写?与学生一起分析填空，同时讲清（≥0）的意义并总结出规律.（1）（2）两小题学生自己解决；（3）小题提醒学生应注意考虑x的取值范围.学生独自完成，在全体订正答案.这两道小题的设计目的是复习旧知识,使学生与本节课的内容分开.使学生理解（≥0）实际上是求2的算术平方根.培养学生的归纳能力虽然x可以取全体实数，但要养成习惯对字母进行讨论.对负指数的化简学生应多加注意.（1）；（2）；（3）.解：（1）=8；（2）==4；（3）=x2+1.练习.计算：（1）；（2）（3）；（4）.解：（1）=0.3；（2）=；（3）=5；（4）=10-1=0.1=.问题与情境设计意图活动三拓展提高议一议：=_______=______；=_______=______；=______=______；由上可知,需要a 的范围吗？为什么？当a<0时，=？=＿＿＿(≥0)=＿＿＿(<0).例2.计算:（1）；（2）；（3）.从特殊到一般归纳完整的化简的结论.利用这三个小题进一步使学生对的化简有更深刻的理解.介绍代数式的定义为今后的学习代数式化简做好准备.训练学生的语言表达能力,勇于表达出自己的意见和想法.解:（1）=3；（2）=；（3）=m-1 (m≥1)=1-m（m<1）.代数式定义:用运算符号把数和字母连接起来的式子,叫做代数式.例如:7,,x+y,-2ab, , m2,,等都是代数式.活动四归纳小结1. 的化简；2.与（）2的区别;3.代数式定义.作业：1.计算：(1).；(2).；(3).；(4)..2.已知直角三角形的两条直角边为和,斜边为.(1)如果=12, =5,求；(2)如果=3, =4,求；(3)如果=10,=9,求；(4)如果==2,求.。

当堂检测
1.下列计算中正确的是（ B）
A. 3( 3 1 ) 3 3
B.( 12- 27) 3 1
C. 32 1 2 2 2
D. 3( 2 3) 6 2 3
2.计算：（ 2+ 3）2 24 5 .
3.设 a 1 ，b 10 3 , 则a = b(填“>”“ < ”或“= ”）.
2
4
2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类?
几个二次根式化简后被开方数相同
8 ，18 ，0.5 ，1 8
为一组；
80 ，20 为一组.
探索新知
总结归纳
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方 数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键： (1)化成最简二次根式， (2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
二 二次根式的混合运算
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm, 4 3 cm，高
为 6 cm，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).
10 3
当堂检测
4.三角形的三边长分别为 20 ，40 ，45 ，则这个三角形的 周长为__5_5_+_2__1_0__.
5.计算:（1）5 2 18 =_8__2__
（2） 4 18 -9 2 =_3__2__ （3）10 2 （3 8 - 7 2）=__9_2__ （4）5 12 （- 3 8 2 27）=__4_3_-_6__2__

B D
【基础训练】 1. 下列计算中正确的是( A )
2. 计算
的结果为（ B ）Fra bibliotek. 若，则
的值为( C )
【提升训练】
【拓展训练】
9.如图，每个小正方形的边长都为1. (1)求四边形ABCD的周长； (2)求点A到BC的距离．
第二章 实数
7 二次根式 第3课时
1. 二次根式的混合运算是指二次根式的 加 、 减 、 乘 、 除 、 乘方 的混合运算. 2. (1)整式运算的 运算律 在二次根式的混合运算中仍然适用.
(2)在二次根式的运算中，多项式的 乘法 法则和 乘法 公式仍然适用. 3. 分母有理化：分子、分母同乘以一个相同的根式后使分母由 无理数（式）变 为有理数（式） . 4. 二次根式混合运算的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算 乘方 ，再 算 乘除 ，最后算 加减，有括号的先算 括号里面的 (或先去掉括号)，能用运算律的 要用运算律简算.

五、教学反思
在今天的二次根式教学中，我发现学生们对于二次根式的概念和性质的理解普遍较好，但在具体的运算和应用上还存在一些问题。首先，我在导入环节通过日常生活中的例子引入二次根式的概念，这一点看来是成功的，学生们能够很快地进入到学习状态，对二次根式的意义有了直观的认识。
然而，在讲解二次根式的乘除法则时，我发现部分学生在处理非完全平方数时感到困惑。我意识到，这里需要更多的例题和练习来巩固他们的理解。在接下来的教学中，我会增加一些针对性的练习，特别是对于乘除法则的运用，让学生们通过实际操作来加深记忆。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的基本概念、性质、乘除法则及其在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-二次根式的乘除法：熟练运用二次根式的乘法法则（如√a * √b = √(ab)）和除法法则（如√a / √b = √(a/b)，其中b不为零）进行运算。
-二次根式的化简：掌握将二次根式化简为最简形式的方法，包括分解质因数、提公因数等，如√(12x^5)化简为2x^2√3x。
-二次根式的应用：解决实际问题时运用二次根式，如计算矩形对角线长度或三角形面积。
在实践活动中，分组讨论的环节学生们表现得非常积极，能够主动思考二次根式在实际问题中的应用。但在实验操作中，我发现有些小组在具体测量和计算时遇到了一些困难。这可能是因为他们在将理论知识应用到实际操作时还不够熟练。我考虑在未来的课程中，加入更多的实际操作环节，让学生在实践中学习和体会数学知识的应用。

所捂二次三项式的值为____6_____.
三、解答题 9. 计算：
(1) 48÷ 3－
21× 12＋ 24；
解：原式＝4＋ 6
(2)
（ 8＋
2－2 1）2－(
5＋1)(
5－1)； 解：原式＝
2－52
10.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上像
5 3
，
2 3＋1
这样的式
子，其实我们还可以将其进一步化简：
A)
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
2 ，n＝1－
2 ，则代数式
二、填空题
6.
计算：
72－ 8
24·(3＋
3)＝____6_____.
7. 设a＝ 7－1，则代数式a2＋2a－10的值为___－__4____.
8. (深圳二模)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂
住了一个二次三项式，形式如下： －3x＝x2－5x＋1，若x＝ 6 ＋1，则
【变式训练】
1. 化简 54× 12＋ 12的结果是( D ) A．5 2 B．6 3 C. 3 D．5 3 2. 计算 8－ 2( 2＋2)的结果是( D ) A．2 3＋2 B．2 3－2 C．2 D．－2

2 4 4 2 补充：化简 x y x y
注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和. 三、课堂训练 完成课本练习. 补充： 1. x 1 x 1 成立，求 x 的取值范围.
x 1 x 1
2.找出下列根式中的最简二次根式
x 3
8x
6x 2
x2 y2
0.1
3.判断下列等式是否成立
教学内容：21.2 二次根式的乘除（第 2 课时） 教 学 目 标 知识 技能 1.会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算. 2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式. 3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二 次根式 1.经历观察、比较、习，达成目标 1，2，认识到除法法则只是进行除法运算的第一 步，之后如果需要化简，进行化简.也可运用概括二次根式除法公式，通过公式的双 向性得到商的算术平方根性质. 2.通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法. 类比二次根式的乘法进行知识与方法的迁移，获得新知，体验探索的乐趣.
16 9 4 3
3 2 3 2
2
5 6 9
5
4
1 2 2
1 2
四、小结归纳 1.二次根式除法公式的双向运用； 2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法. 3.最简二次根式概念 五、作业设计 必做：习题 21.2 P12：2、3（3） 、5、6、7 （4）
选做：P13：8、9、10
附：板书设计 一．复习引入 二．探究新知 (一)二次根式除法法则 (二)商的算术平方根性 （三）最简二次根式概念 教后反思： 三.课堂训练 四.小结归纳 五.作业设计
留白： （供心得体会与反思）
授课时间：_____年_____月____日

第二章实数7.二次根式（3）教学设计一、教学目标1．巩固对二次根式的四则混合运算的掌握；2．进一步学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算；3．体验并掌握迁移、转化等数学思想与方法.二、教学重点及难点重点：二次根式的乘除以及加减运算．难点：熟练进行二次根式的混合运算.三、教学准备多媒体课件四、相关资源五、教学过程【复习巩固】复习巩固，引入新课1．同类型定义：2= ；= ；= ；= .设计意图：类比同类项的计算学习二次根式的加减运算.【新知讲解】合作交流，探究新知探究：二次根式的加减运算活动1.同类二次根式定义：.定义：一个二次根式，化简为最简二次根式后，如果被开方数相同，称它们为同类二次根式.设计意图：掌握最简二次根式的定义，为下面加减运算作铺垫.活动2．二次根式的加减运算步骤：(1)把各个二次根式化成最简二次根式；(2)把各个同类二次根式合并（系数相加减）.计算：（1；（2）515-；（3） 3322323--+解：（1+＝；（2）515-＝2555-＝2555-＝555-＝554；（3） 3322323--+设计意图：同类二次根式和同类项一样可以进行合并，方法也一样，先把每个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式分别进行合并,引导学生类比学习.【典型例题】例1． -解：原式=⎛⎛=+-- ⎝⎝1121023例2．（1）（2）3)3112(⨯-.解：（1）==== （2）3)3112(⨯-516136331312=-=-=⨯-⨯= 例3．计算：（1 （2）515- （3）-（4）3223- （5）3)6124(÷- 设计意图：收集第（5）小题有多少种解决方法．让学生说说想法．每位学生的化简方法不同，讨论较简单的方法. 例4.化简： （1）10152-；（2）31312+-；（3）8)2118(⨯-． 解：（1）10152-＝10101015552⨯⨯-⨯⨯＝101011051-＝10101； （2）31312+-＝3331334⨯⨯+-⨯＝331332+-＝334； （3）8)2118(⨯-＝821818⨯-⨯＝821818⨯-⨯ ＝821818⨯-⨯＝4144-＝212-＝10． 【随堂练习】1．化简：（1）7533-；（2）2112-； （3）48122+； （4）325092-+； （5）3223+． 2．已知 3232x y =+=-，，求)(22y x yx y xy x +-+++． 3．化简：（1）)263)(232(+-；（2）)483814122(23+-； 答案：（1）64216-；（2）6648-；4. 问题解决如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积，你有哪些方法，与同伴交流．（1）直接求法．过点D 作AB 边上的高DE ，可发现边AB ，DC 及DE 都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得AB ＝25， CD ＝2，DE ＝23，面积梯形ABCD 的面积是 (⨯=1182 （2）间接求法．将梯形ABCD 补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD 的面积是11212421552175⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯＝18． 六、课堂小结（1）同类二次根式：二次根式的化简一定要化成最简二次根式．（2）二次根式加减运算中应注意的事项.七、板书设计。

新人教版八年级数学下册《16.1二次根式（第3
课时）》教案
一、复习引入
老师口述并板收上两节课的重要内容；
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；
2．（a≥0）是一个非负数；
3．()2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
二、探究新知
（学生活动）填空：
=2；=0.01；=；=；=0；=．
因此，一般地：=a（a≥0）
例1化简
（1）（2）（3）（4）分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）•去化简．
解：（1）==3（2）==4
（3）==5（4）==3
三、巩固练习
教材P7练习2．
四、应用拓展
例2填空：当a≥0时，=_____；当a0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？
（3）a，则a可以是什么数？
分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a0．
解：（1）因为=a，所以a≥0；
（2）因为=-a，所以a≤0；
（3）因为当a≥0时=a，要使a，即使aa所以a不存在；当a0时。

2、计算
（1）4 7 4 7
（2） a b a b
（3） 3 2 2
++ +
（4）2 5 -
2
2
-
-
+
-- +
（5）3 3 2 2 3 3 - 2 2
-
3、已知x 5 1，y 5 1，求下列各式的值。
（1））x2 y2
知识点二 运用乘法公式的二次根式运算
（1） 2 3 2 5
解：原式＝
2
2 _____ _____ _1_5___
＝2-__1_5___-_____
- ＝___________ 以上运用了_多1_3_项__式__乘__以__多__项_式法则.
1、计算：⑴ 5 3 5 2
（2） 6 2 6 2
解：原式＝ 8 6 3 6
8x6 = 3x6
＝ ________
以上运用了 分配
律.
(2) 4 2 3 6 2 2
解：原式＝_____ 2 2 _____ 2 2
＝
____________
单项式
以上运用了多项式除以_____
的除法法则.
(3)2 3 12 18
解：原式= = =
二次根式的加减
1、掌握二次根式的运算方法，明 确数的运算顺序、运算律及乘法公 式在根式运算中仍然适用；
2、正确运用二次根式的性 质及运算法则进行二次根式 的混合运算.
认真阅读课本第14页的内容，完成下面 练习，并体验知识点的形成过程.
知识点一 运用乘除法法则的二次根式运算
例3 计算：⑴ 8 3 6
多项式乘法法则和乘法公式 在 二次根式的混合 运算中同样适用.

第二章 实数7．二次根式〔第3课时〕一、学生情况分析前面学习了实数，实数的运算法那么，最简二次根式及二次根式的化简，已能进行实数的四那么运算.但熟练程度不高，同时对根号内含字母的二次根式的化简比较生疏．为今后的学习扫清计算方面的障碍． 二、教学任务分析二次根式〔第3课时〕是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章?实数?第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第3课时．继续稳固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算．二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算根本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算。

假设能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题根本解决了．经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解。

因此本节课的目标定为： 1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。

2.了解根号内含有字母的二次根式的化简3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题． 通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．4.在运算过程中稳固知识，通过与人交流总结方法． 根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点． 三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识稳固； 第三环节：问题解决 ；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结； 第六环节：作业布置. 第一环节：复习引入 内容：〔1〕最简二次根式的概念；〔2〕二次根式化简过程中，你有哪些体会？〔3〕上节课课后作业：假设414.12≈，732.13≈，449.26≈，求23．你是怎样解决的？意图：借助复习，在稳固旧知的同时，导入新课． 第二环节：知识稳固 1.稳固提升 例6计算：〔1〕3223-；〔2〕81818+-；〔3〕3)6124(÷-；〔4解：〔1〕3223-＝33322223⨯⨯-⨯⨯＝631621-＝6)3121(-＝661； 〔2〕81818+-＝162222322+⨯-⨯＝2412223+-＝245； 〔3〕3) 6124(÷-＝ 361324÷-÷＝ 361324÷-÷ ＝ 3618⨯-＝ 66224⨯-⨯＝ 26122-＝ 2611；〔4. 说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见．2.交流收集第〔3〕小题有多少种解决方法．让学生说说想法． 3.反思以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？ 4.练习 化简： 〔1〕10152-；〔2〕31312+-；〔3〕8)2118(⨯-． 解：〔1〕10152-＝10101015552⨯⨯-⨯⨯＝101011051-＝10101；〔2〕31312+-＝3331334⨯⨯+-⨯＝331332+-＝334； 〔3〕8)2118(⨯-＝821818⨯-⨯＝821818⨯-⨯＝821818⨯-⨯＝4144-＝212-＝10． 第三环节：问题解决如以下列图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形 的面积，你有哪些方法，与同伴交流．1.交流让学生充分发表意见． 2.答案〔1〕直接求法．过点D 作AB 边上的高DE ，可发现边AB ，DC 及DE 都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得： AB ＝25， CD ＝2，DE ＝23，面积梯形ABCD 的面积是23)225(21⨯+＝18. 〔2〕间接求法．将梯形ABCD 补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD 的面积是11212421552175⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯＝18．*第四环节：知识提升〔教师根据实际情况进行〕 1.知识探索问题：2a 〔0>a 〕等于多少？根据算术平方根的定义，可知a a =2〔0>a 〕． 2.知识运用 例7 化简：〔1〕3325b a 〔0>a ，0>b 〕；〔2〕3)(y x +〔0≥+y x 〕；〔3〕abba〔0>a ，0>b 〕．解：〔1〕3325b a ＝ab b a ⋅2225＝ab b a ⋅2225＝ab ab 5； 〔2〕3)(y x +＝)()(2y x y x +⋅+＝y x y x ++)(； 〔3〕a b ba＝2a ab b a ＝ab a b a 1⨯＝ab b 1． 3.课堂练习1.当0>a ，0>b 时化简： 〔1〕)(a bb a ab +；〔2〕324b a ；〔3〕ab b a⨯-)1(； 〔4〕baa b ab a 155102÷⋅． 解：〔1〕)(a b b a ab +＝a b ab b a ab ⨯+⨯＝ab ab b a ab ⨯+⨯ ＝22b a +＝b a +；〔2〕324b a ＝b b a ⋅2222＝b b a ⋅2222＝b ab 2； 〔3〕ab b a⨯-)1(＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a ⨯-⨯1＝a b b ⨯-2＝a b b -； 〔4〕b a a b ab a155102÷⋅＝b a a b ab a ÷⋅÷⨯)15510(2＝ab a 32310⋅＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310aab b a ⋅⋅＝ab a ba ⋅⋅2310＝ab ab 310． 2. 求代数式ab b a⨯-)1(的值，其中3=a ，2=b ． 解：由题知0>a ，0>b ．ab b a ⨯-)1(＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a⨯-⨯1＝2ab b -＝a b b -．当3=a ，2=b 时，a b b -＝322-． 第五环节：课堂小结 〔1〕二次根式的化简：二次根式的化简一定要化成最简二次根式．〔2〕利用式子a a =2〔0>a 〕可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式． 第六环节：课后作业 习题 2．11 1， 3 补充作业：化简：〔1〕)263)(232(+-； 〔2〕)483814122(23+-； 〔3〕)0,0()2(≥≥⋅+-y x xy yxxyxy ； 〔4〕)0,0()(33≥≥⋅-+b a ab ab ab b a ； 〔5〕)0(4322763232≥+-a a ab a b ab a ． 答案：〔1〕64216-；〔2〕6648-；〔3〕x y xy +-2；〔4〕ab ab ab b a -+22；〔5〕a ab325． 五、教学反思本节课继续熟练二次根式的化简，要求化成最简二次根式．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到熟练并能灵活运用．本节还涉及根号内含有字母的二次根式的化简，仍然要求化成最简二次根式．这局部内容对学生的根底要求较高，根底不好的班级可降低难度． 平行四边形的性质总体说明〔1〕本节的主要内容包含平行四边形的性质。